课时跟踪检测(六十二) 古典概型
2020届高三数学(文)一轮总复习课时跟踪检测 古典概型 Word版含答案
课时跟踪检测古典概型1．投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次向上的面上的点数小于第二次向上的面上的点数，我们称其为前效实验；若第二次向上的面上的点数小于第一次向上的面上的点数，我们称其为后效实验；若两次向上的面上的点数相等，我们称其为等效实验．那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是( )A ．12B ．16C ．112D ．136解析：选B 投掷一枚质地均匀的骰子两次的所有基本事件共36种，其中两次向上的面上的点数相等的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6种，所以一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率P ＝636＝16. 2．(2019·浙江金丽衢十二校二联)4张卡上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12B.13C.23D.34解析：选B 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为13. 3．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( )A ．15B ．25C ．16D ．18解析：选B 如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25. 4．如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为( )A ．12B ．14C ．34D ．38解析：选D 只考虑A ，B 两个方格的填法，不考虑大小，A ，B 两个方格有16种填法．要使填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A 格，小的放入B 格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6种，故填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为616＝38. 5．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A ．110B ．310C ．35D ．910解析：选D 从5个球中任取三个共有10种结果，没有白球只有一种结果，所以至少有一个白球的概率为1－110＝910.二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A ．310B ．15C ．110D ．120解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110. 2．设m ，n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋mx ＋n ＝0有实根的概率为( )A ．1136B ．736C ．711D ．710 解析：选C 先后两次出现的点数中有5的情况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种．其中使方程x 2＋mx ＋n ＝0有实根的情况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求概率为711. 3．一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b ，b <c 时称为“凹数”(如213,312)等．若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A ．16B ．524C ．13D ．724解析：选C 由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321，共6个；由1,2,4组成的三位数有124,142,214,241,412,421，共6个；由1,3,4组成的三位数有134,143,314,341,413,431，共6个；由2,3,4组成的三位数有234,243,324,342,423,432，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．当b ＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b ＝2时，有324,423，共2个“凹数”．故这个三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13. 4．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N)，若事件C n 发生的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4解析：选D 分别从集合A 和B 中随机取出一个数，确定平面上的一个点P (a ，b )，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种情况，a ＋b ＝2的有1种情况，a ＋b ＝3的有2种情况，a ＋b ＝4的有2种情况，a ＋b ＝5的有1种情况，所以可知若事件C n 发生的概率最大，则n 的所有可能值为3和4.5．(2019·太原二模)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角为α，则α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4的概率为( ) A ．518B ．512C ．12D ．712解析：选B 法一：依题意，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量 b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，即n <m 的(m ，n )可根据n 的具体取值进行分类计数：第一类，当n ＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五类，当n ＝5时，m 有1个取值，因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝512. 法二：依题意可得向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，即n <m 的向量a ＝(m ，n )有36－62＝15(个)，所以所求概率为1536＝512. 6．(2019·广东高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56. 答案：567．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e >5的概率是________． 解析：由e ＝1＋b 2a2>5，得b >2a .当a ＝1时，b ＝3,4,5,6四种情况；当a ＝2时，b ＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a ，b )共有36种结果．∴所求事件的概率P ＝636＝16. 答案：168．(2019·海淀一模)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N 表示“A 1和B 1全被选中”，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N )＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56. 答案：569．(2019·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解：(1)由题意，(a ，b ，c )所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P (A )＝327＝19， 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89， 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89. 10．(2019·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A ．79B ．13C ．59D ．23解析：选D 对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)>0，即a >b .又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a >b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P ＝69＝23. 2．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？解：用(x ，y )(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．则P (A )＝1025＝25. (2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C .事件B 所包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个．则P (B )＝1025＝25， 所以P (C )＝1－P (B )＝35. 因为P (B )≠P (C )，所以这样规定不公平．。
古典概型练习题(有详细答案)
古典概型练习题1.从12个同类产品(其中10个正品,2个次品)中任意抽取3个,下列事件是必然事件的是A.3个都是正品B.至少有一个是次品 ( )C.3个都是次品D.至少有一个是正品2.给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当x为某一实数时可使20x”是不可能事件③“明天要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件. 其中正确命题的个数是 ( )A. 0B. 1C.2D.33.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率为A. 15B.25C.35D.45( )4.袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为A. 37B.710C.110D.310( )5.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取2张,那么这 2 张纸片数字之积为偶数的概率为( )A. 12B.718C.1318D.11186.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( )A.715B.815C.35D. 17.下列对古典概型的说法中正确的个数是 ( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基本事件,则kP An；④每个基本事件出现的可能性相等；A. 1B. 2C. 3D. 48.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中互斥事件的个数是( )⑴至少有一个白球,都是白球；⑵至少有一个白球,至少有一个红球；⑶恰有一个白球,恰有2个白球；⑷至少有一个白球,都是红球.A.0B.1C.2D.39.下列各组事件中,不是互斥事件的是 ( )A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于 6B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70% 10．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件11.下列说法中正确的是 ( )A.事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大B.事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件也是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,而对立事件一定是互斥事件12.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2,3,现任取3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是（）A.13B.19C.114D.12713.若事件A、B是对立事件,则P(A)+P(B)=________________.14.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。
古典概型
排队人数
0
1
2
3
4 5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3 0.1
0.04
至少2人排队等候的概率是 0.74 .
在以上四个题目的随机试验中，分析事件的构成，思考： • 所有可能的试验结果有哪些？ • 每一个结果记为一个随机事件，这些事件间是什么关系？
在以上四个题目的随机试验中，分析事件的构成，思考： • 所有可能的试验结果有哪些？ • 每一个结果记为一个随机事件，这些事件间是什么关系？
例3 同时掷两枚骰子，计算向上的点数之和为5的概率
反思 1.古典概型概率求解步骤： 第一步 确定等可能基本事件总数n； 第二步 确定所求事件包含的基本事件数m 第三步 P(A) m 第四步 作答 n
2.使用古典概型概率公式应注意： （1）首先确定是否为古典概型（验证基本事件是否是等可能
的）； （2）其次确定所求事件包含的基本事件有哪些。
例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字 母的试验中，有哪些基本事件？
解：所求基本事件共有6个：{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d}
思考：1.从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中， 取出的字母中含有“a”的概率为 0.5 .
2.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上的概率为 0.5 .
1.抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A表示正面向上，事件B表示反面 向上，则P(AUB)= 1 .
2.盒子里有大小相同的9个黑球和1个白球，从中任取一个，取到白球的 概率是 0.1 .
3.投掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数的概率是 0.5 .
4.据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率下表：
古典概型(答案)
古典概型【知识要点】一、简单的古典概型【例题1】（1）某同学从4门选修课甲、乙、丙、丁中任选2门，其中选修课甲被选中的概率为（ D ）A 、61B 、41C 、31D 、21（2）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同。
现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ A ） A 、103 B 、51 C 、101D 、121【练习1—1】一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀的搅混在一起，则任意取出一个小正方体其三面涂有油漆的概率是（ D ） A 、121 B 、101 C 、253D 、1251【练习1—2】从甲、乙等6位同学中任选3人参加座谈会，其中甲、乙都没有被选中的概率为51。
【练习1—3】小军、小燕和小明是同班同学，假设他们三人早上到校先后的可能性是相同的，则事件“小燕比小明先到学校”的概率是 21。
二、较复杂的古典概型【例题2】（1）袋中共有15个除了颜色完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋子中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为（ B ） A 、215 B 、2110 C 、2111D 、1 （2）某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会中的4*100m 接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为（ C ） A 、134 B 、152 C 、214D 、51【练习2—1】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ C ） A 、103 B 、51 C 、101 D 、201【练习2—2】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为（ C ）A 、81B 、61C 、41D 、21三、古典概型与统计的交汇问题【例题3】（1）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数得中位数是6的概率为（ D ） A 、161B 、121C 、81D 、61（2）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动。
课时作业12：3.2.1 古典概型
3.2.1 古典概型一、选择题(每小题5分，共20分)1.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A.12B.13 C.14D.252.下列试验中，是古典概型的为( )A.种下一粒花生，观察它是否发芽B.向正方形ABCD 内，任意投掷一点P ，观察点P 是否与正方形的中心O 重合C.从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率D.在区间[0，5]内任取一点，求此点小于2的概率3.从1，2，3，4四个数字中任取两个数求和，则和恰为偶数的概率是( )A.23 B.25 C.12D.134.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为( )A.12 B.13 C.38D.58二、填空题(每小题5分，共15分)5.若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 Ｗ.6.现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为 Ｗ.7.第1，2，5，7路公共汽车都在一个车站停靠，有一位乘客等候着1路或5路公共汽车，假定各路公共汽车首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好为这位乘客所要乘的车的概率是Ｗ.三、解答题(每小题10分，共20分)8.现共有6家企业参与某项工程的竞标，其中A企业来自辽宁省，B，C两家企业来自福建省，D，E，F三家企业来自河南省.此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同.(1)列举所有企业的中标情况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？9.某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖.(1)求中二等奖的概率；(2)求未中奖的概率.10.小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x＋y＝7上的概率.(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗？请说明理由.11.有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时：(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有1位坐在自己的席位上的概率.参考答案1.【解析】把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1、红1，红1、红2、红2、红2，红2、红1，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P ＝816＝12.【答案】A2.【解析】对于A ，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B ，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C ，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D ，区间内的点有无限多个，不满足有限性，故选C. 【答案】C3.【解析】从1，2，3，4四个数字中任取两个数有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)六种方法，其中和为偶数的有(1，3)，(2，4)两种，所以概率为13.【答案】D4.【解析】该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26＝13.【答案】B5.【解析】首先写出甲、乙、丙三人站成一排的所有结果及甲、乙相邻而站的所有结果，然后将两结果数相除可得.甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共4种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为46＝23.【答案】236.【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的基本事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3 m 的基本事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，故所求概率为0.2. 【答案】0.27.【解析】∵4种公共汽车先到站共有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，所以“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，∴P ＝24＝12.【答案】128.解 (1)从这6家企业中选出2家的选法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共有15种，以上就是中标情况.(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的选法有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种.则“在中标的企业中，至少有一家来自福建省”的概率为915＝35.9.解 (1)设“中二等奖”的事件为A ，所有基本事件包括(0，0)，(0，1)，…，(3，3)共16个， 事件A 包含基本事件(1，3)，(2，2)，(3，1)共3个， 所以P (A )＝316.(2)设“未中奖”的事件为B ，所有基本事件包括(0，0)，(0，1)，…，(3，3)共16个，“两个小球号码相加之和等于3”这一事件包括基本事件(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)共4个，“两个小球号码相加之和等于5”这一事件包括基本事件(2，3)，(3，2)共2个.P (B )＝1－P (B )＝1－⎝⎛⎭⎫316＋416＋216＝716. 所以中二等奖概率为316，未中奖的概率为716.10.解 (1)因x ，y 都可取1，2，3，4，5，6，故以(x ，y )为坐标的点共有36个.记点(x ，y )落在直线x ＋y ＝7上为事件A ，事件A 包含的点有：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)6个，所以事件A 的概率P (A )＝636＝16.(2)记x ＋y ≥10为事件B ，x ＋y ≤4为事件C ，用数对(x ，y )表示x ，y 的取值. 则事件B 包含(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共6个数对； 事件C 包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个数对. 由(1)知基本事件总数为36个，所以 P (B )＝636＝16，P (C )＝636＝16，所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的. 11.解 将A ，B ，C ，D 四位贵宾就座情况如下图表示出来：本题中的等可能基本事件共有24个.(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A 只包含1个基本事件， 所以P (A )＝124.(2)设事件B 为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件B 包含9个基本事件， 所以P (B )＝924＝38.(3)设事件C 为“这四人恰有1位坐在自己的席位上”，则事件C 包含8个基本事件， 所以P (C )＝824＝13.。
古典概型(含答案)
古典概型（写过程）1．袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．452．(原创)口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为（ ） A ．15 B.25 C. 13 D. 163．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则恰有1名优秀工人的概率为( ) A.158 B.94 C.31 D.914．若集合{}2,3A =，{}1,2,3B =，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是 A ．23 B ．12 C ．13 D ． 165．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A ，“第2次拿出的是白球”为事件B ，则事件A 与B 同时发生的概率是（ ） A ．85 B ．165 C ．74 D ．145 6．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A ．35 B ．310 C ．12 D ．6257．若(010,)4k k k Z πθ=≤≤∈，则sin cos 1θθ+≥的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．211 D ．6118．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ） A.19 B.29 C.13D.49 9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ） A ．122B ．111C ．322D ．21110．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 .11．两枚质地均匀的骰子同时掷一次，则向上的点数之和不小于7的概率为 . 12．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,如果甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为 .13．