基本积分方法
三十个基本积分公式
指数函数积分E(n, a)表示e的x次方的n次方的积分。
详细描述
∫e^(nx) dx = (e^n * x) / n + C，其中C是积分常数，x是变量。这个公式用于计算指数函数的不定积分，结果 是一个关于x的线性函数，乘以e的n次方，并除以n。
02
三角积分公式
正弦函数积分 Sin(n, a)
幂函数积分 Phi(n, a)
总结词
幂函数积分Phi(n, a)表示x的n次方的积分。
详细描述
∫x^n dx = (1/n+1) * x^(n+1) + C，其中C是积分常数，x是变量。这个公式用于 计算幂函数的不定积分，结果是一个关于x的幂函数，其指数增加1，并乘以 1/(n+1)。
指数函数积分 E(n, a)
04
反三角积分公式
反正弦函数积分 asin(n, a)
总结词
计算反正弦函数的定积分
详细描述
对于函数 f(x) = sin(nx) 在区间 [0, a] 的定积分，可以使用反正弦函数积分 公式计算，即：∫asin(nx) dx = acos(nx) + C，其中 C 是积分常数。
反余弦函数积分 acos(n, a)
03
对数积分公式
自然对数积分 ln(n, a)
总结词
计算自然对数积分，即求解函数 f(x) = ln(n, a) 的定积分。
详细描述
自然对数积分是数学中常见的一种积分，其定义为求解函数 f(x) = ln(n, a) 的定积分。其中，n 是底数，a 是真数。自然 对数积分在解决各种数学问题中具有广泛的应用，例如求解 微分方程、概率论和统计学等。
部积分法和递推法等。
基本积分公式直接积分法
基本积分公式直接积分法下面是一些常用的基本积分公式：1.常数函数的积分∫kdx = kx + C其中，k为常数，C为常数项。
2.幂函数的积分∫x^nd x = (1/(n+1))x^(n+1) + C,其中，n≠-1，C为常数项。
3.正弦函数的积分∫sinxdx = -cosx + C4.余弦函数的积分∫cosxdx = sinx + C5.指数函数的积分∫e^xdx = e^x + C6.对数函数的积分∫(1/x) dx = ln，x， + C7.倒数函数的积分∫1/(x^2)dx = -(1/x) + C8.基本三角函数的积分∫sec^2xdx = tanx + C以上仅列举了一些基本的积分公式，还有其他很多常用的积分公式可以参考。
当然，还有一些特殊的积分公式，如换元积分法、分部积分法等，可以通过特定的变化方式将复杂的函数转化为易于求解的形式，从而进行积分运算。
在进行直接积分求解时，一般的思路是先根据题目给出的函数，结合各种基本的积分公式进行变形，然后利用积分公式求解，并在最后加上常数项C。
具体步骤如下：1.根据题目给出的函数进行变形，利用一些简单的代数运算将其化简。
2.判断题目给出的函数是否符合基本积分公式中的其中一种形式，如果符合，则可以直接按照相应的基本公式进行求解。
3.如果不符合基本积分公式中的形式，则可以尝试利用一些变形技巧，如换元积分法、分部积分法等，将其转化为符合基本公式的形式。
对于复杂的函数，可能需要多次变形或使用多个变换方法。
4.求解出积分后，需要记得加上常数项C，这是因为积分运算的结果是一个函数的无穷个解，加上常数项C可以表示出所有的解。
需要注意的是，在进行积分运算时，要特别留意函数的定义域，避免出现不可积分的情况。
此外，不定积分求解通常存在多种解法，有时我们可以选择适用性较强的方法，以便更快地求得结果。
总结起来，基本积分公式是求解不定积分时的重要工具，通过利用这些公式，我们可以将一个函数进行积分从而得到其原函数。
三十个基本积分公式
三十个基本积分公式积分是微积分中的重要概念，它在数学、物理学、工程学等众多领域都有着广泛的应用。
而掌握基本的积分公式，是进行积分运算的基础。
下面，我们就来详细介绍三十个基本积分公式。
公式一：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这是最简单的积分公式，常数的积分就是常数乘以自变量再加上常数 C。
公式二：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当自变量 x 的幂次为 n 时，积分结果是幂次加 1 后除以新的幂次加1，再加上常数 C。
公式三：∫1/x dx ＝ ln|x| ＋ C这个公式在处理分式形式的积分时经常用到。
公式四：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身。
公式五：∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）对于底数为 a 的指数函数，其积分公式如上。
公式六：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C正弦函数的积分是负的余弦函数。
公式七：∫cos x dx ＝ sin x ＋ C余弦函数的积分是正弦函数。
公式八：∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C正切函数的积分与余弦函数的对数有关。
公式九：∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C余切函数的积分与正弦函数的对数有关。
公式十：∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C 正割函数的积分较为复杂。
公式十一：∫csc x dx ＝ ln|csc x ＋ cot x| ＋ C 余割函数的积分也有一定的特殊性。
公式十二：∫sec^2 x dx ＝ tan x ＋ C正割平方的积分是正切函数。
公式十三：∫csc^2 x dx ＝ cot x ＋ C余割平方的积分是负的余切函数。
公式十四：∫sec x tan x dx ＝ sec x ＋ C正割与正切的乘积的积分是正割函数。
公式十五：∫csc x cot x dx ＝ csc x ＋ C余割与余切的乘积的积分是负的余割函数。
积分 求法
积分求法积分是微积分中的重要概念之一，是对一定范围内函数曲线的面积或累加结果的计算过程。
在数学、物理学、工程学、经济学、统计学等领域中，积分的应用非常广泛。
本文将为读者介绍积分的求法及其应用。
一、基本积分法1. 常数函数积分法当被积函数为常数函数时，积分结果是该常数与积分上限和下限的差值。
即：∫a^b Cdx = C(b-a)对于幂函数f(x) = xn，当n不等于-1时，求积分可以用幂函数的求导公式，即：∫xn dx = 1/(n+1) * xn+1 + C其中，C为任意常数。
当n等于-1时，求积分则需要注意，即：一般地，对于任何形如ae^x的函数，也可采用同样的方法求积分。
∫sinx dx = -cosx + C有时候我们还需要用到以下的积分恒等式：二、分部积分法当被积函数难以被分解或者分式分解时，可以采用分部积分法。
分部积分法中，我们会将原函数分解成两个部分：一个部分为一个简单的函数，另一个部分为能够处理积分的部分，其代表式为：∫u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫v(x) u'(x) dx其中，u(x)和v(x)代表积分中的两个函数。
