图形的展开与折叠解题思路与点评
展开与折叠(3种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
展开与折叠（3种题型）【知识梳理】一．几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．二．展开图折叠成几何体通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．三．专题：正方体相对两个面上的文字（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．【考点剖析】一．几何体的展开图（共9小题）1．（2022秋•江汉区期末）下列平面图形中，是棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．【分析】依据棱柱的所有的面的形状以及位置，即可得到棱柱的表面展开图．【解答】解：A．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误；B．该图是棱柱表面展开图，故本选项正确；C．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误；D．该平面图形不能围成棱柱，能围成圆柱，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了几何体的展开图以及棱柱的结构特征，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．2．（2022秋•南京期末）如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点B重合的点为（）A．点C和点D B．点A和点E C．点C和点E D．点A和点D【分析】根据图形，把正方体展开图折叠成正方体，观察得到重合的点．【解答】解：在这个正方体中，与点B重合的点为点C和点D．故选：A．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握折叠后的正方体的图形是关键．3．（2022秋•莲湖区期末）诗语同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多3cm，高是2cm．（1）求长方体盒子的长和宽．（2）求这个包装盒的体积．【分析】（1）利用图中关系首先求出宽，然后求出长；（2）用体积公式即可．【解答】解：（1）宽为：（14﹣2×2）÷2＝5（cm），长为：5+3＝8（cm）；（2）8×5×2＝80（cm3）．【点评】本题考查的是几何体的展开图，解题的关键是求出长和宽．4．（2022秋•鹤壁期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为12cm．（1）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？（2）若1平方米硬纸板价格为元，则制作10个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）【分析】（1）根据长方体的表面积公式计算即可；（2）根据题意列式计算即可．【解答】解：（1）由题意得，2×（12×6+12×6+6×6）＝360cm2；答：制作这样的包装盒需要360平方厘米的硬纸板；（2）360÷10000×5×10＝1.8元，答：制作10个这样的包装盒需花费1.8元钱．【点评】本题考查了几何体的表面积，正确的计算出长方体的表面积是解题的关键．5．（2022秋•和平区期末）某校积极开展文明校园的创建活动，七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有种添加方式．【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【解答】解：“收”字分别放在“垃”“圾”“分”“类”下方均可成完整的正方体展开图，所以有4种添加方式．故答案为：4．【点评】本题主要考查了正方体的展开图特点，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的关键．6．（2022秋•江阴市期末）如图是一个正方体纸盒，下面哪一个可能是它的表面展开图（）A．B．C．D．【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．B，D与此不符，所以错误；再观察3个图案所在的位置，而选项C不符，正确的是A．故选：A．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7．（2022秋•二道区校级期末）图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同．【分析】依据正方体展开图的特征进行判断，即可得到3种不同的正方体展开图．【解答】解：如图所示：（答案不唯一）【点评】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的结构特点．8．（2022秋•伊川县期末）如图，是一个几何体的表面展开图：（1）请说出该几何体的名称；（2）求该几何体的表面积；（3）求该几何体的体积．【分析】（1（2）依据长方体的表面积等于六个面面积之和即可得出结论；（3）依据体积计算公式，即可得到该几何体的体积．【解答】解：（1）该几何体的名称是长方体；（2）该几何体的表面积为：2×（2×3+2×1+1×3）＝22（平方米）；（3）该几何体的体积为：2×3×1＝6（立方米）．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是关键．9．（2022秋•仪征市期末）将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开条棱．【分析】根据无盖正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着，即可得出答案．【解答】解：∵无盖正方体有5个表面，两个面共一条棱，共8条棱，要展成如图所示图形必须4条棱连接，∴要剪8﹣4＝4条棱，故答案为：4．【点评】此题主要考查了正方体的展开图的性质，根据展开图的性质得出要展成如图所示图形必须4条棱连接，是解题关键．二．展开图折叠成几何体（共9小题）10．（2022秋•沈河区期末）如图，如果裁掉一个正方形后能折叠成正方体，那么能裁掉的是（）A．①B．②和③C．③和④D．②或③或④【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由正方体的展开图可知，去掉②或③或④原图都可以折叠成正方形，故选：D．11．（2022秋•高新区期末）下列图形经过折叠不能成为一个封闭的正方体的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由题意知，图形不能折叠成正方体，故选：D．【点评】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．12．（2022秋•青秀区校级期末）如图平面图形不能折成无盖长方体盒子的是（）A．B．C．D．【分析】根据长方体展开图得出结论即可．【解答】解：由题意知，图形不能折成无盖长方体盒子，故选：C．【点评】本题主要考查长方体展开图的知识，熟练掌握长方体展开图的知识是解题的关键．13．（2022秋•晋江市期末）图①是正方体的表面展开图，该正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体，在图①标注的顶点A、B、C、D中，与点P重合的顶点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】先找出下面，然后折叠，找出正方形ABCD位于正方体的哪个面上，点P所在正方形位于正方体的哪个面上，即可找出与点P重合的顶点．【解答】解：如图：以正方形1为下面，将正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体时，正方形ABCD位于正方形的上面，点P所在正方形在前面，点B与点P重合．故选：B．【点评】本题考查正方形的展开图和空间想象能力，关键是找出或想象出折叠前后图形的关系．14．（2022秋•秦淮区期末）下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）A．B．C．D．【分析】根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；B、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；C、底面有2个三角形，不能折叠围成一个三棱柱，故本选项错误；D、展开图有3个底面，不能围成三棱柱，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且是全等的三角形，15．（2022秋•姜堰区期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．如图是他制作的一个半成品的平面图：（1）在中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子；（2）已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为56cm，求这个长方体盒子的体积．【分析】（1）根据长方体的展开图补充图形即可求解；（2）根据题意，设长方体的高为a，则宽为2a，长为4a，根据长方体所有棱长的和为56cm，列出方程，进而根据体积公式即可求解．【解答】解：（1）如图所示，（2）设长方体的高为acm，则宽为2acm，长为4acm，根据题意得，4（a+2a+4a）＝56（cm），解得：a＝2，∴这个长方体的高为2cm，宽为4cm，长为8cm，∴这个长方体盒子的体积为：2×4×8＝64（cm3）．【点评】本题考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．16．（2022秋•宛城区校级期末）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b （cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．【问题解决】（1）若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面积为；【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b （cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．【拓展延伸】（2）若a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒的体积为；（3）现有两张边长a均为30cm的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若b＝5cm，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？【分析】（1）由折叠可得底面是边长为6cm的正方形，进而求出底面积即可；（2）由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为a﹣2b，，b，根据体积公式进行计算即可；（3）当a＝30cm，b＝5cm时，分别求出按图1，图2的折叠方式所得到的长方体的体积即可．