讲不定积分与定积分的各种计算方法
定积分和不定积分的计算方法总结
定积分和不定积分的计算方法总结一、不定积分的定义和基本性质不定积分是函数积分的一种形式，表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。
1.不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。
因此，∫f(x)dx = F(x) + C。
2.基本性质(1) 常数因子法则：若c是常数，则有∫cf(x)dx = c∫f(x)dx。
(2) 线性法则：若f(x)和g(x)都有原函数，则有∫(f(x) ±g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
(3) 逐项积分法则：若f(x)的原函数为F(x)，g(x)的原函数为G(x)，则有∫(f(x) ± g(x))dx = F(x) ± G(x)。
(4) 分部积分法则：若f(x)和g(x)都具有原函数，则有∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫(F(x)g'(x))dx，其中F(x)为f(x)的一个原函数，g'(x)为g(x)的导数。
二、定积分的定义和计算方法定积分是计算函数在一个有限区间上的面积的数值，表示为∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间。
1.定积分的定义设f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]分为n个小区间，长度为Δx，选择每个小区间上一点ξi，记为Δx = (b-a)/n，ξi = a + iΔx (i = 0,1,2,...,n)。
定义Riemann和为S(f, Δx, ξ) = Σf(ξi)Δx =f(ξ1)Δx + f(ξ2)Δx + ... + f(ξn)Δx。
当n趋于无穷大时，Riemann和的极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为∫[a,b]f(x)dx。
2.计算方法(1)几何意义：定积分表示函数f(x)在区间[a,b]上曲线与x轴之间的面积。
不定积分计算的各种方法
不定积分计算的各种方法不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。
计算不定积分的方法有很多种，下面将介绍其中常用的几种方法。
1.替换法（换元法）：替换法是求不定积分最常用的方法之一、通过引入一个新的变量代替原函数中的一部分，使得被积函数被替换为新变量的导数形式。
然后将积分转化为新变量的积分，最后再将结果换回原变量。
替换法适用于当被积函数具有其中一种特殊形式时，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
2.分部积分法：分部积分法是求不定积分的另一种常用方法。
它通过将被积函数拆分成两个函数的乘积形式，然后将积分转化为其中一个函数的积分和另一个函数的导数的积分。
这个方法适用于当被积函数是两个函数的乘积形式时。
3.微分方程法：微分方程法适用于求解一些具有特殊形式的微分方程的原函数。
通过将微分方程转化为不定积分形式，并通过求解该不定积分得到原函数。
4.图像法：图像法适用于当被积函数的几何意义或图像特点已知时。
通过观察被积函数的几何性质，可以直接得出不定积分的结果。
5.线性代数法：线性代数法是一种较为复杂的计算不定积分的方法，适用于一些特殊的被积函数形式。
它通过将被积函数视为多项式的线性组合形式，并利用线性代数中的方法求解。
6.对称性法：对称性法适用于具有对称性质的被积函数。
通过利用函数的对称性质，可以将不定积分简化为更容易处理的形式。
7.勾股定理法：勾股定理法适用于当被积函数具有勾股定理形式时。
通过利用勾股定理，可以将不定积分转化为勾股定理的逆定理的形式，然后求解。
8.换项法：换项法适用于当被积函数的形式与换项公式相似时。
通过将被积函数拆分成一个或多个项的和的形式，然后通过换项公式对其中的其中一项进行换项，从而简化积分计算。
综上所述，计算不定积分时常用的方法有替换法、分部积分法、微分方程法、图像法、线性代数法、对称性法、勾股定理法和换项法等。
在实际计算中，可以根据被积函数的特点选择相应的方法，以简化计算过程并求得准确的结果。
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式
不定积分是求导的反向运算，是解决微积分问题的重要方法之一，而四则运算则是数学中最基本的运算方法之一。
在进行不定积分的过程中，我们也需要运用四则运算的相关公式，以便更加高效地解决问题。
下面是不定积分的四则运算公式：
1. 常数倍法则：∫ k*f(x) dx = k*∫ f(x) dx （k为常数）
