2013高考理科数学(山东卷)纠错版
2013山东高考数学理科试题与答案1
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第I 卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为 (A) 2i + (B) 2i - (C)5i + (D)5i -2. 已知集合A ={0,1,2},则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)93.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21()f x x x=+,则(1)f -= (A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2 4.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为(A) 512π (B) 3π (C)4π (D)6π 5.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为(A)34π (B) 4π(C)0 (D) 4π- 6.在平面直角坐标系xoy 中,M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为(A )2 (B )1 (C )13-(D )12- 7.给定两个命题p ,q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件,则p 是q ⌝的(A )充分而不必要条件 (B ) 必要而不充分条件 (C )充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 8.函数cos sin y x x x =+的图象大致为9.过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为(A )230x y +-= (B )230x y --= (C )430x y --= (D )430x y +-= 10.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 (A )243 (B ) 252 (C ) 261 (D )27911.已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M 。
2013年高考理科数学山东卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013山东,理1)复数z 满足(z -3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为( ).A .2+iB .2-IC .5+iD .5-i2.(2013山东,理2)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( ).A .1B .3C .5D .9 3.(2013山东,理3)已知函数f (x )为奇函数,且当x >0时,f (x )=21x x+,则f (-1)=( ). A .-2 B .0 C .1 D .24.(2013山东,理4)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ).A .5π12B .π3C .π4D .π65.(2013山东,理5)将函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( ).A .3π4B .π4C .0D .π4-6.(2013山东,理6)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组220,210,380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( ).A .2B .1C .13-D .12-7.(2013山东,理7)给定两个命题p ,q ,若⌝p 是q 的必要而不充分条件,则p 是⌝q 的( ).A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件8.(2013山东,理8)函数y =x cos x +sin x 的图象大致为( ).9.(2013山东,理9)过点(3,1)作圆(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为( ).A .2x +y -3=0B .2x -y -3=0C .4x -y -3=0D .4x +y -3=010.(2013山东,理10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ).A .243B .252C .261D .27911.(2013山东,理11)抛物线C 1:y =212x p(p >0)的焦点与双曲线C 2:2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p =( ).A. B. C. D.12.(2013山东,理12)设正实数x ,y ,z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0,则当xyz取得最大值时,212x y z +-的最大值为( ).A .0B .1C .94 D .3第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.(2013山东,理13)执行右面的程序框图,若输入的ε的值为0.25,则输出的n 的值为__________.14.(2013山东,理14)在区间[-3,3]上随机取一个数x ,使得|x +1|-|x -2|≥1成立的概率为__________.15.(2013山东,理15)已知向量AB 与AC 的夹角为120°,且|AB|=3,|AC |=2,若AP =λAB +AC ,且AP ⊥BC,则实数λ的值为__________.16.(2013山东,理16)定义“正对数”:ln +x =0,01,ln ,1,x x x <<⎧⎨≥⎩现有四个命题:①若a >0,b >0,则ln +(a b )=b ln +a ;②若a >0,b >0,则ln +(ab )=ln +a +ln +b ; ③若a >0,b >0,则ln +a b ⎛⎫⎪⎝⎭≥ln +a -ln +b ; ④若a >0,b >0,则ln +(a +b )≤ln +a +ln +b +ln 2. 其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号)三、解答题:本大题共6小题,共74分.17.(2013山东,理17)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a +c =6,b =2,cos B =79. (1)求a ,c 的值;(2)求sin(A -B )的值.18.(2013山东,理18)(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:AB∥GH;(2)求二面角D-GH-E的余弦值.19.(2013山东,理19)(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望.20.(2013山东,理20)(本小题满分12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=4S2,a2n=2a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{b n}的前n项和为T n,且12nn naTλ++=(λ为常数).令c n=b2n(n∈N*).求数列{c n}的前n项和R n.21.(2013山东,理21)(本小题满分13分)设函数f (x )=2e xx+c (e =2.718 28…是自然对数的底数,c ∈R ).(1)求f (x )的单调区间、最大值;(2)讨论关于x 的方程|ln x |=f (x )根的个数.22.(2013山东,理22)(本小题满分13分)椭圆C :2222=1x y a b+(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,离,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0),求m 的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2.若k ≠0,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(山东卷) 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 答案:D解析:由题意得z -3=52i-=2+i ,所以z =5+i.故z =5-i ,应选D. 2. 答案:C解析:当x ,y 取相同的数时,x -y =0;当x =0,y =1时,x -y =-1;当x =0,y =2时,x -y =-2;当x =1,y =0时,x -y =1;当x =2,y =0时,x -y =2;其他则重复.故集合B 中有0,-1,-2,1,2,共5个元素,应选C. 3. 答案:A解析:因为f (x )是奇函数,故f (-1)=-f (1)=2111⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-2,应选A. 4. 答案:B解析:如图所示,由棱柱体积为94.设P 在平面ABC上射影为O ,则可求得AO 长为1,故AP 2=故∠PAO =π3,即PA 与平面ABC 所成的角为π3. 5. 答案:B解析:函数y =sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数πsin 28y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=πsin 24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象,又πsin 24y x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=为偶函数,故πππ42k ϕ+=+,k ∈Z ,∴ππ4k ϕ=+,k ∈Z .若k =0,则π4ϕ=.故选B. 6. 答案:C解析:不等式组表示的区域如图阴影部分所示,结合斜率变化规律,当M 位于C 点时OM 斜率最小,且为13-,故选C.7. 答案:A解析:由题意:q ⇒⌝p ,⌝pq ,根据命题四种形式之间的关系,互为逆否的两个命题同真同假,所以等价于所以p 是⌝q 的充分而不必要条件.故选A. 8. 答案:D解析:因f (-x )=-x ·cos(-x )+sin(-x )=-(x cos x +sin x )=-f (x ),故该函数为奇函数,排除B ,又x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭,y >0,排除C ,而x =π时,y =-π,排除A ,故选D. 9. 答案:A解析:该切线方程为y =k (x -3)+1,即kx -y -3k +1=0=1,得k =0或43,切线方程分别与圆方程联立,求得切点坐标分别为(1,1),93,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,故所求直线的方程为2x +y -3=0.故选A.10. 答案:B解析:构成所有的三位数的个数为11191010C C C =900,而无重复数字的三位数的个数为111998C C C =648,故所求个数为900-648=252,应选B. 11. 答案:D解析:设M 2001,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,21''2x y x p p ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故在M点处的切线的斜率为03x p =,故M 1,6p p ⎫⎪⎪⎝⎭.由题意又可知抛物线的焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭,双曲线右焦点为(2,0),且1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(2,0)三点共线,可求得pD.12. 答案:B解析:由x 2-3xy +4y 2-z =0得2234x xy y z-+,即xy z≤1,当且仅当x 2=4y 2时成立,又x ,y 为正实数,故x =2y .此时将x =2y 代入x 2-3xy +4y 2-z =0得z =2y 2,所以222121211+1x y z y y y ⎛⎫+-=-+=-- ⎪⎝⎭,当1=1y ,即y =1时,212x y z+-取得最大值为1,故选B. 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.答案:3解析:第1次运行将F 0+F 1赋值给F 1,即将3赋值给F 1,然后将F 1-F 0赋值给F 0,即将3-1=2赋值给F 0,n 增加1变成2,此时1113F =比ε大,故循环,新F 1为2+3=5,新F 0为5-2=3,n 增加1变成3,此时1115F =≤ε,故退出循环,输出n =3. 14.答案:13解析:设y =|x +1|-|x -2|=3,2,21,12,3,1,x x x x ≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩利用函数图象(图略)可知|x +1|-|x -2|≥1的解集为[1,+∞).而在[-3,3]上满足不等式的x 的取值范围为[1,3],故所求概率为311333-=-(-).15.答案:712解析:∵AP =λAB +AC ,AP ⊥BC ,又BC =AC -AB ,∴(AC -AB )·(AC +λAB)=0.∴AC 2+λAB ·AC -AB ·AC -λAB 2=0,即4+(λ-1)×3×2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭-9λ=0,即7-12λ=0,∴λ=712.16.答案:①③④三、解答题:本大题共6小题,共74分.17.解:(1)由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b 2=(a +c )2-2ac (1+cos B ), 又b =2,a +c =6,cos B =79, 所以ac =9,解得a =3,c =3. (2)在△ABC 中,sin B9=. 