4.2复合求积法
4.1-4.2Newton-Cotes求积公式
不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx
数值积分的一般形式
数值积分的一般形式是：
其中，
b
a
f ( x )dx Ai f i Rn
i 0
n
(3)
fi ----是函数f(x)在节点 xi 上的函数值，它可能以列表 形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函 数值； Ai ----称为节点 xi 上的权系数，也称求积系数。 正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积 分的不同方法。
h2 I1 2
对于 f ( x) x2
I
h 0
3 h x 2 dx 3
1 h3 3 2 ( 2 a ) h I1 ah [0 2h] 2 2 1 a 12
令I I1
对于 f ( x) x3
I
h 0
4 h x 3 dx 4 4 h h4 I1 ah2 [0 3h 2 ] 4 2
（2）对n为偶数的情形，设函数f ( x) C n+2 [a, b], 则
Rn [ f ] rnhn3 f ( n2) ()， [a, b]
其中
n 1 2 rn ( 1) (n 2)! 0
( n )d
2、低阶Newton-Cotes公式及其余项
定理4.2.1 Newton-Cotes求积公式的余项可表示为：
复合 求积 公式 - Welcome to Math Dept in ECNU
2
要使误差不超过 0.5 10-5 ，需要
213 等分
取 n=213
11
e 1 1 5 10 12 n 2
n 212.85
举例
复合simpson公式
b a 4 (4) e 1 RS [ f ] hS f ( ) 2880 2880 n
第四章
数值积分与数值微分
— 复合求积公式
1
内容提要
数值积分
基本概念
Newton-Cotes 求积公式
复合求积公式
Gauss 求积公式 Romberg 求积公式 多重积分 数值微分
2
本讲内容
复合求积公式
复合梯形公式 复合 Simpson 公式
3
复合求积公式
( b a )h4 (4) f ( ) 2880
(a, b)
性质：复合梯形公式和复合Simpson 公式都是收敛 的，也都是稳定的。
8
举例
sin x 例：设 f ( x ) ，利用下表中的数据分别用复合梯形公式 x 1 和复合simpson公式计算定积分 f ( x ) dx ，并估计误差。
0
xi 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1.0 f (xi ) 1 0.997 0.990 0.977 0.954 0.936 0.909 0.877 0.841
解：T8 hT 2
7 f ( x0 ) 2 f ( xi ) f ( x8 ) 0.9456909 i 1
h ( b a) / n
5
复合梯形公式
余项公式
hi3 R[ f ] f'' (i ) i 0 12
复化求积公式
2 定理7 定理 若 f ( x ) ∈ C [a , b ] , 则复化梯形公式的余项为
说明： ） （ 式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 说明： 1）(3.3)式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 h2收敛于零的速度相同，即余项等 于O(h2)。 收敛于零的速度相同， 。 导数值)确定 （2）余项可由端点的函数值 导数值 确定。 ）余项可由端点的函数值(导数值 确定。 3、复化中矩求积公式 （推导类似复化梯形公式） 、 推导类似复化梯形公式） x 1 x 1 x3 上采用中矩形公式， 在 [ x i −1 , x i ]上采用中矩形公式， n− 2 2 2 b − a xi xi −1 + xi , 记h = xn =b x = ∫xi−1 f ( x)dx ≈ h ⋅ f ( 2 )， a=x0 x1 x2 n i = 1,2,L, n 所以
即
∫
b
a
n −1 x i ) + f (b) 2 i =1 2
记
= Tn
( 3 .1)
下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项， 下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项，因为每个小区 间上是N－ 公式中当 公式中当n=1时的梯形公式。 时的梯形公式。 间上是 －C公式中当 时的梯形公式
n n
所以 − h∑ f ′′(ξ i ) = −∑ O( h2 ) + f ′(a ) − f ′(b) → f ′(a) − f ′(b), (h → 0)，
n
i =1 i =1
即 − h∑ f ′′(ξi ) → f ′(a) − f ′(b) (h →0)。
i=1
#
− (b − a)h2 ∫a f ( x)dxb − Tn = 12 f ′′(ξ ), a < ξ < b， ( 3 . 2 ) ∫a f ( x)dx − Tn → 1 ( f ′(a) − f ′(b)), h → 0。 及渐近估计式 ( 3 .3 ) 2 12 h
4.3 复化求积公式
点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有:
b a
n1
n1
T2n
4n
f
(a)
2
k 1
f
(xk )
2
k 0
f
( xk 1
2
)
f
(b)
1 2
h 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)
h 2
n k 0
0
1/4
例4.14 对于函数 f (x) sin x x
试用数据表应用复化梯形法计算积分
1 sin x
I ( f ) 0 x dx
2/4
x 0 1/8
解 将区间[0,1]划分为n=8等分,h=1/8, 应 2/8
用复化梯形法求得
3/8
T8
h 2
f
7
(a) 2
k 1
f
(xk )
x
k
1
)
2
f
( xk 1)]
xk
x k1
x k 1
2
b
n1
f (x)dx
xk1 f (x)dx
a
x k 0 k
4 4
xk 1 xk 6
m1 f
k0
xk
4f
(
x
k
1
)
2
f
( xk 1 )
4
4
4
称Sn为复化 Simpson公式
73第三节 复合求积公式
1 I S2 n 2 S2 n Sn 4 1 这从而有递推化(变步长)的复合辛卜生公式. 进一步，还可以得到递推化(变步长)的复合牛 顿-柯特斯公式. 这里就不在赘述了.
得到
数学学院 信息与计算科学系
2. 复合辛卜生公式 将积分区间[a, b]2n等分, 步长h=(b-a)/2n，节点为 xk=a+kh, k=0,1, …,2n，则在每个子区间[x2k, x2k+2]上 的积分用辛卜生公式，得
I f ( x )dx
b a n 1 k 0 n 1 x2 k 2 x2 k
(1)用复合梯形公式计算，由误差估计式有
( b a )3 e 1 4 R f ( ) 10 12n2 12n2 2
e 102 67.3087, 计算有 n 6 故取n=68，即将区间[0, 1]进行68等分就满足要求.