有标号分别为1、2、3的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是 ．14．在一个袋子中装有分别标注1,2，3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为6的概率等于15．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为________．16．从字母a 、b 、c 、d 、e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为 .17．袋中又大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次． （Ⅰ）写出所有基本事件‘（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率； （Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．18．一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)若取1个红球记2分，取1个白球记1分，取1个黑球记0分，求连续取两次的分数之和为2的概率．参考答案1．B 【解析】试题分析：所有不同方法数有25C 种,所求事件包含的不同方法数有2223C C 种,因此概率52252223=+=C C C P ,答案选B. 考点：古典概型的概率计算2．C 【解析】试题分析：从5个球中随机抽取两个球，共有246C =种取法. 满足两球编号之和大于5的情况有（2,4），（3,4）共2种取法. 所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为2263=. 考点：1、古典概型及其概率计算公式；2、组合及组合数公式. 3．A 【解析】试题分析：解：()11321719202125302266x =+++++== 因为六名工人的日加工零件个数互不相同，可用该数据代表相应的工人，则从他们中任取两人，共有()17,1()17,2()17,2()17,()17,()19,()19()19()19()20,2()20,2()20,3()21,()21,()25,15个基本结果，由于是任取的，所以每个结果出现的可能性是相等的，其中恰有一名优秀工人的有()17,25,()17,30,()19,25,()19,30,()20,25,()20,30,()21,25,()21,30,共8个，所以恰有一名优秀工人的概率为815，故选A. 考点：古典概型；2、茎叶图；3、均值的概念. 4．C 【解析】,2,12,221==..63A B C 从集合中各任取一数所有结果为（）,(）,(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种，其中两数和为4的有2种，因此所求概率为P 选考点：本题主要考查古典概型的概率的概念和运算，考查分析问题、解答问题的能力和运算能力. 5．D 【解析】 试题分析：从装有大小相同的5个白球和3个红球共8个球的袋中先后不放回的各取出一个球的方法共有2856A =种，事件A 与B 同时发生的即两次中第1次取出的是白球，第2次取出的还是白球，这样的取法有255420A =⨯=种，由古典概型的概率计算公式得事件A 与B 同时发生的概率是2055614=，故选择D.考点：古典概型的概率计算. 6．B【解析】设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310． 7．D 【解析】 试题分析：(010,)4k k k Z πθ=≤≤∈,∴θ有11个sin cos )14πθθθ+=+≥∴sin()42πθ+≥∴322,444n n n Z ππππθπ+≤+≤+∈∴22,2n n n Z ππθπ≤≤+∈发现当k=0,1,2,8，9,10时，成立，所以P=611考点：1.三角恒等变换；2.古典概型. 8．A 【解析】试题分析：先求个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有4514151515=+C C C C 个，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0包括的结果有：10，30,50,70,90共5个，由古典概率的求解公式可求解. 考点：古典概型及其概率计算公式． 9．D【解析】略 10．31. 【解析】试题分析：事件“甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种”包含的基本事件有（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）共9个；记“他们选择相同颜色运动服”为事件A,则事件A 包含的基本事件有（红，红），（白，白），（蓝，蓝）共3个；所以3193)(==A P . 考点：古典概型. 11．712【解析】试题分析：记两枚质地均匀的骰子同时掷一次的结果为数对(,)x y ，这样的数对有6636⨯=对，而向上的点数之和不小于7，即7x y +≥，则1,6x y ==；2,5,6x y ==；3,4,5,6x y ==；4,3,4,5,6x y ==；5,2,3,4,5,6x y ==；6,1,2,3,4,5,6x y ==，因此满足条件的数对共有12345621+++++=，从而向上的点数之和不小于7的概率为2173612=. 考点：古典概型的概率计算. 12．1928【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37+14=1928. 13．310【解析】试题分析：由题意，从中任取两张卡片的总方法数为2510C =，颜色不同，标号和小于4的有：蓝1、红1，蓝1、红2，蓝2、红1共3种，因此其概率为310． 考点：古典概型． 14．15【解析】试题分析：从5个球任取2个球共有2510C =种取法，而数字和为6的只有(1,5),(2,4)两种取法，所以所概率为21105=. 考点：古典概型. 15．5081【解析】能获奖有以下两种情况：①5袋食品中三种卡片数分别为1,1,3，此时共有115422C C A ×A 33＝60(种)不同的方法，其概率为P 1＝5603＝2081；②5袋食品中三种卡片数分别为2,2,1，共有225322C C A ×A 33＝90(种)不同的装法，其概率为P 2＝5903＝3081，所以所求概率P ＝P 1＋P 2＝5081.16．25. 【解析】试题分析：所有的基本事件有(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),c d 、(),c e 、(),d e ，共10个，其中事件“取到字母a ”所包含的基本事件有(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e ，共4个，故所求事件的概率为42105=.考点：本题考查利用列举法计算古典概型的概率计算问题，属于中等题.17．（I ）（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红【解析】18．（1）4 （2）8【解析】(1)记袋中的2个白球分别为白1，白2，则连续取两次的基本事件有(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)；(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16种．记事件A 为“连续取两次都是白球”，事件A 包含的事件有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4种， 所以P(A)＝416＝14．(2)记事件B为“连续取两次的分数之和为2”．因为取1个红球记2分，取1个白球记1分，取1个黑球记0分，所以连续取两次的分数之和为2的基本事件有(红，黑)，(黑，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共6种，所以P(B)＝616＝38．。
人教版高中数学必修一《古典概型》课时达标训练及答案
3.2.1 古典概型(二)课时达标训练一、基础过关1．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A 、B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16答案 C解析 从A 、B 中各任意取一个数，共有6种情形， 两数和等于4的情形只有(2,2)，(3,1)两种， ∴P ＝26＝13.2．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为( )A.150B.110C.15D.14答案 C解析 由题意知，在抽出的容量为10的样本中，有1050×20＝4名女同学，每个女同学被抽到的概率是一样的，所以某女同学甲被抽到的概率为420＝15.3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( ) A.16B.536C.112D.12答案 C解析 先后抛掷两枚骰子的点数，方法共有36种． 满足条件log 2X Y ＝1，即Y ＝2X 的有⎩⎪⎨⎪⎧X ＝1，Y ＝2；⎩⎪⎨⎪⎧ X ＝2，Y ＝4； ⎩⎪⎨⎪⎧X ＝3，Y ＝6，3种．故概率为336＝112.4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ( )A.23B.25C.35D.910答案 D解析 由题意，得从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.5．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是________． 答案 12解析 设3件正品为A ，B ，C,1件次品为D ，从中不放回任取2件，有以下基本事件：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．其中恰有1件是次品的基本事件有：AD ，BD ，CD ，共3个，故P ＝36＝12.6．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的概率是________． 答案 29解析 由题意知，基本事件总数为36，事件“点P 落在圆x 2＋y 2＝16内”包含8个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，所求概率为P ＝836＝29.7．用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3(2)3个矩形颜色都不同的概率．解 所有可能的基本事件共有27个，如图所示．(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A ，由图，知事件A 的基本事件有1×3＝3(个)，故P (A )＝327＝19.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B ，由图，可知事件B 的基本事件有2×3＝6(个)，故P (B )＝627＝29.二、能力提升8．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )A.16B.15C.13D.25答案 C解析 由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为55＋4＋3＋2＋1＝13.9．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34答案 A解析 由题意知本题是一个古典概型，设3个兴趣小组分别为A ，B ，C .试验发生包含的基本事件数为AA 、AB 、AC 、BA 、BB 、BC 、CA 、CB 、CC 共9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P ＝39＝13，故选A.10．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是______；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________． 答案 13 14解析 第二次能打开门说明第一次是从不能打开门的钥匙中取一，第二次是从能打开门的钥匙中取一，第二次打开门这个事件包含的基本事件数为2×2＝4，基本事件总数为4×3＝12，所求概率为P 1＝412＝13.如果试过的钥匙不扔掉，基本事件总数为4×4＝16，所求概率为P 2＝416＝14.11．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个． 所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.故满足条件n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.12．某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(1) 1.78以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解 (1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M ，其包括事件有3个，故P (M )＝36＝12.(2)从该小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10个． 设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N ，且事件N包括事件有：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共3个． 则P (N )＝310.三、探究与拓展13．班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率． 解 (1)利用树状图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出. 第二次抽取第一次抽取123451 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)概型．用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)＝525＝15＝0.。