由正弦定理得sin A=sin 3a Bb =因为a =c ,所以A 为锐角. 所以cos A13=. 因此sin(A -B )=sin A cos B -cos A sin B=27. 18.(1)证明:因为D ,C ,E ,F 分别是AQ ,BQ ,AP ,BP 的中点, 所以EF ∥AB ,DC ∥AB .所以EF ∥DC .又EF 平面PCD ,DC ⊂平面PCD , 所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ,平面EFQ ∩平面PCD =GH , 所以EF ∥GH .又EF ∥AB ,所以AB ∥GH .(2)解法一:在△ABQ 中,AQ =2BD ,AD =DQ , 所以∠ABQ =90°,即AB ⊥BQ .因为PB ⊥平面ABQ , 所以AB ⊥PB.又BP ∩BQ =B , 所以AB ⊥平面PBQ .由(1)知AB ∥GH ,所以GH ⊥平面PBQ . 又FH ⊂平面PBQ ,所以GH ⊥FH . 同理可得GH ⊥HC ,所以∠FHC 为二面角D -GH -E 的平面角. 设BA =BQ =BP =2,连接FC ,在Rt △FBC 中,由勾股定理得FC在Rt △PBC 中,由勾股定理得PC又H 为△PBQ 的重心,所以HC=13PC =同理FH.在△FHC 中,由余弦定理得cos ∠FHC =5524995529+-=-⨯.故二面角D -GH -E 的余弦值为45-.解法二:在△ABQ 中,AQ =2BD ,AD =DQ , 所以∠ABQ =90°.又PB ⊥平面ABQ ,所以BA ,BQ ,BP 两两垂直.以B 为坐标原点,分别以BA ,BQ ,BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设BA =BQ =BP =2,则E (1,0,1),F (0,0,1),Q (0,2,0),D (1,1,0),C (0,1,0),P (0,0,2).所以EQ =(-1,2,-1),FQ=(0,2,-1),DP=(-1,-1,2),CP =(0,-1,2).设平面EFQ 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),由m ·EQ =0,m ·FQ=0,得1111120,20,x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取y 1=1,得m =(0,1,2).设平面PDC 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2),由n ·DP=0,n ·CP =0, 得2222220,20,x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取z 2=1,得n =(0,2,1). 所以cos 〈m ,n 〉=4||||5=·m n m n .因为二面角D -GH -E 为钝角, 所以二面角D -GH -E 的余弦值为45-. 19.解:(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1,“甲队以3∶1胜利”为事件A 2,“甲队以3∶2胜利”为事件A 3,由题意,各局比赛结果相互独立,故P (A 1)=328327⎛⎫= ⎪⎝⎭,P (A 2)=2232228C 133327⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭, P (A 3)=22242214C 133227⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827,以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4, 由题意,各局比赛结果相互独立,所以P (A 4)=22242214C 1133227⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3, 根据事件的互斥性得P (X =0)=P (A 1+A 2)=P (A 1)+P (A 2)=1627, 又P (X =1)=P (A 3)=427, P (X =2)=P (A 4)=427, P (X =3)=1-P (X =0)-P (X =1)-P (X =2)=327. 故X 的分布列为所以EX =0×1627+1×427+2×27+3×27=9.20.解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d , 由S 4=4S 2,a 2n =2a n +1得11114684,21221 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+(-)=+(-)+⎩ 解得a 1=1,d =2.因此a n =2n -1,n ∈N *. (2)由题意知,T n =12n nλ--, 所以n ≥2时,b n =T n -T n -1=12112222n n n n n n ------+=. 故c n =b 2n =21222n n --=11(1)4n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭,n ∈N *.所以R n =0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭0+1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1+2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2+3×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3+…+(n -1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n -1,则14R n =0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1+1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2+2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3+…+(n -2)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n -1+(n -1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n , 两式相减得34R n =14⎛⎫ ⎪⎝⎭1+14⎛⎫ ⎪⎝⎭2+14⎛⎫ ⎪⎝⎭3+…+14⎛⎫ ⎪⎝⎭n -1-(n -1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n =11144(1)1414nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭--⨯ ⎪⎝⎭-=1131334nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭, 整理得R n =1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以数列{c n }的前n 项和R n =1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭.21.解:(1)f ′(x )=(1-2x )e -2x, 由f ′(x )=0,解得x =12. 当x <12时,f ′(x )>0,f (x )单调递增; 当x >12时,f ′(x )<0,f (x )单调递减.所以,函数f (x )的单调递增区间是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,单调递减区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,最大值为111e 22f c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)令g (x )=|ln x |-f (x )=|ln x |-x e -2x-c ,x ∈(0,+∞).①当x ∈(1,+∞)时,ln x >0,则g (x )=ln x -x e -2x-c , 所以g ′(x )=22e e21x xx x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 因为2x -1>0,2e xx>0,所以g ′(x )>0.因此g (x )在(1,+∞)上单调递增.②当x ∈(0,1)时,ln x <0,则g (x )=-ln x -x e -2x-c . 所以g ′(x )=22e e21x xx x -⎛⎫-+- ⎪⎝⎭. 因为e 2x∈(1,e 2),e 2x>1>x >0,所以2e xx -<-1.又2x -1<1,所以2e xx-+2x -1<0,即g ′(x )<0.因此g (x )在(0,1)上单调递减.综合①②可知,当x ∈(0,+∞)时,g (x )≥g (1)=-e -2-c .当g (1)=-e -2-c >0,即c <-e -2时,g (x )没有零点, 故关于x 的方程|ln x |=f (x )根的个数为0;当g (1)=-e -2-c =0,即c =-e -2时,g (x )只有一个零点, 故关于x 的方程|ln x |=f (x )根的个数为1;当g (1)=-e -2-c <0,即c >-e -2时, 当x ∈(1,+∞)时,由(1)知g (x )=ln x -x e -2x -c ≥11ln e 2x c -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭>ln x -1-c ,要使g (x )>0,只需使ln x -1-c >0,即x ∈(e 1+c,+∞);当x ∈(0,1)时,由(1)知g (x )=-ln x -x e -2x -c ≥11ln e 2x c -⎛⎫--+ ⎪⎝⎭>-ln x -1-c ,要使g (x )>0,只需-ln x -1-c >0,即x ∈(0,e -1-c);所以c >-e -2时,g (x )有两个零点,故关于x 的方程|ln x |=f (x )根的个数为2. 综上所述,当c <-e -2时,关于x 的方程|ln x |=f (x )根的个数为0;当c =-e -2时,关于x 的方程|ln x |=f (x )根的个数为1;当c >-e -2时,关于x 的方程|ln x |=f (x )根的个数为2. 22.(1)解:由于c 2=a 2-b 2,将x =-c 代入椭圆方程2222=1x y a b+,得2b y a =±,由题意知22=1b a ,即a =2b 2.又2c e a ==,所以a =2,b =1.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)解法一:设P (x 0,y 0)(y 0≠0). 又F 1(0),F 2,0), 所以直线PF 1,PF 2的方程分别为lPF 1:y 0x -(x 0y0=0, lPF 2:y 0x -(x 0y0=0..由于点P 在椭圆上,所以220014x y +=,=.因为m2<x 0<2,=. 所以m =034x .因此3322m -<<.解法二:设P (x 0,y 0).当0≤x 0<2时,①当0x =时,直线PF 2的斜率不存在,易知P 12⎫⎪⎭或P 12⎫-⎪⎭.若P 12⎫⎪⎭,则直线PF 1的方程为0x -=.m =,因为m所以m =. 若P 12⎫-⎪⎭,同理可得m =.②当x 0时,设直线PF 1,PF 2的方程分别为y =k 1(x,y =k 2(x).=,2122111k k +=+.因为220014x y +=, 并且k 1k 2==,=.因为为m,0≤x 0<2且x 0=.整理得m =34x , 故0≤m <32且m≠4综合①②可得0≤m <32.当-2<x 0<0时,同理可得32-<m <0. 综上所述,m 的取值范围是33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)设P (x 0,y 0)(y 0≠0),则直线l 的方程为y -y 0=k (x -x 0).联立22001,4x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=(-)⎩整理得(1+4k 2)x 2+8(ky 0-k 2x 0)x +4(20y -2kx 0y 0+220k x -1)=0. 由题意Δ=0,即220(4)x k -+2x 0y 0k +1-20y =0.又220014x y +=, 所以22016y k +8x 0y 0k +20x =0,故k =004xy -.由(2)知12000211x k k y +=+=, 所以121211111kk kk k k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ =000042=8y xx y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭, 因此1211kk kk +为定值,这个定值为-8.。
2013年山东高考理科数学试题及答案解析 (word版)
