求不定积分的方法及技巧小汇总

求不定积分的方法及技巧小汇总~

1.利用基本公式。（这就不多说了~）

2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

C x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ

其中)(x ϕ可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：⎰

+-+dx x x x

x )

1(ln )1ln(

【解】)

1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=

-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2

)ln )1(ln(2

1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰

+dx x x x 2

)ln (ln 1

【解】x x x ln 1)'ln (+=

C x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1

)ln (ln )1(ln 122

3.第二类换元法：

设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式

⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会

用。主要有以下几种：

acht

x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t

a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222

也奏效。

，有时倒代换当被积函数含有：：t

x c bx ax x t d

cx b

ax d cx b ax t

b ax b ax m n n

n

n 1

)6()5()4(2=++⋅=++++=++

4.分部积分法.

公式：⎰⎰-=νμμννμd d

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑： （1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：dx x

x x ⎰

-⋅2

31arccos

【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则

=-=-=-⎰⎰⎰

tdt t dt t t t

t dx x x x 332

3cos )sin (sin cos 1arccos

C x x x x x C t t t t t t d t t t t dt t t t t t t t td t d t t +-+---=+---=

-+-=---=-=-⎰⎰⎰⎰arccos 1)2(3

1

3291cos 91

cos 32sin sin 31cos )1sin 31

(sin sin 31)sin sin 31

(sin sin 31)sin sin 31(sin )1(sin 22333233332

例4：⎰xdx 2arcsin 【解】

⎰

⎰--=dx

x x x x x xdx 2

2

211arcsin 2sin arcsin

C

x x x x x dx x

x x x x x x xd x x +--+=----+=-+⎰⎰2arcsin 12arcsin 121arcsin 12arcsin 1arcsin 2arcsin 22

222

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在⎰⎰-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律：

选取的函数不能改变。

，会出现循环，注意，，，νμββνμνμνμ)3(sin ,cos )3()(arcsin ,arctan ,ln )2(cos ,sin ,)()1(x x e x P x x x ax ax e x P ax

m ax m ======

将以上规律化成一个图就是：

但是，当x x arcsin ln ==νμ，时，是无法求解的。 对于（3）情况，有两个通用公式：

C

bx b bx a b a e dx bx e I C

bx b bx a b a e dx bx e I ax ax

ax

ax

+++=⋅=+-+=⋅=⎰⎰)sin cos (cos )cos sin (sin 2

222

21 （分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx 的不定积分》中，常可以看到分部积分）

5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分

有理函数

)()(x Q x P 先化为多项式和真分式)()(*x Q x P 之和，再把)

()

(*x Q x P 分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现⎰+=n

n x a dx

I )(22时，记得用递推公式：12

1222)

1(23

2))(1(2----++-=

n n n I n a n a x n a x I ） 例5：dx x x x x x ⎰

+--+2

23246)1(24 【解】=++-++=+--+223222346223246)1(24)1()1(24x x x x x x x x x x x x 2

2322)1(2

41++-+x x x x x