课时作业13：3.2.1 古典概型
3.2.1 古典概型一、选择题1．下列试验中，属于古典概型的是( )A ．种下一粒种子，观察它是否发芽B ．从规格直径为250 mm±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC ．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面D ．某人射击中靶或不中靶2．集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23 B ．12C.13D ．163．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )A.14 B ．13C.12D ．254．已知集合A ＝{2，3，4，5，6，7}，B ＝{2，3，6，9}，在集合A ∪B 中任取一个元素，则该元素是集合A ∩B 中的元素的概率为( )A.23 B ．35C.37D ．255．把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2只有一个解的概率为( )A.512 B ．1112C.513 D ．913二、填空题6．一只蚂蚁在如图321所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．图3217．在平面直角坐标系中，从五个点：A (0，0)，B (2，0)，C (1，1)，D (0，2)，E (2，2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)．8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9.若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________. 三、解答题9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．10．某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车费多于14元的概率为512，求甲的停车费为6元的概率；(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．11．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．参考答案1．【解析】依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同． 【答案】 C2．【解析】 从A ，B 中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率为26＝13.故选C.【答案】 C3．【解析】 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的基本事件只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P ＝14.【答案】 A4．【解析】 A ∪B ＝{2，3，4，5，6，7，9}，A ∩B ＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是37.【答案】 C5．【解析】 点(a ，b )取值的集合共有36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax ＋by ＝3与x ＋2y ＝2相交，即a 1≠b2，即b ≠2a ，而满足b ＝2a 的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2只有一个解的概率为3336＝1112.【答案】 B6．【解析】 该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26＝13.【答案】 137．【解析】 从五个点中任取三个点，构成基本事件的总数为n ＝10；而A ，C ，E 三点共线，B ，C ，D 三点共线，所以这五个点可构成三角形的个数为10－2＝8.设“从五个点中任取三个点，这三点能构成三角形”为事件A ，则A 所包含的基本事件数为m ＝8，故由古典概型概率的计算公式得所求概率为P (A )＝m n ＝810＝45.【答案】 458．【解析】 基本事件共有(2.5，2.6)，(2.5，2.7)，(2.5，2.8)，(2.5，2.9)，(2.6，2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7，2.8)，(2.7，2.9)，(2.8，2.9)10种情况．相差0.3 m 的共有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)两种情况，所以P ＝210＝15.【答案】 159．解 设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ，从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16种不同的结果．(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P (A )＝716.(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种； 两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2，3)，(3，2)． 两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3，3)． 则中奖概率为P (B )＝7＋2＋116＝58.10．解 (1)设“一次停车不超过1小时”为事件A ，“一次停车1到2小时”为事件B ，“一次停车2到3小时”为事件C ，“一次停车3到4小时”为事件D .由已知得P (B )＝13，P (C ＋D )＝512.又事件A ，B ，C ，D 互斥，所以P (A )＝1－13－512＝14.所以甲的停车费为6元的概率为14.(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个；而“停车费之和为28元”的事件有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3个， 所以所求概率为316.11.解 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个． 因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.。
课时作业66古典概型
课时作业66古典概型时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是()A.15 B.14C.45 D.1102．从甲、乙、丙三人中任选两人，则甲被选中的概率为()A.12 B.13C.23D．13．从三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为()A.120 B.115C.15 D.164．(2010·海淀期末)先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为()A.16 B.15C.13 D.255．(2011·皖南八校联考)为了迎接2010年上海世界博览会，在上海市民中选8名青年志愿者，其中有3名男青年志愿者，5名女青年志愿者，现从中选3人参加“城市，让生活更美好”户外活动导引的工作，则这3人中既有男青年志愿者又有女青年志愿者的概率为()A.45512 B.75512C.1564 D.45566．(2011·江南十校联考)设a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[1,2]上有零点的概率为()A.12 B.58C.1116 D.34二、填空题(每小题5分，共15分)7．掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为________．8．(2011·南昌调研)甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则甲、乙两人所选的课程中至少有1门不相同的选法的概率是________9．(2010·济南模拟)五对夫妻排成一列，则每一位丈夫总是排在他妻子的后面(可以不相邻)的概率为________．三、解答题(共55分)10．(15分)将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：(1)共有多少种不同的结果？(2)两数之和是3的倍数的结果有多少种？(3)两数之和是3的倍数的概率是多少？11．(20分)一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数字，今随机地先后抽取2个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．求2个小球上的数字为相邻整数的概率．——探究提升——12．(20分)同时掷4枚均匀硬币，求：(1)恰有2枚“正面朝上”的概率；(2)至少有2枚“正面朝上”的概率．。
高中数学第三章概率3.2.1古典概型课时跟踪训练含解析新人教A版必修
学习资料第三章 概率3．2 古典概型 3．2。
1 古典概型 [A 组 学业达标］1．下列试验是古典概型的是 （ )A ．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件B ．为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件C ．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D ．抛掷一枚均匀的硬币至首次出现正面为止 解析:用古典概型的定义判断． 答案：C2．先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是( )A ．“至少一枚硬币正面向上"B ．“只有一枚硬币正面向上”C ．“两枚硬币都是正面向上"D ．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上"解析：抛掷2枚硬币出现的结果为正正，正反，反正，反反．故“至少一枚硬币正面向上"有3种结果． 答案：A3．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为（ ）A 。
错误! B.错误! C 。
315D ．1解析：这是一个古典概型与互斥事件相结合的问题；设“恰有一名女生当选”为事件A ,“恰有两名女生当选"为事件B ，显然A 、B 为互斥事件．从10名同学中任选2人共有10×9÷2＝45种选法（即45个基本事件)，而事件A 包括3×7个基本事件，事件B 包括3×2÷2＝3个基本事件，故P ＝P （A ）＋P （B ）＝错误!＋错误!＝错误!。
答案：B4．已知集合A ＝｛－1，0,1｝，点P 坐标为（x ，y ），其中x ∈A ，y ∈A ,记点P 落在第一象限为事件M ，则P （M ）＝ （ ） A 。
错误! B 。
错误! C.19D 。
错误!解析：所有可能的点是(－1，－1），（－1，0），(－1，1),（0,－1）,(0，0)，(0,1)，（1，－1),（1,0),(1，1），共9个，其中在第一象限的有1个，因此P （M )＝错误!.故选C. 答案：C5．从1，2,3，4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ）A 。
2019-2020学年北师大版数学必修3课时跟踪检测：第三章§2 2.1古典概型的特征和概率计算公式 Word版含解析
