24.1第3课时在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换
高中数学学习中的坐标系的平移与旋转技巧
高中数学学习中的坐标系的平移与旋转技巧高中数学学习过程中，我们经常会遇到坐标系的平移与旋转问题。
坐标系的平移和旋转是几何变换中的重要内容，掌握了平移和旋转的技巧，可以帮助我们更好地理解和解决与坐标系相关的数学问题。
下面，我将从平移和旋转的基本概念开始，介绍高中数学学习中的坐标系平移与旋转技巧。
首先，我们来了解一下坐标系的平移。
平移是指将坐标系内所有的点按照某个规律进行移动，使得原来的点到达新的位置，而形状保持不变。
平移的基本思想是通过向量的加法来表示移动的规律，其中向量的大小和方向表示了点的移动距离和方向。
在高中数学学习中，我们一般使用平移向量来描述平移的规律。
在解决平移问题时，我们可以利用以下几个技巧：1. 利用平移向量确定新的坐标点位置：对于给定的平移向量，我们可以通过计算原坐标点与平移向量的加法来确定新的坐标点位置。
例如，若平移向量为(a, b)，原坐标点为(x, y)，则新的坐标点位置为(x+a, y+b)。
2. 利用平移不变形质：平移后的图形与原图形之间具有一种特殊的关系，即形状保持不变。
这意味着平移后的图形与原图形拥有相等的边长、角度和面积。
我们可以利用这一性质来解决与图形的对称性、相似性等相关的问题。
3. 应用平移解决方程组问题：对于包含两个变量的方程组，我们可以利用平移将方程组进行转化，从而更容易求解。
例如，若方程组为{x+y=3, x-y=1}，我们可以通过平移操作将第二个方程转化为{x=-2}，然后代入第一个方程求解。
另外一个重要的技巧是旋转。
旋转是指将坐标系内的所有点按照某个规律进行转动，使得原来的点到达新的位置，同时保持形状不变。
旋转的基本思想是通过角度和旋转中心来确定旋转的规律。
在解决旋转问题时，我们可以利用以下几个技巧：1. 利用旋转角度确定新的坐标点位置：对于给定的旋转角度和旋转中心，我们可以通过计算原坐标点相对于旋转中心的位置以及旋转角度来确定新的坐标点位置。
例如，若旋转角度为θ，原坐标点为(x, y)，旋转中心为(a, b)，则新的坐标点位置为((x-a)*cosθ-(y-b)*sinθ+(x-a), (x-a)*sinθ+(y-b)*cosθ+(y-b))。
平面直角坐标系与坐标变换
平面直角坐标系与坐标变换平面直角坐标系是描述平面上点的位置的一种常用坐标系。
它由两条相互垂直的坐标轴组成，分别被称为x轴和y轴，并且原点位于这两条轴的交点处。
在平面直角坐标系中，每个点都可以由一个有序数对 (x, y) 来表示，其中 x 表示点在x轴上的坐标，y 表示点在y轴上的坐标。
坐标变换是在不同坐标系之间进行转换的过程。
当我们需要在不同的坐标系中描述同一个点时，就需要进行坐标变换。
常见的坐标变换包括平移、旋转、缩放等操作。
1. 平移平移是将一个点沿着给定的方向和距离移动的操作。
在平面直角坐标系中，平移操作可以通过在原有坐标的基础上加上一个常量来实现。
对于点 P(x, y) 的平移操作，可以表示为 P'(x+a, y+b)，其中 (a, b) 是平移向量。
2. 旋转旋转是将一个点绕着某个中心点按照一定的角度进行旋转的操作。
在平面直角坐标系中，原点 O(0, 0) 是通常被选作旋转的中心点。
对于点 P(x, y) 的旋转操作，可以表示为 P'(x', y')，其中 x' 和 y' 的计算公式如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，θ 表示旋转的角度。
3. 缩放缩放是将一个点按照给定的比例进行放大或缩小的操作。
在平面直角坐标系中，缩放操作可以通过乘上一个比例因子来实现。
对于点P(x, y) 的缩放操作，可以表示为 P'(kx, ky)，其中 k 表示缩放的比例。
4. 坐标轴变换坐标轴变换是将坐标系的x轴和y轴进行调整的操作。
在平面直角坐标系中，坐标轴变换操作可以通过旋转和缩放来实现。
例如，如果我们需要将坐标系中的x轴和y轴交换，可以先进行一个旋转操作将x 轴旋转到y轴的位置，然后再进行一个缩放操作将x轴和y轴的刻度进行调整。
综上所述，平面直角坐标系与坐标变换是描述平面上点的位置和在不同坐标系之间进行转换的重要概念和操作。
旋转坐标轴的坐标变换公式
旋转坐标轴的坐标变换公式
在平面直角坐标系中，如果将坐标轴绕原点旋转一个角度θ,新的坐标轴(x',y')与原坐标轴(x,y)之间的关系可以用下面的公式表示:
x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)
y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)
反过来,如果已知点在新坐标系(x',y')下的坐标,想要求出它在原坐标系(x,y)下的坐标,可以使用以下公式:
x = x' * cos(θ) + y' * sin(θ)
y = -x' * sin(θ) + y' * cos(θ)
其中,θ是坐标轴旋转的角度,方向按照从x轴到y轴的方向为正。
这些公式广泛应用于分析旋转问题、极坐标与直角坐标的相互转换等场合。
需要注意的是,这里假设旋转是围绕原点进行的,如果是围绕其他点旋转,则需要先将坐标系原点平移到该点,进行旋转,然后再平移回来。
2019春九年级数学下册第24章圆24.1旋转课时作业新版沪科版129
第24章圆24.1旋转第1课时旋转的概念与性质知识要点基础练知识点1旋转的相关概念1.下列图案中,不能由一个图形通过旋转而构成的是(B)2.下列现象属于旋转的是(C)A.摩托车在急刹车时向前滑动B.飞机起飞后冲向空中的过程C.幸运大转盘转动的过程D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车知识点2旋转的性质3.一个图形经过旋转变换后,有以下结论:①对应线段的长度不变;②对应角的大小不变;③位置不变;④各点旋转的角度相同.其中正确的结论有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个4.(宜宾中考)如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD,若∠AOB=15°,则∠AOD的度数是60°.知识点3旋转对称图形5.风力发电机可以在风力作用下发电.如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合,那么n的值可能是(D)A.45B.60C.90D.120知识点4简单的旋转作图6.如图,在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.在图中画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的△ECD.并指出点A的对应点,∠A的对应角,旋转中心及旋转角.答案图解:如图所示,△ECD即为所求.其中点A的对应点为点E,∠A的对应角为∠E,点C为旋转中心,∠ACE,∠DCB均为旋转角.综合能力提升练7.如图,将木条a,b与c钉在一起,∠1=70°,∠2=50°,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是(B)A.10°B.20°C.50°D.70°8.