2013年山东高考数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( D )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i(2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C )A. 1B. 3C. 5D.9(6)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组:2x y 20x 2y 103x y 80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩,所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为 C(7)给定两个命题p 、q ,若﹁p 是q 的必要而不充分条件,则p 是﹁q 的B(A )充分而不必条件 (B )必要而不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件(8)函数y=xcosx + sinx 的图象大致为 D(A ) (B )(C) (D)(9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为 A(A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0(10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 B (A)243 (B)252 (C)261 (D)279于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p= D二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分(13)执行右面的程序框图,若输入的ε的值为0.25,则输入的n 的值为 3(15)已知向量AB 与AC 的夹角为120,且||3,||2,AB AC == 若 ,AP AB AC λ=+ 且AP BC ⊥ ,则实数λ的值为 712(16)定义“正对数”:0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩,现有四个命题:①若0,0a b >>,则ln ()ln b a b a ++= ②若0,0a b >>,则ln ()ln ln ab a b +++=+③若0,0a b >>,则ln ()ln ln a a b b+++≥-④若0,0a b >>,则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++其中的真命题有: ①③④ (写出所有真命题的编号)三、解答题:本大题共6小题,共74分.(18)(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥P-ABQ 中,PB ⊥平面ABQ ,BA=BP=BQ ,D ,C ,E ,F 分别是AQ ,BQ ,AP ,BP 的中点,AQ=2BD ,PD 与EQ 交于点G ,PC 与FQ 交于点H ,连接GH 。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题 (理科) word解析版
2013年山东高考数学理试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为( ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i 【答案】D【解析】由(z-3)(2-i)=5,得55(2)5(2)3332352(2)(2)5i i z i i i i i ++=+=+=+=++=+--+,所以5z i =-,选D.(2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--,即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素,选C.(3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2+1x,则f(-1)= ( ) (A )-2 (B )0 (C )1 (D )2 【答案】A【解析】因为函数为奇函数,所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-,选A.(4)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为 3的正三角形,若P为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )(A )512π (B )3π (C ) 4π (D ) 6π 【答案】B【解析】取正三角形ABC 的中心,连结OP ,则PAO ∠是PA 与平面ABC 所成的角。
因为底面边长为3,所以33322AD =⨯=,2231332AO AD ==⨯=.三棱柱的体积为21139(3)224AA ⨯⨯=,解得13AA =,即13OP AA ==,所以tan 3OPPAO OA ∠==,即3PAO π∠=,选B.(5)将函数y=sin (2x +ϕ)的图像沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图像,则ϕ的一个可能取值为(A )34π (B ) 4π (C )0 (D ) 4π- 【答案】B【解析】将函数y=sin (2x +ϕ)的图像沿x 轴向左平移8π个单位,得到函数sin[2()]sin(2)84y x xππϕϕ=++=++,因为此时函数为偶函数,所以,42k k Zππϕπ+=+∈,即,4k k Zπϕπ=+∈,所以选B.(6)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组:2x y20x2y103x y80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩,所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为(A)2 (B)1 (C)13-(D)12-【答案】 C【解析】作出可行域如图,由图象可知当M位于点D处时,OM的斜率最小。
2013山东高考理科数学真题和答案
2013年山东高考理科数学第Ⅰ卷 (共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、复数z 满足i i z (5)2)(3(=--为虚数单位),则z 的共轭复数-z 为( ) (A )2+i (B )2-i (C )5+i (D )5-i2、已知集合}2,1,0{=A ,则集合},|{A y A x y x B ∈∈-=中元素的个数是( ) (A )1 (B )3 (C )5 (D )93、已知函数)(x f 为奇函数,且当0>x 时,xx x f 1)(2+=,则)1(-f =( ) (A )-2 (B )0 (C )1 (D )2 4、已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直,体积为49,底面是边长为3的正三角形,若P 为底面111C B A 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) (A )125π (B )3π (C )4π (D )6π 5、若函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像沿x 轴向左平移8π个单位,得到一个偶函数的图像,则ϕ的一个可能取值为( ) (A )43π (B )4π (C )0 (D )4π- 6、在平面直角坐标系x O y 中,M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩,所表示的区域上一动点,则直线O M 斜率的最小值为()2A ()1B ()13C -()12D -7、给定两个命题,、q p 若p ⌝是q 的必要而不充分条件,则p 是q ⌝的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 8、函数x x x y sin cos +=的图象大致为xyπOxyπOxyπOxyy = f (x )πO(A) (B) (C)(D)9、过点(3,1)作圆1)1(22=+-y x 作圆的两条切线切点为A ,B ,则直线AB 的方程(A )032=-+y x (B )032=--y x (C )034=--y x (D )034=-+y x10、用0,1, ,9十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为 (A )243 (B )252 (C )261 (D )27911、抛物线)0(21:21>=p x p y C 的焦点与双曲线13:222=-y x C 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则=p63 (B )83 (C )332 (D )33412、设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当z xy 取最大值时,z y x 212-+的最大值为(A )0 (B )1 (C )49(D )3二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分13、执行右面的程序框图,若输入的ε值为0.25,则输出的n 的值为______________14、在区间[]3,3-上随机取一个数x ,使得121x x +--≥成立的概率为______________. 否是开始输入ε(ε>0)F 0=1,F 1=2,n=1F 1=F 0+F 1F 0=F 1-F 0n=n+11F 1≤ε输出n结束15、已知向量−→−AB 与−→−AC 的夹角1200,且|−→−AB |=3,|−→−AC |=2,若−→−−→−−→−+=AC AB AP λ,且−→−−→−⊥BC AP ,则实数λ的值为____________.16、 定义“正对数”: 0,01ln ,ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题:①若0,0,a b >>()l n l n ;b a b a ++=②若0,0,a b >>()l n l n l n ;a b a b +++=+ ③若0,0,a b >>l n l n l n ;a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭④若0,0,a b >>()l n l n l n +l n 2;a b a b ++++≤+ 其中真命题有____________.(写出所有真命题的编号)三、解答题:本大题共6小题,共74分。
2013年高考山东卷试题及答案解析(理科数学)
2013年山东卷高考理数真题(解析版)理 科 数 学注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所胡题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
5.考试结束后,将试题卷与答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为( ) A. 2+I B.2-I C. 5+I D.5-i【答案】D【解析】由(z-3)(2-i)=5,得55(2)5(2)3332352(2)(2)5i i z i i i i i ++=+=+=+=++=+--+,所以5z i =-,选D.2.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A. 1B. 3C. 5D.9【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--,即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素,选C.3.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2+1x,则f(-1)= ( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】因为函数为奇函数,所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-,选A.4.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为 3的正三角形,若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( ) A. 512πB.3πC. 4πD. 6π【答案】B【解析】取正三角形ABC 的中心,连结OP ,则PAO ∠是PA 与平面ABC 所成的角。
2013年高考真题——理科数学(山东卷)Word版无答案
绝密★启用并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页,满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。
注意事项:1. 答题前,考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)*P(B)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i(2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A, y∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9(3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x) =x2+ ,则f(-1)= ( )(A)-2(B)0 (C)1(D)2(4)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为的正三棱柱,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )(A)(B)(C)(D)理科数学试题第1页共4页(5)将函数y=sin(2x +φ)的图像沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为(A)(B)(C)0 (D)(6)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组:2x-y-2≥0,x+2y-1≥0,3x+y-8≤0,所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为(A)2 (B)1 (C)(D)(7)给定两个命题p,q。
2013山东高考数学试卷及答案详解(理科)WORD版
n
n
4
2
2n
n
(Ⅰ)求数列{a}的通项公式;
n
a1
n
(为常数)。令c2b,(nN*),求
(Ⅱ)设数列{b}的前n项和为T,且T
n
n
2n
n
n
2n
数列{c}的前n项和R。
n
n
21、(本小题满分13分)
x
c
…
(e2.71828是自然对数的底数,cR)
设函数f(x)
e2x
(Ⅰ)求f(x)的单调区间、最大值;
1
2
1
2
的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点。
1
1
0
kkkk
设直线PF,PF的斜率分别为k,k,若k
1
,试证明
为定值,并求出这个定
1
2
2
1
2
值.
