基于鞍点估计的结构系统可靠性分析方法研究

中国科学: 技术科学
论文
2010 年 第 40 卷 第 3 期: 237 ~ 246
《中国科学》杂志社
SCIENCE CHINA PRESS
基于鞍点估计的结构系统可靠性分析方法研究
宋述芳, 吕震宙*
西北工业大学航空学院, 西安 710072 * E-mail: zhenzhoulu@
宋述芳等: 基于鞍点估计的结构系统可靠性分析方法研究
构单个响应功能函数的概率密度函数或累积分布函 数, 只要基本随机变量的累积生成函数存在, 该方法 对于基本变量的分布类型没有限制, 适用于非正态 变量情况, 但它要求功能函数是线性的. 文献[4, 5] 建立了鞍点估计基础上单个失效模式功能函数的可 靠性分析方法, 这种方法首先将非线性功能函数在 均值点或设计点进行线性展开, 然后再采用鞍点估 计方法对失效概率进行估计, 这种方法的优点是无 需进行非正态变量向正态变量的非线性转化, 但显 然这种方法不能考虑功能函数的非线性对失效概率 的影响, 而且文献[4, 5]中的方法也不能解决系统多 模式的失效概率估算问题. 本文则在此基础上, 将单 个失效模式失效概率估算的鞍点估计法拓展到多模 式情况, 提出了三种可估算多失效模式系统失效概 率的鞍点估计方法, 这三种方法分别是: 基于鞍点估 计的近似边界理论、基于鞍点估计的 Nataf 分布逼近 法和鞍点线抽样方法, 其中鞍点线抽样方法是运用 范围最广且可以考虑功能函数非线性对失效概率影 响的方法. 本文在给出所提方法的基本思想和实现 步骤后, 用算例对所提方法的精度和适用范围进行 了对比验证, 并且对所提方法的局限性进行了说明.
的非线性程度, 进而引起可靠性分析精度的下降, 而 且转化成正态变量后的多模式系统失效概率的计算 也相当费时[1,2]. 边界理论可以在近似解析法获得单 模式功能函数的失效概率和可靠度指标的情况下, 给出系统失效概率的上下界限. 鞍点估计[3~12]采用随 机变量的累积生成函数(或矩生成函数)来估计结
关键词 鞍点估计 边界理论 Nataf 分布 线抽样方法 概率密度函数 累积分布函数 系统失效概率
对于工程实际中常见的具有独立非正态随机变 量的结构系统可靠性问题, 传统的 Monte Carlo 数字 模拟法因为计算工作量太大而不适于工程应用, 而 近似解析法一般需要先将非正态变量转化为标准正 态变量后再进行系统失效概率的分析, 这种非正态 变量向标准正态变量的非线性转换会增加功能函数
e[K y
(ts
)−ts
y0 ] ,
(3)
表 1 常用分布的 CGF[6]
分布类型 Uniform 均匀分布 Normal 正态分布
Exponential 指数分布
Type I extreme value (Gumbel) I 型极值分布
Gamma 伽玛Γ分布
χ2 分布
PDF f (x)
f (x) = 1/(b − a)
2 多模式系统可靠性分析的鞍点估计方法
2.1 基于鞍点估计的近似边界理论(方法 1)
假设系统中有 l 个失效模式, 若 l 个失效模式的 功能函数中有非线性的, 则需要将非线性的功能函 数在均值点或设计点处进行线性展开, 然后采用鞍 点 概 率估 计方 法 求得 单个 失 效模 式功 能 函数 gi(x) (i = 1, 2,",l) 的失效概率 Pf[i] 及其等价正态可靠度指 标 βi (i = 1, 2,",l) , 并根据功能函数 gi(x)与基本随机 变量的线性关系, 可求得失效模式 gi(x)与 gj(x)间的 相关系数 ρij (i, j = 1, 2,", l, i ≠ j) . 将上述分析结果
般都是非线性函数. 文献[4]则将非线性的响应功能
函 数 y=g(x) 在 基 本 变 量 的 均 值 点 μ =
{μx1 , μx2 ,", μxn } (μi为xi的均值)处线性展开成下式:
∑ y ≈
g( μ) + n ∂g i=1 ∂xi
( xi
μ
− μxi ).