(天津中考)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接A D.下列结论一定正确的是(C)A.∠ABD=∠EB.∠CBE=∠CC.AD∥BCD.AD=BC9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为(D)A.12B.6C.6√2D.6√310.如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为(D)A.5B.√23C.7D.√2911.如图,O为正方形的旋转中心,正方形的边长是6 cm,一个足够大的直角∠AOB的顶点与点O重合,直角的两边与正方形的边分别交于点A,B,则图中阴影部分的面积为9 cm2.12.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,则∠B的度数为15°.13.如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=FF,则AB的长为3√2.14.(宁波中考)在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.(1)在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形;(画出一个即可)(2)将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°,画出旋转后的三角形.解:(1)如图所示.(答案不唯一,画出一个即可)(2)△A'CB'如图所示.15.已知在△ABC中,AB=10,DE∥AC交AB于点D,交BC于点E.(1)将△BDE 顺时针旋转到△BD'E'的位置,连接DD'和EE',如图1,试探究∠BDD'与∠BEE'之间的数量关系,并说明理由;(2)将△BDE 顺时针继续旋转,点D 的对应点D'落在边BC 上,如图2,若BE'=8,D'C=6,求BC 的长.解:(1)∠BDD'=∠BEE'.理由:由旋转知△BDE ≌△BD'E',∴BD=BD',BE=BE',∠DBE=∠D'BE',∴∠DBD'=∠EBE',又∵∠BDD'=180°-∠DDD '2,∠BEE'=180°-∠DDD '2,∴∠BDD'=∠BEE'.(2)∵DE ∥AC ,∴△BDE ∽△BAC ,∴DD DD =DDDD .由题意可得BE=BE'=8,BD=BD'=BC-D'C=BC-6,AB=10.设BC=x ,则D -610=8D,解得x 1=3+√89,x 2=3-√89(不合题意,舍去),故BC 的长为3+√89.拓展探究突破练16.【问题解决】数学课上,老师提出了一个这样问题:如图1,P 是正方形ABCD 内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB 的度数吗? 小明他通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°,得到△P'BA ,连接PP',求出∠APB 的度数; 思路二:将△APB 绕点B 顺时针旋转90°,得到△CP'B ,连接PP',求出∠APB 的度数. 请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图2,若P 是正方形ABCD 外一点,PA=3,PB=1,PC=√11,求∠APB 的度数.解:【问题解决】如答图1,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.∵PB=P'B=2,∠P'BP=90°,∴PP'=2√2,∠BPP'=45°.又∵AP'=CP=3,AP=1,∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,∴∠APP'=90°,∴∠APB=45°+90°=135°.【类比探究】如答图2,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.∵PB=P'B=1,∠P'BP=90°,∴PP'=√2,∠BPP'=45°.又∵AP'=CP=√11,AP=3,∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2,∴∠APP'=90°,∴∠APB=90°-45°=45°.第2课时中心对称与中心对称图形知识要点基础练知识点1中心对称概念及性质1.下列说法正确的是(C)A.全等的两个图形成中心对称B.能够完全重合的两个图形成中心对称C.旋转180°后能够完全重合的两个图形成中心对称D.旋转后能够重合的两个图形成中心对称2.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,下列结论中不成立的是(D)A.OC=OC'B.OA=OA'C.BC=B'C'D.∠ABC=∠A'C'B'知识点2中心对称图形3.下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是(B)【变式拓展】在等边三角形、等腰梯形、平行四边形和正五边形中,是中心对称图形的是(C) A.等边三角形 B.等腰梯形C.平行四边形D.正五边形4.如图,已知图形是中心对称图形,则对称中心是(D)A.点CB.点DC.线段BC的中点D.线段FC的中点知识点3中心对称(图形)的画法5.如图1,在10×10网格中,四边形ABCD是格点四边形(顶点在网格线的交点上).(1)以点A为对称中心,画出四边形ABCD关于点A成中心对称的四边形AB1C1D1;(2)点N是四边形ABCD内一格点,如图2,以点N为对称中心,画出四边形ABCD关于点N成中心对称的四边形A2B2C2D2.(3)若格点四边形ABCD与格点四边形EFGH关于点O成中心对称,点A的对称点是点E,如图3,请在网格中标出点O的位置.解:(1)如图1,四边形AB1C1D1即为所求.(2)如图2,四边形A2B2C2D2即为所求.(3)如图3,点O即为所求.图1图2图3综合能力提升练6.(长沙中考)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(A)7.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标,其中属于中心对称图形的有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个8.(呼和浩特中考改编)下图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是△ABC进行了一次变换之后得到的,其中是通过中心对称得到的是(C)A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)9.如图所示,已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称,则点B的对称点是(D)A.点EB.点FC.点GD.点H10.(乐山中考)如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,AB=2,则阴影部分的面积之和为6.11.(安徽中考)如图,已知A(-3,-3),B(-2,-1),C(-1,-2)是直角坐标平面上的三点.