(2)用复合辛卜生公式计算，由误差估计式有
n，但这要用到高阶导数，一般是比较困难的.
数学学院 信息与计算科学系
在实际中，常采用积分步长h的自动选取， 具体说，就是在求积过程中，将步长逐次折半， 反复利用复合求积公式，直到相邻两次的计算结
果之差的绝对值小于允许误差为止，这实际上是
一种事后估计误差的方法.
数学学院 信息与计算科学系
对复合梯形公式，将区间[a, b]n等分的余项式为
2k 1 f f (1) 8
数学学院 信息与计算科学系
3 3 1 4 4 4 4 2 4 2 2 k 2 2 k 1 2 24 1 0 1 ( ) 1 ( ) 1 1 k 1 k 0 4 8
3 3 1 3 16 64 2 4 2 2 6 2 16 k 64 (2 k 1) k 1 k 0
复合求积法
(b a )3 f ( ) R(T ) 12
R( S ) b a ( b a )4 f ( 4 ) ( ) 180 2
h h ( 4) f (k ) 180 2
6
4
2h h ( 6 ) 2 ( b a ) b a 6 (6) R(C ) ( ) f ( ) f (k ) 945 4 945 4
0.94608331
C2
1 1 1 [7 f (0) [32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 )] 14 f ( xk ) 7 f (1)] k k k 180 k 0 k 1 4 4 4
0.94608307
9
精度解
) f ( x2 )] [ f ( xn 1 ) 4 f ( x ) f (b)]
[ xn 1 , xn ] S ( n 1 )
n 1
1 2
n 1 n 1 h S n [ f (a) 4 f ( x 1 ) 2 f ( xk ) f (b)] k 6 k 0 k 1 2
n 1
f (k ) max f ( x) a x b n
由介值定理, [a , b],使得
k 0
n 1
f (k ) f ( ) n
(b a ) 2 h f ( ) 12
12
即有
nh3 n 1 f (k ) nh3 I Tn f ( ) 12 k 0 n 12
11
1. 设被积函数 f ( x) C 2 [a, b], 则复合梯形公式的余项为
3 n 1 h h I Tn [ f (k )] f (k ) 12 k 0 12 k 0 n 1 3
复合求积公式
复合求积公式§5.3 复合求积公式由于在实际计算时，不宜使⽤⾼阶的⽜顿——柯特斯公式，但若积分区间较⼤，单独⽤⼀个低阶的⽜顿——柯特斯公式来计算积分的近似值，显然精度不好，为了提⾼数值求积的精确度，可利⽤积分对区间的可加性来解决这个问题，这就是通常采⽤的复合求积法。
所谓复合求积法，其指导思想就是先将积分区间分成若⼲个⼩区间，在每个⼩区间上采⽤低阶求积公式进⾏计算，然后把所有⼦区间的计算结果相加得出新的求积公式，这种公式就叫做复合求积公式。
5.3.1 低阶复合求积公式1 复合梯形求积公式如果在区间(a ，b)上直接应⽤梯形公式则可得(a b h -=1)：T 1＝)]()([21b f a f h +＝)]()([2b f a f a b +-若在区间(a ，b)中，增加⼀个结点2/)(b a c +=，则把区间(a ，b)分成两个⼩区间(a ，c)与(c ，b)，在两个⼩区间上分别应⽤梯形公式，然后相加就会得出新的求积公式T 2：(其中2/)(2/12a b h h -==)T 2＝)]()([22c f a f h +＋)]()([22b f c f h + ＝)]()2(2)([22b f b a f a f a b +++?-继续增加结点，把区间(a ，b)分成4等分，(a ，x 1) 、(x 1，x 2)、 (x 2，x 3) 、(x 3，b) ，在每个⼩区间上分别应⽤梯形公式后再相加，就会得出新的求积公式：T 4＝)]()([214x f a f h +＋)]()([2214x f x f h +＋)]()([2324x f x f h + ＋)]()([234b f x f h + (其中4/)(2/24a b h h -==)，＝)}()]43()2()43([2)({42b f b a f b a f b a f a f a b +++++++?-其中k x ＝4kh a +，（k ＝0，l ， (4)同理，把区间(a ，b)分成8等分时，可得求积公式T 8：T 8＝)835()826()87([2)({82b a f b a f b a f a f a b ++++++?- )}()]87()862()853()844(b f b a f b a f b a f b a f +++++++++上⾯我们将区间(a ，b)分成k 2等分，是为了在计算后⾯的数值时，充分利⽤到前⾯的数据。
数值计算方法课件CH4数值积分4.2复合求积法
f
(b)
f (a)]
1 4
(I
Tn
)
20
因此有
I T2n 1 I Tn 4
4I 4T2n I Tn
即
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )
这说明， T2n作为I的近似值时的截断误差 绝对值约为
1 3 T2n Tn
若预先给定的误差限为，只要 ，就认为此时的数
值积分T2n已经达到精度要求，可以停止计算了.