2. 和差法则：∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx；
∫ [f(x) - g(x)] dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx
3. 积法公式：∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ g(x)f'(x) dx
4. 倒代换公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du （其中 u = g(x)）
通过掌握这些不定积分的四则运算公式，我们可以更加轻松地进行不定积分的计算，提高我们的数学解题能力。
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常用积分公式
常用积分公式本文将介绍一些常用的积分公式，包括基本积分公式、换元积分公式、分部积分公式等。
通过掌握这些公式，能够更加方便地求解各类积分问题。
1. 基本积分公式1.1 定积分公式定积分公式是基本积分公式中的一种，用于求解在一定区间上的函数积分。
定积分公式如下：$$\\int_{a}^{b} f(x)dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$其中，f(f)是要积分的函数，f(f)是f(f)的一个原函数，f和f是积分的区间。
1.2 不定积分公式不定积分公式是基本积分公式中的另一种，用于求解函数的原函数。
不定积分公式如下：$$\\int f(x)dx = F(x) + C$$其中，f(f)是要积分的函数，f(f)是f(f)的一个原函数，f是常数。
2. 换元积分公式换元积分公式是求解复杂函数积分的重要方法，通过引入一个新的变量进行替换，将原积分转化为一个更容易求解的形式。
2.1 第一换元法第一换元法也称为u-置换法，假设有函数f=f(f)，需要对其进行积分。
首先选取一个变量f=f(f)，使得$\\frac{du}{dx}=g'(x)$。
则积分公式变为：$$\\int f(x)dx = \\int f(g(x))g'(x)dx = \\int ydu$$其中，$\\int ydu$是对新变量f进行积分。
2.2 第二换元法第二换元法也称为t-置换法，假设有函数f=f(f)，需要对其进行积分。
首先选取一个变量f=f(f)，使得$\\frac{dt}{dy}=h'(y)$。
则积分公式变为：$$\\int f(x)dx = \\int f(x)h'(f(x))dx = \\int h(t)dt$$其中，$\\int h(t)dt$是对新变量f进行积分。
3. 分部积分公式分部积分公式是求解两个函数乘积的积分的方法之一。
根据分部积分公式，可以将一个复杂的积分转化为一个更简单的积分形式。
不定积分与定积分的计算方法
不定积分与定积分的计算方法在数学中，积分是求解函数定积分和不定积分的一种重要方法。
不定积分和定积分之间有着不同的计算方法和应用场景。
本文将介绍不定积分和定积分的计算方法及其应用。
一、不定积分的计算方法不定积分，又称为原函数，是求解函数的反导函数。
不定积分记作∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示对x的积分。
不定积分的计算方法主要有以下几种：1. 常数项法则：如果f(x)是常函数，即f(x) = C，那么∫f(x)dx = Cx + k，其中k为常数。
2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n≠-1，那么∫f(x)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + k。
3. 三角函数法则：对于三角函数f(x) = sin x、cos x、tan x等，以及其倒数，可以利用基本积分公式进行计算。
4. 代换法则：当被积函数比较复杂时，可以通过代换变量来简化计算过程。
常用的代换包括三角代换、指数代换、倒数代换等。
二、定积分的计算方法定积分是对给定区间上的函数进行积分，可以得到一个数值结果。
定积分记作∫[a,b]f(x)dx，表示在区间[a,b]上对函数f(x)进行积分。
定积分的计算方法主要有以下几种：1. 几何意义法：定积分可以表示函数f(x)与x轴之间的有向面积，利用几何图形的面积计算方法来求解定积分。
2. 分割求和法：将积分区间[a,b]分成若干个小区间，通过求和来逼近定积分的值。
常用的分割求和方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
利用牛顿-莱布尼兹公式，可以通过求解原函数来计算定积分。
三、不定积分与定积分的应用不定积分和定积分在数学和各个应用领域都有广泛的应用。
1. 几何应用：定积分被广泛用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线长度、曲线的旋转体体积等几何问题。