三、换元积分法最后，我们介绍一种常用的积分求解方法：换元积分法。
换元积分法有时也称为u-代换法，即将被积函数中的一个未知数用另一个未知数来表示，从而更方便进行积分的计算。
换元积分法的一般步骤为：1. 找到被积函数中的一个未知数x，以及导数为此式的另一未知数t2. 令t = g(x)，然后用x的函数表示g(x)3. 对新积分的被积函数中的t进行处理得到的积分求解公式例如，若有被积函数：∫f(x) dx现在设t = g(x)，则有x = g^(-1)(t)，则：其中，g'(x)为g(x)的导数。
换元积分法常常应用于函数积分中多个未知数、复杂函数、三角函数等情况。
四、应用积分是微积分的重要组成部分，应用非常广泛。
在数学中，积分被用于求解函数曲线的面积、体积、长度、质心等问题；在物理学中，积分被用于计算质量、力、功等物理量；在工程学中，积分被用于计算电路、信号处理、噪音抑制等问题，广泛应用于控制理论、电路分析、机器学习等领域。
高等数学积分公式
高等数学积分公式高等数学中的积分公式有很多，下面列举了一些常用的积分公式和相关的计算方法。
1.积分的线性性质：设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上可积，k为任意常数，则有：∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx ∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx2.基本积分公式：∫ x^n dx = 1/(n+1) x^(n+1) + C，其中n≠-1，C为常数∫ dx = x + C∫ e^x dx = e^x + C∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ 1/(a^2 + x^2) dx = (1/a) arctan(x/a) + C，其中a≠0∫ 1/(sqrt(a^2 - x^2)) dx = arcsin(x/a) + C，其中a>03.积分的分部积分法：设函数u(x)、v(x)具有连续的一阶和二阶导数，则有积分的分部积分公式：∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫ u'(x) v(x) dx4.三角函数的积分公式：∫ sin^n(x) cos^m(x) dx，其中n、m均为非负整数，可用以下公式求解：a. 若n为奇数，m为偶数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简b. 若n为偶数，m为奇数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简，并对其中的sin^2(x)进行积分c. 若n和m均为奇数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简，并对其中的cos^2(x)进行积分5.带根号的积分公式：∫ sqrt(a^2 - x^2) dx = (1/2) (x sqrt(a^2 - x^2) + a^2 arcsin(x/a)) + C，其中a>0∫ sqrt(x^2 + a^2) dx = (1/2) (x sqrt(x^2 + a^2) + a^2 ln，x + sqrt(x^2 + a^2)，) + C，其中a>06.积分的换元法：设u=g(x)是连续可导函数的微分函数，函数f(g(x))在区间[a,b]上连续，则有：∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du7.分式积分法：设f(x)、g(x)是多项式函数，g(x)≠0∫ f(x)/g(x) dx = [∑ A_i/(x-a_i) + B_j(x-b_j)^k_j +C_i*e^(a_i*x)]dx其中A_i、B_j、C_i为待求系数，a_i、b_j为g(x)的一阶或二阶零点，k_j为g(x)的重根的重数8.参数方程的积分公式：设平面上的点(x(t),y(t))的运动由参数方程x=f(t)，y=g(t)给出，则有：∫[a, b] y(t) x'(t) dt = ∫[a, b] x(t) y'(t) dt以上列举的只是常用的积分公式，实际上积分的计算有时需要结合多种公式和方法进行推导和计算。
基本的3种不定积分方法
基本的3种不定积分方法基本的三种不定积分方法是：代入法、分部积分法和换元法。
这些方法都用于求解函数的不定积分，即求函数的原函数。
1.代入法：代入法是基本的一种不定积分方法。
它通过选取适当的变量代换，将被积函数转化为更容易求解的形式。
首先，通过观察被积函数的形式，选取一个变量代换来简化函数。
例如，如果被积函数中有一个较为复杂的根式，我们可以选取一个新的变量，使得根式可以被表示为新变量的幂函数。
然后对新变量进行求导和求逆，并用新变量替代原变量进行积分。
举个例子，如果我们计算不定积分∫(x/(1+x²)) dx，我们可以选取u=1+x²，使得被积函数可以表示为 du/dx。
然后我们对等式两边同时求导，得到 du=2xdx，进而得到∫(x/(1+x²)) dx = ∫(1/u) du。
通过代入法，我们将原来的被积函数转化为了一个更简单的函数进行积分。
2.分部积分法：分部积分法是另一种常用的求不定积分的方法。
它是导数乘积的逆运算，通过将一个积分分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数的导数形式可以被简化。
分部积分法的公式为∫(u dv) = uv - ∫(v du)。
其中 u 和 v 分别为两个待定函数，du 和 dv 分别为其导数。
具体应用分部积分法时，我们首先选择一个函数 u 作为被积函数的导数，然后选取另一个函数 dv，使得 dv 尽可能简单。
然后我们计算出u 的导数 du 和 v 的不定积分。
例如，对于不定积分∫(x sinx) dx，我们可以选取 u=x，dv=sinx。
然后计算出 du=dx 和v=∫sinx dx=-cosx。
最后根据分部积分法公式，我们得到∫(x sinx) dx = -xcosx + ∫cosx dx = -xcosx + sinx + C。
通过分部积分法，我们将原来的被积函数分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数可以更容易地被积分。
3.换元法：换元法是一种常用的不定积分方法。
三十个基本积分公式