【解答】解：（1）如图1，若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面是边长为12﹣3×2＝6（cm）的正方形，因此面积为6×6＝36（cm2），故答案为：36cm2；（2）如图2，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来可得到长为a﹣2b，宽为，高为b的长方体，当a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒长为12﹣2×2＝8（cm），宽为＝4（cm），高为2cm，所以体积为8×4×2＝64（cm3），故答案为：64cm3；（3）当a＝30cm，b＝5cm时，按图1作无盖的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（30﹣5×2）×5＝2000（cm3），按图2作的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（）×5＝1000（cm3），2000÷1000＝2（倍），答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键．17．（2022秋•昆明期末）图（1）和图（2）中所有的正方形都相同，将图（1）的正方形放在图（2）中的①②③④⑤某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A．①②B．②③C．③④D．②⑤【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的②⑤的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．故选：D．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．熟记正方体的11种展开图是解题的关键．18．（2022秋•阳泉期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题：观察判断：小明共剪开了条棱；动手操作：现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形；解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是880cm，求这个纸盒的体积．【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．【解答】解（1）小明共剪了8故答案为：8．（2）如图，四种情况．（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，∴4（a+5a+5a）＝880，解得a＝20，∴这个长方体纸盒的体积为20×100×100＝200000（立方厘米）．【点评】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．三．专题：正方体相对两个面上的文字（共7小题）19．（2022秋•泗阳县期末）动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（）A．1B．2C．3D．6【分析】根据图形以及数字的摆放，第一图可得6的下面为1，1的右边为4，第二个图可知4的下面是5，5的右边是2【解答】解：根据图形以及数字的摆放，第一图可得6的下面为1，1的右边为4，第二个图可知4的下面是5，5的右边是2，将正方形展开如图所示，∴5的对面是6，故选：D．【点评】本题考查了正方体展开图，相对面上的字，注意数字的摆放是解题的关键．20．（2022秋•溧水区期末）如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数相等，则a+b+c ＝．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：由图可知，c+1＝3，1+b＝1，a＝﹣2，所以a＝﹣2，b＝0，c＝2，所以a+b+c＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，解答本题的关键在于注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．21．（2022秋•高邮市期末）一个正方体的6个面上分别标有字母a、b、c、d、e、f．若甲、乙两位同学分别在f、e朝上时，看到的另两个字母如图，则b对面的是．【分析】根据第一个图形和第二个图形中都含有d的面，即可判断．【解答】解：由题意可知d字母所在面相邻的面上的字母分别为a、c、e、f，则d的对面是b．即b对面的是d．故答案为：d．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，同时也考查了空间想象能力和推理能力．正确记忆立方体的特点是解题关键．22．（2022秋•川汇区期末）党的二十大报告提出，要以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴．将“中国式现代化”这六个字分别写在一个正方体的六个表面上，如图是它的一种展开图，则与“式”相对的字是（）A．中B．国C．现D．代【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上与“式”字相对的面上的汉字是“中”．故选：A．【点评】本题考查了正方体的展开图形，掌握相对面进行分析及解答是关键．23．（2022秋•青神县期末）如果一个骰子相对两面的点数之和为7，它的表面展开图如图所示，则下面判断正确的是（）A．A代表B．B代表C．C代表D．B代表【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，A与点数是1的对面，B与点数是2的对面，C与点数是4的对面，∵骰子相对两面的点数之和为7，∴A代表的点数是6，B代表的点数是5，C代表的点数是3．故选：A．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握从相对面入手是关键．24．（2022秋•汉台区期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为7，求x﹣y+z的值．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．【解答】解：由图可知：z与4相对，y与﹣2相对，x与12相对，由题意得：z+4＝7，y+（﹣2）＝7，x+12＝7，∴z＝3，y＝9，x＝﹣5，∴x﹣y+z＝﹣5﹣9+3＝﹣11，∴x﹣y+z的值为﹣11．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．25．（2022秋•青神县期末）一个立方体的六个面上分别标上一至六点（一个小圆表示一点，每个面上的点数不同），然后将完全一样的四个立方体摆放成如图样式的一个长方体，我们能看到的面上的点数如图所示，则长方体底面上的点数之和是．【分析】先判断出相对的面的点数，再进行计算即可．【解答】解：由题意可知，“3点”的面的邻面有“2点、6点、4点、5点”，所以与“3点”相对的面的点数为“1点”；因为“4点”的面的邻面有“6点、5点、3点、1点”，所以与“4点”相对的面的点数为“2点”；因为“6点”的面的邻面有“3点、1点、4点、2点”，所以与“6点”相对的面的点数为“5点”；所以长方体底面上的点数之和是：4+1+5+2＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，关键是弄清每个骰子六面点数之和是几，每个骰子看见面的点数之和是几．【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（2022•河南三模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是（）A．老B．南C．河D．家【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．【解答】解：在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是“家”，故选：D．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键．2．（2022•金坛区二模）某几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（）A．圆柱B．长方体C．四棱锥D．五棱锥【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．【解答】解：这个几何体由四个三角形和一个正方形围成，故这个几何体为四棱锥．故选：C．【点评】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．3．（2022•梧州模拟）下列在立体图形中，它的侧面展开图是扇形的是（）A．正方体B．长方体C．圆柱D．圆锥【分析】根据常见立体图形的侧面展开图判断即可得出答案．【解答】解：A选项，正方体的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；B选项，长方体的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；C选项，圆柱的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；D选项，圆锥的侧面展开图是扇形，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形是解题的关键．4．（2022•丰台区二模）如图，下列水平放置的几何体中，侧面展开图是扇形的是（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的展开图：三棱柱的侧面展开图是三个长方形；四棱柱的侧面展开图是四个长方形；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；可得答案．【解答】解：AB、侧面展开图是四个长方形，故此选项不符合题意；C、侧面展开图是一个长方形，故此选项不符合题意；D、侧面展开图是扇形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，记住常用几何体的侧面展开图是解题的关键．二．填空题（共3小题）5．（2022•晋中一模）“双奥之城”指既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．2008年北京夏季奥会之后，2022年北京冬季奥运会成功举办，使北京成为世界上首座“双奥之城”．下列正方体展开图的每个面上都标有一个汉字，把它们折成正方体后，与“双”字相对面上的汉字是．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．【解答】解：与“双”字相对面上的汉字是城，故答案为：城．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．6．（2021秋•息县期末）根据表面展开图依次写出立体图形的名称：、、．【分析】根据表面展开图的形状判断即可．【解答】解：圆锥的表面展开图是一个扇形和圆，四棱锥的表面展开是一个四边形和四个三角形，三棱柱的表面展开是三个长方形和两个三角形．【点评】本题考查立体图形的表面展开，熟悉各几何体表面展开的形状是求解本题的关键．7．（2021秋•绵阳期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“y”一面与相对面上的代数式相等，则有“xy2”一面与相对面上的代数式的和等于0（用数字作答）．