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线性和非线性有限元

线性和非线性有限元
目
CONTENCT
录
• 线性有限元方法 • 非线性有限元方法 • 线性与非线性有限元的比较 • 线性与非线性有限元的实例分析 • 未来研究方向与展望
01
线性有限元方法
定义与原理
定义
线性有限元方法是一种数值分析方法，用于求解偏微分方程的近似解。它将复杂的求解区域离散化为有限个小的、简单的子区域，即有限元，然后对每个有限元进行求解，最终得到原偏微分方程的近似解。
THANK YOU
感谢聆听
在实际应用中，应根据问题的特性和需求选择合适的有限元方法。对于复杂的问题，可能需要结合多种有限元方法进行求解。
05
未来研究方向与展望
线性有限元方法的改进与优化
80%
高效求解算法
研究更快速、稳定的线性有限元求解算法，提高计算效率。
100%
自适应网格生成
发展更智能、自动的网格生成技术，以适应复杂几何形状和边界条件。
线性有限元
由于线性有限元基于线性方程组进行求解，因此计算复杂度相对较低，适用于求解一些较简单的问题，如弹性力学问题。
非线性有限元
非线性有限元需要求解非线性方程组，计算复杂度较高，但能够处理更复杂的问题，如塑性力学、流体力学等领域的问题。
精度比较
线性有限元
对于一些简单的问题，线性有限元可以给出较为精确的结果。然而，对于一些复杂的问题，线性有限元可能无法准确描述非线性行为。
80%
多物理场耦合
研究线性有限元在多物理场耦合问题中的应用，如流体-结构、电磁-热等。
非线性有限元方法的改进与优化
高阶非线性有限元
发展高阶非线性有限元方法，以更精确地描述复杂非线性行为。

非线性有限元法综述

非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。

关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。

进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。

有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。

方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。

非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。

图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。

2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。

这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。

完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。

两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。

线性和非线性有限元分析

Strain-rate dependence of tensile response of cortical bone. (Adapted from J. H. McElhaney, J. Appl. Physiology, 21(1966) 1231.)‫‏‬
为何线性有限元
• 线性元是对自然界非线性问题的小范围和小规模逼近 • 线性材料是人为假设的 • 人类在构造建筑和机械结构时假设它们不会在人造环境和人为的载荷条件下产生大的物理量变 • 线性有限元可以解决大部分民用建筑结构和民用机械结构问题 • 非线性问题可以用多个线性问题的解来逼近
ZIENKIEWICZ &CHANG popularize the method with the practicing engineering community (有限元在工程界广泛推广） IRONS &RAZZAQUE frontal solution technique successful implementation of finite elements (成功应用单元前沿刚度矩阵方程解法） isoparametric elements , modern finite element methods （参数元，从长现代有限元） theory of distributions, generalized functions, weak solutions of pde’s （广义函数，偏微分方程弱解） the decade of the mathematics of finite elements (数学家的十年）
几何非线性：
• • • Large deformation （线性和非线性材料大变形） Contact Non linearity（线性材料接触和非线性材料接触） Nonlinear Buckling （线性和非线性材料屈曲）