2. 物理学应用：定积分在物理学中有着重要的应用，例如计算质点的位移、速度、加速度等问题。
不定积分与定积分的概念
不定积分与定积分的概念在微积分学中，不定积分和定积分是两个重要的概念。
它们分别代表了对函数的积分运算，但在运算方法、符号表示和应用场景上有所不同。
一、不定积分的概念不定积分，又称原函数或者积分函数，是对函数的反导数运算。
对于函数f(x)，如果它的导数为F(x)，即f'(x)=F(x)，那么F(x)就是f(x)的不定积分。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示对x的积分。
换句话说，不定积分就是求导运算的逆运算。
在这个过程中，我们可以得到一个函数的无数个原函数，因为对于任意常数C，F(x)+C也是f(x)的不定积分。
不定积分也可以理解为曲线与坐标轴围成的面积函数。
例如，函数f(x)=x^2，它的不定积分为F(x)=1/3x^3+C，其中C为常数。
通过不定积分，我们可以解决一些函数的原函数问题，同时也可以计算函数的面积、曲线长度、物理学中的质量、重心等问题。
不定积分在微积分学中占据重要地位，是很多进一步积分运算的基础。
二、定积分的概念定积分是对函数在一个闭区间上的积分运算。
与不定积分不同，定积分的结果是一个具体的数值。
定积分的符号表示为∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为被积函数，[a,b]表示积分的区间范围。
定积分可以理解为曲线下的面积，也可以看作是函数在一段区间上的平均值与区间长度的乘积。
通过将区间细分成无限小的小矩形，并将这些矩形的面积相加，我们可以得到定积分。
定积分在各个学科中有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以使用定积分来计算物体的质量、压力、功率等。
在统计学中，定积分可以用来计算概率密度函数下的概率值。
在经济学中，定积分可以用来计算收益和成本之间的差异。
三、不定积分与定积分的关系在不定积分和定积分之间有着紧密的联系。
根据牛顿-莱布尼茨公式，不定积分和定积分是互逆运算。
具体地说，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它就存在定积分∫[a,b]f(x)dx。
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式1.加法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的和函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx + C2.减法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的差函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) - g(x)]dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx + C3.乘法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的乘积函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) * g(x)]dx ≠ ∫f(x)dx * ∫g(x)dx乘法的不定积分不能直接用乘法法则，而是需要通过换元法、分部积分等方法来计算。
4.除法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，且g(x)不等于0，则它们的商函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) / g(x)]dx ≠ ∫f(x)dx / ∫g(x)dx除法的不定积分也不能直接用除法法则，而是需要通过换元法、分部积分等方法来计算。
此外，还有一些辅助的运算公式可以用于简化不定积分的计算：5.常数倍公式：如果k为常数，则有：∫k * f(x)dx = k * ∫f(x)dx + C6.积分换元公式：设y=g(x)是函数g的一个可导函数，而f是g的一个原函数，则有：∫f(g(x)) * g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F表示函数f的一个原函数。
7.分部积分公式：设函数u(x)和v(x)在区间上连续且可导，则有如下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx + C以上是不定积分的四则运算公式及其辅助公式。
在实际计算中，根据具体的函数表达式，可以灵活运用这些公式来简化不定积分的计算。