3 4
)]
14
k
1
f
(xk ) 7
f
(1)]
0.94608307
10
比较三个 公式的结果
精度最低 精度次高
T8 0.94569086 S4 0.94608331
精度最高 C2 0.94608307
原积分的精确值为 I 1sin x dx 0.946083070367183 0x
这三种方法都是求积区间上9个节点上的函数值的线性组合 进行计算，只是组合方法不同，但工作量基本相同.T8的精 度很低，但S4和C2的精度很高，相比较而言，复合Simpson 公式的复杂性居中，精度又可达到要求，故使用更普遍.
在数值积分中，精度是一个很重要的问题，复合求积法 对提高精度是很有效的.由复合求积公式的余项表达式看到， 精度与步长有关. 步长取得太大，精度难以保证，步长太小， 则求积会公导式致之计前算最量好的先增给加出，步并长且.积I累 T误n 差 11也2 h2会[ f 增(b) 大f (，a)]因此使用
从理论上讲，可以根据复合I求 S积n 公 118式0 的2h 4余[ f 项(b) 公f 式(a)或] 其近 似于被表积达函式数，的预高先阶确导定数出很恰难当估的计步I，长 C或hn 来者 9.24但被5 在积h4 6实函[ f (际数5)(b使)没 f用有(5)(中解a)]，析表由 达式，因此这个预估h的方法是不宜使用的.
4.2复化求积公式
4.2复化求积公式一、教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握积分的复合求积公式。
二、教学内容及学时分配本节主要介绍复合求积公式。
具体内容如下：牛顿柯特斯公式、复化求积公式。
三、教学重点难点1．教学重点：复化求积公式。
2. 教学难点：复化考特斯求积公式。
四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学生对概念的理解。
五、正文复合求积公式1 公式的推导Newton-Cotes 公式是由拉格朗日插值公式推导出来的数值积分公式。
将区间[a,b]等分n 等份,记b ah n -=,分点为k x a kh =+,k=0,1,...,n,这n+1个节点上的函数值为(),0,1,,k f x k n=L ,从而区间[a,b]上的拉格朗日插值多项式为()()()nn k k k L x f x l x ==∑()()bb n aaf x dx L x dx ≈⎰⎰0()()n b k k a k f x l x dx=∑⎰=00()()()nbk k a k nk k k l x dx f x A f x ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=∑⎰∑由于插值结点是等距节点，故插值多项式可以进一步化简: 因为k x a kh=+，x a th =+故()k j x x k j h -=-，()j x x t j h-=-011011()()()()()()()()()n k k k n k k k k k k x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=----L L L L(1)(1)(1)()(1)(1)(1)()t t t k t k t n k k k k k k k n --+---=--+---L L L L0,(1)()!()!nn k j j kt j k n k -=≠-=--∏因()bk k aA l x dx=⎰，作积分变量代换x a th =+，b adx hdt dt n -==，当x=a时，t=0；当x=b 时，t=n ；故00,()1(1)()!()!nn j j kn k k b a t j dt A n k n k =≠----=⋅-∏⎰记()(),0,1,,n k k A b a C k n =-=L ，我们称()n k C 为柯特斯（Cotes ）系数，它不仅与函数f(x)无关，而且与积分区间[a,b]无关。
复合辛普森求积公式
复合辛普森求积公式
复合辛普森求积公式，听起来是不是有点让人摸不着头脑？别急，让我慢慢给您讲讲。
咱先来说说这公式到底是干嘛的。
简单点说，它就是用来计算一些复杂图形面积或者一些函数积分的好帮手。
比如说，您想知道一个形状不规则的土地面积，直接测量那可太难了。
这时候复合辛普森求积公式就派上用场啦。
我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，有个小同学瞪着大眼睛问我：“老师，这公式真能算出那么奇怪的形状的面积吗？”我笑着回答：“那当然，只要咱们用对了方法，啥难题都能解决。
”
那咱们来具体看看这公式怎么用。
它的原理其实就是把一个大的区间分成很多小的区间，然后在每个小区间上用特定的方法去近似计算面积或者积分。
想象一下，把一块大蛋糕切成很多小块，每小块咱们都能大概算出它的大小，加起来不就差不多知道整个蛋糕的大小了嘛。
在实际应用中，可不能马虎。
参数要选对，计算要仔细，不然一个小错误可能就导致结果相差十万八千里。
就像有一回，我让学生们自己动手用复合辛普森求积公式计算一个函数的积分。
有个粗心的孩子，计算过程中少算了一个区间，结果出
来和正确答案差了好多。
我就告诉他：“这就好比你做算术题，少加了一个数，能对吗？”
而且，要真正掌握这个公式，得多做练习题。
光听我在这儿讲可不行，得自己动手去算，去琢磨。
学习复合辛普森求积公式，就像是一场探险。
刚开始可能会觉得有点难，但是只要您坚持，一点点地去理解，去尝试，就会发现其中的乐趣和奥秘。
总之，复合辛普森求积公式虽然有点复杂，但只要咱们有耐心，多练习，就能把它拿下，让它成为我们解决数学问题的有力武器！。
复合辛普生求积公式原理
复合辛普生求积公式原理在数学的广袤天地里，有一个神秘而有趣的家伙，叫做复合辛普生求积公式。
这玩意儿听起来可能有点让人头疼，但别怕，咱们一起来揭开它的面纱。
记得我曾经给学生们讲这个公式的时候，有个学生瞪着大眼睛，一脸困惑地问我：“老师，这到底是啥呀，感觉像个外星来的密码。
”我笑着告诉他：“这可不是什么外星密码，它其实是我们解决数学难题的一把神奇钥匙。
”先来说说什么是辛普生求积公式。
简单来讲，它就是一种用来计算曲线下面积的方法。