非线性有限元方法

非线性有限元方法非线性有限元方法是大量应用于工程领域的计算方法，它主要用于求解复杂结构的力学问题，例如材料的变形、破坏和变形控制等。

与线性有限元方法不同，非线性有限元方法考虑因为载荷和边界条件的非线性导致问题的非线性本质，以及材料的非线性行为。

在这篇文章中，我们将讨论非线性有限元方法，包括其应用、工作原理以及其在工程领域中的重要性等内容。

首先，我们来研究一下非线性有限元方法的应用。

非线性有限元方法在许多方面都有应用。

其中最重要的领域是结构力学，包括建筑、航空航天、汽车等领域。

由于这些结构需要承受复杂的载荷，因此非线性有限元方法可以很好地模拟这些结构的行为，预测它们的性能和寿命。

此外，非线性有限元方法还可以应用于材料力学研究中，例如破碎、断裂和塑性变形等方面。

其次，我们来了解一下非线性有限元方法的工作原理。

与线性有限元方法类似，非线性有限元方法通过将结构分成小块进行离散，然后在每个小块中进行力学分析，最后将分析结果合并为整个结构的行为。

但是，与线性有限元方法不同的是，非线性有限元方法考虑到材料的非线性行为，采用迭代的方法计算结构的响应。

通常，在每一次迭代中，我们都将结构的当前状态作为一个初始猜测，然后求解出该状态下的切应力和位移场。

然后我们将这个位移场的结果代入底部，从而更新结构的状态。

如果解决方案收敛，则完成计算，否则就将新的状态再次代入求解。

这种方法的本质是将非线性问题转化为一系列线性问题的求解，通过迭代求解来逼近非线性问题的解。

最后，我们来讨论一下非线性有限元方法在工程领域中的重要性。

非线性有限元方法已成为现代工程设计和分析的不可或缺的工具。

它允许工程师们模拟和预测各种工程机构的行为，以及设计和优化各种结构。

例如，它可以帮助我们了解在不同载荷下建筑和桥梁行为的变化，预测材料的破坏和失效，以及优化汽车和飞机的结构以提高其性能。

总之，非线性有限元方法是一种复杂但十分有用的计算方法，它可以模拟各种结构的行为并预测其性能和寿命。

如何利用非线性有限元法进行力学分析

如何利用非线性有限元法进行力学分析非线性有限元法是一种用于数值分析问题的计算方法，其主要应用于力学分析领域。

这种方法在于其对于复杂结构的建模能力和高精度数值计算能力而备受推崇。

在本文中，将介绍如何对力学问题进行分析，以及如何应用非线性有限元法对力学分析进行模拟。

1. 引言力学分析整体上分为两种类型：静力学分析和动力学分析。

静力学分析研究对于物体的力和静止条件进行研究，其中力一般会造成物体的运动。

而动力学分析则研究运动物体的变化，特别是再一定条件下物体的振动问题等。

因为力学分析问题具有很高的复杂性，很多时候需要使用非线性有限元法来得到更准确的结果。

下面我们将详细介绍使用非线性有限元法进行力学分析的方法和流程。

2. 有限元法简介有限元法是一种现代数值计算方法，它将大工程结构分割为小的有限元。

在每个有限元内，结构的物理性质可以被认为是常量。

(具体内容可以自己百度)3. 如何利用非线性有限元法进行力学分析使用非线性有限元法进行力学分析的核心是将宏观问题转变为微观问题来进行模拟计算。

其中需要注意下面几点：3.1 确定力学分析的类型根据要进行分析的结构本身的性质和应用场景，可能涉及到静力学分析或者动力学分析。

其中静力学分析的计算主要涉及到结构在平衡状态下的情况，而动力学分析主要涉及到结构在某种条件下的运动和振动情况。

因此，在进行力学分析之前需要确定其类型，以便进行后续的计算。

3.2 建立结构模型根据具体情况，需要对结构进行建模。