(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;(2)请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标,若将点B2向上平移h个单位,使其落在△A1B1C1内部,指出h的取值范围.解:(1)△A1B1C1如图所示.(2)点B2的坐标为(2,-1).观察可知,h的取值范围为2<h<3.5.12.如图,在▱ABCD中,以A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F;再分别以B,F为圆心,大于12BF 的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF 是菱形.(1)根据以上尺规作图的过程,求证四边形ABEF是中心对称图形;(2)若四边形ABEF的周长为16,AE=4√3,求∠C的大小.解:连接BF,设BF与AE交于点O.(1)由作图过程可知,AB=AF,AE平分∠BAD.∴∠BAE=∠EAF.∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,∴∠AEB=∠EAF,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,∴BE=AF.∵∠BOE=∠FOA,∴△BOE≌△FOA,∴OB=OF,OE=OA,即点B与点F,点E与点A都关于点O对称,∴四边形ABEF为中心对称图形.(2)由(1)得OB=OF,OE=OA,∴四边形ABEF为平行四边形,又∵AB=AF,∴四边形ABEF为菱形,∴BF与AE互相垂直平分,∠BAE=∠FAE,∴OA=12AE=2√3.∵菱形ABEF的周长为16,∴AF=4,∴cos∠OAF=DDDD =√32,∴∠OAF=30°,∴∠BAF=60°.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠C=∠BAD=60°.拓展探究突破练13.如图,中心对称图形圆(图1)和平行四边形(图2),图1中过圆心的一条直线将圆分成A,B 两部分,图2中过平行四边形的中心(对角线的交点)任作两条直线形成A,B两部分.(1)图1、图2中的A,B两部分的面积相等吗?(2)利用(1)中的结论,工人师傅需把图3所示的一块木板分成面积相等的两部分,你认为应该怎样分?请画出示意图,并做简要说明.解:(1)图1、图2中的A,B两部分的面积都相等.(2)如图,先将木板分成两个矩形,过这两个矩形的对角线的交点作直线即可.(答案不唯一)第3课时平面直角坐标系下的旋转变换知识要点基础练知识点1用坐标表示旋转1.(绵阳中考)在平面直角坐标系中,以原点为对称中心,把点A(3,4)逆时针旋转90°,得到点B,则点B的坐标为(B)A.(4,-3)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-3,-4)【变式拓展】在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,√3),以原点O为中心,将点A顺时针旋转150°得到点A',则点A'的坐标为(D)A.(0,-2)B.(1,-√3)C.(2,0)D.(√3,-1)知识点2图案设计2.如图,按要求涂阴影:(1)将图形①平移到图形②;(2)将图形②沿图中虚线翻折到图形③;(3)将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④.解:(1)如图②所示.(2)如图③所示.(3)如图④所示.3.如图是一个4×4的正方形网格,每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形,通过平移、对称或旋转变换,设计一个精美图案,使其满足:①既是轴对称图形,又是以点O为对称中心的中心对称图形;②所作图案用阴影标识,且阴影部分的面积为4.答案图解:如图所示.(答案不唯一)综合能力提升练4.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,4),把线段AB绕点A旋转后得到线段AB',使点B的对应点B'落在x轴的正半轴上,则点B'的坐标是(B)A.(5,0)B.(8,0)C.(0,5)D.(0,8)5.(宜昌中考)如图,在平面直角坐标系中,把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA,点A,B,C 的坐标分别为(-5,2),(-2,-2),(5,-2),则点D的坐标为(A)A.(2,2)B.(2,-2)C.(2,5)D.(-2,5)6.(聊城中考)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在BC边上的点A1处,则点C 的对应点C1的坐标为(A)A.(-95,125) B.(-125,95)C.(-165,125) D.(-125,165)7.如图,将△ABC绕点C(0,1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为(D)A.(-a,-b)B.(-a,-b-1)C.(-a,-b+1)D.(-a,-b+2)8.如图,把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转θ(0°<θ<90°)角得到另一条数轴y,x 轴和y轴构成一个平面斜坐标系.规定:过点P作y轴的平行线,交x轴于点A,过点P作x轴的平行线,交y轴于点B,若点A在x轴上对应的实数为a,点B在y轴上对应的实数为b,则称有序实数对(a,b)为点P的斜坐标,在某平面斜坐标系中,已知θ=60°,点M的斜坐标为(3,2),点N与点M关于y轴对称,则点N的斜坐标为(-3,5).9.如图,正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴,y轴上,点D(5,3)在边AB上,以点C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D'的坐标是(-2,0)或(2,10).10.(温州中考)如图,P,Q是方格纸中的两格点,请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.(1)在图1中画出一个面积最小的▱PAQB.(2)在图2中画出一个四边形PCQD,使其是轴对称图形而不是中心对称图形,且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.解:(1)画法不唯一,如图①,②等.(2)画法不唯一,如图③,④等.11.如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点,点A,B,C,D均在格点上,在网格中将点D按下列步骤移动:第一步:点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1;第二步:点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2;第三步:点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径;(2)所画图形是轴对称图形.