高中数学北师大版选修2-2练习第3章 章末分层突破 Word版含答案
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（ ） A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log )(log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log )2f f f ->>2．已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）A ．[1，)+∞B ．(0，1]C ．[2，)+∞D ．(0,)+∞3．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-4．已知函数()f x lnx =，若关于x 的方程()f x kx =恰有两个不相等的实数根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)eB ．(0，1]eC ．1(2D ．1(25．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．[)3,+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞6．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足()()1ln 20f x f x x x x++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[),e +∞B ．()2,2e -C ．(),2e -D ．[),e -+∞7．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．8．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]12，上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤9．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭10．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()22f x f x +=-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()()2xf x f x ''>，若24a <<则（ ）A ．()()()223log af f f a << B ．()()()23log 2af f a f << C ．()()()2log 32af a f f <<D ．()()()2log 23af a f f <<11．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f x fx f x << C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<12．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 二、填空题13．已知函数(),e ,x xx a f x x x a⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-恰有三个零点，则a 的取值范围是__.14．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是圆O 的直径，上底C 、D 的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为_______________.15．已知函数()24ln f x x x a x =++，若函数()f x 在()1,2上是单调函数，则实数a 的取值范围是______．16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()()2f x f x '+>，()01f =，则不等式()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦的解集为______．17．如果圆柱轴截面的周长l (单位：cm )为定值，则体积最大值为____________3cm ． 18．已知函数()1cos 2f x x x =+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的单调递增区间为______. 19．若函数()2122f x x x aInx =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是__________.20．已知定义在R 上的连续函数()y f x =对任意实数x 满足(4)()f x f x -=，(()2)0x f x -'>，则下列命题正确的有________.①若(2)(6)0f f <，则函数()y f x =有两个零点； ②函数(2)y f x =+为偶函数； ③(2)(sin12cos12)f f >︒+︒； ④若12x x <且124x x +>,则12()()f x f x <.三、解答题21．已知函数)(21ln 2f x x ax x =-+有两个极值点)(1212,x x x x <． （1）求a 的取值范围； （2）求证：21>x 且)(2132f x x <-． 22．近年来，网上购物已经成为人们消费的一种习惯.假设某淘宝店的一种装饰品每月的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)之间满足如下的关系式:24(6),26,,2ay x x a R a x =+-<<∈-为常数.已知销售价格为4元/件时,每月可售出21千件.（1）求实数a 的值；（2）假设该淘宝店员工工资、办公等所有的成本折合为每件2元（只考虑销售出的装饰品件数），试确定销售价格x 的值，使该店每月销售装饰品所获得的利润最大.（结果保留一位小数）23．已知函数()ln f x x ax =-，()2g x x =，a R ∈.（1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围. 24．设函数()ln 1x f x x+=， （1）求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程；（2）当1≥x 时，不等式()()211a x f x x x--≥恒成立，求a 的取值范围． 25．已知函数()2xf x eax b =-+（0a >，b R ∈，其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，当a b =时，求实数a 的取值范围. 26．已知32()1,f x x ax a R =++∈. （1）若()f x 在23x =处取极值，求()f x 在点(,1)a -处切线方程； （2）若函数()f x 在区间[]01，最小值为－1，求a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先设函数()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数()y f x =的对称性和单调性，再将2log 9，0.50.5-，以及31log 2转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小.【详解】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数； ()ln3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数， 将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增. ∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈， ∴0.52314log 92log 0.512->>->>， ∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】思路点睛：本题是一道函数单调性，奇偶性，对称性，判断大小的习题，本题所给函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，看似很复杂，但仔细观察就会发现，通过换元后可判断函数()1y f x =+是偶函数，本题的难点是判断函数的单调性，关键点是能利用对称性，转化3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2．A解析：A 【分析】求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，等价于()'211f x ax =-≥，1x 时恒成立， 0a时，()'0f x <，不合题意，0a >时，只需211ax -，即1ax在[1，)+∞恒成立， 故max 1()1a x=，故a 的范围是[1，)+∞， 故选：A 【点睛】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，由此考虑利用导数进行求解.3．C解析：C 【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则00,12y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点； 在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.4．A解析：A 【分析】f （x ）＝kx 可变形为k lnxx=，关于x 的方程f （x ）＝kx 的实数根问题转化为直线y ＝k 与函数g （x ）g （x ）lnxx=的图象的交点个数问题，由导数运算可得函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数，又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=，画草图即可得解． 【详解】 设g （x ）()f x lnx xx==， 又g ′（x ）21lnxx-=， 当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，当x ＞e 时，g ′（x ）＜0， 则函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数， 又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=， 即直线y ＝k 与函数g （x ）的图象有两个交点时k 的取值范围为（0，1e）， 故选A ．【点睛】本题考查了导数的运算及方程与函数的互化及极限思想，属于中档题.5．B解析：B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．6．D解析：D 【分析】利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解. 【详解】()()1ln 20f x f x x xx++=′， ()2ln f x x x C ∴+=， ()2ln f e e e C ∴+=，()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，()2ln 0f x x x ∴+=，()2ln x f x x∴=-()1x >，不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立， 令()ln x g x x =-，则()()21ln ln x g x x -=′， 令()()21ln 0ln xg x x -==′，解得x e =，∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减，∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，()()max ln eg x g e e e==-=-， a e ∴≥-，∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 7．B解析：B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．8．D解析：D 【分析】求函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系进行判断，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，分离参数m ，即可得到答案． 【详解】由题得2()4f x x mx '=-+，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，即240x mx -+≥，则244x m x x x+≤=+在[]12，上恒成立，又44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以4m ≤， 故答案选D 【点睛】本题主要考查导数与原函数单调性之间的关系，将含参问题转化为最值成立，是解决本题的关键，属于中档题．9．B解析：B 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x-==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，，故不等式121(())x x f e f e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】由()f x =(4)f x -得到函数的对称性，(2)()0x f x '->得到函数的单调性，结合关系即可得到结论. 【详解】由于函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -， 可知函数关于2x =对称，根据条件2x ≠时，有()2(),xf x f x ''> 得(2)()0x f x '->，当2x >时()f x 递增，当2x <时()f x 单调递减， 因为24a <<所以4216a <<，21log 2a <<，因为2x =是对称轴，所以22log 3a <<， 所以22log 32aa <<<， 所以2(log )(3)(2)af a f f <<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小.11．D解析：D 【分析】由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2f x 的大小，从而求得最后的结果. 【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x-=， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f x f x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．12．C解析：C 【解析】 函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=- ，22222210cos 22a cb b ac ac B ac +-=--+≤⇒=≥()0,(0,].3B B ππ∈∴∈故最大值为：3π．故答案为C ．二、填空题13．【分析】设函数求得求得函数的单调性和极值画出函数的图象结合图象分类讨论即可求解【详解】设函数则令得：当时函数单调递增；当时函数单调递减又故画出函数的图象如图所示：因为存在实数b 使函数恰有三个零点所以解析：1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 设函数()x x h x e =，求得()1xxh x e '-=，求得函数的单调性和极值，画出函数的图象，结合图象分类讨论，即可求解. 【详解】 设函数()x x h x e =，x ∈R ，则()1xxh x e '-=，令()0h x '=得：1x =， 当(),1x ∈-∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，又()11h e=，故画出函数()h x 的图象，如图所示：因为存在实数b ，使函数()()g x f x b =-恰有三个零点， 所以存在实数b ，使方程()f x b =有三个实数根，所以存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，因为函数(),,x xx a f x e x x a⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，结合函数()h x 的图象和函数y x =-单调递减，所以1a <，①当01a ≤<时，函数()f x 的图象如图所示：显然存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，符合题意， ②当0a <时，函数()f x 的图象如图所示：要存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，则1a e-<，解得1a e >-，所以10a e-<<， 综上所述，a 的取值范围是：1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】有关函数零点的判定方法及策略：（1）直接法：令()0f x =，有几个解，函数就有几个零点；（2）零点的存在定理法：要求函数()f x 在区间[],a b 上连续不断的曲线，且()()0f a f b <，再结合函数的图象与性质确定零点的个数；（3）图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数()f x 的零点个数.14．【分析】连过作垂足为设则则等腰梯形的面积令利用导数求其最值【详解】连过作垂足为如图：设则所以等腰梯形的面积令单调递增单调递减所以时取得极大值也是最大值即的最大值故答案为：【点睛】本题考查了函数的实际 解析：33【分析】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，设(02),OE x x CE y =<<=，则224x y +=，则等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+3(2)(2)x x =+-，令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<，利用导数求其最值. 【详解】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，如图：设,OE x CE y ==，则224x y +=， 所以等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+2(2)4x x =+-2x =<<令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<232()3(2)(2)(2)4(1)(2)h x x x x x x '=+--+=-+， (0,1),()0,()x h x h x ∈'>单调递增， (1,2),()0,()x h x h x ∈'<单调递减，所以1x =时，()h x 取得极大值，也是最大值，max ()(1)27h x h ==，即S 的最大值故答案为： 【点睛】本题考查了函数的实际应用，运用导数求最值时解题的关键，属于中档题.15．【分析】对函数进行求导导函数在区间上恒非正或恒非负进行求解即可【详解】由题意得：函数的定义域为由题意可知：或在区间上恒成立当在区间上恒成立时当时因此有；当在区间上恒成立时当时因此有综上所述：实数的取 解析：(,16][6,)-∞-+∞【分析】对函数进行求导，导函数在区间()1,2上恒非正或恒非负进行求解即可. 【详解】由题意得：函数()f x 的定义域为()0+∞，， 2'()+4ln ()2+4af x x x a x f x x x=+⇒=+，由题意可知：'()0f x ≥或'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立.当'()0f x ≥在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2ax a x x x x+≥⇒≥--=-+， 当()1,2x ∈时，()2(24)166x x --∈--，，因此有6a ≥-； 当'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2ax a x x x x+≤⇒≤--=-+， 当()1,2x ∈时，()2(24)166x x --∈-，，因此有16a ≤-， 综上所述：实数a 的取值范围是(,16][6,)-∞-+∞. 故答案为：(,16][6,)-∞-+∞. 【点睛】本题考查了已知函数在区间上的单调性求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力，属于中档题.16．【分析】构造函数则所以的单调递减将转化成又再根据函数单调性即可求出结果【详解】设所以因为所以所以在上为减函数因为函数是定义在上的增函数所以所以在上恒成立又因为所以所以即因为所以所以又在上为减函数所以 解析：(),0-∞【分析】 构造函数()()2+=x f x g x e ，则()()()()20'-+'=<xf x f xg x e，所以()g x 的单调递减，将()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦转化成()23+>xf x e，又()03g =，再根据函数单调性即可求出结果. 【详解】设()()2+=x f x g x e ，所以()()()()()()()222''-+-+'==x x x xf x e f x e f x f xg x e e， 因为()()2f x f x '+>，所以()0g x '<，所以()()2+=xf xg x e在R 上为减函数， 因为函数()f x 是定义在R 上的增函数，所以()0f x '>，所以()()20'+>>f x f x 在R 上恒成立，又因为()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦，所以()2ln3+>f x x ，所以()23+>x f x e ，即()23+>x f x e ，因为()01f =，所以()()00203+==f g e，所以()()0g x g >，又()()2+=xf xg x e在R 上为减函数，所以0x <. 故答案为：(),0-∞ 【点睛】本题主要考查导数在判断单调性中的应用，解题的关键是合理构造函数，利用导函数判断构造的函数的单调性.17．【分析】设出圆柱的底面半径和高求出体积表达式通过求导求出体积的最大值【详解】设圆柱底面半径高圆柱轴截面的周长为定值则求导可得：令可得当时当时当时圆柱体积的有最大值圆柱体积的最大值是：故答案为：【点睛解析：3216l π 【分析】设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值． 【详解】设圆柱底面半径R ，高H ，圆柱轴截面的周长l 为定值， 则42R H l +=22lH R ∴=-22232222l l V SH R H R R R R ππππ⎛⎫∴===-=- ⎪⎝⎭求导可得：26V Rl R ππ'=- 令0V '=，可得260Rl R ππ-=，(6)0R l R π∴-= 60l R ∴-=6lR ∴=当6lR >时，(6)0V R l R π'=-< 当6lR <时，(6)0V R l R π'=-> 当6l R =时，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：32322216l l V R R πππ=-=故答案为：3216l π．【点睛】本题主要考查了根据导数求最值，解题关键是掌握根据导数求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．18．【分析】首先求出函数的导函数由再根据三角函数的性质解三角不等式即可；【详解】解：所以令即所以故的单调递增区间为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间三角函数的性质的应用属于中档题解析：06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先求出函数的导函数，由()0f x '>，再根据三角函数的性质解三角不等式即可； 【详解】 解：()1cos 2f x x x =+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以()1sin 2f x x '=-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()0f x '>，即1sin 02x -+>，所以06x π<<，故()f x 的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，三角函数的性质的应用，属于中档题.19．【分析】对函数求导要满足题意只需导函数在定义域内有两个零点数形结合即可求得【详解】由可得函数定义域为且若满足有两个不同的极值点则需要满足有两个不同的实数根即在区间上有两个不同的实数根也即直线与函数有 解析：()0,1【分析】对函数求导，要满足题意，只需导函数在定义域内有两个零点，数形结合即可求得. 【详解】 由()2122f x x x aInx =-+可得函数定义域为()0,∞+且()2a f x x x=+-' 若满足()f x 有两个不同的极值点， 则需要满足()20af x x x=-'+=有两个不同的实数根， 即22a x x =-+在区间()0,∞+上有两个不同的实数根，也即直线y a =与函数()22,0,y x x x =-+∈+∞有两个交点，在直角坐标系中作图如下：数形结合可知，故要满足题意，只需()0,1a ∈. 故答案为：()0,1. 【点睛】本题考查由函数极值点的个数，求参数范围的问题，属基础题；本题也可转化为二次函数在区间()0,∞+上有两个实数根，从而根据二次函数根的分布进行求解.20．①②④【分析】根据已知条件得到函数的对称轴以及函数的单调性结合题意对选项进行逐一判断即可【详解】因为故关于对称；又故当时单调递增；时单调递减对①：若根据函数单调性显然则根据零点存在定理和函数单调性在解析：①②④ 【分析】根据已知条件得到函数的对称轴，以及函数的单调性，结合题意，对选项进行逐一判断即可.【详解】因为(4)()f x f x -=，故()f x 关于2x =对称；又(()2)0x f x -'>，故当2x >时，()f x 单调递增；2x <时，()f x 单调递减. 对①：若(2)(6)0f f <，根据函数单调性，显然()()20,60f f ，则()20f -> 根据零点存在定理和函数单调性，()f x 在()()2,2,2,6-上各有1个零点，故①正确； 对②：因为()f x 关于2x =对称，故()2f x +关于0x =对称，故是偶函数，则②正确；对③：121257sin cos ︒+︒=︒<(),2-∞单调递减可知，()1212ff sin cos <︒+︒，故③错误；对④：因为12x x <，故可得1222x x -<-；因为124x x +>，故可得1222x x -<- 故2122x x ->-，又函数关于2x =对称，结合函数单调性， 故可得()()21f x f x >，故④正确. 综上所述：正确的有①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查根据导数的正负判断函数的单调性，函数对称轴的识别，涉及辅助角公式的使用，利用函数单调性比较大小，属综合性中档题.三、解答题21．（1）2a >；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用题中的条件函数有两个极值点，相当于导数等于零有两个解，对函数求导，对函数加以分析，最后求得结果；（2）构造相应的函数，研究函数的图像，找出其对应的最值，最后求得结果. 【详解】解：（1）)(211x ax f x x a x x='-+=-+，即方程210x ax -+=有两相异正根，即方程1a x x =+有两相异正根，由1y x x=+图象可知2a >． （2）要证)(2132f x x <-，只要证2222113ln 22x ax x x -+<-， 1x 、2x 为方程210x ax -+=的两根，121=x x ，2221ax x =+．只要证)(2222221311ln 22x x x x -++<-；只要证3222213ln 22x x x x --+<-；2x 为方程210x ax -+=的较大根，212ax >>． 令)()(32222221ln 12g x x x x x x =--+>． )()(222223ln 12g x x x x '=-+>，)()(222221301g x x x x =-+<'>'；)(22223ln 2g x x x +'=-在)(1,+∞上单调减，所以)(()210g x g ''<<恒成立；)(2g x 在)(1,+∞上单调减，)(()2312g x g <=-．【点睛】：思路点睛：该题属于导数的综合题，在做题的过程中，紧紧抓住导数与函数性质的关系，导数大于零单调增，导数小于零，函数单调减，借用二阶导来进一步研究函数的性质，对于不等式的证明问题，注意转化为最值来处理. 22．(1)10a =；(2) 3.3. 【分析】(1)将“销售价格为4元/件时,每月可售出21千件”带入关系式中即可得出结果； (2)首先可通过题意得出每月销售装饰品所获得的利润24(6102)2f x x x x ，然后通过化简并利用导数求得最大值，即可得出结果． 【详解】(1)由题意可知，当销售价格为4元/件时,每月可售出21千件， 所以2214(46)42a ，解得10a =．(2)设利润为()f x ，则2f xy x ，26x <<，带入2104(6)2y x x =+--可得： 224(6)(6)10210422f x xx x x x ，化简可得32456240278f xx x x ，函数()f x 的导函数21211224043106f xx x x x ，26x <<，当0f x 时，1032x ，函数()f x 单调递增；当0f x时，1036x ，函数()f x 单调递减；当0fx 时，103x，函数()f x 取极大值，也是最大值，所以当103x，函数()f x 取最大值，即销售价格约为每件3.3元时，该店每月销售装饰品所获得的利润最大． 【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查函数的实际应用以及利用导数求函数的最值，本题的关键在于能够通过题意得出题目所给的销售量、销售价格以及每月销售装饰品所获得的利润之间的关系，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，是中档题． 23．（1）答案见解析；（2）[)1,-+∞.【分析】（1）对实数a 分情况讨论，求导得到导函数的正负，进而得到函数的单调性和极值； （2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln x a x x≥-恒成立，令()()ln 0x h x x x x=->，对此函数求导得到函数的单调性和最值即可得到结果. 【详解】 （1）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1f x a x '=-. 当0a ≤时，()10f x a x'=->，所以()y f x =在()0,∞+上单调递增，无极值点； 当0a >时，解()10f x a x '=->得10x a <<；解()10f x a x '=-<得1x a>. 所以()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以函数()y f x =有极大值点是1a ，无极小值点； （2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln x a x x≥-恒成立， 令()()ln 0x h x x x x =->，则()221ln x x h x x--'=，令()()21ln 0k x x x x =-->， 则当0x >时，()120k x x x'=--<，所以()y k x =在()0,∞+上为减函数. 又(1)0k =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞上，()0h x '<. 所以()y h x =在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数.所以()()max 11h x h ==-，所以1a ≥-.因此，实数a 的取值范围是[)1,-+∞.【点睛】对于函数不等式恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.24．（1）230x e y e +-=（2）(,0]-∞【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率为()'f e ，最后根据点斜式求切线方程（2）构造函数()()2ln 1g x x a x =--，利用导数并按0a ≤，10<2a <，12a ≥进行分类讨论，通过函数的单调性以及最值进行与0比较，可得结果. 试题 （1）根据题意可得，()2f e e =， ()2ln 'x f x x -=，所以()22ln 1'e f e e e -==-，即21k e =-， 所以在点()(),e f e 处的切线方程为()221y x e e e-=--，即230x e y e +-=． （2）根据题意可得，()()()221ln 110a x x a x f x x x x-----=≥在1≥x 恒成立，令()()2ln 1g x x a x =--，()1x ≥， 所以()12g x ax x-'=， 当0a ≤时，()0g x '>，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递增，所以()()10g x g ≥=，所以不等式()()21a x f x x ->成立，即0a ≤符合题意；当0a >时，令120ax x-=，解得x =1=，解得12a =，当10<2a <1，所以()g x '在⎛⎝上()0g x '>，在+⎫∞⎪⎪⎭上()0g x '<，所以函数()y g x =在⎛ ⎝上单调递增，在+⎫∞⎪⎪⎭上单调递减，21111ln 1ln g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()1ln h a a a a =--+， ()222111'10a a h a a a a-+=-++=>恒成立，则()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 所以()1111ln 2ln2202222h a h ⎛⎫<=--+=+-< ⎪⎝⎭，所以存在10g a ⎛⎫<⎪⎝⎭， 所以102a <<不符合题意；②当12a ≥1≤ ()0g x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递减，所以()()10g x g ≤= 显然12a ≥不符合题意； 综上所述，a 的取值范围为{}|0a a ≤25．（1）1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）32a e > 【分析】（1）直接求出函数的导函数，令()0f x '>，解不等式即可；（2）由题意容易知道2102222a ln a a a f ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解出即可求得实数a 的取值范围； 【详解】解：（1）因为()2x f x e ax b =-+所以()()220x f x e a a '=->，令()0f x '>，得1ln 22a x >，∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，函数()f x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ∴x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞，()f x →+∞，∵函数()f x 有两个零点12,x x ，∴1ln 022a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又a b =， ∴ln 21ln ln 02222a a a a f e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， 即ln 0222a a a a -+< 所以3ln02a -< 所以32a e >【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数中零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．26．（1）y x =；（2）3a=-. 【分析】（1）求出导函数，结合()f x 在23x =处取极值，导函数为0，求解a ，然后求解切线的斜率，求解切线方程．（2）令()0f x '=，求出极值点，若0a ，若32a -，若302a >>-，判断导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值与最值，然后推出结果．【详解】 解：（1）∵2()3()3f x x x a '=+，又()f x 在23x =处取极值， ∴2()03f '=得1a =-， 当1a =-时2()33f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，函数在(),0-∞和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，满足题意；∴32()1f x x x =-+，切点为(1,1)，切线斜率为(1)1k f '==∴()f x 在点(1,1)的切线方程为y x = （2）∵2()3()3a f x x x '=+，令()0f x '=得0x =或23a - 若0a ≥，则(0,1)x ∈时()0f x '>，()f x 在[0，1]为增函数此时min ()(0)11f x f ==>-舍去若32a ≤-，则213a -≥，此时(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在[0，1]为减函数 min ()(1)21f x f a ==+=-，得33(,)2a =-∈-∞-满足题意 若302a >>-，则2013a <-<，此时2(0,)3x a ∈-时()0f x '<，2(,1)3a x ∈-时()0f x '> ()f x 在2(0,)3a -单调递减，在2(,1)3a -单调递增，此时3min24()()11327a a f x f =-=+=-解得3(,0)2a =-舍去 综合以上得3a=-【点睛】 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题．。
2019-2020年北师大版数学选修2-2课时分层作业3 综合法+Word版含解析
课时分层作业(三)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设f (x )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )A ．0B ．1 C.52D ．5 C [∵函数为奇函数，f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)＝－f (1)＋f (2)，∴f (2)＝2f (1)＝2×12＝1，f (3)＝f (1)＋f (2)＝32，f (5)＝f (3)＋f (2)＝32＋1＝52.]2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形D [∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A ．12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．aB [∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12.而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12. 又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大，故选B.]4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝b sin B，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .]5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A ．若m β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γC [对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．]二、填空题6．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b 2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．y >x [x 2＝a ＋b ＋2ab 2，y 2＝a ＋b . y 2－x 2＝a ＋b －a ＋b ＋2ab 2＝a ＋b －2ab 2 ＝(a －b )22≥0.当且仅当a ＝b 时取“＝”．又∵y >0，x >0，且a ≠b ，∴y >x .] 7．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C三点共线，则k ＝________.6 [若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3λ＝k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝6.] 8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． a >c >b [∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c .又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b .] 三、解答题9．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. [证明] ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ＋2ac ·2ab abc ＝8. 10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．[证明] 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，① 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c 2，②把②代入①得(a ＋c )24＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．[能力提升练]1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2B ．32C ．1D ．12 C [∵a x ＝b y ＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3， ∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1．故选C.] 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定C [由正弦定理可知，sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，即sin A ＝1，∴A ＝π2.故△ABC 是直角三角形．] 3．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________． a ＋b [由0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，得a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab .又a >a 2，b >b 2，知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大．]4．已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．3 [对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad ab >0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －ad ab >0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．]5．如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值．[证明] 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ，∴直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x ，消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0，解得y E＝1－ky0k，∴x E＝(1－ky0)2k2.同理可得y F＝1＋ky0－k，∴x F＝(1＋ky0)2k2.∴k EF＝y E－y Fx E－x F＝1－ky0k－1＋ky0－k(1－ky0)2k2－(1＋ky0)2k2＝2k－4ky0k2＝－12y0(定值)．∴直线EF的斜率为定值．。
高中数学北师大版选修2-2练习学业分层测评15 Word版含答案
学业分层测评(十五)(建议用时：分钟)一、选择题．对于以＝()在内汽车作直线运动经过的路程，下列叙述正确的是( )．将等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的是的不足估计值．将等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的是的过剩估计值．将等分，越大，求出的近似替代的精确度越高．将等分，当越大时，求出的就是的准确值【解析】每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高，只有当→＋∞时，估计值才是准确值．【答案】．已知定积分()＝，且()为偶函数，则()＝( )．．．．【解析】偶函数图像关于轴对称，故()＝()＝.故选.【答案】．设()＝则()的值是( )＋＋【解析】被积函数()是分段函数，故将积分区间分为两个区间和，由定积分的性质知选.【答案】．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )图(－)(＋)(－)【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为－＝(－).【答案】．下列各阴影部分的面积不可以用＝求出的是( )【解析】定积分＝的几何意义是求函数()与()之间的阴影部分的面积，必须注意()的图像要在()的图像上方，对照各选项，知中()的图像不全在()的图像上方．【答案】二、填空题．定积分(－)＝．【解析】由定积分的几何意义知，定积分(－)表示由＝，＝与＝－，＝所围成图形面积的相反数．所以(－)＝－(×)＝－.【答案】－．定积分＝. 【导学号：】【解析】如图，＝＋＝.【答案】．由直线＝，＝，＝和曲线＝所围成的曲边梯形，将区间等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是．。
第3章 章末分层突破 知识点汇总Word版含答案
章末分层突破①磁体②电流③磁体④运动电荷⑤磁场强弱和方向 ⑥B ＝FIL(B ⊥L )⑦小磁针N 极的受力方向 ⑧Φ＝BS (B ⊥S ) ⑨N→S ⑩S→N ⑪F ＝ILB sin θ ⑫B 与I 的夹角 ⑬左手定则 ⑭F ＝qvB sin θ ⑮B 与v 的夹角 ⑯左手定则 ⑰B ⑱r ＝mv qB⑲T ＝2πm qB(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图31所示)图31(2)平行边界(不同情况下从不同边界射出，存在临界条件，如图32所示)图32(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图33所示)图332．两类典型问题(1)临界问题：解决此类问题的关键是找准临界点，找临界点的方法是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等词语为突破点，挖掘隐含条件，分析可能的情况，必要时画出几个不同半径的轨迹，这样就能顺利地找到临界条件．(2)多解问题：造成多解问题的常见原因有带电粒子电性的不确定、磁场方向的不确定、临界状态不唯一、运动的周期性等．解答这类问题的关键是认真分析物理过程，同时考虑问题要全面，不要漏解．3．注意的问题(1)分析带电粒子在有界磁场中的运动问题应抓住解决问题的基本思路，即找圆心、求半径、确定圆心角并利用其对称性，结合磁场边界，画出粒子在有界磁场中的轨迹．(2)带电粒子在有界磁场中的对称性或临界情景①带电粒子在一些有界磁场中的圆周运动具有对称性，是指从某一边界射入又从同一边界射出时，粒子的速度方向与边界的夹角相等，或在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出．②刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．(3)当速度v一定时，弧长越长，轨道对应的圆心角越大，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．(多选)如图34所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一个质量为m、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场．欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是( )图34A.BqdmB.＋2BqdmC.－2BqdmD.2Bqd2m【解析】 粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R ＝mv 0qB知，粒子的入射速度v 0越大，R 越大，当粒子的径迹和边界QQ ′相切时，粒子刚好不从QQ ′射出，此时其入射速度v 0应为最大．若粒子带正电，其运动轨迹如图(a)所示(此时圆心为O 点)，容易看出R 1sin 45°＋d ＝R 1，将R 1＝mv 0qB代入上式得v 0＝＋2Bqdm，B 项正确．若粒子带负电，其运动径迹如图(b)所示(此时圆心为O ′点)，容易看出R 2＋R 2cos 45°＝d ，将R 2＝mv 0qB代入上式得v 0＝－2Bqdm，C 项正确．(a) (b)【答案】 BC复合场一般包括重力场、电场和磁场三种场的任意两种场复合或三种场复合． 2．分析带电粒子的受力及运动特征(1)带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及其初始状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析，当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运动(如速度选择器)．(2)当带电粒子所受的重力与电场力等值反向、洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动．(3)当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程可能由几种不同的运动阶段组成．3．选用力学规律(1)当带电粒子(带电体)在复合场中做匀速运动时，根据平衡条件列方程求解． (2)当带电粒子(带电体)在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程求解．(3)当带电粒子(带电体)在复合场中做非匀变速曲线运动时，常选用动能定理或能量守恒定律列方程求解．4．带电粒子在匀强电场和匀强磁场中偏转的区别横向偏移y 和偏转角φ类似平抛运动的规律求解和偏转角φ要结合圆的几何关系通过圆周运动的讨论求解四象限内有垂直于平面向外的匀强磁场．现有一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子(重力不计)以初速度v 0沿－x 方向从坐标为(3l ，l )的P 点开始运动，接着进入磁场后由坐标原点O 射出，射出时速度方向与y 轴正方向夹角为45°，求：【导学号：96322070】图35(1)粒子从O 点射出时的速度v 和电场强度E ； (2)粒子从P 点运动到O 点的过程所用的时间．【解析】 根据题意可推知：带电粒子在电场中做类平抛运动，由Q 点进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，最终由O 点射出(轨迹如图所示)．(1)根据对称性可知，粒子在Q 点时速度大小为v ，方向与－y 轴方向成45°，则有v cos 45°＝v 0①即v ＝2v 0 在P 到Q 过程中有qEl ＝12mv 2－12mv 20 ② 由①②解得E ＝mv 202ql.③(2)粒子在Q 点时沿－y 方向的速度大小v y ＝v sin 45° ④P 到Q 的运动时间 t 1＝v y a ＝v yqEm⑤P 到Q 沿－x 方向的位移为s ＝v 0t 1 ⑥则OQ 之间的距离为OQ ＝3l －s⑦粒子在磁场中的运动半径为r ，则有2r ＝OQ ⑧ 粒子在磁场中的运动时间t 2＝14×2πrv ⑨粒子由P 到Q 的过程中的总时间t ＝t 1＋t 2 ⑩解得t ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋π4lv 0.【答案】 (1)2v 0 mv 202ql (2)⎝⎛⎭⎪⎫2＋π4lv 0如图36所示，xOy 在竖直平面内．x 轴下方有匀强电场和匀强磁场．电场强度为E ，方向竖直向下；磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里．将一个带电小球从y 轴上P (0，h )点以初速度v 0竖直向下抛出．小球穿过x 轴后，恰好做匀速圆周运动．不计空气阻力，已知重力加速度为g .求：图36(1)判断小球带正电还是带负电； (2)小球做圆周运动的半径；(3)小球从P 点出发，到第二次经过x 轴所用的时间． 【解析】 (1)小球穿过x 轴后恰好做匀速圆周运动 有qE ＝mg ，故小球带负电．(2)画出带电小球的运动轨迹如图所示．设小球经过O 点时的速度为v ， 从P 到O ，有v 2＝v 20＋2gh 从O 到A ，根据牛顿第二定律qvB ＝m v 2r求出r ＝E v 20＋2ghgB.(3)从P 到O ，小球第一次经过x 轴，所用时间为t 1，则v ＝v 0＋gt 1从O 到A ，小球第二次经过x 轴，所用时间为t 2，则T ＝2πr v ＝2πm qB ，t 2＝T 2＝πEgB所以t ＝t 1＋t 2＝v 20＋2gh －v 0g ＋πE gB .【答案】 (1)负电 (2)E v 20＋2ghgB(3)v 20＋2gh －v 0g ＋πE gB电子、质子、α粒子等一般不计重力，带电小球、液滴等带电颗粒一般要考虑重力作用.对于粒子连续通过几个不同场的问题，要分阶段进行处理，并注意相邻阶段的关联量，如速度、位移、时间等.对于临界问题，要挖掘隐含条件，并列出辅助方程，再联立其他方程求解.1.中国宋代科学家沈括在《梦溪笔谈》中最早记载了地磁偏角：“以磁石磨针锋，则能指南，然常微偏东，不全南也．”进一步研究表明，地球周围地磁场的磁感线分布示意如图37.结合上述材料，下列说法不正确的是( )【导学号：96322071】图37A．地理南、北极与地磁场的南、北极不重合B．地球内部也存在磁场，地磁南极在地理北极附近C．地球表面任意位置的地磁场方向都与地面平行D．地磁场对射向地球赤道的带电宇宙射线粒子有力的作用【解析】由“常微偏东，不全南也”和题图知，地理南、北极与地磁场的南、北极不重合，地磁的南极在地理北极附近，地球是一个巨大的磁体，因此地球内部也存在磁场，故选项A、B的说法正确．从题图中磁感线的分布可以看出，在地球表面某些位置(如南极、北极附近)磁感线不与地面平行，故选项C的说法不正确．宇宙射线粒子带有电荷，在射向地球赤道时，运动方向与地磁场方向不平行，因此会受到磁场力的作用，故选项D的说法正确．