基本积分方法

结论2:

f '(x) dx f (x)
ln
f (x) C
(2) tan xdx
解
原式


sin cos
x x
dx


d cos x cos x
ln cos x C ln sec x C.
8
同理可得 cot xdx ln sin x C ln csc x C
§5.3 基本积分法
利用直接积分法求出的不定积分是很有限的. 为了求出更多函数的不定积分, 下面建立一些有效地积分法.
一.凑微分法
例 计算 cos 2xdx
分析:此不定积分的被积函数是复合函数,在积分表中查不到. 这是因为被积函数cos2x的变量是“2x” , 与积分变量“x”不 同但.如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与
12
当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分 再积分；
(3) sin2 x cos xdx
解 原式 sin2 xd sin x 1 sin3 x C 3
一般地,对形如 sinn x cosm xdx 这样的不定积分
若n≠m，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；
若同为偶，则化为 sinn xdx, cosn xdx 来积分.

1 a2
ad(x) a

1
1 ( x)2 a
x
d( ) a
1 arctan x C
1 ( x)2 a
a
a
a
a
例9 求下列各式的不定积分
3x2 2
(1) x3 2x 3 dx
解
原式 d (x3 2x 3)
x3 2x 3
ln x3 2x 3 C
注1:换元积分法是先换元,再积分,最后回代.这与凑微分法 (先凑后换元)不一样. 注2: 本节利用换元积分法来求解被积函数为无理函数的 不定积分. 换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分. 分两类讲:
1.根号里是一次式的,即 n ax b
2.根号里是二次式的,即 n a2 x2 , n x2 a2 .
a2 x2 解 原式
dx a2 (1 ( x )2 )
ad(x) a
a (1 ( x )2 )
a
a
d(x) a
(1 ( x )2 ) a
arcsin x C a
7
dx
(5)
a2 x2
解
原式
dx a2 (1 ( x )2 )
原式

1
证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可. [F((x)) C] Fu ux f ((x)) (x)
注1.定理4中,若u为自变量时,当然有 f (u)du F(u) C
成立.当u 换为(x)时, 就有 f [(x)]d(x) F[(x)] C
ln a

4. dx d (arcsin x) d (arccos x) 1 x2
5. dx d(arctan x) d(arc cot x) 1 x2
6. dx d ln x, dx d ln(1 x)
x
1 x
7. sin xdx d cos x,cos xdx d sin x
xd
sin
x

1 2
sin2
x

C
法二:

sin
x
cos
xdx


cos
sxd
cos
x


1 2
cos2
x

C
法三:

sin
x cos
xdx

1 2
sin
2xdx

1 4
sin
2xd 2x


1 4
cos 2x
C
17
二.换元法
例12
求
x 1 dx x
注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变换
由复合函数和反函数求导法则得{F[ 1(x)] C} [F (t)]t tx
F (t) 1 f [(t)](t) 1 f ((t)) f (x)
xt
(t)
则F[ 1(x)] 是 f (x) 的一个原函数.
即 f (x)dx F[1(x)] C 19
2
2
注: 这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用
恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d(x)(可不必换元),
使原积分变成一个可直接用积分公式来计算.
这种方法称为凑微分法. 其理论依据为
2
定理4 设 f (u)du F(u) C,且 u (x)具有连续导数,则
f [(x)]d(x) F[(x)] C.
成立. ——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性.
注2. 凑微分法的关键是“凑”, 凑的目的是把被积函数的
中间变量变得与积分变量相同. 即
f [(x)] (x)dx 凑 f [(x)]d(x). 3
“凑微分”的方法有: (1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式, 依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d(x) . 如
主要讲 a2 x2 , x2 a2 .
1.被积函数含有 n ax b (a 0, n 为正整数) 的因子时,可令
t n ax b, 化简函数后再积分.
例13 求下列各式
20
(1)
1
1 x 1
x
dx
解 令 1 x t x t2 1 dx 2tdt
f [(t)](t)dt F(t) C, 则 f (x)dx F[1(x)] C
证明 f [(t)](t)dt F(t) C, 则 F(t) f [(t)](t),
而 F[ 1(x)]，由F (t) 和 t 1(x) 复合而成.

b)
6
dx
(3) a2 x2
解
原式
1 2a

[
a
1
x

a
1
x
]dx

1 2a

a
1
x
d (a

x)

1 2a

a
1
x
d (a

x)
1 ln a x 1 ln a x C 1 ln a x C
2a
2a
2a a x
(4) dx (a 0)
若n m，则化为
（
1 2
sin
2x）ndx
来积分.
13
(4) sin mxsin nxdx
对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.
解
原式