三十个基本积分公式1. 反比例函数的积分公式：∫ 1/x dx = ln|x| + C2. 幂函数的积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-13. 常数函数的积分公式：∫ k dx = kx + C，其中k为常数4. 正弦函数的积分公式：∫ sin(x) dx = -cos(x) + C5. 余弦函数的积分公式：∫ cos(x) dx = sin(x) + C6. 正切函数的积分公式：∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C7. 余切函数的积分公式：∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C8. 指数函数的积分公式：∫ e^x dx = e^x + C9. 对数函数的积分公式：∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C10. 双曲正弦函数的积分公式：∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C11. 双曲余弦函数的积分公式：∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C12. 双曲正切函数的积分公式：∫ tanh(x) dx = ln(cosh(x)) + C13. 双曲余切函数的积分公式：∫ coth(x) dx = ln|sinh(x)| + C14. 分式函数的积分公式：∫ (1/x) dx = ln|x| + C15. 部分分式分解的积分公式：∫ (Ax + B)/(x^2 + cx + d) dx = (1/2)ln(x^2 + cx + d) + C16. 倒数函数的积分公式：∫ (1/(a + bx)) dx = (1/b)ln|a + bx| + C，其中b≠017. 平方差分式的积分公式：∫ (x + a)√(x^2 + bx + c) dx = (1/3)(x + a)^2√(x^2 + bx + c) + (2/3)a^2ln|x + (1/3)(2bx + c)| + C18. 三角函数积分的积分公式：∫ sin^n(x) cos(x) dx = ((sin^(n+1)(x))/(n+1)) + C，其中n≠-1 19. 双曲函数积分的积分公式：∫ sinh^n(x) cosh(x) dx = ((sinh^(n+1)(x))/(n+1)) + C，其中n≠-1 20. 对数和幂函数的积分公式：∫ ln^n(x) dx = x(ln^n(x) - n∫ ln^(n-1)(x) dx) + C，其中n≠0 21. 倒数和对数函数的积分公式：∫ x^(-1/2) ln(x) dx = -2√x(ln(x) - 2) + C22. 指数和三角函数的积分公式：∫ e^x sin(x) dx = (1/2)e^x (sin(x) - cos(x)) + C23. 分部积分法的积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du24. 三角函数和双曲函数的积分公式：∫ sin(x) cosh(x) dx = (1/2)sinh(2x) + C25. 分式和三角函数的积分公式：∫ (sin(x))/(a + b*sin(x)) dx = (1/b)ln|tan(x/2) + √(a/b) + C26. 分式和双曲函数的积分公式：∫ (sinh(x))/(a + b*sinh(x)) dx = (1/b)ln|tanh(x/2) + √(a/b) + C27. 三角函数和指数函数的积分公式：∫ sin(x) e^(ax) dx = (a/(a^2 + 1))e^(ax) - (1/(a^2 + 1))cos(x) + C28. 分式和指数函数的积分公式：∫ (e^(ax))/(1 + e^(ax)) dx = ln|1 + e^(ax)| + C，其中a≠029. 部分分式分解和多项式的积分公式：∫ (x^n)/(x-a) dx = (1/(n+1))x^(n+1) + a∫ (x^(n-1))/(x-a) dx，其中n≠-1，a≠030. 推广型积分法的积分公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C，其中F为f的原函数，g为可导函数以上是三十个基本积分公式，这些公式是数学中常用的积分技巧，熟练掌握它们可以在解决各种积分问题时提供很大的帮助。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分是数学分析的重要内容之一，它是求函数面积、定积分、不定积分等的方法，被广泛应用于科学和工程领域。
下面是高等数学中常用的积分公式大全，供大家参考和学习。
一、基本积分公式：1. 常数函数积分公式：∫c dx = cx + C（其中c为常数，C为积分常数）2. 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C（其中n不等于-1，C 为积分常数）3. 指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C4. 三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C5. 乘方函数积分公式：∫(a^x) dx = (1/log(a)) * (a^x) + C（其中a为正数且不等于1，C为积分常数）6. 对数函数积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C二、常用积分公式：1. 三角函数的复合积分：∫sin(ax) dx = - (1/a) * cos(ax) + C∫cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C2. 反三角函数的积分：∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3. 指数函数的积分：∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax) + C4. 对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C5. 分式函数的积分：∫(1/(x-a)) dx = ln|x-a| + C（其中a不等于0）∫(1/(x^2+a^2)) dx = (1/a) * arctan(x/a) + C（其中a不等于0）6. 三角函数的积分：∫sin^n(x) cos^m(x) dx7. 部分分式的积分：∫(p(x)/q(x)) dx8. 具体函数的特殊积分：∫e^x sin(x) dx∫e^x cos(x) dx∫(sin(x))^n (cos(x))^m dx（其中n和m为正整数）三、数列求和公式：1. 等差数列求和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，a_n为末项）2. 等比数列求和公式：S_n = (a_1(1-q^n))/(1-q)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，q为公比）以上是高等数学中一些常见的积分公式，通过掌握和灵活运用这些公式，可以帮助我们更好地解决数学中的问题。
13个基本积分公式