【答案】 C2．一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图38所示．图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角．当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )【导学号：96322072】图38A.ω3B B.ω2B C.ωBD.2ωB【解析】 如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆弧所对应的圆心角由几何知识知为30°，则π2ω＝2πm qB ·30°360°，即q m ＝ω3B，选项A 正确．【答案】 A3．现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图39所示，其中加速电压恒定．质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场．若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍．此离子和质子的质量比约为( )【导学号：96322073】图39A ．11B ．12C ．121D ．144【解析】 带电粒子在加速电场中运动时，有qU ＝12mv 2，在磁场中偏转时，其半径r ＝mv qB ，由以上两式整理得：r ＝1B2mUq.由于质子与一价正离子的电荷量相同，B 1∶B 2＝1∶12，当半径相等时，解得：m 2m 1＝144，选项D 正确．【答案】 D4．如图310所示，正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场．一带正电的粒子从f 点沿fd 方向射入磁场区域，当速度大小为v b 时，从b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t b ，当速度大小为v c 时，从c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t c ，不计粒子重力．则( ) 【导学号：96322074】图310A ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝2∶1B ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝1∶2C ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝2∶1D ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝1∶2【解析】 如图所示，设正六边形的边长为l ，当带电粒子的速度为v b 时，其圆心在a 点，轨道半径r 1＝l ，转过的圆心角θ1＝23π，当带电粒子的速率为v c 时，其圆心在O 点(即fa 、cb 延长线的交点)，故轨道半径r 2＝2l ，转过的圆心角θ2＝π3，根据qvB ＝m v2r ，得v＝qBr m ，故v b v c ＝r 1r 2＝12.由于T ＝2πr v 得T ＝2πmqB，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又t ＝θ2πT ，所以t b t c ＝θ1θ2＝21.故选项A 正确，选项B 、C 、D 错误．【答案】 A5．如图311所示，质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，以初速度v 沿垂直磁场方向射入磁感应强度为B 的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动．不计带电粒子所受重力．图311(1)求粒子做匀速圆周运动的半径R 和周期T ；(2)为使该粒子做匀速直线运动，还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场，求电场强度E 的大小. 【导学号：96322075】【解析】 (1)洛伦兹力提供向心力，有f ＝qvB ＝m v 2R带电粒子做匀速圆周运动的半径R ＝mvqB匀速圆周运动的周期T ＝2πR v ＝2πmqB.(2)粒子受电场力F ＝qE ，洛伦兹力f ＝qvB .粒子做匀速直线运动，则qE ＝qvB 场强E 的大小E ＝vB . 【答案】 (1)mv qB2πmqB(2)vB章末综合测评(三) (时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10个小题，共60分．在每小题所给的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～10题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．)1．在下列图中，分别给出了导线中的电流方向或磁场中某处小磁针N 极的指向或磁感线方向．其对应不正确的是( )【解析】 由安培定则判断C 、D 正确；又因小磁针静止时N 极所指的方向与磁场方向相同，A 正确，B 错误．【答案】 B2．如图1所示，a 是竖直平面P 上的一点，P 前有一条形磁铁垂直于P ，且S 极朝向a 点．P 后一电子在偏转线圈和条形磁铁的磁场的共同作用下，在水平面内向右弯曲经过a 点．在电子经过a 点的瞬间，条形磁铁的磁场对该电子的作用力的方向( )图1A ．向上B ．向下C ．向左D ．向右【解析】 由题意知，磁铁在a 点磁场方向为垂直于P 向前，电子在a 点的瞬时速度方向向右．根据左手定则，可以判断出洛伦兹力方向向上，A 正确．【答案】 A3．用同一回旋加速器分别对质子(11H)和氘核(21H)加速后，则( ) A ．质子获得的动能大 B ．氘核获得的动能大 C ．两种粒子获得的动能一样大 D ．无法确定【解析】 因qvB ＝m v 2r① 又E k ＝12mv2②故E k ＝q 2B 2r 22m ，所以E k ∝q 2m，故A 正确．【答案】 A4．长直导线AB 附近，有一带正电的小球，用绝缘丝线悬挂在M 点，当导线AB 通以如图2所示的恒定电流时，下列说法正确的是( )图2A ．小球受磁场力作用，方向与导线AB 垂直且指向纸里 B ．小球受磁场力作用，方向与导线AB 垂直且指向纸外C ．小球受磁场力作用，方向与导线AB 垂直向左D ．小球不受磁场力作用【解析】 电场对在其中的静止电荷、运动电荷都有力的作用，而磁场只对在其中的运动电荷才有力的作用，且运动方向不能与磁场方向平行，所以D 选项正确．【答案】 D5．如图3是某离子速度选择器的原理示意图，在一半径R ＝10 cm 的圆柱形筒内有B ＝1×10－4T 的匀强磁场，方向平行于轴线．在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a 、b 分别作为入射孔和出射孔．现有一束比荷为qm＝2×1011C/kg 的正离子，以不同角度α入射，最后有不同速度的离子束射出．其中入射角α＝30°，则不经碰撞而直接从出射孔射出的离子的速度v 大小是( )【导学号：96322186】图3A ．4×105m/s B ．2×105m/s C ．4×106 m/sD ．2×106m/s【解析】 离子运动轨迹如图所示，设轨迹半径为r ，由几何知识可得r ＝2R ＝20 cm ，由qvB ＝mv 2r，可得v ＝4×106m/s.【答案】 C6．如图4所示，一根有质量的金属棒MN ，两端用细软导线连接后悬于a ，b 两点，棒的中部处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中，棒中通有电流，方向从M 流向N ，此时悬线上有拉力，为了使拉力等于零，可以( )【导学号：96322187】图4A ．适当减小磁感应强度B ．使磁场反向C ．适当增大电流D ．使电流反向【解析】 首先对MN 进行受力分析，受竖直向下的重力G ，受两根软导线竖直向上的拉力和安培力．处于平衡时2F ＋ILB ＝mg ，重力mg 恒定不变，欲使拉力F 减小到0，应增大安培力ILB ，所以可增大磁场的磁感应强度B 或增大通过金属棒中的电流I ，或二者同时增大，故选项C 正确．【答案】 C7．质谱仪的两大重要组成部分是加速电场和偏转磁场．如图所示为质谱仪的原理图，设想有一个静止的质量为m 、带电荷量为q 的带电粒子(不计重力)，经电压为U 的加速电场加速后垂直进入磁感应强度为B 的偏转磁场中，带电粒子打在底片上的P 点，设OP ＝x ，则在图中能正确反映x 与U 之间的函数关系的是( ) 【导学号：96322188】图5【解析】 根据动能定理qU ＝12mv 2可知，v ＝2qUm，粒子在磁场中偏转，洛伦兹力提供向心力，即qvB ＝m v 2R ，所以R ＝mv qB ＝1B2mUq，x ＝2R ＝2B 2mUq，即x ∝U ，B 正确．【答案】 B8．电磁轨道炮的工作原理如图6所示．待发射弹体可在两平行轨道之间自由移动，并与轨道保持良好接触．电流I 从一条轨道流入，通过导电弹体后从另一条轨道流回．轨道电流可形成在弹体处垂直于轨道面的磁场(可视为匀强磁场)，磁感应强度的大小与I 成正比．通电的弹体在轨道上受到安培力的作用而高速射出．现欲使弹体的出射速度增加至原来的2倍，理论上可采用的办法是( )【导学号：96322189】图6A ．只将轨道长度L 变为原来的2倍B ．只将电流I 增加至原来的2倍C ．只将弹体质量减至原来的一半D ．将弹体质量减至原来的一半，轨道长度L 变为原来的2倍，其他量不变 【解析】 由题意可知B ＝kI ，F ＝BId ＝kI 2d . 由动能定理可得：F ·L ＝12mv 20，v 0＝2FLm＝2kI 2dLm，v 0∝IdLm，要使v 0加倍，则B 、D 正确，A 、C 错．【答案】 BD9．在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P ＋和P 3＋，经电压为U 的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图7所示，已知离子P ＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子P ＋和P 3＋( )图7A ．在电场中的加速度之比为1∶1B ．在磁场中运动的半径之比为3∶1C ．在磁场中转过的角度之比为1∶2D ．离开电场区域时的动能之比为1∶3【解析】 应用动能定理和圆周运动规律分析两种离子的速度关系及在磁场中运动的半径关系，结合几何知识分析两离子在有界磁场中的偏转角．磷离子P ＋与P 3＋电荷量之比q 1∶q 2＝1∶3，质量相等，在电场中加速度a ＝qEm，由此可知，a 1∶a 2＝1∶3，选项A 错误；离子进入磁场中做圆周运动的半径r ＝mv qB ，又qU ＝12mv 2，故有r ＝1B2mUq，即r 1∶r 2＝3∶1，选项B 正确；设离子P 3＋在磁场中偏角为α，则sinα＝d r 2，sin θ＝d r 1(d 为磁场宽度)，故有sin θ∶sin α＝1∶3，已知θ＝30°，故α＝60°，选项C 正确；全过程中只有电场力做功，W ＝qU ，故离开电场区域时的动能之比即为电场力做功之比，所以E k1∶E k 2＝W 1∶W 2＝1∶3，选项D 正确．【答案】 BCD10．如图8所示，光滑绝缘轨道ABP 竖直放置，其轨道末端切线水平，在其右侧有一正交的匀强电场、磁场区域，电场竖直向上，磁场垂直纸面向里，一带电小球从轨道上的A 点由静止滑下，经P 点进入场区后，恰好沿水平方向做直线运动．则可判定( )【导学号：96322190】图8A ．小球带负电B ．小球带正电C ．若小球从B 点由静止滑下，进入场区后将立即向上偏D ．若小球从B 点由静止滑下，进入场区后将立即向下偏【解析】 小球从P 点进入场区后沿水平方向做直线运动，则小球一定受力平衡，由受力平衡知小球一定带正电，且qE ＋qvB ＝mg ；若从B 点静止滑下，由动能定理可求得小球进磁场区时v ′<v ；则qE ＋qv ′B <mg ，故向下偏，B 、D 正确．【答案】 BD二、计算题(本大题共3个小题，共40分．按题目要求作答)11．(12分)如图9所示，平行金属导轨PQ 与MN 都与水平面成θ角，相距为l .一根质量为m 的金属棒ab 在导轨上，并保持水平方向，ab 棒内通有恒定电流，电流大小为I ，方向从a 到b .空间存在着方向与导轨平面垂直的匀强磁场，ab 棒在磁场力的作用下保持静止，并且棒与导轨间没有摩擦力．求磁感应强度B 的大小和方向．图9【解析】 金属棒受力如图所示，根据力的平衡条件可知：F 安＝mg sin θ而F 安＝BIl 可得B ＝mg sin θIl由左手定则可知，B 的方向垂直导轨平面向下．【答案】mg sin θIl方向垂直导轨平面向下 12．(14分)如图10所示，在半径为r 的圆形区域内，有一个匀强磁场，一带电粒子以速度v 0从M 点沿半径方向射入磁场区，并由N 点射出，O 点为圆心．∠MON ＝120°，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R 及在磁场区中的运动时间.【导学号：96322191】图10【解析】 首先应确定带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的圆心．具体方法是：过M 和N 点作圆形磁场区半径OM 和ON 的垂线，两垂线的交点O ′即为带电粒子做圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图所示．由图中几何关系可知，圆弧MN 所对的圆心角为60°，O 、O ′的连线为该圆心角的角平分线，由此可得tan 30°＝r R ，所以带电粒子偏转半径为R ＝rtan 30°＝3r .带电粒子运动周期T ＝2πm qB ，R ＝mv 0qB，因为m qB ＝Rv 0＝3rv 0，所以T ＝2πm qB ＝23πr v 0， 则带电粒子在磁场中运动时间为t ＝60°360°T ＝16T ＝3πr3v 0. 【答案】3r3πr3v 013．(14分)如图11所示，真空中有以O ′为圆心、r 为半径的圆柱形匀强磁场区域，圆的最下端与x 轴相切于坐标原点O ，圆的右端与平行于y 轴的虚线MN 相切，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向外，在虚线MN 右侧x 轴上方足够大的范围内有方向竖直向下、场强大小为E 的匀强电场．现从坐标原点O 向纸面内不同方向发射速率相同的质子，质子在磁场中做匀速圆周运动的半径也为r ，已知质子的电荷量为e ，质量为m ，不计质子的重力、质子对电磁场的影响及质子间的相互作用力．求：图11(1)质子进入磁场时的速度大小；(2)沿y 轴正方向射入磁场的质子到达x 轴所需的时间． 【解析】 (1)由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：Bev ＝mv 2r ，解得：v ＝Ber m.(2)若质子沿y 轴正方向射入磁场，则以N 为圆心转过14圆弧后从A 点垂直电场方向进入电场，质子在磁场中有：T ＝2πm Be ，得：t B ＝14T ＝πm2eB进入电场后质子做类平抛运动，y 方向上的位移 y ＝r ＝12at 2＝eE2m t 2E解得：t E ＝ 2mreE则：t ＝t B ＋t E ＝πm2eB ＋ 2mreE.【答案】 (1)Ber m (2)πm 2eB＋ 2mreE2.磁场对通电导线的作用——安培力[先填空]1．安培力磁场对通电导线的作用力．2．科学探究：安培力与哪些因素有关(1)实验探究采用的方法：控制变量法．(2)当通电导线与磁感线垂直时，实验结论是：①当其他因素不变，磁感应强度增大时，安培力增大；②当其他因素不变，电流增大时，安培力增大；③当其他因素不变，导体长度增大时，安培力增大；④安培力的方向由磁场方向和电流方向共同决定．3．安培力的大小(1)F＝ILB.(2)适用条件①通电导线与磁场方向垂直．②匀强磁场或非匀强磁场中很短的导体．[再判断]1．通电导体在磁场中所受安培力为零，该处磁场感应强度一定为零．(×)2．两根通电导线在同一匀强磁场中，若导线长度相同，电流大小相等，则所受安培力大小相等，方向相同．(×)3．通以10 A电流的直导线，长为0.1 m，处在磁感应强度为0.1 T的匀强磁场中，所受安培力可能为0.02 N．(√)[后思考]通电导体在磁场中所受安培力F的大小一定等于ILB吗？【提示】不一定．只有当通电导体中的电流方向与磁场方向垂直时，安培力F才等于ILB.[合作探讨]如321所示，利用下列实验装置可以探究安培力的大小与磁场、电流大小的关系．(1)在B、L一定时，增大电流I，导线受力怎么变化？(2)在B、I一定时，增大导线的长度L，导线受力怎么变化？321【提示】(1)当B、L一定时，增大电流I、导线受的力变大．(2)当B、I一定时，增大导线长度L导线受力变大．[核心点击]1．当电流方向与磁场方向垂直时，F＝ILB.此时通电导线所受安培力最大．2．当电流方向与磁场方向不垂直时，F＝ILB sin θ(θ是I和B之间的夹角)．3．当通电导线的方向和磁场方向平行(θ＝0°或θ＝180°)时，安培力最小，等于零．4．若导线是弯曲的，公式中的L并不是导线的总长度，而应是弯曲导线的“有效长度”．它等于连接导线两端点直线的长度(如图322所示)，相应的电流方向沿两端点连线由始端流向末端．图322一根长为0.2 m、电流为2 A的通电导线，放在磁感应强度为0.5 T的匀强磁场中，受到的安培力大小不可能是( )A．0.4 N B．0.2 NC．0.1 N D．0【解析】由安培力的公式F＝ILB sin θ可知，安培力的大小与I和B的夹角有关．当θ＝90°时，F最大，F max＝ILB＝2×0.2×0.5 N＝0.2 N．当θ＝0°时，F最小，F min＝0，故F的大小范围是0≤F≤0.2 N，故B、C、D可能，A不可能．【答案】 A如图323所示，导线框中电流为I，导线框垂直于磁场放置，磁感应强度为B，AB 与CD相距为d，则MN所受安培力大小为( )【导学号：96322061】图323A．F＝BId B．F＝BId sin θC．F＝BIdsin θD．F＝BId cos θ【解析】导线与B垂直，F＝BI dsin θ.【答案】 C如图所示，在匀强磁场中放有下列各种形状的通电导线，电流均为I，磁感应强度均为B，求各导线所受到的安培力的大小．【解析】A图中，F＝IlB cos α，这时不能死记公式而错写成F＝IlB sin α.要理解公式本质是有效长度或有效磁场，正确分解．B图中，B⊥I，导线在纸平面内，故F＝IlB.C 图是两根导线组成的折线abc，整体受力实质上是两部分直导线分别受力的矢量和，其有效长度为ac，故F＝2IlB.D图中，从a→b的半圆形电流，分析圆弧上对称的每一小段电流，受力抵消合并后，其有效长度为ab，故F＝2IRB.E图中，F＝0.【答案】A：IlB cos αB：IlB C：2IlBD：2IRB E：0计算安培力大小应注意的问题(1)应用公式F＝IlB，电流方向必须与磁场方向垂直．(2)通电导线放入磁场中，有可能不受安培力的作用．(3)公式F＝IlB中的l不一定是导线的实际长度，而应是“有效长度”．[先填空]1．安培力的方向(1)左手定则：伸出左手，四指并拢，使大拇指和其余四指垂直，并且都跟手掌在同一平面内，让磁感线垂直穿过手心，四指指向沿电流方向，则大拇指所指方向就是通电导线所受安培力的方向．(2)方向特点：安培力的方向既与电流方向垂直，又与磁场方向垂直，即安培力方向垂直于电流方向和磁场方向所确定的平面．2．电动机(1)原理：利用磁场对通电线圈的安培力使线圈在磁场中旋转．(2)作用：把电能转化为机械能．(3)分类⎩⎪⎨⎪⎧ 直流电动机：由磁场、转动线圈、滑环、电刷 及电源组成，滑环在其中起了一个换向器 的作用交流电动机：如家用电风扇、洗衣机、抽油烟 机等都是交流电动机.[再判断]1．当通电直导线垂直于磁场方向时，安培力的方向和磁场方向相同．(×)2．磁感应强度的方向与安培力的方向垂直．(√)3．电动机是把电能转化为机械能的装置．(√)[后思考]通电直导线在磁场中所受安培力的方向一定跟电流的方向垂直吗？【提示】 一定．根据左手定则可判断安培力的方向垂直于电流和磁场方向．[合作探讨]如图324所示，利用下列装置可以探究安培力的方向与磁场、电流方向的关系．(1)图中磁场方向向哪？闭合电键后，导线中电流方向向哪？(2)闭合电键后，通电导线所受安培力的方向与磁场、电流方向存在什么关系？图324【提示】 (1)磁场方向竖直向下、电流方向从里向外．(2)安培力的方向与磁场方向、电流方向都垂直．[核心点击]1．电流方向、磁场方向和安培力方向三者的因果关系(1)电流方向和磁场方向间没有必然联系，这两个方向的关系是不确定的．。
高中数学北师大版选修2-2练习章末综合测评3 Word版含答案
章末综合测评(三) 导数应用(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).物体运动的方程为＝－，则＝时的瞬时速度为( )【解析】∵＝′＝，∴＝时的瞬时速度为＝.【答案】.函数()＝(－)的单调递增区间是( ).(，).(－∞，).(，＋∞).(，)【解析】′()＝(－)，由′()>，得>，所以函数()的单调递增区间是(，＋∞).【答案】.函数()＝＋＋有极值的充要条件是( )>≥<≤【解析】′()＝＋，当＝时，′()＝>，()单调增加，无极值；当≠时，只需Δ＝－>，即<即可.【答案】.函数()的导函数′()的图像如图所示，那么()的图像最有可能的是( )图【解析】数形结合可得在(－∞，－)，(－，＋∞)上，′()<，()是减函数；在(－，－)上，′()>，()是增函数，从而得出结论.【答案】.若函数＝(－)的递增区间是，，则的取值范围是( ).－<<><<>【解析】依题意得′＝(－)>的解集为，，∴>.【答案】.若函数()在上可导，且满足()－′()>，则( )()>()()<()()＝()()＝()【解析】由于()>′()，′＝<恒成立，因此在上是单调递减函数，∴<，即()>()，故选.【答案】.若函数()＝－＋＋＋在区间上的最大值为，则它在该区间上的最小值为( ).－.－【解析】∵()′＝－＋＋＝－(＋)(－)，所以函数在内单调递减，所以最大值为(－)＝＋＝，∴＝，最小值为(－)＝－＝－.【答案】.函数＝－的图像大致是( )【解析】因为′＝－，所以令′＝－ >，得 <，此时原函数是增函数；令′＝－ <，得 >，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项正确.【答案】.若()＝－＋(＋)在(－，＋∞)上是减函数，则的取值范围是( )【导学号：】。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(有答案解析)(3)
一、选择题1．已知函数()()()21=)1ln 2(,1+f x x a x a a b x -+->，函数2x b y +=的图象过定点0,1（），对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为（ ） A ．15a <≤ B ．25a <≤ C ．25a ≤≤ D ．35a <≤2．函数()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]12，上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤4．若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线，则a 的取值范围为（ ）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[4e ，)+∞D ．2(0,]4e5．已知定义在R 上的函数()y xf x '=的图象（如图所示）与x 轴分别交于原点、点(2,0)-和点(2,0)，若3-和3是函数()f x 的两个零点，则不等式()0f x >的解集（ ）A ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞B ．(-∞，3)(3-，)+∞C ．(-∞，3)(0-⋃，2)D ．(3-，0)(3⋃，)+∞6．若函数21()ln 2f x kx x x =-在区间(0,]e 上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2(,]e -∞B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．2[,)e+∞7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()10f =，当0x >时，有()()2xf x f x x '->恒成立，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．()()1,01,-⋃+∞ B ．()()1,00,1-⋃ C ．()(),11,-∞-⋃+∞ D ．()(),10,1-∞-8．若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．11a e<< C ．111a e -<< D ．111a e+<< 9．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10．函数()ln sin f x x x =+（x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()22ln f x x x =-，若关于x 的不等式()0f x m -≥在[]1,e 上有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,2e -∞-B ．(2,2e ⎤-∞-⎦C ．(],1-∞D ．(),1-∞12．已知函数()3242xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．[]1,2-二、填空题13．函数()21ln 2f x x x ax =+-存在与直线30x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是________. 14．若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 的取值范围为___． 15．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '->，其中()'f x 是函数()f x 的导函数.若2(2020)(2020)(2)f k k f ⋅-<-⋅，则实数k 的范围为________ 16．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e xg x x x=+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．17．已知函数32()1f x x ax x =+++在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数，则实数a 的取值范围是________．18．已知a R ∈，设函数()2,1,1x x ax a x f x ae x x ⎧-+≥=⎨-<⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为______.19．已知()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>的解集为______.20．若函数()2122f x x x aInx =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题21．已知函数()()2ln 0,1xf x a x x a a a =+->≠．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求a 的取值范围．22．已知函数()42ln af x ax x x=--. （1）当1a =时,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在其定义域内为增函数,求实数a 的取值范围； （3）设函数6()eg x x=,若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ,使得00()()f x g x >成立,求实数a 的取值范围. 23．已经x ∈R ，（1）求证：1x e x ≥+ (其中， 2.71828e =)；（2）n N +∈，求证：1(1)n n e +≤. 24．已知函数()sin x f x e x =. ⑴求函数()f x 的单调区间； ⑵如果对于任意的[0,]2x π∈，()f x kx ≥总成立，求实数k 的取值范围.25．已知函数()2xf x eax b =-+（0a >，b R ∈，其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，当a b =时，求实数a 的取值范围. 26．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，（1）求函数f (x )的解析式； （2）求函数g (x )＝()f x x－4ln x 的零点个数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由图象过定点可得0b =，设()()F x f x x =+，结合已知条件可得()F x 在()0,∞+递增，求()F x 的导数，令()()211g x x a x a =--+-，由二次函数的性质可得102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，从而可求出实数a 的范围. 【详解】解：因为2x b y +=的图象过定点0,1（），所以21b =，解得0b =，所以()()()21=1ln ,12f x x ax a x a -+->，因为对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>， 有()()1221f x f x x x ->-，则()()1122f x x x f x +>+，设()()F x f x x =+， 即()()()()()22111ln =11ln 22F x ax a x x x f x x x a x a x =+=-+-+--+-， 所以()()()21111x a x a a F x x a x x--+--'=--+=，令()()211g x x a x a =--+-， 因为1a >，则102a x -=>，所以要使()0F x '≥在()0,∞+恒成立，只需102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 故()21111022a a a a --⎛⎫⎛⎫--+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()150a a --≤，解得15a <≤， 故选:A. 【点睛】 关键点睛：本题的关键是由已知条件构造新函数()()F x f x x =+，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.解析：B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解； 【详解】 解：因为()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--，定义域关于原点对称，又()()()sin sin x x f x f x x x x x --===----，所以()[)(](),00,sin x f x x x xππ=∈--为偶函数，函数图象关于y 轴对称，所以排除A 、D ； ()()()()()22sin sin cos sin sin sin x x x x x xx x xf x x x x x ''----'==--令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，所以当(]0,x π∈时()0g x '≤，所以()cos sin g x x x x =-在(]0,x π∈上单调递减，又()00g =，所以()0g x <在(]0,x π∈上恒成立，所以()0f x '<在(]0,x π∈上恒成立，即函数()sin xf x x x=-在(]0,π上单调递减，故排除C ，故选：B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．D解析：D 【分析】求函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系进行判断，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，分离参数m ，即可得到答案． 【详解】由题得2()4f x x mx '=-+，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，即240x mx -+≥，则244x m x x x+≤=+在[]12，上恒成立，又44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以4m ≤，【点睛】本题主要考查导数与原函数单调性之间的关系，将含参问题转化为最值成立，是解决本题的关键，属于中档题．4．C解析：C 【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得a 的范围. 【详解】 由2(0)y axa =>，得2y ax '=，由x y e =，得x y e '=，曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线， 则设公切线与曲线1C 切于点211(,)x ax ，与曲线2C 切于点22(,)xx e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-，将212x e ax =代入2211212x e ax ax x x -=-，可得2122=+x x ，11212+∴=x e a x ，记12()2+=x e f x x，则122(2)()4xex f x x +-'=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>. ∴当2x =时，2()4mine f x =. a ∴的范围是2[,)4e +∞. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．B解析：B 【分析】根据()y xf x '=的图像可得()'f x 在R 上的正负值，进而求得原函数的单调性，再结合()f x 的零点画出()f x 的简图，进而求得不等式()0f x >的解集.由图，当(),2x ∈-∞-时()0xf x '>，故()0f x '<，()f x 为减函数； 当()2,0x ∈-时()0xf x '<，故()0f x '>，()f x 为增函数； 当()0,2x ∈时()0xf x '<，故()0f x '<，()f x 为减函数； 由图，当()2,x ∈+∞时()0xf x '>，故()0f x '>，()f x 为增函数； 又3-和3是函数()f x 的两个零点，画出()f x 的简图如下：故不等式()0f x >的解集为()(),33,-∞-+∞.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据关于导函数的图像，分析原函数单调性从而求得不等式的问题.需要根据题意分段讨论导函数的正负,属于中档题.6．C解析：C 【分析】求出函数导数，由题意知()0f x '≥即ln 1x k x+≥在(0,]e 上恒成立，利用导数求出函数ln 1()x g x x+=在(0,]e 上的最大值即可求得k 的范围. 【详解】()ln 1f x kx x '=--，由题意知()0f x '≥在(0,]e 上恒成立，即ln 1x k x +≥在(0,]e 上恒成立，令ln 1()x g x x+=，则2ln ()x g x x -'=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,]x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，故1k .故选C 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及已知函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数求函数的最值，属于基础题.解析：A 【分析】 构造函数()()(0)f x g x x x=≠，可得()g x 在定义域内为偶函数，并得到()g x 在(0,)+∞ 上单调递增，则在(,0)-∞上单调递减，且(1)0g =，(1)0g -=，结合函数的大致图像分析即可得到()0f x >的解集． 【详解】 构造函数()()(0)f x g x x x =≠，则()()2()xf x f x g x x '-'= 由于()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 故()g x 在定义域内为偶函数，图像关于y 轴对称；()10f =，则(1)0g =，(1)0g -=；又0x >时，有()()20xf x f x x'->恒成立， 故()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，即()g x 在(0,)+∞ 上单调递增；根据偶函数的对称性可得()g x 在(,0)-∞上单调递减， 所以()g x 的大致图像如下图：()0f x >，即为当0x <时，()0<g x ，当0x >时，()0>g x 的解集，所以()0f x >，则10x -<<或1x >； 即()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞ 故选：A. 【点睛】本题考查奇偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性，根据函数单调性解不等式，考查学生数形结合的思维能力，属于中档题目．解析：C 【分析】先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数，再解不等式(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，即得解.【详解】由题得211()0f x x x'=+>在区间()1,e 上恒成立， 所以函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， 所以(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>， 可得111a e-<<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．C解析：C 【解析】 函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=- ，22222210cos 22a cb b ac ac B ac +-=--+≤⇒=≥()0,(0,].3B B ππ∈∴∈故最大值为：3π．故答案为C ．10．D解析：D 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，能过导数求解函数极值点的个数，求出()f π的值，从而可判断选项 【详解】解：因为()ln sin()ln sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以()f x 为偶函数，故排除B当0πx <≤时，()ln sin f x x x =+，则'1()cos f x x x=+， 令'()0f x =，则1cos x x=-， 作出1,cos y y x x==-的图像如图，可知两个函数图像有一个交点，就是函数的极值点，所以排除A 因为()ln 1f ππ=>，所以排除C ，当0x x =时，'0()0f x =，故0(0,)x x ∈时，函数()f x 单调递增，当0(,)x x π∈时，函数()f x 单调递减，所以D 满足. 故选：D 【点睛】此题考查了与三角函数有关的函数图像识别，利用了导数判断函数的单调性，考查数形结合的思想，属于中档题11．B解析：B 【分析】由题意可得()max m f x ≤，利用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，存在[]1,3x ∈，使得()m f x ≤，则()max m f x ≤.()22ln f x x x =-，则()()()22112222x x x f x x x x x-+-'=-==， 当[]1,3x ∈时，()0f x '≥，所以，函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，则()()2max 2f x f e e ==-，22m e ∴≤-，因此，实数m 的取值范围是(2,2e ⎤-∞-⎦.故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.12．A解析：A 【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+，再利用导数求得函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解. 【详解】由题意，函数32()42xx f x x x e e=-+-的定义域为R ， 又由3322()42e (42)()e x xx x f x x x x x e f x e-=-++-=--+-=-， 所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2222()3423430x xf x x e x x e '=-++≥-+=≥， 当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+，所以221a a ≤+，解得112a ≤≤， 故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：A 【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略： 1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义. 具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.二、填空题13．【分析】原命题等价于有解再求的最小值即得解【详解】由题意得故存在切点使得所以有解因为所以（当且仅当时取等号）所以即则实数的取值范围是故答案为：【点睛】方法点睛：形如的有解问题等价于不是所以本题只要求解析：[)1,-+∞. 【分析】原命题等价于13t a t +=+有解，再求1tt +的最小值即得解. 【详解】 由题意，得()1f x x a x'=+-， 故存在切点()(),P t f t ，使得13t a t+-=， 所以13t a t+=+有解，因为0t >，所以12t t+（当且仅当1t =时取等号）， 所以32a +， 即1a -，则实数a 的取值范围是[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞. 【点睛】方法点睛：形如()a f x =的有解问题，等价于[()]min a f x ≥，不是[()]max a f x ≥，所以本题只要求出1tt +的最小值即得解.14．a≥﹣1【分析】将函数f （x ）在（0）上单调递减转化在（0）上恒成立即在（0）上恒成立再求最大值即可【详解】因为函数f （x ）在（0）上单调递减所以在（0）上恒成立即在（0）上恒成立因为所以所以所以故解析：a ≥﹣1．【分析】 将函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 ，即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 ， 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥- 【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】构造函数利用导数研究在区间的单调性由此求得实数的取值范围【详解】设函数在单调递增依题意的定义域为所以故故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式属于中档题 解析：()2020,2022【分析】 构造函数()()()0f x g x x x=>，利用导数研究()g x 在区间()0,∞+的单调性，由此求得实数k 的取值范围. 【详解】 设函数()()()0f x g x x x=>，2()()()0xf x f x g x x='-'>， ()g x ∴在()0,∞+单调递增.依题意，()f x 的定义域为()0,∞+，所以20200,2020k k ->>，2(2020)(2020)(2)f k k f ⋅-<-⋅，(2020)(2)20202f k f k -∴<-，故020202k <-<，20202022k ∴<<. 故答案为：()2020,2022 【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式，属于中档题.16．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求解析：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【分析】将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln xy x=的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点， 等价于函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点， 对函数ln x y x =求导，得21ln xy x-'=，()0,x e ∈,0y '>， 函数ln xy x=单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<， 函数ln xy x =单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e， 对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()2,e a e -分别作出图象，其若要有两个交点，则2211a e a e e e-<⇒<+故答案为：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.17．【分析】求导得转化条件为在区间内恒成立令求导后求得即可得解【详解】函数在区间内是减函数在区间内恒成立即在区间内恒成立令则当时单调递减；当时单调递增；又故答案为：【点睛】本题考查了导数的综合应用考查了 解析：2a ≥【分析】求导得2()321f x x ax '=++，转化条件为1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，求导后求得()max 2g x =即可得解. 【详解】32()1f x x ax x =+++，∴2()321f x x ax '=++，函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数， ∴()0f x '≤在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，即1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，则()2221312232x x x x g -++='=-，∴当2,3x ⎛∈- ⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当13x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增； 又2734g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，123g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()2g x <， ∴2a ≥.故答案为：2a ≥. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.18．【分析】考虑和两种情况分别计算得到利用均值不等式得到；证明单调递增得到得到答案【详解】当时即对恒成立当时符合题意；当时参变分离得：因为当时等号成立故上式恒成立时；当时即对恒成立参变分离得：令故单调递解析：14a e≤≤【分析】考虑1x ≥和1x <两种情况，分别计算得到211211x a x x x ≤=-++--，利用均值不等式得到4a ≤；x x a e ≥，证明()xx p x e =单调递增，得到1a e ≥，得到答案. 【详解】当1x ≥时，()0f x ≥，即20x ax a -+≥对1x ≥恒成立， 当1x =时，符合题意；当1x >时，参变分离得：211211x a x x x ≤=-++--，因为11241x x -++≥-，当2x =时等号成立，故上式恒成立时4a ≤； 当1x <时，()0f x ≥，即0x ae x -≥对1x <恒成立， 参变分离得：x x a e ≥，令()x x p x e =，()10xxp x e-'=>，故()p x 单调递增， ∴()()11x x p x p e e=<= 要使0x ae x -≥对1x <恒成立，则1a e≥. 综上所述：a 的取值范围为14a e≤≤. 故答案为：14a e≤≤. 【点睛】本题考查了恒成立问题，参数分离转化为函数的最值问题是解题的关键.19．【分析】先判断函数为偶函数再利用导数判断函数在递增从而将不等式转化为进一步可得不等式解对数不等式即可得答案【详解】的定义域为且即有即为偶函数；又时则在递增不等式即为即有可得即有即或解得或则解集为故答解析：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】先判断函数为偶函数，再利用导数判断函数在0x >递增，从而将不等式转化为()()lg 2f x f >，进一步可得不等式lg 2x >，解对数不等式即可得答案.【详解】()2sin cos f x x x x x =++的定义域为R ，且()()()()()22sin cos sin cos f x x x x x x x x x -=--+-+-=++，即有()()f x f x -=，即()f x 为偶函数；又0x >时，()()sin cos sin 22cos 0f x x x x x x x x '=+-+=+>， 则()f x 在0x >递增，不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>，即为()()()lg lg 22f x f x f +->，即有()()lg 2f x f >， 可得()()lg 2fx f >，即有lg 2x >， 即lg 2x >或lg 2x <-， 解得100x >或10100x <<， 则解集为()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意偶函数(||)()f x f x =这一性质的应用.20．【分析】对函数求导要满足题意只需导函数在定义域内有两个零点数形结合即可求得【详解】由可得函数定义域为且若满足有两个不同的极值点则需要满足有两个不同的实数根即在区间上有两个不同的实数根也即直线与函数有 解析：()0,1【分析】对函数求导，要满足题意，只需导函数在定义域内有两个零点，数形结合即可求得. 【详解】 由()2122f x x x aInx =-+可得函数定义域为()0,∞+且()2a f x x x=+-' 若满足()f x 有两个不同的极值点， 则需要满足()20af x x x=-'+=有两个不同的实数根， 即22a x x =-+在区间()0,∞+上有两个不同的实数根，也即直线y a =与函数()22,0,y x x x =-+∈+∞有两个交点，在直角坐标系中作图如下：数形结合可知，故要满足题意，只需()0,1a ∈. 故答案为：()0,1. 【点睛】本题考查由函数极值点的个数，求参数范围的问题，属基础题；本题也可转化为二次函数在区间()0,∞+上有两个实数根，从而根据二次函数根的分布进行求解.三、解答题21．（1）()0,∞+（2）[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）先求原函数的导数得：f'（x ）=()ln 2ln 21ln x xa a x a x a a +-=+-，再对a 进行讨论，得到f'（x ）＞0，从而函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．（2）f （x ）的最大值减去f （x ）的最小值大于或等于e ﹣1，由单调性知，f （x ）的最大值是f （1）或f （﹣1），最小值f （0）=1，由f （1）﹣f （﹣1）的单调性，判断f （1）与f （﹣1）的大小关系，再由f （x ）的最大值减去最小值f （0）大于或等于e ﹣1求出a 的取值范围． 试题（1）由于()()ln 2ln 21ln 0x xf x a a x a x a a =+'-=+->，1° 当1,2a y x >=单调递增，ln 0a >，所以()1ln xy a a =-单调递增， 故()21ln xy x a a =+-单调递增，∴()()21ln 201ln 0x x a a a a +->⨯+-=，即()()0f x f '>'，所以0x >，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；2° 当01,2a y x <<=单调递增，ln 0a <，所以()1ln xy a a =-单调递增，故()21ln x y x a a =+-单调递增，∴()()21ln 201ln 0x x a a a a +->⨯+-=，即()()0f x f '>'，所以0x >，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；综上，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞． （2）因为存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-， 所以当[]1,1x ∈-时，()()()()()()()()maxmin max min 1f x f x f x f x e -=-≥-，由（1）知，()f x 在[]10-，上递减，在[]0,1上递增， 所以当[]1,1x ∈-时()()()()()()(){}minmax01,max 1,1f x f f x f f ===-，而()()()11111ln 1ln 2ln f f a a a a a a a ⎛⎫--=+--++=--⎪⎝⎭，记()()12ln 0g t t t t t =-->，因为()22121110g t t t t ⎛⎫=+-=-≥ ⎪⎝⎭'（当2t =时取等号），所以()12ln g t t t t=--在()0,t ∈+∞上单调递增，而()10g =．1° 当1a >时，()0g a >， ∴()()11f f >-， ∴当1a >时，()()101f f e -≥-， 即ln 1a a e -≥-，易知：ln y a a =-，在()1,a ∈+∞上递增， ∴a e ≥． 2° 当01a <<时，()0g a <， ∴()()()()111,101,ln 1f f f f e a e a<---≥-+≥-， 易知1ln y a a =+在()0,1a ∈上递减， ∴10,a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上：[)10,,a e e ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦． 22．(1) 3y x = (2) 1[,)2+∞（3）28(,)41ee +∞- 【分析】（1）求出f （x ）的导数，求出f′（1），f （1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a 的具体范围；（3）构造函数ϕ（x ）=f （x ）﹣g （x ），x ∈[1，e]，只需ϕ（x ）max ＞0，根据函数的单调性求出ϕ（x ）max ，从而求出a 的范围． 【详解】（1）解: 当1a =时,()142ln f x x x x =--,()1412ln13f =--=, ()212'4f x x x=+-, 曲线()f x 在点()()1,1f 处的斜率为()'13f =, 故曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x -=-,即3y x =（2）解: ()222242'4a ax x a f x a x x x-+=+-=. 令()242h x ax x a =-+,要使()f x 在定义域()0,+∞内是增函数,只需()h x ≥0在区间()0,+∞内恒成立. 依题意0a >,此时()242h x ax x a =-+的图象为开口向上的抛物线,()211444h x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其对称轴方程为()10,4x a =∈+∞,()min 14h x a a =-,则只需14a a -≥0,即a ≥12时,()h x ≥0,()'f x ≥0,所以()f x 定义域内为增函数,实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （3）解: 构造函数()()()x f x g x φ=-,[]1,x e ∈,依题意()max 0x φ>, 由（2）可知a ≥12时,()()()x f x g x φ=-为单调递增函数, 即()1642ln e x a x x x x φ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在[]1,e 上单调递增, ()()max 1480x e a e e φφ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭,则2288214142eea e e e >>=>-,此时,()()()0e f e g e φ=->,即()()f e g e >成立. 当a ≤2841e e -时,因为[]1,x e ∈,140x x->, 故当x 值取定后,()x φ可视为以a 为变量的单调递增函数, 则()x φ≤281642ln 41e ex x e x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭,[]1,x e ∈, 故()x φ≤281642ln 041e ee e e e e⎛⎫---= ⎪-⎝⎭, 即()f x ≤()g x ,不满足条件. 所以实数a 的取值范围是28,41e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）构造函数()1x f x e x =--，求函数的最小值大于等于零即可；（2）由（1）得1n e n ≥+，n N +∈，两边取对数得ln(1)n n ≥+，进而得11ln(1)n n ≥+，即1(1)n n e +≤. 【详解】解：（1）构造函数()1x f x e x =--，x ∈R()1x f x e =-'，令()0f x '=，则0x =当x 在R 上变化时，()f x ，()'f x 变化如下表：x(,0)-∞0 (0,)+∞()'f x_ 0+ ()f x递减递增从而：min ()(0)0f x f == 则：10x e x --≥则：1x e x ≥+在R 上恒成立.（2）由（1）可得：1x e x ≥+在R 上恒成立， 则n ∈+N 时，1n e n ≥+， 两边取对数，有：ln(1)n n ≥+ 则：11ln(1)n n≥+ 则：11ln(1)n n ≥+， 从而：1(1)n e n ≥+ 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查化归转化思想，是中档题. 24．（1）()f x 的单调递增区间为3(2,2)44k k ππππ-+，单调递减区间为37(2,2)44k k ππππ++()k Z ∈；（2）(,1]-∞ 【详解】试题分析：⑴求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；⑵令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥总成立，只需[0,]2x π∈时min ()0g x ≥，对讨论,利用导数求的最小值.试题(1) 由于()sin x f x e x =，所以'()sin cos (sin cos )2sin()4x x x x f x e x e x e x x e x π=+=+=+.当(2,2)4x k k ππππ+∈+，即3(2,2)44x k k ππππ∈-+时，'()0f x >；当(2,22)4x k k πππππ+∈++，即37(2,2)44x k k ππππ∈++时，'()0f x <. 所以()f x 的单调递增区间为3(2,2)44k k ππππ-+()k ∈Z ， 单调递减区间为37(2,2)44k k ππππ++()k ∈Z . (2) 令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥总成立，只需[0,]2x π∈时min ()0g x ≥.对()g x 求导得()(sin cos )x g x e x x k =+-'，令()(sin cos )x h x e x x =+，则()2cos 0x h x e x '=>，((0,)2x π∈)所以()h x 在[0,]2π上为增函数，所以2()[1,]h x e π∈.对分类讨论：① 当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[0,]2π上为增函数，所以min ()(0)0g x g ==，即()0g x ≥恒成立；② 当21k e π<<时，()0g x '=在上有实根0x ，因为()h x 在(0,)2π上为增函数，所以当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，所以0()(0)0g x g <=，不符合题意；③ 当2k e π≥时，()0g x '≤恒成立，所以()g x 在(0,)2π上为减函数，则()(0)0g x g <=，不符合题意.综合①②③可得，所求的实数的取值范围是(,1]-∞.考点：利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数. 25．（1）1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）32a e > 【分析】（1）直接求出函数的导函数，令()0f x '>，解不等式即可；（2）由题意容易知道2102222aln a a af ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解出即可求得实数a 的取值范围；【详解】解：（1）因为()2xf x e ax b =-+所以()()220xf x ea a '=->，令()0f x '>，得1ln 22a x >，∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，函数()f x 在1,ln22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ∴x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞，()f x →+∞， ∵函数()f x 有两个零点12,x x ，∴1ln 022a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，又a b =， ∴ln 21ln ln 02222aa a af e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，即ln 0222a a aa -+< 所以3ln02a -< 所以32a e > 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数中零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题． 26．（1）f (x )＝x 2－2x －3；（2）1个. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)，再结合f (x )的最小值为－4即可求出a 的值，得到函数f (x )的解析式；（2）对g (x )求导可以得到g (x )的单调区间，在每个单调区间上研究函数g (x )的零点情况即可. 【详解】（1）∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.（2）由（1）知g (x )＝223x x x--－4ln x ＝x －3x －4ln x －2，∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋23x －4x＝2(1)(3)x x x --， 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g ′(x ) ＋－＋g (x )极大值 极小值当x >3时，g (e 5)＝e 5－53e－20－2>25－1－22＝9>0. 又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增， 因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点， 故g (x )仅有1个零点. 【点睛】本题主要考查二次函数和导数在研究函数中的应用.。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（ ） A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log )(log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log )2f f f ->>2．已知函数()()()21=)1ln 2(,1+f x x a x a a b x -+->，函数2x b y +=的图象过定点0,1（），对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为（ ） A ．15a <≤ B ．25a <≤ C ．25a ≤≤D ．35a <≤3．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．4．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()22f x f x +=-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()()2xf x f x ''>，若24a <<则（ ）A ．()()()223log af f f a <<B ．()()()23log 2af f a f <<C ．()()()2log 32af a f f <<D ．()()()2log 23af a f f <<5．以下不等式不成立的是（ ） A ．sin x x >，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．1ln x x -≥，()0,x ∈+∞C ．10x e x --≥，x ∈RD ．ln 10x x e +->，()0,x ∈+∞6．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数，()11f e=，对任意实数都有()()0f x f x '->，设()()x f x F x e=则不等式()21F x e <的解集为（ ） A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,eD ．(),e +∞7．已知函数()y f x =在R 上可导且()02f =，其导函数()f x '满足()()02f x f x x '>--，对于函数()()x f x g x e=，下列结论错误．．的是（ ）. A ．函数()g x 在()2,+∞上为单调递增函数 B ．2x =是函数()g x 的极小值点 C ．0x ≤时，不等式()2xf x e ≤恒成立D ．函数()g x 至多有两个零点8．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（ ） A ．(,2021)-∞-B ．(2021,2020)--C ．(2021,0)-D ．(2020,0)-9．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ） A．3R BC．2R D．2R 10．奇函数()f x 满足0x ≥时,()cos 0f x x '+<，且()3,2f π=-则不等式()cos 22f x x π+>--的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(,)π-∞-C ．(,)2π-∞-D ．(,)π-∞11．已知函数(),2021,0x e x f x x x x ⎧>=⎨-++≤⎩，若函数()()g x f x kx =-恰好有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．2e12．已知函数22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．[)28,4,e ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．函数()21ln 2f x x x ax =+-存在与直线30x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是________. 14．若函数()21ln 2f x x b x ax =++在()1,2上存在两个极值点，则()39b a b ++的取值范围是_______.15．已知||()cos x f x e x =+，则不等式(21)(1)f x f x -≥-的解集为__________. 16．已知函数()24ln f x x x a x =++，若函数()f x 在()1,2上是单调函数，则实数a 的取值范围是______．17．关于x 的不等式2ln 0x x kx x -+≥恒成立，实数k 的取值范围是__________. 18．已知函数()ln g x a x =，若对[1,]x e ∀∈，都有2()(2)g x x a x ≥-++恒成立，则实数a 的取值范围是________.19．若函数()ln 1f x ax x =--有零点，则实数a 的取值范围是___________． 20．已知定义在R 上的连续函数()y f x =对任意实数x 满足(4)()f x f x -=，(()2)0x f x -'>，则下列命题正确的有________.①若(2)(6)0f f <，则函数()y f x =有两个零点； ②函数(2)y f x =+为偶函数；③(sin12cos12)f f >︒+︒； ④若12x x <且124x x +>,则12()()f x f x <.三、解答题21．已知函数()42ln af x ax x x=--. （1）当1a =时,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在其定义域内为增函数,求实数a 的取值范围； （3）设函数6()eg x x=,若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ,使得00()()f x g x >成立,求实数a 的取值范围. 22．设函数()()21xf x ea x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 23．设函数()()()ln 10f x x x =+≥，()()()101x x a g x x x ++=≥+.（1）证明：()2f x x x ≥-. （2）若()()f x xg x +≥恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：当*n ∈N 时，()2121ln 149n n n -+>+++. 24．设函数f （x ）＝ln x ＋kx，k ∈R ． （1）若曲线y ＝f （x ）在点(e ，f （e ）)处的切线与直线x －2＝0垂直，求f （x ）的单调性和极小值(其中e 为自然对数的底数)；（2）若对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围． 25．已知函数()(1)ln f x x x =+． （1）求()y f x =在1x =处的切线方程：（2）已知实数2k >时，求证：函数()y f x =的图象与直线l ：(1)y k x =-有3个交点． 26．已知函数2()2ln f x x mx x =-+ （m R ∈）.（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若45m <<，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求12()()f x f x -的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先设函数()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数()y f x =的对称性和单调性，再将2log 9，0.50.5-，以及31log 2转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小. 【详解】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数； ()ln3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数， 将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增.∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈， ∴0.52314log 92log 0.512->>->>， ∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】思路点睛：本题是一道函数单调性，奇偶性，对称性，判断大小的习题，本题所给函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，看似很复杂，但仔细观察就会发现，通过换元后可判断函数()1y f x =+是偶函数，本题的难点是判断函数的单调性，关键点是能利用对称性，转化3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2．A解析：A 【分析】由图象过定点可得0b =，设()()F x f x x =+，结合已知条件可得()F x 在()0,∞+递增，求()F x 的导数，令()()211g x x a x a =--+-，由二次函数的性质可得102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，从而可求出实数a 的范围. 【详解】解：因为2x b y +=的图象过定点0,1（），所以21b =，解得0b =，所以()()()21=1ln ,12f x x ax a x a -+->，因为对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>， 有()()1221f x f x x x ->-，则()()1122f x x x f x +>+，设()()F x f x x =+， 即()()()()()22111ln =11ln 22F x ax a x x x f x x x a x a x =+=-+-+--+-， 所以()()()21111x a x a a F x x a x x--+--'=--+=，令()()211g x x a x a =--+-， 因为1a >，则102a x -=>，所以要使()0F x '≥在()0,∞+恒成立，只需102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 故()21111022a a a a --⎛⎫⎛⎫--+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()150a a --≤，解得15a <≤， 故选:A. 【点睛】 关键点睛：本题的关键是由已知条件构造新函数()()F x f x x =+，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.3．B解析：B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4．C解析：C 【分析】由()f x =(4)f x -得到函数的对称性，(2)()0x f x '->得到函数的单调性，结合关系即可得到结论. 【详解】由于函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -， 可知函数关于2x =对称，根据条件2x ≠时，有()2(),xf x f x ''> 得(2)()0x f x '->，当2x >时()f x 递增，当2x <时()f x 单调递减， 因为24a <<所以4216a <<，21log 2a <<，因为2x =是对称轴，所以22log 3a <<，所以22log 32aa <<<， 所以2(log )(3)(2)af a f f <<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小.5．D解析：D 【分析】针对ABC 选项中的不等式构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，由此判断出不等式成立，利用特殊值判断出D 选项不等式不成立. 【详解】A.令()sin x x x f -=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()cos 10x x f '=->，则()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，则()()00sin 0sin f x f x x x x >=⇒->⇒>，不等式成立 B.令()1ln f x x x =--，()0,x ∈+∞，由()111x f x x x-'=-=，当()0,1x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，则()()101ln 01ln f x f x x x x ≥=⇒--≥⇒-≥，不等式成立C.令()1xf x e x =--，x ∈R ，由()1xf x e '=-，当(),0x ∈-∞，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增， 则()()0010xf x f e x =⇒--≥≥，不等式成立D.令()ln 1xf x x e =+-，()0,x ∈+∞，当1x =时，()110f e =-<，所以不等式不成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，属于中档题.6．B解析：B 【解析】 ∵()()xf x F x e =∴2()()()()()x x x xf x e f x e f x f x F x e e ''--'==∵对任意实数都有()()0f x f x -'> ∴()0F x '<，即()F x 在R 上为单调减函数 又∵()11f e= ∴21(1)F e=∴不等式()21F x e<等价于()(1)F x F < ∴不等式()21F x e<的解集为(1,)+∞ 故选B点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<，构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等.7．C解析：C 【分析】由()()02f x f x x '>--，利用导数求出函数()g x 的单调区间以及函数的极值，根据单调性、极值判断每个选项，从而可得结论． 【详解】()()xf xg x e =， 则()()()xf x f xg x e '-'=， 2x >时，()()0f x f x '->，故()y g x =在(2,)+∞递增，A 正确；2x <时，()()0f x f x '-<，故()y g x =在(,2)-∞递减，故2x =是函数()y g x =的极小值点，故B 正确； 若g （2）0<，则()y g x =有2个零点， 若g （2）0=，则函数()y g x =有1个零点， 若g （2）0>，则函数()y g x =没有零点，故D 正确； 由()y g x =在(,2)-∞递减，则()y g x =在(,0)-∞递减，由0(0)(0)2f g e==，得0x 时，()(0)g x g ， 故()2xf x e，故()2x f x e ≥，故C 错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点问题，考查了构造函数法的应用，是一道综合题．8．B解析：B 【分析】由题可得当(,0)x ∈-∞时，()2()0xf x f x '->，进而构造函数2()()f x g x x=，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g +<-，利用()g x 的单调性，可求出不等式的解集． 【详解】解：构造2()()(0)f x g x x x =<，则243()2()()2()()x f x x f x xf x f x g x x x ''⋅-⋅-'==，因为()2()0xf x f x '->，则()0g x '<∴函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，∵不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，且()2(1)(1)(1)1f g f --==--，等价于()()()()()2220201120201f x f g x +-<=-+-，即为(2020)(1)g x g +<-，所以2020120200x x +>-⎧⎨+<⎩，解得20212020x -<<-．故选：B 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造函数2()()f x g x x =是解决本题的关键，属于中档题． 9．A解析：A 【分析】根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：显然满足2224h r R =-，故圆柱的体积()23214h r h h R h πππ=⨯=-+，故可得()223,(02)4V h h R h R ππ<'=-+<，令()0V h '>，解得230h <<，故此时()V h 单调递增， 令()0V h '<232h R <<，故此时()V h 单调递减. 故()23max V h V ⎫=⎪⎪⎝⎭.即当23h =时，圆柱的体积最大. 故选：A . 【点睛】本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.10．A解析：A 【分析】构造函数()()sin h x f x x =+，根据其单调性，求解目标不等式即可. 【详解】不妨令()()sin h x f x x =+，因为()()cos 0h x f x x =+'<'在[)0,+∞恒成立，即()h x 在[)0,+∞单调递减；又()f x 是奇函数，sin y x =是奇函数， 故()h x 是奇函数，且()h x 是R 上的单调减函数. 由()3,2f π=-故可得22h π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又()cos 22f x x π+>--，即22h x h ππ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故22x ππ+<，则0x <.故选：A . 【点睛】本题考查构造函数法，涉及利用导数研究函数单调性以及利用单调性解不等式，属综合中档题.11．C解析：C 【分析】求得y kx =与x y e =的图象相切时的k 值，结合图象可得结论． 【详解】()()0g x f x kx =-=，()f x kx =，作出()f x 的图象，及直线y kx =，如图，∵0x ≤时，221y x x =-++是增函数，0x =时，1y =，无论k 为何值，直线y kx =与()(0)y f x x =≤都有一个交点且只有一个交点，而()g x 有两个零点，∴直线y kx =与()(0)x f x e x =>只能有一个公共点即相切．设切点为00(,)x y ，()x f x e '=，00()xf x e '=，切线方程为000()-=-xx y e e x x ，切线过原点，∴000x x ee x -=-⋅，01x =，∴(1)kf e '==，故选：C ．【点睛】方法点睛：本题考查函数零点个数问题，解题方法是把零点转化为直线与函数图象交点个数，再转化为求直线与函数图象相切问题．12．D解析：D 【分析】函数()()g x f x m =-有两个零点等价于22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象与y m =的图象有两个不同的交点，当2x >时，()22xx xf x e+=对其求导判断单调性，作出()y f x =的图象，数形结合即可求解. 【详解】令()()0g x f x m =-=可得()f x m =，所以函数()()g x f x m =-有两个零点等价于22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象与y m =的图象有两个不同的交点，当2x >时，()22x x x f x e +=，()()()2222222x x x x x e e x x x f x e e+-+-'==， 当2x >时()220xx f x e-'=<，()f x 单调递减， 当2x ≤时，()2f x x =+单调递增， 所以()f x 图象如图所示：当2x =时，()22222282f e e+⨯==，所以280x e <<， 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题13．【分析】原命题等价于有解再求的最小值即得解【详解】由题意得故存在切点使得所以有解因为所以（当且仅当时取等号）所以即则实数的取值范围是故答案为：【点睛】方法点睛：形如的有解问题等价于不是所以本题只要求解析：[)1,-+∞. 【分析】原命题等价于13t a t +=+有解，再求1tt +的最小值即得解. 【详解】 由题意，得()1f x x a x'=+-， 故存在切点()(),P t f t ，使得13t a t+-=， 所以13t a t+=+有解，因为0t >，所以12t t+（当且仅当1t =时取等号）， 所以32a +， 即1a -，则实数a 的取值范围是[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞. 【点睛】方法点睛：形如()a f x =的有解问题，等价于[()]min a f x ≥，不是[()]max a f x ≥，所以本题只要求出1tt +的最小值即得解.14．【分析】先求导设把问题转化为在上存在两个零点设为且再利用韦达定理求解代入整理利用二次函数求取值范围即可【详解】因为所以设因为函数在上存在两个极值点所以在上存在两个零点所以在上存在两个零点设为且所以根解析：814,16⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先求导，设()2g x x ax b =++，把问题转化为()g x 在()1,2上存在两个零点，设为12,x x 且12x x ≠，再利用韦达定理求解，代入()39b a b ++，整理利用二次函数求取值范围即可. 【详解】 因为()()21ln 02f x x b x ax x =++>， 所以()2b x ax bf x x a x x++'=++=，设()2g x x ax b =++，因为函数()f x 在()1,2上存在两个极值点， 所以()f x '在()1,2上存在两个零点，所以()g x 在()1,2上存在两个零点，设为12,x x 且12x x ≠， 所以根据韦达定理有：1212x x ax x b +=-⎧⎨⋅=⎩，故()23939b a b b ab b ++=++()()21212121239x x x x x x x x =⋅-⋅++⋅()()22112233x x x x =--，因为()11,2x ∈，所以221113993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， 222223993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，由于12x x ≠， 所以()()22112281334,16x x x x ⎛⎫--∈⎪⎝⎭. 故答案为：814,16⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的极值问题.把函数在区间存在两个极值点的问题转化为导函数在区间内存在两个零点，利用韦达定理得到参数和系数的关系，最后利用二次函数求取值范围.15．【分析】首先根据题意得到为偶函数利用导数求出的单调区间再根据单调区间解不等式即可【详解】又因为所以为偶函数当时因为所以故在为增函数又因为为偶函数所以在为减函数因为所以解得或故答案为：【点睛】本题主要解析：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到()f x 为偶函数，利用导数求出()f x 的单调区间，再根据单调区间解不等式即可. 【详解】又因为x ∈R ，()()()||||cos cos x x f x e x e x f x --=+-=+=，所以()f x 为偶函数.当0x >时，()cos x f x e x =+，()sin x f x e x '=-， 因为0x >，e 1x >，所以()sin 0x f x e x '=->， 故()f x 在()0,∞+为增函数.又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0-∞为减函数. 因为(21)(1)f x f x -≥-，所以211x x -≥-，解得23x ≥或0x ≤. 故答案为：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，同时考查了函数的奇偶，属于中档题.16．【分析】对函数进行求导导函数在区间上恒非正或恒非负进行求解即可【详解】由题意得：函数的定义域为由题意可知：或在区间上恒成立当在区间上恒成立时当时因此有；当在区间上恒成立时当时因此有综上所述：实数的取 解析：(,16][6,)-∞-+∞【分析】对函数进行求导，导函数在区间()1,2上恒非正或恒非负进行求解即可. 【详解】由题意得：函数()f x 的定义域为()0+∞，， 2'()+4ln ()2+4af x x x a x f x x x=+⇒=+，由题意可知：'()0f x ≥或'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立.当'()0f x ≥在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2ax a x x x x+≥⇒≥--=-+， 当()1,2x ∈时，()2(24)166x x --∈--，，因此有6a ≥-； 当'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2ax a x x x x+≤⇒≤--=-+， 当()1,2x ∈时，()2(24)166x x --∈-，，因此有16a ≤-， 综上所述：实数a 的取值范围是(,16][6,)-∞-+∞. 故答案为：(,16][6,)-∞-+∞. 【点睛】本题考查了已知函数在区间上的单调性求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力，属于中档题.17．【分析】根据不等式恒成立分离参数并构造函数求得导函数结合导数性质可判断的单调区间与最小值即可求得的取值范围【详解】在恒成立即恒成立即令则当即解得当即解得所以在上为减函数在上增函数所以所以故答案为：【解析：1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【分析】根据不等式恒成立，分离参数并构造函数()ln 1g x x x =+，求得导函数()g x '，结合导数性质可判断()g x 的单调区间与最小值，即可求得k 的取值范围. 【详解】2ln 0x x kx x -+≥在()0,∞+恒成立，即ln 10x x k -+≥恒成立，即ln 1k x x ≤+，令()ln 1g x x x =+，则()ln 1g x x '=+，当()0g x '≥，即ln 10x +≥，解得1x e ≥， 当()0g x '<，即ln 10x +<，解得10x e<< 所以()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上增函数， 所以()min 1111ln 11g x g e e e e⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭， 所以11k e≤-故答案为：1,1e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了分离参数与构造函数法的应用，由导函数求函数的最值及参数的取值范围，属于中档题.18．【分析】由已知条件推导出令由此利用导数性质能求出的取值范围【详解】解：由题意得到：且等号不能同时取所以即因而令又当时从而（仅当时取等号）在上为增函数的最小值为的取值范围是即故答案为：【点睛】本题考查 解析：(],1-∞-【分析】由已知条件推导出22x x a x lnx--，([1,])x e ∈，令22()x x f x x lnx -=-，([1,])x e ∈，由此利用导数性质能求出a 的取值范围． 【详解】解：由题意得到：2()2a x lnx x x --．[]1,x e ∈，1lnx x ∴且等号不能同时取，所以lnx x <，即0x lnx ->，因而22x x a x lnx --，([1,])x e ∈令22()x x f x x lnx-=-，([1,])x e ∈，又2(1)(22)()()x x lnx f x x lnx -+-'=-， 当[]1,x e ∈时，10x -，1lnx ，220x lnx +->， 从而()0f x '（仅当1x =时取等号）， ()f x 在[]1,e 上为增函数，()f x ∴的最小值为()11f =-，a ∴的取值范围是1a -，即(],1a ∈-∞-故答案为：(],1-∞-． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用，属于中档题．19．【分析】变换得到设求导得到单调性画出图像得到答案【详解】由题可知函数的定义域为函数有零点等价于有实数根即设则则函数在上单调递增在上单调递减且画出图像如图所示：根据图像知故答案为：【点睛】本题考查了利 解析：(,1]-∞【分析】 变换得到ln 1x a x+=，设()ln 1x g x x +=，求导得到单调性，画出图像得到答案.【详解】由题可知函数()f x 的定义域为()0,∞+ 函数()ln 1f x ax x =--有零点， 等价于()ln 10f x ax x =--=有实数根()ln 10f x ax x =--=，即ln 1x a x+=， 设()ln 1x g x x +=，则()2ln 'xg x x -=. 则函数在()0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，且()11g =， 画出图像，如图所示：根据图像知1a ≤. 故答案为：(,1]-∞. 【点睛】本题考查了利用导数研究零点，参数分离画出图像是解题的关键.20．①②④【分析】根据已知条件得到函数的对称轴以及函数的单调性结合题意对选项进行逐一判断即可【详解】因为故关于对称；又故当时单调递增；时单调递减对①：若根据函数单调性显然则根据零点存在定理和函数单调性在解析：①②④ 【分析】根据已知条件得到函数的对称轴，以及函数的单调性，结合题意，对选项进行逐一判断即可. 【详解】因为(4)()f x f x -=，故()f x 关于2x =对称；又(()2)0x f x -'>，故当2x >时，()f x 单调递增；2x <时，()f x 单调递减. 对①：若(2)(6)0f f <，根据函数单调性，显然()()20,60f f ，则()20f -> 根据零点存在定理和函数单调性，()f x 在()()2,2,2,6-上各有1个零点，故①正确； 对②：因为()f x 关于2x =对称，故()2f x +关于0x =对称，故是偶函数，则②正确；对③：121257sin cos ︒+︒=︒<(),2-∞单调递减可知，()1212ff sin cos <︒+︒，故③错误；对④：因为12x x <，故可得1222x x -<-；因为124x x +>，故可得1222x x -<- 故2122x x ->-，又函数关于2x =对称，结合函数单调性， 故可得()()21f x f x >，故④正确. 综上所述：正确的有①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查根据导数的正负判断函数的单调性，函数对称轴的识别，涉及辅助角公式的使用，利用函数单调性比较大小，属综合性中档题.三、解答题21．(1) 3y x = (2) 1[,)2+∞（3）28(,)41ee +∞- 【分析】（1）求出f （x ）的导数，求出f′（1），f （1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a 的具体范围；（3）构造函数ϕ（x ）=f （x ）﹣g （x ），x ∈[1，e]，只需ϕ（x ）max ＞0，根据函数的单调性求出ϕ（x ）max ，从而求出a 的范围． 【详解】（1）解: 当1a =时,()142ln f x x x x =--,()1412ln13f =--=, ()212'4f x x x=+-,曲线()f x 在点()()1,1f 处的斜率为()'13f =, 故曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x -=-,即3y x =（2）解: ()222242'4a ax x a f x a x x x-+=+-=. 令()242h x ax x a =-+,要使()f x 在定义域()0,+∞内是增函数,只需()h x ≥0在区间()0,+∞内恒成立. 依题意0a >,此时()242h x ax x a =-+的图象为开口向上的抛物线,()211444h x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其对称轴方程为()10,4x a =∈+∞,()min 14h x a a =-,则只需14a a -≥0,即a ≥12时,()h x ≥0,()'f x ≥0,所以()f x 定义域内为增函数,实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）解: 构造函数()()()x f x g x φ=-,[]1,x e ∈,依题意()max 0x φ>, 由（2）可知a ≥12时,()()()x f x g x φ=-为单调递增函数, 即()1642ln e x a x x x x φ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在[]1,e 上单调递增, ()()max 1480x e a e e φφ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭,则2288214142eea e e e >>=>-,此时,()()()0e f e g e φ=->,即()()f e g e >成立. 当a ≤2841e e -时,因为[]1,x e ∈,140x x->, 故当x 值取定后,()x φ可视为以a 为变量的单调递增函数, 则()x φ≤281642ln 41e ex x e x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭,[]1,x e ∈, 故()x φ≤281642ln 041e ee e e e e⎛⎫---= ⎪-⎝⎭, 即()f x ≤()g x ,不满足条件. 所以实数a 的取值范围是28,41e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）分别在0a ≤和0a >两种情况下，根据()f x '的正负可确定()f x 的单调性； （2）根据（1）的结论可确定0a <不合题意；当0a =时，根据指数函数值域可知满足题意；当0a >时，令()min 0f x >，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意得：()22xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在R 上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=得：1ln 22a x =. 当1ln 22a x <时，()0f x '<，()f x ∴在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当1ln 22a x >时，()0f x '>，()f x ∴在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）可知：当0a <时，()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，20x e →，()1a x +→+∞，此时()0f x <，不合题意； 当0a =时，2()0x f x e =>恒成立，满足题意. 当0a >时，()f x 在1ln 22ax =处取最小值，且1ln ln 22222a a a a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令ln 0222a a a -->，解得：20a e <<，此时()0f x >恒成立.综上所述：a 的取值范围为20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果.23．（1）证明见解析；（2）(],1-∞；（3）证明见解析.【分析】（1）令函数()()2ln 1h x x x x =+-+，[)0,x ∈+∞，利用导数判断函数单调递增，从而可得()()00h x h ≥=，即证. （2）令()()ln 11axm x x x=+-+，转化为()0m x ≥恒成立，利用导数求出()()11x am x x +-'=+，讨论a 的取值，判断函数的单调性，求出()()()min 100m x m a m =-<=，即求.（3）由（1）()2ln 1x x x +≥-，令1x n =，*n ∈N ，整理可得()21ln 1ln n n n n-+->，然后将不等式相加即可证明. 【详解】（1）证明：令函数()()2ln 1h x x x x =+-+，[)0,x ∈+∞，()21221011x xh x x x x+'=+-=≥++，所以()h x 为单调递增函数，()()00h x h ≥=， 故()2ln 1x x x +≥-.（2）()()f x x g x +≥，即为()ln 11axx x+≥+， 令()()ln 11axm x x x=+-+，即()0m x ≥恒成立， ()()()()2111111a x ax x a m x x x x +-+-'=-=+++， 令()0m x '>，即10x a +->，得1x a >-.当10a -≤，即1a ≤时，()m x 在[)0,+∞上单调递增，()()00m x m ≥=，所以当1a ≤时，()0m x ≥在[)0,+∞上恒成立；当10a ->，即1a >时，()m x 在()1,a -+∞上单调递增，在[]0,1a -上单调递减， 所以()()()min 100m x m a m =-<=， 所以当1a >，()0m x ≥不恒成立. 综上所述：a 的取值范围为(],1-∞. （3）证明：由（1）知()2ln 1x x x +≥-，令1x n=，*n ∈N ，(]0,1x ∈， 211ln n n n n+->，即()21ln 1ln n n n n -+->，故有ln 2ln10->， 1ln 3ln 24->， ……()21ln 1ln n n n n-+->， 上述各式相加可得()2121ln 149n n n-+>+++. 【点睛】本题考查了利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.24．（1）在(0，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，极小值为2；（2）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【分析】（1）求导后，根据导数的几何意义以及两直线垂直关系可得k ＝e ，再根据导数得到函数的单调性和极值；（2）转化为h （x ）＝f （x ）－x ＝ln x ＋kx－x (x >0)在(0，＋∞)上单调递减，接着转化为()h x '≤0在(0，＋∞)上恒成立，即，k ≥－x 2＋x ＝21124x 恒成立，利用二次函数求出最大值可得答案. 【详解】（1）由题意，得21()(0)kf x x x x '=->， ∵曲线y ＝f （x ）在点(e ，f （e ）)处的切线与直线x －2＝0垂直， ∴()0f e '=，即210ke e -=，解得k ＝e ， ∴221()(0)e x ef x x x x x-'=-=>， 由()'f x <0，得0<x <e ；由()'f x >0，得x >e ， ∴f （x ）在(0，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增． 当x ＝e 时，f （x ）取得极小值，且f （e ）＝ln e ＋ee＝2． ∴f （x ）的极小值为2．（2）由题意知，对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2恒成立，设h （x ）＝f （x ）－x ＝ln x ＋kx－x (x >0)，则h （x ）在(0，＋∞)上单调递减， ∴21()1kh x x x '=--≤0在(0，＋∞)上恒成立， 即当x >0时，k ≥－x 2＋x ＝21124x 恒成立， ∴k ≥14．故k 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了减函数的定义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题. 25．（1）22y x =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，求得()()1,1f f '，利用点斜式即可求得切线方程； （2）构造(1)()ln 1k x h x x x -=-+，将问题转化为证明()h x 有3个零点；再对()h x 求导，根据函数单调性，即可证明. 【详解】（1）因为()(1)ln f x x x =+，所以1()ln x f x x x'+=+， 所以(1)2f '=，又因为(1)0f =，所以()f x 在1x =处的切线方程22y x =-； （2）当2k >时，函数()y f x =的图象与直线l 交点的个数等价于 函数(1)()ln 1k x h x x x -=-+的零点个数， 因为22212(1)2()(1)(1)k x kxh x x x x x +-'=-=++，(0,)x ∈+∞， 设2()(22)1g x x k x =+-+，因为二次函数()g x 在x ∈R 时，(0)10g =>，(1)420g k =-<， 所以存在1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，使得()10g x =，()20g x =， 所以()h x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 在()2,x +∞上单调递增．因为(1)0h =，所以()1(1)0h x h >=，()2(1)0h x h <=， 因此()h x 在()12,x x 上存在一个零点1x =；又因为当ekx -=时，()()()e 12e e 0e 1e 1k k k kkk k h k -------=--=<++，所以()h x 在()1e ,kx -上存在一个零点；当e k x =时，()()e 12e 0e 1e 1k k kk k h k k -⎛⎫=-=> ⎪++⎝⎭， 所以()h x 在()2,e kx 上存在一个零点.所以，函数()y f x =的图象与直线l ：(1)y k x =-有3个交点． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力. 26．（1）4m ≤；（2）1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为22m x x≤+在(0,)+∞上恒成立，利用基本不等式求得22x x+的最小值即可得解； （2）由题意结合函数极值点的概念可得122mx x +=，121x x ⋅=，进而可得1112x <<，转化条件为21211211()()4ln f x f x x x x -=-+，令221()4ln g x x x x =-+（112x <<），利用导数求得函数()g x 的值域即可得解. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∴2()20f x x m x '=-+≥在(0,)+∞上恒成立，即22m x x≤+在(0,)+∞上恒成立，又224x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴4m ≤；（2）由题意2222()2x mx f x x m x x-+'=-+=，∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴12,x x 为方程2220x mx -+=的两个不相等的实数根， 由韦达定理得122mx x +=，121x x ⋅=，∵120x x <<，∴1201x x <<<， 又121112()2()(4,5)m x x x x =+=+∈，解得1112x <<， ∴()()2212111222()()2ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+()()()()22121212122ln ln 2x x x x x x x x =-+--+-()()2221122ln ln x x x x =-+-2112114ln x x x =-+， 设221()4ln g x x x x =-+（112x <<）， 则4222333242(21)2(1)()20x x x g x x x x x x---+--=-+='=<， ∴()g x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，又1111544ln 4ln 22424g ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭，(1)1100g =-+=， ∴150()4ln 24g x <<-， 即12()()f x f x -的取值范围为1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，牢记函数单调性与导数的关系、合理转化条件是解题关键，属于中档题.。
高中数学北师大版选修2-2练习学业分层测评10 Word版含答案
学业分层测评(十)(建议用时：分钟)一、选择题.下列结论不正确的是( ).若＝，则′＝.若()＝＋，则′()＝.若＝－＋，则′＝－＋.若＝＋，则′＝＋【解析】中，∵＝＋，∴′＝( )′＋( )′＝－ .【答案】.若对任意实数，恒有′()＝，()＝－，则此函数为( )()＝－()＝－＋()＝－()＝＋【解析】由()＝－，排除，；又对任意实数，恒有′()＝，则()＝＋，故排除，选.【答案】.曲线()＝＋－在点处的切线平行于直线＝－，则点的坐标为( ).(，).(，).(，)和(－，－).(，)和(－，－)【解析】∵()＝＋－，∴′()＝＋，设(，)，则′()＝＋＝，∴＝±.故点坐标为(，)或(－，－).【答案】.设曲线()＝在点(，)处的切线与直线＋＋＝垂直，则等于( ).－.－【解析】∵()＝＝＋，∴′()＝－，∴′()＝－，∴－＝，即＝－.【答案】.已知函数()＝＋，若存在满足≤≤的实数，使得曲线＝()在点(，())处的切线与直线＋－＝垂直，则实数的取值范围是( )..(－∞，)【解析】′()＝＋，当≤≤时，′()∈，又＝′()＝，所以∈.【答案】二、填空题.函数＝＋ )的导数是.【导学号：】【解析】′()＝（＋）－ ,（＋）)＝,（＋）).【答案】,（＋）).已知()＝＋′，则′＝.【解析】∵()＝＋′，∴′()＝＋′，∴′＝×＋′，∴′＝－×，即′＝.【答案】.某物体做直线运动，其运动规律是＝＋(的单位是，的单位是)，则它在第末的瞬时速度应该为.【解析】∵′＝－，∴＝′()＝－＝.【答案】三、解答题.点是曲线＝()＝上任意一点，求点到直线＝的最小距离.【解】根据题意设平行于直线＝的直线与曲线()＝相切于点(，)，该切点即为与＝距离最近的点，如图.则在点(，)处的切线斜率为，即′()＝.∵′()＝()′＝，。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．若0a =，则()f x 是增函数C ．当3a=-时，函数()f x 恰有三个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点 2．已知函数()2sin ln 6xf x a x x a π⎛⎫=+-⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠），对任意1,x []20,1x ∈，不等式()()212f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的最小值是（ ）A ．2eB ．eC ．3D ．23．已知函数()()()21=)1ln 2(,1+f x x a x a a b x -+->，函数2x b y +=的图象过定点0,1（），对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为（ ） A ．15a <≤ B ．25a <≤ C ．25a ≤≤D ．35a <≤4．已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）A ．[1，)+∞B ．(0，1]C ．[2，)+∞D ．(0,)+∞5．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-6．已知函数()f x lnx =，若关于x 的方程()f x kx =恰有两个不相等的实数根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)eB ．(0，1]eC ．1(2，eD ．1(2，e7．已知函数()32f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,27⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．1,C ．5,127⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,127⎛⎫-⎪⎝⎭8．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f x fx f x << C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<9．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数，()11f e=，对任意实数都有()()0f x f x '->，设()()xf x F x e =则不等式()21F x e <的解集为（ ） A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,eD ．(),e +∞10．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．(21e-，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e) 11．函数()21xy x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．设动直线x m =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于,M N ，则MN 的最小值为（ ） A ．11ln 222+ B ．11ln 222- C ．1ln 2+ D ．ln 21-二、填空题13．若函数的()1,2ln ,x m x e f x x x x e⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域是[)1,e -+∞，其中e 是自然对数的底数，则实数m 的最小值是______.14．已知数列()*4n n b n N =∈.记数列{}n b 的前n 项和为n T ．若对任意的*n N ∈，不等式4843n T k n ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，则实数k 的取值范围为______．15．设()ln f x x =，若函数()()h x f x ax =-在区间()0,8上有三个零点，则实数a 的取值范围______. 16．设函数()21ln 12f x x x bx =+-+（b 为常数），若函数()f x 在[]1,3上存在单调减区间，则实数b 的取值范围是______. 17．函数()()21xf x x =-的最小值是______.18．已知函数()1ln f x x a x x=-+，存在不相等的常数m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()()f m f n -的最小值为____________.19．已知函数()f x 在R 上是偶函数，其导函数为()f x '，且()21f =，()0f x ≥.当0x >时，()()0xf x f x '+<恒成立，则不等式()21f x -≤的解集为______.20．已知()3226f x x x a =-+(a 为常数)在[]22-,上有最小值3，则()f x 在[]22-,上的最大值为______三、解答题21．已知函数()()2ln 1f x ax x =-+()0a ≠.（1）讨论()f x 的极值点的个数；（2）当0a >时，设()f x 的极值点为0x ，若()()00121f x x >-+，求a 的取值范围.22．已知函数()()3exf x xx a =-+，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值； （2）若()f x 在()1,+∞上单调，求a 的取值范围. 23．已知函数()22ln f x x a x =+（1）若函数()f x 的图象在()()22f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值；并求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()2g x f x x=+在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围. 24．如图是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图C 是半径OB 上一点，D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA .现在线段OC ，线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)试问：x 为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．25．图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M ．已知HM = 5 m ，BC = 10 m ，梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH = θ π(0)4θ<<． （1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k （k 为正的常数），下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为16 k ．现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？26．已知函数()()1xf x ax e -=，曲线()y f x =在点()0,1-处的切线为310x y --=.（1）求a 的值； （2）求函数()f x 的极值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥,所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=,所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-,将a 的值代入分别计算分析，可判断选项B ，C ，D【详解】对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''= 所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-对B, 当0a =时，()2'cos 30f x x x =+>，所以()f x 是增函数，故B 正确.对C,当3a=-时，由上可知, ()()014f x f a ''≥=-=，所以()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.对D,当3a =时，()2cos 33f x x x '=+-，由上可知在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()min 0132f x f ''==-=-，()1cos10f '-=>，()1cos10f '=>所以存在()()121,0,0,1x x ∈-∈，使得()10fx '=，()20f x '=成立则在()1,x -∞上，()0f x '>，在()12,x x 上，()0f x '<，在()2,x +∞上，()0f x '>.所以函数()3sin 3f x x x x =+-在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 的单调递减，在()2,x +∞单调递增.所以函数()f x 恰有两个极值点，故D 正确.故选：C 【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=，所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-，经过多次求导分析出单调性，属于中档题. 2．A解析：A 【分析】由导数求得()f x 在[0,1]上单调递增，求得函数的最值，把任意1,x []20,1x ∈，不等式()()212f x f x a -≤-恒成立，转化为()()max min 2f x f x a -≤-，进而求得a 的取值范围，得到最小值. 【详解】由题意，显然2a ≥，因为函数()2sin ln 6xf x a x x a π⎛⎫=+-⎪⎝⎭，可得()ln (1)cos()36x f x a a x ππ'=-+，又由[0,1],2x a ∈≥，可得ln 0,10,cos()036xa a x ππ>-≥>，故()0f x '>，函数()f x 在[0,1]上单调递增， 故()()max min (1)1ln ,(0)1f x f a a f x f ==+-==， 对任意1,x []20,1x ∈，不等式()()212f x f x a -≤-恒成立， 即()()max min 2f x f x a -≤-，所以1ln 12a a a +--≤-，即ln 2a ≥，解得2a e ≥， 即实数a 的最小值为2e . 故选：A. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3．A解析：A 【分析】由图象过定点可得0b =，设()()F x f x x =+，结合已知条件可得()F x 在()0,∞+递增，求()F x 的导数，令()()211g x x a x a =--+-，由二次函数的性质可得102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，从而可求出实数a 的范围.【详解】解：因为2x b y +=的图象过定点0,1（），所以21b =，解得0b =，所以()()()21=1ln ,12f x x ax a x a -+->，因为对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>， 有()()1221f x f x x x ->-，则()()1122f x x x f x +>+，设()()F x f x x =+， 即()()()()()22111ln =11ln 22F x ax a x x x f x x x a x a x =+=-+-+--+-， 所以()()()21111x a x a a F x x a x x--+--'=--+=，令()()211g x x a x a =--+-， 因为1a >，则102a x -=>，所以要使()0F x '≥在()0,∞+恒成立，只需102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故()21111022a a a a --⎛⎫⎛⎫--+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()150a a --≤，解得15a <≤， 故选:A. 【点睛】 关键点睛：本题的关键是由已知条件构造新函数()()F x f x x =+，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.4．A解析：A 【分析】求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，等价于()'211f x ax =-≥，1x 时恒成立， 0a时，()'0f x <，不合题意，0a >时，只需211ax -，即1ax在[1，)+∞恒成立， 故max 1()1a x=，故a 的范围是[1，)+∞， 故选：A 【点睛】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，由此考虑利用导数进行求解.5．C解析：C 【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则00,12y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点； 在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.6．A解析：A 【分析】f （x ）＝kx 可变形为k lnxx=，关于x 的方程f （x ）＝kx 的实数根问题转化为直线y ＝k 与函数g （x ）g （x ）lnxx=的图象的交点个数问题，由导数运算可得函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数，又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=，画草图即可得解． 【详解】 设g （x ）()f x lnx xx==， 又g ′（x ）21lnxx-=， 当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，当x ＞e 时，g ′（x ）＜0， 则函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数， 又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=， 即直线y ＝k 与函数g （x ）的图象有两个交点时k 的取值范围为（0，1e）， 故选A ．【点睛】本题考查了导数的运算及方程与函数的互化及极限思想，属于中档题.7．C解析：C 【分析】根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.又()2321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-，∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0g x '>.∴()15327g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，()()11g x g ==极大值，5127a ∴-<<. 故选：C 【点睛】本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.8．D解析：D 【分析】由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2f x 的大小，从而求得最后的结果. 【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x -=， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f x f x f <<=， 而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．9．B解析：B 【解析】 ∵()()xf x F x e=∴2()()()()()x x x xf x e f x e f x f x F x e e''--'== ∵对任意实数都有()()0f x f x -'> ∴()0F x '<，即()F x 在R 上为单调减函数 又∵()11f e= ∴21(1)F e =∴不等式()21F x e <等价于()(1)F x F < ∴不等式()21F x e <的解集为(1,)+∞ 故选B点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<，构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等.10．C解析：C 【分析】由函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()0F x =，可得y k =和()2ln x g x x =有两个交点；当0x <时，y k =和()1g x x =有一个交点，求得0k >，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 当0x >时，令()()0F x f x kx =-=， 可得2ln xk x=， 要使得()0F x =有两个实数解， 即y k =和()2ln xg x x=有两个交点， 又由()312ln x g x x-'=， 令12ln 0x -=，可得x =当x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x =()max 12g x e=， 若直线y k =和()2ln xg x x =有两个交点， 则1(0,)2k e∈，当0x <时，y k =和()21g x x =有一个交点， 则0k >，综上可得，实数k 的取值范围是1(0,)2e. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的综合应用，着重考查了转化思想以及推理与运算能力.属于中档题.11．A解析：A 【分析】根据函数图象，当12x <时，()210xy x e =-<排除CD ，再求导研究函数单调性得()21x y x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，排除B 得答案.【详解】 解：因为12x <时，()210xy x e =-<，所以C ，D 错误； 因为()'21xy x e =+， 所以当12x <-时，'0y <， 所以()21xy x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减， 所以A 正确，B 错误. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.12．A解析：A 【分析】将两个函数作差，得到函数()()y f x g x =-，利用导数再求此函数的最小值，即可得到结论. 【详解】设函数()()()2ln 0=-=->y f x g x x x x ，()212120-'∴=-=>x y x x x x，令0y '<，0x，0∴<<x ，函数在⎛ ⎝⎭上为单调减函数；令0y '>，0x，∴>x ，函数在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为单调增函数.2x ∴=时，函数取得极小值，也是最小值为111ln ln 22222-=+.故所求MN 的最小值即为函数2ln y x x =-的最小值11ln 222+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于中档题.二、填空题13．【分析】利用导数可求得当时函数的值域是；当时函数的值域是从而可得进而可得结果【详解】当时此时函数在上递增值域是当时是减函数其值域是因为函数的值域是所以于是解得即实数的最小值是故答案为：【点睛】本题主 解析：312e - 【分析】利用导数可求得当x e ≥时，函数()f x 的值域是[)1,e -+∞；当x e <时，函数的值域是,2e m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭，从而可得,2e m ⎛⎫-++∞⊆ ⎪⎝⎭[)1,e -+∞，进而可得结果. 【详解】当x e ≥时，'1(ln )10,x x x-=->此时函数()f x 在[),e +∞上递增，值域是[)1,e -+∞. 当x e <时，12x m -+是减函数，其值域是,2e m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭. 因为函数()1,2,x m x ef x x lnx x e⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域是[)1,e -+∞，所以,2e m ⎛⎫-++∞⊆ ⎪⎝⎭[)1,e -+∞. 于是1,2e m e -+≥-解得312e m ≥-，即实数m 的最小值是312e-. 故答案为：312e-. 【点睛】本题主要考查分段函数的值域问题，以及利用导数求函数的最值，考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.14．【分析】先求得然后利用分离常数法通过构造函数法结合导数求得的取值范围【详解】由于公比为所以所以对任意的不等式恒成立即恒成立即对任意的恒成立构造函数则令解得而所以所以在上递增在上递减令所以故故答案为： 解析：34k ≥【分析】先求得n T ，然后利用分离常数法，通过构造函数法，结合导数，求得k 的取值范围. 【详解】由于14,4nn b b ==，公比为4，所以()()141441441414333n n n n T +-==-=--， 所以对任意的*n N ∈，不等式4843n T k n ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立， 即114843n k n +⋅≥-恒成立，即124126344n nn n k +--≥=对任意的*n N ∈恒成立. 构造函数()()6314x x f x x -=≥，则()()'6ln 43ln 464xx f x -⋅++=， 令'0f x解得041log 2x e =+. 而4411log log 2122e +>+=，44113log log 4222e +<+=， 所以012x <<.所以()f x 在[)01,x 上递增，在()0,x +∞上递减. 令634n n n a -=，1239,416a a ==，12a a >. 所以134n a a ≤=，故34k ≥. 故答案为：34k ≥ 【点睛】本小题主要考查等比数列前n 项和公式，考查不等式恒成立问题的求解，考查数列的单调性和最值的判断，属于难题.15．【分析】画出函数图像计算直线和函数相切时和过点的斜率根据图像得到答案【详解】故画出图像如图所示：当直线与函数相切时设切点为此时故解得；当直线过点时斜率为故故答案为：【点睛】本题考查了根据函数零点个数解析：3ln 21,8e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【分析】()f x ax =，画出函数图像，计算直线和函数相切时和过点()8,ln8的斜率，根据图像得到答案. 【详解】()()0h x f x ax =-=，故()f x ax =，画出图像，如图所示：当直线与函数相切时，设切点为()00,x y ，此时()ln f x x =，()1'f x x=， 故01a x =，00y ax =，00ln y x =，解得0x e =，01y =，1a e=； 当直线过点()8,ln8时，斜率为3ln 28k =，故3ln 218a e<<. 故答案为：3ln 21,8e ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16．【分析】根据题意将函数在上存在单调减区间转化为在上有解则只需：只需在内即可结合基本不等式即可求出的取值范围【详解】解：由题意知：在上存在单调减区间在上有解即在上有解即在上有解只需在内即可当且仅当时取 解析：()2,+∞【分析】根据题意，将函数()f x 在[]1,3上存在单调减区间，转化为()0f x '<在[]1,3上有解，则只需：只需在[]1,3内min1b x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭即可，结合基本不等式，即可求出b 的取值范围. 【详解】解：由题意知：()()21ln 102f x x x bx x =+-+>， ()211x bx f x x b x x-+'∴=+-=， ()f x 在[]1,3上存在单调减区间，()0f x '∴<在[]1,3上有解，即10x b x+-<在[]1,3上有解，即1>+b x x 在[]1,3上有解，只需在[]1,3内，min 1b x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭即可， 0x，12x x∴+≥，当且仅当1x =时取得最小值2，即在在[]1,3内min12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以：2b >，则b 的取值范围是：()2,+∞. 故答案为：()2,+∞. 【点睛】本题考查导数的应用，以及基本不等式的应用，考查转化思想和计算能力.17．【分析】对求导利用导数即可求得函数单调性和最小值【详解】因为故可得令解得；故当时单调递减；当时单调递增；当时单调递减且当趋近于1时趋近于正无穷；当趋近于正无穷时趋近于零函数图像如下所示：故的最小值为 解析：14-【分析】对()f x 求导，利用导数即可求得函数单调性和最小值, 【详解】 因为()()21xf x x =-，故可得()()311x f x x ---'=，令()0f x '=，解得1x =-；故当(),1x ∈-∞-时，()f x 单调递减； 当()1,1x ∈-时，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减. 且()114f -=-， 当x 趋近于1时()f x 趋近于正无穷；当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于零. 函数图像如下所示：故()f x 的最小值为14-. 故答案为：14-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属综合基础题.18．【分析】求出由已知可得为的两根求出关系并将用表示从而把表示为关于的函数设为利用的单调性即可求解【详解】因为的定义域为令即因为存在使得且即在上有两个不相等的实数根且所以∴令则当时恒成立所以在上单调递减解析：4e【分析】求出()f x '，由已知可得,m n 为()0f x '=的两根，求出,,m n a 关系，并将,n a 用m 表示，从而把()()f m f n -表示为关于m 的函数设为()h m ，利用()h m 的单调性，即可求解. 【详解】 因为()1ln f x x a x x=-+的定义域为()0,∞+， ()22211'1a x ax x x xf x ++=++=， 令()'0f x =，即210x ax ++=，()0,x ∈+∞，因为存在m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即210x ax ++=在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根m ，n ， 且m n a +=-，1⋅=m n ，所以1n m =，1a m m=--， ∴()()11111ln ln f m f m m m m m m m m m m n ⎛⎫⎛⎫=-+---+--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 11l 2n m m m m m ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=，令()112ln h m m m m m m ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则()()()22211121ln l 'n m m m m h m m m -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 当10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'0h m <恒成立， 所以()h m 在10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 14h m h e e ⎛⎫==⎪⎝⎭，即()()f m f n -的最小值为4e.故答案为：4e. 【点睛】本题考查最值问题、根与系数关系、函数的单调性，应用导数是解题的关键，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.19．【分析】由时可得再利用偶函数的性质即可解决【详解】当时由及得所以故在上单调递减又为偶函数所以所以解得或故答案为：【点睛】本题考查解与抽象函数有关的不等式本题关键是找到函数的单调性以及利用偶函数的性质 解析：(][),04,-∞+∞【分析】由0x >时，()()0xf x f x '+<可得'()0f x <，再利用偶函数的性质(||)()f x f x =即可解决. 【详解】当0x >时，由()0f x ≥及()()0xf x f x '+<，得()()0xf x f x '<-≤，所以'()0f x <，故()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 为偶函数，所以()21f x -≤⇔(|2|)1(2)f x f -≤=所以|2|2x -≥，解得4x ≥或0x ≤. 故答案为：(][),04,-∞+∞【点睛】本题考查解与抽象函数有关的不等式，本题关键是找到函数()f x 的单调性以及利用偶函数的性质(||)()f x f x =，是一道中档题.20．43【分析】通过函数的导数可判断出在上单调递增在上单调递减比较和的大小从而可得在上的最小值再结合已知其最小值为3即可求出的值进而可求出函数在上的最大值【详解】因为所以当时；当时所以函数在上单调递增在解析：43 【分析】通过函数()f x 的导数可判断出()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，比较(2)f -和(2)f 的大小，从而可得()f x 在[2,2]-上的最小值，再结合已知其最小值为3，即可求出a 的值，进而可求出函数()f x 在[2,2]-上的最大值． 【详解】因为32()26f x x x a =-+，所以2()6126(2)f x x x x x '=-=-， 当(2,0)x ∈-时，()0f x '>；当(0,2)x ∈时，()0f x '<， 所以函数()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以()f x 的最大值为(0)f a =，又(2)40f a -=-+，(2)8f a =-+，因为(8)(40)320a a -+--+=>， 所以408a a -+<-+，所以()f x 在[2,2]-上的最小值为(2)403f a -=-+=， 所以43a =，所以()f x 的最大值为(0)43f =． 故答案为：43 【点睛】本题考查利用导数求闭区间上的函数最值问题．一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，最值必在端点处或极值点处取得．三、解答题21．（1）答案见解析；（2）⎛⎫⎪+∞⎪⎭. 【分析】（1）()21221211ax ax f x ax x x +-'=-=++，令()2221g x ax ax =+-，分两种情况讨论，判断方程()0g x =根的个数即可；（2）由（1）知()00g x =，即2002210ax ax +-=，()20012a x x =+，先求得01x ，进而可得答案即可.【详解】（1）()21221211ax ax f x ax x x +-'=-=++，令()2221g x ax ax =+- 当0a >时，由()10g -<知，()g x 在()1,-+∞有唯一零点， 故()f x 在()1,-+∞有一个极值点；当0a <时，()10g -<，()g x 的对称轴为12x =-，若方程()0g x =的0∆>，即2480a a +>，2a <-时，()g x 在()1,-+∞有两个零点，()f x 在()1,-+∞有两个极值点；若方程()0g x =的0∆≤，即2480a a +≤，20a -≤<时，()0g x ≤，()f x 在()1,-+∞上单减，无极值点.（2）由（1）知()00g x =，即2002210ax ax +-=，()20012a x x =+……（*）由0a >且010x +>得00x >，又∵()()00121f x x >-+，∴()()20001ln 121ax x x -+>-+代入（*）式，()()()00001ln 12121x x x x -+>-++，即()01ln 102x -+>解得01x <，∴001x <<， ∴.()20012a x x ⎛⎫⎪=∈+∞⎪+⎭. 【点睛】求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数fx ；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查fx 在0fx的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.22．（1）最大值为24e ，最小值为2e -；（2）[)2,-+∞. 【分析】（1）2a =-代入()f x ，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；（2）先利用极限思想进行估值x →+∞时()0f x '>，来确定()f x 在()1,+∞上单增，()0f x '≥，再对32310x x a x -++-≥分离参数，研究值得分布即得结果.【详解】 （1）()()3231xf x exx a x '=-++-当2a =-时，()()()()()3233311xx f x exx x e x x x '=+--=+-+∴()f x '在()3,1--和()1,+∞上为正，在(),3-∞-和()1,1-上为负， ∴()f x 在()3,1--和()1,+∞上单增，在(),3-∞-和()1,1-上单减， 有()21f e-=-，()224f e =，()12f e =-， 故()f x 在[]1,2-上的最大值为24e ，最小值为2e -； （2）由()()3231xf x exx x a '=+-+-知，当x →+∞时，()0f x '>，若()f x 在()1,+∞上单调则只能是单增，∴()0f x '≥在()1,+∞恒成立，即32310x x a x -++-≥∴3231a x x x ≥--++，令()3231g x x x x =--++，1x >，则()23610g x x x '=--+<，∴()g x 在()1,+∞递减，()()12g x g <=-，∴[)2,a ∈-+∞. 【点睛】（1）利用导数研究函数()f x 的最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可. （2）函数()f x 在区间I 上递增，则()0f x '≥恒成立；函数()f x 在区间I 上递减，则()0f x '≤恒成立.（3）解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法. 23．（1）3a =-，函数()f x的单调递减区间是(；单调递增区间是)+∞；（2）72a ≤-. 【分析】（1）利用导数的几何意义可知21f，求出a 的值，再进行列表，即可得答案；（2）将问题转化为()0g x '≤在[]1,2上恒成立，再进行参变分离，即可得答案； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a x af x x x x+'=+=， 由已知21f，解得3a =-.∴()(2x x f x x+'=.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：由上表可知，函数f x 的单调递减区间是；单调递增区间是+∞.（2）由()222ln g x x a x x=++得()2222a g x x x x '=-++，由已知函数()g x 为[]1,2上的单调减函数，则()0g x '≤在[]1,2上恒成立，即22220a x x x-++≤在[]1,2上恒成立. 即21a x x≤-在[]1,2上恒成立. 令()21h x x x =-，在[]1,2上()2211220h x x x x x ⎛⎫'=--=-+< ⎪⎝⎭，所以()h x 在[]1,2为减函数.()()min 722h x h ==-，所以72a ≤-. 【点睛】本题考查导数的几何意义、根据函数的单调性求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的应用.24．（1）2cos ,0,33y a x x x x ππ⎫⎛⎫=+-+∈⎪ ⎪⎭⎝⎭；（2）当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为26a π⎫⎪⎭元. 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得OC 的值，再求弧长DB ，求出函数y 的解析式，写出x 的取值范围；（2）求函数y 的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x 的值． 【详解】(1)因为//CD OA ，所以ODC AOD xrad ∠=∠=. 在OCD ∆中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD km =.由正弦定理，得22sin 3sinsin 33OC CD xx ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，得OC xkm =，33CD x km π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 又圆弧DB 长为23x km π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2233y a x a x x ππ⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯-+-⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦2cos ,0,33a x x x x ππ⎫⎛⎫=+-+∈⎪ ⎪⎭⎝⎭.(2)记()2cos 3f x a x x x π⎫=+-+⎪⎭，则()()'23cos sin 122cos 16f x ax x a x π⎡⎤⎛⎫=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令()'0f x =，得6x π=.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值，即2323666f a a πππ⎛⎫⎫⎫=⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭.故当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为236a π⎫⎪⎭元． 【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，考查利用导数知识处理最值问题，考查函数与方程思想，是中档题． 25．（1）1600cos 4S πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；（2）当θ为π6时该别墅总造价最低 【分析】（1）由题知FH ⊥HM ，在Rt △FHM 中，所以5FM cos θ=，得△FBC 的面积25cos θ，从而得到屋顶面积FBC ABFE 160S 2S2S cos θ梯形=+=；（2）别墅总造价为y S k h 16k =⋅+⋅=2sin θ80k 96k cos θ-⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭，令()2sin θf θcos θ-=，求导求最值即可 【详解】（1）由题意FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，得FH ⊥HM ．在Rt △FHM 中，HM = 5，FMH θ∠=，所以5FM cos θ=． 因此△FBC 的面积为1525102cos θcos θ⨯⨯=． 从而屋顶面积FBCABFE S 2S2S =+梯形 252516022 2.2cos θcos θcos θ=⨯+⨯⨯=．所以S 关于θ的函数关系式为160S cos θ=(π0θ4<<)． （2）在Rt △FHM 中，FH 5tan θ=，所以主体高度为h 65tan θ=-． 所以别墅总造价为y S k h 16k =⋅+⋅()160k 65tan θ16k cos θ=⋅+-⋅ 16080sin θk k 96k cos θcos θ=-+ 2sin θ80k 96k cos θ-⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭记()2sin θf θcos θ-=，π0θ4<<， 所以()22sin θ1f θcos θ-='， 令()f θ0'=，得1sin θ2=，又π0θ4<<，所以πθ6=． 列表：所以当θ6=时，()f θ有最小值． 答：当θ为π6时该别墅总造价最低． 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S 表示为θ函数是关键，求最值要准确，是中档题26．（1）4；（2）极小值为344e --，无极大值. 【分析】（1）求出函数的导函数，利用(0)3f '=，可得a ．（2）由（1）可得函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，从而得到函数的极值； 【详解】解：（1）因为()()1xf x ax e -=，所以()()1xf x ax a e '=+-因为曲线()y f x =在点()0,1-处的切线为310x y --=. 所以(0)13f a '=-=，解得4a =（2）由（1）可得()()41xf x x e -=，所以()()43xf x x e '+=，令()0f x '>解得34x >-，即函数在3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，令()0f x '<解得34x <-，即函数在3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，故函数在34x =-处取得极小值，所以()34344f x f e -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，无极大值.【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（ ） A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log )(log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log )2f f f ->>2．已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若()()1F x f x x=+，则函数()F x 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．0或23．已知3()ln 44x f x x x=-+，2()24g x x ax =--+，若对1(0,2]x ∀∈，2[1,2]x ∃∈，使得12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（ ）A ．1[,)8-+∞B ．258ln 2[,)16-+∞ C ．15[,]84-D ．5(,]4-∞4．已知函数()ln f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(1)(1,)-∞-⋃+∞，B ．(1,+)∞C ．1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞6．以下不等式不成立的是（ ） A ．sin x x >，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．1ln x x -≥，()0,x ∈+∞C ．10x e x --≥，x ∈RD ．ln 10x x e +->，()0,x ∈+∞7．f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f （x ）+x •f '（x ）＜0，且f （﹣3）＝0，则不等式f （x ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣3，0）∪（3，+∞） B ．（﹣3，0）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）8．函数2()(3)x f x x e =-的单调递增区间是（ ） A ．(,0)-∞B ．(0)+∞，C ．(,3)-∞和(1)+∞， D ．（-3,１） 9．函数()2cos f x x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为（ ） A ．2B ．36π+C ．13π+ D ．33π+10．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x <'， 且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ） A ．4(,)e -∞B ．4(,)e +∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞11．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A ．1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭D ．11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭12．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则2320202019a a a ++=（ ）A ．1011B ．1012C ．2019D ．2020二、填空题13．已知函数1()cos ,()(0)2axf x xg x e a a π==-+≠，若1x ∃、2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为________.14．已知定义域为R 的函数()f x 满足1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()40f x x '+>，其中()f x '为()f x 的导函数，则不等式()sin cos20f x x -≥的解集为______.15．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()()2f x f x '+>，()01f =，则不等式()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦的解集为______．16．已知函数32()1f x x ax x =+++在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数，则实数a 的取值范围是________．17．已知a R ∈，设函数()2,1,1x x ax a x f x ae x x ⎧-+≥=⎨-<⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为______.18．设m R ∈，若函数()332f x x x m =-+在0,3⎡⎤⎣⎦上的最大值与最小值之差为2，则实数m 的取值范围是______.19．已知函数()ln f x x x =．存在k Z ∈，使()2f x kx k >--在1x >时恒成立，则整数k 的最大值为________． 20．若函数()2122f x x x aInx =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题21．有一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．（1）试把方盒的容积表示成的函数；（2）求多大时，做成方盒的容积最大．22．已知函数21(),()ln 2f x xg x a x ==. （1）若曲线()()y f x g x =-在2x =处的切线与直线370x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若[]1,e 上存在一点x ，使得()()()()00001f xg x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围.23．已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =-与2x =处都取得极值． （1）求,a b 的值及函数()f x 的单调区间； （2）若对[2,3]x ∈-，不等式23()2f x c c +<恒成立，求c 的取值范围． 24．已知函数22()ln a f x a x x x=⋅++(0a ≠).（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()2g a e ≤. 25．已知函数(),xf x e kx x R =-∈.（1）若k e =，试确定函数()f x 的单调区间； （2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围.26．已知函数()ln 1f x ax x =++． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意的0x >，不等式()x f x e ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先设函数()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数()y f x =的对称性和单调性，再将2log 9，0.50.5-，以及31log 2转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小. 【详解】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数； ()ln3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数， 将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增. ∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈， ∴0.52314log 92log 0.512->>->>， ∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】思路点睛：本题是一道函数单调性，奇偶性，对称性，判断大小的习题，本题所给函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，看似很复杂，但仔细观察就会发现，通过换元后可判断函数()1y f x =+是偶函数，本题的难点是判断函数的单调性，关键点是能利用对称性，转化3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2．A解析：A 【分析】利用导数分析出函数()()1g x xf x =+在区间(),0-∞和()0,∞+上的单调性，由此可判断出函数()()1g x xf x =+的函数值符号，由此可求得函数()y F x =的零点个数. 【详解】构造函数()()1g x xf x =+，其中0x ≠，则()()()g x f x xf x ''=+， 当0x ≠时，()()()()0'+'+=>f x xf x f x f x x x. 当0x <时，()()()0g x f x xf x =+'<'，此时，函数()y g x =单调递减，则()()01g x g >=；当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，此时，函数()y g x =单调递增，则()()01g x g >=.所以，当0x <时，()()()110xf x F x f x x x+=+=<；当0x >时，()()()110xf x F x f x x x+=+=>.综上所述，函数()y F x =的零点个数为0. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，构造函数()()1g x xf x =+是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．A解析：A 【分析】先求()f x 最小值，再变量分离转化为对应函数最值问题，通过求最值得结果 【详解】 因为()(]3ln x 0,244x f x x x=-+∈，， 所以22113(1)(3)()01444x x f x x x x x---'=--==⇒=,(3舍去) 从而01,()0;12,()0;x f x x f x ''<<<<<>即1x =时()f x 取最小值12， 因此[]x 1,2∃∈，使得21242x ax ≥--+成立，724x a x ≥-+的最小值，因为724x x -+在[]1,2上单调递减，所以724xx -+的最小值为271288-+=-，因此18a ≥-，选A.【点睛】本题考查不等式恒成立与存在性问题，考查综合分析与转化求解能力，属中档题.4．A解析：A 【解析】函数的定义域为0x ≠ ，当0()ln()x f x x x <⇒=-- ，为增函数，故排除B ，D ，当0()ln x f x x x >⇒=-，'111()x xf x x --==，当1,()0.01()0x f x x f x >'<<⇒'><故函数是先减后增； 故选A ．5．D解析：D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围. 【详解】由210x ->解得1x <-或1x >，故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当1x >时，令22x x y -=+，'1412ln 2ln 2022x x x x y -⎛⎫=-=⨯> ⎪⎝⎭，所以22x x y -=+在1x >时递增，根据复合函数单调性可知()2ln 1y x =-在1x >时递增，所以函数()f x 在1x >时递增，故在1x <-时递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.6．D解析：D 【分析】针对ABC 选项中的不等式构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，由此判断出不等式成立，利用特殊值判断出D 选项不等式不成立. 【详解】A.令()sin x x x f -=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()cos 10x x f '=->，则()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，则()()00sin 0sin f x f x x x x >=⇒->⇒>，不等式成立 B.令()1ln f x x x =--，()0,x ∈+∞，由()111x f x x x-'=-=，当()0,1x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，则()()101ln 01ln f x f x x x x ≥=⇒--≥⇒-≥，不等式成立C.令()1xf x e x =--，x ∈R ，由()1xf x e '=-，当(),0x ∈-∞，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，则()()0010xf x f e x =⇒--≥≥，不等式成立D.令()ln 1xf x x e =+-，()0,x ∈+∞，当1x =时，()110f e =-<，所以不等式不成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，属于中档题.7．