想象一下，有一条弯弯扭扭的曲线，我们要算出它和坐标轴围成的面积，这可不容易。
但辛普生求积公式就像是一个魔法公式，能帮我们搞定这个难题。
那复合辛普生求积公式又是怎么回事呢？其实就是把计算的区间分成很多小段，然后在每一小段上都用辛普生求积公式来计算面积，最后把这些小段的面积加起来，就得到了整个区间的近似面积。
比如说，我们要计算一个函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的面积。
我们把这个区间分成 n 等份，每份的长度是 h = (b - a) / n 。
然后对于每个小段[x_i, x_{i + 1}] ，其中 x_i = a + i * h ，我们用辛普生求积公式来计算它的面积。
具体的公式是这样的：S ≈ h / 3 * [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) +... + 4f(x_{n - 1}) + f(x_n)] 。
这里面的系数 1、4、2、4、2……交替出现，是不是有点像在跳一种奇怪的舞蹈？哈哈，其实这是有规律的，每三个点一组，第一个和最后一个系数是 1，中间那个是 4，然后每组中间的那些系数都是 2 。
咱们来举个例子感受一下。
假设要计算函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的面积。
我们把区间分成 4 等份，h = (2 - 0) / 4 = 0.5 。
那么 x_0 = 0 ，x_1 = 0.5 ，x_2 = 1 ，x_3 = 1.5 ，x_4 = 2 。
数学运算复合法名词解释
复合法是数学中的一种运算方法，也称为组合法。
它指的是将多个运算的结果连续组合起来，得到最终的结果。
常见的复合法包括：
1 加法复合法：将多个数相加得到结果。
例如：1+2+3+4=10。
2 乘法复合法：将多个数相乘得到结果。
例如：2×3×4=24。
3 幂运算复合法：将多个数进行幂运算得到结果。
例如：
2^3^4=4096。
4 函数复合法：将多个函数进行组合运算得到结果。
例如：f(x)=x^2,
g(x)=x+1, h(x)=f(g(x))=x^2+(x+1)=x^2+x+1。
复合法是数学中常用的运算方法，在解决各种数学问题时经常使用。
复合法的优点在于能够快速组合多个数学运算，使用时应注意遵循运算符号的优先级，使用括号进行括起来，以保证运算的正确性。
例如，在计算2+3×4时，应该先乘再加，即(2+3)×4=20，而不是2+(3×4)=14。
除了这些基本的复合法之外，还有许多其他的复合法。
例如，可以通过组合函数求导、积分等方法来进行复合运算。
在解决各种数学问题时，可以根据实际情况选择适当的复合法进行运算，以得到更为精确的结果。
复化求积公式的算法及其应用
摘要在数值计算中，低阶牛顿柯特斯求积方法存在很多缺陷，从余项公式可以看出其要求提高求积公式的代数精度，必须增加结点个数，会导致插值多项式出现龙格现象，且数值稳定性不能保证.基于以上原因，我们往往采用复化求积方法，此方法不仅可以克服以上缺点而且便于在计算机上实现，值得研究和学习.在本课程设计中，我们首先从复化求积公式的思想引入，然后详细介绍复化梯形求积公式、复化辛普森求积公式和复化柯特斯求积公式的推导过程和相关性质，再对三种求积公式进行比较和总结，其次画出三种求积公式的流程图，最后通过求解例题写出三种求积算法的程序设计.关键词复化求积算法;流程图;程序设计目录引言 (1)第一章复化求积算法 (2)§1.1复化求积公式 (2)§1.1复化求积公式的思想 (3)§1.2复化求积公式的构造 (3)§1.2复化梯形求积公式 (3)§1.2.1复化梯形求积公式的推导过程 (3)§1.2.2复化梯形求积公式的性质 (3)§1.3复化辛普森求积公式 (4)§1.3.1复化辛普森求积公式的推导过程 (4)§1.3.2复化辛普森求积公式的性质 (4)§1.4复化柯特斯求积公式 (5)§1.4.1复化柯特斯求积公式的推导过程 (5)§1.4.2复化柯特斯求积公式的性质 (5)§1.5三种复化求积公式的比较及总结 (6)第二章复化求积公式算法的流程图及其应用 (9)§2.1 流程图 (9)§2.2 应用 (12)参考文献 (15)附录A (16)附录B (17)附录C (18)引言积分计算在分析数学领域里是个古老的问题，在数值分析中已被广泛应用.但在计算机上却不能像在分析数学中那样，用原函数[满足)()('x f x F =的函数)(x F 就是函数)(x f 的原函数]计算积分.这是因为在实际问题中，函数关系往往是用列表数据或曲线给出的.即使知道了函数的表达式，求其一个原函数并非一个简单问题.许多函数难以用初等函数表示（如2,/sin x e x x -等）.在计算机上，通常利用函数的若干个离散值，以代数运算近似计算积分值，这类近似计算法称为数值积分法.设给定区间],[b a 上的函数)(x f .需要建立计算积分dx x f f I ba ⎰=)()(的近似方法.数值积分的基本思想是试图用一个简单又易于积分的函数逼近)(x f ，以计算积分)(f I .显然插值多项式是一个很好的选择，因为插值多项式可由)(x f 的若干值构造出来，其积分很容易计算.为此，需将],[b a 分为n 等分n i x x i i ,,2,1],,[1 =+，其中b x x x x a n =<<<<=+1321 .分割步长h ，因此,1,3,2,/)1(1+=-+=n i h i x x i 对应的函数值)()(,),(),()(121b f x f x f x f a f n ==+ .显然)(f I 可以表示为所有小区间上各函数的积分的和，即)()(1f I f I ni i ∑==其中 dx x f I i ix x i ⎰+=1)(通常把为每个)(f I i 建立的计算公式简称为求积公式，而把)(f I 建立的求积公式称为复化求积公式.由于在实际计算时，不宜使用高阶的牛顿——柯特斯公式，但若积分区间较大，单独用一个低阶的牛顿——柯特斯公式来计算积分的近似值，显然精度不好，为了提高数值求积的精确度，可利用积分对区间的可加性来解决这个问题，这就是通常采用的复合求积法.