13个基本积分公式13个基本积分公式是数学中计算定积分的基本方法。
定积分是指连续函数中定义域上一个区间上的积分，做定积分可以准确计算曲线下概率分布的面积，从而辨识函数表达式。
因此，13个基本积分公式对于理解连续函数及计算定积分有着重要的意义。
下面将详细介绍13个基本积分公式：1、恒等式：$$int x^{n}dx=frac{x^{n+1}}{n+1}+c，n≠-1$$2、复合恒等式：$$int b^{x}dx=b^{x}lnb+c$$3、全微分式：$$intx^{m}sinaxdx=frac{1}{a}x^{m}cosax-frac{m}{a}int x^{m-1}dx$$ 4、倍余式：$$intx^{m}cosaxdx=frac{1}{a}x^{m}sinax+frac{m}{a}int x^{m-1}dx$$ 5、二倍余式：$$intx^{m}e^{ax}dx=frac{1}{a}x^{m+1}e^{ax}-frac{m+1}{a}intx^{m+1}e^{ax}dx$$6、反三角函数积分公式：$$intsin^{n}xcos^{m}xdx=frac{1}{m+1}sin^{n+1}xcos^{m-1}x+frac{n} {m+1}int cos^{m}xsin^{n-1}xdx$$7、反复合函数积分公式：$$intx^{m}lnaxdx=frac{1}{m+1}x^{m+1}lnax-frac{1}{(m+1)(m+2)}int x^{m+1}dx$$8、反指数函数积分公式：$$intx^{m}a^{x}dx=frac{xa^{x}}{axln^{2}a}-frac{m}{axln^{2}a}int x^{m-1}a^{x}dx$$9、双曲线函数积分公式：$$intsinh^{n}xcosh^{m}xdx=frac{1}{m+1}sinh^{n+1}xcosh^{m-1}x+fra c{n}{m+1}int cosh^{m}xsinh^{n-1}xdx$$10、三角函数积分公式：$$inttan^{n}xsec^{m}xdx=frac{1}{m+1}tan^{n+1}xsec^{m-1}x+frac{n} {m+1}int sec^{m}xtan^{n-1}xdx$$11、复合三角函数积分公式：$$intsec^{2}xsec^{m}dx=tanxsec^{m}-frac{m}{m+1}int sec^{m+2}dx $$ 12、反双曲线函数积分公式：$$intcosh^{n}xsinh^{m}xdx=frac{1}{m+1}cosh^{n+1}xsinh^{m-1}x+fra c{n}{m+1}int sinh^{m}xcosh^{n-1}xdx$$13、反复合反三角函数积分公式：$$inttanh^{n}xcoth^{m}xdx=frac{1}{m+1}tanh^{n+1}xcoth^{m-1}x+fra c{n}{m+1}int coth^{m}xtanh^{n-1}xdx$$以上13个基本积分公式，在数学家们进行积分求解时，时常会应用到。
24个基本积分公式
24个基本积分公式24个基本积分公式是数学中常用的工具，它能帮助我们快速解决复杂的积分问题。
1.一个公式：恒积分公式，它是所有积分公式中最基本也是最重要的公式，它表示对某一函数$f(x)$的某一闭区间$[a,b]$进行积分，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的上原函数。
2.二个公式：幂积分公式，它也是一种常用的公式，它描述了当变量$x$的幂次为$n$时，$f(x)$的积分的公式如下：$$int x^nf(x)dx=frac{x^{n+1}}{n+1}f(x)-frac{n}{n+1}int x^{n-1}f(x)dx$$3.三个公式：复合公式，有时候积分可能会变得更加复杂，它描述了一种复合积分形式，其公式如下：$$int int_Rf(x,y)dydx=iint_Rf(x,y)dxdy$$其中$R$表示一个积分区域，$f(x,y)$表示函数。
4.四个公式：变量替代公式，当我们积分时，有时可能会用到变量替代的方法。
此时对于积分$int f(x)dx$，用变量$t$替代$x$，变量$t$的关于$x$的函数表达式为$t=t(x)$，当$x$的范围从$[a,b]$变为$[t_a,t_b]$时，这时需要用到变量替代公式，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=int_{t_a}^{t_b}f(t(x))t(x)dx$$ 其中$t(x)$表示$t$关于$x$的微分。
5.五个公式：指数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$关于$x$的幂为$n$时，能够用到指数积分公式，其公式如下：$$int x^ne^xdx=x^ne^x-nint x^{n-1}e^xdx$$6.六个公式：对数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$的流函数是一个对数函数的时候，可以用到对数积分公式，它的公式如下： $$int frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$其中$C$是常量。
求积分 方法
求积分方法求积分方法一、积分的定义积分是微积分的重要内容之一，其定义为：对于函数f(x)在区间[a,b]上，将其划分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，则在每个小区间上取一个样本点xi，令Δx趋近于0时，n趋近于无穷大，则当n趋近于无穷大时，Riemann和S=limΣf(xi)Δx即为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
二、基本积分公式1. 常数函数的积分：∫kdx=kx+C2. 幂函数的积分：∫xn dx=1/(n+1)x^(n+1)+C3. 指数函数的积分：∫e^xdx=e^x+C4. 三角函数的积分：（1）∫sinxdx=-cosx+C（2）∫cosxdx=sinx+C5. 反三角函数的积分：（1）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a arctan(x/a)+C（2）∫1/(a^2-x^2)dx=1/2a ln|(a+x)/(a-x)|+C三、换元法换元法是求解复杂定积分时常用的方法之一。
其基本思想是将被积函数中出现的某些部分用一个新的变量表示，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的形式。
1. 第一类换元法对于∫f(g(x))g'(x)dx，令u=g(x)，则有dx=du/g'(x)，原积分化为∫f(u)du。
2. 第二类换元法对于∫f(ax+b)dx，令ax+b=t，则有x=(t-b)/a，dx=dt/a，原积分化为∫f(t)dt/a。
四、分部积分法分部积分法是求解复杂定积分时常用的方法之一。
