甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三上学期第一次检测考试数学(理)试题 Word版含答案
2016届甘肃省天水市秦安二中高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年甘肃省天水市秦安二中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．设U=R，已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＞a}，且（∁U A）∪B=R，则a的范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）2．已知O、A、B、C为同一平面内的四个点，若2+=，则向量等于（）A．﹣ B．﹣+C．2﹣ D．﹣﹣23．已知a，b是实数，则“”是“log3a＞log3b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（）A．[2，6]B．[﹣6，﹣2]C．（2，6）D．（﹣6，﹣2）5．若，则=（）A．B．C．D．6．如图所示的程序框图的功能是（）A．求数列{}的前10项的和B．求数列{}的前11项的和C．求数列{}的前10项的和 D．求数列{}的前11项的和7．下列函数：①y=xsinx，②y=xcosx，③y=x|cosx|，④y=x2x的图象（部分）如图（但顺序被打乱）：则从左到右的各图象依次对应的函数序号是（）A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①8．设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（ ） A ．y 2=4x 或y 2=8x B ．y 2=2x 或y 2=8x C ．y 2=4x 或y 2=16x D ．y 2=2x 或y 2=16x9．变量x 、y 满足条件，则（x ﹣2）2+y 2的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．510．已知非零向量、满足，则与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．11．设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB ＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．（1，）B ．（，2）C ．（1，2）D ．（，+∞） 12．设函数f （x ）=e x （x 3﹣3x +3）﹣ae x ﹣x （x ≥﹣2），若不等式f （x ）≤0有解，则实数α的最小值为（ ）A ．B ．2﹣C ．1﹣D ．1+2e 2二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）13．=________．14．函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则函数f （x ）解析式________．15．已知函数f （x ）=lnx ﹣（m ∈R ）在区间[1，e ]取得最小值4，则m=________．16．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是________．三、解答题（本大题共六小题共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知正项等比数列{a n}满足a1，2a2，a3+6成等差数列，且a42=9a1a5，（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（log a n+1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．某校在2 015年11月份的高三期中考试后，随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组[90，100），…第六组[130，140]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校数学的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）这50名学生中成绩在120分以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分）以上的人数记为X，求X的分布列和期望．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2（Ⅰ）证明：AG∥平面BDE；（Ⅱ）求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2=﹣．（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线l与x轴交于点D（﹣，0），且满足=2，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．21．已知f（x）=xlnx﹣ax，g（x）=﹣x2﹣2．（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣1时，求函数f（x）在区间[m，m+3]（m＞0）上的最值；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C的方程为，点，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）求曲线C的直角坐标方程及点R的直角坐标；（2）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时点P的直角坐标．【选修4-5：不等式选讲】24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2015-2016学年甘肃省天水市秦安二中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．设U=R，已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＞a}，且（∁U A）∪B=R，则a的范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【考点】子集与交集、并集运算的转换；集合关系中的参数取值问题．【分析】先求出∁U A，再根据（∁U A）∪B=R，求出a【解答】解：集合A={x|x＞1}，∁U A={x|x≤1}，B={x|x＞a}，若（∁U A）∪B=R，则a≤1，即a∈（﹣∞，1]．故选C2．已知O、A、B、C为同一平面内的四个点，若2+=，则向量等于（）A．﹣ B．﹣+C．2﹣ D．﹣﹣2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图，计算即可．【解答】解：∵2+=，∴点A、B、C共线，且A为BC中点，则点O的位置有5种情况，如图：（1）∵，∴；（2）=+2（）=；（3）=+2（）=；（4）=+2（）=；（5）=+2（）=；故选：C．3．已知a，b是实数，则“”是“log3a＞log3b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若“”，则a＞b，若“log3a＞log3b”，则a＞b＞0．所以“”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件．故选B．4．若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（）A．[2，6]B．[﹣6，﹣2]C．（2，6）D．（﹣6，﹣2）【考点】特称命题；命题的真假判断与应用．【分析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得”的否定为：“∀x0∈R，都有”，由于命题“∃x0∈R，使得”为假命题，则其否定为：“∀x0∈R，都有”，为真命题，∴△=m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．则实数m的取值范围是[2，6]．故选A．5．若，则=（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则=cos（+α）=sin[﹣（+α）]=sin（﹣α）=，故选：A．6．如图所示的程序框图的功能是（）A．求数列{}的前10项的和B．求数列{}的前11项的和C．求数列{}的前10项的和 D．求数列{}的前11项的和【考点】程序框图．【分析】分析程序中循环变量的初值，终值，步长及累加项的通项公式，可得程序的功能．【解答】解：由已知框图可得：循环变量k的初值为1，终值为10，步长为1，故循环共进而10次，又由循环变量n的初值为1，步长为2，故终值为20，由S=S+可得：该程序的功能是计算S=的值，即数列{}的前10项的和，故选：C．7．下列函数：①y=xsinx，②y=xcosx，③y=x|cosx|，④y=x2x的图象（部分）如图（但顺序被打乱）：则从左到右的各图象依次对应的函数序号是（）A．①④②③B．①④③②C．④①②③D．③④②①【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和函数值得特点即可判断．【解答】解：①y=xsinx是偶函数，其图象关于y轴对称；②y=xcosx是奇函数，其图象关于原点对称；③y=x|cosx|是奇函数，其图象关于原点对称．且当x＞0时，y≥0；④y=x2x为非奇非偶函数，且当x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0；故选A．8．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x【考点】抛物线的标准方程．【分析】根据抛物线方程算出|OF|=，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．【解答】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，∵以MF为直径的圆过点（0，2），∴设A（0，2），可得AF⊥AM，Rt△AOF中，|AF|==，∴sin∠OAF==，∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，∵|MF|=5，|AF|=∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故选：C．方法二：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故答案C．9．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，由图象知CD的距离最小，此时z最小．由得，即C（0，1），此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，故选：D．10．已知非零向量、满足，则与的夹角为（）A． B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对平方得出，=．从而得到=．计算（）•（）==．代入向量的夹角公式计算夹角的余弦．【解答】解：∵，∴，=．∴=．∴（）•（）==．∴cos＜＞=．∴＜＞=．故选：D．11．设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，2）C．（1，2）D．（，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定双曲线﹣=1的两条渐近线方程，求得A，B的坐标，利用60°＜∠AFB＜90°，可得，由此可求双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：双曲线﹣=1的两条渐近线方程为，x=时，y=，∴A（，），B（，﹣），∵60°＜∠AFB＜90°，∴，∴，∴，∴，∴1＜e2﹣1＜3，∴．故选B．12．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数α的最小值为（）A．B．2﹣C．1﹣D．1+2e2【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简a≥x3﹣3x+3﹣，从而令F（x）=x3﹣3x+3﹣，求导以确定函数的单调性，从而解得．【解答】解：f（x）≤0可化为e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x≤0，即a≥x3﹣3x+3﹣，令F（x）=x3﹣3x+3﹣，则F′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+e﹣x），令G（x）=3x+3+e﹣x，则G′（x）=3﹣e﹣x，故当e﹣x=3，即x=﹣ln3时，G（x）=3x+3+e﹣x有最小值G（﹣ln3）=﹣3ln3+6=3（2﹣ln3）＞0，故当x∈[﹣2，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）有最小值F（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故实数α的最小值为1﹣．故选：C．二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）13．=3．【考点】定积分．【分析】将（0，2）区间分为（0，1）和（1，2），分别化简2﹣|1﹣x|，转化成=∫01（1+x）dx+∫12（3﹣x）dx，求解即可．【解答】解：=∫01（1+x）dx+∫12（3﹣x）dx=（x+x2）|01+（3x﹣）|12=（1+﹣0）+（6﹣2﹣3+）=3故答案为：314．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）解析式f（x）=2sin（2x﹣）．【考点】正弦函数的图象．【分析】由最值求出A，由周期求出ω，代入特殊点坐标求出φ．【解答】解：由图象可知f（x）的最大值为2，周期T=2（）=π，∴ω=．∵f（）=2，∴2sin（φ）=2，∴+φ=，即φ=﹣+2kπ．∵﹣＜φ＜，∴k=0时，φ=﹣．故答案为：f（x）=2sin（2x﹣）．15．已知函数f（x）=lnx﹣（m∈R）在区间[1，e]取得最小值4，则m=．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导函数，然后分m的范围讨论函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最小值，利用最小值等于4求m的值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．当f′（x）=0时，，此时x=﹣m，如果m≥0，则无解．所以，当m≥0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，m=﹣4，矛盾舍去；当m＜0时，若x∈（0，﹣m），f′（x）＜0，f（x）为减函数，若x∈（﹣m，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（﹣m）=ln（﹣m）+1为极小值，也是最小值；①当﹣m＜1，即﹣1＜m＜0时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，所以m=﹣4（矛盾）；②当﹣m＞e，即m＜﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=1﹣=4．所以m=﹣3e．③当﹣1≤﹣m≤e，即﹣e≤m≤1时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（﹣m）=ln（﹣m）+1=4．此时m=﹣e3＜﹣e（矛盾）．综上m=﹣3e．16．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用三角形是直角三角形求出顶点坐标，代入双曲线方程，利用双曲线的几何量之间的关系，求出离心率的表达式，然后求解即可．【解答】解：抛物线焦点F（1，0），由题意0＜a＜1，且∠AFB=90°并被x轴平分，所以点（﹣1，2）在双曲线上，得，即，即，所以，∵0＜a＜1，∴e2＞5，故．故答案为：．三、解答题（本大题共六小题共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知正项等比数列{a n}满足a1，2a2，a3+6成等差数列，且a42=9a1a5，（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（log a n+1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（II）b n=（log a n+1）•a n=（2n+1）•3n．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1，2a2，a3+6成等差数列，∴2×2a2=a3+6+a1，又a42=9a1a5，∴，解得a1=q=3．∴a n=3n．（II）b n=（log a n+1）•a n=（2n+1）•3n．∴数列{b n}的前n项和T n=3×3+5×32+…+（2n+1）•3n．3T n=3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n+（2n+1）•3n+1，∴﹣2T n=32+2×（32+33+…+3n）﹣（2n+1）•3n+1=+3﹣（2n+1）•3n+1=﹣2n•3n+1，∴T n=n•3n+1．18．某校在2 015年11月份的高三期中考试后，随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组[90，100），…第六组[130，140]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校数学的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）这50名学生中成绩在120分以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分）以上的人数记为X，求X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，求出成绩在[120，130）的频率以及平均成绩；（Ⅱ）根据题意，计算对应的概率值，求出X的分布列与数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得：成绩在[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=1﹣0.88=0.12；所以估计该校全体学生的数学平均成绩为85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，所以该校的数学平均成绩为107；（Ⅱ）根据频率分布直方图得，这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.08×50=4人，而在[120，140]的学生共有0.12×50+0.08×50=10，所以X的可能取值为0、1、2、3，所以P（X=0）===，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2（Ⅰ）证明：AG∥平面BDE；（Ⅱ）求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可证明AG∥平面BDE；（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值．【解答】解：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD．…根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0）G（0，2，1）…．（Ⅰ）设平面BDE的法向量为，∵，∴，即，∴x=y=z，∴平面BDE的一个法向量为…..∵∴，∴，∵AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE．…．（Ⅱ）设平面BAG的法向量为，平面BDE和平面BAG所成锐二面角为θ…．因为，，由得，…．∴平面BAG的一个法向量为，∴．故平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值为…．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2=﹣．（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线l与x轴交于点D（﹣，0），且满足=2，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，即可得到b2=a2，运用离心率公式可得所求；（2）椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，设直线l的方程为：，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，求得三角形的面积，化简运用基本不等式可得最大值，即可得到所求椭圆方程．【解答】解：（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆C的方程有：，两式相减：，即，直线l的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，可得k1=，k2=，即有，即b2=a2，c2=a2﹣b2=a2，可得；（2）由（1）知，得a2=3c2，b2=2c2，可设椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，设直线l的方程为：，代入椭圆C的方程有，因为直线l与椭圆C相交，所以△=48m2﹣4（2m2+3）（6﹣6c2）＞0，由韦达定理：，．又，所以y1=﹣2y2，代入上述两式有：，=，当且仅当时，等号成立，此时c2=5，代入△，有△＞0成立，所以所求椭圆C的方程为：．21．已知f（x）=xlnx﹣ax，g（x）=﹣x2﹣2．（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣1时，求函数f（x）在区间[m，m+3]（m＞0）上的最值；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立，可化为a≤lnx+x+在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；（Ⅱ）把a=﹣1代入f（x），再求出f′（x），由f'（x）=0得，然后分类讨论，当时，在上f'（x）＜0，在上f'（x）＞0，因此f（x）在处取得极小值，由于f（m）=m（lnm+1）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0，因此f（x）max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]，当时，f'（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，从而可求出函数f（x）在区间[m，m+3]（m＞0）上的最值；（Ⅲ）要证成立，即证，由（Ⅱ）知a=﹣1时，f（x）的最小值是，当且仅当时取等号．设，x∈（0，+∞），则，易知，当且仅当x=1时取到，即可证得结论．【解答】（Ⅰ）解：对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立．也就是在x∈（0，+∞）上恒成立．令，则．x∈（0，1）时，F'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0．因此F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F（x）min=F（1）=3，∴a≤3；（Ⅱ）解：当a=﹣1时，f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，由f'（x）=0得．当时，在上f'（x）＜0，在上f'（x）＞0．因此f（x）在处取得极小值，也是最小值．故．由于f（m）=m（lnm+1）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0，因此f（x）max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．当时，f'（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，故f（x）min=f（m）=m（lnm+1），f（x）max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]；（Ⅲ）证明：要证成立，即证，x∈（0，+∞）．由（Ⅱ）知a=﹣1时，f（x）=xlnx+x的最小值是，当且仅当时取等号．设，x∈（0，+∞），则，易知，当且仅当x=1时取到．从而可知对一切x∈（0，+∞），都有．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE•AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C的方程为，点，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）求曲线C的直角坐标方程及点R的直角坐标；（2）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时点P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由极坐标转化为直角坐标即可；（2）由参数方程，设出P的坐标，得到矩形的周长，根据三角函数的图象和性质即可求出最值．【解答】解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为，点R的直角坐标为（2，2），（2）曲线C的参数方程为为参数，α∈[0，2π）），设，如图，依题意可得：|PQ|=2﹣cosα，，∴矩形周长=，∴当时，周长的最小值为4，此时，点P的坐标为．【选修4-5：不等式选讲】24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．。
【2016年高考数学】甘肃省天水市秦安县2016届高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案
天水市秦安县2016届高三第一次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分. 试卷总分为150分. 考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合|2,,1,0,2,3M x x xR N，则MNA.{0,1,2}B. {-1,0,1,2}C.{-l,0,2.3 lD.{0,l,2,3} 2.设复数z 满足(1 -i)z=2i ，则z=A.-1+iB.-1-iC.1+iD. l-i3．等比数列n a 的前n 项和为n S ，已知321510,9S a a a ，则1a A.13B ．13C. 19D.194．已知m ，n 为异面直线，m平面，n平面.直线l 满足,n,,lm l l l, 则A ．//，且//l B.，且l C ．与相交，且交线垂直于l D ．与相交，且交线平行于l ，5．已知实数x ，y 满足(01)xyaa a，则下列关系式恒成立的是A.221111xyB.22ln(1)ln(1)xyC.33xyD.sin sin x y6．设函数f(x)满足()()cos f x f x x ，当0x时，()0f x ，则11()3f =。