1 2

[cos(m

n)x

cos(m

n)
x]dx
sin(m n)x sin(m n)x C 2(m n) 2(m n)
e2xdx 1 e2xd (2x) 1 e2x C.
2
2
(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x) .如
ln x dx
2
3
ln xd ln x (ln x)2 C
x
3
方法1较简单, 而方法2则需一定的技巧, 请同学们务必记牢
以下常见的凑微分公式！
5
8. (sin x cos x)dx d(cos x sin x)
9. (2x 1)dx d(x2 x)
11.
dx sin2
x

d
cot
x
10. dx d tan x cos2 x
例8 求下列各式的不定积分
(1) dx
;
(2)
e
3 2
x1dx.
3 2x
14
课堂练习: 求下列各式
1. 1 2xdx; 2. eex xdx; 3. 3x2ex3 dx;
1
ax
4. x2 dx; 5. cos2 xdx; 6. sin3 x cos2 xdx;
15
1
7.
dx;
sin2 x cos2 x
8.
dx ; 16 25x2
dx
解 原式 1 2
dx2
1
d(3x2 4) 1
3x2 4 C
3x2 4 3 2 3x2 4 3
9
结论3:
xn1 f (axn b)dx 1 f (axn b)d (axn b) an
(2) x2 (x3 1)2dx
解 原式 1 (x3 1)2d (x3 1) 1 (x3 1)3 C
积分变量变得相同, 那么就可用公式 cos udu sin u C
(u是x的函数) 求出此不定积分. 1
解 dx 1 d 2x
2


cos
2
xdx


cos
2
x

1 2
d
(2x)

1 2

cos
2xd
(2
x)
令u

2x来自百度文库
1 2

cos
udu
1 sin u C u回代 1 sin 2x C
(1)解

3
dx 2x


1 2

d (2 x) 3 2x


1 2

d
(3 2x) 3 2x


1 2
ln
3

2x

C
(2)解
e

3 2
x1dx


2
3
e
3 2
x
1
d（

3 2
x
1）

2 3
e 3 x1 2

C
结论1:

f
(ax

b)dx

1 a

f
(ax

b)d (ax
4
1. dx 1 d(ax) 1 d(ax b)(a,b为常数, a 0)
a
a
2. x dx 1 dx1 ( 1), 1
1 dx d (2 x ) x
3. ax dx d ax , ex dx dex , exdx d ( ex )
9. 4 9x2 ;
10.
1

dx cos
; x
11.
arcsin x dx; 1 x2
12.
cot sin
d .
16
注:对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数 的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个 常数.如
法一:

sin
x
cos
xdx


sin
3
9
(3)
1 x2
cos
1dx x
解
原式


cos
1d(1) xx

sin
1 x

C
(4) sin x x dx
解 原式 2 sin xd x 2cos x C
10
(5) sec xdx
解
原式


1 cos
x
dx

cos cos2
x x
dx

d sin x 1 ln 1 sin x C 1 sin2 x 2 1 sin x
1 ln 1 sin x 2 C ln sec x tan x C
2 cos x
或原式


sec
x

tan tan
x x

sec sec
x x
dx

sec x tan x sec2 x dx
tan x sec x


d
(sec x tan x) tan x sec x
x 1 t(t 0)
即 x 1 t2 dx 2tdt 从而
原式
t
2tdt 2
t2
1
dt 2 [1 ]dt
1 t2
1 t2
1 t2
回代t
2t 2arctan t C 2 x 1 2arctan x 1 C
注:这种经过适当选择变量代换x=(t)将积分 f (x)dx
ln sec x tan x C
同理可得 csc xdx ln csc x cot x C
11
例11 求下列各式的不定积分
(1) sin2 xdx
解
原式


1

cos 2
2
x
dx

1 2
[
dx


cos
2xdx]

1 2

dx

1 4
cos
2xd (2x)

1 2
x

1 4
sin
2x

C
同理可得

cos2
xdx

1 2
x

1 4
sin
2x

C
(2) sin3 xdx 解 原式 sin2 xdx cos x (cos2 x 1)d cos x 1 cos3 x cos x c.
3
结论4: 一般地, 对形如 sinn xdx, cosn xdx 这样的不定积分
化为积分 f [(t)](t)dt
求出此积分后回代t .称此方法为换元积分法.
18
只是在此方法中要注意两个问题:
1.函数 f [(t)](t) 的原函数存在.
2 .要求代换式x=(t)的反函数存在且唯一.
定理5 设函数ƒ(x)连续, x=(t)单调可微, 且 (t) 0 ,而
(3)
1 ln x dx x
解 原式
1 ln xd ln x
1
ln
xd(1 ln
x)
2
(1
ln
3
x)2
C
3
ex
(4)
dx ex 1
解 原式 d(ex 1) 2 ex 1 C
ex 1
例10 求下列各式的不定积分
(1)
xdx 3x2 4