理科数学试题参考答案
一、选择题
DCABB
CADABDB
二、填空题
1
7
3
1
1
a(2n1)d2a2(n1)d1.
1
1
1,d2.
解得a
1
2n1,nN*
因此a
.
n
n
(Ⅱ)由题意知:T
,
2n1
n
nn1n2
2
时,bTT
所以n
n
n
n1
2n1
2n2
2n1
2n2
1
b
2n
(n1)(),nN*
故c
,
2013年高考理科数学试题(山东卷)—含答案
☆绝密级 试卷类型A2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理 科 数 学 试 题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共6页,满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。
【注意事项】:1. 答题前,考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.【参考公式】如果事件A ,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A ,B 独立,那么P(AB)=P(A)*P(B)第I 卷 选择题(共60分)一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若复数z 满足(z -3)(2-i )=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为( )A .2+iB .2-iC .5+iD .5-i 2.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A .1 B .3 C .5 D .93.已知函数f (x )为函数设且x >0时, f (x )= x 2+x1,则f(-1)=( )A .-2B .0C .1D .24.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为49,底面是边长为3的正三角形,若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )A .125π.B .3πC .4πD .6π5.将函数y=sin(2x +Φ)的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则Φ的一个可能取值为( )A .43πB .4πC ..0D .-4π得分 评卷人学校 班级 姓名 准考证号6.面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩,所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( )A .2B .1C .31- D .21-7.给定两个命题p,q.若﹃p 是q 的必要而不充分条件,则p 是﹃q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.函数y=xcosx+sinx 的图象大致为( )9.过点(3,1)作圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为( )A .032=-+y xB .032=--y xC .034=--y xD .034=-+y x10.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A .243B .252C .261D .27911.抛物线C 1:221x py =(p >0)的焦点与双曲线C 2:1322=-y x 的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M 。
2013年山东省高考理科数学试卷及参考答案与试题解析
2013年山东省高考理科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)复数z 满足(z -3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为( ) A.2+i B.2-i C.5+i D.5-i2.(5分)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y|x ∈A,y ∈A}中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.93.(5分)已知函数f(x)为奇函数,且当x >0时,,则f(-1)=( )A.-2B.0C.1D.24.(5分)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面A 1B 1C 1所成角的大小为( )A.B.C.D.5.(5分)函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( )A.B.C.0D.6.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( )A.2B.1C.D.7.(5分)给定两个命题p,q.若¬p 是q 的必要而不充分条件,则p 是¬q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.(5分)函数y =xcosx +sinx 的图象大致为( )A. B. C. D.9.(5分)过点(3,1)作圆(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 的方程为( )A.2x +y -3=0B.2x -y -3=0C.4x -y -3=0D.4x +y -3=010.(5分)用0,1,2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.27911.(5分)抛物线C 1:的焦点与双曲线C 2:的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )A. B. C. D.12.(5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,的最大值为( )A.0B.1C.D.3二、填空题13.(4分)执行右面的程序框图,若输入的ɛ值为0.25,则输出的n值为.14.(4分)在区间[-3,3]上随机取一个数x使得|x+1|-|x-2|≥1的概率为.15.(4分)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为.16.(4分)定义“正对数”:ln+x=,现有四个命题:①若a>0,b>0,则ln+(a b)=bln+a;②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;③若a>0,b>0,则;④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.其中的真命题有(写出所有真命题的序号)三、解答题17.(12分)设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.18.(12分)如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:AB∥GH;(2)求二面角D-GH-E的余弦值.19.(12分)甲乙两支排球队进行比赛,先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率;(2)若比赛结果3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分,对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望.20.(12分)设等差数列{an }的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn }的前n项和为Tn且(λ为常数).令cn=b2n(n∈N*)求数列{cn}的前n项和Rn.21.(13分)设函数.(1)求f(x)的单调区间及最大值;(2)讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.22.(13分)椭圆C:的左右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明为定值,并求出这个定值.2013年山东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i【分析】利用复数的运算法则求得z,即可求得z的共轭复数.【解答】解:∵(z-3)(2-i)=5,∴z-3==2+i∴z=5+i,∴=5-i.故选:D.【点评】本题考查复数的基本概念与基本运算,求得复数z是关键,属于基础题.2.(5分)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )A.1B.3C.5D.9【分析】依题意,可求得集合B={-2,-1,0,1,2},从而可得答案.【解答】解:∵A={0,1,2},B={x-y|x∈A,y∈A},∴当x=0,y分别取0,1,2时,x-y的值分别为0,-1,-2;当x=1,y分别取0,1,2时,x-y的值分别为1,0,-1;当x=2,y分别取0,1,2时,x-y的值分别为2,1,0;∴B={-2,-1,0,1,2},∴集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是5个.故选:C.【点评】本题考查集合中元素个数的最值,理解题意是关键,考查分析运算能力,属于中档题.3.(5分)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,,则f(-1)=( )A.-2B.0C.1D.2【分析】利用奇函数的性质,f(-1)=-f(1),即可求得答案.【解答】解:∵函数f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=x2+,∴f(-1)=-f(1)=-2,故选:A.【点评】本题考查奇函数的性质,考查函数的求值,属于基础题.4.(5分)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面A1B1C1所成角的大小为( )A. B. C. D.【分析】利用三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知,∠APA1为PA与平面A 1B1C1所成角,即为∠APA1为PA与平面ABC所成角.利用三棱锥的体积计算公式可得AA1,再利用正三角形的性质可得A1P,在Rt△AA1P中,利用tan∠APA1=即可得出.【解答】解:如图所示,∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面ABC所成角.∵==.∴V三棱柱ABC-A1B1C1==,解得.又P为底面正三角形A1B1C1的中心,∴==1,在Rt△AA1P中,,∴.故选:B.【点评】熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键.5.(5分)函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( )A. B. C.0 D.