解:(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示.12.(黑龙江龙东地区中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,2).请解答下列问题:(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标;(3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3,并写出点A3的坐标.答案图解:(1)△A1B1C1如图所示,此时点A1的坐标为(-2,2).(2)△A2B2C2如图所示,此时点A2的坐标为(4,0).(3)△A3B3C3如图所示,此时点A3的坐标为(-4,0).拓展探究突破练13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3,2),B(-1,4),C(0,2).(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后的△A1B1C;(2)平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(-5,-2),画出平移后的△A2B2C2;(3)若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C,请直接写出旋转中心的坐标.解:(1)△A1B1C如图所示.(2)△A2B2C2如图所示.(3)如图所示,旋转中心的坐标为(-1,0).。
坐标变换与旋转
坐标变换与旋转在计算机图形学和几何学领域，坐标变换和旋转是非常重要的概念。
通过对坐标系统进行变换和旋转操作，我们可以实现对图形的平移、旋转、缩放和扭曲等变换，从而得到想要的效果。
一、坐标变换1. 平移变换平移变换是将坐标系统在平面上按照指定的位移量进行移动的操作。
通过平移变换，我们可以将图形在平面上沿指定的方向进行移动，而不改变其形状和大小。
平移变换通常用一个二维向量来表示，其中向量的两个分量分别表示在x轴和y轴上的平移量。
2. 缩放变换缩放变换是将图形在平面上按照指定的比例进行放大或缩小的操作。
通过缩放变换，我们可以改变图形的大小，同时保持其形状不变。
缩放变换通常用一个二维向量来表示，其中向量的两个分量分别表示在x 轴和y轴上的缩放比例。
3. 扭曲变换扭曲变换是将图形在平面上按照指定的变换矩阵进行扭曲的操作。
通过扭曲变换，我们可以实现图形在平面上的形状变换，包括旋转、拉伸和错切等。
扭曲变换通常使用一个二维变换矩阵来表示，其中矩阵的元素表示了图形在进行扭曲变换时的各种变化。
二、旋转操作旋转操作是将图形在平面上按照指定的角度进行旋转的操作。
通过旋转操作，我们可以改变图形在平面上的朝向和角度，从而实现不同的视觉效果。
旋转操作通常使用一个旋转矩阵来表示，其中旋转矩阵的元素通过余弦和正弦函数的计算得到。
三、应用场景1. 计算机图形学在计算机图形学中，坐标变换和旋转是非常重要的操作。
通过对图形进行坐标变换和旋转，可以实现三维图形的显示和交互效果，从而呈现出真实世界的虚拟场景。
同时，在计算机游戏开发和动画制作中，坐标变换和旋转也被广泛应用。
2. 机器人和自动化控制在机器人和自动化控制领域，坐标变换和旋转是实现精准定位和控制的重要工具。
通过对坐标系统进行变换和旋转，可以实现机器人的精准定位和轨迹规划，从而实现各种复杂的自动化任务。
3. 地理信息系统在地理信息系统中，坐标变换和旋转被用于地理空间数据的处理和分析。
2022秋九年级数学上册 第24章 圆24.1 圆的有关性质 3弧、弦、圆心角说课稿新人教版
24.1.3 《弧、弦、圆心角》说课稿教材分析：本课是人教版九年级上册第二十四章第一节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。
主要研究弧，弦，圆心角的关系。
教材中充分利用圆的对称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的证明的有机结合。
在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。
同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。
教学目标分析：1、让学生在实际操作中发现圆的旋转不变性.2、结合图形让学生了解圆心角的概念，学会辨别圆心角.3、引导学生发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题.4、培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律.教法分析：1.学情：由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。
由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等对等的理解可能不透彻，我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路，这时我会有意识引导，针对性训练，构建学生头脑中新的知识网络。
2．教学活动是教与学双边互动过程，必须充分发挥学生的主体和教师的主导作用，因此教学目标的达成，需优选教学法，根据学生的学情，本节课在探究圆心角，弦，弧之间的相等关系我采用发现模式，基本程序是：观察实践——概括归纳——重点研讨——推理反思。
这种教学模式注重知识的形成过程，有利于体现学生的主体地位和分析问题的方法，例题教学时采用讲授模式，一方面通过新知识的讲解练习，及时反馈，查缺补漏，使学生树立信心，培养学习能力，另一方面对大面积提高教学质量也是有意的。
在最后小结时运用自学模式。
3．教学手段：学生动手，现场板演，多媒体辅助教学.教学过程分析：一、创设情景，引入新课1.看一看、思考（1）多媒体动态演示：平行四边形绕对角线交点旋转180度后，你发现了什么？（2）多媒体动态演示：圆绕圆心O旋转180度后，你发现了什么？这两个问题设置是让学生感性认识，发现平行四边形和圆旋转180度后都能与自生重合，是中心对称图形。
沪科版九年级数学下册在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换
已知如图，△ABC与 △DEF关于原点O成中心 对称，A（-1，2），C（-1， 1），E（4，-3），则B、 D、F的坐标分别为B （_-4_，__3_），D（_1_，__-_2）， F（_1_，__-1_）.
随堂练习
1.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段 A′B′，那么A(－2,5)的对应点A′的坐标是（ B ） A.(2,5) B.(5,2) C.(2,－5) D.(5,－2)
旋转对称图形：
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的 角度后，能够与原图__重__合___，这样的图形叫做旋 转对称图形，这个定点就是_旋__转__中__心__.
中心对称图形定义：
如 果 一 个 图 形 绕 一 个 点 旋 转 180° 后 ， 能 和 原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对 称图形；这个点叫做它的对称中心.