甘肃省天水市秦安县第二中学高三数学上学期期中试题 文
甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期期中考试高三级数学（文科）试题本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A I 等于（ ） A ．{|2}x x > B ．{}02x x << C ．{} 12x x << D ．{|01}x x <<2．设复数z=2+bi (b ∈R)且z =22，则复数z 的虚部为 ( ) A. 2 B.±2i C.±2 D. ±223．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．若点(,9)a 在函数3xy =的图象上，则tan6a π的值为（ ） A 、0 B.3C.1D.3 5．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是（ ）A ．102B ．39C ．81D ．216．已知向量3,1),(0,1),(3),2,a b c k a b c k ===+=r r r r r r若与垂直则 （ ）A 、—3 B.—2 C.l D.－l7．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 A 、向左平移4π个长度单位 B.向右平移4π个长度单位C.向左平移2π个长度单位D.向右平移2π个长度单位8．下列函数中,既是偶函数又在区间（0,+ ∞）上单调递减的是（ ） A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x =-+ D ．lg ||y x = 9．已知,()()()a b f x x a x b >=--函数的图象如图，则函数()log ()a g x x b =+的图象可能为（ ）yx1OA ．B ．C ．D ． 10．已知,2log 2,)21(,252.02.1===-c b a 则c b a ,,的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b << 11．定义在R 上的函数()f x 在（－∞，2）上是增函数，且(2)f x +的图象关于错误!未找到引用源。
人教A版数学必修一甘肃省天水市秦安县第二中学上学期第一次月考试卷.docx
甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期第一次月考试卷高一数学一、选择题（每小题5分，共60分）1、设集合{123}{139}A B x A ==∈，，，，，，，且x B ∉，则x =（ ）A 、1B 、2C 、3D 、92．设全集U ＝{x ∈Z|－1≤x ≤5}，A ＝{1,2,5}，B ＝{x ∈N|－1＜x ＜4}，则B ∩(∁U A )＝( )A ．{3}B ．{0,3}C ．{0,4}D ．{0,3,4}3．已知集合A ＝{0,1}，则下列式子错误的是( ) A ．0∈A B ．{1}∈A C ．∅⊆AD ．{0,1}⊆A4、下列四个图像中，是函数图像的是 （ ）A 、（1）B 、（1）、（3）、（4）C 、（1）、（2）、（3）D 、（3）、（4）5．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2)D ．[1,2)∪(2，＋∞)6.下列图象中表示函数图象的是 （ ）7.已知()121+=-x x f ，则()3f 的值是（ ） A ．5 B ．9 C ．7 D ．88.已知函数21()2x f x x ⎧+=⎨-⎩ (0)(0)x x ≤>，则))1((f f 的值是（ ）A ．－2B ．2C ． －4D ．59.给出下列集合A 到集合B 的几种对应,其中，是从A 到B 的映射的有( )A ．(1)(2)B ．(1)(2)(3)C ．(1)(2)(4)D ．(1)(2)(3)(4) 01()()22f x x x =-++的10. 函数定义域为（ ）A.1(2,)2-B.[-2，+∞）C.),21()21,2[+∞-YD.1(,)2+∞11. 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ],0[+∞∈时f (x )是增函数，则f (-2),f (4),f (-3)的大小关系是（ ）A.f (4)>f (-3)>f (-2)B.f (4)>f (-2)>f (-3)C.f (4)<f (-3)<f (-2)D.f (4)<f (-2)<f (-3) 12.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是（ ）A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数二、填空题（每小题5分，共20分）13.设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.[答案] 1[解析] ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ， ∵a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1.14.{}2{|1}|1A x x B x ax ====，，B A ⊂≠，则a 的值是 _______[答案] -1,1或015.已知集合M={(x,y)|x ＋y =2},N={(x,y )|x －y =4},那么集合M ∩N ＝ ．16．函数f (x )＝|x －1|的单调递减区间是________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分.写出文字说明证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)化简计算)32(4)1(31313132----÷b a ba 23202)3()833()21()32((2)π-+--+- 18.（本小题满分12分）设U={}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，A={}1,2,3,4,5,B={}4,5,6,7,8, C={}3,5,7,9,求,,(),()U A B A B A C B A B C I U I U I 19.(本小题满分12分)求证：函数11)(+=xx f 在（0，∞+）上是减函数. 20.(本小题满分12分)设函数2211)(xx x f -+=． （1）求它的定义域；（2）判断它的奇偶性.21.(本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象关于直线x ＝1对称．(1)求实数a 的值(2)若f (x )的图象过(2,0)点，求x ∈[0,3]时f (x )的值域． 22. (本小题满分12分）若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0， 满足 f (x y)＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f (13)<2.高一数学月考答案一、 选择题1-5 BBBBD 6-10 CBDAC 11-12 AB二、填空题 13.1 14.-1,1或0 15.{（3，-1）} 16.（-∞，1） 三、解答题17.解：(1)原式＝－6a 23－(－13)b－13－(－13)＝－6a .(2)原式＝94＋1－(32)2＋π－3＝π－2.18、解：A ∩B=｛4,5｝ ，A ∪B=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝ A ∩（U C B ）=｛1,2,3｝， A ∪(B ∩C)= ｛1,2,3,4,5,7｝. 19、证明：任取1x ,2x ∈(0,+∞)且1x <2x 则f(1x )-f(2x )=2112x x x x - ∵ 1x ,2x ∈(0,+∞)且1x <2x ∴f(1x )-f(2x )<0 即f(1x )<f(2x )∴函数1()f x x x=+在(1,)+∞是增函数. 20.解：（1）｛x ︱x ≠1且x ≠-1｝ （2）f(-x)=f(x) 偶函数[解析] (1)二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的对称轴为x ＝－a2，∴－a2＝1，∴a ＝－2.(2)若f (x )，过(2,0)点，∴f (2)＝0，∴22－2×2＋b ＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝x 2－2x .当x ＝1时f (x )最小为f (1)＝－1，当x ＝3时，f (x )最大为f (3)＝3，∴f (x )在[0,3]值域为[－1,3]．22.解：(1)在f (x y)＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0. (2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f (13)<2＝f (6)＋f (6)，∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f (x ＋32)<f (6)．∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32>0，x ＋32<6解得－3<x <9.即不等式的解集为(－3,9)．。
2016届甘肃省天水市一中高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2016届甘肃省天水市一中高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}1,2a A =，{},B a b =，若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B 为（ ）A ．1,1,2b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】试题分析：因为12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以1212aa =∴=-，所以12b =，所以11,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，11,2B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，所以11,,12A B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭．【考点】集合的交集、并集运算．2．设i 是虚数单位，复数ii z +=12，则z =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2 【答案】B【解析】试题分析：()()()2121111i i i z i z i i i -===+∴=++- B ． 【考点】复数的运算．3．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．①② 【答案】B【解析】试题分析：∵两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④． 【考点】线性相关关系．4．等比数列{}n a 中，6453=a a ，则=4a （ ）A ．8B ．8-C ．8或8-D ．16 【答案】C试卷第2页，总16页【解析】试题分析：2354464648a a a a =∴=∴=± ，故选C ． 【考点】等比中项．5．已知函数221,1(x),1x x f x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若[]2(0)4f f a =+，则实数a =（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．0或2【答案】D【解析】试题分析：()()()()202,02424f ff f a a=∴==+=+ ，解得a =0或2．【考点】分段函数．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4 【答案】D【解析】试题分析：根据几何体的三视图，得该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为21122234S πππ=⋅+⨯⨯+⨯=+几何体，故选：D ． 【考点】由三视图求面积、体积．7．若动圆与圆()2224x y ++=相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ．212120y x +-= B ．212120y x -+= C ．280y x += D ．280y x -= 【答案】A【解析】试题分析：设圆()2224x y ++=的圆心1()20C -，，动圆圆心P 的()x y ，，半径为r ，作42x x PQ ==⊥，，直线4x Q =，为垂足，因圆P 与2x =相切，故圆P 到直线4x =的距离2PQ r =+，又12PC r =+，因此()P x y ，到1()20C -，与直线4x =的距离相等，P 的轨迹为抛物线，焦点为1()20C -，，准线4x =，顶点为(1)0，，开口向右，可得6P =，方程为()2121y x =--，故选A ．【考点】轨迹方程．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9C ．7D ．5 【答案】B【解析】试题分析：当1n =时，执行循环体后，2183T S n ===，，，不满足退出循环的条件，当3n =时，执行循环体后，8365T S n ===，，，不满足退出循环的条件，当5n =时，执行循环体后，32547T S n ===，，，不满足退出循环的条件，当7n =时，执行循环体后，128729T S n ===，，，满足退出循环的条件，故输出的n 值为9，故选B ． 【考点】程序框图．9．已知||3a = ，||2b = ，若3a b ⋅=- ，那么向量,a b的夹角等于（ ）A ．23πB ．3πC ．34πD ．4π 【答案】A 【解析】试题分析：试卷第4页，总16页123,cos ,6cos ,3cos ,,23a b a b a b a b a b a b a b π⋅=-∴⋅=⋅<>=<>=-∴<>=-∴<>=，故选A ．【考点】平面向量的数量积公式． 10．函数2ln xy x=的图象大致为（ ）【答案】D【解析】试题分析：函数的定义域为()(0,1) 1.⋃+∞．求导()()()()22ln ln 'ln 1ln ln x x x x x y x x '⋅-⋅-'==，令0y '<可得 0x e <<，结合定义域可知()(0,1) 1.e ⋃令0y '>可得x e >，即函数ln xy x=在()()0,1,1.e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，由图可知选D ．【考点】1．利用导数研究函数的单调性；2．函数的图像．【方法点睛】求函数的单调区间的方法： （1）求导数()y f x ''=； （2）解方程()0f x '=；（3）使不等式()0f x '>成立的区间就是递增区间，使()0f x '<成立的区间就是递减区间．由此再结合函数的图像即可判断出结果．11．以双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上一点M 为圆心的圆与x 轴恰相切于双曲线的一个焦点F ，且与y 轴交于P Q 、两点．若MPQ ∆为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．4 B【答案】D 【解析】试题分析：由于圆M 与x 轴恰相切于双曲线的一个焦点F ，且M 在双曲线上，所以2,b Mc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为MPQ ∆为正三角形，所以M 到y2b c a =，又222b c a =-，所以可得()2222243a c c a=-，得e =【考点】双曲线的离心率．【思路点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，解决本题的关键是利用数形结合．首先根据题意画出示意图，由此即可求出2,b Mc a ⎛⎫⎪⎝⎭，然后再根据MPQ ∆为正三角形，可知正三角形MPQ ∆的边长为2b a ，所以M 到y2b c a=，由此即可求出结果．12．对于任意实数b a ,，定义{},min ,,a a ba b b b a≤⎧=⎨<⎩，定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+，且当20≤≤x 时，{}x x f x --=2,12m i n )(，若方程0)(=-mx x f 恰有两个根，则m 的取值范围是（ ）A ．{}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1C ．{}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1D ．⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21 【答案】A【解析】试题分析：当02x ≤≤时，{}21,()m i n 21,2021,12xxf x x x x x ⎧-=--=-<≤≤≤⎨⎩．由题意定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+，故函数)(x f 的周期是4，由方程0)(=-mx x f ，得()f x mx =， 作出函数)(x f 和()h x mx =的图象，当0m =时，方程由无穷多个根，不满足条件，当1m =或-1m =方程0)(=-mx x f 恰有两个根若01m <<，则要使方程0)(=-mx x f 恰有2个零点，则满足()13211x h ⎧<⎪⎨>-⎪⎩即211ln 2331m m m ⎧<⇒<<⎨>⎩若0m <，则要使方程0)(=-mx x f 恰有2个零点，有偶函数的对称性，可知1ln 23m -<<-试卷第6页，总16页综上，{}111,1ln 2,,ln 233m ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选A ．【考点】分段函数的应用【思路点晴】本题考查了函数的图象的作法及方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了直线的斜率的求法与应用，属于基础题．由题意可得函数()f x 是周期函数，从而作出函数)(x f 与()h x mx =的图象，再结合图象求出四个临界点所形成的直线的斜率，从而得到答案．二、填空题13．若,x y 满足不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则12z x y =+的最小值是__________．【答案】32【解析】试题分析：首先根据已知条件画出其约束条件如下图所示，然后将目标函数12z x y =+进行变形为： 12y x z =-+，所以要使得目标函数12z x y =+的最小值，由图可知，当其过点(1,1)B 时，取得最小值，且为min 131122z =⨯+=，故应填32．【考点】简单的线性规划．14．()()8x y x y -+的展开式中72y x 的系数为 ．【答案】20-【解析】试题分析：()8x y +的展开式中，含7xy 的系数是8．含26x y 的系数是28，∴()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为：82820-=-．【考点】二项式系数的性质．15．已知数列{}n a 满足113,2n n a a a n +=-=，则n a = ．【答案】23()n a n n n N *=-+∈ 【解析】试题分析：()()()1112232,21,22,23,n n n n n n n n a a n a a n a a n a a n +------=∴-=--=--=- 21.....,2a a -=，利用累加法即可求出()()()21122124 (212)n n n a a n n n-+-⎡⎤⎣⎦-=+++-==-，所以23()n a n n n N *=-+∈．【考点】数列的递推关系．【思路点睛】首先，根据题中所给的数列的递推关系式12n n a a n +-=，由此递推可写出()()()1122321,22,23,n n n n n n a a n a a n a a n ------=--=--=-21.....,2a a -=，然后再利用累加法，可得21n a a n n -=-，然后再代入1a 的值即可求出结果． 16．在四面体ABCD 中，已知ABC BD BC BD AC AB 面，，⊥====43．则四面体ABCD 的外接球的半径为__________． 【答案】10805【解析】试题分析：设ABC ∆的外接圆的圆心为1O ，半径为r ，四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，显然1O O ⊥平面ABC ．设BD 的中点为E ，因为OB OD =，故由OE BD ⊥，又BD ⊥平面ABC ，故//OE 平面ABC ，所以1122O O EB BD ===．在ABC ∆中，由余弦定理可得1cos 9A =，所以sin A =2sin a r A =，即42r =，所以r =，故四面体ABCD 的外接球的半径R ==试卷第8页，总16页【考点】1．正弦定理；2．余弦定理；3．空间点线面之间的位置关系．【思路点睛】根据题意作出几何体的示意图，设ABC ∆的外接圆的圆心为1O ，半径为r ，四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，显然1O O ⊥平面ABC ．设BD 的中点为E ，分别利用余弦定理、正弦定理以及勾股定理即可求出结果．三、解答题17．在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C2sin c A =． （1）确定角C 的大小；（2）若c =ABC ∆，求a b +的值． 【答案】（1）060C =（2）5a b +=【解析】试题分析：（1）本题考察的是解三角形的综合问题，本题中利用正弦定理化简已知等式，根据sin A 不为0求出sin C 的值，由C 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出C ∠的大小．（2）利用三角函数面积公式列出关系式，将sin C 与已知面积代入求出ab 的值，再利用余弦定理列出关系式，结合完全平方公式进行变形，把c 与cos C ，以及ab 的值代入即可求出a b +的值．试题解析：（1）2sin c A =，由正弦定理2sin sin A C A =sin 2C ∴=由ABC ∆是锐角三角形， 60C ∴=（2）1sin 22ABC S ab C ∆==6ab ∴=， 2221cos 22a b c C ab +-==，将c =2213a b +=，【考点】1．正弦定理；2．余弦定理．18．袋中装有4个白棋子，3个黑棋子，从袋中随机地取出棋子，若取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，现从袋中任取4个棋子． （1）求得分X 的分布列； （2）求得分大于6的概率． 【答案】（1）详见解析；（2）1335【解析】试题分析：（1）X 的取值为5678、、、．分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）根据X 的分布列，能得到得分大于6的概率．试题解析：（1）袋中共7个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋子的个数为1,2,3,4，对应的得分X 为5,6,7,8．由题意知，取到的白棋子数服从参数为7,4,4N M n ===的超几何分布，故得分也服从该超几何分布．132243434477314434447748(X 5);(X 6);3535121(X 7);(X 8)3535C C C C P P C C C C C P P C C ============所以X 的分布列为（2）根据的分布列，可得到得分大于6的概率为12113(6)(7)(8)353535P X P X P X >==+==+=． 【考点】1．随机变量的分布列；2．求随机变量的概率 【方法点睛】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．19．直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点．（1）证明：AC AB ⊥ ； （2）证明：DF AE ⊥；（3）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC ？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点D 为11A B 中点．【解析】试题分析：（1）先证明AB AC ⊥，然后以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，则能写出各点坐标，由共线可得(,0,1)D λ，所以0DF AE ⋅=，即D F A E ⊥；（3）通过计算，面DEF 的法向量为n 可写成，()()3,12,21n λλ=+-，又面ABC 的试卷第10页，总16页法向量()0,0,1m = ，令()cos ,14m n m n m n ⋅==，解出λ的值即可．试题解析：（1）证明：∵11AE A B ⊥，11//,A B AB AE AB ∴⊥，又∵11,AA AB AA AE A ⊥= ∴AB ⊥面11A ACC ．又∵AC ⊂面11A ACC ，∴AB AC ⊥，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则有()()()111110,0,0,0,1,,,,0,0,0,1,1,0,1222A E F A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()111,,,D x y z AD AB λ=且()0,1λ∈，即(),,1(1,0,0)x y z λ-=，则11(,0,1),,,122D DF λλ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，∵1110,1,,0222AE DF AE ⎛⎫=∴⋅=-= ⎪⎝⎭，所以DF AE ⊥；（2）结论：存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC，理由如下：由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m = ，设面DEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n FE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∵11111,,,,,122222FE DF λ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩， 令()21z λ=-，则()()3,12,21n λλ=+-．∵平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14，∴cos ,14m n m n m n ⋅===，解得12λ=或74λ=（舍），所以当D 为11A B 中点时满足要求． 【考点】1、二面角的平面角及求法；2、直线与平面垂直的性质．【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为θ)0(πθ≤≤，设12,n n分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n 的夹角为ω，则有πωθ=+（图1）或 ωθ=（图2）其中1212cos ||||n nn n ω⋅=⋅．