第三章§22．1古典概型的特征和概率计算公式课时跟踪检测一、选择题1．下列不属于古典概型的性质的是()A．所有基本事件的个数是有限个B．每个基本事件发生的可能性相等C．任两个基本事件不能同时发生D．可能有2个基本事件发生的可能性不相等答案：D2．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为x，第二次摸到的球的编号为y，构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为()A．316B．18C．118D．16解析：由题意可知两次摸球得到的所有数对(x，y)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足xy＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为316.答案：A3．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A．0.4 B．0.6C．0.8 D．1解析：设两件次品编号为1,2；3件合格品编号为3,4,5，所有基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中恰有一件为次品的有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4，)(2,5)，共6个．∴恰有一件次品的概率为610＝0.6. 答案：B4．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A ．110B ．15C ．310D ．25解析：依题意，记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a >b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率为1025＝25.答案：D5．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A ．23B ．35C ．25D ．15解析：设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B ． 答案：B6．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A ．310B ．25C ．12D ．35解析：从五种不同属性的物质中随机抽取两种，出现的情况有：(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)，共10种，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也有5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为12.答案：C 二、填空题7．第1,2,5,7路公共汽车都在一个车站停靠，有一位乘客等候着1路或5路公共汽车，假定各路公共汽车首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好为这位乘客所要乘的车的概率是________．解析：因为4种公共汽车首先到站的车共有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，所以“首先到站的车正好是这位乘客所要乘的车”的结果有2个，所以P ＝24＝12.答案：128．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只，则它们颜色不同的情况概率是________．解析：设3只白球为A ，B ，C,1只黑球为d ， 则从中随机摸出两只球的情形有：AB ，AC ，Ad ，BC ，Bd ，Cd 共6种，其中两只球颜色不同的情况有3种，故所求概率为12.答案：1 29．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母的顺序相邻的概率为________．解析：从A、B、C、D、E中任取2张共有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE,10种情况，而字母的顺序相邻的情况有AB，BC，CD，DE,4种情况，∴概率为410＝2 5.答案：2 5三、解答题10．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．解：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)．(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A．事件A包含的基本事件为(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，事件A 包含的基本事件数为3.由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为P(A)＝3 8.11．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如下图．现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高176 cm的同学被抽中的概率．解：设身高为176 cm的同学被抽到的事件为A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)．∴P(A)＝410＝25.12．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解：(1)甲校2男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D 表示，2女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种．选出的2名教师性别相同的概率为P＝4 9.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝615＝25.13．(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以，事件M发生的概率P(M)＝11 15.。
2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业62古典概型+Word版含解析.docx
课时作业62古典概型［授课提示：对应学生用书第268页］一、选择题1.下列试验中，是古典概型的个数为（）①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P,点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率;④在线段［0,5］±任取一点，求此点小于2的概率.A・0 B・1C・2 D・3解析：①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型.②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型.③符合古典概型的特点，是古典概型问题.答案：B2.（2017-L1J东卷）从分别标有1,2,…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）c.| D.j解析：所求概率为答案：C3.（2016-全国乙卷）为美化环境，从红、黄、口、紫4种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）B2D-6解析：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法.红色和紫色的花不在同一花坛的有4 24种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为2=彳，故选C.答案：c4.（2018•广州毕业班测试）从123,4,5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三个数，则这个三位数是偶数的概率为（）C *2D -5解析：本题考查排列组合、古典概型.从这5个数字中任取3个数字组成没 有重复数字的三位数共有尼=60个，其中是偶数的有©A 艮=24个，所以所求 ?4 9 概率P=60=5*故选B ・答案：B5. (2018•山西运城模拟)已知五条长度分别为1,3,5,7,9的线段，现从这五条 线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为()A-lo B -lo C 2 D 10解析：从五条中任取三条，共有1、3、5,1、3、7,1、3、9,1、5、7,1、5、 9,1、7、9,3、5、7,3、5、9,3、7、9,5、7、9 十种情况.其中仅 3、5、7,3、7、 9,5、7、9三种情况可以构成三角形，故构成三角形的概率斋.答案：B6. (2017-新课标全国卷II)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张, 放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概 D 1从5张卡片中随机抽取1张， 第—张力k 以Z 第二张 123 4 5 1 23 4 5 1 23 4 5 123 4 5 123 4 5 基本事件总数为25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10, 故选D. 答案：DX7. (2018•广州五校联考一)已知X,歹丘{123,4,5,6},且兀+)‘=7,贝ij的 ) B 3D-6解析：由题意得基本事件空间中的元素有：(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2),Y (6,1),共6个，满足yN ㊁的有：(1,6), (2,5), (3,4), (4,3),共4个，故所求概率 4 2为討彳，故选B.答案：B率为()A 而c,10解析: 放回后再随机抽取1张的情况如图:3 4 5in 2 所求概率P=^=j.概率为(C 28. (2018•广东省五校高三第一次考试)从1至9共9个自然数中任取七个不 同的数，则这七个数的平均数是5的概率为(B lg V Q解析：1至9共9个自然数中任取七个不同的数的取法共有疥=丁 种，因为 1+9=2+8=3+7=4+6,所以从(1,9), (2,8), (3,7), (4,6)中任选三组, 则有&=4,故这七个数的平均数是5的概率为寻=£,选C.答案:C9. (2018•山西省四校联考)甲、乙两人有三个不同的学习小组A, B, C 可以 参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概 率为()C -5 Dl解析：・・•甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A, A), (A, 5), (A, C), (B,A), (B, B), (B, C), (C, A), (C, B), (C, O ，共 9 个，其中两个参加同 一个小组的事件有(A, A), (B, B), (C, O ，共3个，.••两人参加同一个小组的 、 3 1 概率为9 = 3-答案：A2 2 10. 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为Q, b,则椭圆务+*=1的离 、/5 心率e> 2的概率是()A •菽C 6解析:当a>b 时,e =1时，有。
2019届高考数学(理)大一轮课时跟踪检测【66】古典概型(含答案)