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端对面，判断即可．【解答】解：由图可知：y与2y﹣3相对，xy2与﹣3xy相对，由题意得：y＝2y﹣3，∴y＝3，∴xy2+（﹣3xy）＝9x+（﹣9x）＝0，∴有“xy2”一面与相对面上的代数式的和等于0，故答案为：0．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．三．解答题（共5小题）8．（2021秋•武功县期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为7，求x﹣y+z的值．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．【解答】解：由图可知：z与4相对，y与﹣2相对，x与12相对，由题意得：z+4＝7，y+（﹣2）＝7，x+12＝7，∴z＝3，y＝9，x＝﹣5，∴x﹣y+z＝﹣5﹣9+3＝﹣11，∴x﹣y+z的值为﹣11．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．9．（2021秋•临汾期末）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：任务：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置是；A．字母B B．字母A C．字母R D．字母T（2）若在图③中，网格中每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积．【分析】（1）根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，判断即可；（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可解答．【解答】解：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置：字母B，故答案为：A；（2）由题意得：2×3×2+2×3×1+2×2×1＝12+6+4＝22，∴包装盒的表面积为22．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据长方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．10．（2021秋•渠县期末）如图，是底面为正方形的长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么：（1）与N重合的点是哪几个？（2）若AB＝3cm，AH＝5cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？【分析】（1）把展开图折叠即可得出答案；。
[整理版]展开与折叠评课
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《展开与折叠》一课的评课宋立军接下来由我对刘运辉老师执教的这节《展开与折叠》数学课作以简要评述。
这一节课总体来看是比较成功的。
师生配合默契；教师引导得当，学生活动时间也较充分；教师语言精练，学生活动的成果也较多。
较好的完成了本节课的教学任务。
我认为本节课有以下亮点：1、教学目的明确。
这节课的课题是《展开与折叠》，一看这个课题，使人很容易与手工课联系到一起，如果教师对课堂把持不住的话，很容易上成一节手工课。
而刘运辉老师则对课堂的重难点与教学方法的处理上做得恰到好处。
首先教师能让学生带着问题操作。
数学课上的每一个活动的设置都是有目的的。
学生的活动过程，不是单单为了活跃课堂气氛，目的在于一是让学生主动操作，自己亲自参与揭示知识的过程，并能用所获取的数学知识解决有关问题。
二是通过活动的操作过程，培养学生的动手能力、合作精神等目的，并能逐步学会思考问题的方式方法。
教师在布置一个操作任务“你们将正方体展开吧”，接着教师进一步提了“展开图的形状一样吗？”“会有多少种展开图类型呢？”等问题，这样做的好处显而易见的，让学生的每一个活动、每一个步骤都有目的。
操作中加点适当的指导，带点适当的总结。
方法上有指导，结论上有总结。
学生的思维毕竟有限，适当的点拨有利于他们思维的拓展。
当教师发现学生所展示的结果有不少是重复时，带领学生一起将重复的拿掉，就是结论的总结。
若当时能带领学生一起发现已有的的图形的展开方法，就在不知不觉中提示了展开方法，即改变剪正方体的棱的方向、顺序，就能得到不同的平面展开图。
2、教学活动收放自如学生是数学活动过程中的主体，但并不能放任自流任由学生“发现”。
毕竟依靠一节45分钟的课堂活动让学生“发现”知识是不现实的。
其实数学活动过程是信息交换的动态过程，而不是静态的。
对这个过程的控制，主要是依据教师的信息和学生的信息反馈情况，既有“放”的过程又有“收”的过程。
“放”是让学生独立思考、积极主动地去探索知识是怎样形成的，“收”依靠教师启发指导。
立体几何展开与折叠核心解析
立体几何展开与折叠核心解析北师大版《展开与折叠》精华版主要涉及几何学中立体图形与平面图形之间的转换，特别是正方体和棱柱的展开与折叠。
以下是对该内容的详细归纳：一、正方体的展开与折叠1.正方体的展开图o正方体有11种不同的展开图，这些展开图可以根据其形状特点进行分类：●1-4-1型：共6种展开图，特点是由1个正方形、4个正方形和再1个正方形组成，中间4个正方形排成一行。
●2-3-1型：共3种展开图，特点是由2个正方形、3个正方形和再1个正方形组成，且2个正方形在3个正方形的两端。
●2-2-2型：只有1种展开图，由3行2列的正方形组成，且每行正方形都相邻。
●3-3型：也只有1种展开图，由2行3列的正方形组成，每行有3个正方形。
2.正方体展开的操作o要将一个正方体展开成一个平面图形，通常需要沿7条棱剪开。
o展开时，需要注意保持各面的相对位置关系，以便在折叠时能够恢复成立方体。
3.判断图形能否折成正方体o通过观察给定的平面图形，判断其是否包含上述11种展开图中的一种或变形。
o注意检查图形的边数、形状以及各边之间的连接方式是否符合正方体展开图的特征。
二、棱柱的展开与折叠1.棱柱的定义o棱柱是一种具有上下两个平行、相等多边形底面，侧面为矩形的立体图形。
根据底面多边形的边数，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
2.棱柱的展开图o棱柱的展开图包括底面和侧面。
底面保持原样，侧面则展开为与底面边数相等的矩形。
o例如，四棱柱的展开图包括一个矩形底面和四个矩形侧面。
3.棱柱的折叠o将棱柱的展开图按照正确的位置关系折叠起来，可以恢复成立体图形。
o在折叠过程中，需要确保底面和侧面的相对位置正确，以及各侧面之间的连接紧密无缝隙。
三、教学建议与活动设计1.创设情境o通过观察生活中的正方体形状的盒子等实物，引导学生思考这些物体展开后的形状。
2.动手操作o组织学生动手展开正方体或棱柱的模型，观察并记录其展开图的形状和特点。
o小组合作交流，展示各自的展开图并进行分类讨论。
小学数学点知识归纳简单的形的折叠与展开
小学数学点知识归纳简单的形的折叠与展开折纸是小学数学教育中常用的教学方法之一，通过折叠纸张，可以帮助学生理解形状、空间关系以及数学问题的解决方法。
本文将对小学数学中常见的几种简单形状的折叠与展开进行归纳总结。
一、正方形的折叠与展开正方形是一种具有四个相等边长和四个直角的特殊四边形。
在进行正方形折叠时，我们可以按照以下步骤进行：1. 取一张正方形纸张，将其对角线对折，使两个对角线的交点重合。
2. 将对角线交点向下方折叠至正方形的下边中点，使得纸张对折线与下边平行。
3. 将左下角和右下角分别向上折叠至对角线上，使纸张呈现三角形状。
4. 最后，将纸张打开，即可折叠出一个正方形。
展开正方形的方法与折叠相反，按照以下步骤进行：1. 取一张折叠好的正方形，将其对角线对折，使两个对角线的交点重合。
2. 然后将纸张展开，即可得到正方形。
二、矩形的折叠与展开矩形是一种具有四个直角但不具有四个相等边长的四边形。
折叠与展开矩形可以通过以下方法实现：1. 取一张矩形纸张，将其一条长边对折，使得两条长边的折痕重合。
2. 将纸张展开，并将其中两条短边向内折叠至折痕处，使得纸张呈现出折痕垂直于长边的形状。
3. 最后，将已折叠好的纸张再次对折，即可折叠成一个矩形。
展开矩形与折叠相反，按照以下步骤进行：1. 取一张折叠好的矩形纸张，将其展开。
2. 然后将其中两条短边向外展开，使纸张呈现出矩形的形状。
三、三角形的折叠与展开三角形是一种具有三条边和三个角的多边形。
折叠与展开三角形可以按照以下方法进行：1. 取一张正方形或矩形纸张，将其中一条边与另一条边平行地对折，使得两条边重合。
2. 将纸张沿着另外两条边的交点作为折痕，在交点处向内折叠。
3. 最后，将已折叠好的纸张展开，即可得到一个三角形。
展开三角形的方法与折叠相反，按照以下步骤进行：1. 取一张折叠好的三角形，将其展开。
2. 然后将纸张沿着折痕处向外展开，使纸张呈现出正方形或矩形的形状。
五年级下册数学能力提升之立体形的展开与折叠
五年级下册数学能力提升之立体形的展开与折叠立体形的展开与折叠在数学学科中，立体形是一个重要且有趣的概念。
我们常常可以看到各种各样的立体形，比如长方体、正方体、球体等等。
在五年级下册的数学学习中，我们将进一步学习立体形的展开与折叠，这将提高我们的空间想象能力和数学解题能力。
一、立体形的展开立体形的展开指的是将一个三维的图形展开成一个平面图形，使我们可以更加清晰地观察立体形的各个面和构造。
展开后的平面图形被称为该立体形的展开图。
以长方体为例，我们可以将一个长方体展开成两个长方形和四个正方形，将其连接起来，形成一个平面图形。
通过展开，我们可以更好地观察长方体的不同面和边界。
同样地，我们还可以将其他立体形进行展开。
通过展开，我们可以更好地理解立体形的特性和性质，为后续的数学解题打下基础。
二、立体形的折叠立体形的折叠指的是将一个平面图形折叠成一个三维的立体形。
通过折叠，我们可以将平面上的图形变换为一个立体的实体，使其更加立体感十足。
以折纸艺术为例，我们可以将一个纸片上的平面图形进行折叠，形成各种各样的立体形状，比如立方体、圆锥体等等。
通过折叠，我们可以更好地感受和理解立体形的形态和结构。
三、立体形展开与折叠在数学中的应用1. 图形面积计算：通过将各个立体形进行展开，我们可以更方便地计算出其各个面的面积。
比如，通过将长方体展开成一个平面图形，我们可以直接计算出其各个面的面积，并进行相应的数学操作。
2. 图形体积计算：通过将各个立体形进行折叠，我们可以更加直观地计算出其体积。
比如，通过将一个纸片折叠成一个立方体，我们可以根据直观的体积来进行体积计算。
3. 空间想象与解题能力：通过展开与折叠立体形，我们可以培养和提高自己的空间想象和解题能力。
通过观察立体形的展开图，我们可以更好地理解其结构和特性，从而解决与立体形相关的数学问题。
在五年级下册的数学学习中，立体形的展开与折叠是一个非常重要的内容。
通过学习和掌握立体形的展开与折叠，我们可以更加深入地理解立体形的概念和属性，并有效提升我们的数学能力。
图形的展开与折叠解题思路与点评
图形的展开与折叠解题思路与点评新课程标准要求同学们对空间图形有较准确的认识和感受，具体地说，包含三个方面：（1）能用平面展开图描述出该立体图形；（2）能由立体图形画出至少一种其平面展开图，设计较简单实物的平面图纸；（3）能判断一个图形是否能围成一个立体图形。
因此，切实掌握图形的展开与折叠势在必行，现解读如下：例1.如图1，一个多面体的展开图中，每个面内的大写字母表示该面，被剪开的棱边所注的小写字母可表示该棱。
（1）说出这个多面体的名称；（2）写出所有相对的面；（3）若把这个展开图折叠起来成立体时，哪些被剪开的棱将会重合？（图1）思路：选取面X相对固定，将面R，面Y想像折起，再遮挡面Q，Z，P即成。
解答：（1）这个多面体是正方体。