20．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且|1F 2F |=2，点（1，23）在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若∆A 2F B 的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．【答案】（1）13422=+y x ；（2）()2122=+-y x 【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出22,b a 的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．试卷第12页，总16页试题解析：（1）椭圆C 的方程为13422=+y x（2）①当直线l ⊥x 轴时，可得A （-1，-23），B （-1，23），∆A 2F B 的面积为3，不符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k （x+1）．代入椭圆方程得：01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然∆＞0成立，设A ),(11y x ，B ),(22y x ，则2221438k k x x +-=+，222143128k k x x +-=⋅，可得|AB|=2243)1(12k k ++又圆2F 的半径r=21||2k k +，∴∆A 2F B 的面积=21|AB| r=22431||12k k k ++=7212，化简得： 174k +2k -18=0，得k=±1，∴r =2，圆的方程为2)1(22=+-y x【考点】（1）椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题． 21．已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>． （1）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （2）当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （3）试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e-+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++> （*N n ∈）．【答案】（1）()f x 在区间(0,)+∞上是减函数；（2）3（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）求导，讨论导数的符号，导数大于0得增区间；导数小于0得减区间．（2）当0x >时，k x f x >+)()1(恒成立，令()()()1h x x f x =+可转化为求函数()h x 的最小值问题．将函数()h x 求导．讨论导数的符号得函数()h x 的单调性，根据其单调性求其最值即可．（3）由（2）可知0x >时()()13x f x +>恒成立，即3ln(1)11xx x +>-+．通过放缩法可证得3l n (1)2x x+>-．由题意分析可令()1x n n =+，则可得[]()3ln 1(1)21n n n n ++>-+，再将()31n n +变形上式可变形为[]11ln 1(1)231n n n n ⎛⎫++>-- ⎪+⎝⎭．将n 分别取1,2,3, ，n 可得n 个不等式，再将这n 个不等式相加，根据对数的运算法则即可证得命题．试题解析：（Ⅰ）由题21[ln(1)]10,()0,x x x f x x+++'>=-< 故()f x 在区间(0,)+∞上是减函数；（Ⅱ）当0x >时，()1k f x x >+恒成立，即1[1ln(1)]x k x x+<++在(0,)+∞上恒成立，取1()[1ln(1)]x h x x x +=++，则21ln(1)()x x h x x--+=， 再取()1ln(1),g x x x =--+则1()10,11x g x x x '=-=>++ 故()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)ln 20,(2)1ln30,(3)22ln 20g g g =-<=-<=->， 故()0g x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3),1ln(1)0a a a ∈--+=， 故(0,)x a ∈时，()0;(,)g x x a <∈+∞时，()0,g x >故[]min 1()1ln(1)1(3,4),3,a h x a a k a+=++=+∈≤故max 3k = （3）由（2）知：1ln(1)3333(0)ln(1)122111x x x x x x x x x++>>⇒+>-=->-+++ 令311(1),ln[1(1)]223()(1)1x n n n n n n n n =+++>-=--++，又ln[(112)(123)(134)(1(1))]n n +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++ln(112)ln(123)ln(1(1))n n =+⨯++⨯+++⨯+1111123[(1)()()]2231n n n >--+-++-+1323(1)232311n n n n n =--=-+>-++即：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e-+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>【考点】【考点】用导数研究函数的性质．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，锐角三角形ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为圆I 与边CA 的切点．（1）求证,,,A I H E 四点共圆；试卷第14页，总16页（2）若50C ∠=︒，求IEH ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）25︒ 【解析】试题分析：（1）证明DE AE ⊥，根据AF DF ⊥，可得A D F E ，，，四点共圆，直径为AD ；（2）先证明1809022BAC ABC C ADB ∠+∠∠∠=︒-=︒+，再利用A D F E ，，，四点共圆，可求DEF ∠的度数．试题解析：解析:（1）由圆I 与AC 相切于点E 得IE AC ⊥，结合HI AH ⊥，得90AEI AHI ∠=∠=︒，所以,,,A I H E 四点共圆．（2）由（1）知,,,A I H E 四点共圆，所以IEH HAI ∠=∠．由题意知12HIA ABI BAI ABC ∠=∠+∠=∠+ 1111()()218090222BAC ABC BAC C C ∠=∠+∠=︒-∠=︒-∠， 结合IH AH ⊥，得1190909022()HAI HIA C C ∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠，所以12IEH C ∠=∠．由50C ∠=︒得25IEH ∠=︒．【考点】弦切角．23． （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2:cos sin 1C ρθρθ+=，若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点． （1）求||AB 的值；（2）求点(1,2)M -到A 、B 两点的距离之积． 【答案】（1）max d =（2）1．【解析】试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用cos x ρθ=、sin y ρθ=将直线l 的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式计算，利用三角函数的有界性求最值；第二问，利用平方关系将曲线C 的方程转化为普通方程，将直线l 的参数方程与曲线C 的方程联立，消参，得到121t t =-，即得到结论1MA MB ⋅=．试题解析：解析：（1） 曲线1C 的普通方程为2212x y +=，2:cos sin 1C ρθρθ+=，则2C 的普通方程为10x y +-=，则2C的参数方程为：()1222x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数 代入1C得23140t +=，12AB t t =-==（2） 12143MA MB t t ==． 【考点】1．参数方程与普通方程的转化；2．极坐标方程与直角坐标方程的转化；3．点到直线的距离公式． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （1）已知实数b a ,满足2,2<<b a ，证明：ab b a +<+42；（2）已知0a >a＋1a －2． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）法一2,2<<b a ，∴42<a ，42<b ，∴042>-a ，042>-b ． ∴()()04422>--b a ，即044162222>+--b a b a ， 整理化简可得()()22422ab b a +<+，即可证明结果．法二：利用分析证明法亦可证明结果．（2）利用分析证明法亦可证明结果．试题解析：（1）证明：证法一2,2<<b a ，∴42<a ，42<b ，∴042>-a ，042>-b ． ∴()()04422>--b a ，即044162222>+--b a b a ，∴22221644b a b a +<+，∴2222816484b a ab b ab a ++<++，即()()22422ab b a +<+，∴ab b a +<+42．证法二：要证ab b a +<+42，只需证,8168442222ab b a ab b a ++<++ 只需证,16442222b a b a +<+只需证,044162222>--+b a b a 即()()04422>--b a．2,2<<b a ，∴42<a ，42<b ，∴()()04422>--b a 成立．∴要证明的不等式成立． （2-21a a ≥+，试卷第16页，总16页2a ≥+1a＋ 只需证22414a a+++2a +2122a ++12a a ⎫+⎪⎭＋，即证≥1a a ⎫+⎪⎭， 只需证22421a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋2212a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋， 即证2221a a ≥＋，此式显然成立． ∴原不等式成立． 【考点】1．绝对值不等式；2．分析证明．。
2024届甘肃省天水市秦安县第二中学数学高三第一学期期末综合测试模拟试题含解析
2024届甘肃省天水市秦安县第二中学数学高三第一学期期末综合测试模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．32B ．32-C ．23D ．23-2．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ） A ．2-B ．1-C ．3-D ．23．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3A ．243π+B ．342π+C ．263π+D ．362π+4．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好5．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．4B ．34C ．211D ．146．若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦9．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-10．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．0或3 B ．0或3C ．1或3D ．1或311．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．12．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三化学上学期第一次检测考试试题
甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三上学期第一次检测考试化学试题可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 K 39 N 14 Na 23 Ca 40Cl 35.5 Mg 24 Fe 56注意事项:1．本试题满分100分，考试时间90分钟。
2．考生答卷前务必用蓝、黑墨水笔或圆珠笔将班级、姓名、准考证号填写在试卷上。
3．交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上的无效。
一、选择题：每小题只有一个选项符合题意。
每小题3分，共48分。
1．运用有关概念判断下列叙述正确的是（）A．1molH2燃烧放出的热量为H2的燃烧热B．Na2SO3和H2O2的反应为氧化还原反应C．和互为同系物 D．BaSO4的水溶液不导电，故BaSO4是弱电解质2．某学习兴趣小组讨论辨析以下说法，其中说法正确的是（）①通过化学变化可以实现16O与18O间的相互转化②灼烧钠的化合物时，火焰呈黄色，发生化学反应③碱性氧化物一定是金属氧化物④只由一种元素组成的物质一定为纯净物⑤石墨和C60是同素异形体⑥糖类、蛋白质、油脂属于天然高分子化合物A．③⑤⑥B．①②C．③⑤D．①③④3．设NA为阿伏加德罗常数的值,下列叙述正确的是（）A．标准状况下,33.6 L氟化氢中含有氟原子的数目为1.5NA B．常温常压下,7.0 g乙烯与丙烯的混合物中含有碳氢键的数目为NAC．50 mL 18.4 mol·L-1浓硫酸与足量铜微热反应,生成SO2分子的数目为0.46NAD．某密闭容器盛有0.1 mol N2和0.3 mol H2,在一定条件下充分反应,转移电子的数目为0.6NA4．下列各组离子能在指定环境中大量共存的是（）A．在c（HCO3－）=0.1 mol·L-1的溶液中：NH4+、AlO2－、Cl－、NO3－B．在由水电离出的c（H+）=1×10-12 mol·L-1的溶液中：Fe2+、ClO－、Na+、SO42－C．在加入铝粉产生H2的溶液中：SO42－、NO3－、Na+、NH4+D．在使红色石蕊试纸变蓝的溶液中：SO32－、CO32－、Na+、K+5．下列物质中，既能导电又属于强电解质的一组物质是（）A．熔融MgCl2、熔融NaOH B．液氨、石灰水C．石墨、食醋D．稀硫酸、蔗糖6．下列离子方程式与所述事实相符且正确的是（）A ．在强碱性溶液中，次氯酸钠将Mn 2＋氧化成MnO 2：Mn 2＋＋ClO －＋H 2O=MnO 2↓＋Cl －＋2H ＋B ．用稀硝酸清洗做过银镜反应的试管：Ag ＋NO 3－＋4H ＋===Ag ＋＋NO ↑＋2H 2O C ．向FeBr 2溶液中通入过量的Cl 2：2Fe 2＋＋2Br －＋2Cl 2===2Fe 3＋＋Br 2＋4Cl －D ．用铁棒作阴极、炭棒作阳极电解饱和氯化钠溶液： 2Cl －＋2H 2O==H 2↑＋Cl 2↑＋2OH －7．下列说法正确的是（ ）A ．石油分馏、煤的气化、海水制食盐、蛋白质变性等过程都包含化学变化B ．酸性氧化物一定不能和酸反应C ．稀豆浆、硅酸、氯化铁溶液均为胶体D ．爆鸣气、铝热剂、玻璃、花生油、聚乙烯均为混合物 8．除去下列物质中所含的少量杂质的方法正确的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④9．按以下实验方案可从海洋动物柄海鞘中提取具有抗肿瘤活性的天然产物。
甘肃省天水市秦安县第二中学高三数学上学期第三次检测试题 理
甘肃省天水市秦安县第二中学2016届上学期高三级第三次检测考试数 学（理科） 试 题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数iz -=12，则复数z 的模是 A.1 B.2 C.3 D.22 2. 等比数列{}n a 中，6453=a a ，则=4aA.8B.8-C.8或8-D.16 3. 若命题:01xp x <-,命题2:2q x x <,则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 已知向量(1,2)a =r，b a ⊥，则b r 可以为A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(2,1)D ．(2,1)- 5. 命题“存在,0R x ∈使得020≤x ”的否定是A.不存在,0R x ∈使得02>x B. 存在,0R x ∈使得020>xC.对任意02,>∈xR x D. 对任意02,≤∈xR x 6. 已知43sin()sin 3παα++=，则7sin()6πα+的值是 A.23-B.23C.45D.45- 7. 设,x y 均为正实数，且33122x y+=++，则xy 的最小值为 A.4 B.43 C.9 D.168. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足①对任意的x 都有(4)()f x f x +=成立；②当[0,2]x ∈时，()22|1|f x x =--，则1()||f x x =在[4,4]-上根的个数是 A.3 B.4 C.5 D.6 9.函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象A.向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D ．向右平移π个单位长度10. 已知数列{}n a 满足110,1n n a a a +==+，则13a =A.143B.156C.168D.19511. 已知O 为ABC ∆的外心，2AB =u u u r ,4AC =u u u r，若yx +=，且42x y +==A ．1B ．2CD ．412. 已知函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，存在0x ，使得04()5f x ≤ 成立，则实数a 的值为 A.15 B.25 C.12D.1 第II 卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=u u u r u u u r__________．14. 若,x y 满足不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则12z x y =+的最小值是__________．15. 由直线20x y +-=，曲线3y x =以及x 轴围成的图形的面积为__________．16. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21()21x x f x -=+，且22014(2)sin 3f a π-=，20142015(2)cos6f a π-=，则2015S =__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos sin 2sin sin()B A A A B -=-，且12,cos 4a C ==，求b 及ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元.供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，*n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X 的分布列及平均值.19.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10,1n a a >=，且221,2,n n n a S a +成等比数列，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nb a =，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证2n T <.20. (本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点．（1）证明：DF AE ⊥；（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．21. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点23(,)2A -，离心率为22，点12,F F 分别为其左右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥,求四边形PMQN 面积的最小值．22. (本小题满分12分)已知函数2()ln x f x x=.(1)求函数()f x 在区间14[,]e e 上的最值；(2)若244()()ln m mx g x f x x -=+（其中m 为常数），当102m <<时，设函数()g x 的3个极值点为,,a b c ，且a b c <<，证明：021a b c <<<<.数学（理科）试题参考答案一、选择题： 1-5 BCADC 6-10 DDBAC 11-12 BA 二、填空题：13. 2 14.32 15. 3416.4030 17 解：2cos sin 2sin sin()B A A A B -=-Q2cos sin 2sin sin cos cos sin B A A A B A B ∴-=-即sin cos cos sin 2sin A B A B A +=sin()sin 2sin A B C A ∴+==………………………4分2c a ∴= 4c =………………………5分又2222cos c a b ab C =+-即21164-224b b =+⋅⋅2120bb ∴--= 解得3()4b b =-=舍去或………………………8分122ABC S ∆∴=⋅=10分 18．解：（1）当110n ≤≤时，50(10)(10)60100y n n n =+-⨯-=-，………2分当10n >时，5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+，………4分所以函数解析式**60100,110,30200,10,n n n Ny n n n N⎧-≤≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩； …………6分（2）∵日需求量为8、9、10、11、12的利润分别为380、440、500、530、560. 其概率分别为911311,,,,505010510，…………8分 ∴利润X 的分布列为：………10分利润X 的平均值为：91131123863804405005305605050105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）………12分19.解：（1）由已知得：22214n n n S a a +=⋅，又0n a >Q ，12n n n S a a +∴=⋅，11222,2a a a a ∴=⋅∴=………2分当2n ≥时，112n n n S a a --=⋅112()n n n n a a a a +-∴=-，112n n a a +-∴-=………4分 121,2a a ==Q ，1,3521,,,n a a a a -∴L 是首项为1，公差为2的等差数列；2,462,,,n a a a a ∴L 是首项为2，公差为2的等差数列；…………6分{}n a ∴是首项为1，公差为1的等差数列， n a n ∴=.…………7分（2）Q 21n b n =222111111111223(1)23n T n n n =++++<++++⨯⨯-⨯L L ………10分1111111(1)222231n n n=+-+-++-=-<-L .………12分 20.解: （1）证明：∵11AE A B ⊥，11//,A B AB AE AB ∴⊥ 又∵11,AA AB AA AE A ⊥=I ∴AB ⊥面11A ACC .又∵AC ⊂面11A ACC ，∴AB AC ⊥，………………………………………2分 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则有()()()111110,0,0,0,1,,,,0,0,0,1,1,0,1222A E F A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………………4分设()111,,,D x y z A D A B λ=u u u u r u u u u r且()0,1λ∈，即(),,1(1,0,0)x y z λ-=,则11(,0,1),,,122D DF λλ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭u u u r ，∵1110,1,,0222AE DF AE ⎛⎫=∴⋅=-= ⎪⎝⎭u u u r u u ur u u u r ，所以DF AE ⊥；…6分（2）结论：存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14.........................7分理由如下：由题可知面ABC 的法向量()0,0,1n =r…………………………………………8分设面DEF 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n FE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r， ∵11111,,,,,122222FE DF λ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，∴111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩，令()21z λ=-，则()()3,12,21n λλ=+-r．………………………………………10分∵平面DEF 与平面ABC所成锐二面角的余弦值为14，∴cos ,14m n m n m n ⋅==u r r u r r u r r14=， 解得12λ=或74λ=（舍），所以当D 为11AB 中点时满足要求．………………………12分 21.解：（1）由题意得：2222ce a b c a ==-=，得,b c a ==， 因为椭圆过点2A ⎛-⎝⎭，则22111,2c c+=解得1,c =所以a = 所以椭圆C 方程为:2212x y +=．………………………………………………………4分 （2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得4,MN PQ S ===5分 当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠与24y x =联立得()2222240k x k x k -++=，令1122(,),(,)M x y N x y ，则1212242,1x x x x k+=+⋅=， 244MN k ==+，…………………………………………7分 ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1(1)y x k=--， 将直线与椭圆联立得，222(2)4220k x x k +-+-=，令3344(,),(,)P x y Q x y ，2341222422,22k x x x x k k-+=⋅=++，由弦长公式22)2k PQ k+==+，…………………9分∴四边形PMQN的面积()22221)22k S MN PQ k k +==+,………………………10分 令21(1)t k t =+>，上式()22221)1(1)11S t t t t ===+>-+--所以S ≥12分 22.解：（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞U()()22ln 1ln x x f x x -'=，令()0f x '=可得14,x e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当14e x <<()0f x '<，函数()f x 单调递减；x e <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. ……………………………2分()min 2f x fe ∴==，又()124,f e f e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭且2e >，所以函数()f x 的最小值为2e ，最大值为2e ……………………………………………4分（2）由题意得()222244()ln ln x m x m mx g x x x-+-==()()2222ln 1ln m x m x x g x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=………………………………………………………6分令()22ln 1m h x x x =+-，有()222x m h x x-'= 所以函数()h x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增…………………………8分 因为函数()g x 有三个极值点,,a b c从而min ()()2ln 10,h x h m m m ==+<∴< 当102m <<时，(2)2ln 0,(1)210h m m h m =<=-< 从而3个极值点中，有一个为2m ，有一个小于m ，有一个大于1. 又a b c <<，0,2,1a m b m c ∴<<=>即0,212ba b m c <<=<<， 故021a b c <<<<…………………………………………………12分。
甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三数学上学期第一次检测考试试题理
甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三上学期第一次检测考试数 学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，则集合{|1,}y y x x A =+∈=（ ） A.{1,2,3}B.{0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,0,1,2,3}-2．函数()2()log 6f x x -的定义域是（ ）A ．{}|6x x >B ．{}|36x x -<<C ．{}|3x x >-D ．{}|36x x -<≤3.“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若210x -= ， 则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠ 则210x -≠” B ．“1x = ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题R :∈∃x p 使得210x x ++<，则R :∈∀⌝x p 均有210x x ++…5．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（ ） ① 若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；② 若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥； ③ 若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ； ④ 若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥； A ．②③B ．③④C ．②④D ．③6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是（ ）A ．()cos f x x =BC ．()lg f x x =D ．()2x xe ef x --=7. 命题：“若220a b +=（a , b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是 （ ）A ．若a ≠b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0 B.若a=b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0C ．若a ≠0且b ≠0（a,b ∈R ），则22a b +≠0 D.若a ≠0或b ≠0（a,b ∈R ），则22a b +≠08. 已知函数2)(x x e e x f --=，则下列判断中正确的是( )A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 9.若函数y =x 2-3x -4的定义域为［0,m ］，值域为［-425,-4］，则m 的取值范围是( ) A.(0,]4 B.［23,4］ C.［23,3］ D.［23,+∞) 10. 若存在正数x 使2x(x －a)<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)11. ．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度 12.对于函数f (x )定义域中任意的1x ，2x (1x ≠2x )，有如下结论： ①f (1x ＋2x )＝f (1x )·f (2x ) ②f (1x ·2x )＝f (1x )＋f (2x ) ③1212()()0f x f x x x ->- ④1212()()()22x x f x f x f ++<当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确结论的序号是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．5分,共20分）与错误！未找到引用源。
甘肃省天水市秦安县第二中学高三数学上学期第二次月考试题 文
甘肃省天水市秦安县第二中学2015～2016学年上学期第二次检测考试高三(文科)数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设复数1i z =+（i 是虚数单位），则22z z+等于 ( ) A.1i + B.1i -+ C.i - D.1i --2、设全集U R =，{}0)2(|<-=x x x A ，{})1ln(|x y x B -==，则)(B C A U I 是（ ） A.(-2,1) B ．(1,2)C ．(-2,1]D ． [1,2)3、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53C.- 2 D 3 4．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若7662a a +=，则9S 的值是( )A ．27B ．36C ．45D ．54 5．若向量→a ，→b 满足|→a ＋→b |＝|→a －→b |＝2|→a |，则向量→a ＋→b 与→a 的夹角为( ) A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π6．设函数xxe x f =)(，则( )A ．1=x 为)(x f 的极大值点B ．1=x 为)(x f 的极小值点C ．1-=x 为)(x f 的极大值点D ．1-=x 为)(x f 的极小值点7、函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、已知向量(2,1),10,||||a a b a b b =⋅=+=r r r r r r则=（ ）A B C ．5D ．259、将函数sin y x =的图象向右平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为 ( )A.1sin y x =-B.1sin y x =+C.1cos y x =-D.1cos y x =+ 10、设R ∈ϕ，则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（ ） A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件11、已知，，，则的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．12．若1x 满足522=+xx , 2x 满足5)1(log 222=-+x x , 21x x +＝ ( )A ．25 B ．3 C ．27D ．4 第Ⅱ卷 （共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上．） 13．已知数列{n a }的通项公式n a ＝19－2n ，则n S 取得最大值时n 的值为________． 14．给出下列说法，其中说法正确的序号是________．① 小于ο90的角是第Ⅰ象限角； ②若α是第一象限角，则ααsin tan >； ③ 若x x f 2cos )(=，π=-12x x ，则)()(12x f x f =；④ 若x x f 2sin )(=，x x g 2cos )(=，21,x x 是方程)()(x g x f =的两个根，则12x x -的最小值是π.15．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝21AB ，BE ＝32BC. 若→→→+=AC AB DE 21λλ(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为________．16．已知函数1)(23+++=mx x x x f 在区间)2,1(-上不是单调函数，则实数m 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17、（12分）已知向量)1,cos sin 3(x x -=，)21,(cos x n =ρ，若n m x f ρρ⋅=)(．13a π=log 3b π=1)c =,,a b c b c a<<c b a<<b a c<<a b c <<(Ⅰ) 求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ) 已知ABC ∆的三内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3=a ，23)122(=+πA f （A 为锐角），2sin sin C B =，求A 、c b 、的值．18、（12分）已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图象与y轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +-(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)求函数()f x 在区间[]ππ3,3-上的 单调递增区间；19、（12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，,243+=a S 且1,1,321--a a a 成等比数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，求证：).(2131*N n T n ∈<≤20、（12分）已知函数).,()1(31)(223R ∈+-+-=b a b x a ax x x f (Ⅰ) 若1x =为)(x f 的极大值点，求a 的值；(Ⅱ) 若)(x f y =的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为03=-+y x ，求)(x f 在区间[]4,2-上的最大值．21、（12分）已知函数).21)(log 2(log )(42--=x x x f (Ⅰ) 当[]4,2∈x 时，求该函数的值域；(Ⅱ) 若]16,4[log )(2∈≥x x m x f 对于恒成立，求m 的取值范围.选考题：（10分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22、选修4－1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的直径 ，AC 是弦 ，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F. (Ⅰ) 求证：DE 是⊙O 的切线；(Ⅱ) 若54=AB AC ，求DF AF的值.23．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，曲2方程为()4R πθρ=∈，曲线1C 、2C 相交于点A 、B ．（Ⅰ）将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求弦AB 的长．24．选修4－5：不等式选讲 设函数a x x x f +-++=21)(．（I ）当5-=a 时，求函数)(x f 的定义域；（II ）若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围．B数学答案：选择题：1--5 ADCCB 6--10 DCCCA 11--12 AC 13、4114、{}13|≥-≤x x x 或 15、（-4,2） 16、6 17、答案：ππ=-=T x x f ),62sin()(1）（（2）32,33A ===b c ，π18、答案：Z k k k x x f A ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++====ππππππϕω432,434-),621sin(2)(,6,21,2)1(增区间为：（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππππ3,3832,34和19、20.解：（1）.12)(22-+-='a ax x x f∵ 1=x 是()f x 的极值点，0)1(='∴f ，即022=-a a 0a ∴=或2a =.当0a =时，'()(1)(1)f x x x =-+，1x =是()f x 的极小值点，当2a =时，'()f x 243(1)(3)x x x x =-+=--，1x =是()f x 的极大值点∴a 的值为2.（2）∵))1(,1(f 在03=-+y x 上. 2)1(=∴f∵（1，2）在)(x f y =上 b a a +-+-=∴13122 2131.21,131,1121121)2(,12,2,1)1(*1<≤∴<>==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∈-===n n n n n T T n T n n T N n n a d a 时当时当又(1)1f k '==-，21211a a ∴-+-=-，2210a a ∴-+=，81,3a b == 3218().33f x x x ∴=-+ 2()2(2)f x x x x x '=-=-，由0)(='x f 得0x =和2x =，列表：x-2 (2,0)-0 （0，2） 2 （2，4）4 '()f x+ — + ()f x4-增8/3减4/3增8由上表可得()f x 在区间[－2， 4]上的最大值为8. ……12分 21、解：（1）)21)(log 2log 2()(44--=x x x f ，]1,21[]4,2[,log 4∈∈=t x x t 时，令 此时，132)21)(22(2+-=--=t t t t y ,]0,81[-∈∴y(2)即恒成立对恒成立，对]2,1[312]2,1[1322∈-+≤∴∈≥+-t tt m t mt t t ， 易知.0,0)1()(]2,1[312)(min ≤∴==∴∈-+=m g t g t tt t g 上单调递增，在 22. 解：（Ⅰ）证明：连接OD ，∵AD 平分∠CAB ， ∴∠CAD=∠BAD ，∵OA=OD ， ∴∠BAD=∠ADO ，∴∠CAD=∠ODA ， ∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ， ∴直线DE 是⊙O 的切线．----------5分（Ⅱ）连接BC 交OD 于G ，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，54=AB AC Θ∴设AC=4a ，AB=5a ，由勾股定理得：BC=3a ，∴OA=OD=OB=2.5a ，∵∠ECG=90°=∠DEC=∠EDG ，∴四边形ECGD 是矩形，∵OG 为△ABC 中位线，∴G 为BC 中点∴DE=CG=1.5a ，∵OD ∥AE ，OA=OB ，∴CG=BG ，∴OG=21AC=2a ，∴DG=EC=2.5a-2a=0.5a ，∴AE=AC+CE=4a+0.5a=4.5a ， ∵OD ∥AC ，∴△AEF ∽△DOF ，∴.59==OD AE DF AF ----------10分 23. （Ⅰ）2260x y x +-= 0x y -= ……5分（Ⅱ）32AB = ……10分24.解:（Ⅰ）由题设知：05|2||1|≥--++x x如图，在同一坐标系中作出函数21-++=x x y 和5=y 的图象（如图所示） 得定义域为][),32,(+∞⋃--∞. （Ⅱ）由题设知，当R x ∈时，恒有0|2||1|≥+-++a x x即 a x x -≥-++|2||1| 又由（Ⅰ）3|2||1|≥-++x x ∴ ⇒≤-3a 3-≥a。
秦安三中第一次周考练理
秦安三中2016届高三第一次周考练数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合2{|1},{2,1,0,1,2}M x x N =>=--，则M N =(A) {0} (B){2} (C) {2,1,1,2}-- (D){2,2}- 2．复数112i i i -+的实部与虚部的和为 (A) 12- (B)1 (C)12 (D)323．在等差数列{}n a 中，已知35710132,9,a a a a a +=++=则此数列的公差为(A)31 (B)3 (C) 12 (D) 164.如果双曲线经过点P ，且它的一条渐近线方程为x y =，那么该双曲线的方程是(A)22312y x -= (B)22122x y -= (C)22136x y -= (D)22122y x -=5．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数a ，则不等式ln(31)0a -<成立的概率是(A)31 (B) 23 (C)12 (D) 146．设,a b是两个非零向量,则“222()||||a b a b +=+ ”是“a b ⊥ ”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件7．已知奇函数)(x f y =的图象关于直线2=x 对称，且()3f m =， 则(4)f m -的值为(A) 3 (B)0 (C)3- (D) 138．函数24()cos cos f x x x =-的最大值和最小正周期分别为 (A)1,4π (B)1,42π (C)1,2π (D)1,22π9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当4n =时， 最后输出的S 为(A) 9.6 (B)7.68 (C)6.144 (D)4.9152i =1输入S =15否i =i +1开始结束输出Si >n ？S ＝S (1-20%)是图110．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A) 54 (B)162(C)54+(D)162+11．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ） （A ）120 （B ）240 （C ）360 （D ）480 12．已知函数24,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨>⎩，()1g x kx =-，若方程()()0f x g x -=在(2,2)x ∈-有三个实根，则实数k 的取值范围为（ ） （A）(1,ln （B）3(ln )2（C ）3(,2)2（D）3(1,ln (,2)2U二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 已知实数x ，y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+-≥+-0003042y x y x y x ，则目标函数32z y x =-的最大值为 ． 14.在()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 的展开式中，3x 项的系数是 ．15．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1 D 1的半球底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为 ． 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则数列{}n a 的通项公式n a = ．三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分） 设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,,且C a A c b cos 3cos )32(=-．（1）求角A 的大小； （2）若角6π=B ，BC 边上的中线AM 的长为7，求ABC ∆的面积18．（本小题满分12分）图3B 1C 1A 1DC BAx时间（分钟）0.003608040201000.002频率/组距0.025图4设数列{}n a 的前n 项和12n n S +=，数列{}n b 满足21(1)log n nb n n a =++．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”， 若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”； （Ⅲ）设,m n 表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的时间，且已知,[40,60)[80,100]m n ∈⋃，求事件“||20m n ->”的概率. 20．（本小题满分12分）如图3，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 中点．（I ）求证：BC 1∥平面A 1CD ；(II) 若四边形BCC 1B 1是正方形，且1A D =求直线A 1D 与平面CB B 1C 1所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）图3已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且短轴的长为2，离心率等于552．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ=，求证：12λλ+为定值．22．（本小题满分12分）已知函数(1)()ln b x f x a x x+=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为2y =． （I ）求a 、b 的值；（II ）当1x >时，不等式()ln ()1x k xf x x ->-恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1—4 D D A B 5—8 A C C B 9—12 C D C D 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 9； 14. 20；15. 16.1,(1)1.(2)(1)n n n n -=⎧⎪⎨≥⎪-⎩三、解答题：17解：（Ⅰ）∵C a A c b cos 3cos )32(=-，∴C A A C B cos sin 3cos )sin 3sin 2(=-．即)sin(3cos sin 2C A A B +=则23cos =A ，则6π=A ． …………5分 （Ⅱ）由（1）知6π==B A ，所以，32π=C ，设x AC =， 在AMC ∆中由余弦定理得222cos 2AM C MC AC MC AC =⋅-+解得2=x ,故332sin 212==∆πx S ABC …………10分18、【解】（Ⅰ）当1n =时，114a S == …………………2分）由12n n S +=，得12n n S -=(2)n ≥，∴11222n n n n n n a S S +-=-=-=(2)n ≥ ∴4,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩………………………（6分） （Ⅱ）当1n =时，121512log 44b =+=，∴154T = ………………………………（7分）当2n ≥时， 21111(1)1(1)log 2n nb n n n n n n n n =+=+=-++++ ……………………………（8分） 5111111(4233445n T =+-+-+-+…+11)(2341n n -+++++…)n + 1111111(4233445=+-+-+-+…+11)(12341n n -++++++…)n + 31(1)412n n n +=-++ ……………………………………………………（11分） 上式对于1n =也成立，所以31(1)412n n n T n +=-++． ………………（12分）O 1Oz yxABCDA 1C 1B 1D 11C 1A 1DCBA19.解：（1）由20(0.0020.00320.025)1x ⨯+⨯++=得0.017x =；-------------------2分 （Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为20(0.0020.003)0.1⨯+=，-------------3分 不少于1小时的频数为12000.1120⨯=，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；--5分 （Ⅲ）由直方图知，成绩在[40,60)的人数为50200.0033⨯⨯=人，设为,,A B C ；--6分 成绩在[80,100] 的人数为50200.0022⨯⨯=人，设为,x y .-------------------7分 若,[40,60)m n ∈时，有,,AB AC BC 三种情况；若,[80,100]m n ∈时，只有xy 一种情况；----------------------------------8分若,m n 分别在[40,60),[80,100]内时，则有,,,,,Ax Ay Bx By Cx Cy 共有6种情况.所以基本事件总数为10种，---------------------------------------------------10分 事件“||20m n ->”所包含的基本事件个数有6种. ∴P （||20m n ->）=63.105=-------------------------------------------12分 20.