其基本思想是将被积函数中出现的某些部分进行乘法拆解，并利用乘法公式进行变形，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的形式。
对于∫u(x)v'(x)dx，可以利用乘法公式得到∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
五、特殊函数的积分1. 对数函数ln x的积分：（1）∫ln x dx=xln x-x+C（2）∫ln(ax+b) dx=(ax+b)(ln(ax+b)-1)/a+C2. 反双曲函数arcsinh x和arccosh x的积分：（1）∫arcsinh x dx=xarcsinh x+sqrt(x^2+1)+C（2）∫arccosh x dx=xarccosh x-sqrt(x^2-1)+C六、常用积分技巧1. 分式分解法对于有理函数f(x)/g(x)，可以将其分解为若干个部分，每个部分都是一个简单的有理函数或三角函数的积分。
积分基本公式和法则
积分基本公式和法则积分是微积分学中非常重要的概念之一，它是求解函数的面积、曲线的长度和平面的体积的工具。
积分的基本公式和法则是我们进行积分运算的基础，下面将介绍一些常见的积分基本公式和法则。
1.基本积分表达式：a)定积分基本公式：∫1dx = x + C，其中C为常数∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数（n为非负整数，不等于-1）∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数∫sec^2(x) dx = tan(x) + C，其中C为常数∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C，其中C为常数∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C，其中C为常数∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C，其中C为常数b)不定积分基本公式：∫u(du) = u^2/2 + C，其中C为常数2.基本积分法则：a) 线性性质：对于任意常数a、b，有∫(af(x) + bg(x))dx =a∫f(x)dx + b∫g(x)dxb)基本算术运算法则：∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx∫(Cf(x))dx = C∫f(x)dx，其中C为常数c)分部积分法则：∫(u(x)v'(x))dx = u(x)v(x) - ∫(u'(x)v(x))dxd)替换法则：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du，其中u=g(x)3.基本的积分求导关系：a) 反函数关系：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则∫f(x)dx = x∙f(x) - ∫xf'(x)dx + C，其中C为常数b) 对数函数：∫(1/x)dx = ln，x， + Cc) 指数函数：∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C，其中a为常数且a>0且a≠1d) 双曲函数：∫sinh(x)dx = cosh(x) + C，∫cosh(x)dx = sinh(x) + C，∫tanh(x)dx = ln，cosh(x)， + C，∫coth(x)dx = ln，sinh(x)，+ C以上仅是一些基本的积分公式和法则，实际上积分的应用非常广泛，涉及到各种函数和曲线的求解。
积分的计算方法
积分的计算方法积分是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。
在不同的数学理论与应用问题中，积分的计算方法也是多种多样的。
本文将介绍常见的积分计算方法，以帮助读者更好地理解和应用积分。
一、定积分计算定积分是最常见的积分形式，用来计算函数在一个区间上的累积效应。
下面是一些常见的定积分计算方法：1. 几何形状法对于一些简单的几何函数，可以利用几何形状的面积计算来求解定积分。
例如，计算一个矩形函数的定积分，可以直接计算矩形的面积。
2. 原函数法如果函数存在原函数，那么我们可以通过求解原函数并利用定积分的基本性质来计算定积分。
这种方法适用于一些简单的函数，比如多项式函数。
3. 分段函数法对于分段函数，可以将其在每个区间上进行独立的定积分计算，再将结果相加。
这种方法适用于函数在不同区间上的表达形式不同的情况。
4. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分和原函数之间的重要关系。
利用这个公式，我们可以通过求解原函数来计算定积分。
二、不定积分计算不定积分用于求解函数的原函数。
下面是一些常见的不定积分计算方法：1. 基本积分法基本积分法是根据函数的基本性质和已知函数的积分表进行计算。
常见的基本积分公式包括多项式函数、指数函数、三角函数等。
2. 特殊代换法在一些复杂的积分中，可以利用特殊代换将积分转化为一些常见的积分形式。
常见的特殊代换包括三角代换、指数代换等。
3. 部分分式分解法一些分数形式的函数可以通过部分分式分解来转化为多项式函数的和，从而得到简化的积分形式。
4. 分部积分法分部积分法是求解积分中的乘积形式的一个常用方法。
通过适当选择积分u和微分dv来进行分部积分，可以将一个复杂的积分转化为一个更简单的积分。
以上是常见的积分计算方法，通过灵活运用这些方法，可以解决各种不同类型的积分问题。
需要注意的是，在实际应用中，我们还要考虑积分的边界条件、奇点等特殊情况，以确保计算的准确性。
总结起来，积分的计算方法多样，可以根据具体问题的特点选择适当的方法进行计算。
基本积分方法
§2 基本积分方法一、换元积分法⎩⎨⎧第二类换元积分法第一类换元积分法换元积分法◆ 1．第一类换元积分法：设f (u )，)(x ϕ为连续函数，)(x ϕ可导，且C u F du u f +=⎰)()(，则C x F C u F du u f dx x x f +=+=========⎰⎰)]([)()()(')]([ϕϕϕ常见得凑微分形式：① ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f② ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f nadx b ax f n n n ③⎰⎰=)(ln )(ln 1)(ln x d x f dx x x f④ ⎰⎰=)(ln )(ln 1)(ln x d x f dx xx f⑤⎰⎰=)(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f⑥⎰⎰-=)(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f ⑦⎰⎰=)(tan )(tan sec )(tan 2x d x f xdx x f⑧ ⎰⎰=-)(arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2x d x f dx xx f 例2、1计算dx x x x⎰+)1(arctan 22解:令t x =arctan ，tdt dx 2sec =，则2cot )1(csc sec tan sec )1(arctan 2222222t t td dt t t dt tt t t dx x x x --=-==+⎰⎰⎰⎰=2cot cot 2t dt t t t -+-⎰=C t t t t +-+-2|sin |ln cot 2=C x x x x x +-++-22)(arctan 211||ln arctan 。