（2）相对的面有三对：P与X，Q与Y，R与Z.（3）将会重合的棱有：a与h，b与i，c与n，d与e，f与g，j与k，m与l.点评：这个问题的解决，无疑对同学们形成良好的空间观念是一个很好的锻炼。
例2.如图2是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了字母，请回答：如果F 在前面，从左面看是B，那么哪一面会在上面？（图2）思路：这里有两种折法：一种向里折，一种向外折。
解答：E或C会在上面。
点评：一个平面展开图，折成立方体的方式有两种，一种向里折，一种向外折。
此题往往易忽略其中一种，造成漏解。
这不但培养了同学们的空间观念，而且告诫同学们思考问题要全面。
例3.将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，回答下列问题：（1）你能设法得到图3中的平面图形吗？（图3）（2）你还能得到哪些平面图形？与同伴进行交流。
（3） 图4中的图形经过折叠，能否围成一个正方体？（图4）思路：由于一个正方体有12条棱、6个面，将其表面展开成一个平面图形，其面与面之间相连的棱（即未剪开的棱）有5条，因此需要剪开7条棱。
（1）中的两个平面图形都可由一个正方体沿着某些棱剪开展成，可在原正方体上标出上、下底面，根据需要剪开7条棱即可；（2）将一个正方体沿着某些棱剪开后，可得到很多平面图形，所以答案很多；（3）有两种途径：一是动手操作，仔细观察；二是先假定出上、下底，通过想象亲自折一折，看能否折成正方体。
引导小学生理解空间图形的展开和折叠
引导小学生理解空间图形的展开和折叠空间图形的展开和折叠是小学数学中一个重要的概念，它有助于培养孩子的空间想象力和逻辑思维能力。
在教学中，引导小学生理解空间图形的展开和折叠有着重要的意义。
首先，让我们来了解一下什么是空间图形的展开和折叠。
空间图形是指在三维空间中的立体图形，如立方体、长方体、正方体等。
而展开和折叠则是将这些立体图形展开成平面图形，或将平面图形折叠成立体图形的过程。
通过展开和折叠，我们可以更直观地观察和理解空间图形的各个面、边和顶点之间的关系。
在教学中，可以通过一些具体的实物来引导小学生理解空间图形的展开和折叠。
比如，可以使用一些纸板或纸片来制作立体图形，然后让学生亲自动手将其展开成平面图形或折叠成立体图形。
这样一来，学生可以通过亲身操作，更加深入地理解空间图形的展开和折叠过程。
在引导学生理解空间图形的展开和折叠时，还可以结合一些生活中的例子进行讲解。
比如，我们可以用一个纸箱子来说明立方体的展开和折叠。
首先，将纸箱子展开，可以看到它由六个面组成，每个面都是一个正方形。
然后，将纸箱子重新折叠起来，学生可以观察到每个面是如何相互连接的，从而形成一个立方体。
通过这样的实例，学生可以更好地理解空间图形的展开和折叠过程，同时也能够将数学知识与生活实际联系起来。
除了实物和生活例子，还可以通过一些图形的变换来引导学生理解空间图形的展开和折叠。
比如，可以使用一些图形拼图游戏，让学生根据给定的图形拼图将其展开成平面图形或折叠成立体图形。
这样一来，学生可以通过游戏的方式进行学习，提高他们的兴趣和积极性。
在引导学生理解空间图形的展开和折叠时，还可以结合一些创意活动来进行教学。
比如，可以让学生设计自己喜欢的立体图形，并将其展开成平面图形，然后再根据展开后的平面图形来折叠成立体图形。
这样一来，学生不仅能够加深对空间图形展开和折叠的理解，还能够培养他们的创造力和想象力。
总之，引导小学生理解空间图形的展开和折叠是一项重要的教学任务。
北师大版七年级数学上册1.2《图形的展开与折叠》解题思路与点评
《图形的展开与折叠》解题思路与点评新课程标准要求同学们对空间图形有较准确的认识和感受，具体地说，包含三个方面：（1）能用平面展开图描述出该立体图形；（2）能由立体图形画出至少一种其平面展开图，设计较简单实物的平面图纸；（3）能判断一个图形是否能围成一个立体图形。
因此，切实掌握图形的展开与折叠势在必行，现解读如下：例1.如图1，一个多面体的展开图中，每个面内的大写字母表示该面，被剪开的棱边所注的小写字母可表示该棱。
（1）说出这个多面体的名称；（2）写出所有相对的面；（3）若把这个展开图折叠起来成立体时，哪些被剪开的棱将会重合？（图1）思路：选取面X相对固定，将面R，面Y想像折起，再遮挡面Q，Z，P即成。
解答：（1）这个多面体是正方体。
（2）相对的面有三对：P与X，Q与Y，R与Z.（3）将会重合的棱有：a与h，b与i，c与n，d与e，f与g，j与k，m与l.点评：这个问题的解决，无疑对同学们形成良好的空间观念是一个很好的锻炼。
例2.如图2是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了字母，请回答：如果F 在前面，从左面看是B，那么哪一面会在上面？（图2）思路：这里有两种折法：一种向里折，一种向外折。
解答：E或C会在上面。
点评：一个平面展开图，折成立方体的方式有两种，一种向里折，一种向外折。
此题往往易忽略其中一种，造成漏解。
这不但培养了同学们的空间观念，而且告诫同学们思考问题要全面。
例3.将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，回答下列问题：（1）你能设法得到图3中的平面图形吗？（图3）（2）你还能得到哪些平面图形？与同伴进行交流。
（3）图4中的图形经过折叠，能否围成一个正方体？（图4）思路：由于一个正方体有12条棱、6个面，将其表面展开成一个平面图形，其面与面之间相连的棱（即未剪开的棱）有5条，因此需要剪开7条棱。
（1）中的两个平面图形都可由一个正方体沿着某些棱剪开展成，可在原正方体上标出上、下底面，根据需要剪开7条棱即可；（2）将一个正方体沿着某些棱剪开后，可得到很多平面图形，所以答案很多；（3）有两种途径：一是动手操作，仔细观察；二是先假定出上、下底，通过想象亲自折一折，看能否折成正方体。
解展开与折叠题的策略
解展开与折叠题的策略展开------立体图形平面化；折叠------平面图形立体化，这一展一折正是平面和空间的相互转化，这类问题有时同学们感到非常棘手，这里介绍几种常用的解题思维策略，供参考．一、画直观图准确地画出直观图形，有利于平面与空间的相互转化．例1．如图1，在正方体两个相距最远的顶点处有一只苍蝇B和蜘蛛A，蜘蛛可从哪条最短的路径爬到苍蝇处试说明你的理由．分析：我们可以借助正方体的展开图找到解题的办法，由于正方体的展开有不同的方法，因而从A到B可用6种不同的方法选取最短的路径，但每条路径都通过连接正方体两个顶点的棱的中点．解：因为蜘蛛只能在正方体的表面爬行，所以只要找到这个正方体的展开图，应用“两点之间，线段最短”就可确定最短路径（如图1）．二、以静制动寻找折叠前后图形的不变量，往往就是解题的灵魂．例2．将一块正六边形硬纸片（图2（1）），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2（2）），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图2（1）中的四边形AGA/H，那么∠GA/H 的大小是度．图2（1）图2（2）解：折叠前A'H⊥AH，A'G⊥AG，折叠后这些垂直关系都没有发生变化，所以∠AHA'=∠AGA'=90°，又∠A为正六边形的内角，故∠A=120°，在四边形AGA 'H 中，∠GA 'H=360°-120°-2×90°=60°．三、抓特征量正确理解平面图形中的一些特征量，使问题得以顺利解决．例3．如图3（1），在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图3（2）所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r ，扇形半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ）．A ．R =2rB ．R =94r C ．R =3r D ．R =4r解：由题意得，欲使剪下的圆形和扇形恰好围成圆锥模型，圆周长必须等于扇形的弧长，有1224r R ππ=⨯，即14r R =，故选（D ）． 四、动手操作在空间思维受阻的情况下，动手操作正是新课标、新理念的体现．例4．在正方体的表面画有如图4（1）所示的粗线，图4（2）是其展开图的示意图，但只在A 面上画有粗线，那么将4（1）中剩余两个面中的粗线画入图4（2）中，画法正确的是（如果没把握，还可以动手试一试呦！）．解：此题若展开空间想象，难度很大，倘若动手操作，先做一个如图4（2）所示的展开图，将其折叠成正方体，在正方体上画上如图4（1）所示的三条粗线，再展开后就得到如（A ）所示的展开图，故选（A ）． A 图4（2）A 图4（1）。
《展开与折叠》问题数学教案设计
《展开与折叠》问题數學教案設計主题：《展开与折叠》问题数学教案设计一、教学目标：1. 学生能够理解并掌握图形的展开和折叠的基本概念，包括正方形、长方形、圆形等基本图形的展开与折叠。
2. 通过实际操作，学生能够培养空间观念和动手能力。
3. 培养学生的观察力、想象力和创新能力。
二、教学重点与难点：重点：理解和掌握各种基本图形的展开与折叠的方法。
难点：理解和掌握三维图形的展开与折叠。
三、教学过程：1. 导入新课：教师可以通过展示一些实物模型（如纸盒、书本等），让学生观察并思考这些物体是如何由平面的纸张折叠而成的。
然后引导学生思考如何将这些立体的物体再次展平，引出今天的主题——《展开与折叠》。
2. 新课讲解：(1) 教师首先介绍什么是“展开”和“折叠”，并通过演示使学生直观地理解这两个概念。
(2) 接着，教师分别讲解正方形、长方形、圆形等基本图形的展开与折叠方法，并让学生进行实践操作。
(3) 最后，教师讲解三维图形的展开与折叠，引导学生通过想象和推理来理解和掌握这一部分内容。
3. 练习巩固：教师可以设计一些练习题，如画出某个立体图形的展开图，或者根据给定的展开图折叠成相应的立体图形，以帮助学生巩固所学知识。
4. 总结反馈：在课程结束时，教师可以让学生分享他们的学习体会，或者提出他们对这个主题的一些疑问或困惑，以便教师及时调整教学策略。
四、教学评价：教师可以通过观察学生在课堂上的参与度、完成练习的情况以及他们在总结反馈中的表现，来评价他们的学习效果。
五、教学反思：在课程结束后，教师应对自己的教学进行反思，思考哪些地方做得好，哪些地方需要改进，以便更好地提高教学效果。
以上就是《展开与折叠》问题数学教案的设计，希望对你有所帮助。
解密初中数学解题技巧之立体形的展开与折叠
解密初中数学解题技巧之立体形的展开与折叠数学是一门既有逻辑又有创造性的学科，其中立体几何是初中数学的重要内容之一。
在立体几何中，展开与折叠是解题的重要技巧之一。
本文将围绕这一主题展开。
一、展开的概念及方法在解决立体几何问题时，有时需要将立体形体展开成平面图形来进行分析与计算。
展开就是将一个立体形体在平面上按照一定规则展开，使之成为一个平面图形的过程。
展开后，我们可以更好地观察各个面的结构和关系，进而解决问题。
展开的方法主要有以下几种：1. 表面展开法：通过边沿的共边共点将立体形体展开。
2. 断口展开法：在立体形体上选择适当位置，然后将其切割成若干个部分，使得每个部分能够展开。
3. 考虑对称性：对于具有对称性的立体形体，可以利用对称性将其展开。
二、折叠的概念及技巧与展开相反，折叠是将一个平面图形折叠成一个立体形体的过程。
折叠可以将平面上的关系转化为空间中的关系，从而解决立体几何问题。
折叠的技巧主要有以下几点：1. 边线对折：将图形的边线按照一定关系对折，可以得到立体形体的边。
2. 角点对折：将图形的角点按照一定关系对折，可以得到立体形体的顶点。
3. 面对折：将图形的面按照一定关系对折，可以得到立体形体的面。
三、展开与折叠的应用举例为了更好地理解展开与折叠的技巧，我们来看几个具体的例子。
例1：展开与折叠的应用 - 正方体展开为平面图形假设有一个边长为a的正方体，我们将其展开为平面图形。
首先，我们将正方体的各个面按照一定规则展开，最后将展开后的各个面的边线进行连接，就可以得到一个包含正方形的平面图形。
例2：展开与折叠的应用 - 圆锥展开为扇形考虑一个圆锥，我们可以将其展开为扇形。
将圆锥绕着底面上的一条边旋转，就可以得到一个扇形。
在解题时，我们可以利用扇形的性质来解决问题。
例3：展开与折叠的应用 - 矩形展开为长方体将一个矩形的两个相对边折叠，使其形成一条立体的边，然后将其余两边折叠，可以得到一个长方体。
数学六年级形的折叠与展开技巧整理
数学六年级形的折叠与展开技巧整理在数学学习中，形的折叠与展开是一个有趣且实用的技巧。
通过巧妙地折叠和展开各种形状，我们可以发现形状之间的关系，并且更好地理解几何知识。
在本文中，将对一些数学六年级形的折叠与展开技巧进行整理，帮助大家更好地掌握这个技巧。
一、正方形的折叠与展开正方形是最简单的形状之一，让我们来看一下如何将正方形折叠与展开。
首先，取一个正方形纸张，然后按照以下步骤进行操作：1. 将纸张对角线A-B和C-D上的点A、B、C、D相连接，形成两个对角线。
2. 将纸张的顶角A和底角C对折，让它们重合。
3. 再将纸张的左侧角B和右侧角D对折，使它们重合。
4. 最后，展开纸张，你会发现一个正方形。
通过这个简单的步骤，我们可以将正方形进行折叠与展开，更好地理解正方形的性质。
二、长方形的折叠与展开接下来，我们来介绍长方形的折叠与展开技巧。
以一个长方形纸张为例，按照以下步骤进行操作：1. 将纸张顶部的一条边AB和底部的边CD对折，让它们重合。
2. 再将纸张的左侧边BC和右侧边AD对折，使它们重合。
3. 最后，展开纸张，你会发现一个长方形。
通过这个步骤，我们可以将长方形进行折叠与展开，并充分理解长方形的特性。
三、三角形的折叠与展开在介绍三角形的折叠与展开技巧前，我们先来了解一下常见的三角形类型：等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
接下来，以等腰三角形纸张为例，进行折叠与展开：1. 将纸张底部边AB和顶角C对折，让它们重合。
2. 然后，再将纸张的左侧边AC和右侧边BC对折，使它们重合。
3. 最后，展开纸张，你会发现一个等腰三角形。
通过这个步骤，我们可以将等腰三角形进行折叠与展开，并对三角形的性质有更深入的了解。
四、圆的折叠与展开圆是一种特殊的形状，虽然我们无法直接将圆折叠和展开，但是可以通过近似的方法来进行。
以下是一个简单的近似方法：1. 准备一个圆盘状的纸片。
2. 将纸片沿着圆盘的直径对折，让两边重合。
3. 然后，再将纸片沿着圆的半径对折，使它们重合。
小学数学中的立体形的展开和折叠学习立体形的展开和折叠方法
小学数学中的立体形的展开和折叠学习立体形的展开和折叠方法数学是一门需要理论与实践相结合的学科，而在小学数学中，立体形的展开和折叠是一项基础而重要的技能。
通过学习立体形展开和折叠的方法，孩子们可以更好地理解立体形的构成和性质，培养他们的空间想象力和逻辑推理能力。
本文将介绍小学数学中立体形的展开和折叠方法。
一、立体形的展开方法展开是指将一个立体形体积不变地展开成平面图形。
在小学数学中，常见的立体形包括长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
展开这些立体形的方法可以通过以下步骤进行：1. 确定立体形的各个面首先，我们需要观察立体形的不同面。
例如，对于一个长方体，我们可以确定它有6个面，其中包括上、下、前、后、左、右六个面。
通过认识和标记不同面，可以帮助孩子们更好地理解展开的过程。
2. 绘制立体形的展开图将立体形的每个面分别展开，用直线连接相邻的边，绘制出每个面的展开图。
确保每个面的边在展开图上是正确对应的。
3. 切割和折叠在绘制出展开图之后，我们需要将展开图按照边线进行切割，并根据需要将图形进行折叠。
这里需要注意的是，切割时需要确保每个面的展开图可以正确地相连，折叠时需要按照边线的方向进行。
通过以上步骤，我们就可以将一个立体形展开成平面图形。
这样一来，孩子们可以更好地观察和理解立体形的结构和属性。
二、立体形的折叠方法折叠是指将平面图形折叠成立体形。
与展开相反，折叠是在平面上进行的，需要孩子们运用几何知识和空间想象力。
1. 绘制平面图形首先，我们需要根据给定的平面图形绘制出其展开图。
确保图形中的各个边和角在展开图上是正确的。
2. 切割和折叠在绘制完成展开图之后，我们需要将其按照边线进行切割，然后折叠起来。
在折叠时需要注意角度和位置的准确把握，确保折叠后的形状与给定的立体形相符。
通过以上步骤，我们就可以将一个平面图形折叠成立体形。
通过折叠的方式，可以帮助孩子们更好地理解平面图形与立体形之间的转换关系。
总结：立体形的展开和折叠是小学数学中的重要内容。
立体图形的展开与折叠(教案)
立体图形的展开与折叠一、教学目标：1. 让学生了解和掌握立体图形的展开与折叠的基本概念和方法。
2. 培养学生的空间想象能力和动手操作能力。
3. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容：1. 立体图形的展开与折叠的基本概念。
2. 常见立体图形的展开与折叠方法。
3. 立体图形展开与折叠在实际生活中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：立体图形的展开与折叠的基本概念和方法。
2. 教学难点：立体图形展开与折叠的实际应用。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生清晰地了解立体图形的展开与折叠过程。
2. 采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3. 采用问题驱动法，引导学生主动探究和解决问题。
五、教学准备：1. 教师准备立体图形教具，如正方体、长方体、圆柱体等。
2. 学生准备剪刀、胶水等手工制作工具。
3. 教学课件和教案。
教案内容请提供具体的教学过程、教学活动、学生活动、教学评价等详细信息，以便我更好地参考和使用。
六、教学过程：1. 导入：教师通过展示生活中的立体图形，如包装盒、建筑模型等，引导学生关注立体图形及其展开与折叠现象。
2. 新课导入：教师简要介绍立体图形的展开与折叠的基本概念，并提出本节课的学习目标。
3. 展开与折叠的演示：教师利用教具进行立体图形的展开与折叠演示，如正方体、长方体、圆柱体等，引导学生观察和思考。
4. 学生动手操作：学生分组进行立体图形的展开与折叠实践，教师巡回指导，解答学生疑问。
七、教学活动：1. 观察生活中的立体图形，了解其展开与折叠现象。
2. 观看教师演示，学习立体图形的展开与折叠方法。
3. 学生分组讨论，探讨立体图形展开与折叠的规律。
4. 学生动手操作，实践立体图形的展开与折叠。
5. 学生展示自己的作品，分享学习心得。
八、学生活动：1. 观察生活中的立体图形，记录其展开与折叠方法。
2. 参与小组讨论，提出自己的观点和看法。
3. 动手制作立体图形的展开与折叠作品。
立体几何中的折叠与展开问题
立体几何中的折叠与展开问题知识点梳理：1.解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用．解决此类问题的步骤：考向导航2.展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，是将空间问题转化为平面问题来处理．一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试．目录类型一折叠问题 (1)类型二展开问题 (3)类型一折叠问题【例1】如图甲，在四边形ABCD中，23AD=2∆是边长为4的正三角形，CD=，ABC把ABC∆的位置，使得平面PAC⊥平面ACD；如图乙所示，点O、M、∆沿AC折起到PACN分别为棱AC、PA、AD的中点．（1）求证：平面PAD⊥平面PON；（2）求三棱锥M ANO-的体积．【例2】如图，在平面图形PABCD 中，ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，2PA PD ==，M 为CD 的中点，将PAD ∆沿直线AD 向上折起，使BD PM ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若直线PM 与平面ABCD 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．【变式1-1】如图甲的平面五边形PABCD 中，PD PA =，5AC CD BD ===，1AB =，2AD =，PD PA ⊥，现将图甲中的三角形PAD 沿AD 边折起，使平面PAD ⊥平面ABCD 得图乙的四棱锥P ABCD -．在图乙中（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PB C --的大小；（3）在棱PA 上是否存在点M 使得BM 与平面PCB 所成的角的正弦值为13？并说明理由．类型二展开问题【例1】如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2cm ，高为5cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的最短路线的长为()A ．5cm B ．12cm C ．13cm D ．25cm【例2】如图，正三棱锥S ABC -中，40BSC ∠=︒，2SB =，一质点自点B 出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B 的最短路线的长为()A ．2B ．3C ．3D ．33【变式2-1】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点．（1）求此直三棱柱111ABC A B C -的表面积；（2）当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积．巩固训练1．把如图的平面图形分别沿AB 、BC 、AC 翻折，已知1D 、2D 、3D 三点始终可以重合于点D 得到三棱锥D ABC -，那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为．2、如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==，（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；（Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若2BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．3．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①()0BA PA PD ⋅+= ；②7PC =；③点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上．如图，平面五边形PABCD 中，PAD ∆是边长为2的等边三角形，//AD BC ，22AB BC ==，AB BC ⊥，将PAD ∆沿AD 翻折成四棱锥P ABCD -，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且____．（1）求证：//FM 平面PAD ；（2）当EF 与平面PAD 所成角最大时，求平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值．4．如图，在矩形ABCD 中，2,23AB AD ==，ABPCDFEE ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把CDF ∆折起，点C 到达点P 的位置，使1PE =．