(7)
然后再采用鞍点估计方法求解 Pf . 文献[5]则将 y=g(x) 在设计点 P∗ = {x1∗, x2∗,", xn∗} 处线性展开后采 用鞍点估计方法求解 Pf. 虽然这种线性化的处理方 法不能够反映 g(x)的非线性对失效概率的影响, 但这
摘要 利用鞍点概率估计可以直接逼近非正态变量空间中单个线性功能函数概率分布的 特点, 提出了三种基于鞍点概率估计的系统多模式可靠性分析方法. 其一是基于鞍点估计的 近似边界理论, 该方法首先采用鞍点概率估计方法得到各失效模式的失效概率和等价正态 可靠度指标, 然后利用边界理论近似得到系统失效概率的上下界限; 其二是基于鞍点估计的 Nataf 分布逼近法, 该方法首先采用鞍点估计得到各失效模式响应量的概率密度函数及近似 线性化功能函数的相关系数, 然后根据 Nataf 分布来逼近结构系统响应的联合概率密度函数, 进而利用直接数字模拟法来求得结构系统的失效概率; 其三是鞍点线抽样方法, 该方法首先 通过变量的线性标准化变换来消除变量的量纲, 然后在标准化的变量空间中利用线抽样方 法的样本点将系统失效概率转化为一系列线性响应功能函数失效概率平均值的形式, 再采 用鞍点概率估计方法直接估计非正态变量标准化空间中这一系列线性响应功能函数的失效 概率. 通过比较三种方法的基本思想、实现过程和算例结果可以发现: (1) 第一种方法只能给 出多模式系统失效概率的界限, 并且只适用于线性程度较好的功能函数的情况; (2) 第二种 方法可给出系统失效概率的确定值, 这种方法的误差主要来源于 Nataf 分布对多模式系统响 应量联合概率密度函数的近似, 还来源于每个失效模式极限状态函数的非线性程度, 第二种 方法也只适用于线性化程度较好的功能函数; (3) 第三种方法给出的是多模式系统失效概率 的估计值, 该估计值随样本点数的增加而趋于真值, 并且该方法可以考虑功能函数的非线性 对失效概率的影响, 因此方法三是适用范围最广的一种方法.
1 鞍点估计方法
鞍点概率估计的基本思想是: 利用随机变量线 性 功 能 函 数 累 积 生 成 函 数 (cumulant generating function—CGF)的性质和傅立叶反变换, 来求得基于 鞍点的指数幂级数表达式的功能函数的概率分布.
设基本随机变量 x 的密度函数为 f(x), 则其矩生
收稿日期: 2009-03-24; 接受日期: 2009-07-13 国家自然科学基金(批准号: 10572117, 50875213)、新世纪优秀人才支持计划(批准号: NCET-05-0868)、航空基础基金(批准号: 2007ZA53012)、 国家高技术研究发展计划(“863”计划)(批准号: 2007AA04Z401)和西北工业大学博士论文创新基金(批准号: CX200801)资助项目
对于含有相互独立随机变量 {x1, x2 ,", xn} 的线
n
∑ 性功能函数 y = a0 + ai xi (其中 ai 为常数), 则 y 的累 i =1
积生成函数为
n
∑ K y (t) = a0t + Kxi (ait).
(1)
i =1
利用 MGF 的定义，运用傅立叶反变换可以得到
y 的概率密度函数 fy(y)如下[5]:
f (x) = 1 e−[(x−μ) /σ ]2 / 2 2πσ
f (x) = 1 e−x / β β
f (x) = 1 e−(x−μ)/σ e−e−(x−μ) /σ σ
f (x) = βα xα −1e−β x Γ (α )
f
(x)
=
1 2n / 2Γ (n
/
2)
xn /
2−1e− x
/
2
CGF Kx (t) K x (t) = ln(ebt − eat ) − ln(b − a) − ln(t)
成函数(moment generating function—MGF)为 Mx(t)=
∫ ∞ etx −∞
f
(x)dx,
累积生成函数
CGF
为
Kx (t)
=
ln
M x (t)
.
常用分布的 CGF 列于表 1[4]. CGF 具有以下性质.
性质 1 如果 {x1, x2 ,", xn} 为 n 维相互独立的基 本随机变量, 并且它们的 CGF 分别为 Kxi (t) (i = 1, 2,",
以由Fy(0)求得 P{y ≤ 0} 对应的失效概率Pf. 只要随
机变量的CGF是存在的, (4)式给出的y的CDF表达式
对基本变量xi 的分布类型是没有限制的, 但它要求y 是 xi (i = 1, 2,", n) 的线性函数, 而实际工程问题中功
能函数y与基本变量 x = {x1, x2 ,", xn} 的关系y=g(x)一
代入到系统失效概率 Pf(s) 分析的边界理论[1]中, 即可 得到系统失效概率的上下界.
2.1.1 一阶边界理论(first-order reliability bounds, FRB)
串联系统失效概率的一阶简单界限为
l
∏ Max( i≤l
n
∑ n), 则线性响应功能函数 y = xi 的 CGF Ky(t)为 i =1
∑ K y (t) =
n i =1
K
xi
(t ).
性质 2 设基本随机变量 x 的 CGF 为 Kx(t), 则
线性响应功能函数 y = ax + b 的 CGF Ky(t)为
K y (t) = Kx (at) + bt.
引用格式: Song S F, Lu Z Z. Saddlepoint approximation based structural reliability analysis with non-normal random variables. Sci China Tech Sci, 2010, 53: 566−576, doi: 10.1007/s11431-009-0358-z