y
A′
C′
2
1
B′B
-2 -1 O
1
-1
-2
A
C
2x
（1）
y 2
1
C′ B′B
-2 -1 O
1
A′
-1
-2
A
C
2x
（2）
y 2
1
B′B
-2 -1 O
1
-1
A
C
2x
-2
A′
C′
（3）
y 2
1
B′B
-2 -1 O
1
-1
-2
A A′
C C′
2x
（4）
（2）给出点A′，B′，C′的坐标（填在下表中）：
270°
360°
对应点坐标 (_－__y_，___x_) (－__x_，__－___y) (_y_，___－__x_)
专题24.1旋转(举一反三)(沪科版)(原卷版)
专题24.1 旋转【十大题型】【沪科版】【题型1 关于原点对称的点的坐标】 (1)【题型2 利用旋转的性质求角度】 (2)【题型3 利用旋转的性质求线段长度】 (3)【题型4 旋转中的坐标与图形变换】 (4)【题型5 作图旋转变换】 (6)【题型6 中心对称图形及旋转对称图形】 (8)【题型7 旋转中的周期性问题】 (9)【题型8 旋转中的多结论问题】 (10)【题型9 旋转中的最值问题】 (12)【题型10 旋转的综合】 (13)【题型1 关于原点对称的点的坐标】【例1】（2022春•平阴县期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为．【变式11】（2022秋•雨花区期末）若点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，则3m+2n的值为．【变式12】（2022秋•常熟市期末）已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m的取值范围是．【变式13】（2022春•永新县期末）已知点P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第=3的解是．二象限，且a为整数，则关于x的分式方程2x−ax+1【题型2 利用旋转的性质求角度】【例2】（2022春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为．【变式21】（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【变式22】（2022•天津一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在边AB上，将△ADC 绕点A逆时针旋转40°，得到△AD'B，且D'，D，C三点在同一条直线上，则∠ACD的大小为（）A．20°B．30°C．40°D．45°【变式23】（2022•城步县模拟）如图，P为等边三角形ABC内一点，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，则以P A，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（）A．1：2：3B．2：3：4C．3：4：5D．5：6：7【题型3 利用旋转的性质求线段长度】【例3】（2022春•仪征市期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（）A．1B．√2C．√3D．3√2−3【变式31】（2022春•如皋市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕点A 逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则B′B的长为（）A．2√3B．5C．2√5D．6【变式32】（2022•东莞市校级一模）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O 逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（）A．3√5B．12√55C．9√55D．16√55【变式33】（2022春•和平区期末）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝4，BC ＝2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（）A．2√3B．2√7C．√3或√7D．2√3或2√7【题型4 旋转中的坐标与图形变换】【例4】（2022秋•黄石期末）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D （﹣3，﹣1），则点C的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a+2，﹣b）C．（﹣a﹣1，﹣b+1）D．（﹣a+1，﹣b﹣1）【变式41】（2022秋•本溪期末）如图，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2√7，将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣4，2）B．（﹣2√3，4）C．（﹣2√3，2）D．（﹣2，2√3）【变式42】（2022秋•西湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，△MNP绕原点逆时针旋转90°得到△M1N1P1，若M（1，﹣2），则点M1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（1，2）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）【变式43】（2022•新抚区模拟）如图，Rt△AOB的斜边AO在y轴上，OB=√3，∠AOB＝30°，直角顶点B在第二象限，将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转120°后得到△A′OB'，则A点的对应点A′的坐标是（）A．（√3，﹣1）B．（1，−√3）C．（2，0）D．（√3，0）【题型5 作图旋转变换】【例5】（2022春•化州市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2．【变式51】（2022春•洪雅县期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）将△ABC向下平移5个单位得△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1．（2）画出△ABC关于点B成中心对称的图形．（3）在直线l上找一点P，使△ABP的周长最小．【变式52】（2022春•蒲城县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，请画出△A2B2C2．【变式53】（2022秋•利通区期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；并写出A2、B2、C2的坐标．【题型6 中心对称图形及旋转对称图形】【例6】（2022秋•单县校级月考）如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是．