【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式,利用其为偶函数即可求得答案.【解答】解:令y=f(x)=sin(2x+φ),则f(x+)=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ),∵f(x+)为偶函数,∴+φ=kπ+,∴φ=kπ+,k∈Z,∴当k=0时,φ=.故φ的一个可能的值为.故选:B.【点评】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查三角函数的奇偶性,属于中档题.6.(5分)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( )A.2B.1C.D.【分析】本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值,而是求可行域内的点与原点(0,0)构成的直线的斜率的最小值即可.【解答】解:不等式组表示的区域如图,当M取得点A(3,-1)时,z直线OM斜率取得最小,最小值为k==-.故选:C.【点评】本题利用直线斜率的几何意义,求可行域中的点与原点的斜率.本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.7.(5分)给定两个命题p,q.若¬p是q的必要而不充分条件,则p是¬q的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据互为逆否命题真假性相同,可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件,进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案.【解答】解:∵¬p是q的必要而不充分条件,∴q是¬p的充分不必要条件,即q⇒¬p,但¬p不能⇒q,其逆否命题为p⇒¬q,但¬q不能⇒p,则p是¬q的充分不必要条件.故选:A.【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断,其中将已知利用互为逆否命题真假性相同,转化为q是¬p的充分不必要条件,是解答的关键.8.(5分)函数y=xcosx+sinx的图象大致为( )A. B. C. D.【分析】给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称,由此排除B,然后利用区特值排除A和C,则答案可求.【解答】解:因为函数y=xcosx+sinx为奇函数,所以排除选项B,由当x=时,,当x=π时,y=π×cosπ+sinπ=-π<0.由此可排除选项A和选项C.故正确的选项为D.故选:D.【点评】本题考查了函数的图象,考查了函数的性质,考查了函数的值,是基础题.9.(5分)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0【分析】由题意判断出切点(1,1)代入选项排除B、D,推出令一个切点判断切线斜率,得到选项即可.【解答】解:因为过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,所以圆的一条切线方程为y=1,切点之一为(1,1),显然B、D选项不过(1,1),B、D不满足题意;另一个切点的坐标在(1,-1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项C不满足,A满足.故选:A.【点评】本题考查直线与圆的位置关系,圆的切线方程求法,可以直接解答,本题的解答是间接法,值得同学学习.10.(5分)用0,1,2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.279【分析】求出所有三位数的个数,减去没有重复数字的三位数个数即可. 【解答】解:用0,1,2,…,9十个数字,所有三位数个数为:900,其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位,十位数从余下的9个数字中选一个,个位数再从余下的8个中选一个,所以共有:9×9×8=648, 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为:900-648=252. 故选:B.【点评】本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,利用间接法求解是解题的关键,考查计算能力.11.(5分)抛物线C 1:的焦点与双曲线C 2:的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p =( )A.B.C.D.【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程,求出函数在x 取直线与抛物线交点M 的横坐标时的导数值,由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p 的关系,把M 点的坐标代入直线方程即可求得p 的值. 【解答】解:由,得x 2=2py(p >0), 所以抛物线的焦点坐标为F().由,得,.所以双曲线的右焦点为(2,0).则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为,即①.设该直线交抛物线于M(),则C 1在点M 处的切线的斜率为.由题意可知,得,代入M 点得M()把M 点代入①得:.解得p =.故选:D.【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数,是中档题.12.(5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,的最大值为( )A.0B.1C.D.3【分析】依题意,当取得最大值时x=2y,代入所求关系式f(y)=+-,利用配方法即可求得其最大值.【解答】解:∵x2-3xy+4y2-z=0,∴z=x2-3xy+4y2,又x,y,z均为正实数,∴==≤=1(当且仅当x=2y时取“=”),∴=1,此时,x=2y.∴z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3×2y×y+4y2=2y2,∴+-=+-=-+1≤1,当且仅当y=1时取得“=”,满足题意.∴的最大值为1.故选:B.【点评】本题考查基本不等式,由取得最大值时得到x=2y是关键,考查配方法求最值,属于中档题.二、填空题13.(4分)执行右面的程序框图,若输入的ɛ值为0.25,则输出的n值为 3 .【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算并输出n的值.【解答】解:循环前,F0=1,F1=2,n=1,第一次循环,F0=1,F1=3,n=2,第二次循环,F0=2,F1=4,n=3,此时,满足条件,退出循环,输出n=3,故答案为:3.【点评】本题主要考查了直到循环结构,根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,属于基础题.14.(4分)在区间[-3,3]上随机取一个数x使得|x+1|-|x-2|≥1的概率为.【分析】本题利用几何概型求概率.先解绝对值不等式,再利用解得的区间长度与区间[-3,3]的长度求比值即得.【解答】解:利用几何概型,其测度为线段的长度.由不等式|x+1|-|x-2|≥1 可得①,或②,③.解①可得x∈∅,解②可得1≤x<2,解③可得 x≥2.故原不等式的解集为{x|x≥1},∴|在区间[-3,3]上随机取一个数x使得|x+1|-|x-2|≥1的概率为P==.故答案为:【点评】本题主要考查了几何概型,简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.15.(4分)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为.【分析】利用,,表示向量,通过数量积为0,求出λ的值即可.【解答】解:由题意可知:,因为,所以,所以===-12λ+7=0解得λ=.故答案为:.【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直,考查转化数学与计算能力.16.(4分)定义“正对数”:ln+x=,现有四个命题:①若a>0,b>0,则ln+(a b)=bln+a;②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;③若a>0,b>0,则;④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.其中的真命题有①③④(写出所有真命题的序号)【分析】由题意,根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断,由于在不同的定义域中函数的解析式不一样,故需要对a,b分类讨论,判断出每个命题的真假.【解答】解:(1)对于①,由定义,当a≥1时,a b≥1,故ln+(a b)=ln(a b)=blna,又bln+a=blna,故有ln+(a b)=bln+a;当a<1时,a b<1,故ln+(a b)=0,又a<1时bln+a=0,所以此时亦有ln+(a b)=bln+a,故①正确;(2)对于②,此命题不成立,可令a=2,b=,则ab=,由定义ln+(ab)=0,ln+a+ln+b=ln2,所以ln+(ab)≠ln+a+ln+b,故②错误;(3)对于③,i.≥1时,此时≥0,当a≥b≥1时,ln+a-ln+b=lna-lnb=,此时则,命题成立;当a>1>b>0时,ln+a-ln+b=lna,此时,>lna,则,命题成立;当1>a≥b>0时,ln+a-ln+b=0,成立;ii.<1时,同理可验证是正确的,故③正确;(4)对于④,当a≥1,b≥1时,ln+(a+b)=ln(a+b),ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln(2ab),∵a+b-2ab=a-ab+b-ab=a(1-b)+b(1-a)≤0,∴a+b≤2ab,∴ln(a+b)<ln(2ab),∴ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.当a>1,0<b<1时,ln+(a+b)=ln(a+b),ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln(2a),∵a+b-2a=b-a≤0,∴a+b≤2a,∴ln(a+b)<ln(2a),∴ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.当b>1,0<a<1时,同理可证ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.当0<a<1,0<b<1时,可分a+b≥1和a+b<1两种情况,均有ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.故④正确.故答案为①③④.【点评】本题考查新定义及对数的运算性质,理解定义所给的运算规则是解题的关键,本题考查了分类讨论的思想,逻辑判断的能力,综合性较强,探究性强.易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错.三、解答题17.(12分)设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.