建模可以通过一定的工具软件实现，或者手工建立结构模型。

模型的建立需要考虑到其复杂性和具体的应用场景。

构建好结构模型之后，需要对其进行精细化剖分得到单元网格，并进行编号。

3.3 确定边界条件在进行力学分析时，还需要考虑结构的边界条件。

边界条件可以通过指定某些点的坐标或者某些角度的变化来确定。

因此，在进行计算时需要根据具体情况设定边界条件，以便进行后续的计算。

3.4 进行数值模拟计算运用有限元法的基本原理，将每个单元的机械性质进行计算，根据力学分析的情况，可以得到结构节点的位移、应变和应力等参数。

非线性结构有限元分析课件

非线性结构有限元分析的步骤与流程
• 设定边界条件和载荷，如固定约束、压力或力矩等。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01 步骤三：求解
02
选择合适的求解器，如Newton-Raphson迭代法或直接积分法。
03 进行迭代计算，求解非线性结构的内力和变形。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01
步骤四：后处理
非线性有限元分析的基本概念
总结词
非线性有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的结构或系统离散化为有限个小的单元，并建立每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。
详细描述
非线性有限元分析是一种基于离散化的数值分析方法，通过将复杂的结构或系统划分为有限个小的单元（或称为有限元），并建立每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。这种方法能够考虑各种复杂的边界条件和材料特性，提供更精确的数值结果。
非线性有限元分析的常用方法
总结词
非线性有限元分析的常用方法包括迭代法、增量法、降维法等。这些方法可以根据不同的非线性问题选择使用，以达到更好的分析效果。
详细描述
在非线性有限元分析中，常用的方法包括迭代法、增量法、降维法等。迭代法是通过不断迭代更新有限元的位移和应力，逐步逼近真实解的方法；增量法是将总载荷分成若干个小的增量，对每个增量进行迭代计算，最终得到结构的总响应；降维法则是通过引入一些简化的假设或模型，将高维的非线性问题降维处理，以简化计算和提高计算效率。这些方法各有优缺点，应根据具体的非线性问题选择使用。
03
02
弹性后效
材料在卸载后发生的变形延迟现象。
材料强化
材料在受力过程中发生的强度增加现象。
04

非线性科学介绍

【内容提要】非线性科学就是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科。

其主要研究内容包括混沌、分形与孤立子。

本文主要介绍了非线性科学的起源、主要内容、主要研究方法及其工程应用,并对其未来发展进行了一些思考。

【关键词】非线性科学/研究方法/工程应用非线性科学就是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科,产生于20世纪六七十年代。

其标志就是:1963年美国气象学家洛伦兹发表的《确定论的非周期流》论文,揭示确定性非线性方程存在混沌(Chaos);1965年数学家查布斯基与克鲁斯卡尔通过计算机实验发现孤立子(Soliton);1975年美籍数学家芒德勃罗发表《分形:形态、机遇与维数》一书,创立了分形(Fractal)理论。