（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求二面角P DF E --的正弦值．参考答案类型一折叠问题【例1】【分析】（1）证明PO ⊥平面ACD 可得PO AD ⊥，根据中位线定理和勾股定理可证AD ON ⊥，故而AD ⊥平面PON ，于是平面PAD ⊥平面PON ；（2）分别计算AON ∆的面积和M 到平面ACD 的距离，代入体积公式计算．【解答】（1）证明：PA PC = ，O 是AC 的中点，PO AC ∴⊥，又平面PAC ⊥平面ACD ，平面PAC ⋂平面ACD AC =，PO ∴⊥平面ACD ，又AD ⊂平面ACD ，PO AD ∴⊥，23AD = ，2CD =，4AC =，222AD CD AC ∴+=，AD CD ∴⊥，ON 是ACD ∆的中位线，//ON CD ∴，AD ON ∴⊥，又ON PO O = ，AD ∴⊥平面PON ，又AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PON ．（2）PAC ∆ 是边长为4的等边三角形，3PO ∴=M ∴到平面ACD 的距离132d PO ==，ON 是ACD ∆的中位线，1113324422AON ACD S S ∆∆∴==⨯=，11131332322M ANO AON V S PO -∆∴==⨯⨯ ．【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．【例2】【分析】（1）取AD 中点E ，连接PE ，EM ，AC ，可得PE AD ⊥，然后证明BD PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ，进一步得到平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知，PE ⊥平面ABCD ，连接EM ，可得30PME ∠=︒，求解三角形可得1PE =，再求出四边形ABCD 的面积，代入棱锥体积公式求解．【解答】（1）证明：取AD 中点E ，连接PE ，EM ，AC ，PA PD = ，得PE AD ⊥，由底面ABCD 为菱形，得BD AC ⊥，E ，M 分别为AD ，CD 的中点，//EM AC ∴，则BD EM ⊥，又BD PM ⊥，BD ∴⊥平面PEM ，则BD PE ⊥，PE ∴⊥平面ABCD ，而PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）解：由（1）知，PE ⊥平面ABCD ，连接EM ，可得30PME ∠=︒，设AB a =，则224a PE =-，322AC EM ==，故tan tan 30PE PME EM ∠=︒=，即2234332a a -=，解得2a =．故1PE =，3ABCD S =四边形．故23133P ABCD ABCD V S PE -=⋅⋅=四边形．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．【变式1-1】【分析】（1）推导出AB AD ⊥，AB ⊥平面PAD ，AB PD ⊥，PD PA ⊥，由此能证明PD ⊥平面PAB ．（2）取AD 的中点O ，连结OP ，OC ，由AC CD =知OC OA ⊥，以O 为坐标原点，OC 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A PB C --的大小．（3）假设点M 存在，其坐标为(x ，y ，)z ，BM 与平面PBC 所成的角为α，则存在(0,1)λ∈，有AM AP λ= ，利用向量法能求出在棱PA 上满足题意的点M 存在．【解答】证明：（1）1AB = ，2AD =，5BD =222AB AD BD ∴+=，AB AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，AB ∴⊥平面PAD ，又PD ⊂ 平面PAD ，AB PD ∴⊥，又PD PA ⊥ ，PA AB A= PD ∴⊥平面PAB ．解：（2）取AD 的中点O ，连结OP ，OC ，由平面PAD ⊥平面ABCD 知PO ⊥平面ABCD ，由AC CD =知OC OA ⊥，以O 为坐标原点，OC 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系如图示，则(2C ，0，0)，(0P ，0，1)，(0D ，1-，0)，(0A ，1，0)，(1B ，1，0)∴(1,1,1)PB =- ，(2,0,1)PC =- ，(0,1,1)PD =-- ，设平面PBC 的法向量为(,,)m a b c = ，由00m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得020a b c a c +-=⎧⎨-=⎩，令1a =得1b =，2c =，∴(1,1,2)m = ，PD ⊥ 平面PAB ，∴(0DP = ，1，1)是平面PAB 的法向量，设二面角A PB C --大小为θ，则123cos 2||||62m DP m DP θ⋅==⋅⋅ ，0θπ ，∴二面角A PB C --的大小6πθ=．（3）假设点M 存在，其坐标为(x ，y ，)z ，BM 与平面PBC 所成的角为α，则存在(0,1)λ∈，有AM AP λ= ，即(x ，1y -，)(0z λ=，1-，1)，(0M ，1λ-，)λ，则(1,,)BM λλ=-- ，从而211sin ||3||||612m BM m BM αλ⋅==⋅⋅+ ，[0λ∈ ，1]，103λ∴=-，∴在棱PA 上满足题意的点M 存在．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查满足线面角的正弦值点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．类型二展开问题【例1】【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6212⨯=，宽等于5，由勾股定理2212513d =+=．故选：C ．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，考查数学转化思想方法，是中档题．【例2】【分析】画出解答几何体的部分侧面展开图，利用三角形的边的关系容易解得边长的值，从而得出其中的最小值．【解答】解：将三棱锥S ABC -沿侧棱SB 展开，其侧面展开图如图所示，由图中红色路线可得结论．根据余弦定理得，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B 的最短路线的长为：14422232++⨯⨯⨯=故选：C ．【点评】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，空间想象能力，几何体的展开与折叠，是基础题．【变式2-1】【分析】（1）直三棱柱111ABC A B C -的表面积：1111112ABC ABB A BCC B ACC A S S S S S ∆=+++矩形矩形矩形．（2）将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ，如图，连结1AC ，交1BB 于D ，此时1AD DC +最小，当1AD DC +最小时，1BD =，此时三棱锥1D ABC -的体积：11D ABC C ABD V V --=，由此能求出结果．【解答】解：（1） 在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，∴此直三棱柱111ABC A B C -的表面积：1111112ABC ABB A BCC B ACC A S S S S S ∆=+++矩形矩形矩形121213231432=⨯⨯⨯+⨯+⨯++1135=+（2）将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ，如图，连结1AC ，交1BB 于D ，此时1AD DC +最小，1AB = ，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点，∴当1AD DC +最小时，1BD =，此时三棱锥1D ABC -的体积：11D ABC C ABDV V --=1113ABD S B C ∆=⨯111132AB BD B C =⨯⨯⨯⨯1111232=⨯⨯⨯⨯13=．∴当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积为13．【点评】本题考查几何体的表面积、体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．巩固练习1．【分析】在三棱锥D ABC -中，当且仅当DA ⊥平面ABC 时，三棱锥的体积达到最大，然后根据三棱锥的性质求出外接球的半径，进而可以求解．【解答】解：在三棱锥D ABC -中，当且仅当DA ⊥平面ABC 时，三棱锥的体积达到最大，此时，设外接球的半径为R ，球心为O ，球心O 到平面ABC 的投影点为F ，则有2222R OA OF AF ==+，又1522OF AD ==，1522AF AC ==，所以2225525()()222R =+=，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=，故答案为：50π．【点评】本题考查了三棱锥的外接球的表面积问题，考查了学生的空间想象能力以及运算能力，属于中档题．2、【分析】（Ⅰ）由题意可证AC DO ⊥，又PO AC ⊥，即可证明AC ⊥平面PDO ．（Ⅱ）当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大且最大值为1，又2AB =，即可求ABC ∆面积的最大值，又三棱锥P ABC -的高1PO =，即可求得三棱锥P ABC -体积的最大值．（Ⅲ）可求22112PB PC +==，即有PB PC BC ==，由OP OB =，C P C B '='，可证E 为PB 中点，从而可求2626OC OE EC +'=+'=，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）在AOC ∆中，因为OA OC =，D 为AC 的中点，所以AC DO ⊥，又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO AC ⊥，因为DO PO O = ，所以AC ⊥平面PDO ．（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1，又2AB =，所以ABC ∆面积的最大值为12112⨯⨯=，又因为三棱锥P ABC -的高1PO =，故三棱锥P ABC -体积的最大值为：111133⨯⨯=．（Ⅲ）在POB ∆中，1PO OB ==，90POB ∠=︒，所以22112PB =+=同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值，又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而2626222OC OE EC '=+'=+=．亦即CE OE +的最小值为：262．【点评】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．3．【分析】（1）取CD 中点为G ，连接MG ，FG ，//GM PD ，//FG AD ，进而可证平面//MFG 平面PAD ，可证//FM 平面PAD ；（2）根据条件选择①：由已知可证BA ⊥平面PAD ，PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值．