例2、2计算下列积分：（1）)1ln(x x e e +⎰； （2）⎰+-dx xxcos 1cos 1解：（1）⎰⎰++=+)1()1ln()1ln(x x x x e d e e eC e e e dx ee e e e xx x xx xxx+-++=+⋅+-+⋅+=⎰)1ln()1(1)1()1()1ln( )(x u ϕ=（2）dx xxx dx x x x dx x x ⎰⎰⎰--=-+-=+-222sin cos 2sin 2)cos 1)(cos 1()cos 1(cos 1cos 1 C x x x xx d dx xdx ++--=--=⎰⎰⎰sin 2cot 2sin sin 2csc 222 ◆ 2．第二类换元积分法：)(t ϕ单调、可导且0)(≠'t ϕ，又)()]([t t f ϕϕ'有原函数)(t G 。
基本积分方法word资料9页
§2 基本积分方法一、换元积分法⎩⎨⎧第二类换元积分法第一类换元积分法换元积分法◆ 1．第一类换元积分法：设f (u )，)(x ϕ为连续函数，)(x ϕ可导，且C u F du u f +=⎰)()(，则C x F C u F du u f dx x x f +=+=========⎰⎰)]([)()()(')]([ϕϕϕ常见的凑微分形式：① ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f ② ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f nadx b ax f n n n ③⎰⎰=)(ln )(ln 1)(ln x d x f dx x x f④ ⎰⎰=)(ln )(ln 1)(ln x d x f dx xx f⑤⎰⎰=)(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f⑥⎰⎰-=)(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f ⑦⎰⎰=)(tan )(tan sec )(tan 2x d x f xdx x f⑧ ⎰⎰=-)(arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2x d x f dx xx f 例2.1计算dx x x x⎰+)1(arctan 22解:令t x =arctan ，tdt dx 2sec =，则2cot )1(csc sec tan sec )1(arctan 2222222t t td dt t t dt tt t t dx x x x --=-==+⎰⎰⎰⎰=2cot cot 2t dt t t t -+-⎰=C t t t t +-+-2|sin |ln cot 2=C x x x x x +-++-22)(arctan 211||ln arctan 。
例2.2计算下列积分：（1）)1ln(x x e e +⎰； （2）⎰+-dx xxcos 1cos 1解：（1）⎰⎰++=+)1()1ln()1ln(x x x x e d e e eC e e e dx ee e e e x x x xxxxx+-++=+⋅+-+⋅+=⎰)1ln()1(1)1()1()1ln( )(x u ϕ=（2）dx xxx dx x x x dx x x ⎰⎰⎰--=-+-=+-222sin cos 2sin 2)cos 1)(cos 1()cos 1(cos 1cos 1 C x x x xx d dx xdx ++--=--=⎰⎰⎰sin 2cot 2sin sin 2csc 222 ◆ 2．第二类换元积分法：)(t ϕ单调、可导且0)(≠'t ϕ，又)()]([t t f ϕϕ'有原函数)(t G 。
积分方法总结
积分方法总结
积分方法是微积分中的一个重要分支，用于求解函数的不定积分或定积分。
以下是一些常用的积分方法总结：
1. 直接法：根据函数的基本积分表，直接求解函数的不定积分。
2. 分部积分法：利用积分的乘法法则，将积分式子中的一个乘积变为两个函数的乘积，再进行求解。
3. 换元积分法：通过变量替换，将原积分式子转化为更容易求解的形式。
4. 球面坐标、柱面坐标和平面极坐标的应用：对于具有对称性的问题，可以采用不同坐标系进行积分，简化计算。
5. 反常积分的处理方法：对于反常积分，通过极限计算或变量替换等方法将其转化为收敛的定积分，再求解。
6. 数值积分方法：对于无法求得解析解的积分，可以利用数值方法进行近似计算，如复化梯形法、复化辛普森法等。
7. 线性代数的应用：对于某些复杂的积分问题，可以借助线性代数的概念和技巧，进行变换和求解。
需要注意的是，以上方法仅仅是积分方法中的一部分，实际应用中还会有更多的问题和不同的解题思路。
对于不同的问题，
选择合适的积分方法是关键，需要根据具体情况进行分析和选择。
基本积分公式直接积分法
基本积分公式直接积分法1.幂函数的积分公式：- 若a≠-1，则∫x^ndx=(1/n+1)x^(n+1)+C- 若a=-1，则∫1/xdx=ln，x，+C- 若a≠0，则∫a^xdx=1/(lna)*a^x+C2.指数函数的积分公式：- ∫e^xdx=e^x+C3.三角函数的积分公式：- 若n为奇数，则∫sin^nx dx= (-1/(n-1))*sin^(n-1)x*cosx +(n-2)/(n-1)∫sin^(n-2)x dx- 若n为偶数，则∫sin^nx dx= -(1/(n-1))*sin^(n-1)x*cosx +(n-2)/(n-1)∫sin^(n-2)x dx- 若n为奇数，则∫cos^nx dx= (1/(n-1))*cos^(n-1)x*sinx +(n-2)/(n-1)∫cos^(n-2)x dx- 若n为偶数，则∫cos^nx dx= (1/(n-1))*cos^(n-1)x*sinx +(n-2)/(n-1)∫cos^(n-2)x dx- ∫secxdx=ln，secx+tanx，+C- ∫cscxdx=ln，cscx-cotx，+C- ∫secxtanxdx= secx+C- ∫cscxcotxdx= -cscx+C4.反三角函数的积分公式：- ∫1/(√1-x^2)dx = sin^(-1)x + C- ∫1/(1+x^2)dx = tan^(-1)x + C- ∫1/(x√x^2-1)dx = sec^(-1)x + C这些基本积分公式为直接积分法提供了基础工具，也为我们求解各类函数的不定积分提供了便利。