混沌、孤立子、分形代表了非线性现象的三大普适类,构成非线性科学的三大理论。

[1]非线性科学的发展标志着人类对自然的认识由线性现象发展到非线性现象。

非线性科学中的混沌理论被认为就是20世纪继相对论、量子力学之后的又一次革命;分形几何就是继微积分以来的又一次革命;孤立子理论则预示着物理学与数学的统一。

一、线性科学与非线性科学所谓线性,就是指量与量之间的关系用直角坐标系形象地表示出来时就是一条直线。

在数学上,主要通过对算子的描述来讨论系统的线性与否。

如果算子Y满足:其中,α为常数,u、v为任意函数,则称算子为线性算子,否则称为非线性算子。

[2]线性系统中部分之与等于整体,描述线性系统的方程遵从叠加原理,即方程的不同解加起来仍然就是方程的解。

线性理论就是研究线性系统的理论,主要包括:牛顿经典力学、爱因斯坦的相对论与量子力学理论等,它有成熟的数学工具,如线性方程、曲线,以及微积分等数学方法。

[3]虽然非线性问题自古以来就有,但人们开始只能解决线性问题,随着科学技术的发展,在解决非线性问题方面才逐步取得进展。

当代所有的科学前沿问题几乎都就是非线性问题。

从物理现象来瞧,线性现象就是在空间与时间上光滑与规则的运动,非线性现象则就是从规则运动向不规则运动的过渡与突变。

材料非线性有限元分析

材料非线性有限元分析材料非线性有限元分析是一种重要的计算力学方法，用于研究在载荷作用下，材料会发生非线性行为的情况。

这种分析方法已经被广泛应用于工程领域，例如建筑结构、航空航天以及汽车工业等。

本文将详细介绍材料非线性有限元分析的原理、方法和应用。

首先，我们来介绍一下材料非线性。

在工程领域，材料的非线性行为主要包括弹塑性、损伤、断裂、破坏等。

这些非线性行为往往在高载荷作用下会显著增加结构的应力和应变，从而导致结构的失效。

因此，准确地预测和分析这些非线性行为对于工程设计和结构优化具有重要意义。

材料非线性有限元分析是一种基于有限元方法的计算机模拟技术，用于模拟和分析复杂结构在非线性载荷下的力学行为。

它通过将结构离散为许多小的有限元单元，并以数学模型描述每个单元的材料行为，从而建立了结构的有限元模型。

然后，结构的力学行为可以通过求解相应的离散形式的力学方程得到。

在材料非线性有限元分析中，有两个关键问题需要解决。

首先是材料本构模型的建立。

材料本构模型是描述材料应力和应变关系的数学模型，常用的包括弹性模型、塑性模型、损伤模型等。

选择合适的材料本构模型对准确预测和分析结构的非线性行为至关重要。

其次是数值方法的选择。

对于材料非线性问题，通常需要使用迭代算法，如牛顿-拉夫森法，来求解非线性方程。

此外，还需要选择适当的数值积分方法，以解决离散形式的力学方程。

材料非线性有限元分析在许多领域都有广泛的应用。

在结构工程领域，它可以用于分析钢筋混凝土结构、大跨度桥梁以及高层建筑等的受力性能。

在航空航天领域，材料非线性有限元分析可用于研究飞机机翼、航天器的结构强度和振动特性。

在汽车工业中，它可以用于分析车辆的碰撞、耐久性和振动特性。

总结起来，材料非线性有限元分析是一种重要的计算力学方法，能够准确地模拟和分析结构在非线性载荷下的力学行为。

它在工程领域有着广泛的应用，能够为工程设计和结构优化提供科学依据。

未来随着计算机硬件和数值方法的不断发展，材料非线性有限元分析将在更多领域得到应用，并为解决工程实际问题提供更准确和高效的方法。

非线性有限元概论

2 yz
2 zx
)
平均等效应变
2
3
( x
y )2
( y
z )2
( z
x )2
3 (
2
2 xy
2 yz
2 zx
)
和之间存在单值函数关系
( )
关系由试验确定，对于简单拉伸，就是单轴的关系。
单元切线刚度矩阵
ks ( )δe R e
T
ks ( )
B
v
Ds BdV
可得整体平衡方程
K(δ)δ R 0 设其初始的近似解为 δ δ0
，由此确定近似的 K 矩阵
K 0 K (δ0 )
可得出改进的近似解
δ1 (K 0 )1 R
重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1 次近似解的迭代公式为直接迭代法
对非线性方程组
K i K (δi )
δi1 (K i )1 R
直到
δi δi1 δi
变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
在迭代过程中,得到的近似解一般不会满足
K(δ)δ R 0
ψ(δi ) K (δi )δi R 0
作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。
直接迭代法的计算过程
Newton—Raphson方法
设 (δ)为具有一阶导数的连续函数， δ δi 是方程的第i 次近似解。若
非线性有限元
非线性问题大多数实际问题属于非线性问题，根据
产生非线性的原因，非线性问题主要有三种类型： ●材料非线性(物理非线性) ●几何非线性 ●接触非线性
材料非线性应力与应变之间为非线性关系，通常与
加载历史有关，加载和卸载不是同一途径，因而其物理方程中的弹性矩阵是应变的函数。但材料非线性问题仍属于小变形问题，位移和应变是微量，其几何方程是线性的。土、岩石、混凝土等具有典型的材料非线性性质，应当按材料非线性问题处理。

物理学中的非线性方程

物理学中的非线性方程非线性方程是指未能表达为未知量的一次方的方程，或者说含有未知量的幂或乘法运算的方程。

在物理学中，非线性方程广泛应用于描述许多复杂的自然现象。

下面将介绍物理学中的一些重要的非线性方程。

1. 克努森堆积方程（Knudsen堆积方程）克努森堆积方程描述了气体流过孔洞或狭缝时的气体流动行为。

它是由物理学家克努森（Martin Knudsen）于1909年提出的。

该方程是一个非线性的积分方程，可以用来计算气体分子在孔洞或狭缝内的流动速度与压强之间的关系。

2.庞加莱－洛伦兹方程庞加莱－洛伦兹方程是描述相对论性粒子运动的非线性微分方程。

这个方程由法国物理学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）和荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹（Hendrik Lorentz）在19世纪末提出的。

