巩固练习_相遇和追及问题(提高)

【巩固练习】解答题：0.5m s的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车1、在十字路口，汽车以2以5m s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：（1）什么时候它们相距最远？最远距离是多少？（2）在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？2、甲、乙两个同学在直跑道上练习4 100m接力，他们在奔跑时有相同的最大速度。

乙从静止开始全力奔跑需跑出25m才能达到最大速度，这一过程可看作匀变速运动。

现甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。

若要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，则：（1）乙在接力区须奔出多大距离？（2）乙应在距离甲多远时起跑？3、甲、乙两车相距为s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。

4、在水平直轨道上有两列火车A和B相距s。

A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动；而B车同时做初速度为0、加速度大小为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。

要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足的条件。

5、甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以v1=10m/s的速度做匀速运动，经过车站A 时关闭油门以a1=4m/s2的加速度匀减速前进。

2s后乙车与甲车同方向以a2=1m/s2的加速度从同一车站A出发，由静止开始做匀加速直线运动。

问乙车出发后经多长时间追上甲车？【高清课程：相遇和追及问题例6】6、高速公路给人们出行带来了方便，但是因为在高速公路上行驶的车辆的速度大，雾天往往出现十几辆车追尾连续相撞的车祸。

已知轿车在高速公路正常行驶速率为120km/h。

轿车刹车产生的最大加速度为8m/s2，如果某天有雾，能见度（观察者与能看见的最远目标间的距离）约为37m，设司机的反应时间为0.6s，为安全行驶，轿车行驶的最大速度是多少？【高清课程：相遇和追及问题例5】7、小球1从高H处自由落下，同时小球2从其下方以速度v0竖直上抛，两球可在空中相遇，试就下列两种情况讨论v0的取值范围。

（1）在小球2上升过程两球在空中相遇；（2）在小球2下降过程两球在空中相遇。

8、如图所示，AB 、CO 为互相垂直的丁字形公路，CB 为一斜直小路，CB 与CO 成60°角，CO 间距300ｍ。

一逃犯骑着摩托车以45km/h 的速度正沿AB 公路逃窜。

当逃犯途径路口O 处时，守候在C 处的公安干警立即以 1.2m/s 2的加速度启动警车，警车所能达到的最大速度为120km/h 。

（1）若公安干警沿COB 路径追捕逃犯，则经过多长时间在何处能将逃犯截获?（2）若公安干警抄CB 近路到达B 处时，逃犯又以原速率掉头向相反方向逃窜，公安干警则继续沿BA 方向追赶，则总共经多长时间在何处能将逃犯截获?（不考虑摩托车和警车转向的时间）【答案与解析】 解答题：1、10s 25m 100m 10m/s解析：①两车速度相等时相距最远，设所用时间为t v at v 汽自＝＝ t 10s ＝最远距离21x=x -x =v t-at 25m 2自汽自＝②设汽车追上自行车所用时间为t ／此时x x 自汽＝ 21v t a t 2／／自＝t 20s ／＝此时距停车线距离x v t 100m ／自＝＝此时汽车速度v a t 10m /s ／汽＝＝2、16m 24m解析: （1）设两人奔跑的最大速度为v 0，则在乙从静止开始全力奔跑达到最大速度的过程，以及乙接棒时奔跑达到最大速度的80%的过程，分别应用匀变速直线运动速度—位移关系式，有 ()2220.802'v ax v ax ==，，由以上两式可解得乙在接力区须奔出的距离'0.640.6425m 16m x x ==⨯=。

（2）设乙在距甲为x 0处开始起跑，到乙接棒时跑过的距离为'x ，所经历的时间为t ，则甲、乙两人在时间t 内通过的位移有如下关系：0'vt x x =+‘， 又由平均速度求位移的公式可知乙的位移t v x 208.0+='， 从而由以上两式可解得 0x =1.5x =1.516m =24m '⨯ 3、答案见解析。

解析 : 这里提供两种解法。

解法一（物理方法）：由于两车同时同向运动，故有021v v a t v a t =+=甲乙，。

（1）当12a a <2时，12a t a t <，可得两车在运动过程中始终有v v >甲乙。

由于原来甲车在后，乙车在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然追上乙车。

由于甲车追上乙车时v v >甲乙，所以甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次。

（2）当12a a =时，12a t a t v v =>甲乙，，因此甲、乙两车也只能相遇一次。

（3）当12a a >时，12a t a t >，v v 甲乙和的大小关系会随着运动时间的增大而发生变化。

刚开始a 1t 和a 2t 相差不大且甲有初速度v 0，所以v v >甲乙。

随着时间的推移，a 1t 和a 2t 相差越来越大，当120a t a t v -=时，v v =甲乙，接下来120a t a t v ->，则有v v <甲乙。

若在v v =甲乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v v <甲乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在v v =甲乙时，两车刚好相遇，随后由于v v =甲乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在v v =甲乙之前，甲车已超过乙车，即已相遇一次，随后由于v v =甲乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，则两车能相遇两次。