【变式61】（2022秋•普陀区期末）在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有个旋转对称图形．【变式62】（2022秋•孝义市期中）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转°能与原雪花图案重合．【变式63】（2022春•景德镇期中）如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．【题型7 旋转中的周期性问题】【例7】（2022春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P1，延长OP1到P2，使得OP2＝2OP1；再将点P2绕着原点O 按逆时针方向旋转30°得到P3，延长OP3到P4，使得OP4＝2OP3……如此继续下去，点P2023坐标为（）A．（﹣21010，√3•21010）B．（0，21011）C．（21010，√3•21010）D．（√3•21010，21010）【变式71】（2022秋•中原区校级期末）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为（1，√3），将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（）A．(−1，√3)B．(−√3，1)C．(−√33，1)D．(−1，√33)【变式72】（2022•开封一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕O点顺时针选择45°后，得到正方形OA1B1C1，以此方式，绕O点连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果点C的坐标为（0，1），那么点B2022的坐标为（）A．(0，−√2)B．(−√2，0)C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）【变式73】（2022春•高州市期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD ＝4√2，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（）A．（6，4）B．（﹣6，4）C．（4，﹣6）D．（﹣4，6）【题型8 旋转中的多结论问题】【例8】（2022•益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【变式81】（2022春•邗江区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①EF=√2DE，②EF2＝AE2+CE2，③线段PF的最小值是4√2，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是（）A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④【变式82】（2022春•双牌县期末）一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC ＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②四边形CMFN有可能是正方形：③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【变式83】（2022春•德州期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化；③△BEF周长的最小值为(1+√2)OA；④AE2+CF2＝2OB2．其中正确的结论有（）A．①③B．②③C．①④D．③④【题型9 旋转中的最值问题】【例9】（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝，FB+FD的最小值为．【变式91】（2022春•大埔县期中）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝AD ＝3，AB＝AE＝5．连接BD，CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当∠DBA最大时，S△ACE ＝（）A．6B．6√2C．9D．9√2【变式92】（2022春•龙岗区期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为√3+1，则AB的值为（）A．2B．4√3C．2√3D．4【变式93】（2022春•南京期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）A．2B．2√2C．3D．√10【题型10 旋转的综合】【例10】（2022春•长沙期末）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），P A，PB与直线MN重合，且三角板P AC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）在图1中，∠DPC＝；（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板P AC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板P AC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；②如图3，在图1基础上，若三角板P AC的边P A从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与P A重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？【变式101】（2022春•南川区期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上，连接EC，EC绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接CF、AF，CF与对角线BD交于点G．（1）若BE＝2，求AF的长度；（2）求证：AF+2BG=√2AD．【变式102】（2022•平邑县一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．【变式103】（2022•泰安一模）如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．（1）求证：CE平分∠BED；（2）取BC的中点M，连接MH，求证：MH∥BG；（3）若BC＝2AB＝4，求CG的长．。
直角坐标系中的几何变换方法总结
直角坐标系中的几何变换方法总结直角坐标系是我们在数学和物理学中经常使用的一种坐标系统。
在直角坐标系中，我们可以通过坐标点的位置来描述一个点的位置。
然而，在实际问题中，我们经常需要对坐标系进行一些变换，以便更好地解决问题。
本文将总结一些常见的几何变换方法，帮助读者更好地理解和应用直角坐标系。
