不定积分的计算
举例说明不定积分计算的一些常用方法
举例说明不定积分计算的一些常用方法不定积分是微积分中一个重要的概念，常常用于计算函数的原函数。
在计算不定积分时，常用的方法包括分部积分法、换元积分法、三角恒等变换等。
1.分部积分法：分部积分法是求解积分时最常用的方法之一，适用于两个函数相乘的形式。
其基本思想是将原函数拆分成两个函数的乘积，然后利用分部积分公式进行求解。
具体步骤如下：设$f(x)$和$g(x)$是两个具有连续导数的函数，则有$\intf(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)dx$。
例如，我们要计算$\int x \sin(x)dx$，可以令$f(x) = x$和$g'(x)=\sin(x)$。
然后再根据公式，计算出$f'(x)$和$g(x)$，最后代入公式进行计算即可。
2.换元积分法：换元积分法也是常用的一种方法，适用于使用一个变量替换另一个变量的情况。
通过设定适当的变量替换，可以将原函数转换成更容易处理的形式。
具体步骤如下：设$x=g(t)$，则$dx=g'(t)dt$，将上述两式代入不定积分，则有$\int f(g(t))g'(t)dt$，然后对$t$进行求解。
例如，我们要计算$\int xe^x dx$，可以令$u = x$和$dv = e^xdx$，则$du = dx$和$v = \int e^xdx = e^x$。
然后套用换元积分公式$\int udv = uv - \int v du$，我们可以得到$\int xe^x dx = xe^x - \inte^xdx = xe^x - e^x + C$，其中$C$为常数。
3.三角恒等变换：三角恒等变换适用于含有三角函数的积分，通过将三角函数转换成三角恒等式的形式，可以简化计算过程。
常用的三角恒等式有正弦、余弦、正切、余切等。
例如，我们要计算$\int \sin^2x dx$，可以利用三角恒等式$\sin^2x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$，将原函数转换成更容易进行积分的形式。
不定积分的计算
5 u 4 du u 5 c sin 5 2 x c. 引出凑公式法: Th 若 f ( x) dx F ( x) c,
u sin 2 x
(x )
连续可导,
则
f [ (t)] ( t) dt F [ (t )] c.
该定理可叙述为： 若函数 g (t ) 能分解为 g ( t ) f [ ( t )] (t ) 则有
们就可以用分部积分把不容易积分的 例4 若令
u (x )v (x )dx
计算出来
u x , v cos x v sin x ， 代入分部积分公式
x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
但若令 u cos x , v x v x 2 / 2 ， 代入分部积分公式 x2 1 x cos xdx cos x x 2 sin xdx 2 2 比原积分还复杂
x ln xdx
u ln x , v x v x 2 / 2
相比之下显然， x 容易积分，所以取
x2 1 x2 x2 x2 x ln xdx 2 ln x x 2 dx 2 ln x 4 C
由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意的，那 个作 u , 那个作 v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计 算不出来。 分析分不积分公式，我们可总结出下面一个原则： 一般应把 （相比之下） 容易积分， 积分后比较简单的函数作为 v ， 积分较难或积分后比较复杂的函数作为 u 例 4
2 arctgtdarctgt ( arctgt ) 2 c ( arctg x ) 2 c . 其他凑法举例: 例 18 e x e x d (e x e x ) dx x ln( e x e x ) c . e x e x e ex ln x 1 d ( x ln x ) (x ln x ) 2 dx (x ln x )2
不定积分的计算
例
dx cos xdx d sin x sec xdx 2 cos x cos x 1 sin 2 x
1 1 1 ( )d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 cos x
x
；
(a 0)
f (e )e dx
x x
f (e
)de
x
；
dx f (ln x) f (ln x)d ln x ； x
f (cos x) sin xdx f (cos x)d cos x
；
凑微分公式
f (sin x) cos xdx
f (sin x)d sin x
3.积分
F (u ) C
F ( ( x)) C.
4.u ( x)
认真 体会
回代
凑微分公式
通过实践，可以归纳出如下一般凑微分形式：
1 f ( ax b)dx a
f (ax b) xdx
2
f (ax b)d (ax b)
1 2a
(a 0) ；
f ( ax 2 b)d ( ax 2 b)
uv (uv) uv.
作不定积分运算, 即得
(uv) uv uv, or
uvdx uv vudx,
or
将被积函数u转换为v
udv uv vdu,
称之为 分部积分公式.