B解析：B 【分析】构造函数()()g x xf x =，根据条件确定()g x 奇偶性与单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】令()()g x xf x =，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，()()()0g x f x xf x ''=+<，即()g x 在(,0)-∞上单调递减，又(0)0g = 因此()g x 在(0,)+∞上单调递减，因为f （﹣3）＝0，所以(3)0(3)0g g -=∴=， 当(3,0)x ∈-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <-=∴<>； 当(,3)x ∈-∞-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >-=∴><； 当(0,3)x ∈时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >=∴>>； 当(3,)x ∈+∞时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <=∴<<； 综上，不等式f （x ）＞0的解集为（﹣3，0）∪（0，3） 故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、利用单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.8．D解析：D 【解析】∵函数f(x)=(3-x 2)e x ， ∴f′(x)=-2xe x +(3-x 2)e x =(3-2x-x 2)e x . 由f′(x)＞0，得到f′(x)=(3-2x-x 2)e x ＞0， 即3-2x-x 2＞0，则x 2+2x-3＜0，解得-3＜x ＜1， 即函数的单调增区间为（-3，1）. 本题选择D 选项.9．B解析：B 【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，进而可求得函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 【详解】()2cos f x x x =+，则()12sin f x x '=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当()0f x '>时，则12sin 0x ->，解得06x π≤<；当()0f x '<时，12sin 0x -<，解得62x ππ<≤.所以，函数()y f x =在区间0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，因此，函数()y f x =在6x π=处取得极大值，亦即最大值，即()max 66f x f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，考查计算能力，属于中等题.10．D解析：D 【详解】()()()()()0()x xf x f x f xg x g x g x e e'-'=∴=<∴单调递减 (1)(1)(0)(2)1f x f x f f +=-+∴==因此()g()(0)0x f x e x g x <⇔<⇔> 故选：D11．C解析：C 【分析】本题首先可根据题意得出2241ax ax fxx，令2241g xax ax ，然后根据()f x 在()1,3上不单调得出函数()g x 与x 轴在()1,3上有交点，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】()2124124ax ax f x ax a x x--'=--=， 若()f x 在()1,3上不单调，令2241g xax ax ，对称轴为1x =，则函数2241g xax ax 与x 轴在()1,3上有交点，当0a =时，显然不成立；当0a ≠时，则()()21680130a a g g ⎧∆=+>⎪⎨⋅<⎪⎩，解得16a >或12a <-，易知()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性问题，若函数在否个区间内不单调，则函数的导函数在这个区间内有零点且穿过x 轴，考查二次函数性质的应用，考查充分条件与必要条件的判定，是中档题.12．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()32f x nx x n =+-，求得函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围，进而结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设函数()32f x nx x n =+-，则()232f x nx '=+，当n 时正整数时，可得()0f x '>，则()f x 为增函数， 因为当2n ≥时，()323()()2()(1)01111n n n n f n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++， 且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+， 所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=， 因此2320201(2342020)101120192019a a a ++=++++=.故选：A. 【点睛】方法点睛：构造新函数()32f x nx x n =+-，结合导数和零点的存在定理，求得当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+是解答的关键. 二、填空题13．【分析】根据余弦型函数的性质求出当时函数的值域分类讨论利用指数型函数的性质求出函数在时的值域然后根据存在的定义进行求解即可【详解】因为所以因此在时单调递减所以有当时函数是单调递增函数当时即因为使得所 解析：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据余弦型函数的性质求出当1[0,1]x ∈时，函数()1y f x =的值域，分类讨论利用指数型函数的性质，求出函数()2y g x =在2[0,1]x ∈时的值域，然后根据存在的定义进行求解即可.【详解】因为1[0,1]x ∈，所以1[0,]x ππ∈，因此1()f x 在1[0,1]x ∈时，单调递减，所以有11(1)()(0)1()1f f x f f x ≤≤⇒-≤≤.当0a >时，函数1()2ax g x e a =-+是单调递增函数，当2[0,1]x ∈时， ()2(0)(1)g g x g ≤≤，即231()22a a g x e a -≤≤-+， 因为1x ∃、2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =， 所以有：()3121112a a e a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-+≥-⎪⎩， 令'1()(0)()12a a h a e a a h a e =-+>⇒=-， 因为0a >，所以'()0h a >，因此函数 ()h a 单调递增， 所以有3()(0)2h a h >=，因此不等式组(1)的解集为：12a ≥，而0a >，所以12a ≥； 当0a <时，函数1()2ax g x e a =-+是单调递减函数，当2[0,1]x ∈时， ()2(1)(0)g g x g ≤≤，即213()22a e a g x a -+≤≤-， 因为1x ∃、2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =， 所以有()1122312a e a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩：， 令'1()(0)()12a a h a e a a h a e =-+<⇒=-，因为0a <，所以'()0h a <，因此函数 ()h a 单调递减， 所以有3()(0)2h a h >=，因此不等式组 (2)的解集为空集， 综上所述：12a ≥. 故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】 关键点睛：根据不等式112a e a -+≥构造新函数，利用导数求出新函数的最小值是解题的关键.14．【分析】引入函数求导后利用已知条件得即为增函数计算题设不等式又化为由单调性可求解最后再由正弦函数性质得出结论【详解】设则∴单调递增即为∴∴故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查用导数解函数不等式解题 解析：52,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k Z ∈ 【分析】引入函数2()()21g x f x x =+-，求导后利用已知条件得()0g x '>，即()g x 为增函数，计算102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，题设不等式又化为(sin )(0)g x g ≥，由单调性可求解．最后再由正弦函数性质得出结论．【详解】设2()()21g x f x x =+-，则()()40g x f x x ''=+>，∴()g x 单调递增．2111210222g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2(sin )cos2(sin )2sin 10f x x f x x -=+-≥即为1(sin )2g x g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ∴1sin 2x ≥，∴522,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈． 故答案为：52,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k Z ∈ 【点睛】 关键点点睛：本题考查用导数解函数不等式，解题关键是引入新函数2()()21g x f x x =+-，利用导数确定单调性，不等式转化为()g x 的不等式，从而求解．解题时要善于观察，分析如何引入函数，引入什么样的函数．15．【分析】构造函数则所以的单调递减将转化成又再根据函数单调性即可求出结果【详解】设所以因为所以所以在上为减函数因为函数是定义在上的增函数所以所以在上恒成立又因为所以所以即因为所以所以又在上为减函数所以 解析：(),0-∞【分析】构造函数()()2+=x f x g x e ，则()()()()20'-+'=<x f x f x g x e，所以()g x 的单调递减，将()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦转化成()23+>x f x e ，又()03g =，再根据函数单调性即可求出结果.【详解】设()()2+=x f x g x e ，所以()()()()()()()222''-+-+'==x x x x f x e f x e f x f x g x e e， 因为()()2f x f x '+>，所以()0g x '<，所以()()2+=x f x g x e在R 上为减函数， 因为函数()f x 是定义在R 上的增函数，所以()0f x '>，所以()()20'+>>f x f x 在R 上恒成立，又因为()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦，所以()2ln 3+>f x x ，所以()23+>x f x e ，即()23+>x f x e ，因为()01f =，所以()()00203+==f g e，所以()()0g x g >，又()()2+=x f x g x e在R 上为减函数，所以0x <. 故答案为：(),0-∞【点睛】 本题主要考查导数在判断单调性中的应用，解题的关键是合理构造函数，利用导函数判断构造的函数的单调性.16．【分析】求导得转化条件为在区间内恒成立令求导后求得即可得解【详解】函数在区间内是减函数在区间内恒成立即在区间内恒成立令则当时单调递减；当时单调递增；又故答案为：【点睛】本题考查了导数的综合应用考查了 解析：2a ≥【分析】求导得2()321f x x ax '=++，转化条件为1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，求导后求得()max 2g x =即可得解. 【详解】 32()1f x x ax x =+++，∴2()321f x x ax '=++，函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数， ∴()0f x '≤在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，即1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立， 令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，则()2221312232x x x x g -++='=-，∴当2,3x ⎛∈- ⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当133x ⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增； 又2734g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，123g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()2g x <， ∴2a ≥.故答案为：2a ≥.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.17．【分析】考虑和两种情况分别计算得到利用均值不等式得到；证明单调递增得到得到答案【详解】当时即对恒成立当时符合题意；当时参变分离得：因为当时等号成立故上式恒成立时；当时即对恒成立参变分离得：令故单调递 解析：14a e≤≤ 【分析】考虑1x ≥和1x <两种情况，分别计算得到211211x a x x x ≤=-++--，利用均值不等式得到4a ≤；x x a e ≥，证明()x x p x e=单调递增，得到1a e ≥，得到答案. 【详解】当1x ≥时，()0f x ≥，即20x ax a -+≥对1x ≥恒成立，当1x =时，符合题意； 当1x >时，参变分离得：211211x a x x x ≤=-++--， 因为11241x x -++≥-，当2x =时等号成立，故上式恒成立时4a ≤； 当1x <时，()0f x ≥，即0x ae x -≥对1x <恒成立， 参变分离得：x x a e ≥，令()x x p x e =，()10x x p x e -'=>，故()p x 单调递增，∴()()11x x p x p e e=<= 要使0x ae x -≥对1x <恒成立，则1a e ≥. 综上所述：a 的取值范围为14a e ≤≤. 故答案为：14a e≤≤. 【点睛】 本题考查了恒成立问题，参数分离转化为函数的最值问题是解题的关键.18．【分析】设结合导数可得函数的值域为最大值与最小值之差为从而得到函数的值域为最大值与最小值之差也为然后根据题意可得或即可求得答案【详解】设则函数在区间上单调递减在区间上单调递增函数的值域为最大值与最小 解析：][(),01,-∞⋃+∞【分析】设3()3,g x x x x =-∈结合导数可得函数()y g x =的值域为[]2,0-，最大值与最小值之差为2，从而得到函数33,2y x x x m ⎡=-+∈⎣的值域为[]22,2m m -+，最大值与最小值之差也为2．然后根据题意可得220m -+≥或20m ≤，即可求得答案.【详解】设()33,g x x x x ⎡=-∈⎣， 则()()()233311g x x x x ==-'-+，∴函数()y g x =在区间[)0,1上单调递减，在区间(上单调递增． ()00g =，()12g =- ，0g = ，∴函数()y g x =的值域为[]2,0-，最大值与最小值之差为2，∴函数33,2y x x x m ⎡=-+∈⎣的值域[]22,2m m -+，最大值与最小值之差也为2．()332f x x x m =-+在x ∈上的最大值与最小值之差为2，∴220m -+≥或20m ≤，解得m 1≥. 或0m ≤. .∴实数m 的取值范围为][(),01,-∞⋃+∞．故答案为：][(),01,-∞⋃+∞．【点睛】本题考查用导数研究函数的最值问题，具有综合性和难度，解题的关键是注意将问题进行合理的转化，考查了分析能力和计算能力，属于难题.19．2【分析】由即则将问题转化为在上恒成立令利用导函数求出最小值即可【详解】解:因为由即对任意的恒成立得（）令（）则令得画出函数的图象如图示:与在有唯一的交点∴存在唯一的零点又∴零点属于∴在递减在递增而 解析：2【分析】由()2f x kx k >--,即ln 2x x kx k >--,则将问题转化为ln 21x x k x +<-在1x >上恒成立,令ln 2()1x x h x x +=-,利用导函数求出最小值即可． 【详解】解:因为()ln f x x x =,由()2f x kx k >--即()()12k x f x --<对任意的1x >恒成立,得ln 21x x k x +<-（1x >）, 令ln 2()1x x h x x +=-（1x >）,则2ln 3()(1)x x h x x '--=-, 令()ln 30g x x x =--=,得3ln x x -=,画出函数3y x =-,ln y x =的图象,如图示:∴3y x =-与ln y x =在1x >有唯一的交点,∴()g x 存在唯一的零点,又()41ln40g =-<,()52ln50g =->,∴零点0x 属于()4,5,∴()h x 在()01,x 递减,在()0,x +∞递增,而4ln 442(4)33h +<=<,115ln 55(5)344h +<=<, ∴()023h x <<,k Z ∈，∴k 的最大值是2.故答案为:2【点睛】本题考查不等式的恒成立问题,考查利用导函数求最值,考查零点存在性定理的应用,考查数形结合思想.20．【分析】对函数求导要满足题意只需导函数在定义域内有两个零点数形结合即可求得【详解】由可得函数定义域为且若满足有两个不同的极值点则需要满足有两个不同的实数根即在区间上有两个不同的实数根也即直线与函数有 解析：()0,1【分析】对函数求导，要满足题意，只需导函数在定义域内有两个零点，数形结合即可求得.【详解】由()2122f x x x aInx =-+可得函数定义域为()0,∞+且()2a f x x x=+-' 若满足()f x 有两个不同的极值点，则需要满足()20a f x x x=-'+=有两个不同的实数根， 即22a x x =-+在区间()0,∞+上有两个不同的实数根，也即直线y a =与函数()22,0,y x x x =-+∈+∞有两个交点，在直角坐标系中作图如下：数形结合可知，故要满足题意，只需()0,1a ∈.故答案为：()0,1.【点睛】本题考查由函数极值点的个数，求参数范围的问题，属基础题；本题也可转化为二次函数在区间()0,∞+上有两个实数根，从而根据二次函数根的分布进行求解.三、解答题21．（1）见解析；(2) 6a . 【详解】解： 2322221212(1)(2?44(0)2(2)'128'0,()26v a x x a x ax a x x v ax ax a a a v x x x x =-=-+<<=-+===）令舍，根据，列表，得到函数的极值和单调性06a （，） 6a(,)62a a V’+9 - v增 极大值 减 6x =时，max ()27v x = 【点睛】此题是一道应用题，主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．22．（1）2a =-（2）21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭【分析】（1）将(),()f x g x 的解析式代入曲线()()y f x g x =-，根据导数几何意义及垂直直线的斜率关系即可求得a 的值；（2）将0x 代入导函数(),()f x g x ''，并代入不等式中化简变形，构造函数1()ln a m x x a x x+=-+，求得()m x '并令()0m x '=，对a 分类讨论即可确定满足题意的a 的取值范围.【详解】（1）由21()()ln 2y f x g x x a x =-=-， 得()a y x x x'=-.在2x =处的切线斜率为22a -，直线370x y +-=的斜率为13-， 由垂直直线的斜率关系可知232a -=， 解得2a =-.（2）21(),()ln 2f x xg x a x ==， 则(),()a f x x g x x '='=， 不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-. 整理得0001ln 0a x a x x +-+<. 构造函数1()ln a m x x a x x +=-+， 由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <.22221(1)(1)(1)()1a a x ax a x a x m x x x x x+--+--+'=--==. 因为0x >，所以10x +>，令0mx '=（），得1x a =+. ①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增.只需()120m a =+<，解得2a <-.②当11a e <+≤即01a e <≤-时，()m x 在1x a =+处取最小值.令(1)1ln(1)10m a a a a +=+-++<即11ln(1)a a a ++<+， 可得11ln(1)(*)a a a++<+. 令1t a =+，即1t e <≤，不等式（*）可化为1ln 1t t t +<-： 因为1t e <≤，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立. ③当1a e +>，即1a e >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减， 只需1()0a m e e a e +=-+<，解得211e a >e +-. 综上所述，实数的取值范围是21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及由垂直关系求参数，导函数在解不等式中的应用，构造函数法分析函数的单调性、最值的综合应用，属于中档题.23．（1）3{26a b =-=-，()f x 的减区间为(1,2)-，增区间为(,1)-∞-，(2,)+∞；（2）7(,1)(,)2-∞-⋃+∞． 【详解】试题分析：（1）求出()'f x 并令其0=得到方程，把1x =-和2x =代入求出,a b 即可；（2）求出函数的最大值为()1f -，要使不等式恒成立，既要证()2312f c c -+<，即可求出c 的取值范围.试题（1）()232f x x ax b =++'， 由题意得：()()10{20f f ''-==即320{1240a b a b -+=++=，解得3{26a b =-=- ∴()32362f x x x x c =--+，()2336f x x x '=--． 令()0f x '<，解得12x -<<，令()0f x '>，解得1x <-或2x >∴()f x 的减区间为()1,2-，增区间为(),1-∞-，()2,+∞．（2）由（1）知，()f x 在(),1-∞-上单调递增；在()1,2-上单调递减；在()2,+∞上单调递增．∴[]2,3x ∈-时，()f x 的最大值即为()1f -与()3f 中的较大者．()712f c -=+，()932f c =-+，∴当1x =-时，()f x 取得最大值， 要使()232f x c c +<，只需()2312c f c >-+，即2275c c >+，解得1c <-或72c >． ∴c 的取值范围为()7,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．24．（1）1a =-或32a =；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数几何意义列方程解得结果；（2）先求导函数，再根据a 的正负分类讨论，对应确定导函数符号，进而确定单调性； （3）根据（2）单调性确定()g a 解析式，再利用导数求()g a 最大值，即证得结果.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222()1a af x x x=-+'，根据题意有(1)2f '=-，则2230a a --=，解得1a =-或32a =； （2）22222222()(2)()1a a x ax a x a x a f x x x x x+--+=-'+==， ①当0a >时，∵0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >，由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<， ∴()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，②当0a <时，∵0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-， 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-， ∴()f x 在(2,)a -+∞上单调递增，在(0,2)a -上单调递减， （3）证明：由（2）知，当(,0)a ∈-∞时()f x 的最小值为(2)-f a ，即22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a =-=⋅-+-=⋅---，2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a -=-+⋅=-'---，令()0g a '=，得212a e =-， 当21(,)2a e ∈-∞-时()0g a '>，当21(,0)2a e ∈-时()0g a '<， 则212a e =-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点， 从而也是()g a 的最大值点， ∴22222max 11111()()ln[2()]3()22222g a g e e e e e =-=-⋅-⨯--⨯-=， ∴当(,0)a ∈-∞时，21()2g a e ≤恒成立. 【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数求单调性、利用导数求函数最值与证不等式，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.25．(1)增区间是()1,+∞,递减区间是(),1-∞；(2)0k e <<. 【详解】试题分析：(1)借助题设条件运用导数与函数单调性之间的关系求解；(2)借助题设运用等价转化的思想及导数的知识求解. 试题（1）由k e =得()xf x e ex =-，所以()xf x e e '=-.由()'0fx >得1x >，故()f x 的单调递增区间是()1,+∞， 由()'0f x <得1x <，故()f x 的单调递减区间是(),1-∞.（2）由()()fx f x -=可知()f x 是偶函数.于是等价于()0f x >对任意0x ≥成立.由()0xf x e k ='-=得ln x k =.①当(]0,1k ∈时，()()100xf x e k k x =->-≥≥'，此时()f x 在[)0,+∞上单调递增.故()()010f x f ≥=>，符合题意. ②当()1,k ∈+∞时，ln 0k >.当x 变化时()'fx ，()f x 的变化情况如下表：由此可得，在0,+∞上，ln ln f x f k k k k ≥=- 依题意，ln 0k k k ->，又1,1k k e >∴<<. 综合①②得，实数k 的取值范围是0k e <<. 也可以分离用最值研究.考点：导数与函数的单调性之间的关系及分析转化法等有关知识和方法的综合运用. 26．（1）答案见解析；（2）{}1a a e ≤-． 【分析】（1）分类讨论0a ≥，0a <两种情况，利用导数得出函数()f x 的单调性；（2）分类参数得出ln 1x e x a x --≤在(0,)+∞恒成立，利用导数得出ln 1()x e x g x x--=的最小值，即可得出实数a 的取值范围． 【详解】（1）定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x+'=+= ①若0a ≥，则()0f x '>，()f x 在(0,)+∞单调递增②若0a <，则1()a x a f x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=1()00f x x a '>⇒<<-，1()0f x x a'<⇒>-()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减综上知①0a ≥，()f x 在(0,)+∞单调递增，②0a <，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减 （2）不等式ln 1xax x e ++≤恒成立，等价于ln 1x e x a x--≤在(0,)+∞恒成立令ln 1()x e x g x x --=，0x >，则2(1)ln ()x x e xg x x -+'=令()(1)ln x h x x e x =-+，0x >，1()0xh x xe x'=+>．所以()y h x =在(0,)+∞单调递增，而(1)0h =所以(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()y g x =单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()y g x =单调递增所以在1x =处()y g x =取得最小值(1)1g e =-，所以1a e -≤ 即实数a 的取值范围是{}1a a e ≤- 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.。
北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数()2ln f x x ax x =-+有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0,1B ．(),1-∞C ．0,D ．11,e ⎛⎫⎪⎝⎭2．已知函数()ln f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,1)2 B ．1(2，2) C ．(1,2)- D ．(1,3)-4．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足()()1ln 20f x f x x x x++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[),e +∞B ．()2,2e -C ．(),2e -D ．[),e -+∞5．函数()2e e x x f x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．6．若直角坐标系内A ，B 两点满足：（1）点A ，B 都在()f x 图象上；（2）点A ，B 关于原点对称，则称点对()A B ，是函数()f x 的一个“和谐点对”，()A B ，与()B A ，可看作一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩则()f x 的“和谐点对”有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．函数()ln sin f x x x =+（x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．已知f （x ）=-x 3-ax 在（-∞，-1]上递减，且g （x ）=2x-a x 在区间（1，2]上既有最大值又有最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．2a >-B ．3a -≤C ．32a -≤<-D ．32a --≤≤ 9．函数()21x y x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ） A ．2e B ．e C ．1 D ．1211．已知函数(),2021,0x e x f x x x x ⎧>=⎨-++≤⎩，若函数()()g x f x kx =-恰好有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（ ）A ．1B ．2C ．eD ．2e12．已知0a >，函数()225,0,2,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A ．14a <<B ．24a <<C ．48a <<D ．28a <<二、填空题13．已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的取值范围为___________14．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln g x x =，()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦，()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦，给出以下四个命题：（1）()y F x =是偶函数；（2）()y G x =是偶函数；（3）()y F x =的最小值为0；（4）()y G x =有两个零点；其中真命题的是______.15．关于x 的不等式2ln 0x x kx x -+≥恒成立，实数k 的取值范围是__________. 16．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，()f x '是()f x 的导函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，若函数()()2()3F x xf x f x '=--的一个零点0(,1)x m m ∈+，则整数m 的值是__________.17．已知函数32()1f x x ax x =+++在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数，则实数a 的取值范围是________．18．已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x 都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是____ 19．下列五个命题：①“2a >”是“()sin f x ax x =-为R 上的增函数”的充分不必要条件；②函数()3113f x x x =++有两个零点； ③集合A ={2，3}，B ={1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是13； ④动圆C 即与定圆()2224x y -+=相外切，又与y 轴相切，则圆心C 的轨迹方程是()280y x x =≠⑤若对任意的正数x ，不等式x e x a ≥+ 恒成立，则实数的取值范围是1a ≤ 其中正确的命题序号是_____．20．设函数()2()1x f x x e =-，当0x ≥时，()1(0)f x ax a ≤+>恒成立，则a 的取值范围是________.三、解答题21．已知函数2(),()sin x f x ae x g x x bx =+=+，一条直线与()f x 相切于点(0,)a 且与()g x 相切于点,122b ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （1）求a ，b 的值；（2）证明：不等式()()f x g x >恒成立.22．已知函数()321f x x bx cx =++-的图象在()()1,1f 处的切线经过点()2,4，且()f x 的一个极值点为-1.（1）求()f x 的极值；（2）已知方程()0f x m -=在[]22-,上恰有一个实数根，求m 的取值范围. 23．已知函数()x f x e =，()215122g x x x =--(e 为自然对数的底数). （1）记()()ln F x x g x =+，求函数()F x 在区间[]1,3上的最大值与最小值；（2）若k ∈Z ，且()()0f x g x k +-≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值.24．已知函数()ln ()a f x x a R x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若函数()f x 在[1,]e 上的最小值是2，求a 的值.25．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}.（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝()f x x－4ln x 的零点个数. 26．已知函数()(2)()x f x x e alnx ax a R =-+-∈．（1）若1x =为()f x 的极大值点，求a 的取值范围；（2）当0a 时，判断()y f x =与x 轴交点个数，并给出证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解.【详解】 由题意得2ln x x a x+=有两个零点 2431(1)(ln (2)12ln x x x x x x x a x x +-+-='-=） 令()12ln (0)g x x x x =--> ,则2()10g x x'=--<且(1)0g = 所以(0,1),()0,0x g x a ∈>'>，2ln x x a x+=在(0,1)上为增函数， 可得),(1a ∈-∞， 当(1,),()0,0x g x a ∈+∞<<'，2ln x x a x +=在(1,)+∞上单调递减，可得(0,1)∈a ， 即要2ln x x a x +=有两个零点有两个零点，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 2．A解析：A【解析】函数的定义域为0x ≠ ，当0()ln()x f x x x <⇒=-- ，为增函数，故排除B ，D ，当0()ln x f x x x >⇒=-，'111()x xf x x --==，当1,()0.01()0x f x x f x >'<<⇒'><故函数是先减后增；故选A ．3．C解析：C【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围.【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则00,12y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--，所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=， 整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =，所以ln122AC k k =-=-=-；（2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，所以2(1)31AB k k =-=-+=，故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点；在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-.故选：C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.4．D解析：D【分析】利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln x a x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解.【详解】()()1ln 20f x f x x xx++=′， ()2ln f x x x C ∴+=，()2ln f e e e C ∴+=，()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，()2ln 0f x x x ∴+=，()2ln x f x x ∴=-()1x >， 不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立， ∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立， 即ln x a x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立， 令()ln x g x x =-，则()()21ln ln x g x x -=′， 令()()21ln 0ln xg x x -==′，解得x e =，∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减，∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，()()max ln e g x g e e e==-=-， a e ∴≥-， ∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥.5．B解析：B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．B解析：B【分析】问题转化为0,()x f x ≥关于原点对称的函数与2()2f x x x =+在(,0)-∞交点的个数，先求出0,()x f x ≥关于原点对称的函数()g x ，利用导数方法求出2()2g x x x =+在(,0)-∞解的个数，即可得出结论.【详解】设(,)(0)P x y x ≤是()(0)y f x x =≥关于原点对称函数图象上的点，则点P 关于原点的对称点为()P x y '--，在()(0)y f x x =≥上， 2,2x x y y e e--==-，设()2(0)x g x e x =-≤， “和谐点对”的个数即为()g x 与()f x 在(,0)-∞交点的个数，于是222x e x x -=+，化为2220(0)x e x x x ++=<，令2()22(0)x x e x x x ϕ=++<，下面证明方程()0x ϕ=有两解，由于20x e >，所以220x x +<，解得20x -<<，∴只要考虑(20)x ∈-，即可， ()222x x e x ϕ'=++，()x ϕ'在区间(20)-，上单调递增， 而2(2)2420e ϕ-'-=-+<，1(1)20e ϕ-'-=>，∴存在0(2,1)x ∈--使得0()0x ϕ'=，当0(2,),()0,()x x x x ϕϕ∈-'<单调递减，0(,0),()0,()x x x x ϕϕ∈'>单调递增，而2(2)20e ϕ--=>，10()(1)210x e ϕϕ-<-=-<，(0)20ϕ=>， ∴函数()ϕx 在区间(21)--，，(1,0)-分别各有一个零点， 即()f x 的“和谐点对”有2个.故选：B .【点睛】本题考查函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 7．D解析：D【分析】利用函数的奇偶性排除选项，能过导数求解函数极值点的个数，求出()f π的值，从而可判断选项【详解】 解：因为()ln sin()ln sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，故排除B当0πx <≤时，()ln sin f x x x =+，则'1()cos f x x x=+， 令'()0f x =，则1cos x x =-， 作出1,cos y y x x==-的图像如图，可知两个函数图像有一个交点，就是函数的极值点，所以排除A因为()ln 1f ππ=>，所以排除C ，当0x x =时，'0()0f x =，故0(0,)x x ∈时，函数()f x 单调递增，当0(,)x x π∈时，函数()f x 单调递减，所以D 满足.故选：D【点睛】此题考查了与三角函数有关的函数图像识别，利用了导数判断函数的单调性，考查数形结合的思想，属于中档题8．C解析：C 【分析】利用()f x 导数小于等于零恒成立，求出a 的范围，再由()2'2a g x x x =+在(]1,2上有零点，求出a 的范围，综合两种情况可得结果.【详解】因为函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减， 所以()2'30f x x a =--≤对于一切(],1x ∈-∞-恒成立， 得23,3x a a -≤∴≥-，又因为()2a g x x x =-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值，所以，可知()2'2a g x x x =+在(]1,2上有零点， 也就是极值点，即有解220a x x +=，在(]1,2上解得32a x =-， 可得82,32a a -≤<-∴-≤<-，故选C.【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围.9．A解析：A【分析】 根据函数图象，当12x <时，()210x y x e =-<排除CD ，再求导研究函数单调性得()21x y x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，排除B 得答案. 【详解】 解：因为12x <时，()210x y x e =-<，所以C ，D 错误； 因为()'21x y x e =+， 所以当12x <-时，'0y <， 所以()21x y x e =-在区间1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减， 所以A 正确，B 错误.故选：A.【点睛】 本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.10．C解析：C【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果.【详解】解：由已知可得，211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ， 则121221ln ln 11x x x x x x -<-，化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<， 而120x x <<，构造函数()ln 1x f x x +=，()2ln x f x x -'=， 令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x > ，所以函数()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立， 即()f x 在()0,a 为增函数，则01a <≤，故a 的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查分析问题能力，属于中档题.11．C解析：C【分析】求得y kx =与x y e =的图象相切时的k 值，结合图象可得结论．【详解】()()0g x f x kx =-=，()f x kx =，作出()f x 的图象，及直线y kx =，如图，∵0x ≤时，221y x x =-++是增函数，0x =时，1y =，无论k 为何值，直线y kx =与()(0)y f x x =≤都有一个交点且只有一个交点，而()g x 有两个零点，∴直线y kx =与()(0)x f x e x =>只能有一个公共点即相切．设切点为00(,)x y ，()x f x e '=，00()x f x e '=，切线方程为000()-=-x x y e e x x ，切线过原点，∴000x x e e x -=-⋅，01x =，∴(1)k f e '==，故选：C ．【点睛】方法点睛：本题考查函数零点个数问题，解题方法是把零点转化为直线与函数图象交点个数，再转化为求直线与函数图象相切问题．12．D解析：D【分析】根据分段函数，看成函数()f x 与直线()2y a x =-的交点问题，分0x =，0x ≤，0x >讨论求解.【详解】当0x =时，()502f a =，对于直线()2y a x =-，2y a =，因为0a >，所以无交点； 当0x ≤时，()2f x x '=，令2x a =-，解得 2a x =-，要使方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则252222a a a a ⎛⎫⎛⎫-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 2a >； 当0x >时，()2f x x '=-，令2x a -=-，解得 2a x =，因为0x ≤时，方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则0x >时，无交点， 则2222a a a ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 8a <, 综上：a 的取值范围为28a <<故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由0a >和直线()2y a x =-过定点()2,0，确定方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解只有一种情况：当0x ≤时，方程恰有2个互异的实数解，当0x >时，方程无实数解.二、填空题13．【分析】直线与曲线有公共点等价于方程在时有解即有解构造函数利用导数求出函数的取值情况即可求出k 的取值范围【详解】直线与曲线有公共点等价于方程在时有解即有解设则由解得此时函数单调递增由解得此时函数单调 解析：1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，等价于方程ln kx x =在0x >时有解，即ln x k x =有解，构造函数()ln x f x x=，利用导数求出函数的取值情况，即可求出k 的取值范围. 【详解】直线y kx =与曲线ln y x =有公共点， ∴等价于方程ln kx x =在0x >时有解， 即ln x k x=有解， 设()ln x f x x=， 则()21ln x f x x -'=， 由()0f x '>，解得0x e <<，此时函数单调递增，由()0f x '<，解得x e >，此时函数单调递减，当x e =时，函数()f x 取得极大值，同时也是最大值()ln 1e f e e e ==， 所以()1f x e ≤，1k e∴≤， 即k 的取值范围为1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了等价转化的思想，属于中档题.14．（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断（4）的正误综合可得出结论解析：（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题（1），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，即1x >，解得1x <-或1x >，所以，函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称，()()ln ln g x x x g x -=-==，则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦， 所以，函数()y F x =为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 10f x x x =--≠，()111x f x x x'-=-=，令()0f x '=，得1x =，且函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()min 10f x f ==，则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以，函数()y G x =是非奇非偶函数，命题（2）错误；对于命题（3），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，由（2）知，函数()y f x =的最小值为0，则函数()y F x =的最小值为0，命题（3）正确；对于命题（4），令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦，可得()1f x =，则()1f x =或()1f x =-， 由（2）知，()()10f x f ≥=，所以方程()1f x =-无解；令()()1ln 2h x f x x x =-=--，由（2）可知，函数()y h x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110h =-<，()42ln422ln20h =-=->， 由零点存在定理可知，函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点， 所以，方程()1f x =有两个实根，即函数()y G x =有两个零点，命题（4）正确.故答案为：（1）（3）（4）.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．【分析】根据不等式恒成立分离参数并构造函数求得导函数结合导数性质可判断的单调区间与最小值即可求得的取值范围【详解】在恒成立即恒成立即令则当即解得当即解得所以在上为减函数在上增函数所以所以故答案为：【 解析：1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【分析】根据不等式恒成立，分离参数并构造函数()ln 1g x x x =+，求得导函数()g x '，结合导数性质可判断()g x 的单调区间与最小值，即可求得k 的取值范围.【详解】2ln 0x x kx x -+≥在()0,∞+恒成立，即ln 10x x k -+≥恒成立，即ln 1k x x ≤+， 令()ln 1g x x x =+，则()ln 1g x x '=+，当()0g x '≥，即ln 10x +≥，解得1x e≥， 当()0g x '<，即ln 10x +<，解得10x e <<所以()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上增函数， 所以()min 1111ln 11g x g e e e e ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭， 所以11k e≤- 故答案为：1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了分离参数与构造函数法的应用，由导函数求函数的最值及参数的取值范围，属于中档题.16．2【分析】先通过已知求出得到再利用导数研究得到函数在内没有零点函数的零点在内即得的值【详解】因为函数是定义在上的单调函数且对任意的都有所以是一个定值设所以所以或（舍去）所以所以所以所以函数在是增函数 解析：2【分析】先通过已知求出2()=+1,f x x 得到3()33F x x x =--，再利用导数研究得到函数()F x 在(0,1)内没有零点，函数()F x 的零点在(2,3)内，即得m 的值.【详解】因为函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，所以2()f x x -是一个定值，设2()f x x t -=，所以2()=+f x x t ，()2f t =所以2()=+2,1f t t t t =∴=或2t =-（舍去）.所以2()=+1,()2f x x f x x '=，所以23()(1)22333F x x x x x x =+-⨯-=--，所以2()33=3(1)(1)F x x x x '=-+-，所以函数()F x 在(1,)+∞是增函数，在(0,1)是减函数，因为(0)30,(1)50F F =-<=-<,所以函数()F x 在(0,1)内没有零点.因为(2)86310,(3)2712150F F =--=-<=-=>,函数()F x 在(1,)+∞是增函数， 所以函数()F x 的零点在(2,3)内，所以2m =.故答案为：2【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．【分析】求导得转化条件为在区间内恒成立令求导后求得即可得解【详解】函数在区间内是减函数在区间内恒成立即在区间内恒成立令则当时单调递减；当时单调递增；又故答案为：【点睛】本题考查了导数的综合应用考查了 解析：2a ≥【分析】求导得2()321f x x ax '=++，转化条件为1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，求导后求得()max 2g x =即可得解. 