直接积分法主要根据基本积分公式进行计算，其基本步骤如下：1.根据被积函数的形式，选择相应的基本积分公式。
2.对函数进行化简和分解，将其转化为基本积分公式形式。
3.由基本积分公式计算出积分结果。
4.在计算结果中加上积分常数C。
以下是一些例题来演示直接积分的具体过程：例题1：计算∫(3x^2 + 2x + 1)dx解：根据基本积分公式∫x^ndx=(1/n+1)x^(n+1)+C∫(3x^2 + 2x + 1)dx =(1/3+1)x^(3+1)+(1/2+1)x^(2+1)+x^(1+1)+C=(1/4)x^4+(1/3)x^3+x^2+C例题2：计算∫sin^3xdx解：根据基本积分公式∫sin^nx dx= (-1/(n-1))*sin^(n-1)x*cosx +(n-2)/(n-1)∫sin^(n-2)x dx∫sin^3xdx = (-1/(3-1))*sin^(3-1)x*cosx +(3-2)/(3-1)∫sin^(3-2)x dx= (-1/2)*sin^2x*cosx +(1/2)∫sinxdx= (-1/2)*sin^2x*cosx -(1/2)cosx + C通过以上例题，我们可以看到直接积分法的基本原理和步骤。
求函数的积分的方法总结
求函数的积分的方法总结在数学中，求函数的积分是一个非常重要的概念和技巧。
积分是微积分的核心内容之一，用于计算函数下方的面积、曲线长度、质量等。
本文将总结一些求函数积分的方法，帮助读者更好地理解和掌握积分的技巧。
一、不定积分不定积分是求函数积分最基础的方法之一。
不定积分的结果是一个函数，表示原函数与一个常数的和。
求不定积分时，可利用基本积分公式、换元积分法、分部积分法等方法。
1. 基本积分公式基本积分公式是求解不定积分的基础，其中包括常见的函数积分结果。
常见的基本积分公式包括：- $\int k \, dx = kx + C$（k为常数）- $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（n为非负整数且$n \neq -1$）- $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$- $\int e^x \, dx = e^x + C$- $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$- $\int \cos x \, dx = \sin x + C$- $\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$利用基本积分公式，对于一些简单的函数，可以直接写出其积分结果。
2. 换元积分法换元积分法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原函数转化为容易求解的形式。
换元积分法的基本思想是使用一个函数的导数与积分式中的一部分进行替换，使积分过程更加简便。
例如，对于形如$\int f(g(x))g'(x) \, dx$的积分式，可以令$u=g(x)$，则$du=g'(x)dx$，原积分式可变为$\int f(u) \, du$。
通过对新的积分式进行求解，并将结果转换回原变量的形式，即可得到最终的积分结果。
3. 分部积分法分部积分法是一种常用的积分方法，适用于求解乘积函数的积分。
分部积分法的基本思想是将乘积函数分解为导数与其他部分的乘积形式，从而实现积分过程的简化。
8个基本积分公式
8个基本积分公式基本积分公式是数学中重要的工具，用于解决各种函数的积分问题。
这些公式具有广泛的应用领域，从物理学到经济学，从工程学到统计学，都离不开积分。
下面介绍八个基本积分公式，帮助读者了解它们的作用和用法。
1. 常数函数积分公式常数函数的积分是最简单的，它是积分的起点。
对于任意常数C，我们有∫Cdx = Cx + k，其中k是常数。
2. 幂函数积分公式幂函数是求积分中最常见的函数之一，可以用多项式的形式来表示。
对于幂函数x^n，当n不等于-1时，我们有∫x^n dx =(x^(n+1))/(n+1) + k，其中k是常数。
3. 正弦函数积分公式正弦函数的积分也是常见的，它在动力学、信号处理等领域有广泛的应用。
∫sin(x)dx = -cos(x) + k，其中k是常数。
4. 余弦函数积分公式余弦函数和正弦函数类似，也有其对应的积分公式。
∫cos(x)dx = sin(x) + k，其中k是常数。
5. 指数函数积分公式指数函数在概率论、统计学等领域经常出现，其积分有特殊的形式。
对于指数函数e^x，我们有∫e^xdx = e^x + k，其中k是常数。
6. 对数函数积分公式对数函数在经济学、生物学等领域有重要的应用，其积分也有一定的特性。
∫1/x dx = ln|x| + k，其中k是常数。
7. 正切函数积分公式正切函数的积分也是名副其实的基本积分公式之一。
∫tan(x)dx = -ln|cos(x)|+ k，其中k是常数。
8. 余切函数积分公式余切函数和正切函数类似，其积分也有特定形式。
∫cot(x)dx = ln|sin(x)|+ k，其中k是常数。
这八个基本积分公式覆盖了常见的函数类型，掌握它们可以帮助我们解决很多积分问题。
当然，实际应用中还存在更多复杂的函数和积分方法，需要深入学习和实践。
通过不断锻炼和积累，我们能够更加熟练地运用这些公式，解决更加复杂的实际问题。
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注2. 凑微分法的关键是“凑”, 凑的目的是把被积函数的
中间变量变得与积分变量相同. 即
f [(x)] (x)dx 凑 f [(x)]d(x). 3
“凑微分”的方法有: (1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式, 依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d(x) . 如
(3)
1 ln x dx x
解 原式
1 ln xd ln x
1
ln
xd(1 ln
x)
2
(1
ln
3
x)2
C
3
ex
(4)
dx ex 1
解 原式 d(ex 1) 2 ex 1 C
ex 1
例10 求下列各式的不定积分
(1)
xdx 3x2 4
注1:换元积分法是先换元,再积分,最后回代.这与凑微分法 (先凑后换元)不一样. 注2: 本节利用换元积分法来求解被积函数为无理函数的 不定积分. 换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分. 分两类讲:
1.根号里是一次式的,即 n ax b
2.根号里是二次式的,即 n a2 x2 , n x2 a2 .
x
1 4
sin
2x
C
同理可得
cos2
xdx
1 2
x
1 4
sin
2x
C
(2) sin3 xdx 解 原式 sin2 xdx cos x (cos2 x 1)d cos x 1 cos3 x cos x c.