解法二(数学方法）：设经过时间t 两车能够相遇，由于22021t a t v s +＝甲， 2121t a s ＝乙，相遇时有s s s =-乙甲，则 022)(0221=+--s t v t a a ，所以 2121200)(2a a sa a v v t ---±=。

（1）当12a a <时，t 只有一个解，则相遇一次。

（2）当12a a =时，s t v t a t a t v s s ==-+=-0212202121乙甲，所以0v s t =。

t 只有一个解，则相遇一次。

（3）当12a a >时，若s a a v )(22120-<，t 无解，即不相遇； 若s a a v )(22120-=，t 只有一个解，即相遇一次；若s a a v )(22120->，t 有两个正解，即相遇两次。

4、0v 解析： 要使两车不相撞，A 车追上B 车时其速度最多只能与B 车速度相等。

设A 、B 两从相距s 到A 车追上B 车时，A 车的位移为x A ，末速度为v A ，所用时间为t ；B 车的位移为x B ，末速度为v B ，运动过程如图所示。

现用四种方法求解。

解法一（利用位移公式和速度公式求解）：对A 车有 20)2(21t a t v x A -+=，t a v v a )2(0-+=。

对B 车有 221at x B =，at v B =。

两车有 B A s s s -=， 追上时，两车刚好不相撞的条件是 B A v v =，由以上各式联立解得 as v 60=。

故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是0v ≤解法二（利用速度公式和速度—位移关系式求解）：两车刚好不相撞的临界条件是：即将追上时两车速度相等。

设此速度为v ，A 车追上B 车前，A 车运动的时间为 avv a v v a v v t A A A 22000-=--=-=， B 车运动的时间为 ava v t B B ==,v A v B因为B A t t =，所以ava v v =-20， 即 3v v =。

① A 车的位移 a v v a v v x A A A 42220202-=--=， B 车的位移 av a v x B B 2222==， 因为B A x s x +=，所以 av s a v v 242220+=-。

即 av v s 43220-=。

②①②两式联立解得 as v 60=。

故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是0v ≤解法三（利用判别式解）： 由解法一可知B A x s x +=，即22021)2(21at s t a t v +=-+，整理得 02302=+-as t v at 。

这是一个关于时间t 的一元二次方程，当根的判别式s a v 234)2(20⨯⨯-=∆＜0时，t 无实数解，即两车不相撞。

故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是0v ≤解法四（用速度图象解）：如图所示，先作A 、B 两车的速度图象。

设经过时间t 两车刚好不相撞，则对A 车有at v v v A 20-==，对B 车有 at v v B ==， 由以上两式联立解得 av t 30=。

经时间t 两车的位移之差，即为原来两车间的距离s ，它可用速度图象中阴影部分的面积表示，由速度图象可知 20000112236v v s v t v a a==⨯=。

故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是0v ≤5、5s解析 : 这里提供两种解法。

解法一（公式法）：甲、乙两车自同一地点于不同时刻开始运动，乙车出发时甲车具有的速度为100111=-=t a v v t m/s 42⨯-m/s=2 m/s ，此时离甲车停止运动的时间 4211=='a v t t s=0.5s 。

根据题设条件，乙车在0.5s 内追不上甲车，也就是说乙车追上甲车时，甲车已经停止了运动。

甲车停止时离车站A 的距离421022121⨯==a v x 甲m=12.5m ， 设乙走完这段路程所需的时间为t ，由甲乙x t a x ==2221得 15.12222⨯==a x t 甲s=5s 。

故乙车出发后经过5s 追上甲车。

解法二（图象法）： 甲、 乙两车运动的速度图象如图所示。

乙车追上甲车的条件是它们离开车站A 的距离相等，即图线和时间轴所围的面积相等，加速度可用直线的斜率表示。

由图象可得t a t 2215.21021⨯=⨯⨯，t =5s 。

故乙车出发后经过5s 追上甲车。

6、20m/s=72km/s v ≤解析：由题设知，轿车在司机发现目标到开始刹车的反应时间里做匀速直线运动，刹车后开始减速运动直至停下来。

设轿车的最大速度为v在反应时间内轿车行驶距离 1s vt =刹车后至停下来轿车行驶距离 222v s a=要保证轿车行驶安全必要求：12+37m s s ≤ 即 2+37m 2v vt a≤代入数值可解得：20m/s=72km/s v ≤ 7、0v0v <解析：两球相遇，则小球1下落的高度h 1与小球2上升的高度h 2的算术和等于H ，即：12h h H =＋221201122h gt h v t gt ==-， 0H t v =（1）小球2上升过程所用时间为：0v t g=上 在小球2上升过程中两球相遇，应有：t ≤t 上 即：00v Hv g≤得：0v (2)小球2从抛出到落回原地所用时间为:022t =v T g=上 在小球2下降过程中两球相遇，应有：t 上＜t ＜T0002v v H g v g<< 即0v <8、624m 444.6m解析：（1）摩托车的速度 54m /s 15m /s 3.6v =＝， 警车的最大速度 120m /s 33.33m /s 3.6m v =≈。