课时跟踪检测(六十六) 古 典 概 型(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2018·惠州模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是( )A.45 B.35 C.25D.152．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，基本事件的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．83．(2018·合肥模拟)从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是( )A.16B.14C.13D.124．(2018·郑州模拟)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A.16B.14C.13D.5125．(2018·浙江联考)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为 3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．6．(2018·宣武模拟)曲线C 的方程为x 2m 2＋y2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A＝“方程x 2m 2＋y2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P(A)＝________.7．某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)在抽取的20(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．8．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋bi.(1)若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的概率．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2018·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：(2) 在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1人，求这2人都支持1号歌手的概率．2．已知集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}，Q＝{y|y＝2n－1，1≤n≤2，n∈N*}，M＝P∪Q.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，试计算：(1)点A 正好在第三象限的概率； (2)点A 不在y 轴上的概率；(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的概率．3．(2018·莱芜模拟)中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x ，y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x ，y ，且x ＜y”．(1)共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选D 从{1,2,3,4,5}中选取一个数a 有5种取法，从{1,2,3}中选取一个数b 有3种取法．所以选取两个数a ，b 共有5×3＝15个基本事件．满足b>a 的基本事件共有3个．因此b>a 的概率P ＝315＝15.2．选C 设这4个学习小组为A ，B ，C ，D ，“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．3．选A 不妨设取出的三个数为x ，y ，z(x ＜y ＜z)，要满足x ＋y ＝z ，共有20种结果，从十个数中取三个数共有C 310种结果，故所求概率为20C 310＝16. 4．解析：选 D 注意到二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·(x)n －r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫12·4x r ＝C rn ·2－r·x234n r-.依题意有C 0n ＋C 2n ·2－2＝2C 1n ·2－1＝n ，即n 2－9n ＋8＝0，(n －1)(n －8)＝0(n≥2)，因此n ＝8.∵二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x 8的展开式的通项是T r ＋1＝C r 8·2－r ·x34-4r ，其展开式中的有理项共有3项，所求的概率等于A 66·A 37A 99＝512，选D.5．解析：列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P＝1036＝5 18.答案：5 186．解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x轴上，则m＞n，又只剩下一半情况，即有15种，因此P(A)＝1536＝512.答案：5 127．解：(1)由频率分布表得0.05＋m＋0.15＋0.35＋n＝1，即m＋n＝0.45.由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n＝220＝0.1，所以m＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2.从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10种．记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．则A包含的基本事件有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4种．故所求概率为P(A)＝410＝0.4.8．解：(1)A＝{6i,7i,8i,9i}．(2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的事件为B.当a＝0时，b＝6,7,8,9满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝1时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝2时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9.即B为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个．所以所求概率P ＝1124.第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率p ＝418＝29. 2．解：由集合P ＝{x|x(x 2＋10x ＋24)＝0}可得P ＝{－6，－4,0}，由Q ＝{y|y ＝2n －1,1≤n≤2，n ∈N *}可得Q ＝{1,3}，则M ＝P ∪Q ＝{－6，－4,0,1,3}，因为点A 的坐标为(x′，y′)，且x′∈M ，y′∈M ，所以满足条件的点A 的所有情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6,0)，(－6,1)，(－6,3)，…，(3,3)，共25种．(1)点A 正好在第三象限的可能情况为(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4种，故点A 正好在第三象限的概率P 1＝425.(2)点A 在y 轴上的可能情况为(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5种，故点A 不在y 轴上的概率P 2＝1－525＝45.(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的可能情况为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)．共8种，故点A 落在区域x 2＋y 2≤10上的概率P 3＝825.3．解：(1)共有36个基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)，共36个．(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A ，即事件A 为“x ，y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且11≤x＋y ＜17，其中x ＜y”，由(1)可知事件A 共含有15个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共15个．“都是男记者”记作事件B ，则事件B 为“x＜y≤5”，包含：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个．故P(A)＋P(B)＝1536＋1036＝2536.。
课时跟踪检测(六十三) 古 典 概 型
课时跟踪检测(六十三) 古 典 概 型1．(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A.12 B.13 C.14D.252．(2013·江门模拟)在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.34B.310C.25D ．以上都不对3．(2013·惠州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( )A.112B.118C.136D.71084．已知某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件，n 件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．则第一天通过检查的概率为( )A.25B.35C.23D.675．(2013·肇庆模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.346．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115B.3515157．(2012·上海高考)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．8．(2012·重庆高考)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．9．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．10．箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式： (1)每次抽样后不放回；(2)每次抽样后放回．求取出的3个全是正品的概率． 11．(2013·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：(2) 在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1人，求这2人都支持1号歌手的概率．12．(2013·福州模拟)已知A ，B ，C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A ，B ，C 三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x ，y ，z )中的x ，y ，z 分别表示从A ，B ，C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．1．(2012·广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13992．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n 则直线y ＝mn x 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为________．3．某中学高三(1)班共有学生50名，其中男生30名、女生20名，采用分层抽样的方法选出5人参加一个座谈会．(1)求选出的男、女同学的人数；(2)座谈会结束后，决定选出2名同学作典型发言，方法是先从5人中选出1名同学发言，发言结束后再从剩下的同学中选出1名同学发言，求选出的2名同学中恰好有1名为女同学的概率．答 案 A 级1．A 2.B 3.A 4.B5．选C 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )＞0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8；a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.6．选B 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35.7．解析：三位同学每人选择三项中的两项有C 23C 23C 23＝3×3×3＝27(种)选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C 23C 13C 12＝3×3×2＝18(种)选法．故所求概率为P ＝1827＝23.答案：238．解析：基本事件是对这6门课排列，故基本事件的个数为A 66.“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”就是“任何两节文化课不能相邻”，利用“插空法”，可得其排列方法种数为A 33A 34.根据古典概型的概率计算公式可得事件“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”发生的概率为A 33A 34A 66＝15.答案：159．解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35.答案：3510．解：(1)法一：若把不放回抽样3次看做有顺序，则从a ＋b 个产品中不放回抽样3次共有A 3a ＋b 种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有A 3a 种方法，所以抽出3个正品的概率P ＝A 3a A 3a ＋b.法二：若不放回抽样3次看做无顺序，则从a ＋b 个产品中不放回抽样3次共有C 3a ＋b 种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有C 3a 种方法，所以取出3个正品的概率P ＝C 3a C 3a ＋b ＝A 3a A 3a ＋b.