解（I)证法1：连结AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ， 则E 为AC 1中点，-------------------------------2分 ∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1，------------------4分 ∵BC 1Ë平面A 1CD ，DE Ì平面A 1CD ，-------------5分 ∴BC 1∥平面A 1CD . ------------------------------6分 【证法2：取11A B 中点1D ，连结1BD 和11C D ，------1分 ∵BD 平行且等于11A D ∴四边形BD 11A D 为平行四边形∴11//A D BD ---------------------------------------------------2分 ∵1A D ⊂平面1ACD ，1BD ⊄平面1ACD ∴1//BD 平面1ACD ,------------------------------3分 同理可得11//C D 平面1ACD ------------------------4分 ∵1111BD C D D = ∴平面1ACD //平面11BD C 又∵1BC ⊂平面11BD C∴BC 1∥平面A 1CD. --------------------------6分】(II) 222115AD +A A =A D = 1,A A AD \^--------------------------7分 又111,//B B BC B B A A ^ 1A A BC \^，又AD BC B = 1A A \^面ABC ----------------------------------8分 法一：设BC 的中点为O ，11B C 的中点为1O ，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，1OO 所在的直线为y 轴，OA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.----------------9分则1A (02,，D 12骣çççç桫,0.N MHB 1C 1A 1DCBAFHB 1C 1A 1DCBA∴1122A D =--(,,--------------------10分平面11CBB C 的一个法向量(0,0,1),=n111A D n A D n A D n ⋅<>==⋅|||cos ,|.||||所以直线A 1D 与平面CB B 1C 1.-----------------------12分 【法二：取11B C 的中点H ，连结1A H ，则111A H B C ⊥-----------------------7分 ∵1AA ⊥面111A B C ，故11AA A H ⊥,11BB A H ∴⊥1111B C BB B ⋂= ,1A H ∴⊥面11BCC B ------9分延长1A D 、1B B 相交于点F ，连结FH ，则1A FH ∠为直线1A D 与平面11BCC B 所成的角. --------------------------10分 因为D 为AB的中点，故1A F =，又1A H =1sin A FH ∴∠==即直线1A D 与平面11BCC B.---------------------12分】 【法三：取11B C 的中点H ，连结1A H ，则111A H B C ⊥-----------------------7分 ∵1AA ⊥面111A B C ，故11AA A H ⊥,11BB A H ∴⊥1111B C BB B ⋂= ,1A H ∴⊥平面11BCC B -------------------------------9分取11A B 中点M ，连结BM ，过点M 作1//MN A H ，则MN ⊥平面11BCC B ， 连结BN ，∵1//A D BM ,∴MBN ∠为直线1A D 与平面11BCC B 所成的角，---10分∵1112sin A HMN MBN BM A D ∠====, 即直线1A D 与平面11BCC B.---------------------12分】21.解：（I ）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由题意知22, 1.b b =\=----------------------------------------2分=⇒=解得25a =，--------------------------------------------------4分∴椭圆C 的方程为.1522=+y x ---------------------------------------5分（II ）证法1：设A 、B 、M 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ，易知F 点的坐标为（2，0）. ----------------------------------------------6分 显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是(2)y k x =-，------7分 将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得2222(15)202050k x k x k +-+-=----------------------------------------9分 .51520,512022212221k k x x k k x x +-=+=+∴ --------------------------------10分又.2,2,,22211121x x x x BF MB AF MA -=-===λλλλ将各点坐标代入得 22221212121222121212224040102()2151510.402052242()41515k k x x x x x x k k k k x x x x x x k k λλ--+-++∴+=+===-----++-+++---12分 【证法二：设点A 、B 、M 的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A易知F 点的坐标为（2，0）. -----------------------------------------6分).,2(),(,1110111y x y y x AF MA --=-∴=λλ ∴.1,12101111λλλ+=+=y y x ------------7分 将A 点坐标代入到椭圆方程中，得.1)1()12(51210211=+++λλλy 去分母整理得.0551020121=-++y λλ ---------------------------------------------9分同理，由BF MB 2λ=可得0551020222=-++y λλ------------------------10分21,λλ即 是方程 的两个根，.1021-=+∴λλ-------------12分】 22．解： （I ）∵2(),a bf x x x'=-且直线2y =的斜率为0，又过点(1,2)， ∴(1)2,1(1),2f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩------------------------------------------------------2分即1,0,b a b =⎧⎨-=⎩解得1, 1.a b ==---------------------------------------3分（II ）当1x >时，不等式22()ln 11()(1)ln ()ln (1)ln 0.1x k x x x f x x x x k x k x x x x--->⇔-+>-⇔-+>-----------5分令2222111(1)1()(1)ln ,()1x k x k x g x k x g x x x x x --+-+'=-+=++=，-----------7分 令2()(1)1m x x k x =+-+， ①当11,2k-≤即1k ≥-时，()m x 在(1,)+∞单调递增且(1)0m ≥，所以当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)0.g x g ∴>=即()ln ()1x k xf x x ->-恒成立．----------9分 ②当11,2k ->即1k <-时，()m x 在上1(1,)2k -上单调递减，且(1)0m <，故当1(1,)2kx -∈时，()0m x <即()0,g x '< 所以函数()g x 在1(1,)2k-单调递减，-----------------------------------10分 当1(1,)2kx -∈时，()0,g x <与题设矛盾, 综上可得k 的取值范围为[1,).-+∞----------------------------------------12分 所以()()(2)f ax af x f a -≥成立．----------------------------------------10分05 510 2 0 2 = - + + y λ λ。
甘肃省高考数学一模试卷(理科).docx
2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R ，集合M={x|0≤x ＜5}，N={x|x ≥2}，则（∁U N ）∩M=（ ）A ．{x|0≤x ＜2}B ．{x|0＜x ≤2}C ．{x|0＜x ＜2}D ．{x|0≤x ≤2}2．已知=b+i （a ，b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．33．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 8=9，则log 3a l +log 3a 2+…+log 3a 8=（ ）A ．10B ．9C ．8D ．74．已知定义域为R 的函数f （x ）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）A ．∀x ∈R ，f （﹣x ）≠f （x ）B ．∀x ∈R ，f （﹣x ）≠﹣f （x ）C ．∃x 0∈R ，f （﹣x 0）≠f （x 0）D ．∃x 0∈R ，f （﹣x 0）≠﹣f （x 0）5．若变量x ，y 满足约束条件，且z=x+y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m ﹣n=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°7．如图，网格纸上小正方形的边长为l ，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A ．lB ．2C ．2D ．48．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n }前n 项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（ ）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+39．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B 到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则||=（）A．6 B．35 C．4 D．4011．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．B．5 C．6 D．712．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f（1）＞f（2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a______．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为______．15．若数列{an }满足a1=2，an+1=an+log2（1﹣），则a32=______．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且∥．（I）求角A；（Ⅱ）当a=6，且△ABC 的面积S 满足=时，求边c 的值和△ABC 的面积．18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t 次射击成绩作为一个样本，根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率[8.4，8.9） 9 0.15[8.9，9.4） m 0.3[9.4，9.9） 24 n[9.9，10.4） q p[10.4，10.9） 3 0.05合计 t 1（I ）求表中t ，p 及图中a 的值；（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X 表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X 的分布列及数学期望．19．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，F 、G 、H 分别是PC 、AB 、BC 的中点，PA ⊥平面ABC ，PA=AB=AC=2，二面角B ﹣PA ﹣C 为120°．（I ）证明：FG ⊥AH ；（Ⅱ）求二面角A ﹣CP ﹣B 的余弦值．20．已知椭圆C ： =l （a ＞b ＞0），F 1、F 2为左右焦点，下顶点为B 1，过F 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，当直线l 的倾斜角为时，F 1B ⊥l ．（I ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若P 为椭圆上一动点，直线PM 、PN 的斜率记为k PM 、k PN ，且不为零，当直线l 垂直于x 轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD 与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P （3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R ，集合M={x|0≤x ＜5}，N={x|x ≥2}，则（∁U N ）∩M=（ ）A ．{x|0≤x ＜2}B ．{x|0＜x ≤2}C ．{x|0＜x ＜2}D ．{x|0≤x ≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集的定义求出N 在全集中的补集∁U N ，再求（∁U N ）∩M 即可．【解答】解：∵全集U=R ，集合M={x|0≤x ＜5}，N={x|x ≥2}，∴∁U N={x|x ＜2}则（∁U N ）∩M={x|0≤x ＜2}．故选：A ．2．已知=b+i （a ，b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a 、b ，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi ﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i （a ，b ∈R ），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B ．3．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 8=9，则log 3a l +log 3a 2+…+log 3a 8=（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质和对数运算法则求解．【解答】解：∵等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 8=9，∴log 3a l +log 3a 2+…+log 3a 8 ==4log 39=8．故选：C ．4．已知定义域为R 的函数f （x ）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）A ．∀x ∈R ，f （﹣x ）≠f （x ）B ．∀x ∈R ，f （﹣x ）≠﹣f （x ）C ．∃x 0∈R ，f （﹣x 0）≠f （x 0）D ．∃x 0∈R ，f （﹣x 0）≠﹣f （x 0）【考点】全称命题；特称命题．【分析】根据定义域为R 的函数f （x ）不是偶函数，可得：∀x ∈R ，f （﹣x ）=f （x ）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案．【解答】解：∵定义域为R 的函数f （x ）不是偶函数，∴∀x ∈R ，f （﹣x ）=f （x ）为假命题；∴∃x 0∈R ，f （﹣x 0）≠f （x 0）为真命题，故选：C ．5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，将目标函数变形为y=﹣x+z，根据可行域找到直线截距取得最大值和最小值时的最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，由可行域可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线截距最大，即z最大，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线截距最小，即z最小．解方程组得x=4，y=5．∴z的最大值m=4+5=9．解方程组得x=1，y=2．∴z的最小值n=1+2=3．∴m﹣n=6．故选：B．6．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60° D．30°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，根据向量的几何意义和几何知识求出夹角．【解答】解：设，，以，为邻边作平行四边形OACB，则=．∵||=||，∴四边形OACB是菱形．设OA=AC=1，则OC=．∴cos∠AOC==．∴∠AOC=30°．故选：D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．l B．2 C．2 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出最长的棱，判断出该四面体各面中最大的面，由三角形的面积公式求出即可．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，最长棱为PC=PB=BC=2，其他棱长都小于2，∴△PBC是该四面体各面中最大的面，∴△PBC的面积S==2，故选：C．8．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a}前n项和的最大值的程序框图，n则①和②处可填写（）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+3【考点】程序框图．【分析】由程序设计意图可知，②处应求通项，有a=a﹣3，又由此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个正项即可，从而可求①处可填写：a＞0．}前n项和，故②处应该填写a=a 【解答】解：由程序设计意图可知，S表示此等差数列{an﹣3，又因为此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最大值只需累加至最后一个正项即可，故①处可填写：a＞0．故选：A．9．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B 到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先判断出△ABC为以B为直角的直角三角形，进而求出△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程，代入点到直线距离公式，可得答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），∴=（3，1），=（3，﹣9），∴•=0，故⊥，故△ABC为以B为直角的直角三角形，故AC为△ABC的外接圆的直径，==﹣，∵kAC故△ABC的外接圆在点A处的切线l的斜率为，故△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程为y=（x+1），即3x﹣4y+3=0，故点B到直线l的距离d==1，故选：B．10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则||=（）A．6 B．35 C．4 D．40【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，利用向量共线的坐标表示，由=5，确定A，B的坐标，即可求得||．【解答】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，∵=5，∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，∴n=±4，∵a=5n，∴a=±20，∴||==35．故选：B．11．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，利用AD=1得出a，b之间的关系，用a，b，θ表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．【解答】解：设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，则B（a+2cosθ，2sinθ），C（2cosθ，b+2sinθ）．∵AD=1，∴a2+b2=1．=2cosθ（a+2cosθ）+2sinθ（b+2sinθ）=4+2acosθ+2bsinθ=4+sin（θ+φ）=4+2sin（θ+φ）．∴的最大值是4+2=6．故选：C．12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f（1）＞f（2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过所给关系式，构造新的函数g（x）=，对g（x）求导，得到关系．【解答】解：令g （x ）=，则g′（x ）=，∵xf′（x ）＜2f （x ），∴∀x ∈（0，+∞），∴g′（x ）＜0恒成立∴g （x ）是在（0，+∞）单调递减，∴g （1）＞g （2），即4f （1）＞f （2）故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a ﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a =±2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，写出常数项，由此列方程求出a 的值．【解答】解：（a ﹣）5展开式的通项为T r+1=C 5r •（a ）5﹣r •（﹣）r =（﹣1）r •C 5r •a 5﹣r •x ，令=0，可得r=3，又r=3时，T 4=（﹣1）3•C 53•a 2=﹣10a 2，由题意得﹣10a 2=﹣40，解得a=±2．故答案为：±2．14．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据余弦定理计算BC ，可发现BC 2+AC 2=AB 2，即AC ⊥BC ．故外接球球心在上下底面斜边中点的连线中点处，根据球的面积计算半径，得出棱柱的高．【解答】解：在△ABC 中，BC==．∴BC 2+AC 2=AB 2，即AC ⊥BC ．∴AB 为△ABC 所在球的截面的直径．取AB ，A 1B 1的中点D ，D 1，则棱柱外接球的球心为DD 1的中点O ，设外接球的半径为r ，则4πr 2=12π，∴r=．即OB=，∴OD=． ∴棱柱的高DD 1=2OD=2．∴棱柱的体积V=S △ABC •DD 1==．故答案为．15．若数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n +log 2（1﹣），则a 32= ﹣3 ．【考点】数列递推式．【分析】根据累加法和对数的运算性质即可求出数列的通项公式，代值计算即可． 【解答】解：∵a n+1=a n +log 2（1﹣）=log 2（），∴a n+1﹣a n =log 2（）∴a 2﹣a 1=log 2， a 3﹣a 2=log 2， …a n ﹣a n ﹣1=log 2∴（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）=log 2（×…×）=log 2（）=﹣log 2n∴a n ﹣2=﹣log 2n ，∴a n =2﹣log 2n ，∴a 32=2﹣log 232=﹣3， 故答案为：﹣3．16．若函数f （x ）=x 2﹣4e x ﹣ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，﹣2ln2﹣2] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可得a ＜2x ﹣4e x 有解，转化为g （x ）=2x ﹣4e x ，a ＜g （x ）max ，利用导数求出最值即可．【解答】解：∵函数f （x ）=x 2﹣4e x ﹣ax ， ∴f′（x ）=2x ﹣4e x ﹣a ，∵函数f （x ）=x 2﹣4e x ﹣ax 在R 上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣4e x﹣a≥0，即a≤2x﹣4e x有解，令g（x）=2x﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x=0，x=﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞﹣ln2=﹣2ln2﹣2，∴当x=﹣ln2时，g（x）max∴a≤﹣2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，﹣2ln2﹣2]．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且∥．（I）求角A；（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（I）由向量平行列出方程解出cosA；（II）根据余弦定理和面积公式解出tanC，使用正弦定理求出c，代入面积公式解出面积．【解答】解：（I）∵∥．∴cos2﹣cos2（B+C）=0，即（1+cosA）﹣cos2A=0，解得cosA=1（舍）或cosA=﹣．∴A=．（II）∵=，∴a2+b2﹣c2=4S=2absinC．又∵a2+b2﹣c2=2abcosC，∴tanC=．∴C=．由正弦定理得，∴c==2．sinB=sin（A+C）=sin=．===3．∴S△ABC18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击成绩作为一个样本，根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[8.4，8.9）9 0.15[8.9，9.4）m 0.3[9.4，9.9）24 n[9.9，10.4）q p[10.4，10.9） 3 0.05合计t 1（I）求表中t，p及图中a的值；（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，能求出表中t，p及图中a的值．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，得：，解得t=60，∴n==0.4，a==0.8．∵0.15+0.3+n+p+0.05=1，∴p=0.1．（Ⅱ）由直方图，得不少于9.9环的成绩的次数为60×0.15=9，成绩不少于10.4环的次数为3，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）==1．