关于不定积分∫secxdx的几种求解方法
分部积分法的解构和重构——兼简论不定积分的定义和求不定积分的思想方法与一般思路
x
x
x
x
x
x
x
x
x
１
x
x
得式 ② 中的 ２ 的产生和 C１ 的出现无法解释.
∫
若将函数 f(
x)在区间 I 上的任一原函数称为函数f(
x)在区间 I 上的不定积分 f(
x)
d
x,并记
∫
为,则式 ① 左右两端的 exs
i
nxd
x 各是函数exs
i
nx 任 一 原 函 数,两 者 只 相 差 一 个 常 数 C１ ,这 样 式 ②
∫
x２ －１ (
x２ －１ １
解 xl
n(
x－１)
d
x＝
l
n x－１)－
d
x
２
２ x－１
∫
x －１ (
１
＝
l
n x－１)－
２
２
２
∫
x２ －１ (
x２ x
(
x－１)
d
x＝
l
n x－１)－ － －＋C ．
２
４ ２
nc
o
s
x
例 ５ 求不定积分 l
d
x．
c
o
s２x
∫cosxdx ＝tanxln cosx －∫tanx
∫
∫
分 u 和v
′没有固定格式可循,但是依据分部积分的目的是使 vu
′
d
x 比 uv
′
d
x 易于求出,可以
得出选取 u 与v
′的两条原则:一是 u 经过求导,使 u
′变得简单;二是由 v
′要 能 求 出v(这 是 可 以 使 用
分部积分法的前提),因此运用分部积分公式主要有以下模式:
例说不定积分计算解题
例说不定积分计算解题作者：邢春峰袁安锋綦春霞来源：《教育教学论坛》2015年第13期摘要：对几组不定积题目分进行分析、归纳，给出求某些不定积分计算的一些技巧。
关键词：不定积分；积分方法；技巧中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）13-0283-02不定积分是高等数学的重要内容，是学习定积分和多元函数积分学的基础。
不定积分的计算具有一定的灵活性，要学好这部分内容，必须熟悉基本积分公式、基本运算性质、基本积分方法、一定的解题策略，并能对被积函数进行适当的代数或三角的恒等变形，或对被积表达式进行凑微分、变量置换等的变形。
当然，有些积分题目的方法也不是一成不变的，关键还是要注意分析题目的形式，平时大胆试用各种解题方法。
下面通过几组类似积分的比较来看一看积分计算中的解题方法的灵活性和技巧性.例1 求不定积分（1） tanxdx；（2） tan2xdx；（3） tan3xdx；（4） tan4xdx。
解（1） tanxdx= dx=- d（cosx）=-ln|cosx|+C；（用凑微分法）（2） tan2xdx= （sec2x-1）dx=tanx-x+C；（三角恒等变形后积分）（3） tan3xdx= tanx（sec2x-1）dx= tanxd（tanx）- tanxdx= tan2x+ln|cosx|+C；（三角恒等变形后积分）（4） tan4xdx= tan2x（sec2x-1）dx= tan2xd（tanx）- tan2xdx= tan3x-tanx+x+C。
（三角恒等变形后积分）例2 求不定积分（1） secxdx；（2） sec2xdx；（3） sec3xdx；（4） sec4xdx。
解（1） secxdx= dx=d（secx+tanx） ln|secx+tanx|+C；（用凑微分法）（2） sec2xdx=tanx+C；（应用积分公式）（3） sec3xdx= secxd（tanx）=secxtanx- tanxd（secx）=secxtanx- secxtan2xdx=secxtanx- sec3xdx+ secxdx=secxtanx+ln|secx+tanx|- sec3xdx，所以 sec3xdx= secxtan+ ln|secx+tanx|+C；（用分部积分法）（4） sec4xdx= sec2xd（tanx）= （1+tan2x）d（tanx）=tanx+ tan3x+C。
不定积分求解方法及技巧
不定积分求解方法及技巧不定积分是微积分中的重要概念之一，它与定积分相互对应，是求导的逆运算。
在实际中，我们经常需要对函数进行不定积分来求函数的原函数，或者求解一些与变量相关的问题。
下面，我将介绍一些常见的不定积分求解方法及技巧。
一、基本不定积分法基本不定积分法是指利用函数的基本积分公式来求解不定积分的方法。
经过多年的研究，数学家总结出了许多函数的基本积分公式，我们可以根据这些公式来求解不定积分。
一些常见的基本积分公式包括：1. ∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C；其中n为非负整数，C为常数。