一、平移变换平移变换是指在直角坐标系中将一个图形沿着某个方向移动一定的距离。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变了它的位置。
在直角坐标系中，我们可以通过将图形中的每个点的坐标增加或减少相同的数值来实现平移变换。
例如，如果我们要将一个图形沿着x轴正方向平移3个单位，我们可以将每个点的x坐标加3。
二、旋转变换旋转变换是指在直角坐标系中将一个图形绕着某个点或某个轴旋转一定的角度。
旋转变换不改变图形的大小和形状，只改变了它的方向。
在直角坐标系中，我们可以通过将图形中的每个点绕着旋转中心进行旋转来实现旋转变换。
旋转的角度可以用弧度或度数来表示。
例如，如果我们要将一个图形绕着原点逆时针旋转90度，我们可以使用旋转矩阵来计算每个点的新坐标。
三、缩放变换缩放变换是指在直角坐标系中将一个图形沿着某个方向放大或缩小一定的比例。
缩放变换改变了图形的大小，但不改变它的形状和方向。
在直角坐标系中，我们可以通过将图形中的每个点的坐标乘以相同的比例因子来实现缩放变换。
例如，如果我们要将一个图形沿着x轴方向放大2倍，我们可以将每个点的x坐标乘以2。
四、对称变换对称变换是指在直角坐标系中将一个图形关于某个点、某个直线或某个平面进行对称。
对称变换不改变图形的大小和形状，只改变了它的位置。
在直角坐标系中，我们可以通过将图形中的每个点的坐标关于对称中心进行对称来实现对称变换。
例如，如果我们要将一个图形关于x轴进行对称，我们可以将每个点的y坐标取负值。
五、剪切变换剪切变换是指在直角坐标系中将一个图形沿着某个方向进行拉伸或压缩。
剪切变换改变了图形的形状，但不改变它的大小和方向。
沪科版数学九年级下册24.1 在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换教案与反思
24.1 旋转令公桃李满天下，何用堂前更种花。
出自白居易的《奉和令公绿野堂种花》学校陈道元第3课时在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换1．理解并掌握旋转变化的特点，能够解决坐标平面内的旋转变换问题(重点，难点)；2．能够运用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计(难点)．一、情境导入2016年里约热内卢奥运会会徽是由三人牵手相连的标志，以代表巴西的著名景点“面包山”作为图形的基础，融合充满激情的卡里奥克舞，并且呼应了巴西国旗的绿黄蓝三色．标志象征着团结、转变、激情及活力，在和谐动感中共同协力，同时也体现了里约的特色和这座城市多样的文化，展示了热情友好的里约人和这座美丽的上帝之城．二、合作探究探究点一：坐标平面内的旋转变换【类型一】坐标平面内图形的旋转变换如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为( )A．(3，1) B．(3，2)C．(2，3) D．(1，3)解析：根据网格结构找出点A、B旋转后的对应点A′、B′的位置，然后与点O顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标．如图，点A′的坐标为(1，3)，故选D.方法总结：本题考查了坐标与图形旋转，根据网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解．【类型二】坐标平面内线段的旋转变换如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是(1，0)，若点A的坐标为(a，b)，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标是__________．解析：过点A作AC⊥x轴，过点A′作A′D⊥x轴，垂足分别为C、D，显然t△ABC≌Rt△BA′D.∵点A的坐标为(a，b)，点B的坐标是(1，0)，∴OD＝OB ＋BD＝OB＋AC＝1＋b，A′D＝BC＝OC－OB＝a－1.∵点A′在第四象限，∴点A′的坐标是(b＋1，－a＋1)．故答案为(b＋1，－a＋1)．方法总结：本题考查了坐标与线段的变化，作出全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出点A′到坐标轴的距离是解题的关键，书写坐标时要注意点所在的象限．探究点二：动态图形的操作与图案设计【类型一】 图形的变换用四块如图(1)所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．解：解法不唯一．例如：方法总结：求解时只要符合题意即可，另外，在平时的学习生活中一定要留意身边各种形状的图案，这样才能在具体求解问题时如鱼得水，一蹴而就．【类型二】 图案设计如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设一个精美图案，使其满：①既是轴对称图形，又是以点O 为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4.解析：所给左上角的三角形的面积为12×1×1＝12，故设计图案总共需要三角形4÷12＝8(个)，以O 为对称中心的中心对称图形，同又是轴对称图形的设计方案有很多．答案：答案不唯一，以下各图供参考：方法总结：在读清要求后，进行方案的尝试设计，一般要经历一个不断修改的过程，使问题在修正中得以解决．三、板书设计1．坐标平面内的旋转变换2．动态图形的操作与图案设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，鼓励学生自己动手操作，经历运用平移、旋转、轴对称的组合进行简单的图案设计过程，体会图形的欣赏与设计的奇妙.【素材积累】1、人生只有创造才能前进；只有适应才能生存。
《在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换》教案1
《在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换》教案 教学目标知识与技能1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证.2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算.过程与方法在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力.情感态度通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情. 教学重点垂径定理及运用.教学难点用垂径定理解决实际问题.教学过程一、情境导入，初步认识教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下:①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？②如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径CD ⊥AB 于点M ，能发现图中有哪些等量关系？(在纸片上对折操作)【教学说明】(1)是轴对称图形，对称轴是直线CD .(2)AM =BM ，⋂⋂⋂⋂==BD AD ,BC AC .