(2)从a ＋b 个产品中有放回地抽取3次，每次都有a ＋b 种方法，所以共有(a ＋b )3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a 3种，所以3个全是正品的概率P ＝a 3(a ＋b )3＝⎝⎛⎭⎫a a ＋b 3.11．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率p ＝418＝29.12．解：(1)数组(x ，y ，z )的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知，事件A 3包含有1个基本事件，事件A 4包含有3个基本事件，事件A 5包含有3个基本事件，事件A 6包含有1个基本事件，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18.故所摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大．故猜4或5获奖的可能性最大．B 级1．选D 由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有C 15C 14＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有C 15C 15＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C 15×1＝5个．于是，所求概率为545＝19. 2．解析：由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种．由直线与圆的位置关系得，d ＝|3m |m 2＋n 2＜1，即m n ＜24，共有13，14，15，16，26，5种，所以直线y ＝m n x 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为536.答案：5363．解：(1)男同学人数为30×550＝3，女同学人数为20×550＝2.即应抽取男同学3名，女同学2名．(2)先从5人中选1名同学发言，再从剩下的同学中选1名同学发言有A 15·A 14＝20种方法，其中恰有1名女同学的选法有A 13·A 12＋A 12·A 13＝12种．故所求的概率P ＝1220＝35.。
课时作业20：3.2.1 古典概型
3.2古典概型3.2.1古典概型基础过关1.下列是古典概型的是()A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止解析A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.答案 C2.甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为()A.13 B.23C.12 D.56解析甲，乙，丙三名学生随机站成一排，共有6种结果：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的结果有4个，故所求的概率为46＝23.答案 B3．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45 B.35 C.25 D.15解析选取两支彩笔的方法有10种，含有红色彩笔的选法为4种，由古典概型公式，满足题意的概率p＝410＝25.故选C.答案 C4.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是________.解析试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面的结果有3个，故所求的概率是3 8.答案3 85.在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________.解析用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1,2；2,1；2,4；4,2共4种，故所求的概率为416＝14.答案1 46.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解(1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1、2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5).因此，共有10个基本事件.(2)上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝3 10.故摸出2只球都是白球的概率为3 10.7.做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和等于7”.解 (1)这个试验的基本事件共有36个，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6).(4)”出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1).能力提升8.若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝9内的概率为( )A.536B.29C.16D.19解析 掷骰子共有6×6＝36(种)可能情况，而落在x 2＋y 2＝9内的情况有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种，故所求概率P ＝436＝19.答案 D9.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12解析 所有基本事件的个数为6×6＝36.由log 2x y ＝1得2x ＝y ，其中x ，y ∈{1,2,3,4,5,6}，所以⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝6.满足log 2x y ＝1，故事件“log2x y＝1”包含3个基本事件，所以所求的概率为P＝336＝112.答案 C10.三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________.解析由题意知本题是一个古典概型.∵试验包含的所有事件共有3个：BEE，EBE，EEB，而满足条件的只有一种，∴所求概率为1 3.答案1 311.一次掷两枚骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是________.解析基本事件共有36个.因为方程有实根，所以Δ＝(m＋n)2－16≥0.所以m＋n≥4，其对立事件是m＋n＜4，其中有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件.所以所求概率为1－336＝1112.答案11 1212.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应. 因为S中元素的个数是16.所以基本事件总数n＝16.记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C. 则事件B包含的基本事件数共6个.即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4).所以P(B)＝616＝38.事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).所以P(C)＝516.因为38＞516，所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率.创新突破13.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，将得到的点数分别记为a，b.(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率.(2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率. 解(1)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6＝36，因为直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，所以有5a2＋b2＝1，即a2＋b2＝25，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，所以满足条件的情况只有a＝3，b＝4或a＝4，b＝3两种情况，所以直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是236＝118.(2)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6＝36. 因为三角形的一边长为5，所以当a＝1时，b＝5，(1,5,5)，1种；当a＝2时，b＝5，(2,5,5)，1种；当a＝3时，b＝3,5，(3,3,5)，(3,5,5)，2种；当a＝4时，b＝4,5，(4,4,5)，(4,5,5)，2种；当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，(5,1,5)，(5,2,5)，(5,3,5)，(5,4,5)，(5,5,5)，(5,6,5)，6种；当a＝6时，b＝5,6，(6,5,5)，(6,6,5)，2种；故满足条件的不同情况共有14种，所以三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为1436＝718.。
人教版数学高一课时作业古典概型(一)
3.2.1 古典概型(一)一、选择题1．下列是古典概型的是( )A ．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C ．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D ．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止2．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( )A ．38B ．23C ．13D ．143．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．164．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A ．45B ．35C ．25D ．155．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是( )A ．45B ．35C ．25D ．156．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为( )A ．45B ．35C ．25D ．157．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．其中“摸出2个黑球”的基本事件有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．有五根细木棒，长度分别为1，3，5，7，9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )A ．320B ．25C ．15D ．310二、填空题9．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．10．在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．11．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12，则n 的值为________． 三、解答题12．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．求所取的2道题不是同一类题的概率．13．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格．(2)从得分在区间[20，30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；①求这2人得分之和大于50的概率．参考答案1．C 解析：A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A 不是；B 项中的基本事件是无限的，故B 不是；C 项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C 是；D 项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D 不是．2．A 解析：所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为38． 3．B 解析：基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率P ＝26＝13，故选B ． 4．