总结不定积分的运算方法
总结不定积分的运算方法一、定义法，适合简单的分式和有理函数。
定义不定积分时，必须先确定正、负号。
只有在讨论的结果可以用分数表示时，才能使用这种方法。
1)将分式化为整式的积形式。
2)用分式表示出各项的符号。
3)按照一定规则去掉分母。
二、分部分计算法（适合较复杂的分式或多项式） 1)分子分母同乘各自的最简公分母。
2)对分子进行因式分解。
3)如果分子中含有多项式，则应先分离出各项的系数，然后再根据约分去分母。
三、直接开平方法（适合极限） 1)利用无穷小替换计算。
2)对于包含有因式的积的分式，首先将分母因式分解，然后在计算因式中未知的积的近似值。
四、取极限法2。
二元函数极限运算法：二元函数的极限是指二元函数的变化率减去两个常量的乘积。
这种方法主要用于计算极限的一些特殊情况。
这里讲一些基本的极限运算法。
一元函数极限运算法：一元函数极限运算法主要用于处理多元函数的极限问题。
下面给出几个例子： 1）求图形的面积。
（ a)取图形上方的边的长度作为下底，画一条高。
b)连接be，即为所求。
c)由b点向左平移2个单位长度，得到的结果与d相同。
2）求图形的周长。
（ a)直接用积分表示周长。
（ b）证明“封闭图形的周长等于它的内接正方形的边长”。
（ c）由于图形是轴对称图形，根据轴对称图形的性质，利用一个中心，任意折叠都能得到原图形，从而得到其周长。
（ d）以a、 b两点为圆心， a、 b之间的距离为半径作圆，可得到图形的周长。
4)二元函数的极限：二元函数的极限就是把二元函数表示成由两个有限的变量x、 y构成的方程，这两个变量分别称为变量x的绝对值和变量y的绝对值。
也就是说，当两个有限变量x、 y确定后，它们所代表的二元函数的极限也就确定了。
3)求多边形的周长。
（ a）任意折叠即得。
（ b）分割为8等份，相加得到。
（ c）取对角线，可得到周长。
（ d）可求面积。
3))最终化简求解法。
第一步：不要把分式中的不定积分写成分母不是有理式，也不要忘记分母里的正、负号；第二步：对每一项分别求出积分，并把各项的符号记住；第三步：写出不定积分的结果，注意要化简为最简分式。
专题10：计算不定积分和定积分的方法和技巧
专题10 计算不定积分和定积分的方法和技巧(一) 不定积分(1) 三种主要的积分法 1）第一类换元法（凑微分法）若C u F u u f +=∫)(d )(，且)(x ϕ可导，则C x F x d x f x x x f +==′∫∫))(()())((d )())((ϕϕϕϕϕ2）第二类换元法设函数)(t x ϕ=可导，且,0)(≠′t ϕ又设C t F dt t t f +=′∫)()())((ϕϕ则C x F dt t t f dx x f +=′=−∫∫))(()()(()(1ϕϕϕ三种常用的变量代换(1) 被积函数中含有22x a −时，令,sin t a x =或;cos t a x = (2) 被积函数中含有22x a +时，令t a x tan =； （3）被积函数中含有22a x −时，令t a x sec =；3）分部积分法设)(),(x v x u 有连续一阶导数，则∫∫−=vdu uv udv【注】(1) 分部积分法常用于被积函数为两类不同函数相乘的不定积分;(2)分部积分法选择)(),(x v x u 的原则是∫vdu 比∫udv 好积， 设)(x p n 是n 次多项式，则形如∫∫∫xdxx x x x x e x nnxn αααcos )(p ,d sin )(p ,d )(p 的积分都是先把多项式以外的函数凑进微分号，然后分部积分； 形如∫∫∫xdxx x x x x x x nnnarcsin )(p ,d arctan )(p ,d ln )(p 的积分都是先把多项式函数凑进微分号，然后分部积分；形如∫∫xdx e x x e x x ββααcos ,d sin 的积分可连续两次将指数函数凑进微分号分部积分还原,求得原不定积分.(2) 三类常见函数的积分1）有理函数积分 ∫x x R d )(（1）一般方法（部分分式法）（2）特殊方法（加项减项拆或凑微分绛幂）； 2) 三角有理式积分 ∫x x x R d )cos ,(sin （1）一般方法（万能代换） 令t x=2tandt t t t t t R x x x R 222212)11,12(d )cos ,(sin ++−+=∫∫ （2）特殊方法 （三角变形，换元，分部） 几种常用的换元法i)若),cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R −=− 则 令;cos x u = ii)若),cos ,(sin )cos ,(sin x x R x x R −=− 则 令;sin x u =iii)若),cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R =−− 则 令.tan x u =3) 简单无理函数积分 x dcx bax x R nd ),(∫++令 t dcx bax n=++,将其化为有理函数积分进行计算.