而且使用这种方法之后，求积公式的收敛性和稳定性也得到了改善.第一章 复化求积算法牛顿—柯特斯公式的求积余项表明，求积节点n 越大，对应的求积公式精度越高，但由于牛顿—柯特斯公式在8>n 时数值不稳定，因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度.实用中常将求积区间],[b a 分成若干个小区间，然后在每个小区间上采用数值稳定的牛顿—柯特斯公式求小区间上的定积分，最后把所有小区间上的计算结果相加来作为原定积分的近似值.采用这种方法构造的求积公式就称为复合求积公式.复合求积公式具有计算简单且可以任意逼近所求定积分值的特点，这是牛顿—柯特斯公式一般做不到的.常用的复合求积公式有复合梯形求积公式和复合辛普森求积公式以及复合柯特斯求积公式.以下我们将从三种复化求积算法的构造、余项、稳定性、收敛性等几方面进行讨论，并写出相应的流程图以及应用中所涉及到的算法的程序设计.§1.1复化求积公式§1.1.1 复化求积公式的思想n 很大时，牛顿——柯特斯求积公式出现了不稳定、不收敛现象，往往使用低阶牛顿——柯特斯求积公式，误差比较大，故将],[b a 若干等分，在每个子区间上反复使用低阶牛顿——柯特斯公式，进行累加.而构造出来的新的求积公式，称之为复化求积公式.在构造求积公式的过程中，我们将求积区间],[b a 进行等距细分：n i nab ia x i ,,1,0, =-+=，在每个小区间],[1i i x x -上用相同的“基本”求积公式(如梯形公式；中矩形公式；左(右)矩形公式或辛普森公式)计算出dx x f i i x x ⎰-1)(的近似值i S .§1.1.2 复化求积公式的的构造将定积分⎰ba dx x f )(的区间],[b a 划分为n 等分，各节点为kh a x k +=，n k ,,1,0 =，nab h -=，在子区间)1,,1,0](,[1-=+n k x x k k 上使用牛顿——柯特公式，将],[1+k k x x 分割为l 等份，步长为l h，节点为1,,2,,+=+++k k k k k x llhx l h x l h x x记121,,,,++++=k ll k lk lk k x xxxx为在],[1+k k x x 上作)(x f 的l 阶牛顿——柯特斯求积公式.∑∑⎰=++=+=-=≈+li li k l i li k li l i k k k i x x xf C h xf C x x I dx x f k)(0)(1)()()()()(1由积分区间的可加性，可得nli k n k li l i n k k l n k k k baI xf C h I dxx f dx x f ==≈=+-==-=-=+∑∑∑∑⎰⎰)()()(100)(1)(11§1.2 复化梯形求积公式§1.2.1 复化梯形求积公式的的推导过程将积分区间],[b a 划分等分，步长nab h -=，求积节点kh a x k +=，n k ,,1,0 =在每个小区间)1,,1,0](,[1-=+n k x x k k 上应用梯形公式)]()([2)(11++≈⎰+k k x x x f x f hdx x f k k然后将它们累加求和，作为所求积分I 的近似值.])()(2)([2)]())()()((2)([2)]()([2)()(11121011011∑∑∑⎰⎰---+-=-=++=+++++=+≈==+n i k n n k k n k n k x x bab f x f a f hx f x f x f x f x f hx f x f hdx x f dx x f I k k记n T )]()(2)([211b f x f a f hn i k ++=∑-=式为复化梯形求积公式，下标n 表示将区间n 等分，若把区间n 2等分，在每个小区间上仍用梯形求积公式，则可得到n n T T ,2和n H 间的关系为：)(212n n n H T T +=其中∑=--+=nk n nab k a f h H 1]2)12([ §1.2.2复化梯形求积公式的性质性质1.1复化梯形求积公式余项当)(x f 在],[b a 上有连续的二阶导数，则复化梯形公式的余项：)(12)()(''2ηf h a b T dx x f R n ba T --=-=⎰ ],[b a ∈η 性质1.2稳定性若],[,)(''b a x M x f ∈≤，则有估计式M na b R nT 2312)(-≤ 复化梯形求积公式的系数均大于零，且满足a b nh n hA ni i -==+-+=∑=]1)1(21[2因此，复化梯形求积公式的计算过程是数值稳定的.性质1.3收敛性可证复化梯形求积公式是收敛的. 性质1.4代数精度定义1.1 若积分⎰b adx x f )(的数值积分公式⎰badx x f )()(0k nk k x f A ∑=≈对于任意一个次数不高于m 次的多项式都精确成立，且存在一个1+m 次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精度为m .可证复化梯形求积公式的代数精度为2.§1.3 复化辛普森求积公式§1.3.1 复化辛普森求积公式的的推导过程将积分区间],[b a 划分等分，记子区间],[1+k k x x 的中点为h x x k k 2121+=+在每个小区间上应用辛普森公式，则有))()(2)(4)((6)444(6)]()(4)([6)()(101121211223112101211011b f x f x f a f hf f f f f f f f f hx f x f x f hdxx f dx x f I n k n k k k n n n k k k n k n k x x bak k+++=+++++++++=++≈==∑∑∑∑⎰⎰-=-=+--++-=-=+其中h x xk k 2121+=+记 )]()(2)(4)([6111021b f x f x f a f hS n k k n k k n +++=∑∑-=-=+式为复化辛普森求积公式§1.3.2复化辛普森求积公式的性质性质1.5复化辛普森求积公式余项当)(x f 在],[b a 上有连续的四阶导数，复化辛普森公式的求积余项为：)(2880)()2(180)4(4)4(4ηηf h a b f h a b R S --=--= ],[b a ∈η 性质1.6稳定性同复化梯形求积公式，复化辛普森求积公式的系数均大于零，且满足总和为a b - 因此，复化辛普森求积公式的计算过程是数值稳定的.性质1.7收敛性可证复化辛普森求积公式是收敛的. 性质1.8代数精度可证复化辛普森求积公式的代数精度为4.§1.4 复化柯特斯求积公式§1.4.1 复化柯特斯求积公式的的推导过程将积分区间],[b a 划分等分，若把每个子区间],[1+k k x x 四等份，内点依次记为432141,,+++k k k xxx，同理可得复化柯特斯求积公式)](7)(14)(32)(12)(32)(7[9010101143211041b f x f x f x f x f a f hC n k n k n k k k k n k k n +++++=∑∑∑∑-=-=-=++-=+(1-1)其中h x xh x x h x x k k k k k k 43;21;41432141+=+=+=+++ 记(1-1)为复化柯特斯求积公式§1.4.2复化柯特斯求积公式的性质性质1.9复化柯特斯求积公式余项当)(x f 在],[b a 上有连续的四阶导数，复化柯特斯公式的求积余项为：)()4(945)(2)6(6ηf h a b R c --= ],[b a ∈η性质1.10稳定性同复化梯形求积公式，复化柯特斯求积公式的系数均大于零，且满足总和为a b - 因此，复化柯特斯求积公式的计算过程是数值稳定的.性质1.11收敛性可证复化柯特斯求积公式是收敛的. 性质1.12代数精度可证复化柯特斯求积公式的代数精度为6.§1.5 三种复化求积公式的比较及总结为了更形象的表述三种复化求积公式之间的关系，我们通过一个例子来进行比较例1.1使用各种复化求积公式计算定积分dx xxI ⎰=10sin 为简单起见，依次使用8阶复化梯形公式、4阶复化辛普森公式和2阶复化柯特斯公式,可得各节点的值如下表表1-1节点值94569086.0)]1()(2)0([161718=++=∑=f x f f T k k 94608331.0)]1()(2)(4)0([2413031214=+++=∑∑==+f x f x f f S k k k k 94608307.0)]1(7)(14)](32)(12)(32[)0(7[180111104342412=+++++=∑∑==+++f x f x f x f x f f C k k k k k k 比较三个公式的结果：精度最低 94569086.08=T 精度次高 94608331.04=S 精度最高 94608307.02=C原积分的精确值为6719460830703.0sin 10==⎰dx xxI . 我们知道，三种求积公式的余项分别如表1-2表1-2 复化梯形、辛普森、柯特斯求积公式的余项定义1.2对于复化求积公式n I 若存在0>p 及0≠c ，使其余项n I I -满足c h I I pnh =-→0lim则称复化求积公式n I 是p 阶收敛的 P 阶收敛性的意义：对于一个数值求积公式来说，收敛阶越高，近似值n I 收敛到真值dx x f ba ⎰)(的速度就越快.由于三种求积公式的余项分别是h 的2,4,6阶无穷小量 所以n n n C S T ,,趋于定积分I 的速度依次更快.从这三种求积公式的构造过程中可以看出，它们都属于机械求积公式，但不属于插值行和牛顿柯特斯公式.都具有稳定性和收敛性，且收敛速度一个比一个快，一个比一准确.在使用函数值个数相等的情况下，248,,C S T 的精度逐渐升高.第二章 复化求积公式算法的流程图及其应用§2.1 流程图1. 复化梯形求积公式图2.1 复化梯形求积公式算法的流程图Step1给出被积函数)(x f 、区间],[b a 端点b a ,和等分数n ； Step2求出,kh x k =nab h -=； Step3计算∑-=1)(),(),(n k k x f b f a f ；Step4得)]()()([211b f x f a f h T n k k n ++=∑-=2. 复化辛普森求积公式图2.2 复化辛普森求积公式算法的流程图Step1 给出被积函数)(x f 、区间],[b a 端点b a ,和等分数n ； Step2求出,kh x k =nab h -=； Step3计算∑∑-=+-=1211)(,)(),(),(n k k n k k xf x f b f a f ；Step4得)]()(2)(4)([6111021b f x f x f a f hS n k k n k k n +++=∑∑-=-=+3. 复化柯特斯求积公式图2.3 复化柯特斯求积公式算法的流程图Step1给出被积函数)(x f 、区间],[b a 端点b a ,和等分数n ；Step2求出,kh x k =nab h -=； Step3计算∑∑∑∑-=-=+-=+-=+11143121141)(,)(,)(,)(),(),(n k k n k k n k k n k k x f xf xf xf b f a f ；Step4得)](7)(14)(32)(12)(32)(7[9010101143211041b f x f x f x f x f a f hC n k n k n k k k k n k k n +++++=∑∑∑∑-=-=-=++-=+§2.2 应用例2.1.分别用复化梯形，复化辛普森，复化柯特斯公式计算函数32)(x x x f -=在区间]1,0[上的弧长S .(要求写出源程序和运行结果) *注 在],[b a 上的弧长dx x f S ba⎰+=2'))((11.用复化梯形公式计算S 的过程：(1).写出变量说明表2-1 复化梯形求积公式程序设计的变量说明Step1 输入n ，nab h -=，被积函数0),(1=s x f ； Step2 for 1=k to 1-n ；{计算11)(s kh a f s →++} ))(2)((21b f s a f hs ++=；Step3 输出近似值s .(3) 写出源程序和运行结果(见附录A) 2.用复化辛普森公式计算S 的过程: (1).