该方程描述了质子、电子等带电粒子在电磁场中的受力和运动。

光学非线性方程是用于描述光在非线性介质中传播时的行为的方程。

光在非线性介质中传播时会产生光的自相互作用，如自聚焦、自调制等现象。

这些现象可以通过非线性方程来描述。

常见的光学非线性方程包括光波方程、改正的光波方程、Kerr方程等。

4.斯托克斯方程斯托克斯方程是描述流体力学中粘性流体运动的基本方程。

它是由爱尔兰物理学家乔治·斯托克斯（George Stokes）在19世纪提出的。

斯托克斯方程是一组非线性的偏微分方程，描述了流体的速度场和压力场之间的关系。

斯托克斯方程在描述微观尺度上的流体运动中尤为重要。

5.薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子的运动和状态演化的基本方程。

它是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）于1926年提出的。

薛定谔方程是一个非线性偏微分方程，描述了微观粒子的波函数与能量之间的关系。

它是量子力学的基础，被广泛应用于描述原子、分子和凝聚态物理等领域。

有限元的发展历史和趋势

有限元的发展历史和趋势
一、有限元发展历史
有限元法是近半个世纪以来最有影响力的数学模型，深受工程和科学研究领域的青睐。

它是由Clough和Tocher等科学家发明的，1969年在《工程力学》上发表，被称为“经典的有限元分析”，它改变了传统的工程和科学分析方法。

1960年到1980年，有限元分析的重要发展诞生了有限元方法的几个核心概念，包括分割变形有限元，多层有限元，映射有限元和局部有限元法。

其中，分离变形有限元可以处理分布力学和热力学问题，而多层有限元可以处理更复杂的非线性力学问题。

1980年至1990年，有限元分析研究取得了突破性进展。

此时，各种新的有限元分析程序组成的计算力学工具包得到了广泛的应用，例如MAST，SHEEPS，NASTRAN，ABAQUS等。

这些工具包给工程和科学研究领域带来了很大的便利，可以模拟各种复杂的力学问题，以解决工程设计和科学模拟中的实际问题。

1990年至2000年发展迅速，有限元分析有了长足的发展。

当时，工程应用有限元分析的主要领域是飞机工程，结构工程，机械工程，材料力学，能源工程和结构振动分析等。

其中，飞机结构工程是有限元法应用的一个比较重要的领域，从复杂的应变分析到精细的振。

有限元软件历史

FEA软件的发展历史有限元方法思想的萌芽可以追溯到18世纪末，欧拉在创立变分法的同时就曾用与现代有限元相似的方法求解轴力杆的平衡问题，但那个时代缺乏强大的运算工具解决其计算量大的困难。

Courant(1943)用最小势能原理和现代有限元法中的线性三角元求解st Venant弹性扭转问题，但未能引起足够重视。

波音飞机工程师Turner，Clough等人在1956年首次将有限元法用于飞机机翼的结构分析，吹响了有限元的号角，有限元这一名称在1960年正式提出。

有限元方法的理论和程序主要来自各个高校和实验室，早期有限元的主要贡献来自于Berkeley大学。

Berkeley的Ed Wilson发布了第一个程序，其他著名的研究成员有J.R.Hughes，Robert Tayor,Juan Simo等人，第一代的程序没有名字，第二代线性程序就是著名的SAP(structural analysis program)，非线性程序就是NONSAP。

位于洛杉矶的MSC公司自1963创立并开发了结构分析软件SADSAM，在1966年NASA招标项目中参与了Nastran的开发。

1969年NASA推出第一个Nastran 版本，MSC对原始的Nastran做了大量的改进并于1971年推出自己的专利版本MSC.Nastran，1983年股票上市并开始了一系列并购重组的活动。

第一批非线性有限元方法的主要贡献者有Argyris(1965)，Marcal和King(1967)，其中Pedro Marcal毕业于Berkeley大学，任教于Brown大学，于1969年创建了第一家非线性有限元软件公司MARC公司，在1999年被MSC公司收购。

K.J. Bathe是Ed Wilson在Berkeley的学生，后来在MIT任教，期间他在NONSAP 的基础上发表了著名的非线性求解器ADINA(Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis)，其源代码因为长时期广泛流传而容易获得。

非线性有限元介绍1

非线性有限元介绍1.为什么使用FEA解决有限元问题（1）理解设计的意图。

有限元分析（FEA）是研究不同力学设计的有力工具。

（2）降低产品成本和开发周期。

1) FEA通过以下方式降低产品成本和开发周期；2) 在模具制造前识别成型问题；3) 使模具制造返工成本最低；4) 提前识别设计中缺陷减小样机的成本；5) 使用最少的材料；（3）获得结果的唯一办法。