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【解答】解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，∵PF=FC，∴FM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴FM⊥平面ABC，∵AB=AC，H是BC的中点，∴AH⊥BC，∵GM∥BC，∴AH⊥GM，∴GF⊥AH（Ⅱ）建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P（0，0，2），H（，，0），C（0，2，0），B（，﹣1，0），F（0，1，1），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos＜，＞==，即二面角A﹣CP﹣B的余弦值是．20．已知椭圆C ：=l （a ＞b ＞0），F 1、F 2为左右焦点，下顶点为B 1，过F 的直线l交椭圆于M 、N 两点，当直线l 的倾斜角为时，F 1B ⊥l ．（I ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若P 为椭圆上一动点，直线PM 、PN 的斜率记为k PM 、k PN ，且不为零，当直线l 垂直于x 轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知得F 1（﹣c ，0），B 1（0，﹣b ），由题意知，从而b=，由此能求出椭圆C 的离心率．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），（x 0≠±c ），M （c ，），N （c ，﹣），则=，由此能求出存在最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C ： =l （a ＞b ＞0），F 1、F 2为左右焦点，下顶点为B 1，∴F 1（﹣c ，0），B 1（0，﹣b ），∵过F 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，当直线l 的倾斜角为时，F 1B ⊥l ，∴由题知F 1B 1⊥l ，∴，∴，∴b=，∴e====．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），（x 0≠±c ），M （c ，），N （c ，﹣），则=﹣=，又P ∈C ，∴=1，得，∴=====，∴||=||=，又∵﹣a ≤x 0≤a ，且x 0≠±c ， ∴﹣1≤，且，∴||=≥=．∴存在最小值．21．已知函数f （x ）=ln （1+x ）一（a ＞0）．（I ）当f （x ）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）证明：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（I ）当f （x ）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x ）=≥0，结合a ＞0，即可求实数a 的取值范围； （Ⅱ）要证明，只要证明＞e ，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln ﹣＞0，构造函数f （x ）=ln （1+x ）﹣，其中f （0）=0，即可证明．【解答】（I ）解：当f （x ）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x ）=≥0，即x+1﹣a ≥0在[0，+∞）内恒成立，∴a ≤x+1在[0，+∞）内恒成立，又x+1的最小值为1，∴a≤1，∵a＞0，∴0＜a≤1；（Ⅱ）证明：要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln﹣＞0，注意到2016=2015+1，所以ln﹣=ln（1+）﹣=ln（1+）﹣．构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，由（I）知，x≥0，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）内是增函数，∴f（）=ln﹣＞f（0）=0，∴ln＞，∴．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD 与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）连接OD，证明△OBC≌△ODC，可得∠ODC=∠OBC=90°，即可证明CD为圆O的切线；（Ⅱ）Rt△OBC中，BE⊥OC，OB2=OE•OC，即可求OC的长．【解答】（I）证明：连接OD．∵AB为圆D的直径，∴AD⊥DB，∵AD∥OC，∴BD ⊥OC ，∴E 为BD 的中点， ∴CB=CD ，∴△OBC ≌△ODC ， ∴∠ODC=∠OBC=90°， ∴CD 为圆O 的切线；（Ⅱ）解：由题意，OB=OA=4，OE=AD=2， Rt △OBC 中，BE ⊥OC ， ∴OB 2=OE •OC ， ∴OC==8．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程是（x ﹣2）2+（y ﹣l ）2=4，直线l 经过点P （3，），倾斜角为，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|OA|•|OB|的值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I ）曲线C 的方程是（x ﹣2）2+（y ﹣l ）2=4，展开把ρ2=x 2+y 2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．由于直线l 经过点P （3，），倾斜角为，可得参数方程：（t 为参数）．（II ）直线l 的极坐标方程为：，代入曲线C 的极坐标方程可得：+1=0，利用|OA||OB|=|ρ1ρ2|即可得出．【解答】解（I ）曲线C 的方程是（x ﹣2）2+（y ﹣l ）2=4， 展开可得：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，把ρ2=x 2+y 2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0． 由于直线l 经过点P （3，），倾斜角为，可得参数方程：（t 为参数）．（II ）直线l 的极坐标方程为：，代入曲线C 的极坐标方程可得：+1=0，∴ρ1ρ2=1．∴|OA||OB|=|ρ1ρ2|=1． 【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f （x ）=|x ﹣a|（a ∈R ）．（I ）当a=3时，解不等式f （x ）≥4﹣|x+l|； （Ⅱ）若不等式f （x ）≤l 的解集为[1，3]，且（m ＞0，n ＞0），求m+2n 的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题． 【分析】（Ⅰ）当a=3，不等式即|x ﹣3|+|x ﹣1|≥4，不等式恒成立，从而求得|x ﹣2|+|x ﹣1|≥5的解集．（Ⅱ）由f （x ）≤1求得 a ﹣1≤x ≤a+1，再根据f （x ）≤1的解集为[1，3]，可得a=2，再利用基本不等式的性质求出最小值即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a=3，不等式f （x ）≥4﹣|x ﹣1|，即|x ﹣3|+|x ﹣1|≥|x ﹣3﹣x+1|=4． 由绝对值的意义可得；不等式恒成立，故|x ﹣3|+|x ﹣1|≥4的解集为R ． （Ⅱ）由f （x ）≤1 可得﹣1≤x ﹣a ≤1，求得 a ﹣1≤x ≤a+1， 再根据f （x ）≤1的解集为[1，3]，可得a=2． 故有+=2（m ＞0，n ＞0），即+=1，∴m+2n=（m+2n ）（+）=1++≥2，当且仅当=时，等号成立，故m+2n 的最小值是2．2016年9月17日。
甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三物理上学期第一次检测考试试题
甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三上学期第一次检测考试物理试题一、单项选择题：（每小题4分，共32分）1.嫦娥三号月球探测器于2013年12月2日凌晨发射升空，2013年12月14日成功完成月面软着陆，2013年12月15日4时35分，嫦娥三号着陆器与巡视器(“玉兔号”月球车)成功分离，这标志着我国的航天事业又一次腾飞，下面有关嫦娥三号的说法正确的是( )A．嫦娥三号在刚刚升空的时候速度很小，加速度也很小B．研究“玉兔号”月球车在月球表面运动的姿态时，可以将其看作质点C．研究嫦娥三号飞往月球的运行轨道时，可以将其看作质点D．“玉兔号”月球车静止在月球表面时，其相对于地球也是静止的2.如图所示，一个人沿着一个圆形轨道运动，由A点开始运动，经过半个圆周到达B点，下列说法正确的是( )A．人从A到B的平均速度方向沿B点的切线方向B．人从A到B的平均速度方向由A指向BC．人在B点的瞬时速度方向由A指向BD．人所经过的位移大小为圆周长的一半3.甲、乙两个物体在同一直线上沿正方向运动，a甲＝4 m/s2，a乙＝－4 m/s2，那么对甲、乙两物体判断正确的是( )A．甲的加速度大于乙的加速度 B．甲做减速直线运动，乙做加速直线运动C．甲的速度比乙的速度变化快 D．甲、乙在相等时间内速度变化大小相同4.一质点沿直线Ox方向做加速运动，它离开O点的距离x随时间变化的关系为x＝3＋2t3(m)，它的速度随时间变化的关系为v＝6t2(m/s)，则该质点在t＝3 s时的瞬时速度和t＝0到t＝3s间的平均速度分别为( )A．54 m/s,18 m/s B．54 m/s,27 m/sC．18 m/s,54 m/s D．27m/s,54 m/s5.一物体由M点出发沿直线MN运动,行程的第一部分是加速度大小为3m/s2的匀加速运动,接着做加速度大小为2m/s2的匀减速运动,抵达N点时恰好静止.如果MN的总长度是15m,则物体走完MN所用的时间t为（）A.2sB.3sC. 4sD.5s6.某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s 2，则4s内物体的( ) A．路程为65 m B．位移大小为25 m，方向向上C．速度改变量的大小为40 m/s D．平均速度大小为9 m/s，方向向上7.物体某段过程的v﹣t图象如图所示，在t1和t2时刻的瞬时速度分别为V1和V2，则在t1～t2过程中( )A．加速度不变 B.加速度不断增大C．平均速度小于 D．平均速度大于8.如图所示，物体a、b和c叠放在水平桌面上，水平力F b=5N、F c=10 N分别作用于物体b和c上，物体a、b和c仍保持静止，则物体b受力的个数为（）A.3B.4C.5D.69. 如图所示，一物块静止在粗糙的斜面上。
2016届甘肃省天水一中高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年甘肃省天水一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若，则A∪B为（）A．B．C． D．2．设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（）A．①③B．①④C．②③D．①②4．等比数列{a n}中，a3a5=64，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．165．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=a2+4，则实数a=（）A．0 B．2 C．﹣2 D．0或26．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+47．若动圆与圆（x+2）2+y2=4外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A．y2﹣12x+12=0 B．y2+12x﹣12=0 C．y2+8x=0 D．y2﹣8x=08．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A ．4B ．9C ．7D ．59．已知，，若，那么向量的夹角等于（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数y=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．以双曲线（a ＞0，b ＞0）上一点M 为圆心的圆与x 轴恰相切于双曲线的一个焦点F ，且与y 轴交于P 、Q 两点．若△MPQ 为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．C ．D ．12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f（x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．若x，y满足不等式组，则z=x+y的最小值是．14．（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）15．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1﹣a n=2n，则a n=．16．在四面体ABCD中，已知AB=AC=3，BD=BC=4，BD⊥面ABC．则四面体ABCD的外接球的半径为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子．（1）求得分X的分布列；（2）求得分大于6的概率．19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：AB⊥AC；（2）证明：DF⊥AE；（3）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．21．已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号（在答题卡上将你所选题号涂黑）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为圆I与边CA的切点．（1）求证A，I，H，E四点共圆；（2）若∠C=50°，求∠IEH的度数．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．（1）求|AB|的值；（2）求点M（﹣1，2）到A、B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）已知实数a，b满足|a|＜2，|b|＜2，证明：2|a+b|＜|4+ab|；（2）已知a＞0，求证：﹣≥a+﹣2．2015-2016学年甘肃省天水一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若，则A∪B为（）A．B．C． D．【考点】子集与交集、并集运算的转换；并集及其运算．【分析】由集合A与B的交集求出a，b的值，再求出集合A、B和它们的并集．【解答】解：由得，，，∴A={1， }，B={﹣1， }，∴A∪B={1，﹣1， }故选D．2．设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵z===i（1﹣i）=i+1，则|z|=．故选：B．3．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（）A．①③B．①④C．②③D．①②【考点】变量间的相关关系．【分析】观察两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，若带状越细说明相关关系越强，得到两个变量具有线性相关关系的图是①和④．【解答】解：∵两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④．故选B．4．等比数列{a n}中，a3a5=64，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．16【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和等比数列的性质可得a42=64，解方程可得．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3a5=64，∴由等比数列的性质可得a42=a3a5=64，解得a4=±8，故选：C．5．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=a2+4，则实数a=（）A．0 B．2 C．﹣2 D．0或2【考点】分段函数的应用．【分析】由分段函数的表达式，先求f（0），再求f[f（0）]，解关于a的方程即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（0）=20+1=2，∴f[f（0）]=f（2）=4+2a=a2+4，∴a=0或a=2．故选：D．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为=π•12+π×1×2+2×2S几何体=3π+4．故选：D．7．若动圆与圆（x+2）2+y2=4外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A．y2﹣12x+12=0 B．y2+12x﹣12=0 C．y2+8x=0 D．y2﹣8x=0【考点】轨迹方程．【分析】令动圆圆心P的坐标为（x，y），C1（﹣2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得P（x，y）到C1（﹣2，0）与直线x=4的距离相等，化简可求．【解答】解：设圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），动圆圆心P的（x，y），半径为r，作x=4，x=2，PQ⊥直线x=4，Q为垂足，因圆P与x=2相切，故圆P到直线x=4的距离PQ=r+2，又PC1=r+2，因此P（x，y）到C1（﹣2，0）与直线x=4的距离相等，P的轨迹为抛物线，焦点为C1（﹣2，0），准线x=4，顶点为（1，0），开口向右，可得P=6，方程为：y2=﹣12（x﹣1）．故选：B．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．4 B．9 C．7 D．5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，执行循环体后，T=2，S=18，n=3，不满足退出循环的条件，当n=3时，执行循环体后，T=8，S=36，n=5，不满足退出循环的条件，当n=5时，执行循环体后，T=32，S=54，n=7，不满足退出循环的条件，当n=7时，执行循环体后，T=128，S=72，n=9，满足退出循环的条件，故输出的n值为9，故选：B9．已知，，若，那么向量的夹角等于（）A． B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】代入向量夹角公式计算．【解答】解：设向量的夹角为θ，则cosθ==﹣．∴θ=．故选：A．10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可．【解答】解：由lnx≠0得，x＞0且x≠1，当0＜x＜1时，lnx＜0，此时y＜0，排除B，C，函数的导数f′（x）=，由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lnx＜1且x≠1，即0＜x＜1或1＜x＜e，此时函数单调递减，故选：D．11．以双曲线（a＞0，b＞0）上一点M为圆心的圆与x轴恰相切于双曲线的一个焦点F，且与y轴交于P、Q两点．若△MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设F（c，0），MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，设x=c，代入双曲线的方程，可得M的坐标，圆的半径，运用弦长公式，可得|PQ|=2，再由等边三角形的性质，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（c，0），MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，设x=c，代入双曲线的方程可得y=b=，即有M（c，），可得圆的圆心为M，半径为，即有M到y轴的距离为c，可得|PQ|=2，由△MPQ为等边三角形，可得c=•2，化简可得3b4=4a2c2，由c2=a2+b2，可得3c4﹣10c2a2+3a4=0，由e=，可得3e4﹣10e2+3=0，解得e2=3（舍去），即有e=．故选：D．12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f（x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】首先由题意求出f（x），然后令g（x）=mx，转化为图象交点的问题解决．【解答】解：由题意得，又因为f（x）是偶函数且周期是4，可得整个函数的图象，令g（x）=mx，本题转化为两个交点的问题，由图象可知有三部分组成，排除B，D易得当过（3，1），（﹣3，1）点时恰有三个交点，此时m=±，故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．若x，y满足不等式组，则z=x+y的最小值是．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化向量数量积为线性目标函数，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，∵z=x +y ，化为y=﹣x +z ，由图可知，当直线y=﹣x +z 过A （1，1）时，目标函数有最小值，Z min =×1+1=．故答案为：．14．（x ﹣y ）（x +y ）8的展开式中x 2y 7的系数为 ﹣20 ．（用数字填写答案） 【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意依次求出（x +y ）8中xy 7，x 2y 6，项的系数，求和即可． 【解答】解：（x +y ）8的展开式中，含xy 7的系数是：8． 含x 2y 6的系数是28， ∴（x ﹣y ）（x +y ）8的展开式中x 2y 7的系数为：8﹣28=﹣20． 故答案为：﹣2015．已知数列{a n }满足a 1=3，a n+1﹣a n =2n ，则a n = n 2﹣n+3 ． 【考点】数列递推式．【分析】依次写出a 1=3，a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=4，…，a n ﹣a n ﹣1=2（n ﹣1），从而解得． 【解答】解：∵a 1=3， a 2﹣a 1=2， a 3﹣a 2=4， …a n ﹣a n ﹣1=2（n ﹣1）， 上式相加可得，a n =2（n ﹣1）+2（n ﹣2）+2（n ﹣3）+…+4+2+3 =n 2﹣n +3，故答案为：n 2﹣n +3．16．在四面体ABCD中，已知AB=AC=3，BD=BC=4，BD⊥面ABC．则四面体ABCD的外接球的半径为．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用余弦定理和正弦定理求出：△ABC的外接圆半径r，结合球心到平面ABC的距离，可得球半径．【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=3，BC=4，∴cosA==，则sinA=，由正弦定理得：△ABC的外接圆半径r满足：2r===，则r=，又由BD⊥面ABC，BD=4，故球心到面ABC的距离d=2，故四面体ABCD的外接球的半径R==，故答案为：三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．18．袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子．（1）求得分X的分布列；（2）求得分大于6的概率．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）X的取值为5、6、7、8．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）根据X的分布列，能得到得分大于6的概率．【解答】解：（1）X的取值为5、6、7、8．，，，．．19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：AB⊥AC；（2）证明：DF⊥AE；（3）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥面A1ACC1．即可．（2）建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量垂直的关系进行证明．（3）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1．又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，（2）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则有，设且λ∈（0，1），即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），则D（λ，0，1），∴，∵，∴，所以DF⊥AE；（3）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，理由如下：由题可知面ABC的法向量，设面DEF的法向量为，则，∵，∴，即，令z=2（1﹣λ），则．∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴，即，解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程．（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF2B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1•x2，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴．∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，故椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：，，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又即，又圆F2的半径，所以，化简，得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1所以，，故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．21．已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可求整数k的最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，从而令，即可证得结论．