写出变量说明表2-2 复化辛普森求积公式程序设计的变量说明Step1:输入n ，nab h -=，被积函数0),(1=s x f 0,2=s ； Step2:for 1=i to 1-n ，2+=i i ；{计算11)2/*(s h i a f s →++} Step3:for 2=j to 1-n ，2+=j j ； {计算22)2/*(s h j a f s →++}))(24)((621b f s s a f hs +++=； Step4:输出近似值s .(3).写出源程序和运行结果(见附录B) 3.用复化柯特斯公式计算S 的过程: (1).写出变量说明表2-3 复化柯特斯求积公式程序设计的变量说明Step1输入n ，nab h -=，被积函数0),(1=s x f 0,2=s 0,3=s ； Step2 for 1=i to 1-n ，2+=i i ；{计算11)4/*(s h i a f s →++} Step3:for 2=j to 1-n ，4+=j j ； {计算22)4/*(s h j a f s →++} Step4: for 4=k to 2-n ，2+=k k ； {计算33)4/*(s h k a f s →++}))(141232)((90321b f s s s a f hs ++++=； Step5:输出近似值s .(3).写出源程序和运行结果(见附录C)根据运行结果可知，由三种复化求积公式求得的S 的值分别为064837.1、061199.1、061189.1，精度逐渐升高.参考文献[1] 薛毅，耿美英.数值分析[M]. 北京:北京工业大学出版社.2003年.[2] 刘长安.数值分析教程[M].西安:西北工业大学出版社.2005年.[3] 朝伦巴根，贾德彬.数值计算方法[M].北京:中国水利水电出版社.2007年.[4] 韩旭里，万中.数值分析与实验[M].北京: 科学出版社.2006年.[5] 林成森.数值分析[M].北京: 科学出版社.2007年.[6] 封建湖，车刚明，聂玉峰.数值分析原理. 北京: 科学出版社.2001年.附录A 1.复化梯形求积公式的程序设计：(1).源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>double f(double x){double z;z=sqrt(1+pow((2*x-3*pow(x,2)),2));return z;}main(){ int n,k;float h;float a;float b;double s=0.0;double s1=0.0;double t;printf("Please input the deng fen ;"); scanf("%d",&n);printf("Please input qujian a ;");scanf("%f",&a);printf("Please input qujian b ;");scanf("%f",&b);h=(b-a)/n;for (k=1;k<n;k++){ t=a+k*h;s1=s1+f(t);}s=(h/2)*(f(a)+2*s1+f(b));printf("%f\n",s);}(2).运行结果：图1 复化梯形求积公式计算弧长结果附录B2.复化辛普森求积公式的程序设计：(1).源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>double f(double x){double z;z=sqrt(1+pow((2*x-3*pow(x,2)),2));return z;}main(){ int n,i,j;float h;float a;float b;double s=0.0;double s1=0.0,s2=0.0;double t,l;printf("Please input the deng fen ;");scanf("%d",&n);printf("Please input qujian a ;");scanf("%f",&a);printf("Please input qujian b ;");scanf("%f",&b);h=(b-a)/n;for(i=1;i<8;i=i+2){t=a+i*h/2;s1=s1+4*f(t);}for(j=2;j<8;j=j+2){l=a+j*h/2;s2=s2+2*f(l);}s=(h/6)*(f(a)+s1+s2+f(b));printf("%f\n",s);}(2).运行结果：图2 复化辛普森求积公式计算弧长结果附录C3.复化柯特斯求积公式的程序设计：(1).源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>double f(double x){double z;z=sqrt(1+pow((2*x-3*pow(x,2)),2));return z;}main(){int n,i,j,k;float h;float a;float b;double s=0.0;double s1=0.0,s2=0.0,s3=0.0;double t,l,m;printf("Please input the deng fen ;");scanf("%d",&n);printf("Please input qujian a ;");scanf("%f",&a);printf("Please input qujian b ;");scanf("%f",&b);h=(b-a)/n;for(i=1;i<8;i=i+2){t=a+i*h/4;s1=s1+32*f(t);}for(j=2;j<7;j=j+4){l=a+j*h/4;s2=s2+12*f(l);}for(k=4;k<6;k=k+2){m=a+k*h/4;s3=s3+14*f(m);}s=(h/90)*(7*f(a)+s1+s2+s3+7*f(b));printf("%f\n",s);}(2).运行结果：图3 复化柯特斯求积公式计算弧长结果19。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(b a) 3 f ( ) R(T ) 12
b a b a 4 (4) R( S ) ( ) f ( ) 180 2
b a h (4) f (k ) 180 2
4