【详解】 32()1f x x ax x =+++，∴2()321f x x ax '=++，函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数， ∴()0f x '≤在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，即1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，则()2221312232x x x xg -++='=-，∴当2,3x ⎛∈- ⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当13x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增； 又2734g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，123g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()2g x <， ∴2a ≥.故答案为：2a ≥.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.18．【分析】由条件不妨设恒成立即为恒成立构造函数只需在上为增函数即可即求恒成立时的取值范围【详解】依题意不妨设恒成立恒成立设即在上为增函数恒成立只需的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查函数的单调性求参 解析：[1,)+∞【分析】由条件不妨设12x x >，()()12122f x f x x x ->-恒成立，即为()()112222f x x f x x ->-恒成立，构造函数()()2g x f x x =-，只需()g x 在(0,)+∞上为增函数即可，即求()0g x '≥恒成立时a 的取值范围.【详解】依题意，不妨设12x x >，()()12122f x f x x x ->-恒成立， ()()112222f x x f x x ->-恒成立，设()()2g x f x x =-即12()(),()g x g x g x >在(0,)+∞上为增函数，2()2,()1220ln a g x x g x x x a x x'=-+-+=≥， 22,(0,)a x x x ≥-+∈+∞恒成立， 只需2max (2)1,(0,)a x x x ≥-+=∈+∞,a ∴的取值范围是[1,)+∞.故答案为:[1,)+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数范围，构造函数把问题等价转化为函数的单调性是解题的关键，属于中档题.19．①③⑤【分析】①通过导数研究函数的单调性可得结论正确；②利用导数可知函数为增函数函数最多一个零点；③根据古典概型求得概率为；④根据条件直接求得轨迹方程；⑤利用导数研究不等式恒成立可得的范围【详解】对解析：①③⑤【分析】①通过导数研究函数的单调性可得结论正确；②利用导数可知函数为增函数，函数最多一个零点；③根据古典概型求得概率为13； ④根据条件直接求得轨迹方程；⑤利用导数研究不等式恒成立，可得a 的范围.【详解】对于①，当2a >时，()cos f x a x '=-0>恒成立，所以，()sin f x ax x =-为R 上的增函数；而当12a ≤≤时，()cos f x a x '=-0>也恒成立，()sin f x ax x =-在R 上也是增函数，所以“2a >”是“()sin f x ax x =-为R 上的增函数”的充分不必要条件是正确的； 对于②，2()10f x x '=+>恒成立，所以()f x 在R 上为增函数，最多只有一个零点，故②是错误的；对于③，所有基本事件为：21,22,23,31,32,33++++++共6个， 其中和为4的有22,31++共2个，根据古典概型可得所求概率为2163=，故③正确；对于④，设(,)(0)C x y x ≠||x =2+，两边平方并化简得244||y x x =+，当0x >时，得28y x =，当0x <时，得0y =，所以所求轨迹方程是：28(0)y x x =>或0,0y x =<，故④不正确；对于⑤，依题意得x a e x ≤-对任意的正数x 恒成立，令()x f x e x =-，则()1x f x e =-'，因为0x >，所以()0f x '>，所以()x f x e x =-在(0,)+∞上为增函数，所以()(0)1f x f >=，所以1a ≤，故⑤时正确的.故答案为：①③⑤【点睛】本题考查了；利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数处理不等式恒成立，考查了古典概型，考查了两圆外切，考查了求曲线的轨迹方程，属于中档题.20．【分析】求得在处的切线的斜率结合图像求得的取值范围【详解】函数对于一次函数令解得（负根舍去）所以在上递增在上递减画出的图像如下图所示由图可知要使当时恒成立只需大于或等于在处切线的斜率而所以故答案为： 解析：[1,)+∞【分析】求得()f x 在0x =处的切线的斜率，结合图像，求得a 的取值范围.【详解】函数()2()1x f x x e =-，()01f =.对于一次函数()()10g x ax a =+>，()01g =.()()'221,0x f x x x e x =--+⋅≥，令'0f x ，解得021x =-（负根舍去），所以()f x 在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减，画出()f x 的图像如下图所示.由图可知，要使当0x ≥时，()1(0)f x ax a ≤+>恒成立，只需a 大于或等于()f x 在0x =处切线的斜率.而()'01f =，所以1a ≥.故答案为：[1,)+∞【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题21．（1）1,1a b ==；（2）证明见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义求出两条切线方程，根据两条切线重合可得结果；（2）转化为证明2sin x e x x x +->，不等式左边构造函数，利用导数求出其在0x =时取得最小值，又因为函数sin y x =在R 上最大值为1，当且仅当2()2x k k ππ=+∈Z 取到最大值，且函数()h x 的最小值与函数sin y x =的最大值不会同时取到，所以所证不等式成立. 【详解】（1）由题知()2,()cos x f x ae x g x x b =+'=+'，∴(0),2f a g b π⎛⎫'⎝'==⎪⎭， ∴()y f x =在点(0,)a 处的切线方程为：y ax a =+，()y g x =在点,122b ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为：122y b x b ππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即1y bx =+， ∵两条切线重合. ∴1,1a b ==.（2）证明：由（1）知要证不等式()()f x g x >恒成立，即证2sin x e x x x +>+恒成立， 即证2sin x e x x x +->恒成立，令2()x h x e x x =+-，则()21x h x e x '=+-. 易知()21x h x e x '=+-为增函数，且(0)0h '=.当(,0)x ∈-∞时，()(0)0h x h ''<=，函数()h x 在(,0)-∞上单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ''>=，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ∴min ()(0)1h x h ==.又函数sin y x =在R 上最大值为1，当且仅当2()2x k k ππ=+∈Z 取到最大值.∵函数()h x 的最小值与函数sin y x =的最大值不会同时取到. ∴不等式()()f x g x >恒成立. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数证明不等式，属于中档题. 22．（1）()0f x =极大值，()3227f x -=极小值.（2）(]323,0,927m ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭【分析】（1）首先求出函数的导函数，求出函数在()()1,1f 处的切线方程，由点()2,4过切线，即可得到321b c +=，再由函数的一个极值点为1-则()'1320f b c -=-+=，即可求出函数解析式，最后利用导数求出函数的极值；（2）依题意可得函数()y f x =的图象与直线y m =在[]22-,上恰有一个交点，结合函数图象，即可得解； 【详解】解：（1）∵()2'32f x x bx c =++，∴()'132f b c =++，∴()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程为()()()321y b c b c x -+=++-. ∵该切线经过点()2,4，∴()()()43221b c b c -+=++-，即321b c +=①. 又∵()f x 的一个极值点为-1，∴()'1320f b c -=-+=②. 由①②可知1b =，1c =-，故()321f x x x x =+--.()2'321f x x x =+-，令()'0f x =，得1x =-或13x =.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：故()()10f x f =-=极大值，()327f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭极小值. （2）∵方程()0f x m -=在[]22-,上恰有一个实数根， ∴函数()y f x =的图象与直线y m =在[]22-,上恰有一个交点. ∵()23f -=-，()29f =， 结合函数()f x 的图象，∴(]323,0,927m ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，函数与方程思想，数形结合思想的应用，属于中档题. 23．（1）()min 4ln 2F x =-+，()max 4ln3F x =-+；（2）1-. 【分析】（1）对函数()F x 求导，根据导数的方法研究其在[]1,3上的单调性，进而可得出最值； （2）先将不等式恒成立转化为215122xk e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立，令()215122x h x e x x =+--，根据导数的方法求出最值，即可得出结果. 【详解】（1）∵()()215ln ln 122F x x g x x x x =+=+--，∴()()()2122x x F x x--'=，令()0F x '=，则112x =，22x =， 当()1,2x ∈时，()()()21202x x F x x--'=<，则函数()F x 在区间()1,2上单调递减；当()2,3x ∈时，()()()21202x x F x x--'=>，则函数()F x 在区间()2,3上单调递增；∴()()min 24ln2F x F ==-+，又()()33ln 143F F =-<=-+，所以()max 4ln3F x =-+； （2）∵()()0f x g x k +->对任意x ∈R 恒成立，∴2151022x e x x k +---≥对任意x ∈R 恒成立， ∴215122xk e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立. 令()215122xh x e x x =+--，则()52x h x e x '=+-. 由于()10xh x e '=+>，所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，3437044h e ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=， 且当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增. ∴()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502xe x +-=，∴0052x e x =-. ∴()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+. ∵013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 又∵215122xk e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立，∴()0k h x ≤， 又k ∈Z ，∴max 1k =-. 【点睛】本题主要考查用导数的方法求函数的最值，考查导数的方法研究等式恒成立问题，属于常考题型.24．（1）见解析；（2），a e =. 【分析】 （1）求得()2x af x x='-，分类讨论，即可求解函数的单调性；（2）当1a ≤时，由（1）知()f x 在[]1,e 上单调递增，分1a e <<和a e ≥两种情况讨论，求得函数的最小值，即可求解. 【详解】（1）定义域为()0,+∞,求得()221a x a f x x x x='-=-, 当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在()0,+∞单调递增 ,当0a >时，令()0f x '=，得 x a =，所以当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减 当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.（2）当1a ≤时，由（1）知()f x 在[]1,e 上单调递增，所以 ()()min 12f x f a ===（舍去）,当1a e <<时，由（1）知()f x 在[]1,a 单调递减，在[],a e 单调递增 所以()()min ln 12f x f a a ==+=，解得a e = （舍去）, 当a e ≥时，由（1）知()f x 在[]1,e 单调递减， 所以()()min ln 12a af x f e e e e==+=+=，解得a e = , 综上所述，a e =. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中熟记函数的导数与函数的关系，准确判定函数的单调性，求得函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.25．（1）f (x )＝x 2－2x －3；（2）1个. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)，再结合f (x )的最小值为－4即可求出a 的值，得到函数f (x )的解析式；（2）对g (x )求导可以得到g (x )的单调区间，在每个单调区间上研究函数g (x )的零点情况即可. 【详解】（1）∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.（2）由（1）知g (x )＝223x x x--－4ln x ＝x －3x －4ln x －2，∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋23x －4x＝2(1)(3)x x x --， 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g ′(x ) ＋－＋g (x )极大值 极小值当x >3时，g (e 5)＝e 5－53e－20－2>25－1－22＝9>0. 又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增， 因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点， 故g (x )仅有1个零点. 【点睛】本题主要考查二次函数和导数在研究函数中的应用. 26．（1）a e >；（2）()f x 有唯一零点；证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在条件即可求解；（2）结合导数可判断函数的单调性，然后结合a 的范围及函数的性质可求． 【详解】解：（1）()(1)x e x af x x x-'=-，0x >，设()x g x xe a =-，()(1)0x g x x e '=+>，()g x 在R 递增， 故存在0x 使得0()0g x =，当a e =时，()(1)0x e x af x x x-'=-恒成立，故()f x 单调递增无极值，a e <时，易得0x x <时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，01x x <<时，()0f x '<，函数单调递减，当1x >，()0f x '>，函数单调递增， 当1x =时，函数取得极小值，不满足题意；a e >时，易得1x <时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，01x x <<，时，()0f x '<，函数单调递减，当0x x >，()0f x '>，函数单调递增，1x =为极大值点 综上：a e >，（2）由（1）知：①a e =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，f （2）0<，f （3）0>，()f x 有唯一零点； ②a e <时，0x 满足()0g x =，01x <，()f x 在0(0,)x 递增，在0(x ，1)递减，在(1,)+∞递增，当(0,1)x ∈时，()0f x <恒成立，当(1,)x ∈+∞时，f （1）0<，2(2)(2)(2)0a f a ae aln a a a ++=++-+>，所以23a e a +>+，有唯一零点；③a e >，()f x 在(0,1)上单调递增，0(1,)x 单调递减，0(x ，)+∞单调递增， 0()f x f <（1）0<在0(0,)x 上无零点，在0(x ，)+∞上有唯一零点；综上：0a ，()f x 有唯一零点． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值及函数零点的研究，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．。
高中数学北师大版选修2-2学案：第3章 章末分层突破 Word版含解析
章末分层突破[自我校对]①单调性与极值②单调性③极值④导数⑤最大值、最小值问题(1)求函数的定义域，并求导；(2)研究导函数f′(x)的符号，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定函数的单调性或单调区间.在求导这一环节中，往往要将导函数变形，其目的在于方便下一环节研究导函数的符号，常见的措施有化为基本初等函数、通分、因式分解等.求函数f(x)＝ln x－14(x－1)2－x的单调区间.【精彩点拨】按照求单调区间的步骤求解.【规范解答】 函数的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝1x －12x －12＝－x 2－x ＋22x ＝－（x ＋2）（x －1）2x.令f ′(x )>0，得0<x <1， 令f ′(x )<0，得x >1.∴f (x )的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞). [再练一题]1.已知函数f (x )＝x 3－ax －1，讨论f (x )的单调区间. 【解】 f ′(x )＝3x 2－a .(1)当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数. (2)当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3， 当x >3a 3或x <－3a3时，f ′(x )>0； 当－3a 3<x <3a3时，f ′(x )<0.因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数.综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数. 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数.(1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号. 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点.对于求函数的最值问题，只需直接将极值与区间端点函数值比较即可.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图像上一点P (1，0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围.【精彩点拨】 (1)由⎩⎨⎧f （1）＝0，f ′（1）＝－3，求出a ，b 即可.(2)对t 分0<t ≤2与2<t <3两种情况求最值.(3)构造函数g (x )＝f (x )－c 转化为g (x )在[1，3]上有实根求解.【规范解答】 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1，0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1，0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：min max f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2).在x ∈[1，2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2，3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1，3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎨⎧g （1）≥0，g （2）<0，g （3）≥0，解得－2<c ≤0.[再练一题]2.已知函数f (x )＝－x 3＋12x ＋m .(1)若x ∈R ，求函数f (x )的极大值与极小值之差； (2)若函数y ＝f (x )有三个零点，求m 的取值范围； (3)当x ∈[－1，3]时，f (x )的最小值为－2，求f (x )的最大值. 【解】 (1)f ′(x )＝－3x 2＋12. 当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2. 当f ′(x )＞0时，－2＜x ＜2. 当f ′(x )＜0时，x ＜－2或x ＞2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增. ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－16＋m . f (x )极大值＝f (2)＝16＋m . ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝32.(2)由(1)知要使函数y ＝f (x )有三个零点，必须⎩⎨⎧f （x ）极小值＜0，f （x ）极大值＞0，即⎩⎨⎧－16＋m ＜0，16＋m ＞0，∴－16＜m ＜16.∴m 的取值范围为(－16，16).(3)当x ∈[－1，3]时，由(1)知f (x )在[－1，2)上单调递增，f (x )在[2，3]上单调递减，f (x )的最大值为f (2).又f (－1)＝－11＋m ，f (3)＝m ＋9， ∴f (－1)＜f (3)，∴在[－1，3]上f (x )的最小值为f (－1)＝－11＋m ， ∴－11＋m ＝－2，∴m ＝9.∴当x ∈[－1，3]时，f (x )的最大值为 f (2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.请你设计一个包装盒，如图3-1所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm).图3-1(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【精彩点拨】根据侧面积和体积公式建立侧面积和体积关于x的函数，利用配方法或导数法求出最值.【规范解答】设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0<x<30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以当x＝15时，S取得最大值.(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x).由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0，20)时，V′>0；当x∈(20，30)时，V′<0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12. [再练一题]3.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120).已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解】 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120).h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)，令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0，80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； x ∈(80，120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数， 所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升). 因为h (x )在(0，120]上只有一个极小值，所以它是最小值.答：汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可转化为证明F (x )＝f (x )－g (x )与0的关系，若F ′(x )＞0，则函数F (x )在(a ，b )上是增函数.若F (a )≥0，则由增函数的定义，知当x ∈(a ，b )时，有F (x )＞F (a )≥0，即f (x )＞g (x )成立，同理可证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b ).设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值. (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的x ∈[0，3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围. 【精彩点拨】 (1)利用f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，列方程组求解.(2)转化为求函数f (x )的最大值问题. 【规范解答】 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b . 因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎨⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， 则f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2). 当x ∈[0，1)时，f ′(x )>0； 当x ∈[1，2]时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，3]时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，当x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c .所以当x ∈[0，3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0，3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9. 故c 的取值范围为c <－1或c >9. [再练一题]4.(2016·山东威海一模)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋bx ，对任意的x ∈(0，＋∞)，满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0，其中a ，b 为常数.(1)若f (x )的图象在x ＝1处的切线经过点(0，－5)，求a 的值； (2)已知0<a <1，求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22>0.【解】 (1)在f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0中，取x ＝1，得f (1)＝0，又f (1)＝ln 1－a ＋b ＝－a ＋b ，所以b ＝a . 从而f (x )＝ln x －ax ＋ax ，f ′(x )＝1x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2，f ′(1)＝1－2a .又f ′(1)＝－5－f （1）0－1＝5，所以1－2a ＝5，a ＝－2.(2)证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝ln a 22－a 32＋2a＝2ln a ＋2a －a 32－ln 2. 令g (x )＝2ln x ＋2x －x 32－ln 2，则g ′(x )＝2x －2x 2－3x 22＝－3x 4＋4（x －1）2x 2.所以，x ∈(0，1)时， g ′(x )<0，g (x )单调递减， 故x ∈(0，1)时，g (x )>g (1)＝2－12－ln 2>1－ln e ＝0. 所以0<a <1时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22>0.1.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)【解析】 设y ＝g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0. ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图像的示意图如图所示.当x >0，g (x )>0时，f (x )>0，0<x <1， 当x <0，g (x )<0时，f (x )>0，x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.【答案】 A2.(2015·福建高考)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k <1kB.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k －1C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1【解析】 令g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g (0)＝f (0)＋1＝0， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k ·1k －1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1.∵g ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴g (x )在[0，＋∞)上为增函数. 又∵k >1，∴1k －1>0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1>0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1. 【答案】 C3.(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 【解析】 ∵f (0)＝－1＋a <0，∴x 0＝0. 又∵x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数，∴⎩⎨⎧f （－1）≥0，f （1）≥0， 即⎩⎨⎧e －1[2×（－1）－1]＋a ＋a ≥0，e （2×1－1）－a ＋a ≥0，解得a ≥32e . 又∵a ＜1，∴32e ≤a <1，经检验a ＝34，符合题意.故选D. 【答案】 D4.(2016·北京高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【解析】 由当x ≤a 时，f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1. 如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象.(1)若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. (2)当a ≥－1时，f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值， 且－2a >(x 3－3x )max ，所以a <－1. 【答案】 2 a <－15.(2016·全国卷Ⅱ)(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x ＞0时，(x－2)e x ＋x ＋2＞0.(2)证明：当a ∈[0，1)时，函数g (x )＝e x －ax －ax 2(x ＞0)有最小值.设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域.【解】 (1)f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞). f ′(x )＝（x －1）（x ＋2）e x －（x －2）e x （x ＋2）2＝x 2e x（x ＋2）2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增.因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0.(2)g ′(x )＝（x －2）e x ＋a （x ＋2）x 3＝x ＋2x 3(f (x )＋a ).由(1)知，f (x )＋a 单调递增.对任意a ∈[0，1)，f (0)＋a ＝a －1＜0，f (2)＋a ＝a ≥0. 因此，存在唯一x a ∈(0，2]，使得f (x a )＋a ＝0， 即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增. 因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为 g (x a )＝e x a －a （x a ＋1）x 2a ＝e x a ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a ＝e x ax a ＋2. 于是h (a )＝e x ax a ＋2. 由⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ＋2′＝（x ＋1）ex（x ＋2）2＞0，得y ＝e x x ＋2单调递增，所以，由x a ∈(0，2]，得 12＝e 00＋2＜h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e 24.因为y ＝e x x ＋2单调递增，对任意λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈[0，1)，使得h (a )＝λ.所以h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.综上，当a ∈[0，1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.章末综合测评(三) 导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为( ) A.5B.25C.125D.625【解析】 ∵v ＝s ′＝t 3，∴t ＝5时的瞬时速度为53＝125. 【答案】 C2.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞).【答案】 D3.函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A.a ≥0 B.a >0 C.a ≤0D.a <0【解析】 f ′(x )＝3ax 2＋1，当a ＝0时，f ′(x )＝1>0，f (x )单调增加，无极值； 当a ≠0时，只需Δ＝－12a >0，即a <0即可. 【答案】 D4.(2016·西安高二检测)函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图1所示，那么f (x )的图像最有可能的是( )图1A B C D【解析】 数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，从而得出结论.【答案】 B5.若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( )A.a >0B.－1<a <0C.a >1D.0<a <1【解析】 依题意得y ′＝a (3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，∴a >0.【答案】 A6.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A.3f (1)<f (3) B.3f (1)>f (3) C.3f (1)＝f (3)D.f (1)＝f (3)【解析】 由于f (x )>xf ′(x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝f ′（x ）x －f （x ）x 2<0恒成立，因此f （x ）x 在R 上是单调递减函数，∴f （3）3<f （1）1，即3f (1)>f (3)，故选B.【答案】 B7.若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A.－5B.7C.10D.－19【解析】 ∵f (x )′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)， 所以函数在[－2，－1]内单调递减， 所以最大值为f (－2)＝2＋a ＝2， ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5. 【答案】 A8.函数y ＝12x －2sin x 的图像大致是( )【解析】因为y′＝12－2cos x，所以令y′＝12－2cos x>0，得cos x<14，此时原函数是增函数；令y′＝12－2cos x<0，得cos x>14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C正确.【答案】 C9.若f(x)＝－12x2＋b ln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()【导学号：94210067】A.[－1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－∞，－1)【解析】f′(x)＝－x＋bx＋2，由题意知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x2＋2x在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤(x＋1)2－1，则b≤－1，故选C.【答案】 C10.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A.(0，1)B.(－1，0)∪(0，1)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f(x)′－1，由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，∴原不等式⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1)，∴x>1，故选C.【答案】 C11.当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )A.[－5，－3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C.[－6，－2]D.[－4，－3]【解析】 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max. 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0，∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min. 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0. 当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值. 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 【答案】 C12.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥0B.a <－4C.a ≥0或a ≤－4D.a >0或a <－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0，1)， ∵f (x )在(0，1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0，1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0，1)上恒成立， 即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0，1)上恒成立.设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4. ∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.【解析】 因为f (x )＝(2x ＋1)e x ， 所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 314.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.【导学号：94210068】【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＝e x cos x ≥0， ∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π215.(2016·洛阳高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，则a ＋b ＝________.【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11，∴a ＋b ＝－7.【答案】 －716.周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】 设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203， 且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3. 【答案】4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性.【解】 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎨⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3) ＝3(x ＋1)(x －3).令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3； 又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)和x ∈(3，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－1，3)时，f (x )是减函数.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2 ＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52， ∴m ＝1.20.(本小题满分12分)证明：当x >0时，ln(x ＋1)>x －12x 2.【证明】 设f (x )＝ln(x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，函数的定义域是(－1，＋∞)，则f ′(x )＝1x ＋1－1＋x ＝x 2x ＋1.当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1，＋∞)上是增函数. ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0， 即当x >0时，ln(x ＋1)>x －12x 2.21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)， 底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元. 又根据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而 V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3).因为r >0，又由h >0可得0<r <53， 故函数V (r )的定义域为(0，53). (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)(0<r <53)， 所以V ′(r )＝π5(300－12r 2).令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去). 当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r∈(5，53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，53)上为减函数.由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.22.(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2＜2.【解】(1)f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a).①设a＝0，则f(x)＝(x－2)e x，f(x)只有一个零点.②设a＞0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增.又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln a 2，则f(b)＞a2(b－2)＋a(b－1)2＝a⎝⎛⎭⎪⎫b2－32b＞0，故f(x)存在两个零点.③设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a).若a≥－e2，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增.又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点.若a＜－e2，则ln(－2a)＞1，故当x∈(1，ln(－2a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0.因此f(x)在(1，ln(－2a)内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增.又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，＋∞).(2)证明：不妨设x1＜x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，f(x)在(－∞，1)内单调递减，所以x1＋x2＜2等价于f(x1)＞f(2－x2)，即f(2－x2)＜0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)e x2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)e x2.设g(x)＝－x e2－x－(x－2)e x，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x).所以当x＞1时，g′(x)＜0，而g(1)＝0，故当x＞1时，g(x)＜0.从而g(x2)＝f(2－x2)＜0，故x1＋x2＜2.。
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2练习：章末综合
章末综合测评(三) 导数应用 (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为( )A.5B.25C.125D.625【解析】 ∵v ＝s ′＝t 3，∴t ＝5时的瞬时速度为53＝125. 【答案】 C2.函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞).【答案】 D3.函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A.a ≥0 B.a >0 C.a ≤0D.a <0【解析】 f ′(x )＝3ax 2＋1，当a ＝0时，f ′(x )＝1>0，f (x )单调增加，无极值； 当a ≠0时，只需Δ＝－12a >0，即a <0即可. 【答案】 D4.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图1所示，那么f (x )的图像最有可能的是( )图1A B C D【解析】 数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，从而得出结论.【答案】 B5.若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( )A.a >0B.－1<a <0C.a >1D.0<a <1【解析】 依题意得y ′＝a (3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，∴a >0. 【答案】 A6.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A.3f (1)<f (3) B.3f (1)>f (3) C.3f (1)＝f (3)D.f (1)＝f (3)【解析】 由于f (x )>xf ′(x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝f ′（x ）x －f （x ）x 2<0恒成立，因此f （x ）x 在R 上是单调递减函数，∴f （3）3<f （1）1，即3f (1)>f (3)，故选B.【答案】 B7.若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A.－5B.7C.10D.－19【解析】 ∵f (x )′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)， 所以函数在内单调递减， 所以最大值为f (－2)＝2＋a ＝2， ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5. 【答案】 A8.函数y ＝12x －2sin x 的图像大致是( )【解析】 因为y ′＝12－2cos x ，所以令y ′＝12－2cos x >0，得cos x <14，此时原函数是增函数；令y ′＝12－2cos x <0，得cos x >14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C 正确.【答案】 C9.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )【导学号：94210067】A.D.(－∞，－1)【解析】 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x2＋2x 在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤(x ＋1)2－1，则b ≤－1，故选C.【答案】 C10.已知y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)＝1，f ′(x )>1，则f (x )>x 的解集是( ) A.(0，1) B.(－1，0)∪(0，1) C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 不等式f (x )>x 可化为f (x )－x >0， 设g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f (x )′－1， 由题意g ′(x )＝f ′(x )－1>0，∴函数g (x )在R 上单调递增，又g (1)＝f (1)－1＝0， ∴原不等式⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)， ∴x >1，故选C. 【答案】 C11.当x ∈时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C.D.【解析】 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max.设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x2x6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0， ∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x min.仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0. 当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值. 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 【答案】 C12.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥0B.a <－4C.a ≥0或a ≤－4D.a >0或a <－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋a x，x ∈(0，1)， ∵f (x )在(0，1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0，1)上恒成立， ∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋a x≤0在(0，1)上恒成立， 即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0，1)上恒成立.设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4. ∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________. 【解析】 因为f (x )＝(2x ＋1)e x， 所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 314.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.【导学号：94210068】【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， 即12≤f (x )≤12e π2. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，12e π2 15.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，则a ＋b ＝________. 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11，∴a ＋b ＝－7.【答案】 －716.周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】 设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203，且当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3.【答案】4 00027π 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性.【解】 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3).令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3； 又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)和x ∈(3，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－1，3)时，f (x )是减函数.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值. 【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋2m 3＋2m 3－4＝－2，∴m ＝1.20.(本小题满分12分)证明：当x >0时，ln(x ＋1)>x －12x 2.【证明】 设f (x )＝ln(x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，函数的定义域是(－1，＋∞)，则f ′(x )＝1x ＋1－1＋x ＝x2x ＋1.当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1，＋∞)上是增函数. ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0， 即当x >0时，ln(x ＋1)>x －12x 2.21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)， 底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元. 又根据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3).因为r >0，又由h >0可得0<r <53， 故函数V (r )的定义域为(0，53).(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)(0<r <53)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2).令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去). 当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数； 当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，53)上为减函数. 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点. (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2＜2.【解】 (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a ). ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点. ②设a ＞0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增. 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a2，则f (b )＞a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫b 2－32b ＞0，故f (x )存在两个零点.③设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a ).若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增.又当x ≤1时，f (x )＜0，所以f (x )不存在两个零点. 若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(1，ln(－2a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0. 因此f (x )在(1，ln(－2a )内单调递减， 在(ln(－2a )，＋∞)内单调递增.又当x ≤1时，f (x )＜0，所以f (x )不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为(0，＋∞).(2)证明：不妨设x 1＜x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f(x)在(－∞，1)内单调递减，所以x1＋x2＜2等价于f(x1)＞f(2－x2)，即f(2－x2)＜0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)e x2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)e x2.设g(x)＝－x e2－x－(x－2)e x，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x).所以当x＞1时，g′(x)＜0，而g(1)＝0，故当x＞1时，g(x)＜0.从而g(x2)＝f(2－x2)＜0，故x1＋x2＜2.。
2017-2018学年高中数学 选修2-2章末分层突破3 含答案
章末分层突破[自我校对]①－1 ②a ＝c ，b ＝d ③z ＝a －b i ④Z (a ，b ) ⑤O Z →⑥(a ＋c )＋(b ＋d )I ⑦(a －c )＋(b －d )i_______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据. 求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时， (1)z ∈R ；(2)z 为虚数.【精彩点拨】 根据复数的分类列方程求解.【规范解答】 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0， ③由②得x ＝4，经验证满足①③式.所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0， ③由①得x >3＋212或x <3－212.由②得x ≠4，由③得x >3.所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数. [再练一题]1.(1)复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________. (2)设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝________. 【导学号：01580071】【解析】 (1)∵(3－i)i ＝3i ＋1，∴|(3－i)i|＝|3i ＋1|＝2 ∴z ＝2＋i 5＝2＋i ，∴复数z 的共轭复数为2－i. (2)z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝12＝22.【答案】 (1)2－i (2)22复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i 看作一个字母(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z ·z 为实数.(1)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，(x ，y ∈R )，则复数x ＋y i 的模是________.(2)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z z的值为________.【精彩点拨】 (1)先利用复数相等求x ，y ，再求模； (2)先求z ，进而求z ，再计算z z .【规范解答】 (1)法一：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以x ＋y i ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i )i (－i )＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.法二：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以－y ＋x i ＝3＋4i ，所以x ＝4，y ＝－3，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.法三：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以(－i)i(x ＋y i)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i ，即x ＋y i ＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.(2)因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 1＋2i＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，所以z ＝2＋i ，所以zz＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i.【答案】 (1)5 (2)35＋45i [再练一题]2.(1)复数2－2i1＋i ＝________.(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝________. 【解析】 (1)2－2i 1＋i ＝(2－2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(1－i)2＝1－2i ＋i 2＝－2i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝i 2 014＝i 2＝－1.【答案】 (1)－2i (2)－11.Z (a ，b )来表示.此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.2.复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变.已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2.(1)求复数z ；(2)设z ，(z )2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积；(3)若复数z 在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m 满足|m －z |＝1，求|m |的最值.【精彩点拨】 (1)设出z ，列方程求解；(2)计算出(z )2，z －z 2，求出对应点B ，C ，在坐标系中确定三角形，进而求面积；(3)求出复数m 在复平面内对应点的轨迹，利用数形结合法求|m |的最值.【规范解答】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i ， ∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2，2ab ＝2⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－1. ∴z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，(z )2＝－2i ，z －z 2＝1－i ，则A (1,1)，B (0，－2)，C (1，－1).∴S △ABC ＝12·2·1＝1.当z ＝－1－i 时，(z )2＝－2i ，z －z 2＝－1－3i ， 则A (－1，－1)，B (0，－2)，C (－1，－3)， ∴S △ABC ＝12·2·1＝1.(3)由题知，z ＝1＋i ，对应点(1,1)在第一象限，|z |＝2，又|m －z |＝|m －(1＋i)|＝1.则复数m 在复平面内所对应的点M 的轨迹为以(1,1)为圆心，1为半径的圆， 所以，|m |最小值＝2－1，|m |最大值＝2＋1. [再练一题]3.复数z ＝2＋4i 1－i (i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是________.【解析】 z ＝2＋4i1－i ＝(1＋2i)(1＋i)＝－1＋3i ，所以z 在复平面内对应点的坐标是(－1,3).【答案】 (－1,3)何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.设z ∈C ，满足z ＋1z ∈R ，z －14是纯虚数，求z .【精彩点拨】 本题关键是设出z 代入题中条件进而求出z . 【规范解答】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则 z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ， ∵z ＋1z ∈R ， ∴y －yx 2＋y2＝0，解得y ＝0或x 2＋y 2＝1，又∵z －14＝x ＋y i －14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＋y i 是纯虚数.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －14＝0，y ≠0，∴x ＝14，代入x 2＋y 2＝1中，求出y ＝±154， ∴复数z ＝14±154i. [再练一题]4.满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由.【解】 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i ，z ＋3＝x ＋3＋y i.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y2＝0，x ＋3＝－y ，因为y ≠0，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足题设条件.1.若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝________. 【解析】 ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i. 【答案】 2－3i2.设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于第________象限.【解析】2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i－1)2＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限.【答案】二3.若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z＝_____.【导学号：01580071】【解析】由已知得z＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i.【答案】1－i4.设复数a＋b i(a，b∈R)的模为3，则(a＋b i)(a－b i)＝____.【解析】∵|a＋b i|＝a2＋b2＝3，∴(a＋b i)(a－b i)＝a2＋b2＝3.【答案】 35.若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝________.【解析】法一：利用复数相等的定义及共轭复数的概念求解.设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝2a＋2b i＋a－b i＝3a＋b i＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.法二：利用共轭复数的性质求解.由已知条件2z＋z＝3－2i①，得2z＋z ＝3＋2i②，解①②组成的关于z，z的方程组，得z＝1－2i.【答案】1－2i6.设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为________.【解析】T r＋1＝C r6x6－r i r，由6－r＝4得r＝2.故T3＝C26x4i2＝－15x4.【答案】－15x47.设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝________.【解析】∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋y i|＝|1＋i|＝ 2.【答案】 28.若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝________. 【导学号：01580072】【解析】 因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4iz z －1＝4i 4＝i. 【答案】 i。
高中数学北师大版选修2-2课时作业第3章 习题课 Word版含解析
选修第三章习题课：导数的应用一、选择题．下列函数中在区间(－)上是减函数的是( )．＝－．＝．＝．＝解析：对于函数＝，其导数′＝<，且函数在区间(－)上有意义，所以函数＝在区间(－，)上是减函数，其余选项均不符合要求，故选.答案：．函数＝()的定义域为，导函数＝′()的图像如图所示，则函数()( )．无极大值点，有四个极小值点．无极小值点，有四个极大值点．有两个极大值点，两个极小值点．有三个极大值点，一个极小值点解析：′()＝的根分别如题图、、、.<时，′()>，<<时′()<，∴为极大值点．又<<时，′()>知为极小值点，<<时，′()<知为极大值点，<时，′()>知为极小值点．故选.答案：．若＝－与＝是函数()＝＋＋的两个极值点，则有( )．＝－，＝．＝－，＝－．＝，＝．＝，＝－解析：′()＝＋＋，依题意有＝－和＝是方程＋＋＝的两个根，所以有－＝－＋，＝－×，解得＝－，＝－.答案：．函数()＝＋在区间[－，]上的最小值是( )．－．．＋．＋解析：′()＝－，∵∈[－，]，∴∈[－]，∴－∈[]．∴′()＝－>在[－，]上恒成立．∴()在[－，]上单调递增．∴()＝－＋(－)＝－.答案：．若()＝－＋在()内单调递减，则实数的取值范围是( )．≥．＝．≤．<<解析：′()＝－，∵()在()内递减，∴(\\(′((≤，′((≤，))∴(\\(≤，－≤.))∴≥，故选.答案：．[·湖北高考]已知为常数，函数()＝(－)有两个极值点，(<)，则( ) ．()>，()>－．()<，()<－．()>，()<－．()<，()>－解析：′()＝－＋，依题意知′()＝有两个不等实根，.即曲线＝＋与＝有两个不同交点，如图．由直线＝是曲线＝＋的切线，可知：<<，且<<<.∴∈(，)．由<<，得()＝(－)<，当<<时，′()>，当>时，′()<，∴()>()＝－>－，故选.答案：二、填空题．函数()＝－＋在＝处取得极小值．解析：由′()＝－＝，解得＝或＝.列表如下：。
高中数学北师大版选修2-2 第2、3、4章综合检测 Word版含解析
第二、三、四章综合检测(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．任一作直线运动的物体，其位移与时间的关系是＝－，则物体的初速度是( ) ．．．－．－解析：物体的初速度即为＝时物体的瞬时速度，即函数()在＝处的导数．′()＝′＝＝(－)＝＝.答案：．函数()＝－的单调递减区间是( )．．．，．，解析：∵′()＝－＝，当<≤时，′()≤.答案：．下列求导正确的是( )．()′＝．(－)′＝－·(＋)．()′＝．(＋)′＝解析：按导数的运算法则，结合基本初等函数的导数公式计算可知答案为.答案：．[·福建高考]设函数()的定义域为，(≠)为()的极大值点，以下结论一定正确的是( ) ．∀∈，()≤()．－是(－)的极小值点．－是－()的极小值点．－是－(－)的极小值点解析：函数()的极大值()不一定是最大值，故错；()与－(－)关于原点对称，故(≠)是()的极大值点时，－是－(－)的极小值点，故选.答案：．[·课标全国卷Ⅰ]已知函数()＝－＋，若()存在唯一的零点，且>，则的取值范围是( ) ．(，＋∞) ．(，＋∞)．(－∞，－) ．(－∞，－)解析：＝时，不符合题意．≠时，′()＝－，令′()＝，得＝，＝.若>，则由图像知()有负数零点，不符合题意．则<，由图像结合()＝>知，此时必有()>，即×－×＋>，化简得>，又<，所以<－，故选.答案：．[·大庆高二检测]设()＝(\\(，∈[，],()，∈(，]))，则∫()等于( ) ．．．．解析：()＝＋＝＝.答案：．若函数()满足()＝－′()·－，则′()的值为( )．．．．－解析：′()＝－′()－，所以′()＝－′()－，则′()＝.答案：．函数()＝＋－在区间(，＋∞)内是增函数，则实数的取值范围是( )．[，＋∞) ．[－，＋∞)．(－，＋∞) ．(－∞，－)解析：′()＝＋.令＋≥，则≥－，∈(，＋∞)，∴≥－.答案：．若函数()＝＋在＝处有最值，那么等于( )．．－．．－解析：′()＝－，由题意′＝，即·－×＝，∴＝.答案：．[·湖南高考]若<<<，则( )．－>－．－<－．>．<解析：令()＝，则′()＝＝.。
高中数学北师大版选修2-2练习学业分层测评13 Word版含答案
学业分层测评(十三)(建议用时：分钟)一、选择题.下列结论中，正确的是( ).导数为零的点一定是极值点.如果在点附近的左侧′()>，右侧′()<，那么()是极大值.如果在点附近的左侧′()>，右侧′()<，那么()是极小值.如果在点附近的左侧′()<，右侧′()>，那么()是极大值【解析】根据极值的概念，左侧′()>，单调递增；右侧′()<，单调递减，()为极大值.【答案】.设函数()＝＋，则( )＝为()的极大值点＝为()的极小值点＝为()的极大值点＝为()的极小值点【解析】′()＝－，令′()＝，即－＝，得＝，当∈(，)时，′()<，当∈(，＋∞)时，′()>.因此＝为()的极小值点，故选.【答案】.已知函数()＝－(－) (∈＋)存在极值，则的取值集合是( ).{，，，，，…}.{，，，，…}.{，，，，…}＋【解析】∵′()＝－且∈(，＋∞)，令′()＝，得＝(－)，(*)要使()存在极值，则方程(*)在(，＋∞)上有解，∴(－)>，又∈＋，∴＝，，，，…，所以的取值集合是{，，，，…}.【答案】.设函数()＝－ (>)，则＝()( ).在区间，(，)内均有零点.在区间，(，)内均无零点.在区间内有零点，在区间(，)内无零点.在区间内无零点，在区间(，)内有零点【解析】′()＝－＝，令′()＝，得＝，当<<时，′()<，所以函数()在区间(，)上为减函数.又()＝>，()＝－<，＝＋>，所以＝()在区间内无零点，在区间(，)内有零点.【答案】.函数()＝－＋在(，)内有且只有一个极小值，则( )<<<<>【解析】′()＝－，要使()在(，)内有极小值，则即解得<<.【答案】二、填空题.函数()＝－＋在＝处取得极小值.【导学号：】【解析】由()＝－＋，得′()＝－＝(－).当∈(，)时，′()<，()为减函数；当∈(－∞，)和(，＋∞)时，′()>，()为增函数.故当＝时，函数()取得极小值.【答案】.设方程－＝有三个不等的实根，则实数的取值范围是.【解析】设()＝－－，则′()＝－.令′()＝，得＝±，且()＝－－，(－)＝－，又()的图像与轴有三个交点，故∴－<<.【答案】(－，).若函数()＝＋－－在区间(－，)上恰有一个极值点，则实数的取值范围为.【解析】∵′()＝＋－，函数()在区间(－，)上恰有一个极值点，即′()＝在(－，)内恰有一个根.又函数′()＝＋－的对称轴为＝－，∴应满足∴∴≤<.【答案】.已知函数()＝－－的图像与轴相切于(，)点，则()( )。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数()()2xf x ax e x =+-（其中2a >-），若函数()f x 为R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,1--B ．(]2,0-C ．(]1,0-D ．(]2,1--2．已知定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足()ln ()0f x x xf x '+<且(2021)0f =，其中()'f x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,2021)B ．(2021,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,2021)3．已知函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,]e -∞-B ．(,1] -∞-C ．[1,) -+∞D ．[,)e4．已知函数()322f x x ax x =--+,则“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()32f x x bx cx =++的图象如图所示，则2212x x +等于（ ）A ．23B ．43C ．83D ．1636．已知函数()ln f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．8．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]12，上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤ B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤9．若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)1,+∞C ．()1,+∞D ．()2,-+∞10．若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线，则a 的取值范围为（ ）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[4e ，)+∞D ．2(0,]4e11．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ）A B C D 12．若121x x >>，则（ ） A ．1221xxx e x e > B ．1221xxx e x e < C ．2112ln ln x x x x >D ．2112ln ln x x x x <二、填空题13．如果圆柱轴截面的周长l (单位：cm )为定值，则体积最大值为____________3cm ． 14．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()210x f x '+>，()15f =，则不等式()14f x x≤+的解集为______. 15．设直线x t =与函数()2f x x =，()2lng x x =的图象分别交于点,M N ，则当MN 达到最小值时，t 的值为________． 16．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e xg x x x=+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．17．已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且()10f =，当0x <时，()()+0f x f x x'>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________． 18．设函数()22ln f x x x x =+-，若关于x 的方程()2f x x x a =++在(]0,2上恰有两个相异实根，则实数a 的范围是______.19．已知函数()ln =-xf x e a x 在[]1,4上单调递增，则a 的取值范围是______.20．若函数()2ln 12f x x mx x -+=有极值,则函数()f x 的极值之和的取值范围是________. 三、解答题21．已知函数()1ln xx f x x -=-. （1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值（其中e 是自然对数的底数）.22．如图是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图C 是半径OB 上一点，D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA .现在线段OC ，线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)试问：x 为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值． 23．已知函数()ln 1x f x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； （2）证明：当1a e≥时，()0f x ≥． 24．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为 (米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少. 25．已知函数()(1)ln f x x x =+． （1）求()y f x =在1x =处的切线方程：（2）已知实数2k >时，求证：函数()y f x =的图象与直线l ：(1)y k x =-有3个交点． 26．已知函数2()2ln f x x mx x =-+ （m R ∈）.（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若45m <<，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求12()()f x f x -的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】令()()(2)1x g x f x ax a e ='=++-，则()(2)x g x ax a e '=++．分0a =，0a >，20a -<<三类讨论，即可求得实数a 的取值范围即可． 【详解】解：令()()(2)1x g x f x ax a e ='=++-，则()(22)x g x ax a e '=++，（ⅰ）当0a =时，()20x g x e '=>，()g x 在R 递增，即()21x f x e '=-在R 递增， 令()0f x '=，解得：2x ln =-，故()f x 在(,2)ln -∞-递减，在(2,)ln -+∞递增，()f x 不单调，与题意不符； （ⅱ）当0a >时，由2()0(2)g x x a'>⇒>-+，2()0(2)g x x a '<⇒<-+，222()(2)10aming x g ae a--∴=--=--<，(0)10g a =+>，∴此时函数()f x '存在异号零点，与题意不符；（ⅲ）当20a -<<，由()0g x '>，可得2(2)x a <-+，由()0g x '<可得2(2)x a>-+，()g x ∴在2(,2)a -∞--上单调递增，在2(2a--，)+∞上单调递减，故222()(2)1amaxg x g ae a--=--=--，由题意知，2210a ae ----恒成立， 令22t a--=，则上述不等式等价于12t e t+，其中1t >， 易证，当0t >时，112tte t >+>+， 当(1t ∈-，0]时12te t+成立， 由2120a-<--，解得21a -<-． 综上，当21a -<-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，突出考查等价转化思想与分类讨论思想的应用，考查逻辑思维能力与推理证明能力，考查参数范围问题及求解函数的值域，属于函数与导数的综合应用．2．A解析：A【分析】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，利用导数可知()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，将不等式()0f x >化为1x >且()(2021)g x g >，再利用()g x 的单调性可解得结果.【详解】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，则1()ln ()()()()ln f x x xf x g x f x f x x x x'+''=+=， 因为1≥x ，()ln ()0f x x xf x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，当1x =时，由()ln ()0f x x xf x '+<可知(1)0f <，不满足()0f x >； 当1x >时，ln 0x >，所以()0f x >可化为()ln 0f x x >(2021)ln 2021f =，即()(2021)g x g >，因为()g x 在(1,)+∞上为单调递减函数，所以12021x <<， 所以不等式()0f x >的解集为(1,2021). 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据已知不等式构造函数()ln ()g x xf x =，利用导数判断其单调性是本题解题关键.3．B解析：B 【分析】根据题中条件，得到方程1ln xa e ex x x ⎛⎫=--++⎪⎝⎭有解，令1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域，对函数()h x 求导，判定其单调性，研究其值域，即可得出结果. 【详解】函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点， 即方程1ln 0xe ex a x x -+++=有解，即方程1ln x a e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭有解，令1()ln xh x e ex x x ⎛⎫=--++⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域， 因为()22111()x xx h x e e e e x x x -⎛⎫⎡⎤'=--+-=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以当1x =时，()0h x '=；当01x <<时，0x e e -<，210x x -<，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+>⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递增；当1x >时，0x e e ->，210x x ->，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+<⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递减；所以max ()(1)1h x h ==-， 画出函数()h x 的大致图像如下，由图像可得，()(],1h x ∈-∞-， 所以a 的取值范围(],1-∞-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程根的问题，考查函数与方程的应用，将问题转化为两函数交点的问题是解题的关键，属于常考题型.4．A解析：A 【分析】由()f x 在()2,4上单调递增，等价于23131222x a x x x-≤=-在()2,4上恒成立， 再求得114a ≤，再判断“2a ≤”与“114a ≤”的充分必要性即可. 【详解】解：若()f x 在()2,4上单调递增，则()23210f x x ax '=--≥,即23131222x a x x x-≤=-在()2,4上恒成立. 又31()22h x x x =-在()2,4上单调递增,则3111224x x ->，所以114a ≤. 故“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的充分不必要条件.故选A. 【点睛】本题考查了由函数的单调性研究参数的范围，重点考查了充分必要条件，属中档题.5．C解析：C 【分析】先利用函数的零点，计算b 、c 的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x ，xz ，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可 【详解】由图可知，()0f x =的3个根为0,1,2，()()110,28420f b c f b c ∴=++==++=，解得3,2b c =-=，又由图可知，12,x x 为函数f (x )的两个极值点，()23620f x x x ∴=-+='的两个根为12,x x ，121222,3x x x x ∴+==， ()222121212482433x x x x x x ∴+=+-=-=， 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.6．A解析：A 【解析】函数的定义域为0x ≠ ，当0()ln()x f x x x <⇒=-- ，为增函数，故排除B ，D ，当0()ln x f x x x >⇒=-，'111()x xf x x --==，当1,()0.01()0x f x x f x >'<<⇒'><故函数是先减后增； 故选A ．7．B解析：B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．8．D解析：D 【分析】求函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系进行判断，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，分离参数m ，即可得到答案． 【详解】由题得2()4f x x mx '=-+，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，即240x mx -+≥，则244x m x x x+≤=+在[]12，上恒成立，又44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以4m ≤， 故答案选D 【点睛】本题主要考查导数与原函数单调性之间的关系，将含参问题转化为最值成立，是解决本题的关键，属于中档题．9．B解析：B 【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，则只需10a -+≥即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得：()()sin cos 4xx x f x ex a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e >04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立 当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭xsin 4x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.10．C解析：C 【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得a 的范围. 【详解】 由2(0)y axa =>，得2y ax '=，由x y e =，得x y e '=，曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线， 则设公切线与曲线1C 切于点211(,)x ax ，与曲线2C 切于点22(,)xx e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-，将212x e ax =代入2211212x e ax ax x x -=-，可得2122=+x x ，11212+∴=x e a x ，记12()2+=x e f x x，则122(2)()4xex f x x +-'=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>. ∴当2x =时，2()4mine f x =.a ∴的范围是2[,)4e +∞. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．A解析：A 【分析】根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：显然满足2224h r R =-，故圆柱的体积()23214h r h h R h πππ=⨯=-+，故可得()223,(02)4V h h R h R ππ<'=-+<，令()0V h '>，解得230h <<，故此时()V h 单调递增， 令()0V h '<232h R <<，故此时()V h 单调递减. 故()23max V h V ⎫=⎪⎪⎝⎭.即当h =时，圆柱的体积最大. 故选：A . 【点睛】本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.12．A解析：A 【分析】根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小. 【详解】①令()()1x e f x x x =>，则()()21'0x x e f x x-=>，∴()f x 在1,上单调递增，∴当121x x >>时，1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故A 正确．B 错误. ②令()()ln 1x g x x x =>，则()21ln 'xg x x-=，令()0g x =，则x e =， 当1x e <<时，()'0g x >；当x e >时，()'0g x <，∴()g x 在()1,e 上单调递增， 在(),e +∞上单调递减，易知C ，D 不正确， 故选A ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.二、填空题13．【分析】设出圆柱的底面半径和高求出体积表达式通过求导求出体积的最大值【详解】设圆柱底面半径高圆柱轴截面的周长为定值则求导可得：令可得当时当时当时圆柱体积的有最大值圆柱体积的最大值是：故答案为：【点睛解析：3216l π 【分析】设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值． 【详解】设圆柱底面半径R ，高H ，圆柱轴截面的周长l 为定值， 则42R H l +=22lH R ∴=- 22232222l l V SH R H R R R R ππππ⎛⎫∴===-=- ⎪⎝⎭求导可得：26V Rl R ππ'=- 令0V '=，可得260Rl R ππ-=，(6)0R l R π∴-= 60l R ∴-=6l R ∴=当6lR >时，(6)0V R l R π'=-< 当6lR <时，(6)0V R l R π'=-> 当6l R =时，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：32322216l l V R R πππ=-=故答案为：3216l π．【点睛】本题主要考查了根据导数求最值，解题关键是掌握根据导数求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．14．【分析】设解不等式即解则结合条件得出的单调性且可解出不等式得出答案【详解】由设则故函数在上单调递增又故的解集为即的解集为故答案为：【点睛】本题考查根据条件构造函数根据函数单调性解不等式由条件构造出函 解析：(]0,1【分析】 设()()14g x f x x =--，解不等式()14f x x≤+，即解()0g x ≤，则()()221x f x g x x'+'=，结合条件，得出()g x 的单调性，且()10g =，可解出不等式得出答案. 【详解】由()210x f x '+>，设()()14g x f x x =--，则()()()222110x f x g x f x x x'+''=+=>. 故函数()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()10g =，故()0g x ≤的解集为(]0,1， 即()14f x x≤+的解集为(]0,1. 故答案为：(]0,1【点睛】本题考查根据条件构造函数，根据函数单调性解不等式，由条件构造出函数是本题的关键，属于中档题.15．1【分析】先构造函数：设再利用导数求函数的单调性及极值：由即函数在为减函数在为增函数即得解【详解】解：设则当时当时即函数在为减函数在为增函数即即当达到最小值时的值为1故答案为：【点睛】本题考查了构造解析：1 【分析】先构造函数：设2()()()2h t f t g t t lnt =-=-，再利用导数求函数的单调性及极值：由22(1)(1)()2t t h t t t t-+'=-=，即函数()h t 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，即()()1min h t h =，得解． 【详解】解：设2()()()2h t f t g t t lnt =-=-， 则22(1)(1)()2t t h t t t t-+'=-=， 当01t <<时，()0h t '<，当1t >时，()0h t '>， 即函数()h t 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数， 即()()1min h t h =，即当||MN 达到最小值时，t 的值为1， 故答案为：1. 【点睛】本题考查了构造函数求距离的最值及导数的应用，属于中档题．16．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求解析：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【分析】将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln xy x=的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点， 等价于函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点，对函数ln x y x =求导，得21ln xy x-'=，()0,x e ∈,0y '>， 函数ln xy x=单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<， 函数ln xy x =单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e， 对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()2,e a e -分别作出图象，其若要有两个交点，则2211a e a e e e-<⇒<+故答案为：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.17．【分析】结合所给不等式构造函数可证明在时单调递减根据为偶函数且可得单调性的示意图结合函数图像即可求得使成立的的取值范围【详解】令则由题意可知当时不等式两边同时乘以可得即所以在时单调递减因为定义在上的 解析：()()1,00,1-【分析】结合所给不等式，构造函数()()g x x f x =⋅，可证明()g x 在0x <时单调递减，根据()f x 为偶函数且()10f =，可得()g x 单调性的示意图，结合函数图像即可求得使()0f x >成立的x 的取值范围.【详解】令()()g x x f x =⋅，则()()()g x f x x f x '=+⋅' 由题意可知当0x <时，()()+0f x f x x'>，不等式两边同时乘以x 可得()()+0xf x f x '<，即()0g x '<，所以()()g x x f x =⋅在0x <时单调递减， 因为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的()f x 为偶函数， 所以()()g x x f x =⋅为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且()10f =，所以()()110g g =-=，由奇函数性质可得()()g x x f x =⋅函数图像示意图如下图所示：所以当0x <时，()0f x >的解集为()1,0-，当0x >时，()0f x >的解集为()0,1， 综上可知，()0f x >的解集为()()1,00,1-故答案为：()()1,00,1-.【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，构造函数判断函数的单调性，数形结合法解不等式，属于中档题.18．【分析】根据题意得转化为直线和函数的图像有两个不同的交点利用导数研究函数的单调性和最值即可得出实数a 的范围【详解】由及得令根据题意可得：直线和函数的图像有两个不同的交点令得此时函数单调递减令得此时函 解析：(]1,2ln 2-【分析】根据题意得ln a x x =-，转化为直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，利用导数研究函数()g x 的单调性和最值，即可得出实数a 的范围.【详解】由()22ln f x x x x =+-及()2f x x x a =++，得ln a x x =-，令()ln g x x x =-，根据题意可得：直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，1()1g x x'=-， 令()0g x '<，得01x <<，此时函数()g x 单调递减， 令()0g x '>，得12x <≤，此时函数()g x 单调递增，所以，当1x =时，函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈取得最小值，值为(1)1g =， 又(2)2ln 2g =-，且当210x e <<时， 2211()22ln 2g x g e e⎛⎫>=+>- ⎪⎝⎭，故当12ln 2a <≤-时，直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，所以实数a 的范围是(]1,2ln 2-. 故答案为：(]1,2ln 2-. 【点睛】本题主要考查的是函数零点问题，本题解题的关键是转化为两函数图像的交点问题，利用导数研究函数的单调性和最值，考查学生的分析问题能力，是中档题.19．【分析】求出函数的导数问题转化为在恒成立令根据函数的单调性求出的范围即可【详解】解：若在递增则在恒成立即在恒成立令则在递增故故故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性最值问题考查导数的应用以及函数恒 解析：(],e -∞【分析】求出函数的导数，问题转化为x a xe 在[]1,4恒成立，令()x h x xe =，[]1,4x ∈，根据函数的单调性求出a 的范围即可． 【详解】解：()xa f x e x'=-， 若()f x 在[]1,4递增， 则()0f x '在[]1,4恒成立， 即x a xe 在[]1,4恒成立， 令()x h x xe =，[]1,4x ∈，则()(1)0x h x x e '=+>，()h x 在[]1,4递增，故()()1min h x h e ==， 故a e ，故答案为：(],e -∞． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．20．【分析】先求导方程在上有根求出的范围根据韦达定理即可化简根据的范围即可求出【详解】解：的定义域是存在极值在上有根即方程在上有根设方程的两根为即故函数的极值之和的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了 解析：(,3)-∞-【分析】先求导，方程210x mx -+=在(0,)+∞上有根求出m 的范围，根据韦达定理即可化简12()()f x f x +，根据m 的范围即可求出．【详解】 解：()f x 的定义域是(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=-+=， ()f x 存在极值，()0f x ∴'=在(0,)+∞上有根，即方程210x mx -+=在(0,)+∞上有根． 设方程210x mx -+=的两根为1x ，2x ，∴240m ∆=->，120x x m +=>，121=x x即2m >22121212121()()()()()2f x f x x x m x x lnx lnx ∴+=+-+++，2121212121()()2x x x x m x x lnx x =+--++， 22112m m =--， 21132m =--<-， 故函数()f x 的极值之和的取值范围是(,3)-∞- 故答案为：(,3)-∞- 【点睛】本题考查了导数函数极值的关系，以及韦达定理及二次函数的性质，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题三、解答题21．（1）()f x 在()0,1上单调递增，在()1+∞，上单调递减；（2）()f x 的最大值为0，最小值为2e -. 【分析】（1）求出()f x 的定义域和()21xf x x-'=，分别令()0f x '>，()0f x '<可得答案. （2）由（1）得()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,e 上单调递减，求出()f x 极值和函数的端点值可得答案. 【详解】 （1）()11ln 1ln x x xf x x x ---==-，()f x 的定义域为()0,∞+. ∵()22111xf x x x x -'=-=，∴()001f x x '>⇒<<，()01f x x '<⇒>， ∴()11ln f x x x=--在()0,1上单调递增，在()1+∞，上单调递减. （2）由（1）得()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,e 上单调递减， ∴()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()111ln101f =--=.又111ln 2f e e e e ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，()111ln f e e e e =--=-，且()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭. ∴()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，最小值为2e -.【点睛】把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的，函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.22．（1）2cos ,0,33y a x x x x ππ⎫⎛⎫=+-+∈⎪ ⎪⎭⎝⎭；（2）当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为26a π⎫⎪⎭元.