【解答】（Ⅰ）解：由题，…故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；…（Ⅱ）解：当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，取，则，…再取g（x）=x﹣1﹣ln（x+1），则，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（1）=﹣ln2＜0，g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，…故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a﹣1﹣ln（a+1）=0，故x∈（0，a）时，g（x）＜0；x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，故，故k max=3…（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：，∴令，…又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））=即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e2n﹣3…四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号（在答题卡上将你所选题号涂黑）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为圆I与边CA的切点．（1）求证A，I，H，E四点共圆；（2）若∠C=50°，求∠IEH的度数．【考点】圆內接多边形的性质与判定；圆周角定理． 【分析】（1）由于⊙I 切AC 于点E ，可得IE ⊥AC ，又AH ⊥IH ，可得A 、I 、H 、E 四点共圆；（2）在此圆中∠IEH 与∠IAH 对同弧．再利用三角形内角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出． 【解答】（1）证明：由圆I 与AC 相切于点E 得IE ⊥AC ，结合HI ⊥AH ，得∠AEI=∠AHI=90°，所以A ，I ，H ，E 四点共圆．（2）解：由（1）知A ，I ，H ，E 四点共圆，在此圆中∠IEH 与∠IAH 对同弧， ∴∠IEH=∠HAI ．∵锐角△ABC 的内心为I ，∴AI 、BI 分别是∠BAC 、∠ABC 的平分线，可得∠HIA=∠ABI +∠BAI=∠ABC +∠BAC=（∠ABC +∠BAC ）==90°﹣∠C ，结合IH ⊥AH ，得∠HAI=90°﹣∠HIA=90°﹣（90°﹣∠C ）=∠C ，所以∠IEH=∠C ． 由∠C=50°得∠IEH=25°．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为（θ为参数），曲线C 2的极坐标方程为C 2：ρcos θ+ρsin θ=1，若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点．（1）求|AB |的值；（2）求点M （﹣1，2）到A 、B 两点的距离之积． 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用sin 2θ+cos 2θ=1即可得到曲线C 1的普通方程，把代入C 2：ρcos θ+ρsin θ=1，可得：C 2的普通方程，由于C 2的参数方程为为参数），代入C 1得，利用|AB |=|t 1﹣t 2|=即可得出．（2）利用|MA ||MB |=|t 1t 2|即可得出．【解答】解：（1）利用sin 2θ+cos 2θ=1可得：曲线C 1的普通方程为，由C 2：ρcos θ+ρsin θ=1，可得：C 2的普通方程为x +y ﹣1=0，则C 2的参数方程为为参数），代入C 1得，∴．（2）．[选修4-5：不等式选讲] 24．（1）已知实数a ，b 满足|a |＜2，|b |＜2，证明：2|a +b |＜|4+ab |；（2）已知a ＞0，求证：﹣≥a +﹣2．【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（1）法一：根据综合法证明即可；法二：根据分析法证明即可；（2）根据分析法证明即可． 【解答】（1）证明：证法一∵|a |＜2，|b |＜2，∴a 2＜4，b 2＜4， ∴4﹣a 2＞0，4﹣b 2＞0．∴（4﹣a 2）（4﹣b 2）＞0，即16﹣4a 2﹣4b 2+a 2b 2＞0， ∴4a 2+4b 2＜16+a 2b 2，∴4a 2+8ab +4b 2＜16+8ab +a 2b 2， 即（2a +2b ）2＜（4+ab ）2， ∴2|a +b |＜|4+ab |．证法二：要证2|a +b |＜|4+ab |， 只需证4a 2+4b 2+8ab ＜16+a 2b 2+8ab ， 只需证4a 2+4b 2＜16+a 2b 2，只需证16+a 2b 2﹣4a 2﹣4b 2＞0，即（4﹣a 2）（4﹣b 2）＞0． ∵|a |＜2，|b |＜2，∴a 2＜4，b 2＜4， ∴（4﹣a 2）（4﹣b 2）＞0成立． ∴要证明的不等式成立．（2）证明：要证﹣≥a +﹣2，只需证+2≥a ++，只需证a 2++4+4≥a 2++2+2+2，即证2≥，只需证4≥2，即证a2+≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．2016年8月1日第21页（共21页）。
【数学】甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三上学期期末考试(理)
甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年第一学期期末考试高三数学试题（理科）满分:150分 考试时间:120分钟一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。
）1设U =R ，已知集合{|1}A x x =>，{|}B x x a =>，且()U A B =R ð，则实数a 的取值范围是（ ） A (1)-∞，B (1]-∞，C (1)+∞，D [1)+∞，2已知O A B C ，，，为同一平面内的四个点，若20AC CB +=，则向量OC 等于（ ） A2133OA OB - B 1233OA OB-+C 2OA OB -D 2OA OB -+3已知a b ，是实数，则“11()()33a b <”是“33log log a b >”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4.若命题“0x ∃∈R ，使得20230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A [26]， B [62]--， C (26)， D (62)--，（5）若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（ ） A13 B 13- C79 D 79- 6．如图所示的程序的功能是 （ ）7．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①8.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上， 5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A. 2248y x y x ==或 B.2228y x y x ==或 C.22416y x y x ==或 D.22216y x y x ==或9. 变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ）B. C.92 D. 5 10.已知非零向量a 、b 满足23a b a b a +=-=，则a b +与a b -的夹角为（ ）56A π、6B π、 23C π、 3D π、11、设双曲线22221x y a b-=的两条渐近线与直线2a x c=分别交于A,B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若006090AFB <∠<，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A．( B ．) C ．()1,2D ．)+∞12、设函数()()333x xf x e x x ae x=-+--()2x ≥-，若不等式()f x ≤0有解．则实数a 的最小值为（ ）A ．21e -B ．22e -C ．21e- D ．212e + 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分） 13.2(2|1|)x dx --=⎰．14. 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (0)22ππωϕ>-<<，的部分图象如图所示，则()f x 解析式为________.15.已知函数()ln ()mf x x m R x=-∈在区间上取得最小值4，则m = 16.已知抛物线y =4x 2的准线与双曲线22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0）交于A 、B 两点，点F为抛物线的焦点，若∆FAB 为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共六小题共70分。
甘肃省天水市秦安县第二中学高三数学上学期期中试题 理
甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期期中考试高三级数学（理科）试题本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则()R C S T =U （ ） A.]1,2(- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 2.下面关于复数iz +-=12的四个命题中的真命题为（ ） 2:1=z p i z p 2:22=z p :3的共轭复数为1+i z p :4的虚部为-1A. 31,p pB. 21,p pC. 42,p pD. 43,p p 3．运行右面的程序框图相应的程序，输出的结果为（ ） A ．2- B ．12C ．1-D ． 2 4．若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是10，则a 的值是（A ．1B ．12C ．1-D ．25. 下列结论错误．．的是 （ ） A ．命题p:“x R ∃∈,使得210xx ++<”，则2:",10"P x R x x ⌝∀∈++≥;B. “4x =”是“2340x x --=”的充分非必要条件； C ．数列2，5，11，20，x ，47，……中的32x =; D ． 已知,,21,a b R a b +∈+=则218a b+≥ 6．如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图 如图所示，则这个四棱锥的体积为（ ） A ．1 B.2 C ．3 D.47. 设f(x)＝()1232,(2)log 1,(2)x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩，则不等式f(x)＜2的解集为（ ） A ． B ．(－∞，1)∪[2正(主)视图侧(左)视图俯视图C ．(1,2]∪D ．(18．已知函数y ＝x 3-3x +c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝（ ） A ．-2或2 B ．-9或3 C ．-1或1 D ．-3或1 9．已知函数()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<其部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为 （ ）A ．2,3πωϕ== B.2,6πωϕ==C ．1,3πωϕ==D ．1,6πωϕ==10. 已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅u u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．8-B ．7-C ．6-D ．4-11. 已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称 C ．()f x ．()f x 既是奇函数，又是周期函数12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>,12,A A 为实轴顶点,F 是右焦点,(0,)B b 是虚轴端点,若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点)2,1(=i P i ,使得21A A P i ∆构成以12A A 为斜边的直角三角形,则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A.)+∞ B.)+∞ C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上13、已知向量a r 与向量b r 的夹角为120o，若()(2)a b a b +⊥-r r r r 且2a =r ，则b r 在a r 上的投影为14、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有第9题图12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为15．已知复数112z i =-，则12111z z z +=-的虚部是 . 16. 方程33x x k -=有3个不等的实根,则常数k 的取值范围是 . 17．定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),8(log )(2x x f x f x x x f ，则=)2013(f .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知()x f ⋅=，其中()x x 2sin 3,cos 2-=，()()R x x ∈=1,cos ． （1）求()x f 的周期和单调递减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,c b a ()1-=A f ，7=a ，3=⋅，求边长b 和c 的值（c b >）．18．（10分）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，已知11a =,且124,,S S S 成等比数列； （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和。
人教A版数学必修一甘肃省天水市秦安县第二中学上学期第一次月考试卷.docx
甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期第一次月考试卷高一数学一、选择题（每小题5分，共60分）1、设集合{123}{139}A B x A ==∈，，，，，，，且x B ∉，则x =（ ）A 、1B 、2C 、3D 、92．设全集U ＝{x ∈Z|－1≤x ≤5}，A ＝{1,2,5}，B ＝{x ∈N|－1＜x ＜4}，则B ∩(∁U A )＝( )A ．{3}B ．{0,3}C ．{0,4}D ．{0,3,4}3．已知集合A ＝{0,1}，则下列式子错误的是( ) A ．0∈A B ．{1}∈A C ．∅⊆AD ．{0,1}⊆A4、下列四个图像中，是函数图像的是 （ ）A 、（1）B 、（1）、（3）、（4）C 、（1）、（2）、（3）D 、（3）、（4）5．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[1,2)D ．[1,2)∪(2，＋∞)6.下列图象中表示函数图象的是 （ ）()121+=-x x f ，则7.已知()3f 的值是（ ）A ． 5B ．9C ．7D ．88.已知函数21()2x f x x ⎧+=⎨-⎩ (0)(0)x x ≤>，则))1((f f 的值是（ ）A ．－2B ．2C ． －4D ．59.给出下列集合A 到集合B 的几种对应,其中，是从A 到B 的映射的有( )A ．(1)(2)B ．(1)(2)(3)C ．(1)(2)(4)D ．(1)(2)(3)(4)10. 函数01()()22f x x x =-++的定义域为（ ）A.1(2,)2- B.[-2，+∞） C.),21()21,2[+∞- D.1(,)2+∞11. 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ],0[+∞∈时f (x )是增函数，则f (-2),f (4),f (-3)的大小关系是（ ）A.f (4)>f (-3)>f (-2)B.f (4)>f (-2)>f (-3)C.f (4)<f (-3)<f (-2)D.f (4)<f (-2)<f (-3)12.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是（ ）A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数二、填空题（每小题5分，共20分）13.设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.[答案] 1[解析] ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ， ∵a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1.14.{}2{|1}|1A x x B x ax ====，，B A ⊂≠，则a 的值是 _______[答案] -1,1或015.已知集合M={(x,y)|x ＋y =2},N={(x,y )|x －y =4},那么集合M ∩N ＝ ．16．函数f (x )＝|x －1|的单调递减区间是________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分.写出文字说明证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)化简计算)32(4)1(31313132----÷b a ba 23202)3()833()21()32( (2)π-+--+-18.（本小题满分12分）设U={}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，A={}1,2,3,4,5,B={}4,5,6,7,8, C={}3,5,7,9,求,,(),()U A B AB AC B A B C19.(本小题满分12分)求证：函数11)(+=xx f 在（0，∞+）上是减函数.20.(本小题满分12分)设函数2211)(x x x f -+=．（1）求它的定义域；（2）判断它的奇偶性.21.(本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象关于直线x ＝1对称．(1)求实数a 的值(2)若f (x )的图象过(2,0)点，求x ∈[0,3]时f (x )的值域．22. (本小题满分12分）若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0， 满足 f (xy )＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f (13)<2.高一数学月考答案一、 选择题1-5 BBBBD 6-10 CBDAC 11-12 AB二、填空题 13.1 14.-1,1或0 15.{（3，-1）} 16.（-∞，1） 三、解答题17.解：(1)原式＝－6a 23－(－13)b－13－(－13)＝－6a .(2)原式＝94＋1－(32)2＋π－3＝π－2.18、解：A ∩B=｛4,5｝ ，A ∪B=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝ A ∩（U C B ）=｛1,2,3｝， A ∪(B ∩C)= ｛1,2,3,4,5,7｝. 19、证明：任取1x ,2x ∈(0,+∞)且1x <2x 则f(1x )-f(2x )=2112x x x x - ∵ 1x ,2x ∈(0,+∞)且1x <2x ∴f(1x )-f(2x )<0 即f(1x )<f(2x )∴函数1()f x x x=+在(1,)+∞是增函数. 20.解：（1）｛x ︱x ≠1且x ≠-1｝ （2）f(-x)=f(x) 偶函数[解析] (1)二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的对称轴为x ＝－a2，∴－a2＝1，∴a ＝－2.(2)若f (x )，过(2,0)点，∴f (2)＝0，∴22－2×2＋b ＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝x 2－2x .当x ＝1时f (x )最小为f (1)＝－1，当x ＝3时，f (x )最大为f (3)＝3，∴f (x )在[0,3]值域为[－1,3]． 22.解：(1)在f (xy )＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0. (2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f (13)<2＝f (6)＋f (6)，∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f (x ＋32)<f (6)．∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎨⎧x ＋32>0，x ＋32<6解得－3<x <9. 即不等式的解集为(－3,9)．。
甘肃省天水市秦安县高三数学第一次模拟考试试题理(含解析)新人教A版
甘肃省天水市秦安县高三数学第一次模拟考试试题理（含解析）新人教A版试卷分析报告2015年甘肃省天水市秦安县高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={﹣1，0，2，3}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．【解析】：解：由M中不等式解得：﹣2≤x≤2，即M=[﹣2，2]，∵N={﹣1，0，2，3}，∴M∩N={﹣1，0，2}，故选：A．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：计算题．【分析】：根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．【解析】：解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选A．【点评】：本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．3．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．【考点】：等比数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．【解析】：解：设等比数列{an}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故选C．【点评】：熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l【考点】：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【解析】：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．【点评】：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，靠考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．x3＞y3 D．sinx＞siny【考点】：不等式的基本性质．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：实数x、y满足ax＜ay（1＞a＞0），可得y＜x．A．取x=1，y=0，即可判断出．B．取x=﹣2，y=﹣1，即可判断出；C．利用y=x3在R上单调递增，即可判断出；D．取y=﹣，x=，即可判断出．【解析】：解：∵实数x、y满足ax＜ay（1＞a＞0），∴y＜x．对于A．取x=1，y=0，不成立，因此不正确；对于B．取y=﹣2，x=﹣1，ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立；对于C．利用y=x3在R上单调递增，可得x3＞y3，正确；对于D．取y=﹣π，x=，但是sinx=，siny=，sinx＞siny不成立，不正确．故选：C．【点评】：本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．6．（5分）设函数f（x）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x≤π时，f（x）=0，则f（）=（）A．B．C．0 D．﹣【考点】：抽象函数及其应用；函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用已知条件，逐步化简所求的表达式，转化为0≤x≤π时，f（x）=0，以及利用诱导公式可求函数值即可．【解析】：解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x＜π时，f（x）=1，∴f（）=f（）=f（）+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos+cos=0+cos﹣cos+cos=﹣．故选：D．【点评】：本题考查抽象函数以及函数值的求法，诱导公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．（5分）若多项式x2+x10=a0+a1（x+1）+…+a8（x+1）8+a9（x+1）9+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．9 C．﹣45 D．﹣9【考点】：二项式定理的应用．【专题】：二项式定理．【分析】：先凑成二项式，再利用二项展开式的通项公式求出（x+1）8的系数，即为所求．【解析】：解：a8 是x10=[﹣1+（x+1）]10的展开式中第九项（x+1）8 的系数，∴a8==45，故选：A．【点评】：本题主要考查二项展开式的通项公式，二项展开式系数的性质以及多项恒等式系数相等的性质，属于基础题．8．（5分）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：根据考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102）．得到考试的成绩ξ关于ξ=105对称，根据P（95≤ξ≤105）=0.32，得到P（ξ≥105）=（1﹣0.64）=0.18，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【解析】：解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称，∵P（95≤ξ≤105）=0.32，∴P（ξ≥105）=（1﹣0.64）=0.18，∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9故选：B．【点评】：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=105对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．9．（5分）过抛物线C：x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|=（）A． 1 B．2 C． 3 D．4【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：利用抛物线C在点B处的切线斜率为1，求出B的坐标，可得直线l的方程，利用抛物线的定义，即可求出|AF|．