1. 设被积函数f ( x) C 2[a, b], 则复合梯形公式的余项为
即将积分区间 [a , b]分成若干个子区间
然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式
最后将每个小区间上的积分的近似值相加
一、复合求积公式
将定积分 f ( x)dx 的积分区间 [a , b]分割为n等份
a b
各节点为
xk a kh , k 0,1,, n
ba h n
I In lim p c h 0 h
则称复合求积公式I n是p阶收敛的
显然, p阶收敛的概念也等价于
I I n (h p )
不难知道,复合梯形、Simpson公式的收敛阶分别为
2阶、4阶
通常情况下,定积分的结果只要满足所要求的精度即可
而积分区间 [a, b]分割的小区间数 n越大, I n精度越高
)
h Ci( l ) f ( x
i 0
l
i k l
)
由积分的区间可加性,可得
b
a
f ( x)dx x
k 0
n 1
x k 1
k
f ( x)dx
复合求积公式
I
k 0
n1
(k ) l
h Ci( l ) f ( x
k 0 i 0
n 1 l
i k l
) In
2. 若被积函数f ( x) C 4[a, b]
则复合Simpson公式的余项为
5 h ( 4) I Sn 180 2 4 f (k ) k 0 n 1
b a h ( 4) f ( ) 180 2
4
比较两种复合公式的的余项
l 2时, 可得复合Simpson 求积公式
b
a
f ( x )dx Sn h Ci( 2 ) f ( x
k 0 i 0
n 1 2
i k 2
)
l 2时, 可得复合Simpson 求积公式
b
a
f ( x )dx Sn h Ci( 2 ) f ( x
k 0 i 0
称为复合Simpson公式/复合抛物线公式
sin x dx 例1. 使用各种复合求积公式 计算定积分 I 0 x 解: 为简单起见,依次使用8阶复合梯形公式、4阶 复合Simpson公式. 可得各节点的值如右表
1
梯形 Simpson x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x0 x
0 1 2
xi
f ( xi )
x1 x
1 1 2
x2 x
2 1 2
x3 x
3 1 2
x4
0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1
1 0.99739787 0.98961584 0.97672674 0.95885108 0.93615564 0.90885168 0.87719257 0.84147098
分别由复合梯形、Simpson公式有
7 1 T8 [ f (0) 2 f ( xk ) f (1)] 16 k 1
0.94569086
3 3 1 [ f (0) 4 f ( x 1 ) 2 f ( xk ) f (1)] k 24 k 0 合梯形求积公式
b
a
f ( x)dx Tn h Ci( 1) f ( xk i )
k 0 i 0 n 1
n 1 1
1 h [ f ( xk ) f ( xk 1 )] k 0 2
n 1 b a 复合梯形公式 T [ f (a) 2 f ( xk ) f (b)] n 2n k 1
在子区间 [ xk , xk 1 ](k 0,1,, n 1)上使用Newton Cotes公式
h 将[ xk , xk 1 ]分割为 l等份 , 步长为 , 节点为 l h 2h lh xk , xk , xk , , xk xk 1 l l l
记为
xk , x
但n太大, 运算量也很大 n太小, 运算量虽较小 , 但精度可能又达不到 那么n取多大值合理呢？
n 1
n 1 2
i k 2
)
1 h [ f ( xk ) 4 f ( x 1 ) f ( xk 1 )] k k 0 6 2
n 1 n 1 ba [ f (a) 4 f ( x 1 ) 2 f ( xk ) f (b)] k 6n k 0 k 1 2
ba 2 h f (k ) I Tn 12
I Sn
b a h (4) f ( ) 180 2
4
o( h )
2
o( h )
4
分别是h的2， 4阶无穷小量
即Sn比Tn趋于定积分I的速度更快
为此介绍收敛阶的概念!
定义1. 对于复合求积公式I n若存在p 0及c 0, 使其余项I I n满足
1 k l
, x
2 k l
, , x
l k l
xk 1
在[ xk , xk 1 ]上作f ( x)的l阶Newton Cotes求积公式
x k 1
xk
f ( x)dx Il( k ) ( xk 1 xk ) Ci( l ) f ( x
i 0
l
i k l
3 n 1 h3 h I Tn [ f (k )] f (k ) 12 12 k 0 k 0 ( k [ xk , xk 1 ] )
n 1
由于 min{ f ( x)}
a x b k 0
n 1
f (k ) max f ( x) a x b n
第四章 微积分的数值计算方法
§ 4.2 复合求积法
§ 4.2 复合求积法
当积分区间 [a, b]的长度较大 , 而节点个数 n 1固定时
直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大
而如果增加节点个数 ,即n 1增加时
公式的舍入误差又很难得到控制
为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法
0.94608331
精度低
T8 0.94569086
S4 0.94608331
比较二个 公式的结果
精度高
原积分的精确值为
sin x I dx 0 x
1
0.9460830703 67183
那么哪个复合求积公式的收敛最快呢？
二、复合求积公式的余项和收敛的阶
我们知道,两个求积公式的余项分别为 单纯的求积公式 复合求积公式的每个小区间
由介值定理, [a , b],使得
即有
k 0
n 1
f (k ) f ( ) n
nh3 nh3 n 1 f (k ) I Tn f ( ) 12 12 k 0 n
(b a ) 2 h f ( ) 12 R(Tn )