二、思考探究，获取新知1.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论(垂径定理推论):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.2.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程.3.例题解析：例1 已知:直径CD ，弦AB ，且CD ⊥AB ，垂足为点M .求证:AM =BM ，⋂⋂⋂⋂==BD AD ,BC AC【教学说明】连接OA =OB ，又CD ⊥AB 于点M ，由等腰三角形三线合一可知AM =BM ，再由⊙O 关于直线CD 对称，可得⋂⋂⋂⋂==BD AD ,BC AC .例2 已知:如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的四个点，AB ∥CD .判断⋂AC 与⋂BD 是否相等，并说明理由.探究 垂径定理在计算方面的应用.例3银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，问修理人员应准备内径多大的管道？[过程]:让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维．如下图示，连结OA ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交圆于F ，则AE =12AB =30cm ．令⊙O 的半径为R ，则OA =R ，OE =OF -EF =R -10．在Rt △AEO 中，OA 2=AE 2+OE 2，即R 2=302+(R -10)2．解得R =50cm ．修理人员应准备内径为100cm 的管道．4.课堂小结圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；垂径定理及推论中注意“平分弦(不是直径)的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；注意计算中的两种情况.第二课时教学目标1．知识与技能(1)理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；(2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题．2．过程与方法(1)通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；(2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧．3．情感、态度与价值观经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．教学重难点重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．教学过程一、创设情境，导入新课问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？(如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴)．问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？生：折叠．今天我们继续来探究圆的对称性．问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？生：圆心和半径．问题2：你学习过圆中的哪些概念吗？填一填：1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________．3．___________叫做等圆，_________叫做等弧．问题3：你还知道圆的哪些概念吗？1.弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；2.弦：圆的任意两个端点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．3.在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧.圆的任意一条直径的两个端点分别为两条等弧，每一条弧都叫做半圆.二、探究交流，获取新知知识点一：圆的对称性1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．知识点二：圆的中心对称性．问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．做一做：在等圆⊙O 和⊙O ' 中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠(如图所示)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．小红认为'B 'A AB ⋂⋂=，''=AB A B ，她是这样想的：∵半径OA 重合，'''∠∠=AOB A O B ，∴半径OB 与OB '重合，∵点A 与点A '重合，点B 与点B '重合，∴⋂AB 与'B 'A ⋂重合，弦AB 与弦A B ''重合，∴⋂AB ='B 'A ⋂，AB =A B ''．生：小红的想法正确吗？同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨． 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系．问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？学生之间交流，谈谈各自想法，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．三、例题讲解例4 已知：A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB =120°，C 是⋂AB 的中点.试判断四边形AOBC 的形状，并说明理由.四、随堂练习1．日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例．2．利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：(1)是轴对称图形但不是中心对称图形；(2)是中心对称图形但不是轴对称图形；(3)既是轴对称图形又是中心对称图形．3．已知，A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是 AB的中点，试确定四边形OACB 的形状，并说明理由．五、知识拓展如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，以点C为圆心，AC为半径的圆交AB于点D，求弧AD所对的圆心角的度数．六、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2．对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3．对老师说，你还有哪些困惑？。