【解析】：解：∵x2=2y，∴y′=x，∴抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B（1，），∵x2=2y的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，∴直线l的方程为y=，∴|AF|=1．故选：A．【点评】：本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．10．（5分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2（x∈R），则不等式f（x）＜2x+1的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：令F（x）=f（x）﹣2x﹣1，从而求导可判断导数F′（x）=f′（x）﹣2＜0恒成立，从而可判断函数的单调性，从而可得当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，从而得到不等式f（x）＜2x+1的解集．【解析】：解：令F（x）=f（x）﹣2x﹣1，则F′（x）=f′（x）﹣2，又∵f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2，∴F′（x）=f′（x）﹣2＜0恒成立，∴F（x）=f（x）﹣2x﹣1是R上的减函数，又∵F（1）=f（1）﹣2﹣1=0，∴当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）﹣2x﹣1＜0，即不等式f（x）＜2x+1的解集为（1，+∞）；故选A．【点评】：本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用，属于中档题．二、填空题：（本大题有5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷的相应位置.）11．（5分）阅读右侧程序框图，输出的结果i的值为7．【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=256时，满足条件S≥100，退出循环，输出i的值为7．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得S=1，i=3不满足条件S≥100，S=8，i=5不满足条件S≥100，S=256，i=7满足条件S≥100，退出循环，输出i的值为7．故答案为：7．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环S，i的值是解题的关键，属于基础题．12．（5分）8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，且甲学校至少分到两个名额的分配方案为15（用数字作答）【考点】：计数原理的应用．【专题】：排列组合．【分析】：8人分成三组有可以分为（6，1，1），（5，2，1），（4，3，1），（4，2，2），（3，3，2）共5类，根据分类计数原理即可求出【解析】：解：8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，则8人可以分为（6，1，1），（5，2，1），（4，3，1），（4，2，2），（3，3，2），∵甲学校至少分到两个名额，第一类是1种，第二类有4种，第三类有4种，第四类有3种，第五类也有3种，根据分类计数原理可得，甲学校至少分到两个名额的分配方案为1+4+4+3+3=15种故答案为：15．【点评】：本题考查了分类计数原理得应用，关键是分类，属于基础题．13．（5分）已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为3π．【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：将三棱锥放入棱长为的正方体，可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条棱都相切的球，根据三棱锥棱长算出正方体的棱长为，由此算出内切球半径，用公式即可得到该球的表面积．【解析】：解：将棱长均为3的三棱锥放入棱长为的正方体，如图∵球与三棱锥各条棱都相切，∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心，而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点由此可得该球的直径为，半径r=∴该球的表面积为S=4πr2=3π故答案为：3π【点评】：本题给出棱长为3的正四面体，求它的棱切球的表面积，着重考查了正多面体的性质、多面体内切球和球的表面积公式等知识，属于基础题．14．（5分）在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为7+．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：如图所示，设∠APB=α，∠APC=π﹣α．在△ABP与△APC中，由余弦定理可得：AB2=AP2+BP2﹣2AP•BPcosα，AC2=AP2+PC2﹣2AP•PCcos（π﹣α），可得AB2+AC2=2AP2+，代入即可得出．【解析】：解：如图所示，设∠APB=α，∠APC=π﹣α．在△ABP与△APC中，由余弦定理可得：AB2=AP2+BP2﹣2AP•BPcosα，AC2=AP2+PC2﹣2AP•PCcos（π﹣α），∴AB2+AC2=2AP2+，∴42+32=2AP2+，解得AP=．∴三角形ABP的周长=7+．故答案为：7+．【点评】：本题考查了余弦定理的应用、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：（1）f（2x）=2f（x）；（2）当2≤x≤4时，f （x）=1﹣|x﹣3|，则集合S={x|f（x）=f（34）}中的最小元素是6．【考点】：函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：先利用f（2x）=2f（x），求出f（34）的值，再根据f（x）=1﹣|x﹣3|，求出f（x）=f（34）时x的最小值．【解析】：解：根据题意，得；∵f（2x）=2f（x），∴f（34）=2f（17）=4f（）=8f（）=16f（）；又∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|，∴f（）=1﹣|﹣3|=，∴f（2x）=16×=2；当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|≤1，不存在；当4≤x≤8时，f（x）=2f（）=2[1﹣|﹣3|]=2，解得x=6；故答案为：6．【点评】：本题考查了根据函数的解析式求函数值以及根据函数值求对应自变量的最小值的应用问题，是基础题目．三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的最大值．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ 的值，可得sin∠POQ，求出P的坐标可得A的值，再由函数的周期求出ω的值，再把点P的坐标代入函数解析式求出φ，即可求得y=f（x）的解析式．（Ⅱ）求出g（x）的解析式，化简h（x）=f（x）g（x）的解析式为sin（﹣）+，再根据x的范围求出h（x）的值域，从而求得h（x）的最大值．【解析】：解：（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ==，…（2分）∴sin∠POQ=，得P点坐标为（，1），∴A=1，=4（2﹣），∴ω=．…（5分）由f（）=sin（+φ）=1 可得φ=，∴y=f（x）的解析式为f（x）=sin（x+）．…（6分）（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）=sin x，…（7分）h（x）=f（x）g（x）=sin（x+）sin x=+sin xcos x=+sin=sin（﹣）+．…（10分）当x∈[0，2]时，∈[﹣，]，∴当，即x=1时，hmax（x）=．…（12分）【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17．（12分）如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°．（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．【考点】：直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】：证明题；转化思想．【分析】：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间上角坐标系，（1）设平面SAB的法向量为，利用，得，设SC与平面SAB所成角为θ，通过，求出SC与平面SAB所成角的正弦值为．（2）设平面SAD的法向量为，利用，得．利用，求出平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是．【解析】：解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵∠SDC=120°，∴∠SDE=30°，又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为．则有D（0，0，0），，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．（4分）（1）设平面SAB的法向量为，∵．则有，取，得，又，设SC与平面SAB所成角为θ，则，故SC与平面SAB所成角的正弦值为．（9分）（2）设平面SAD的法向量为，∵，则有，取，得．∴，故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是．（14分）【点评】：本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值、余弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．18．（12分）某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：综合题；概率与统计．【分析】：（1）利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式可求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率．（2）ξ可取0，1，2，3，4，分别求出其概率，能求出ξ的分布列和期望．【解析】：解：（1）．（2）ξ可取0，1，2，3，4，P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=；P（ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；P（ξ=2=++=；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==．∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4PEξ=0×+1×+2×+3×+4×=．【点评】：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思属于中档题．19．（12分）已知数列{an}中，a1=1，且an+an+1=2n，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}的前n项和Sn，求S2n．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由a1=1，且an+an+1=2n，可得当n≥2时，．an+1﹣an﹣1=2n﹣1，当n为偶数2k（k∈N*）时，a2k=（a2k﹣a2k﹣2）+（a2k﹣2﹣a2k﹣4）+…+（a6﹣a4）+（a4﹣a2）+a2，即可得出；当n为奇数时，由，可得，即可得出．（2）利用S2n=（a2+a4+…+a2n）+（a1+a3+…+a2n﹣1）=（a2+a4+…+a2n）+[（2﹣a2）+（23﹣a4）+…+（a2n﹣1﹣a2n）]，即可得出．【解析】：解：（1）∵a1=1，且an+an+1=2n，∴当n≥2时，．∴an+1﹣an﹣1=2n﹣1，当n=1，2，3时，a1+a2=2，a2+a3=22，．解得a2=1，a3=3，a4=5．当n为偶数2k（k∈N*）时，a2k=（a2k﹣a2k﹣2）+（a2k﹣2﹣a2k﹣4）+…+（a6﹣a4）+（a4﹣a2）+a2=22k﹣2+22k﹣4+…+24+22+1==．当n为奇数时，，∴，∴（k∈N*）．（2）S2n=（a2+a4+…+a2n）+（a1+a3+…+a2n﹣1）=（a2+a4+…+a2n）+[（2﹣a2）+（23﹣a4）+…+（a2n﹣1﹣a2n）]=2+23+…+22n﹣1==．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）已知函数g（x）=f（x）+﹣bx，函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1、x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）由f′（x）=1+，利用导数的几何意义能求出实数a的值；（2））由已知得g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围；（3）由g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，x＞0，设μ（x）=x2﹣（b﹣1）x+1，由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）﹣g（x2）的最小值．【解析】：解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+x2﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+x2﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∵x＞0，设μ（x）=x2﹣（b﹣1）x+1，则μ（0）=[ln（x1+x12﹣（b﹣1）x1]﹣[lnx2+x22﹣（b﹣1）x2] =ln+（x12﹣x22）﹣（b﹣1）（x1﹣x2）=ln+（x12﹣x22）﹣（x1+x2）（x1﹣x2）=ln﹣（﹣），∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则h′（t）=﹣（1+）=＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，由x1+x2=b﹣1，x1x2=1，可得t+≥，∵0＜t＜1，∴由4t2﹣17t+4=（4t﹣1）（t﹣4）≥0得0＜t≤，∴h（t）≥h（）=ln﹣（﹣4）=﹣2ln2，故g（x1）﹣g（x2）的最小值为﹣2ln2．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．21．（14分）如图，F1，F2是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M在直线l：x=﹣上．（1）若B的坐标为（0，1），求点M的坐标；（2）求•的取值范围．【考点】：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）先求得A点的横坐标为﹣1，代入椭圆方程+y2=1，解得y的值，可得A 的纵坐标，再根据中点公式求得M的坐标．（2）当AB垂直于x轴时，易得•的值．当AB不垂直于x轴时，设AB的斜率为k，M（﹣，m），由可得k=，可得AB的方程为y=x+①．把①代入椭圆方程化简利用韦达定理，由判别式大于零，求得m2的范围，化简•为．令t=1+8m2，则1＜t＜8，再根据函数的单调性求得•=[3t+]的范围．【解析】：解：（1）∵B的坐标为（0，1），且线段AB的中点M在直线l：x=﹣上，∴A点的横坐标为﹣1，代入椭圆方程+y2=1，解得y=±，故点A（﹣1，）或点A（﹣1，﹣）．∴线段AB的中点M（﹣，+）或（﹣，﹣）．（2）由于F1（﹣1，0），F2（1，0），当AB垂直于x轴时，AB的方程为x=﹣，点A（﹣，﹣）、B（﹣，），求得•=．当AB不垂直于x轴时，设AB的斜率为k，M（﹣，m），A（x1，y1 ），B （x2，y2），由可得（x1+x2）•2（y1+y2）•=0，∴﹣1=4mk=0，即k=，故AB的方程为y﹣m=（x+），即y=x+①．再把①代入椭圆方程+y2=1，可得x2+x+•=0．由判别式△=1﹣＞0，可得0＜m2＜．∴x1+x2=﹣1，x1•x2=，y1•y2=（•x1+）（x2+），∴•=（x1﹣1，y1 ）•（x2﹣1，y2）=x1•x2+y1•y2﹣（x1+x2）+1=．令t=1+8m2，则1＜t＜8，∴•==[3t+]．再根据[3t+]在（1，）上单调递减，在（，8）上单调递增求得[3t+]的范围为[，）．综上可得，[3t+]的范围为[，）．【点评】：本题主要考查本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式的应用，直线和二次曲线的关系，考查计算能力，属于难题．。
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甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三上学期第一次检测考试数 学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，则集合{|1,}y y x x A =+∈=（ ） A.{1,2,3}B.{0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,0,1,2,3}-2．函数()2()log 6f x x =+-的定义域是（ ）A ．{}|6x x >B ．{}|36x x -<<C ．{}|3x x >-D ．{}|36x x -<≤3.“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若210x -= ， 则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠ 则210x -≠”B ．“1x = ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题R :∈∃x p 使得210x x ++<，则R :∈∀⌝x p 均有210x x ++…5．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（ ） ① 若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；② 若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥； ③ 若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ； ④ 若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥；A ．②③B ．③④C ．②④D ．③6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是（ ）A ．()cos f x x =BC ．()lg f x x =D ．()2x x e e f x --= 7. 命题：“若220a b +=（a , b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是 （ ）A ．若a ≠b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0 B.若a=b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0C ．若a ≠0且b ≠0（a,b ∈R ），则22a b +≠0 D.若a ≠0或b ≠0（a,b ∈R ），则22a b +≠08. 已知函数2)(x x e e x f --=，则下列判断中正确的是( )A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 9.若函数y =x 2-3x -4的定义域为［0,m ］，值域为［-425,-4］，则m 的取值范围是( ) A.(0,]4 B.［23,4］ C.［23,3］ D.［23,+∞) 10. 若存在正数x 使2x(x －a)<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)11. ．为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度 12.对于函数f (x )定义域中任意的1x ，2x (1x ≠2x )，有如下结论： ①f (1x ＋2x )＝f (1x )·f (2x ) ②f (1x ·2x )＝f (1x )＋f (2x ) ③1212()()0f x f x x x ->- ④1212()()()22x x f x f x f ++<当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确结论的序号是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 5分,共20分）．已知3a =，4b =，与错误！未找到引用源。
的夹角为60︒，a b += ，则2z x y =+的最小值等于 ．,四棱锥ABCD P -的分别是棱AB 、CD 的中点， 直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为 ．16．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对于R x ∈∀恒有)1()1(-=+x f x f ，已知当][1,0∈x 时，,)21()(1x x f -=则（1）)(x f 的周期是2；（2）)(x f 在（1，2）上递减，在（2，3）上递增； （3）)(x f 的最大值是1，最小值是0；（4）当)4,3(∈x 时，3)21()(-=x x f其中正确的命题的序号是 ．三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且B a A b cos 3sin =（1）求角B 的大小；（2）若A C b sin 2sin ,3==，求,a c 的值．18．(本小题满分12分) 为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）． （1）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量X 表示所抽取的4名学生中得分在[80,90)内的学生人数，求随机变量X 的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，222===CD AD AB ，E 是PB 上的点. （1）求证：平面⊥EAC 平面PBC ；（2是PB 的中点，且二面角E AC P --的余弦值为PA 与平面EAC 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）已知椭圆错误！未找到引用源。
的中心在坐标原点错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，左、右焦点分别为12F F 、，P 为椭圆错误！未找到引用源。
上的动点，12PF F ∆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3450x y -+=相切． （1）求椭圆错误！未找到引用源。
的方程；（2）若直线l 过定点(1,0)且与椭圆错误！未找到引用源。
交于错误！未找到引用源。
两点，点错误！未找到引用源。
是椭圆错误！未找到引用源。
的右顶点，直线错PABC D Eyx误！未找到引用源。
与直线错误！未找到引用源。
分别与错误！未找到引用源。
轴交于错误！未找到引用源。
两点，试问以线段错误！未找到引用源。
为直径的圆是否过错误！未找到引用源。
轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．21．（本小题满分12 （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（Ⅲ）若a 是正实数且存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,过PM 的中点N ,作割线NAB ,交圆于A 、B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O 于点D ,若BC MC =. （1）求证:△APM ∽△ABP ;（2）求证:四边形PMCD 是平行四边形.23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=αα是参数)．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线的倾斜角α的值． 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设()f x =|1||1|x x -++.（1）求()2f x x ≤+的解集; （2）若不等式|1||21|()||a a f x a +--≥对任意不为零的实数a 恒成立，求实数x 的取值范围.数学（理科）答案一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1--5.CDACD 6--10DDACD 11--12DB4小题，每小题5分,共20分）13.1cos60436,2a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯=()222216a b a ba ab b ∴+=+=+⋅+=+=．14【答案】min 3z =【解析】约束条件对应的平面区域如上图所示，当直线2z x y =+过点()1,1时取得最小值3．15.【答案】12π【解析】该几何体的直观图如下图所示，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为边长为a 的正方形，且PA a =，所以PC 为该几何体外接球的直径，即2,R R =，PC 的中点O 球心，取EF 的中点H ，则OH 为圆心到直线EF 的距离，2aOH =，所以222a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解之得24a =，所以())2222312R a ===，所以外接球的表面积为2412S R ππ== 16【答案】（1）（2）（4）【解析】由R x ∈∀恒有)1()1(-=+x f x f ，得)(x f 的周期是2；（1）正确因为当][1,0∈x 时，,)21()(1x x f -=为单调递增函数，所以当[1,0]x ∈-时，()f x 为单调递减函数，因此)(x f 在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（2）正确)(x f 的最大值是111()12-=，最小值是1011()22-=；（3）错误当)4,3(∈x 时，1(4)311()(4)(4)()().22x x f x f x f x ---=-=-== 17、试题解析：（1）因为.cos 3sin B a A b =由正弦定理得：3=B3π=B （22c a =①由余弦定理得ac c a -+=229②由①②得.32=c 解：（1）由题意可知，样本容0.100x =[90,100]在[80,90)(P X =(3)P X ==所以X 的分布列为所以2347777EX =⨯+⨯+⨯=),0,0(a CP =20、解：（1）由题意得121221PF F S c b b ∆=⋅⋅⎧⎪⎨⎪⎩错误！未找到引用源。