同理选择②，③可求平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取CD 中点为G ，连接MG ，FG ，则MG ，FG 分别为三角形CDE ，梯形ABCD 的中位线，//GM PD ∴，//FG AD ，MG FG G = ，∴平面//MFG 平面PAD ，FM ⊂ 平面MGF ，//FM ∴平面PAD ，（2）解：取AD 为O ，连接PO ，FG ，EG ．选择①：因为()0BA PA PD ⋅+= ，2PA PD PO += ，所以0BA PO ⋅= ，即BA PO ⊥．又BA AD ⊥，AD PO O = ，所以BA ⊥平面PAD ．连接AE ，EF ，所以AEF ∠即为EF 与平面PAD 所成的角．因为1tan AF AEF AE AE∠==，所以当AE 最小时，AEF ∠最大，所以当AE PD ⊥，即E 为PD 的中点，AE 最小．下面求二面角余弦值法一：BA ⊂ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，PO AD ⊥ ，PO ∴⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，1-，0)，1(0,2E ，(2C ，0，0)．所以3(0,2AE = ，(2,1,0)AC = ．设平面CAE 的法向量为111(,,)m x y z =，则111130,220y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1z =，得1(,2m =- ．由题意可知：平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ，所以cos ,||||17m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ，所以平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值为25117．法二：在平面PAD 内，作ER AD ⊥，垂足为R ，则ER ⊥平面ABCD ，过R 作RK AC ⊥，连接EK ，由三垂线定理及逆定理知EKR ∠为平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角，在EKR RT ∆中，易得2ER =，RK =，则EK =所以251cos 17RK EKR EK ∠==，所以平面ACE 与平面PAD．选择②：连接OC ，则2OC AB ==，OP =，因为PC =，222PC OP OC =+，所以BA PO ⊥．又BA AD ⊥，AD PO O = ，所以BA ⊥平面PAD ．连接AE ，EF ，所以AEF ∠即为EF 与平面PAD 所成的角．因为1tan AF AEF AE AE∠==，所以当AE 最小时，AEF ∠最大，所以当AE PD ⊥，即E 为PD 的中点，AE 最小．下面求二面角余弦值，法一：BA ⊂ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，PO AD ⊥ ，PO ∴⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是(0A ，1-，0)，1(0,2E ，(2C ，0，0)．所以3(0,2AE = ，(2,1,0)AC = ．设平面CAE 的法向量为111(,,)m x y z = ，则111130,220y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1z =，得1(,2m =- ．由题意可知：平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ，所以cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ，所以平面ACE 与平面PAD．法二：在平面PAD 内，作ER AD ⊥，垂足为R ，则ER ⊥平面ABCD ，过R 作RK AC ⊥，连接EK ，由三垂线定理及逆定理知EKR ∠为平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角，在EKR RT ∆中，易得ER =RK =，则EK =所以cos 17RK EKR EK ∠==，选择③：因为点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．因为平面PAD ⋂平面ABCD CD =，OP ⊂平面PAD ，AD PO ⊥，所以OP ⊥平面ABCD ，所以BA PO ⊥．又BA AD ⊥，AD PO O = ，所以BA ⊥平面PAD ．连接AE ，EF ，所以AEF ∠即为EF 与平面PAD 所成的角．因为1tan AF AEF AE AE∠==，所以当AE 最小时，AEF ∠最大，所以当AE PD ⊥，即E 为PD 中点，AE 最小．下面求二面角余弦值，法一：BA ⊂ 平面ABCD ⊥，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，PO AD ⊥ ，PO ∴⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是(0A ，1-，0)，1(0,2E ，(2C ，0，0)．所以3(0,2AE = ，(2,1,0)AC = ．设平面CAE 的法向量为111(,,)m x y z = ，则1111330,2220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1z =，得1(,2m =- ．由题意可知：平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ，所以cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ，所以平面ACE 与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为17．法二：在平面PAD 内，作ER AD ⊥，垂足为R ，则ER ⊥平面ABCD ，过R 作RK AC ⊥，连接EK ，由三垂线定理及逆定理知EKR ∠为平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角，在EKR RT ∆中，易得ER =RK =，则EK =所以cos 17RK EKR EK ∠==，【点评】本题考查线面平行的证明，以及面面角的求法，属中档题．4．【分析】（1）推导出//EF AB 且3DE =，AD EF ⊥，DE PE ⊥，AD PE ⊥，由此能证明AD ⊥平面PEF ，从而平面PEF ⊥平面ABFD ．（2）过点P 作PH EF ⊥交EF 于H ，由平面垂直性质定理得PH ⊥平面ABFD ，过点P 作PO DF ⊥交DF 于O ，连结OH ，则OH DF ⊥，从而POH ∠为二面角P DF E --的平面角，由此能求出二面角P DF E --的正弦值．【解答】证明：（1）E 、F 分别为AD ，BC 的中点，//EF AB ∴且3DE =，在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，AD EF ∴⊥，由翻折的不变性，2,3PD PF CF DE ===，7DF =又1PE =，有222PD PE DE =+，DE PE ∴⊥，即AD PE ⊥，又PE EF E = ，PE ，EF ⊂平面PEF ，AD ∴⊥平面PEF ，AD ⊂ 平面ABFD ，∴平面PEF ⊥平面ABFD ．解：（2）过点P 作PH EF ⊥交EF 于H ，由平面垂直性质定理得PH ⊥平面ABFD ，过点P 作PO DF ⊥交DF 于O ，连结OH ，则OH DF ⊥，POH ∴∠为二面角P DF E --的平面角．222PE PF EF += ，90EPF ∴∠=︒，由等面积法求得322127PH PO ==．在直角POH ∆中，7sin 4PH POH PO ∠==，即二面角P DF E --的正弦值为74．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，是中档题．。
五年级数学教案二：如何巧妙地展开与折叠？
五年级数学教案二：如何巧妙地展开与折叠？五年级学习数学的孩子们，有一个很重要的技能就是展开与折叠。
展开与折叠在生活中是非常常见的操作，例如：裤子裙子的展开，飞机纸制作，礼物包装等等，都需要使用展开与折叠的技巧。
学会如何巧妙地展开与折叠，对于孩子未来学习及生活中的许多事物都会有所帮助。
一、展开的基本方法展开是将一个表面或者物体的多个部分通过“打开”，将它们展平平铺开来的过程。
展开的基本方法就是将三维物体的表面“剪开”，将剪开的表面“展开”到平面上。
孩子们打开日常生活中常见的物体，例如：书、纸、盒子等等。
通过观察和思考，带领孩子们了解展开的基础概念。
让孩子们把物体当做一个个面体来看，用剪刀将它们剪开，再将所有被剪开的面体展开，拼合起来，形成一个平面图形。
二、折叠的基本方法折叠是通过将平面上的图形，按照规定的方式进行折叠，使其变成三维图形的过程。
折叠是展开的逆过程，很多展开的图形都可以按照规定的方式进行折叠。
孩子们可以通过展开一些简单的三维图形，如正方体、长方体、立方体等，带领孩子们探究如何将展开的图形按照规定的方式进行折叠，变成三维图形。
三、展开与折叠的练习(一) 展开与折叠正方体1．展开正方体的方法(1) 将正方体的六个面用一把剪刀分别剪开；(2) 将六个被剪开的面按照一定的规律“排开”，使其形成一个平面图形；(3) 将所有的被剪开的面按照规律拼起来，形成一个正方体。
2. 折叠正方体的方法(1) 将展开后的正方体图形沿着虚线剪开，形成一个“十”字形(见图)；(2) 将图形按照规定的折叠方式进行折叠，即可组装成一个正方体。
(二) 展开与折叠长方体(1) 将长方体的六个面用一把剪刀分别剪开；(2) 将四个被剪开的面按照一定的规律“排开”，使其形成一个平面图形(见图)；(3) 将所有的被剪开的面按照规律拼起来，形成一个长方体。
2. 折叠长方体的方法(1) 在展开后的长方体图形中，将长方体的两个长面向中间对折(见图)；(2) 将侧面向上，按照规定的折叠方式进行折叠，即可组装成一个长方体。
数学初中折叠问题解题技巧
数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的几何问题，涉及到对图形的折叠、展开或转化等操作。
以下是一些常见的折叠问题解题技巧:
1. 观察特殊图形法：直接观察题目所给出的目标图形中的特殊面，或者特殊图形连接的位置，然后对比选项，与之不符的直接排除。
2. 相对面不相邻法：空间折叠类题目要结合排除法解题，最常用的排除技巧是相对面不相邻原则。
即一定要抓住某两个相邻面或对立面的图形特征，从而可以利用排除法选择正确答案，违背这些特征的，便是错误选项。
3. 初中数学坐标系里折叠的问题：对于在平面直角坐标系中的折叠问题，可以通过建立直角坐标系来解决。
一般来说，需要根据折叠前后的形状及坐标变化关系，画出折叠后的图形，然后根据题意找到对应的坐标值。
4. 长方形折叠问题：对于长方形的折叠问题，可以通过对折将长方形变成长方体，然后根据长方体的面积公式及长方形的面积公式来求解。
另外，也可以利用折叠的性质：折叠后的图形与图形全等，来解决问题。
总结起来，对于折叠问题的解题技巧，需要结合具体的题目来进行理解和应用。
同时，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力，才能更好地解决折叠问题。
展开与折叠—教学设计及点评(获奖版)
3.学生的自主活动、亲手实验至关重要，他们必须以实践者而不是观众的身份介入到学习活动中，仅仅依靠教师的讲解或实物演示，甚至多媒体演示是不能达到理想的目标的.