2. ∫e^x dx = e^x + C；3. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C；4. ∫cos(x) dx = sin(x) + C；5. ∫1/x dx = ln|x| + C；6. ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C；等等。
利用这些基本积分公式，我们可以将一个函数进行分解，然后求解出每一部分的不定积分，再进行合并。
需要注意的是，基本不定积分法只能求解一些特定的函数，如果遇到复杂的函数，就需要使用其他的方法。
二、换元积分法换元积分法是指通过变量代换来简化不定积分的方法。
它的基本思想是，通过选择一个新的中间变量，使得原函数可以转变为一个更简单的形式，进而求解出不定积分。
换元积分法的关键是选择一个合适的变量代换。
常用的变量代换有以下几种：1. u = g(x)：将函数中的部分表达式用一个新的变量u 表示，使得原函数简化；2. x = g(u)：将自变量用一个新的变量u表示，使得原函数简化。
换元积分法的步骤为：1. 选取合适的变量代换，使得原函数简化；2. 将原函数和新变量u的微元表达式相应地表示出来；3. 将原函数用新变量u表示，然后对u进行求积分；4. 将u的积分结果转换回原来的自变量x。
需要注意的是，换元积分法在选择变量代换时需要灵活运用，有时需要试几次才能找到一个合适的代换，特别是当函数较为复杂时。
浅谈不定积分的计算
浅谈不定积分的计算不定积分是微积分的基本概念之一，用于求解函数的原函数，也被称为反函数或不定积分。
它在数学中有着广泛的应用，尤其在物理和工程等领域。
不定积分的计算方法可以分为直接法、间接法以及换元法等几种主要方法。
首先，直接法是指根据导数的基本公式直接计算不定积分。
例如，根据函数的求导公式，我们可以得出一些基本积分的公式，如：1. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)其中C为常数。
2. ∫e^x dx = e^x + C其中C为常数。
3. ∫1/x dx = ln，x， + C其中C为常数。
通过这些基本积分公式，我们可以计算出简单的不定积分。
其次，间接法是指通过利用导数与积分之间的关系来计算不定积分。
其中最常见的方法之一是凑微分法，即通过改变被积函数的形式使其变为其中一常见函数的微分形式，从而可以直接求出不定积分。
例如：1. ∫(2x+1)^5 dx可以通过令u=2x+1，然后计算其微分du=2dx，将原积分转化为∫u^5 (du/2)最后计算得出∫(2x+1)^5 dx = (u^6)/12 + C = (2x+1)^6/12 + C2. ∫(1+sin(2x)) dx可以计算得出∫sin(2x) dx = -1/2 cos(2x) + C最后得到∫(1+sin(2x)) dx = x - 1/2 cos(2x) + C这些间接法可以在一些特殊的情况下简化计算不定积分的过程。
最后，换元法是指通过引入新的自变量来进行积分计算。
例如：1. ∫sin^2(x) dx可以通过令u=sin(x)，然后计算其微分du=cos(x) dx将原积分转化为∫u^2 du = u^3/3 + C = sin^3(x)/3 + C2. ∫(1+x^2)^3 x dx可以通过令u=1+x^2，然后计算其微分du=2xdx将原积分转化为(1/2)∫u^3 du = (1/2)(u^4/4) + C =(1/8)(1+x^2)^4 + C换元法可以将复杂的积分转化为更简单的形式，从而简化计算的过程。
不定积分公式总结
不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
不定积分计算方法
不定积分计算方法在微积分中，不定积分是确定函数的原函数的过程。
计算不定积分的方法有很多种，本文将介绍不定积分的基本方法，包括换元法、分部积分法、三角函数的不定积分、分式的不定积分、有理函数的不定积分等。
1.换元法：换元法是计算不定积分最常用的方法之一、其基本思想是通过变量的代换将原函数转化成一个更容易积分的形式。
具体步骤如下：(1)选择一个适当的替换变量，使得在新的变量下，被积函数的形式变得更简单。
常用的替换变量有三角函数、指数函数、分式等。
(2)计算出变量的微分，即被积函数的微分形式。
如果被积函数是一个复合函数的形式，则应使用链式法则计算微分。
(3)将变量的微分代入被积函数中，得到新的被积函数。
(4)对新的被积函数进行积分计算，得到最终的结果。
(5)将变量的原函数代回原来的变量，得到最终的原函数。
2.分部积分法：分部积分法是一种通过对乘积函数进行积分的方法，可以将一个积分转化成另一个积分。
具体步骤如下：(1)选择一个适当的函数进行分解，使得被积函数可以表示为两个函数的乘积。
(2)对乘积函数应用分部积分法，得到一个新的积分表达式。
(3)在新的积分表达式中，选择一个适当的函数进行分解，并再次应用分部积分法。
(4)反复应用分部积分法，直到得到一个可以直接计算的积分表达式。
(5)对得到的积分表达式进行计算，得到最终的结果。
3.三角函数的不定积分：(1)三角函数的基本积分公式：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫tan(x)dx = -ln，cos(x)， + C(2)三角函数的积分公式：∫sin^n(x)cos^m(x)dx =(-1)^(m/2) * n! * (m/2)! / (n+m+1)! * sin^(n+1)(x) *cos^(m+1)(x) + C∫tan^n(x)sec^m(x)dx =(m-1)/(m) * ∫tan^(n-2)(x)sec^(m-2)(x)dx - ∫tan^n(x)sec^(m-2)(x)dx这些公式可以用来计算包含三角函数的不定积分，通过逐步应用公式，最终得到结果。
0407 三角函数的不定积分
(sin x 2sin x sin x ) d(sin x )
2 4 6
1 3 2 5 1 7 sin x sin x sin x C ． 3 5 7
m n sin x cos xd x
例 求积分 cos2 x d x ． 解
1 cos 2 x cos x d x 2 d x 1 1 ( x sin 2 x ) C 2 2
6 2 2 sec x d x (1 tan x ) d(tan x )
sec2 x tan 2 x 1 (tan x ) sec 2 x (sec x ) tan x sec x
sec 4 x sec 2 x d x d(tan x )
(1 2 tan x tan x ) d(tan x )
2 3 (1 cos x ) d(cos x ) sin x d x
sin x sin x d x
1 3 cos x cos x C . 3
1 cos 2 x 1 1 sin x sin x Байду номын сангаас sin x sin x cos 2 x 2 2 2
u sin x
1 1 1 1 1 1 du du du 3 2u 2 u 1 6 u 1 1 1 1 ln u 2 ln u 1 ln u 1 C 3 2 6
1 1 1 ln(2 sin x ) ln(1 sin x ) ln(1 sin x ) C ． 3 2 6
2
1 1 x sin 2 x C ． 2 4
例 求积分 sin 2 x cos4 x d x ．
不定积分∫cscxdx的几种求解方法
２００７
［２】谷银 山 ，张玉芬 ．微 积分学教 程 ［Ｍ］．北 京 ：北京航 空航 天 大 学 出 版 社 ，２Ｏ１１ ［３］陈兆斗 ．高等数学 （工本 ）［Ｍ】．北京 ：北京大学出版社 ，
２ＯＯ６
［４］赵继红 ．关 于不定 积分 ，ｓｅｃｘｄｘ的 几种求解方 法 ［Ｊ］＿湖 南文理学院学报 （自然科学版） ，２０１２ （１）
有理 函数 ，利用 有理 函数积分 方法 求解 ，此方 法 思路 简单 ，应 用比较广泛 ，但有时转 化后 的有 理 函数积分 比较难 求。
令 ｔａｎ兰 ： “ ，
贝Ｕ
２
２ｍ ２
１＋协
’
一 ｚｕ １＋ “
ｄｘ ＝ ２ｄ ａ￣ｃｔａｎ ｘ ＝ — 一， “ １－Ｉ－Ｕ
刘翠莲 一不定积分 ｆ ｃｓｃｘｄｘ的几种 求解 方法
２０１６年 ｌ２月
解 法 ３ ：同样利 用 了凑 微 分方 法 即第 一 换 元积分法求解 ，中间变量代换过程 省略。
＝ ＿Ｊ
一
Ｉ＋ｃ
＝ －ｆＣＳＣＸ＂
不定积分∫secxdx的8种计算方法
３１０
长 春 工 业 大 学 学 报 第３９卷
和归 纳。 总 结 出 ８ 种 计 算 方 法，旨 在 让 学 生 掌 握 不定积分计算的实质以及培养学生解题的灵活应 用性与思维创造性。
收 稿 日 期 ：２０１８０３１７ 基 金 项 目 ：安 徽 高 校 自 然 科 学 研 究 重 点 项 目 （ＫＪ２０１７Ａ７９２）；安 徽 高 校 质 量 工 程 教 学 研 究 项 目 （２０１６ｘｊｊｙｘｍ０５） 作者简介：丁伯 伦 （１９８９－ ），男，汉 族，安 徽 滁 州 人，安 徽 信 息 工 程 学 院 讲 师，硕 士，主 要 从 事 算 法 及 软 件 方 向 研 究，Ｅｍａｉｌ：
１ 形 式 变 换 法
方法１ 首先可以巧 妙地借 助 余 割 函 数 的 不 定 积 分 结 果 ［１］，计 算 出 正 割 函 数 的 不 定 积 分 。
由于
∫ｃｓｃ狓ｄ狓 ＝ｌｎ ｃｓｃ狓 －ｃｏｔ狓 ＋犆
基 于 正 割 函 数 与 余 割 函 数 的 关 系 ，可 得 ：
∫ ∫ （ ） （ ） ｓｅｃ狓ｄ狓＝
等变换的方 法。先 是 对 余 弦 函 数 进 行 变 型，利 用
二倍角公式展开将被积函数转化为较易的形式，
然后采用凑微分 的 方 法 给 予 解 决，这 种 方 法 大 大
割函数的积分结果，这样的方法是借用巧力，计算 优化了积分的计算过程，提高了解题效率。
起来也更简便，但 前 提 条 件 是 必 须 要 熟 悉 余 割 函 数积分的计算结果。
secx的不定积分公式推导过程
secx的不定积分公式推导过程1.首先，我们知道secx可以用1/cosx来表示。
(Firstly, we know that secx can be represented as 1/cosx.)2.然后，我们可以将secx的不定积分表示为∫secx dx。
(Then, we can represent the indefinite integral of secxas ∫secx dx.)3.接下来，我们可以将secx写成1/cosx，并进行变量替换。
(Next, we can write secx as 1/cosx and make a substitution.)4.通过让u=cosx，我们可以得到du=-sinx dx。
(By letting u=cosx, we can obtain du=-sinx dx.)5.然后，我们可以将原不定积分转化为∫(1/u)du。
(Then, we can transform the original integral into∫(1/u)du.)6.通过进行不定积分，我们可以得到ln|u|+C。
(By carrying out the indefinite integral, we can obtain ln|u|+C.)7.最后，我们可以将u替换成cosx，得到不定积分的最终结果为ln|cosx|+C。
(Finally, we can substitute u back with cosx, and obtain the final result of the indefinite integral as ln|cosx|+C.)8.因此，我们得到了secx的不定积分公式推导过程。
(Therefore, we have obtained the process of deriving the indefinite integral formula of secx.)9.当cosx大于0时，ln|cosx|+C即为secx的不定积分。
不定积分∫sec~nxdx的求解方法
＝ ｓ ｅ ｃ ２ ｋ － ￣ ｘ ｔ ａ ｎ － Ｉ （ ２ ｋ － １ ） ｓ ｅ ｃ ２ ｋ － １ Ｘ ｔ ａ ｎ ２ ｘ ｄ ｘ
：ｔ 甜 Ⅸ＋ ｔ ａ ｎ３ ＋Ｉ
：ｔ 粼 ＋三ｔ ａ ｎ ＋
ｊ ｌ
ｔ ａ ｎ ４ Ｘ＋ Ｃ 。
。
再设 ｎ＝ ２ ＋１ ． ｋ＝０ ． １ ． ２ Ｌ ． 此时 ｎ为奇 数。今
Ｉ ２ ＝ Ｉ ｓ ｅ ｃ ｎ ＝ ｓ ｅ ｃ ２ ｋ ＋ ｌ ｘ ｄ ｘ ，
收稿 日期 ：２ Ｏ １ ４ —１ ２ —０ ６ 基金项 目：湖南科技学 院教学改革研 究项 目 （ ＸＫ ＹＪ ２ ０ １ ２ ０ ２ ８ ）资助 。 作者简介 ：邓宇龙 （ １ ９ ８ ０ － ），男，湖南蓝 山人，硕士 ，讲 师 ，主 要研究方向为调和分析、密码学 。
＝ ｓ ｅ ｃ ２ ｋ － １ ｘ ｔ ａ ｎ － Ｉ （ ２ ｋ － １ ） ｓ ｅ ｃ ２ ｋ ｑ Ｘ （ ｓ ｅ ｃ ２ ｘ － １ ） ｄ ｘ
＝ ｓ ｅ ｃ ２ ｋ － １ ｘ ｔ ａ ｎ － （ ２ ｋ － １ ） Ｉ ｓ ｅ ｃ ２ ｋ ＋ ｌ Ｘ ｄ ｘ ＋ （ ２ ｋ 一 １ ） Ｉ ｓ ｅ ｃ ２ ｋ － Ｉ ｘ ｄ ｘ
ｃ ｔ 黜
＝
ｃ ｔ ａ ｎ ３ ＋ ｃ ｔ ａ ｎ ４ Ｘ＋Ｌ ＋ １
乙 ｋ
２ ｋ ｘ
－
４ － ｃ。
于是 ，我们得到 ｓ ｅ ｃ ｋ ＋ ２ Ｘ ＝ ｃ ｔ 黜 ＋ ｃ ｔ ａ ｎ ３ ＋ ｃ ２ ｔ ａ ｎ４ 扎 ＋ ｃ ｔ ａ ｎ２ ｋ ｘ＋ｃ ㈩
不定积分的解题方法与技巧
一． 直接积分法（公式法）利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分二． 第一类换元法 1.当遇到形如⎰++cbx ax dx2的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>∆时，可将原式化为()()21x x x x --，其中，21,x x 为c bx ax++2的两个解，则原不定积分为：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=--⎰⎰⎰221112211x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---=2112ln 1（2）当0=∆时，可利用完全平方公式，化成()()⎰--2k xk x d 。
然后根据基本积分公式即可解决。
（3）当0<∆时，可先给分母配方，多利用C x x dx+=+⎰arctan 12解决。
2.当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。
当被积函数为三角函数的偶次幂时，常用半角公式降幂；若为奇次，则拆一项去凑微分，剩余的偶次用半角公式降幂。
三．第二类换元法 1.三角代换当被积函数含有22x a -时，令x=asint 或x=acost ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππt 。
当被积函数含有22x a +时，令x=tant ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππt 。
当被积函数含有22a x -时，令x=±asect ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πt2.倒代换当分母中因子次数较高时，可考虑倒代换。
三． 分部积分法口诀：反对幂指三，谁后谁先微。
意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。
分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。
四．有理函数的积分 1.形如()ka -x 1的有理函数，它所对应的部分分式是()()()kk221a -x A a -x A a -x A +⋯⋯++ 2.形如()kqpx ++2x1的有理函数，它所对应的的部分分式是()()()k2kk 2222211xx x qpx C x B qpx C x B q px C x B ++++⋯⋯++++++++3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）： 部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。
secx积分公式推导
secx积分公式推导secx积分公式是高等数学中常用的积分公式之一，其推导过程十分重要。
本文将详细介绍secx积分公式的推导过程，帮助读者更好地理解该公式及其应用。
首先，我们需要回顾一下基本的三角函数积分公式：(1) ∫sinx dx = -cosx + C(2) ∫cosx dx = sinx + C(3) ∫tanx dx = ln|secx| + C(4) ∫cotx dx = ln|sinx| + C(5) ∫secx dx = ln|secx + tanx| + C(6) ∫cscx dx = ln|cscx - cotx| + C其中C为常数。
接下来，我们来推导secx积分公式。
首先，我们可以将secx表示为cosx的倒数，即：secx = 1/cosx接着，我们将1/cosx表示为cosx的倒数和sinx的倒数的乘积，即：1/cosx = cosx/sinxcosx = sinx/sinxcosx = sinx/secx 这样，我们就可以将∫secx dx转化为∫sinx/secx dx。
接下来，我们用分部积分法来求解该积分。
设u = sinx，dv = secx dx，则du = cosx dx，v = ln|secx + tanx|。
根据分部积分法的公式，我们有：∫sinx/secx dx = sinx ln|secx + tanx| - ∫cosx ln|secx + tanx| dx接下来，我们需要对∫cosx ln|secx + tanx| dx进行求解。
将ln|secx + tanx|表示为ln|cosx + sinx/cosx|，然后进行分式分解，得：ln|cosx + sinx/cosx| = ln|cosx| + ln|1 + sinx/cosx| 接着，我们可以将ln|1 + sinx/cosx|表示为arctan(sin x/cos x)，得：ln|cosx + sinx/cosx| = ln|cosx| + arctan(sin x/cos x) 这样，我们就可以将∫cosx ln|secx + tanx| dx转化为∫cosx ln|cosx| + arctan(sin x/cos x) dx。
exsecx的不定积分
exsecx的不定积分
具体来说，我们可以将exsecx的不定积分表示为∫exsecxdx。
首先，我们让u = secx，dv = exdx，然后计算出du和v。
通过分
部积分法，我们有：
∫exsecxdx = exsecx ∫extanx dx.
现在我们需要计算∫extanx dx。
我们可以再次使用分部积分法，让u = tanx，dv = exdx，然后计算出du和v。
通过分部积分法，
我们有：
∫extanxdx = extanx ∫exsec^2xdx.
现在我们需要计算∫exsec^2xdx。
我们可以用
tan^2x+1=sec^2x的导数关系来解决这个积分。
令z = secx，然后
计算出dz。
这样我们就可以将∫exsec^2xdx表示为∫ez^2dz，这个
积分比较容易计算。
综合以上步骤，我们可以得到exsecx的不定积分为：
exsecx extanx ∫exsec^2xdx.
= exsecx extanx 1/2ez^2 + C.
其中C为积分常数。
这样我们就得到了exsecx的不定积分的表达式。
希望这个回答能够帮到你。
关于不定积分∫secxdx的几种求解方法
关于不定积分∫secxdx的几种求解方法一、换元法。
小伙伴们。
换元法可是求解不定积分的一个很厉害的方法呢。
对于∫secxdx，我们可以设u = secx + tanx。
那du就等于(secxtanx + sec²x)dx啦。
然后我们就可以把原来的积分∫secxdx变形一下。
因为secx = (secx(secx + tanx))/(secx + tanx)，这时候就变成了∫(sec²x+secxtanx)/(secx + tanx)dx，这个式子看起来就和我们刚刚设的u有关系了。
其实啊，这个式子就等于∫du/u。
那这个积分就简单啦，它的结果就是lnu+C。
再把u = secx + tanx代回去，就得到了lnsecx +tanx+C。
是不是很有趣呢？二、利用三角函数的关系来求解。
我们知道secx = 1/cosx。
那∫secxdx就等于∫1/cosxdx。
我们可以把分子分母同时乘以cosx，就得到了∫cosx/cos²xdx。
又因为cos²x = 1 - sin²x，所以就变成了∫cosx/(1 - sin²x)dx。
这个时候呢，我们再设u = sinx，那du = cosxdx。
这样积分就变成了∫1/(1 - u²)du。
这个积分我们可以利用部分分式来求解。
1/(1 - u ²)=1/2(1/(1 + u)+1/(1 - u))。
那∫1/(1 - u²)du就等于1/2∫(1/(1 + u)+1/(1 - u))du，它的结果就是1/2(ln1 + u-ln1 - u)+C。
再把u = sinx代回去，就得到1/2ln(1 + sinx)/(1 - sinx)+C。
不过这个结果看起来和前面的不太一样，其实啊，经过一些三角函数的化简，它和lnsecx + tanx+C是等价的哦。
三、利用积分的性质来求解。
我们可以把secx写成secx(secx+tanx)/(secx+tanx)，那∫secxdx就等于∫secx(secx+tanx)/(secx+tanx)dx。
不定积分∫secxdx的8种计算方法
不定积分∫secxdx的8种计算方法
丁伯伦;凌婷婷;荣婉君;朱晓明
【期刊名称】《长春工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(039)003
【摘要】对正割函数secx做出不同的恒等变换,采用凑微分、换元等对不定积分∫secxdx得到8种求解方法,并进行归纳与分析.
【总页数】4页(P309-312)
【作者】丁伯伦;凌婷婷;荣婉君;朱晓明
【作者单位】安徽信息工程学院基础教学部,安徽芜湖 241000;安徽信息工程学院基础教学部,安徽芜湖 241000;安徽信息工程学院基础教学部,安徽芜湖 241000;安徽信息工程学院基础教学部,安徽芜湖 241000
【正文语种】中文
【中图分类】O157
【相关文献】
1.关于不定积分∫secxdx的几种求解方法 [J], 赵继红
2.几种常见的不定积分的计算方法 [J], 朱小飞
3.不定积分计算方法的归纳小结 [J], 栾金凤
4.不定积分的几种计算方法 [J], 范云鹏;樊雪双
5.一类有理函数不定积分的简便计算方法及其应用 [J], 王希;胡劲松
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ｃａｎ ｈｅｌｐ ｔｈｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｍ ｅｔｈｏｄ ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔ ｕ ｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｆｏｒ ｔｈｅ
ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｅｃａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｔａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔ ｕｔｉｏｎ
６
湖 南 文 理 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
２０１２笠
方法３注意到ｓｅｃｘ＝ｃｓｃ（ｘ＋量），我们从求解ｊ＇ｃｓｃｘｄｘ／￣·
『ｃｓｃ础＝ ＝ ＝案ｃ ＝ ＝· ＋ｃ．
所以ｊ．ｓｅｃ ＝ ｓｃ（ ＋三）ｄ（ 十三）＝ｌｎＩｔａｎ（主＋三）Ｉ＋ｃ．
方法 ３本 质上 和方 法 １是一致 的，但 是在 求解 过程 中用 到 了三 角 函数 的恒 等变 形，而 这些 变形 在求解 三 角 函数 的不 定积分 中有着 十分 重要 的作 用 和意 义，合 理 的变形 会大 大 的简 化被 积 函数 的表达 式 ，从而 使
能力和凑微分的能力，本文详细给出了求 ［ｓｅｃｘｄｘ的 ５种方法，希望学生能从这些方法中体会到换元积分
法 的本 质 及其 巨大 功效 ．
例 ：求不 定积 分 ｘｄｘ．
方 法 １ 利用 第 一类 换元 积分 法…，可得 ：
＝
＝
＝
＝ 『（ ＋ ｓｉｎ １ Ｉｎｌ ｌ＋Ｃ．
从 方法 １可 以看 出，第 一类 换元 积分 法 的本 质是 设法 将不 定积 分 中的被 积表 达式 凑成 容易 求得 原函数 的形 式 ，然后 进行 求解 （这也 是称 其 为凑微 分法 的原 因）．基 于此 ，我们 也可 以进行 如下 的凑 微分 ． 方 法 ２ 观察 ，可 以进 行如 下 的凑微 分Ｌ２ ：
关 键 词 ：正 割 函 数 ；不 定积 分 ；换 元 积 分 法 一 中图分 类号：Ｏ １３；０ １７２．２
文章编 号：１６７２—６１４６（２０１２）０１—０００５－０２
Ｆｉｖｅ ｍ ｅｔｈ。ｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉ。ｎ ｘｄｘ
ＺＨＡ Ｏ Ｊｉ－ｈｏｎｇ
，
求 函数 的不 定积 分 是数 学 分 析 以及 高 等数 学 的 主要 内容之 一 ［１ 】．常用 的求 解方 法 有换 元 积分 法 和分 部 积 分法 ，其 中换 元积 分 法又 分 为第 一 类 换元 积 分法 （凑 微分 法）和 第 二类 换 元积 分法 ．与 分部 积 分法 比较 而 言 ，换元 积 分法 所采 用 的变 量 代 换 的形式 千 变万 化，因此 学 生在 学 习这一 块 内容 时普遍 感 觉换 元积 分法 要 比分 部积 分 法 更难 理 解 ，更 加不 好 掌 握．为 了帮助 学 生 锻炼 使 用 换元 积 分法 求解 函数 不 定积 分 时 的观 察
利用 万 能公 式来求 三 角 函数 的不定积 分 是一种 十分 行之 有效 的方 法，利 用它 常常 可 以将 所 求不 定积 分 约化 为有 理 函数 的不定 积分 ，从而可 以利 用有 理 函数 的不定积 分理 论进 行求解 （公式法 ）．
方法 ５ 首先注意到。［ ｓｅｃｘｄｘ＝０Ｉ —ＣＯｌ ＿ＳＸ ｄｘ，为了消去分母上的ＣＯＳＸ，我们做变量代换 “＝ＣＯＳＸ，从而 ＝
得求 积 分 的过程变 得简 单，起 到事 半功倍 的作 用．
１一 切ｎ ， ．
１
方法４利用万能公式ｃｏ舛 ｌ＋—ｔａ专ｎ ａｎ，令 ＝ｔａｎ主，从而ｘ＝２ａｒｃｔａｎ材及 ·所求积分为：
一
。
一
一
謦 ： 击 ＝ ＋ ＇ｓｅｃｘｄｘ＝ － １ ＝
ｌｎＩ１＋“ｌ＋ｌｎｌｌ一材ｌ＋ｃ＝ｌｎｌ１－Ｕ２ｌ＋ｃ＝ｌｎ １一ｔａｎ ＋ｃ．
‘ ｓｅｃｘ＋ ｔａｎＸ
比较方 法 １和方 法 ２，所得 结果 只 是在 形式 上有 所不 同，利 用三 角 函数恒 等式 ，读者很 容 易将它 们统 一起 来．
收 稿 Ｅｔ期 ：２０１１－１１－１７ 基金项 目：西北农林科技大学博士科研启动基金（Ｚ１０９０２１１１８）． 作 者简介：￣ ￣Ｚ（１９８２．），男，博 士，研 究方 向：偏微 分方程和 生物 数学．Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｈａ￣ｉｈｏｎｇ２ＯＯ７＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ－ｃｎ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔＡ＆Ｆ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎｇｌｉｎｇ ７１２１００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅＬ ｗｅ ｕｓｅ ｆｉｖｅ ｍｅｔｈ。ｄｓ ｔ。ｓ。ｌＶｅ ｔｈｅ ｉｎｄｅｆ ｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉ。ｎ ｆｓｅｃｘｄｘ．ｗｅ ｈｏｐｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｍｅｔｈ。ｄｓ
关 于 不 定 积 分 ｅｃ 的几种 求解 方 法
Ｖｌ ０１．２４ Ｎ Ｏ．１ Ｍ ａｌｌ＇．２０１２
赵 继 红
（西 北 农 林 科 技 大 学 理 学 院，陕 西 杨 凌 ，７１２１００）
摘 要 ：通 过 给 出 求 不 定 积 分
ｄｘ的 ５种 方 法 ，旨在 帮 助 学 生 理 解 求 函 数 不 定 积 分 过程 中 换 元积 分法 的本 质
第 ２４卷 第 １期 ２０１２年 ０３月
湖 南 文 理 学 院 学 报（自 然 科 学 版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＡｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
ｄｏｉ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７２－６１４６．２０１２．０１．００２
ＩＳ ｅｃｘｄＯｘ ：＝ ［ｓｅｃｘ（ｓｅｃｘ＋ｔａｎＸ）ｄｘ：ｆＩ—兰 ———三—二— —里—ｃ ＿— ——型—１ ＿— ］ｃ：［ｄ（ｓｅｃｘ＿＋＿ｔ ＿ａ＿ｎｘ）． 。 ：Ｉ ｉｎＩｌＳ＿ｅ一Ｃ一 ＋ １－ ｔＬ￣一Ｉ ，一 Ｈ ＾Ｉ ｌ十 卞 Ｃ． · ｓｅｃｘ＋ ｔ源自ｎｘ ｓｅｃｘ＋ ｔａｎｘ