注1. 不能直接求
uvdx
改写 转化
求
不定积分计算的各种方法
不定积分计算的各种方法不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。
计算不定积分的方法有很多种，下面将介绍其中常用的几种方法。
1.替换法（换元法）：替换法是求不定积分最常用的方法之一、通过引入一个新的变量代替原函数中的一部分，使得被积函数被替换为新变量的导数形式。
然后将积分转化为新变量的积分，最后再将结果换回原变量。
替换法适用于当被积函数具有其中一种特殊形式时，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
2.分部积分法：分部积分法是求不定积分的另一种常用方法。
它通过将被积函数拆分成两个函数的乘积形式，然后将积分转化为其中一个函数的积分和另一个函数的导数的积分。
这个方法适用于当被积函数是两个函数的乘积形式时。
3.微分方程法：微分方程法适用于求解一些具有特殊形式的微分方程的原函数。
通过将微分方程转化为不定积分形式，并通过求解该不定积分得到原函数。
4.图像法：图像法适用于当被积函数的几何意义或图像特点已知时。
通过观察被积函数的几何性质，可以直接得出不定积分的结果。
5.线性代数法：线性代数法是一种较为复杂的计算不定积分的方法，适用于一些特殊的被积函数形式。
它通过将被积函数视为多项式的线性组合形式，并利用线性代数中的方法求解。
6.对称性法：对称性法适用于具有对称性质的被积函数。
通过利用函数的对称性质，可以将不定积分简化为更容易处理的形式。
7.勾股定理法：勾股定理法适用于当被积函数具有勾股定理形式时。
通过利用勾股定理，可以将不定积分转化为勾股定理的逆定理的形式，然后求解。
8.换项法：换项法适用于当被积函数的形式与换项公式相似时。
通过将被积函数拆分成一个或多个项的和的形式，然后通过换项公式对其中的其中一项进行换项，从而简化积分计算。
综上所述，计算不定积分时常用的方法有替换法、分部积分法、微分方程法、图像法、线性代数法、对称性法、勾股定理法和换项法等。
在实际计算中，可以根据被积函数的特点选择相应的方法，以简化计算过程并求得准确的结果。
不定积分公式
不定积分公式不定积分是微积分中的重要概念，用于求函数的原函数。
求不定积分的过程称为积分计算或积分求解。
在积分计算中，不定积分公式是一种关键工具，它们可以帮助我们简化和加速积分的过程。
下面将介绍一些常用的不定积分公式。
1. 一次幂函数的积分当函数为幂函数时，我们可以使用下列公式来求不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数，n≠-1。
2. 反比例函数的积分反比例函数的积分可以使用以下公式来计算：∫(1/x) dx = ln|x| + C，其中C为常数。
3. 导数是经典函数的积分对于一些经典函数的导数，我们可以通过回推原函数的求导法则来进行积分，即导数与原函数相互逆运算。
例如：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数。
∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数。
∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数。
4. 三角函数的积分三角函数的积分可以使用以下公式来计算：∫sec^2(x) dx = tan(x) + C，其中C为常数。
∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C，其中C为常数。
∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C，其中C为常数。
∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C，其中C为常数。
5. 对数函数的积分对数函数的积分可以使用以下公式来计算：∫1/x dx = ln|x| + C，其中C为常数。
∫ln(x) dx = xln|x| - x + C，其中C为常数。
6. 指数函数的积分指数函数的积分可以使用以下公式来计算：∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C，其中C为常数。
7. 根式函数的积分根式函数的积分可以使用换元法或者变换成有理函数的形式来求解。
8. 有理函数的积分有理函数（即多项式与根式函数的组合）的积分可以使用分部积分法、有理函数的分解式或者部分分式分解法来求解。
不定积分的基本运算法则
不定积分是在积分学中使用的一种概念。
它是一种用来求解不定积分的方法，通常用于计算函数的积分。
下面是不定积分的基本运算法则：
1. 不定积分的线性性：如果f(x) 和g(x) 是可积函数，则有：
∫(af(x) + bg(x)) dx = a ∫f(x) dx + b ∫g(x) dx
其中a 和b 是常数。
2. 不定积分的交换律：如果f(x) 和g(x) 是可积函数，则有：
∫f(x)g(x) dx = ∫g(x)f(x) dx
3. 不定积分的分配律：如果f(x) 和g(x) 是可积函数，则有：
∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
4. 不定积分的封闭性：如果f(x) 是可积函数，则有：
∫f(x) dx + C = F(x) + C
其中C 是常数，F(x) 是f(x) 的原函数。
希望这些信息能帮到你！如果你有更多关于不定积分的问题，欢迎提问。
不定积分的计算方法I
不定积分的计算方法I不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数的原函数过程中的一个步骤。
不定积分也叫作反导函数，即给定一个函数f(x)，求它的原函数F(x)。
在数学中，原函数与给定函数的导函数相等。
不定积分的计算方法有很多，下面我将介绍几种常见的计算方法。
1.基本积分法：基本积分法是一种基于已知函数的简单积分表格，通过查表得到积分结果的方法。
对于一些常见的函数，我们可以通过查找积分表格来得到它们的积分结果。
例如常见的幂函数、指数函数、三角函数等。
当然，这些函数在求导的时候也是通过已知的导函数公式求得的。
2.分部积分法：分部积分法是一种适用于乘积函数的积分法则。
给定两个函数u(x)和v(x)，我们可以通过分部积分法计算积分∫u(x)v(x)dx。
分部积分法的公式表达为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
通过选择适当的u(x)和v'(x)，我们可以将这个积分化简为更容易求解的形式。
3.代换法：代换法也叫变量代换法，是一种通过变量代换来改变积分变量从而简化积分运算的方法。
对于一些复杂的函数积分，我们可以通过合理地选择变量代换来将积分变为更简单的形式。
例如，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx 的积分，我们可以选择u=g(x)来进行变量代换，从而将积分转化为∫f(u)du的形式。
4.部分分式分解法：部分分式分解法是一种将一个有理函数拆解为若干简单的分式相加的方法，从而简化积分运算的方法。
对于一些有理函数，我们可以通过部分分式分解将其分解为一系列分式相加的形式，再对每一项分式进行不定积分。
5.定积分的性质：在计算不定积分时，我们也可以利用定积分的性质来进行简化。
例如，如果需要计算∫(f(x)+g(x))dx，我们可以先计算∫f(x)dx和∫g(x)dx，然后将两个结果相加。
类似地，对于∫f(x)g'(x)dx，我们可以利用定积分的性质将其转化为∫f(x)dg(x)dx。
不定积分的计算
一、凑微分法 二、换元积分法 三、分部积分法 四、有理函数积分法 五、其它类型的积分举例
一、 凑微分法
e2 x e2 x e dx 2 2dx 2 d(2 x) (令 u 2 x)
2x
将上述步骤写为一般形式：
f ( x) ( x) dx f ( x) d ( x)
sec xdx
d sin x cos x dx 2 1 sin 2 x cos x
sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
解法2
1 e x 1 e x dx
ln(1 e x ) C
例6. 求 解:
a x
x d (a) x 1 (a)2
解:
tan x dx cos x dx
ln cos x C
sin x
dcos x cos x
dx . x a2
2
1 1 1 1 ( x a) ( x a) 1 ( ) 2 2a x a x a 2a ( x a )( x a ) x a
例7. 求
x (1 2 ln x) .
dx
例9. 求 sec 6 xdx . 解: 原式 =
f (sin x)cos xdx f (sin x) dsin x f (cos x)sin xdx f (cos x) dcos x
华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2)
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x 1 ln 1 2 ln x C 2
则
1 du ln | u | C ln | x 1| C u
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u3 u 2 du C 3
cos 2 xd cos x d cos x
1 cos3 x cos x C. 3
1 例8 求 e x e x dx.
1 e 解 x x dx 2 x dx e e e 1
x
de x e x dx
d sin x cos xdx
sin x (1 sin x ) d (sin x )
2 2 2
(sin x 2 sin x sin x )d (sin x ) 1 3 2 5 1 7 sin x sin x sin x C . 3 5 7
2 4 6
sin 2 x cos xdx. 例5 求
d sin x cos xdx
2
解
sin
2
x cos xdx
sin x
d sin x
u3 u 2 du C 3
1 3 sin x C. 3
一般地, 有
sin x f (cos x)dx f (cos x)d cos x;
2 t ln 1 t C.
2
x ln 1 x C.
例2 求
1 dx . x 1 e
解 令 t 1 e x 则 ex t 2 1, x ln t 2 1 ,
2t dx 2 dt , t 1 1 1 2 1 1 e x dx t 2 1dt t 1 t 1 dt
则
f ( x)dx F x +C ,
1
若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。
1 dx. 例1 求 1 x
解 令 t x, 则
x t , dx 2tdt ,
2
于是
1 2t t 1 1 1 x dx 1 t dt 2 t 1 dt 1 2 dx dt t 1
1 ln ln x C. 2
一般地, 有
1 u du ln u C
1 x f (ln x)dx f (ln x)d ln x.
第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过 如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可 循．这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需 要熟记一些函数的微分公式，例如
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
一、第一换元积分法
问题
cos 2xdx
解决方法 利用复合函数求导的逆运算，设置 中间变量.
1 过程 令 t 2 x dx dt , 2 1 1 1 cos 2 xdx 2 cos tdt 2 sin t C 2 sin 2 x C .
cosx f (sin x)dx f (sin x)d sin x.
例6 求 sin 2 x cos 5 xdx . 解
sin x cos xdx sin 2 x cos 4 x cos xdx
2 5
sin x cos xd (sin x )
2 4
ln sec x tan x C
类似可得
csc xdx ln csc x cot x C
小结 积分常用技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项等;
1 sin 2 x cos 2 x 等
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
cos2 x 1 (1 cos 2 x) ; 2
1 1 1 [ d ( x a) d ( x a)] 2a x a xa
1 (ln x a ln x a ) C 2a
1 xa ln C. 2a x a
例15 求
2
sin 2 xdx.
1 cos 2 x 解 sin xdx dx 2 1 ( dx cos 2 xdx) 2 1 1 dx cos 2 xdx 2 2 1 1 dx cos 2 xd (2 x) 2 4 1 1 x sin 2 x C. 2 4
1 [ sin 2 x C ] cos 2 x 2
说明结果正确
对于形如
f ( ( x)) ( x)dx 的积分，设 u x ,
则
如果 f u 及 ( x) 连续，且
f (u )du F u +C , f ( ( x)) ( x)dx F ( x) C
1 1 1 1 1 2 x 1 dx 2 2 x 1 2dx 2 2 x 1 d (2 x 1)
1 dx. 例1 求 2x 1
想到公式
1 1 du 2 u 1 ln | u | C 2 1 ln | 2 x 1| C. 2
注意换回原变量
1 xdx d ( x 2 ), 2 1 dx 2d x , x
1 dx d ln x, x
1 1 dx d ( ), x x2
sin xdx d cos x, e x dx de x ,
等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中 拼凑出合适的微分因子．
1 dx. 例10 求 2 2 a x
1 sin xdx. x
d x
1 2 x
dx
解
1 1 dx sin xdx 2 sin x 2 x x
2 sin xd x
2cos x C.
一般地, 有
1 f ( x )dx 2 f ( x )d x . x
例4 求 tan xdx.
d cos x sin xdx
sin x 1 解 tan xdx dx sin x dx, cosx cos x 1 d cos x, 1 cos x du ln u C u
ln cos x C.
类似
cot xdx ?
cos x d sin x dx ln sin x C cot xdx sin x sin x
说明:当被积函数是三角函数(如正弦函数和余 弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分.
例7 求
解
sin 3 xdx.
sin 3 xdx sin 2 x sin xdx
sin 2 xd cos x
d cos x sin xdx
(cos 2 x 1)d cos x
1 dx . 3 x (1 x )
解 令 x t 6 dx 6t 5dt ,
2 1 6t 5 6t dx 3 dt dt x (1 3 x ) 2 2 t (1 t ) 1 t 2 1 t 11 dt 6[t arctan t ] C 6 dt 6 1 2 1 t 1 t2
1 d ln x dx x
dx 1 解 d (ln x) 1 2 ln x x(1 ln x)
1 u du ln u C
1 1 d (2 ln x 1) 2 1 2 ln x
1 ln 1 2 ln x C. 2
例13 求
3x 2 1 x3 dx.
dx
(a 0).
1
2
1 u arcsin u C
du
1 1 dx dx a x 2 a2 x2 1 ( ) a1Leabharlann x 1 d dx a a
1 x 2 1 ( ) a
x d( ) a
x arcsin C. a
dx . 例12 求 x(1 2 ln x)
3
解
1 2
3x
2
1 x dx (1 x ) 3x dx
2
3 2
1 3 2
2 u du 3 u C
(1 x ) dx3
(1 x ) d 1 x3
3 2 (1 x3 ) 2 C. 3
1 3 2
1 3 2
dx . 例14 求 2 2 x a dx dx 1 1 1 解 2 ( )dx 2 x a ( x a)( x a) 2a x a x a 1 1 1 ( dx dx) 2a x a xa
如何应用上述公式来求不定积分? 假设要求 g ( x)dx , 则使用此公式的关键在于将
g ( x)dx
化为
f [ ( x)] ( x)dx
的形式，所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.
du u ln u C 解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 则
t 1 ln t 1 ln t 1 C ln C t 1 x 1 e 1 x ln C 2 ln 1 e 1 x C . x 1 e 1
说明 当被积函数含有两种或两种以上的 n k l 根式 x ,, x 时，可采用令 x t （其中 n为各根指数的最小公倍数） 例3 求
该积分法可由下面的逆运算证明
F ( ( x)) C F ( x) ( x) f ( ( x)) ( x)
这种积分方法也叫做“凑微分法”。
定理1 设 f (u)具有原函数 F (u), u = (x) 连续 可导, 则有换元公式
f ( ( x)) ( x)dx f (u )du F ( ( x)) C.
这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进
一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练