3
结论4: 一般地, 对形如 sinn xdx, cosn xdx 这样的不定积分
9. 4 9x2 ;
10.
1
dx cos
; x
11.
arcsin x dx; 1 x2
12.
cot sin
d .
16
注:对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数 的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个 常数.如
法一:
sin
x
cos
xdx
sin
e2xdx 1 e2xd (2x) 1 e2x C.
2
2
(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x) .如
ln x dx
2
3
ln xd ln x (ln x)2 C
x
3
方法1较简单, 而方法2则需一定的技巧, 请同学们务必记牢
以下常见的凑微分公式！
a2 x2 解 原式
dx a2 (1 ( x )2 )
ad(x) a
a (1 ( x )2 )
a
a
d(x) a
(1 ( x )2 ) a
arcsin x C a
7
dx
(5)
a2 x2
解
原式
dx a2 (1 ( x )2 )
由复合函数和反函数求导法则得{F[ 1(x)] C} [F (t)]t tx
F (t) 1 f [(t)](t) 1 f ((t)) f (x)
xt
(t)
则F[ 1(x)] 是 f (x) 的一个原函数.
即 f (x)dx F[1(x)] C 19
5
8. (sin x cos x)dx d(cos x sin x)
9. (2x 1)dx d(x2 x)
11.
dx sin2
x
d
cot
x
10. dx d tan x cos2 x
例8 求下列各式的不定积分
(1) dx
;
(2)
e
3 2
x1dx.
3 2x
若n m，则化为
（
1 2
sin
2x）ndx
来积分.
13
(4) sin mxsin nxdx
对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.
解
原式
1 2
[cos(m
n)x
cos(m
n)
x]dx
sin(m n)x sin(m n)x C 2(m n) 2(m n)
2
2
注: 这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用
恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d(x)(可不必换元),
使原积分变成一个可直接用积分公式来计算.
这种方法称为凑微分法. 其理论依据为
2
定理4 设 f (u)du F(u) C,且 u (x)具有连续导数,则
f [(x)]d(x) F[(x)] C.
b)
6
dx
(3) a2 x2
解
原式
1 2a
[
a
1
x
a
1
x
]dx
1 2a
a
1
x
d (a
x)
1 2a
a
1
x
d (a
x)
1 ln a x 1 ln a x C 1 ln a x C
2a
2a
2a a x
(4) dx (a 0)
证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可. [F((x)) C] Fu ux f ((x)) (x)
注1.定理4中,若u为自变量时,当然有 f (u)du F(u) C
成立.当u 换为(x)时, 就有 f [(x)]d(x) F[(x)] C
结论2:
f '(x) dx f (x)
ln
f (x) C
(2) tan xdx
解
原式
sin cos
x x
dx
d cos x cos x
ln cos x C ln sec x C.
8
同理可得 cot xdx ln sin x C ln csc x C
1 a2
ad(x) a
1
1 ( x)2 a
x
d( ) a
1 arctan x C
1 ( x)2 a
a
a
a
a
例9 求下列各式的不定积分
3x2 2
(1) x3 2x 3 dx
解
原式 d (x3 2x 3)
x3 2x 3
ln x3 2x 3 C
§5.3 基本积分法
利用直接积分法求出的不定积分是很有限的. 为了求出更多函数的不定积分, 下面建立一些有效地积分法.
一.凑微分法
例 计算 cos 2xdx
分析:此不定积分的被积函数是复合函数,在积分表中查不到. 这是因为被积函数cos2x的变量是“2x” , 与积分变量“x”不 同但.如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与
ln a
4. dx d (arcsin x) d (arccos x) 1 x2
5. dx d(arctan x) d(arc cot x) 1 x2
6. dx d ln x, dx d ln(1 x)
x
1 x
7. sin xdx d cos x,cos xdx d sin x
解 原式 1 2
dx2
1
d(3x2 4) 1
3x2 4 C
3x2 4 3 2 3x2 4 3
9
结论3:
xn1 f (axn b)dx 1 f (axn b)d (axn b) an
(2) x2 (x3 1)2dx
解 原式 1 (x3 1)2d (x3 1) 1 (x3 1)3 C
12
当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分 再积分；
(3) sin2 x cos xdx
解 原式 sin2 xd sin x 1 sin3 x C 3
一般地,对形如 sinn x cosm xdx 这样的不定积分
若n≠m，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；
若同为偶，则化为 sinn xdx, cosn xdx 来积分.
原式
1
xd
sin
x
1 2
sin2
x
C
法二:
sin
x
cos
xdx
cos
sxd
cos
x
1 2
cos2
x
C
法三:
sin
x cos
xdx
1 2
sin
2xdx
1 4
sin
2xd 2x
1 4
cos 2x
C
17
二.换元法
例12
求
x 1 dx x
注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变换
f [(t)](t)dt F(t) C, 则 f (x)dx F[1(x)] C
证明 f [(t)](t)dt F(t) C, 则 F(t) f [(t)](t),
而 F[ 1(x)]，由F (t) 和 t 1(x) 复合而成.