高中数学100个热点问题(三)排列组合中的常见模型

第80炼 排列组合的常见模型

一、基础知识：

（一）处理排列组合问题的常用思路：

1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。

例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？

解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，

只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =⨯=种

2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。

例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种

解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简

单。3310785N C C =-=（种）

3、先取再排（先分组再排列）：排列数m

n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。

例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。

解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。所以共有213433108C C A =种方案 （二）排列组合的常见模型

1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。

例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法

解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有4

4A 种位置，第二步考

虑甲乙自身顺序，有22A 种位置，所以排法的总数为424248N A A =⋅=种 2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序

注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边

（2）要从题目中判断是否需要各自排序

例如：有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法

解：考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从5个空中选择2个插入进去，即有2

5

C 种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。所以242542480N C A A =⋅⋅=种 3、错位排列：排列好的n 个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n 个元素的一个错位排列。例如对于,,,a b c d ，则,,,d c a b 是其中一个错位排列。3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种。以上三种情况可作为结论记住

例如：安排6个班的班主任监考这六个班，则其中恰好有两个班主任监考自己班的安排总数有多少种？

解：第一步先确定那两个班班主任监考自己班，共有2

6C 种选法，然后剩下4个班主任均不

监考自己班，则为4个元素的错位排列，共9种。所以安排总数为269135N C =⋅= 4、依次插空：如果在n 个元素的排列中有m 个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m 个元素排好位置，再将n m -个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1+）

例如：已知,,,,,A B C D E F 6个人排队，其中,,A B C 相对位置不变，则不同的排法有多少种

解：考虑先将,,A B C 排好，则D 有4个空可以选择，D 进入队伍后，E 有5个空可以选择，以此类推，F 有6种选择，所以方法的总数为456120N =⨯⨯=种

5、不同元素分组：将n 个不同元素放入m 个不同的盒中

6、相同元素分组：将n 个相同元素放入m 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有11m n C --种。解决此类问题常用的方法是“挡板法”

，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里

所含元素个数，则可将这n 个元素排成一列，共有()1n -个空，使用()1m -个“挡板”进入空档处，则可将这n 个元素划分为m 个区域，刚好对应那m 个盒子。例如：将6个相同的小球放入到4个不同的盒子里，那么6个小球5个空档，选择3个位置放“挡板”，共有3520C =种可能

7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。例如：最多使用四种颜色涂图中四个区域，不同的涂色方案有多少种？

解：可根据使用颜色的种数进行分类讨论

（1）使用4种颜色，则每个区域涂一种颜色即可：414N A =

（2）使用3种颜色，则有一对不相邻的区域涂同一种颜色，首

先要选择不相邻的区域：用列举法可得：{},I IV 不相邻

所以涂色方案有：324N A =

（3）使用2种颜色，则无法找到符合条件的情况，所以讨论终止

总计434448S A A =+=种

二、典型例题：

例1：某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请12位家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，则不同选择的方法种数有多少

思路：本题解决的方案可以是：先挑选出一对夫妻，然后在挑选出两个不是夫妻的即可。 第一步：先挑出一对夫妻：1

6C

第二步：在剩下的10个人中选出两个不是夫妻的，使用间接法：2105C - 所以选择的方法总数为()

126105240N C C =-=（种）

答案：240种

例2：某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ）