不定积分的计算方法(I)

该方法从使用的方式上看，又有第一与 第二换元积分法之分, 但它们的公式实际上 是一样的,都来源于复合函数求导公式.
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一. 不定积分的第一换元法:
1.公式 : 首先看复合函数的导数 公式 :
设可微函数 y F (u), u (x) 可构成区间 I 上的
可微的复合函数 y F ( (x)), 则
利用令u=x+1.换元后问题得简化
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例3
求

d 1
x 2
x
.
(过程模仿上例题)
?
令u=2x+1.
解

d 1
x 2x


1
1 2x
d(2x
1)


1 u
d
u
ln u C ln(2x 1) C .
利用令u=2x+1.换元后问题得简化
这计算过程有问题没?
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例3
求

1
d
(F((x))) F((x))(x),
它的微分形式为
d(F((x))) F((x))(x)d x
记 F(u) f (u), 则 看出点什么东西没有?
原函数?
被积表达式?
d(F((x))) f ((x))(x)d x f (u)du,
也是被积表达式?
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定理
设 F (u) 是 f (u) 在区间I 上的一个原函数,
f (u) C(I ), 又 u (x) 在区间J 上可微, 且
(J ) I, 则在区间J 上有
f ((x))(x) d x f (u) d u
F (u) C
F ((x)) C.
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例3 解
求
3x2 x2
1
d
x
.
3x2 x2
1
d
x

3x2 x
3 2 1
3
d
x

3
dx3
1 1 x2
d
x
3x 3arctan x C .
利用加一项、减一项的方法,也可利用多项式的 除法;该方法普遍适用于有理函数的积分问题.
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第4节. 不定积分的换元法
2
x
2wk.baidu.com
3x x 1

1
d
x


(2
x

5

x
6
) 1
d
x


2x
d
x

5
d
x

6
x
1 1
d
x
x2 5x 6ln | x 1| C . 绝对值
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现在介绍与复合函数求导法则相对应的 积分方法 —— 不定积分换元法.
它是在积分运算过程中进行适当的变量 代换, 将原来的积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分是比较容易积出的.
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（二）
—— 一元微积分学
第二讲 不定积分的计算方法
1
第五、六章 一元函数的积分
本章学习要求： 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积 分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部 分分式法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的 关系. 熟悉牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）. 理解广义积分的概念.能运用牛顿—莱布尼兹公式计算 广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运 用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体 的体积、经济应用问题等。
2
第三节 不定积分的性质计算法
利用性质（基本公式）计算不定积分：
直接计算法． 例. 求
有直接的积分公式吗 !？
有直 x接 d的x 积 分11公x式1吗 C!？有
解: 原式 =
x

4 3
dx


x
341

4 3

1
C
3x13 C
3
例1
求 (2x3 1)3 d x . 有初直等接数的学积中分的公展式开吗式!？
ex
d
x

dx
1
ex ex
d
x
x ln(1 ex ) C .
dex
1 ex

d (ex 1) 1 ex
利用加一项、减一项的方法.
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例5 求 x x2 3 dx .
解 x x2 3 dx x2 3 xdx x2 3 1 dx2 2
x的函数, y 7 25 . 又固定成本为1000元
x
求成本函数.
y 7
25
.
解: 因为
x 所以y是它的原函数,即:
y

(7
25 ) d x x

7dx
-1
25x 2dx

7x
50
x c.
又固定成本为1000元,即x=0 (不生产)时,y=1000
所以 c=1000,故本函数为: y 7x 50 x 1000 .
解
(2x3 1)3 d x (8x6 12x4 6x2 1) d x
8 x6 d x 12 x4 d x 6 x2 d x d x
积分的线性性质
8 x7 12 x5 2x3 x C . 75
直接的积分公式
4
已知生产的成本y的变化率(边际成本)是产量 例2
利用积分性质和简单的积分表可以求出 不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭 这些方法是不能完全解决的.
比如下面的例子: 单利用上节的方法就有 点问题了.
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引入例: 例1
求

2
x
2
3x x 1

1
d
x
.
解
2x2 3x 1 2x 5 6
(多项式的 除法)
x 1
x 1

x 2x
.
令u=2x+1.
解

1
d
x 2x


1
1 2x
1 2
d(2x
1)

1 2

1 u
d
u
1 ln u C 1 ln(2x 1) C .
2
2
利用令u=2x+1.换元后问题得简化
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例4 解
求

1
d
x e
x
.
?
d x 1 ex

1
ex 1
ex
证明过程 请看书!
该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
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2.换元积分的效率:
再利用积分的
指数为100时如线何性? 性质计算
例1 求 (2x 1)3 d x .
展开式
解 法1: (2x 1)3 d x (8x3 12x2 6x 1)d x
= ……
法2 :

(2x
1)3
d
x


(2x
1)3
1 2
d(2x
1)
1 u3 d u 1 u4 C 对微分进行拼凑
2
8
令u=2x+1
1 (2x 1)4 C
8
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3. 一般应用例子:
例2
求

dx 1 x
.
令u=x+1.
解

dx 1 x


1 1
x
d(x
1)


1 u
du
ln u C ln(1 x) C .