【分析】(1)利用余弦定理列出关系式,将b与cosB的值代入,利用完全平方公式变形,求出acb的值,与a+c的值联立即可求出a与c的值即可;(2)先由cosB的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值,再由a,b及sinB的值,利用正弦定理求出sinA的值,进而求出cosA的值,所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.【解答】解:(1)∵a+c=6①,b=2,cosB=,∴由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-ac=36-ac=4,整理得:ac=9②,联立①②解得:a=c=3;(2)∵cosB=,B为三角形的内角,∴sinB==,∵b=2,a=3,sinB=,∴由正弦定理得:sinA===,∵a=c,即A=C,∴A为锐角,∴cosA==,则sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=×-×=.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18.(12分)如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:AB∥GH;(2)求二面角D-GH-E的余弦值.【分析】(1)由给出的D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF,再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH,从而得到AB∥GH;(2)由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直,以B为坐标原点建立空间直角坐标系,设出BA、BQ、BP的长度,标出点的坐标,求出一些向量的坐标,利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D-GH-E的余弦值.【解答】(1)证明:如图,∵C,D为AQ,BQ的中点,∴CD∥AB,又E,F分别AP,BP的中点,∴EF∥AB,则EF∥CD.又EF⊂平面EFQ,∴CD∥平面EFQ.又CD⊂平面PCD,且平面PCD∩平面EFQ=GH,∴CD∥GH.又AB∥CD,∴AB∥GH;(2)由AQ=2BD,D为AQ的中点可得,三角形ABQ为直角三角形,以B为坐标原点,分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系, 设AB=BP=BQ=2,则D(1,1,0),C(0,1,0),E(1,0,1),F(0,0,1),因为H为三角形PBQ的重心,所以H(0,,).则,,.设平面GCD的一个法向量为由,得,取z1=1,得y1=2.所以.设平面EFG的一个法向量为由,得,取z2=2,得y2=1.所以.所以=.则二面角D-GH-E的余弦值等于.【点评】本题考查了直线与平面平行的性质,考查了二面角的平面角及其求法,考查了学生的空间想象能力和思维能力,考查了计算能力,解答此题的关键是正确求出H点的坐标,是中档题.19.(12分)甲乙两支排球队进行比赛,先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率;(2)若比赛结果3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分,对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望.【分析】(1)甲队获胜有三种情形,①3:0,②3:1,③3:2,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜,分别求出相应的概率,最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率;(2)X的取值可能为0,1,2,3,然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率,列出分布列,最后根据数学期望公式解之即可.【解答】解:(1)甲队获胜有三种情形,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜①3:0,概率为P1=()3=;②3:1,概率为P2=C()2×(1-)×=;③3:2,概率为P3=C()2×(1-)2×=∴甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率:.(2)乙队得分X,则X的取值可能为0,1,2,3.由(1)知P(X=0)=P1+P2=;P(X=1)=P3=;P(X=2)=C(1-)2×()2×=;P(X=3)=(1-)3+C(1-)2×()×=;E(X)=3×+2×+1×+0×=.【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式,以及离散型随机变量的期望与分布列,同时考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.20.(12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4=4S 2,a 2n =2a n +1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{b n }的前n 项和为T n 且(λ为常数).令c n =b 2n (n ∈N *)求数列{c n }的前n 项和R n . 【分析】(1)设出等差数列的首项和公差,由已知条件列关于首项和公差的方程组,解出首项和公差后可得数列{a n }的通项公式;(2)把{a n }的通项公式代入,求出当n ≥2时的通项公式,然后由c n =b 2n 得数列{c n }的通项公式,最后利用错位相减法求其前n 项和.【解答】解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由a 2n =2a n +1,取n =1,得a 2=2a 1+1,即a 1-d +1=0①再由S 4=4S 2,得,即d =2a 1② 联立①、②得a 1=1,d =2.所以a n =a 1+(n -1)d =1+2(n -1)=2n -1;(2)把a n =2n -1代入,得,则.所以b 1=T 1=λ-1, 当n ≥2时,=.所以,.R n =c 1+c 2+…+c n =③④③-④得:=所以;所以数列{c n }的前n 项和.【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了数列的求和,训练了错位相减法,考查了学生的计算能力,属中档题.21.(13分)设函数.(1)求f(x)的单调区间及最大值;(2)讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.【分析】(1)利用导数的运算法则求出f′(x),分别解出f′(x)>0与f′(x)<0即可得出单调区间及极值与最值;(2)分类讨论:①当0<x≤1时,令u(x)=-lnx--c,②当x≥1时,令v(x)=lnx-.利用导数分别求出c的取值范围,即可得出结论.【解答】解:(1)∵=,解f′(x)>0,得;解f′(x)<0,得.∴函数f(x)的单调递增区间为;单调递减区间为.故f(x)在x=取得最大值,且.(2)函数y=|lnx|,当x>0时的值域为[0,+∞).如图所示:①当0<x≤1时,令u(x)=-lnx--c,c==g(x),则=.令h(x)=e2x+x-2x2,则h′(x)=2e2x+1-4x>0,∴h(x)在x∈(0,1]单调递增,∴1=h(0)<h(x)≤h(1)=e2-1.∴g′(x)<0,∴g(x)在x∈(0,1]单调递减.∴c.②当x≥1时,令v(x)=lnx-,得到c=lnx-=m(x),则=>0,故m(x)在[1,+∞)上单调递增,∴c≥m(1)=.综上①②可知:当时,方程|lnx|=f(x)无实数根;当时,方程|lnx|=f(x)有一个实数根;当时,方程|lnx|=f(x)有两个实数根.【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能,考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法.22.(13分)椭圆C:的左右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明为定值,并求出这个定值.【分析】(1)把-c代入椭圆方程得,解得,由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1,可得.再利用,及a2=b2+c2即可得出;(2)设|PF1|=t,|PF2|=n,由角平分线的性质可得,利用椭圆的定义可得t+n=2a=4,消去t得到,化为,再根据a-c<n<a+c,即可得到m的取值范围;(3)设P(x0,y),不妨设y>0,由椭圆方程,取,利用导数即可得到切线的斜率,再利用斜率计算公式即可得到k1,k2,代入即可证明结论.【解答】解:(1)把-c代入椭圆方程得,解得,∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1,∴.又,联立得解得,∴椭圆C的方程为.(2)如图所示,设|PF1|=t,|PF2|=n,由角平分线的性质可得,又t+n=2a=4,消去t得到,化为,∵a-c<n<a+c,即,也即,解得. ∴m的取值范围;.(3)证明:设P(x0,y),不妨设y>0,由椭圆方程,取,则=, ∴k==.∵,,∴=,.∴==-8为定值【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识,考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力.第21页,共21页。
2013学年高考理科数学年山东卷答案
△APB 的最大边是 AB ”发生的线段长度,再利用两者的比值即为发生的概率 1 ,从而求出 AD .
2
AB
【考点】简单线性规划.
二、填空题 10.【答案】{6,8}
【解析】 U A {6,8} ,∴ ( U A) B {6,8} {2,6,8} {6,8}.
【提示】先求出集合 A 的补集,再利用交集的定义求 ( U A) B
5/8
的作物有 3 株.列表如下:
Y 51 48 45 42
频数 2 4 6 3
所种作物的平均年收获量为: 51 2 48 4 45 6 42 3
102 192 270 126 =
690
46 .
15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ15
15
(2)由(1)知,P(Y 51) 2 ,P(Y 48) 4 .故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为 48
【提示】通过三视图判断正视图的形状,结合数据关系直接求出正视图的面积即可. 【考点】简单空间图形的三视图. 8.【答案】C 【解析】可利用特殊值法求解.可令 a (1,0) ,b (0,1) ,c (x,y) .由| c a b |1,得 x 12 y 12 1, ∴ (x 1)2 ( y 1)2 1.| c | 即为 x2 y2 ,可看成 M 上的点到原点的距离,∴ | c |max | OM | 1 2 1 , 故选 C.