D 解析：设“所取的数中b >a ”为事件A ，如果把选出的数a ，b 写成数对(a ，b )的形式，则基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共15个，事件A 包含的基本事件有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个，因此所求的概率P (A )＝315＝15． 5．D 解析：从五个数中任意取出两个不同的数，有10种，若取出的两数之和等于5，则有(1，4)，(2，3)，共有2种，所以取出的两数之和等于5的概率为210＝15． 6．C 解析：设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有：(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共6个．①其概率为615＝25． 7．A 解析：由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． 将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有基本事件构成集合Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中“摸出2个黑球”的基本事件有3个．8．D 解析：设“取出的三根木棒能搭成三角形”为事件A ，任取三根木棒按长度不同共有1.3.5，1.3.7，1.3.9，1.5.7，1.5.9，1.7.9，3.5.7，3.5.9，3.7.9，5.7.9共10种情况，由于三角形两边之和大于第三边，构成三角形的只有3.5.7，3.7.9，5.7.9共3种情况，故所求概率为P (A )＝310． 9．15解析：用A ，B ，C 表示三名男同学，用a ，b ，c 表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB ，AC ，Aa ，Ab ，Ac ，BC ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，ab ，ac ，bc ，故所求的概率为315＝15． 10．14解析：用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1，2；2，1；2，4；4，2共4种，故所求的概率为416＝14． 11．212．解：将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6．任取2道题，基本事件为{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个，所以P (B )＝815． 13．解：(1)4，6，6．(2)①得分在区间[20，30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 10}，{A 3，A 11}，{A 3，A 13}，{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 4，A 13}，{A 5，A 10}，{A 5，A 11}，{A 5，A 13}，{A 10，A 11}，{A 10，A 13}，{A 11，A 13}，共15种．①“从得分在区间[20，30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 5，A 10}，{A 10，A 11}，共5种．所以P (B )＝515＝13．。
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课时跟踪检测(六十二) 古 典 概 型1．(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A.12B.13C.14D.252．(2012·鸡西模拟)在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.34B.310C.25D ．以上都不对3．(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( )A.112 B.118 C.136D.71084．已知某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件，n 件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．则第一天通过检查的概率为( )A.25B.35C.23D.675．(2012·宁波模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.346．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115B.35C.815D.14157．(2012·上海高考)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．8．(2012·重庆高考)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．9．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．10．箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式： (1)每次抽样后不放回；(2)每次抽样后放回．求取出的3个全是正品的概率． 11．(2012·济南模拟)将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋b i.(1)若集合A ＝{z |z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的概率．12．(2012·福州模拟)已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x ，y ，z )中的x ，y ，z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．1．(2012·广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.192．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m 、n 则直线y ＝mn x 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为________．3．某中学高三(1)班共有学生50名，其中男生30名、女生20名，采用分层抽样的方法选出5人参加一个座谈会．(1)求选出的男、女同学的人数；(2)座谈会结束后，决定选出2名同学作典型发言，方法是先从5人中选出1名同学发言，发言结束后再从剩下的同学中选出1名同学发言，求选出的2名同学中恰好有1名为女同学的概率．[答 题 栏]答 案课时跟踪检测(六十二)A 级1．选A 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1，红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P ＝816＝12.2．选B 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为310.3．选A 基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1)，(1,2,3)，(3,2,1)，(2,2,2)，(1,3,5)，(5,3,1)，(2,3,4)，(4,3,2)，(3,3,3)，(2,4,6)，(6,4,2)，(3,4,5)，(5,4,3)，(4,4,4)，(4,5,6)，(6,5,4)，(5,5,5)，(6,6,6)共18个，所求事件的概率P ＝186×6×6＝112. 4．选B 因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有1件次品，所以第一天通过检查的概率P ＝C 49C 410＝35.5．选C 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )＞0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8；a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.6．选B 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 7．解析：三位同学每人选择三项中的两项有C 23C 23C 23＝3×3×3＝27(种)选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C 23C 13C 12＝3×3×2＝18(种)选法．故所求概率为P ＝1827＝23.答案：238．解析：基本事件是对这6门课排列，故基本事件的个数为A 66.“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”就是“任何两节文化课不能相邻”，利用“插空法”，可得其排列方法种数为A 33A 34.根据古典概型的概率计算公式可得事件“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”发生的概率为A 33A 34A 66＝15.答案：159．解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35.答案：3510．解：(1)法一：若把不放回抽样3次看做有顺序，则从a ＋b 个产品中不放回抽样3次共有A 3a ＋b 种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有A 3a 种方法，所以抽出3个正品的概率P ＝A 3aA 3a ＋b.法二：若不放回抽样3次看做无顺序，则从a ＋b 个产品中不放回抽样3次共有C 3a ＋b 种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有C 3a 种方法，所以取出3个正品的概率P ＝C 3a C 3a ＋b＝A 3aA 3a ＋b.(2)从a ＋b 个产品中有放回地抽取3次，每次都有a ＋b 种方法，所以共有(a ＋b )3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a 3种，所以3个全是正品的概率P ＝a 3(a ＋b )3＝⎝⎛⎭⎪⎫a a ＋b3.11．解：(1)A＝{6i,7i,8i,9i}．(2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的事件为B.当a＝0时，b＝6,7,8,9满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝1时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝2时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9.即B为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个．所以所求概率P＝1124.12．解：(1)数组(x，y，z)的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)记“所摸出的三个球号码之和为i”为事件A i(i＝3,4,5,6)，易知，事件A3包含有1个基本事件，事件A4包含有3个基本事件，事件A5包含有3个基本事件，事件A6包含有1个基本事件，所以，P(A3)＝18，P(A4)＝38，P(A5)＝38，P(A6)＝18.故所摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大．故猜4或5获奖的可能性最大．B级1．选D由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有C15C14＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有C15C15＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C15×1＝5个．于是，所求概率为545＝1 9.2．解析：由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．由直线与圆的位置关系得，d ＝|3m |m 2＋n 2＜1，即m n ＜24，共有13，14，15，16，26，5种，所以直线y ＝m n x 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为536.答案：5363．解：(1)男同学人数为30×550＝3，女同学人数为20×550＝2.即应抽取男同学3名，女同学2名．(2)先从5人中选1名同学发言，再从剩下的同学中选1名同学发言有A 15·A 14＝20种方法，其中恰有1名女同学的选法有A 13·A 12＋A 12·A 13＝12种． 故所求的概率P ＝1220＝35.。