学习
环节
学习任务设计与教师活动
学生活动设计
设计意图
通过正方体有12条棱，6个面，将其表面展成一个平面图形，面与面之间相连的棱有5条（即未剪开的棱），因此需要剪开7条棱.
教师明确：展成一个平面图形是指正方体6个面展开后缩成的6个正方形彼此相连.
学生分组进行裁剪，教师巡视.学生自发将剪好的平面图形贴在黑板上(重复的不再贴)，其他同学观察有没有不同的展开图，若有,继续粘贴,发现有重复的学生进行说明，从而找出不同的展开图.
落实目标
导入
新课
创设情景，导入新课
内容：在生活中，我们经常见到正方体形状的盒子.将纸盒完全展开后形状是怎样的？
你是怎样用卡纸制作小正方体的呢？
学生思考并观看幻灯片.教师展示一名同学的做法，进行展开与折叠的演示.
通过生活中的一个实例提出问题，从学生熟悉的纸盒入手，激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣，感受学习展开与折叠的必要性.
2、可以得出11种不同的展开图：
活动二：学生没有得到的展开图教师拿出来让学生剪；若都剪出来，则给出任意一个平面展开图，问学生能得到吗？
3、设问：能否将得到的平面图形分类？你是按什么规律来分类的？
学生讨论得出分为4类：
一四一型（6种），二三一型（3种），二二二型（1种），三三型（1种）.
4、一个正方体要将其展开成一个平面图形，必须沿几条棱剪开？为什么？
使学生在动手操作的基础上，动脑思考，仔细观察这十一种展开图的特点，便于记忆正方体的展开图.
几何体的展开与折叠知识点总结
几何体的展开与折叠知识点总结几何体的展开与折叠是几何学中重要的概念和技巧。
通过将三维几何体展开成二维平面图形，我们可以更好地理解和分析几何体的性质、结构和关系。
本文将对几何体的展开与折叠进行系统的总结与讲解。
I. 展开与折叠的概念1. 展开：几何体的展开指将一个三维几何体通过剪开、展开的方式转化为一个平面图形。
在展开后，几何体的各个面会被连续地拼接在一起，形成一个平面图形，称之为展开图。
2. 折叠：几何体的折叠是指根据展开图，将平面图形按照一定的顺序、方向进行折叠，最终恢复成原来的三维几何体。
II. 几何体的展开与折叠方法1. 立方体：立方体是最简单的几何体之一，它的展开图是一个由六个正方形组成的平面图形。
展开后的正方形分别代表立方体的六个面，通过正确的折叠方式，可以将展开图还原为一个完整的立方体。
2. 正方体的展开与折叠方法：a. 首先，确定正方体的展开图形，并根据展开图形上的边界关系进行适当的标记和编号。
b. 将展开图形剪开，并根据编号将各个部分正确地组装在一起。
c. 按照标记和编号的顺序，依次将展开图的各个面按照折叠方向进行折叠，直到最终还原为一个完整的正方体。
3. 圆柱体：圆柱体是由两个圆盘和一个侧面组成的几何体。
圆柱体的展开图形是由一个长方形和两个圆形组成的平面图形。
根据展开图，我们可以通过适当的折叠方式将平面图形还原为一个完整的圆柱体。
4. 锥体：锥体是由一个圆锥和一个底面组成的几何体。
锥体的展开图形是由一个圆形和一个扇形组成的平面图形。
类似于圆柱体，我们可以通过相应的折叠步骤将展开图形还原为一个完整的锥体。
III. 几何体的展开与折叠的应用几何体的展开与折叠不仅仅是一种学习几何学的方法，还具有广泛的应用价值。
1. 工程设计：在工程设计中，几何体的展开与折叠被广泛应用于模型制作、结构设计等方面。
通过展开与折叠的技巧，可以更好地理解和分析各种结构体系的组成与关系。
2. 包装设计：在包装设计领域，几何体的展开与折叠是不可或缺的技巧。
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图形的展开与折叠解题思路与点评新课程标准要求同学们对空间图形有较准确的认识和感受，具体地说，包含三个方面：（1）能用平面展开图描述出该立体图形；（2）能由立体图形画出至少一种其平面展开图，设计较简单实物的平面图纸；（3）能判断一个图形是否能围成一个立体图形。
因此，切实掌握图形的展开与折叠势在必行，现解读如下：
例1.如图1，一个多面体的展开图中，每个面内的大写字母表示该面，被剪开的棱边所注的小写字母可表示该棱。
（1）说出这个多面体的名称；
（2）写出所有相对的面；
（3）若把这个展开图折叠起来成立体时，哪些被剪开的棱将会重合？
（图1）
思路：选取面X相对固定，将面R，面Y想像折起，再遮挡面Q，Z，P即成。
解答：（1）这个多面体是正方体。
（2）相对的面有三对：P与X，Q与Y，R与Z.
（3）将会重合的棱有：a与h，b与i，c与n，d与e，f与g，j与k，m与l.
点评：这个问题的解决，无疑对同学们形成良好的空间观念是一个很好的锻炼。
例2.如图2是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了字母，请回答：如果F在前面，从左面看是B，那么哪一面会在上面？
（图2）
思路：这里有两种折法：一种向里折，一种向外折。
解答：E或C会在上面。
点评：一个平面展开图，折成立方体的方式有两种，一种向里折，一种向外折。
此题往往易忽略其中一种，造成漏解。
这不但培养了同学们的空间观念，而且告诫同学们思考问题要全面。
例3.将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，回答下列问题：
（1）你能设法得到图3中的平面图形吗？
（图3）
（2）你还能得到哪些平面图形？与同伴进行交流。
（3）图4中的图形经过折叠，能否围成一个正方体？
（图4）
思路：由于一个正方体有12条棱、6个面，将其表面展开成一个平面图形，其面与面之间相连的棱（即未剪开的棱）有5条，因此需要剪开7条棱。
（1）中的两个平面图形都可由一个正方体沿着某些棱剪开展成，可在原正方体上标出上、下底面，根据需要剪开7条棱即可；
（2）将一个正方体沿着某些棱剪开后，可得到很多平面图形，所以答案很多；（3）有两种途径：一是动手操作，仔细观察；二是先假定出上、下底，通过想象亲自折一折，看能否折成正方体。
解答：（1）能，其中在原正方体上标出上、下底面如图5所示。
（图5）
（2）图略，请同学们动手试一试，看谁得到的多，准。
（3）第一副图不能，第二副图能。
其中第二副图先假定出上、下底面如图6所示。
（图6）
点评：此题命题意图有二：1.通过观察和动手操作，经历和体验图形的变化过程；2.考查将平面图形复原成立体图形的能力。
小时牛刀
1、有一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这六个数，根据图1中A 、B 、C 三个图中所写数字想一想“？”处的数字是什么？
2、如图2，右边四个图形折叠后，能得到左边正方体的是（ ）
3、如图3所示，是一个几何体的展开图，每个面上都标有相应的字母.
（1）如果A 面在几何体的底部，上面的是哪一面？ （2）若F 面在前面，从左看是B 面，上面是哪一面？ （3）右看是C 面，D 面在后面，上面是哪一面？
4 1
5 A
2 3
1 B 4 5
C
图1
A. B. C. D.
图2
① ② ③
① ②
③ ① ② ③
①
② ③ ①
②
③ A
B C D E F
图3
析解：
1、我们知道，正方体的任何一个面都与其余的五个面中的四个面相邻、一个面相对.本题中标有“1”的面与标有“4”，“5”，“2”，“3”相邻，则标有“1”的面的对面是标有“6”的面.所以“？”处应是“6”.
2、左边的正方体仅给出了三个带有标记的面，由此可知，标有①、②、③的三个面相邻；但不能确定其余三个面是否带有标记.再考虑正方体的四个展开图，选项B、C中标有①和③的两个面相对，不符合要求，由此排除B、C；选项D中标有②的面与标有①和③的两个面不相邻，也不符合要求.所以本题正确的答案为：A.
3、首先确定相对面：由展开图知，标有A的面与标有F的面是相对面，标有B的面与标有D的面是相对面，那么剩下的标有C的面与标有E的面应该是相对面.所以当A面在几何体的底部时，上面的面应是F面.若F面在前面，则A面在后面；从左看是B面，则右边应该是D面；由此，可以知道上面的一面是C面.类似的，当“右看是C面，D面在后面”时，上面的一面是A面.。