A1 ABB1
,于是
A1C1
A1E
.故
C1E
A1C1 cos 60
2
2 ,又 B1C1
A1C12 A1B12 2 ,
所以 B1E C1E2 B1C12 2 ,
2013年山东高考理科数学
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理 科 数 学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题: 本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足5)2)(3(=--i z (i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为 .A i +2 .B i -2 .C i +5 .D i -52. 已知集合}2,1,0{=A ,则集合},{A y A x y x B ∈∈-=中元素的个数是 .A 1 .B 3 .C 5 .D 93. 已知函数)(x f 为奇函数,当0>x 时,xx x f 1)(2+=,在=-)1(f .A 2- .B 0 .C 1 .D 24. 已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直,体积为49,底面是边长为3的正三角形,若P 为底面111C B A 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 .A π125 .B 3π .C 4π .D 6π 5. 将函数)2sin(ϕ+=x y 的图像沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数,则ϕ的一个可能取值是 .A π43 .B 4π .C 0 .D 4π-6. 在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥--083012022y x y x y x 所表示的平面区域上一动点,则OM 斜率的最小值为.A 2 .B 1 .C 31- .D 21- 7. 给定两个命题q p ,,若p ⌝是q 的必要而不充分条件,在p 是p ⌝的 .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件8. 函数x x x y sin cos +=的图像大致为.A .B .C .D9. 过点)1,3(作圆1)1(22=+-y x 的两条切线,切点分别为B A ,,则直线AB 的方程为 .A 032=+-y x .B 032=--y x .C 034=--y x .D 034=-+y x10. 用0,1,2,……,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 .A 243 .B 252 .C 261 .D 27911. 抛物线:1C )0(212>=p x py 的焦点与双曲线:2C 1322=-y x 的右焦点的连线交2C 于第一象限的点M 。
2013年山东省高考理科数学试题超清无错版
绝密★启用并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页,满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。
注意事项:1. 答题前,考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P(A)+P(B);如果事件A ,B 独立,那么P (AB )=P(A)*P(B)第Ⅰ卷 (共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)复数z 满足(3)(2)5z z --=(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为( )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i(2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9(3)已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21()f x x x=+,则(1)f -=( )(A )-2 (B )0 (C )1(D )2(4)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,未找到引用源。
的正三棱柱,若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )(A )512π错误!未找到引用源。
2013山东高考数学试卷(理科)及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理 科 数 学参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立,那么()()()=∙P AB P A P B 。
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题。
每小题5分共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、复数z 满组(3)(2)5--=z i (z 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i2、已知集合{}0,1,2=A ,则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 93、已知函数()f x 为奇函数,且当0>x 时,21(),=+f x x x则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直,体积为94,的正三角形,若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A)512π (B) 3π (C) 4π (D) 6π 5、将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 (A)34π (B) 4π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组220210,380,--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩x y x y x y 所表示的区域上一动点,则直线OM的斜率的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 13- (D) 12- 7、给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件,则p 是⌝q 的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为(A)(B) (C) (D)9、过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 的方程为(A) 230+-=x y (B) 230--=x y (C) 430--=x y (D) 430+-=x y 10、用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911、抛物线211:(0)2=>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则=p(A)(B)(C)(D)12、设正实数,,x y z 满足22340.-+-=x xy y z 则当xy z取得最大值时,212+-的最大值为(A) 0 (B) 1 (C) 94(D) 3第Ⅱ卷(共90二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 山东理科数学试题
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页,满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。
注意事项:1. 答题前,考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P(A)+P(B);如果事件A ,B 独立,那么P (AB )=P(A)*P(B)第Ⅰ卷 (共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数 为( )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i (2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9 (3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, xx x f 1)(2+= ,则)1(-f = ( ) (A )-2 (B )0 (C )1 (D )2 (4)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为 49, 底面是边长为 3的正三角形, 若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( ) (A )5π (B )π (C ) π (D ) π(5)将函数y=sin (2x +φ)的图像沿x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为 (A ) 43π (B )4π (C )0 (D ) 4π-(6)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥--083012022y x y x y x 所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为(A )2 (B )1 (C ) 31- (D ) 21-(7)给定两个命题p ,q 。
2013年山东高考数学理及答案(解析版)
2013年山东高考数学理试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为( ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i 【答案】D(2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A. 1 B. 3 C. 5 D.9【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--,即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素,【解析】因为函数为奇函数,所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-,选A.OP PAO OA∠==即3PAO π∠=,选B.,42k k Z ϕπ+=+∈,即,4k k Z ϕπ=+∈,所以选B.(6)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组:2x y 20x 2y 103x y 80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩,所表示的区域上一动【解析】作出可行域如图,由图象可知当M 位于点D 处时,OM 的斜率最小。
由210380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩,即(3,1)D -,此时OM 的斜率为1133-=-,选C.(7)给定两个命题p 、q ,若﹁p 是q 的必要而不充分条件,则p 是﹁q 的(A )充分而不必条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为﹁p 是q 的必要而不充分条件,所以﹁q 是p 的必要而不充分条件,即p 是﹁q 的充分而不必要条件,选A.(8)函数y=xcosx + sinx 的图象大致为【答案】 D 【解析】函数y=xcosx + sinx 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B ,C.当x π=时,()0f ππ=-<,排除A,选D.(9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为(A )2x+y-3=0 (B )2x-y-3=0 (C )4x-y-3=0 (D )4x+y-3=0 【答案】A【解析】由图象可知,(1,1)A 是一个切点,所以代入选项知,,B D 不成立,排除。
2013年山东省高考理科数学试卷解析版
2013年山东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)(2013•山东)复数z满足(z﹣3)(2﹣i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为()A.2+i B.2﹣i C.5+i D.5﹣i考点:复数的基本概念.专题:计算题.分析:利用复数的运算法则求得z,即可求得z的共轭复数.解答:解:∵(z﹣3)(2﹣i)=5,∴z﹣3==2+i∴z=5+i,∴=5﹣i.故选D.点评:本题考查复数的基本概念与基本运算,求得复数z是关键,属于基础题.2.(5分)(2013•山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.5D.9考点:集合中元素个数的最值.专题:计算题.分析:依题意,可求得集合B={﹣2,﹣1,0,1,2},从而可得答案.解答:解:∵A={0,1,2},B={x﹣y|x∈A,y∈A},∴当x=0,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为0,﹣1,﹣2;当x=1,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为1,0,﹣1;当x=2,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为2,1,0;∴B={﹣2,﹣1,0,1,2},∴集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是5个.故选C.点评:本题考查集合中元素个数的最值,理解题意是关键,考查分析运算能力,属于中档题.3.(5分)(2013•山东)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,,则f(﹣1)=()A.﹣2 B.0C.1D.2考点: 函数的值.专题:计算题;函数的性质及应用.分析:利用奇函数的性质,f(﹣1)=﹣f(1),即可求得答案.解答:解:∵函数f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=x2+,∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,故选A.点评:本题考查奇函数的性质,考查函数的求值,属于基础题.4.(5分)(2013•山东)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D.考点: 直线与平面所成的角.专题:空间角.分析:利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知,∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,即为∠APA1为PA与平面ABC所成角.利用三棱锥的体积计算公式可得AA1,再利用正三角形的性质可得A1P,在Rt△AA1P中,利用tan∠APA1=即可得出.解答:解:如图所示,∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面ABC所成角.∵==.∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==,解得.又P为底面正三角形A1B1C1的中心,∴==1,在Rt△AA1P中,,∴.故选B.点评:熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键.5.(5分)(2013•山东)函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为()A.B.C.0D.考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题:计算题;三角函数的图像与性质.