【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得OC 的值，再求弧长DB ，求出函数y 的解析式，写出x 的取值范围；（2）求函数y 的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x 的值． 【详解】(1)因为//CD OA ，所以ODC AOD xrad ∠=∠=. 在OCD ∆中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD km =. 由正弦定理，得2432sin 3sinsin 33OC CD xx ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 得43sin 3OC xkm =，43sin 33CD x km π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又圆弧DB 长为23x km π⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以43432sin sin 23333y a x a x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 23sin cos ,0,33a x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)记()23sin cos 3f x a x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， 则()()'23cos sin 122cos 16f x ax x a x π⎡⎤⎛⎫=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令()'0f x =，得6x π=.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值，即2323666f a a πππ⎛⎫⎫⎫=⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭.故当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为236a π⎫⎪⎭元．【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，考查利用导数知识处理最值问题，考查函数与方程思想，是中档题．23．（1）在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；（2）证明见解析. 【分析】（1）由()20f '=可得212a e=，由导函数的符号可得函数的单调区间； （2）当1a e时，()ln 1xe f x x e--()g x =，利用导数证明()0g x ≥即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为1(0,),()e xf x a x'+∞=-． 由题设知，()20f '=，所以212a e =． 从而22111()ln 1,()22x x f x e x f x e e e x'=--=-． 当02x <<时，()0f x <′；当2x >时，()0f x >′． 所以()f x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增． （2）证明：当1a e时，()ln 1xe f x x e--． 设()ln 1x e g x x e =--，则1()x e g x e x'=-为(0,)+∞上的增函数，当01x <<时，()0(1)g g x '<'=；当1x >时，()(1)0g x g ''>=． 所以()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以1x =是()g x 的最小值点．故当0x >时，()()10g x g ≥=． 因此，当1a e时，()()0f x g x ≥≥． 【点睛】本题考查了由函数的极值点求参数，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.24．（1）见解析；（2）若c<，则当v ＝时，总用氧量最少；若c≥，则当v ＝c 时，总用氧量最少． 【分析】（1）结合题意可得y 关于v 的函数关系式．（2）由（1）中的函数关系，求导后得到当0<v<时，函数单调递减；当v>时，函数单调递增．然后再根据c 的取值情况得到所求的速度． 【详解】(1)由题意，下潜用时 (单位时间)，用氧量为×＝＋ (升)，水底作业时的用氧量为10×0．9＝9(升)， 返回水面用时＝(单位时间)，用氧量为×1．5＝(升)，因此总用氧量232409,(0)50v y v v =++>．(2)由（1）得232409,(0)50v y v v=++>，∴y′＝－＝，令y′＝0得v ＝3102，当0<v<3102时，y′<0，函数单调递减； 当v>3102时，y′>0，函数单调递增．①若c<3102 ，则函数在(c ，3102)上单调递减，在(3102，15)上单调递增， ∴ 当v ＝3102 ②若c≥3102，则y 在[c ，15]上单调递增， ∴ 当v ＝c 时，总用氧量最少． 【点睛】（1）在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合． （2）用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点． 25．（1）22y x =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，求得()()1,1f f '，利用点斜式即可求得切线方程； （2）构造(1)()ln 1k x h x x x -=-+，将问题转化为证明()h x 有3个零点；再对()h x 求导，根据函数单调性，即可证明. 【详解】（1）因为()(1)ln f x x x =+，所以1()ln x f x x x'+=+， 所以(1)2f '=，又因为(1)0f =，所以()f x 在1x =处的切线方程22y x =-； （2）当2k >时，函数()y f x =的图象与直线l 交点的个数等价于 函数(1)()ln 1k x h x x x -=-+的零点个数，因为22212(1)2()(1)(1)k x kxh x x x x x +-'=-=++，(0,)x ∈+∞， 设2()(22)1g x x k x =+-+，因为二次函数()g x 在x ∈R 时，(0)10g =>，(1)420g k =-<， 所以存在1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，使得()10g x =，()20g x =， 所以()h x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 在()2,x +∞上单调递增．因为(1)0h =，所以()1(1)0h x h >=，()2(1)0h x h <=， 因此()h x 在()12,x x 上存在一个零点1x =； 又因为当ekx -=时，()()()e 12e e 0e 1e 1k k k kkk k h k -------=--=<++，所以()h x 在()1e ,kx -上存在一个零点；当e kx =时，()()e 12e0e 1e 1k kkk k h k k -⎛⎫=-=> ⎪++⎝⎭， 所以()h x 在()2,e kx 上存在一个零点.所以，函数()y f x =的图象与直线l ：(1)y k x =-有3个交点． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力. 26．（1）4m ≤；（2）1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为22m x x≤+在(0,)+∞上恒成立，利用基本不等式求得22x x+的最小值即可得解； （2）由题意结合函数极值点的概念可得122mx x +=，121x x ⋅=，进而可得1112x <<，转化条件为21211211()()4ln f x f x x x x -=-+，令221()4ln g x x x x =-+（112x <<），利用导数求得函数()g x 的值域即可得解. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴2()20f x x m x '=-+≥在(0,)+∞上恒成立，即22m x x≤+在(0,)+∞上恒成立，又224x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴4m ≤；（2）由题意2222()2x mx f x x m x x-+'=-+=，∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴12,x x 为方程2220x mx -+=的两个不相等的实数根， 由韦达定理得122mx x +=，121x x ⋅=， ∵120x x <<，∴1201x x <<<， 又121112()2()(4,5)m x x x x =+=+∈，解得1112x <<， ∴()()2212111222()()2ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+()()()()22121212122ln ln 2x x x x x x x x =-+--+-()()2221122ln ln x x x x =-+-2112114ln x x x =-+， 设221()4ln g x x x x =-+（112x <<）， 则4222333242(21)2(1)()20x x x g x x x x x x---+--=-+='=<， ∴()g x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，又1111544ln 4ln 22424g ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭，(1)1100g =-+=， ∴150()4ln 24g x <<-， 即12()()f x f x -的取值范围为1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，牢记函数单调性与导数的关系、合理转化条件是解题关键，属于中档题.。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试(含答案解析)(2)
一、选择题1．设函数()3xf x xe =，若存在唯一的负整数0x ，使得()00f x kx k <-，则实数k 的取值范围是（ ） A ．23,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．30,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．236,e e ⎛⎫--⎪⎝⎭D ．223,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．已知定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足()ln ()0f x x xf x '+<且(2021)0f =，其中()'f x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,2021)B ．(2021,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,2021)3．已知函数()2sin ln 6xf x a x x a π⎛⎫=+-⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠），对任意1,x []20,1x ∈，不等式()()212f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的最小值是（ ）A ．2eB ．eC ．3D ．24．已知函数32()f x x bx cx d =+++在区间[1,2]-上是减函数，那么b c + （ ） A ．有最小值152 B ．有最大值152 C ．有最小值152- D ．有最大值152-5．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足()()1ln 20f x f x x x x++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[),e +∞B ．()2,2e -C ．(),2e -D ．[),e -+∞6．直线()0x a a =>分别与曲线21y x =+，ln y x x =+相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A ．1B ．2C D 7．f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f （x ）+x •f '（x ）＜0，且f （﹣3）＝0，则不等式f （x ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣3，0）∪（3，+∞） B ．（﹣3，0）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）8．已知函数()y f x =在R 上可导且()02f =，其导函数()f x '满足()()02f x f x x '>--，对于函数()()x f x g x e=，下列结论错误．．的是（ ）. A ．函数()g x 在()2,+∞上为单调递增函数 B ．2x =是函数()g x 的极小值点C ．0x ≤时，不等式()2x f x e ≤恒成立D ．函数()g x 至多有两个零点9．函数()ln sin f x x x =+（x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是（ ） A ．(0,1)(2,3)⋃B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,1][2,3)⋃11．已知f （x ）=-x 3-ax 在（-∞，-1]上递减，且g （x ）=2x-ax在区间（1，2]上既有最大值又有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >-B ．3a -≤C ．32a -≤<-D ．32a --≤≤12．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A ．1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭D ．11,26a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln g x x =，()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦，()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦，给出以下四个命题：（1）()y F x =是偶函数；（2）()y G x =是偶函数；（3）()y F x =的最小值为0；（4）()y G x =有两个零点；其中真命题的是______.14．现有一块边长为3的正方形铁片，在铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值是______. 15．已知函数32()1f x x ax x =+++在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数，则实数a 的取值范围是________．16．如图，等腰直角ABC 底边4BC =，E 为BC 上异于B ，C 的一个动点，点F 在AB 上，且EF BC ⊥，现将BEF 沿EF 折起到B EF '的位置，则四棱锥B AFEC '-体积的最大值为___________.17．已知函数()xf x e =，()g x ex =12,x x R ∈，使得()()12f x g x m ==，则21x x -的最小值为______. 18．函数()()21xf x x =-的最小值是______.19．设函数()22ln f x x x x =+-，若关于x 的方程()2f x x x a =++在(]0,2上恰有两个相异实根，则实数a 的范围是______.20．已知函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题21．已知函数()3213f x x ax bx ab =-+++． （1）若()f x 是奇函数，且有三个零点，求b 的取值范围； （2）若()f x 在1x =处有极大值223-，求当[]1,2x ∈-时()f x 的值域． 22．设函数()cos2sin f x x m x =+，()0,x π∈. （1）若函数()f x 在2x π=处的切线方程为1y =，求m 的值；（2）若()0,x π∀∈，()0f x >恒成立，求m 的取值范围. 23．设函数()()21xf x ea x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 24．已经x ∈R ，（1）求证：1x e x ≥+ (其中， 2.71828e =)；（2）n N +∈，求证：1(1)n n e +≤. 25．设函数f （x ）＝ln x ＋kx，k ∈R ． （1）若曲线y ＝f （x ）在点(e ，f （e ）)处的切线与直线x －2＝0垂直，求f （x ）的单调性和极小值(其中e 为自然对数的底数)；（2）若对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围． 26．已知函数(),xf x e kx x R =-∈.（1）若k e =，试确定函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0fx >恒成立，试确定实数k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用到函数研究其图象，令3x y xe =，y kx k =-，从而讨论两个函数的性质作出3x y xe =与y kx k =-的图象，从而结合图象可得解． 【详解】()3x f x xe =，令y kx k =-，()3(1)x f x e x '=+，()3x f x xe ∴=在(-∞，1]-上是减函数，在(1,)-+∞上是增函数，又y kx k =-是恒过点(1,0)的直线，∴作()3x f x xe =与y kx k =-的图象如下：当直线y kx k =-与()3x f x xe =相切时， 设切点为(,3)x x xe ，3331xx x xe e xe x =+-，则12x -=，12x =；令()3x g x xe kx k =-+ 结合图象可知：(0)0(1)0(2)0g g g ⎧⎪-<⎨⎪-⎩解得：2232k e e<故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是数形结合思想的灵活运用.作出两个函数的图象后，通过观察分析得到存在唯一的负整数01x =-，使得()00f x kx k <-，即(0)0(1)0(2)0g g g ⎧⎪-<⎨⎪-⎩.2．A解析：A 【分析】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，利用导数可知()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，将不等式()0f x >化为1x >且()(2021)g x g >，再利用()g x 的单调性可解得结果.【详解】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，则1()ln ()()()()ln f x x xf x g x f x f x x x x'+''=+=， 因为1≥x ，()ln ()0f x x xf x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，当1x =时，由()ln ()0f x x xf x '+<可知(1)0f <，不满足()0f x >； 当1x >时，ln 0x >，所以()0f x >可化为()ln 0f x x >(2021)ln 2021f =，即()(2021)g x g >，因为()g x 在(1,)+∞上为单调递减函数，所以12021x <<， 所以不等式()0f x >的解集为(1,2021). 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据已知不等式构造函数()ln ()g x xf x =，利用导数判断其单调性是本题解题关键.3．A解析：A 【分析】由导数求得()f x 在[0,1]上单调递增，求得函数的最值，把任意1,x []20,1x ∈，不等式 ()()212f x f x a -≤-恒成立，转化为()()max min 2f x f x a -≤-，进而求得a 的取值范围，得到最小值. 【详解】由题意，显然2a ≥， 因为函数()2sin ln 6xf x a x x a π⎛⎫=+-⎪⎝⎭，可得()ln (1)cos()36x f x a a x ππ'=-+，又由[0,1],2x a ∈≥，可得ln 0,10,cos()036xa a x ππ>-≥>，故()0f x '>，函数()f x 在[0,1]上单调递增， 故()()max min (1)1ln ,(0)1f x f a a f x f ==+-==， 对任意1,x []20,1x ∈，不等式()()212f x f x a -≤-恒成立， 即()()max min 2f x f x a -≤-，所以1ln 12a a a +--≤-，即ln 2a ≥，解得2a e ≥， 即实数a 的最小值为2e . 故选：A. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4．D解析：D 【解析】试题分析：由f （x ）在[-1，2]上是减函数，知f′（x ）=3x 2+2bx+c≤0，x ∈[-1，2]， 则f′(-1)=3-2b+c≤0,且f′(2)=12+4b+c≤0，⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤-152，故选D. 考点：本题主要考查了函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．点评：解决该试题的关键是先对函数f （x ）求导，然后令导数在[-1，2]小于等于0即可求出b+c 的关系，得到答案．5．D解析：D 【分析】利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解. 【详解】()()1ln 20f x f x x xx++=′， ()2ln f x x x C ∴+=， ()2ln f e e e C ∴+=，()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，()2ln 0f x x x ∴+=，()2ln x f x x∴=-()1x >，不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立， 令()ln x g x x =-，则()()21ln ln x g x x -=′，令()()21ln 0ln xg x x -==′，解得x e =，∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减，∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，()()max ln eg x g e e e==-=-， a e ∴≥-，∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 6．B解析：B设A （a ，2 a+1），B （a ，a+lna ），求出|AB |，利用导数求出|AB |的最小值． 【详解】设A （a ，2a+1），B （a ，a+lna ），∴|AB |＝211a a lna a lna +-+=+-（）， 令y 1x lnx =+-，则y ′=11x-， ∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴x ＝1时，函数y 的最小值为20>，∴|AB |＝2111a a lna a lna a lna +-+=+-=+-（），其最小值为2.故选B ． 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．7．B解析：B 【分析】构造函数()()g x xf x =，根据条件确定()g x 奇偶性与单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】令()()g x xf x =，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，()()()0g x f x xf x ''=+<，即()g x 在(,0)-∞上单调递减，又(0)0g = 因此()g x 在(0,)+∞上单调递减，因为f （﹣3）＝0，所以(3)0(3)0g g -=∴=， 当(3,0)x ∈-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <-=∴<>； 当(,3)x ∈-∞-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >-=∴><； 当(0,3)x ∈时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >=∴>>； 当(3,)x ∈+∞时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <=∴<<； 综上，不等式f （x ）＞0的解集为（﹣3，0）∪（0，3） 故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、利用单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.8．C解析：C 【分析】由()()02f x f x x '>--，利用导数求出函数()g x 的单调区间以及函数的极值，根据单调性、极值判断每个选项，从而可得结论．()()x f x g x e=， 则()()()xf x f xg x e '-'=， 2x >时，()()0f x f x '->，故()y g x =在(2,)+∞递增，A 正确；2x <时，()()0f x f x '-<，故()y g x =在(,2)-∞递减，故2x =是函数()y g x =的极小值点，故B 正确； 若g （2）0<，则()y g x =有2个零点， 若g （2）0=，则函数()y g x =有1个零点， 若g （2）0>，则函数()y g x =没有零点，故D 正确； 由()y g x =在(,2)-∞递减，则()y g x =在(,0)-∞递减， 由0(0)(0)2f g e==，得0x 时，()(0)g x g ， 故()2xf x e，故()2x f x e ≥，故C 错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点问题，考查了构造函数法的应用，是一道综合题．9．D解析：D 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，能过导数求解函数极值点的个数，求出()f π的值，从而可判断选项 【详解】解：因为()ln sin()ln sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以()f x 为偶函数，故排除B当0πx <≤时，()ln sin f x x x =+，则'1()cos f x x x=+， 令'()0f x =，则1cos x x=-， 作出1,cos y y x x==-的图像如图，可知两个函数图像有一个交点，就是函数的极值点，所以排除A 因为()ln 1f ππ=>，所以排除C ，当0x x =时，'0()0f x =，故0(0,)x x ∈时，函数()f x 单调递增，当0(,)x x π∈时，函数()f x 单调递减，所以D 满足. 故选：D 【点睛】此题考查了与三角函数有关的函数图像识别，利用了导数判断函数的单调性，考查数形结合的思想，属于中档题10．A解析：A 【详解】试题分析：此题考查导数的应用；2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x-+--=-+-'=-=-，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所以在[],1t t +上即有减又有增，所以01{113t t <<<+<或13{31t t <<<+，01t ∴<<或23t <<，故选A.考点：函数的单调性与导数.11．C解析：C 【分析】利用()f x 导数小于等于零恒成立，求出a 的范围，再由()2'2ag x x x=+在(]1,2上有零点，求出a 的范围，综合两种情况可得结果. 【详解】因为函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，所以()2'30f x x a =--≤对于一切(],1x ∈-∞-恒成立，得23,3x a a -≤∴≥-， 又因为()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值，所以，可知()2'2a g x x x =+在(]1,2上有零点， 也就是极值点，即有解220a x x +=，在(]1,2上解得32a x =-， 可得82,32a a -≤<-∴-≤<-，故选C.【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围.12．C解析：C【分析】 本题首先可根据题意得出2241ax ax f x x ，令2241g x ax ax ，然后根据()f x 在()1,3上不单调得出函数()g x 与x 轴在()1,3上有交点，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】()2124124ax ax f x ax a x x--'=--=， 若()f x 在()1,3上不单调，令2241g x ax ax ，对称轴为1x =，则函数2241g xax ax 与x 轴在()1,3上有交点， 当0a =时，显然不成立；当0a ≠时，则()()21680130a a g g ⎧∆=+>⎪⎨⋅<⎪⎩，解得16a >或12a <-， 易知()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭， 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性问题，若函数在否个区间内不单调，则函数的导函数在这个区间内有零点且穿过x 轴，考查二次函数性质的应用，考查充分条件与必要条件的判定，是中档题.二、填空题13．（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断（4）的正误综合可得出结论 解析：（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题（1），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，即1x >，解得1x <-或1x >，所以，函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称， ()()ln ln g x x x g x -=-==，则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦， 所以，函数()y F x =为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 10f x x x =--≠，()111x f x x x'-=-=，令()0f x '=，得1x =，且函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()min 10f x f ==，则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以，函数()y G x =是非奇非偶函数，命题（2）错误；对于命题（3），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，由（2）知，函数()y f x =的最小值为0，则函数()y F x =的最小值为0，命题（3）正确；对于命题（4），令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦，可得()1f x =，则()1f x =或()1f x =-， 由（2）知，()()10f x f ≥=，所以方程()1f x =-无解；令()()1ln 2h x f x x x =-=--，由（2）可知，函数()y h x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110h =-<，()42ln422ln20h =-=->， 由零点存在定理可知，函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点， 所以，方程()1f x =有两个实根，即函数()y G x =有两个零点，命题（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14．【分析】根据题意得到方盒底面是正方形边长为高为建立方盒容积的函数模型为再用导数法求解最值【详解】由题意得：方盒底面是正方形边长为高为所以方盒的容积为当时时所以当时取得最大值最大值为2故答案为：2【点 解析：2【分析】根据题意得到方盒底面是正方形，边长为32x -，高为x ，建立方盒容积的函数模型为()2323324129,02V x x x x x x =-⨯=-+<<，再用导数法求解最值. 【详解】 由题意得：方盒底面是正方形，边长为32x -，高为x ，所以方盒的容积为()2323324129,02V x x x x x x =-⨯=-+<<， 213122491222V x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当102x <<时，0V '>，1322x <<时，0V '<， 所以当12x =时，V 取得最大值，最大值为2. 故答案为：2【点睛】本题主要考查导数的实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15．【分析】求导得转化条件为在区间内恒成立令求导后求得即可得解【详解】函数在区间内是减函数在区间内恒成立即在区间内恒成立令则当时单调递减；当时单调递增；又故答案为：【点睛】本题考查了导数的综合应用考查了 解析：2a ≥【分析】 求导得2()321f x x ax '=++，转化条件为1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，求导后求得()max 2g x =即可得解. 【详解】 32()1f x x ax x =+++，∴2()321f x x ax '=++，函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数， ∴()0f x '≤在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，即1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立， 令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，则()2221312232x x x xg -++='=-，∴当2,3x ⎛∈- ⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当13x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增； 又2734g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，123g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()2g x <， ∴2a ≥.故答案为：2a ≥.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.16．【分析】设则设根据四棱锥的体积公式可求得四棱锥体积为利用正弦函数的最大值以及导数求得的最大值可得结果【详解】设则设则四棱锥的高四边形的面积为则四棱锥体积为当且仅当时取等号令则令得令得所以函数在上递增【分析】设BE x =，则B E EF x '==(04)x <<，设B EC θ'∠=，根据四棱锥的体积公式可求得四棱锥B AFEC '-体积为31sin (8)6x x θ-，利用正弦函数的最大值以及导数求得31(8)(04)6y x x x =-<<的最大值可得结果. 【详解】设BE x =，则B E EF x '==(04)x <<，设B EC θ'∠=，则四棱锥B AFEC '-的高sin sin h B E x θθ'==，四边形AFEC 的面积为22111424222x x ⨯⨯-=-，则四棱锥B AFEC '-体积为211sin (4)32x x θ⨯-3311sin (8)(8)66x x x x θ=-≤-，当且仅当sin 1θ=，2πθ=时取等号， 令31(8)(04)6y x x x =-<<，则21(83)6y x '=-，令0y '>，得0x <<0y '<4x <<，所以函数31(8)(04)6y x x x =-<<在(0,3上递增，在(3上递减，所以当3x =时，31(8)6y x x =-所以当,2x πθ==B AFEC '-【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考查了正弦函数的最值，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.17．【分析】由可得则设即求函数的最小值求导得出单调性即可得到答案【详解】由即且所以则设函数则令得令得所以函数在上单调递减在上单调递增则函数的最小值为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查根据题目条件构 解析：ln 22【分析】由()()12f x g x m ==，可得212ln ,m x m x e ==,则221ln m x x m e-=-，设()2ln x h x x e=-，即求函数()h x 的最小值，求导得出单调性即可得到答案. 【详解】由()()12f x g x m ==，即1x e m ==且0m >. 所以212ln ,m x m x e ==,则221ln m x x m e-=- 设函数()2ln x h x x e =-,则()2212x e h x x e x ex-'=-=.令()0h x '>，得x >，令()0h x '<，得0x <<所以函数()h x 在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.则函数()h x 的最小值为11ln 222e h e =⨯-=. 所以21x x -的最小值为ln 22 故答案为：ln 22【点睛】本题考查根据题目条件构造函数，利用导数求函数的最小值，属于中档题. 18．【分析】对求导利用导数即可求得函数单调性和最小值【详解】因为故可得令解得；故当时单调递减；当时单调递增；当时单调递减且当趋近于1时趋近于正无穷；当趋近于正无穷时趋近于零函数图像如下所示：故的最小值为 解析：14-【分析】对()f x 求导，利用导数即可求得函数单调性和最小值,【详解】因为()()21xf x x =-，故可得()()311x f x x ---'=，令()0f x '=，解得1x =-；故当(),1x ∈-∞-时，()f x 单调递减；当()1,1x ∈-时，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减.且()114f -=-， 当x 趋近于1时()f x 趋近于正无穷；当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于零.函数图像如下所示：故()f x 的最小值为14-. 故答案为：14-. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的最值，属综合基础题.19．【分析】根据题意得转化为直线和函数的图像有两个不同的交点利用导数研究函数的单调性和最值即可得出实数a 的范围【详解】由及得令根据题意可得：直线和函数的图像有两个不同的交点令得此时函数单调递减令得此时函 解析：(]1,2ln 2-【分析】根据题意得ln a x x =-，转化为直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，利用导数研究函数()g x 的单调性和最值，即可得出实数a 的范围.【详解】由()22ln f x x x x =+-及()2f x x x a =++，得ln a x x =-， 令()ln g x x x =-，根据题意可得：直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点， 1()1g x x'=-， 令()0g x '<，得01x <<，此时函数()g x 单调递减，令()0g x '>，得12x <≤，此时函数()g x 单调递增，所以，当1x =时，函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈取得最小值，值为(1)1g =， 又(2)2ln 2g =-，且当210x e <<时， 2211()22ln 2g x g e e⎛⎫>=+>- ⎪⎝⎭，故当12ln 2a <≤-时，直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，所以实数a 的范围是(]1,2ln 2-.故答案为：(]1,2ln 2-.【点睛】本题主要考查的是函数零点问题，本题解题的关键是转化为两函数图像的交点问题，利用导数研究函数的单调性和最值，考查学生的分析问题能力，是中档题. 20．【分析】求出函数的导数问题转化为和在上有2个交点根据函数的单调性求出的范围从而求出的范围即可【详解】若函数有两个极值点则和在上有2个交点时即递增时递减故（1）而恒成立所以故答案为：【点睛】本题考查了 解析：2(0,)e .【分析】求出函数的导数，问题转化为y a =和2()xx g x e =在R 上有2个交点，根据函数的单调性求出()g x 的范围，从而求出a 的范围即可．【详解】 ()2x f x ae x '=-，若函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则y a =和2()x x g x e=在R 上有2个交点， 22()x x g x e -'=， (,1)x ∈-∞时，即()0g x '>，()g x 递增，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减，故()max g x g =（1）2e =， 而20x x e >恒成立，所以20a e<<， 故答案为：2(0,)e．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题． 三、解答题21．（1）()0,∞+；（2）5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先由函数奇偶性，得到0a =，得出()313f x x bx =-+，对其求导，分别讨论0b ≤和0b >两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果； （2）先对函数求导，根据极大值求出2,5.a b =-⎧⎨=⎩，根据函数单调性，即可求出值域. 【详解】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，所以0a =，且()00f =．∴()313f x x bx =-+， ∴()2f x x b '=-+．当0b ≤时，()20f x x b '=-+≤，此时()f x 在R 上单调递减， ()f x 在R 上只有一个零点，不合题意．当0b >时，()20f x x b '=-+>，解得x <<∴()f x 在(,-∞，)+∞上单调递减，在(上单调递增，∵()f x 在R 上有三个零点，∴0f >且(0f <，即3103f =-+>，即0>，而0>恒成立，∴0b >．所以实数b 的取值范围为()0,∞+．（2）()22f x x ax b '=-++，由已知可得()1120f a b '=-++=，且()122133f a b ab =-+++=-， 解得2,3,a b =⎧⎨=-⎩或2,5.a b =-⎧⎨=⎩ 当2a =，3b =-时，()3212363f x x x x =-+--，()243f x x x '=-+-， 令()0f x '≥，即2430x x -+-≥，解得13x ≤≤，令()0f x '<，即2430x x -+-<，解得1x <或3x >，即函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减； 所以1x =是()f x 的极小值点，与题意不符．当2a =-，5b =时，()32125103f x x x x =--+-，()245f x x x '=--+． 令()0f x '≥，即2450x x --+≥，解得51x -≤≤；令()0f x '<，即2450x x --+<，解得5x <-或1x >，即函数()f x 在(),5-∞-上单调递减，在()5,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 所以1x =是()f x 的极大值点，符合题意，故2a =-，5b =．又∵[]1,2x ∈-，∴()f x 在[]1,1-上单调递增，在[]1,2上单调递减．又()5013f '-=-，()2213f =-，()3223f =-． 所以()f x 在[]1,2-上的值域为5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 【点睛】思路点睛： 导数的方法求函数零点的一般步骤：先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果. 22．（1）2；（2）()1,+∞.【分析】（1）利用已知条件求出切点坐标，代入到原函数即可得到m 的值；（2）利用已知条件得到cos 2sin x m x >-，令()cos 212sin sin sin x g x x x x=-=-，sin x t =，(]0,1t ∈，得到()12g t t t=-，求导分析函数()g t 的单调性即可得到m 的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数()cos2sin f x x m x =+，()0,x π∈，且函数()f x 在2x π=处的切线方程为1y =， 所以该函数过点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故cos 2sin 112222f m m m πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以m 的值为2；（2）对()0,x π∀∈，()0f x >恒成立，即cos 2sin 0x m x +>，所以cos 2sin x m x >-，①又因为()0,x π∈，所以sin 0x >，故①可化简为cos 2sin xm x>-，② 令()2cos 212sin 12sin sin sin sin x x g x x x x x-=-=-=-， 再令sin x t =，则(]0,1t ∈， 所以()12g t t t=-，()2120g t t '=+>， 所以()g t 在(]0,1上单调递增， 故()()max 1211g t g ==-=，又由②式可得，当(]0,1t ∈时，()m g t >恒成立， 所以()max 1m g t >=，综上所述：m 的取值范围是：()1,+∞. 【点睛】结论点睛：利用导数研究不等式恒成立问题.（1）()f x a ≥恒成立()min f x a ⇔≥；()f x a ≥成立()max f x a ⇔≥； （2）()f x b ≤恒成立()max f x b ⇔≤；()f x b ≤成立()min f x b ⇔≤； （3）()()f x g x >恒成立，令()()()F x f x g x =-，则()min 0F x >. 23．（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）分别在0a ≤和0a >两种情况下，根据()f x '的正负可确定()f x 的单调性； （2）根据（1）的结论可确定0a <不合题意；当0a =时，根据指数函数值域可知满足题意；当0a >时，令()min 0f x >，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意得：()22xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在R 上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=得：1ln 22a x =. 当1ln 22a x <时，()0f x '<，()f x ∴在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当1ln 22a x >时，()0f x '>，()f x ∴在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）可知：当0a <时，()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，20x e →，()1a x +→+∞，此时()0f x <，不合题意； 当0a =时，2()0x f x e =>恒成立，满足题意. 当0a >时，()f x 在1ln 22ax =处取最小值，且1ln ln 22222a a a a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令ln 0222a a a -->，解得：20a e <<，此时()0f x >恒成立.综上所述：a 的取值范围为20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果. 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）构造函数()1x f x e x =--，求函数的最小值大于等于零即可；（2）由（1）得1n e n ≥+，n N +∈，两边取对数得ln(1)n n ≥+，进而得11ln(1)n n ≥+，即1(1)nn e +≤. 【详解】解：（1）构造函数()1x f x e x =--，x ∈R()1x f x e =-'，令()0f x '=，则0x =当x 在R 上变化时，()f x ，()'f x 变化如下表：从而：min 则：10x e x --≥则：1x e x ≥+在R 上恒成立.（2）由（1）可得：1x e x ≥+在R 上恒成立， 则n ∈+N 时，1n e n ≥+， 两边取对数，有：ln(1)n n ≥+ 则：11ln(1)n n≥+ 则：11ln(1)n n ≥+， 从而：1(1)n e n ≥+ 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查化归转化思想，是中档题.25．（1）在(0，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，极小值为2；（2）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【分析】（1）求导后，根据导数的几何意义以及两直线垂直关系可得k ＝e ，再根据导数得到函数的单调性和极值；（2）转化为h （x ）＝f （x ）－x ＝ln x ＋kx－x (x >0)在(0，＋∞)上单调递减，接着转化为()h x '≤0在(0，＋∞)上恒成立，即，k ≥－x 2＋x ＝21124x 恒成立，利用二次函数求出最大值可得答案. 【详解】（1）由题意，得21()(0)kf x x x x'=->， ∵曲线y ＝f （x ）在点(e ，f （e ）)处的切线与直线x －2＝0垂直， ∴()0f e '=，即210ke e -=，解得k ＝e ， ∴221()(0)e x ef x x x x x-'=-=>， 由()'f x <0，得0<x <e ；由()'f x >0，得x >e ， ∴f （x ）在(0，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增． 当x ＝e 时，f （x ）取得极小值，且f （e ）＝ln e ＋ee＝2． ∴f （x ）的极小值为2．（2）由题意知，对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2恒成立， 设h （x ）＝f （x ）－x ＝ln x ＋kx－x (x >0)，则h （x ）在(0，＋∞)上单调递减，∴21()1kh x x x '=--≤0在(0，＋∞)上恒成立， 即当x >0时，k ≥－x 2＋x ＝21124x 恒成立， ∴k ≥14．故k 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了减函数的定义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题. 26．(1)增区间是()1,+∞,递减区间是(),1-∞；(2)0k e <<. 【详解】试题分析：(1)借助题设条件运用导数与函数单调性之间的关系求解；(2)借助题设运用等价转化的思想及导数的知识求解. 试题（1）由k e =得()xf x e ex =-，所以()xf x e e '=-.由()'0fx >得1x >，故()f x 的单调递增区间是()1,+∞， 由()'0f x <得1x <，故()f x 的单调递减区间是(),1-∞.（2）由()()fx f x -=可知()f x 是偶函数.于是等价于()0f x >对任意0x ≥成立.由()0xf x e k ='-=得ln x k =.①当(]0,1k ∈时，()()100xf x e k k x =->-≥≥'，此时()f x 在[)0,+∞上单调递增.故()()010f x f ≥=>，符合题意. ②当()1,k ∈+∞时，ln 0k >.当x 变化时()'fx ，()f x 的变化情况如下表：由此可得，在0,+∞上，ln ln f x f k k k k ≥=- 依题意，ln 0k k k ->，又1,1k k e >∴<<. 综合①②得，实数k 的取值范围是0k e <<. 也可以分离用最值研究.考点：导数与函数的单调性之间的关系及分析转化法等有关知识和方法的综合运用.。
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章末分层突破
①单调性与极值②单调性③极值④导数⑤最大值、最小值问题
()求函数的定义域，并求导；
()研究导函数′()的符号，解不等式′()>或′()<；
()确定函数的单调性或单调区间.
在求导这一环节中，往往要将导函数变形，其目的在于方便下一环节研究导函数的符号，常见的措施有化为基本初等函数、通分、因式分解等.
求函数()＝－(－)－的单调区间.
【精彩点拨】按照求单调区间的步骤求解.
【规范解答】函数的定义域为(，＋∞).
′()＝－－＝＝.
令′()>，得<<，
令′()<，得>.
∴()的增区间为(，)，减区间为(，＋∞).
.已知函数()＝－－，讨论()的单调区间.
【解】′()＝－.
()当≤时，′()≥，所以()在(－∞，＋∞)上为增函数.
()当>时，令－＝，得＝±，
当>或<－时，′()>；
当－<<时，′()<.
因此()在，上为增函数，()在上为减函数.
综上可知，当≤时，()在上为增函数.
当>时，
()在，上为增函数，在上为减函数.
()确定函数()的定义域；
()解方程′()＝的根；
()检验′()＝的根的两侧′()的符号.
若左正右负，则()在此根处取得极大值；
若左负右正，则()在此根处取得极小值；
否则，此根不是()的极值点.
对于求函数的最值问题，只需直接将极值与区间端点函数值比较即可.
已知函数()＝＋＋的图像上一点(，)，且在点处的切线与直线＋＝平行.
()求函数()的解析式；
()求函数()在区间(<<)上的最大值和最小值；
()在()的结论下，关于的方程()＝在区间上恰有两个相异的实根，求实数的取值范围.
【精彩点拨】()由求出，即可.
()对分<≤与<<两种情况求最值.
()构造函数()＝()－转化为()在上有实根求解.
【规范解答】()因为′()＝＋，曲线在(，)处的切线斜率为′()＝＋，即＋＝－，＝－.
又函数过(，)点，即－＋＝，＝.
所以＝－，＝，()＝－＋.
()由()＝－＋，得′()＝－.
由′()＝，得＝或＝.。