1) FEA可以用来预测产品在极端工况下的性能，这些在实验中无法复现；2) 能在设计阶段提前考虑这些工况。

（4）很多工况在设计阶段无法预料。

2.收敛定义（1）在有限元中收敛有多重意义：1) 网格收敛；2) 时间积分精度；3) 非线性程序收敛；4) 求解精度；（2）网格收敛1) 增加模型单元数量会使仿真解趋于解析解。

网格收敛对线性和非线性问题都适用；在Abaqus中使用H网格自适应技术；2)进一步加密网格时，结果变化很小或不变时，认为网格达到收敛。

3)网格收敛规则的例外：网格奇异解；材料损伤累计在模型特定区域的局部问题；在Abaqus中使用H自适应网格技术；Abaqus提供特殊技术来减小网格依赖性，解决材料软化局部影响。

4)Abaqus提供评估网格收敛工具。

在打印输出文件（.dat）和结果文件（.fil）输出的节点（SJP）处应变跳变。

5)Abaqus后处理云图设置。

应力云图；不连续云图。

6)自适应网格误差设计。

见Abaqus/Standard 自适应网格课程介绍。

（3）瞬态问题时间积分精度。

对于具有物理时间尺度的瞬态问题，Abaqus提供用户定义参数，以控制对相关方程的积分精度：半增量容差。

1)评估当前增量中途点的最大不平衡力；2)一个增量中允许的最高温度变化；3)增量中根据开始和结束速率条件计算出的蠕变应变增量的最大容差。

（4）非线性求解收敛：见后续。

（5）求解精度。

获得精确解需要满足以下条件：准确解需要工程经验来建立合适有限元模型：材料、载荷、边界和求解程序。

非线性有限元读书报告

非线性有限元读书报告1 对张量分析及其在结构非线性力学和有限元中应用的认识。

张量分析将张量中的每一项的计算过程（这些计算过程可能是相似的）用张量之间的计算方法代替，并统一，提供了一种更加方便的计算方法。

张量标记中，指标不出现，因此张量标记的表示是独立于坐标系统的，并且可以用于笛卡尔坐标系，柱坐标系，曲线坐标等。

如同矩阵一般，或者说张量就是矩阵的更一般的形式，而矩阵是二维的张量。

此外，在张量标记中的方程非常容易记忆。

2 对各种应变、应力张量和材料本构关系的认识。

本段回答除本课程讲义外大部分参考文献[1] 2.1 应变张量为了使刚体运动时，特别是刚体转动时，应变度量为0，工程应变张量被抛弃了。

根据采用连续介质力学中的欧拉（Eulerian ）方法或拉格朗日方法（Lagrangian ），得到的应变分别为阿尔曼西（Almansi ）应变（或称欧拉应变）张量（E ij ε）与格林（Green ）应变（或称拉格朗日应变）张量（G ij ε），它们与工程应变（或称柯西小应变张量）（此处记为ij ε）均不相同。

三者的几何方程表达式为：阿尔曼西（Almansi ）应变（或欧拉应变）张量：()11,,,,11()22E ij ij ki kj i j j i k i k j F F u u u u εδ--=-=+-；格林（Green ）应变（或拉格朗日应变）张量：(),,,,11()22G ij ki kj ij i j j i k i k j F F u u u u εδ=-=++；工程应变（柯西小应变）张量：,,1()2ij i j j i u u ε=+。

其中u 为位移，ij F 为变形梯度矩阵，即i ij j x F X ∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦另外，阿尔曼西（Almansi ）应变（或欧拉应变）张量（Eij ε）和格林（Green ）应变（或拉格朗日应变）张量（Gij ε）之间的转换关系为： 1122G Ekl ik jl ijF F εε--= 其中i ij j x F X ∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦，x 为欧拉坐标，X 为拉格朗日坐标。

非线性有限元分析报告

非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。

但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。

对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。

这类问题的解决通常有两种途径。

一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。

但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。

因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。

特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。

已经发展的数值分析方法可以分为两大类。

一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。

其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。

但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。

另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。

如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。

诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。

但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。

1960年，R.W.CLOUGH发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。