分析:利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式,利用其为偶函数即可求得答案.解答:解:令y=f(x)=sin(2x+φ),则f(x+)=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ),∵f(x+)为偶函数,∴+φ=kπ+,∴φ=kπ+,k∈Z,∴当k=0时,φ=.故φ的一个可能的值为.故选B.点评:本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查三角函数的奇偶性,属于中档题.6.(5分)(2013•山东)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为()A.2B.1C.D.考点: 简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值,而是求可行域内的点与原点(0,0)构成的直线的斜率的最小值即可.解答:解:不等式组表示的区域如图,当M取得点A(3,﹣1)时,z直线OM斜率取得最小,最小值为k==﹣.故选C.点评:本题利用直线斜率的几何意义,求可行域中的点与原点的斜率.本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.7.(5分)(2013•山东)给定两个命题p,q.若¬p是q的必要而不充分条件,则p是¬q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:规律型.分析:根据互为逆否命题真假性相同,可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件,进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案.解答:解:∵¬p是q的必要而不充分条件,∴q是¬p的充分不必要条件,即q⇒¬p,但¬p不能⇒q,其逆否命题为p⇒¬q,但¬q不能⇒p,则p是¬q的充分不必要条件.故选A.点评:本题考查的知识点是充要条件的判断,其中将已知利用互为逆否命题真假性相同,转化为q是¬p的充分不必要条件,是解答的关键.8.(5分)(2013•山东)函数y=xcosx+sinx的图象大致为()A.B.C.D.考点:函数的图象.专题: 函数的性质及应用.分析:给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称,由此排除B,然后利用区特值排除A和C,则答案可求.解答:解:因为函数y=xcosx+sinx为奇函数,所以排除选项B,由当x=时,,当x=π时,y=π×cosπ+sinπ=﹣π<0.由此可排除选项A和选项C.故正确的选项为D.故选D.点评:本题考查了函数的图象,考查了函数的性质,考查了函数的值,是基础题.9.(5分)(2013•山东)过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y﹣3=0 B.2x﹣y﹣3=0 C.4x﹣y﹣3=0 D.4x+y﹣3=0考点:圆的切线方程;直线的一般式方程.专题:计算题;直线与圆.分析:由题意判断出切点(1,1)代入选项排除B、D,推出令一个切点判断切线斜率,得到选项即可.解答:解:因为过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,所以圆的一条切线方程为y=1,切点之一为(1,1),显然B、D选项不过(1,1),B、D不满足题意;另一个切点的坐标在(1,﹣1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项C不满足,A满足.故选A.点评:本题考查直线与圆的位置关系,圆的切线方程求法,可以直接解答,本题的解答是间接法,值得同学学习.10.(5分)(2013•山东)用0,1,2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243 B.252 C.261 D.279考点:排列、组合及简单计数问题.专题:计算题.分析:求出所有三位数的个数,减去没有重复数字的三位数个数即可.解答:解:用0,1,2,…,9十个数字,所有三位数个数为:900,其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位,十位数从余下的9个数字中选一个,个位数再从余下的8个中选一个,所以共有:9×9×8=648,所以可以组成有重复数字的三位数的个数为:900﹣648=252.故选B.点评:本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,利用间接法求解是解题的关键,考查计算能力.11.(5分)(2013•山东)抛物线C1:的焦点与双曲线C2:的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=()A.B.C.D.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;双曲线的简单性质.专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程,求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值,由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系,把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值.解答:解:由,得x2=2py(p>0),所以抛物线的焦点坐标为F().由,得,.所以双曲线的右焦点为(2,0).则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为,即①.设该直线交抛物线于M(),则C1在点M处的切线的斜率为.由题意可知,得,代入M点得M()把M点代入①得:.解得p=.故选D.点评:本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数,是中档题.12.(5分)(2013•山东)设正实数x,y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0.则当取得最大值时,的最大值为()A.0B.1C.D.3考点:基本不等式.专题:计算题;压轴题;不等式的解法及应用.分析:依题意,当取得最大值时x=2y,代入所求关系式f(y)=+﹣,利用配方法即可求得其最大值.解答:解:∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,∴z=x2﹣3xy+4y2,又x,y,z均为正实数,∴==≤=1(当且仅当x=2y时取“="),∴=1,此时,x=2y.∴z=x2﹣3xy+4y2=(2y)2﹣3×2y×y+4y2=2y2,∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1.∴的最大值为1.故选B.点评:本题考查基本不等式,由取得最大值时得到x=2y是关键,考查配方法求最值,属于中档题.二、填空题13.(4分)(2013•山东)执行右面的程序框图,若输入的ɛ值为0。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷)
绝密★启用并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页,满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。
注意事项:1. 答题前,考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B 互斥,那么P (A+B )=P(A)+P(B);如果事件A,B 独立,那么P (AB )=P(A)*P(B) 第Ⅰ卷 (共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为() A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i (2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A. 1 B. 3 C. 5 D.9 (3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2+1x,则f(-1)=() (A )-2(B )0 (C )1(D )2(4)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为√3的正三棱柱,若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 () (A )5π12(B )π3(C )π4(D )π6(5)将函数y=sin (2x +φ)的图像沿x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为 (A )3π4(B )π4(C )0 (D )−π4(6)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组:2x-y-2≥0,x+2y-1≥0,3x+y-8≤0,所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为(A )2 (B )1 (C )−13 (D )−12(7)给定两个命题p,q 。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共4页。
满分150分。
考试用时120分钟,考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项:
1.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式:
如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P(B);如果事件A,B 独立,那么P (AB )=P (A )·P (B )。
第I 卷(共60分)
一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)复数z 满足(z -3)(2-i )=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为
A 2+i
B 2-i
C 5+i
D 5-i
(2) 已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|,x A y A ∈∈}中元素的个数是
A 1
B 3
C 5
D 9
(3) 已知函数f(x)为奇函数,且当x >0时,21()f x x x =+
,则f(-1)= A -2 B 0 C 1 D 2
(4)已知三棱柱ABC-111A B C 的侧棱与底面垂直,体积为94若P 底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 A 512π B 3π C 4π D 6
π (5)将函数y=sin (2x +φ)的图像沿x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为
(A )
(B ) (C )0 (D )
(6)在平面直角坐标第XOY 中,M 为不等式组2202103x y 80x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩
,所表示的区域上一动点,
则直线OM 斜率的最小值为
A 2
B 1
C 13-
D 12
- (7)给定两个命题p,q,若p q ⌝是的必要而不充分条件,则p q ⌝是的
A 充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
(8)函数y=xcosx + sinx 的图象大致为
(B )
(9)过点(3,1)作圆22
(1)1x y -+=的两条切线,切点分别是A,B ,则直线AB 的方程为
A 230x y +-=
B 230x y --=
C 430x y --=
D 430x y +-=
(10)用0,1,2,…,9这十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为
A 243
B 252
C 261
D 279 (11)抛物线1C :212y x p
=(p>0)的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p=
A 16
B 8
C 3
D 3
(12)设正
,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当xy z 取得最大值时,212x y z
+-的最大值为 A 0 B 1 C 94
D 3 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。
(13)执行右面的程序框图,若输入的ε的值为0.25,则输出的n 的值
为_______
(14)在区间[-3,3]上随机取一个数x ,使得121x x +--≥成立的概
率为_________
(15)已知向量AB 与AC 的夹角为120 ,且|AB |=3,|AC |
=2,若AP λ= AB +AC ,且AP ⊥ BC ,则实数λ的值为
______________
(16) (16)定义“正对数”:ln +x=0,01ln ,1x x x <<⎧⎨
≥⎩现有四个命题: ①若a >0,b >0,则ln +(a b )=bln +a
②若a >0,b >0,则ln +(ab )=ln +a+ ln +b
③若a >0,b >0,则ln ()a
b
+≥ln +a -ln +b ④若a >0,b >0,则ln +(a+b )≤ln +a+ln +b+ln2
其中的真命题有___________________
三、解答题:本大题共6小题,共74分。
(17)(本小题满分12分)
设ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ,且6,2a b b +==,7cos 9
B =
(1) 求a,c 的值
(2)求sin()A B -的值。
(18)(本小题满分12分)
如图所示,在三棱锥P-ABQ 中,PB ⊥平面ABQ ,
BA=BP=BQ ,D ,C ,E ,F 分别是AQ ,BQ ,AP ,BP
的中点,AQ=2BD ,PD 与EQ 交于点G ,PC 与FQ 交
于点H ,连接GH 。
(Ⅰ)求证:AB//GH ;
(Ⅱ)求二面角D-GH-E 的余弦值
(19)(本小题满分12分)
甲,乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23
,假设各局比赛结果相互独立, (1) 分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率
(2) 若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分,若比赛结果为3:2,
则胜利方得2分,对方得1分,求乙队得分X 的分成列及数学期望。
(20)(本小题满分12分)
设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+
(1) 求数列{n a }的通项公式
(2) 设数列{n b }的前n 项和为n T ,且12n n n a T λ++
=,(λ为常数)令2n n c b =(n N +∈),求数列{n c }的前n 项和n R 。
(21)(本小题满分13分) 设函数2()x x f x c e
=+,(e=2.71828…是自然对数的底数,)c R ∈ (1) 求()f x 的单调区间,最大值
(2) 讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数。
22(本小题满分13分)
椭圆C:22221x y a b +=,(0a b >>),的左右焦点分别是12,F F ,
,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段的长为1
(1) 求椭圆C 的方程
(2) 点P 是椭圆C 上除长轴端点外的一点,连接12,PF PF ,设12FPF ∠的角平分线PM 交
C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围。
(3) 在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l ,使直线l 与椭圆C 有且只有一个公
共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明
12
11k k k k +⋅⋅为定值,并求出这个定值。