【例1】=+∫dx x x x )1(arctan . ( C x +2)(arctan )【例2】._________2sin tan ln =∫dx x x【解】dx x x xdx x x ∫∫=cos sin 2tan ln 2sin tan ln∫∫==x xd x d x x tan ln tan ln 21tan tan 2tan lnC x +=2)tan (ln 41【例3】(2018年3) ._________1arcsin 2=−∫dx e e xx 【解】xx xx de e dx e e ∫∫−=−221arcsin 1arcsin∫−−−−−=2222)1(111arcsin xx x xx e e d e ee∫−−−=x x x e d e e 2211arcsinC e e e x x x +−−−=2211arcsin【例4】(2018年1,2)求不定积分dx e e xx 1arctan 2−∫【解】xx xx de e dx e e 221arctan 211arctan ∫∫−=− ∫−−−=dx e e e e x x xx 1411arctan 2122x x x x x de e e dx e e ∫∫−=−112x x x x de e de e ∫∫−+−=111C e e e x x x+−+−−=121)1(32 dx e e x x 1arctan 2−∫C e e e e xx x x +−+−−=1)2(611arctan 212【例5】(2003年2)∫+x x xe xd )1(2/32arctan 【解1】 设t x tan =，则∫∫∫=+==+t t t t t t x x x tt x d sin e d sec )tan 1(tan e d )1(e 22/322/32arctan又tdt e t e et t t t t tt cos sin d sin d sin e ∫∫∫−==∫−=t t tde t e cos sin,d sin e cos sin e ∫−−=t t t e t ttt故.)cos (sin e 21sin e C t t tdt t t+−=∫ 因此 C x xx x x x x x +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+=+∫22arctan 2/32arctan 111e 21d )1(e .12e )1(2arctan C xx x ++−=【解2】 ∫∫∫+−+=+=+x x xx x x x x x x x xx d )1(e 1e de 1d )1(e 2/32arctan 2arctan arctan 22/32arctan ∫+−+=x x x x x arctan 22arctan de 111e,d )1(e 1e 1e 2/32arctan 2arctan 2arctan ∫+−+−+=x x x xx x x xx移项整理，得.12e )1(d )1(e 2arctan 2/32arctan C x x x x x xx ++−=+∫【例6】 dx x x x ∫++)1(323 【解1】令11)1(3223++++=++x Cx B x A x x x由223)1()1(x Cx x B x Ax −=++++得 ⎪⎩⎪⎨⎧==+−=+301B B A C A解得.2,3,3==−=C B Adx x x x dx x x x ∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=++12331)1(3223C x xx x +++−−=1ln 23ln 3 【解2】【例7】dx x x x x∫−+−123【解1】由于)1)(1(1223+−=−+−x x x x x ,设111223+++−=−+−x CBx x A x x x x 则 )1)(()1(2−+++≡x C Bx x A x 由此解得 .21,21,21=−==C B A dx x x x dx dx x x x x ∫∫∫+−−−=−+−11211211223C x x x +++−−=arctan 21)1ln(411ln 212【解2】【例8】∫x x dx2cos sin【解】原式∫−=)sin (cos sin 22x x x dx)cos ,(sin )cos ,sin ((x x R x x R −=−∫−−−=)1cos 2)(cos 1(cos 22x x xd du u u u u ∫−−−+−−=)12)(1()12()1(22222∫∫−+−−=112222u duu du C u u u u ++−++−−=11ln 211212ln 21 C x x x x ++−++−−=1cos 1cos ln 211cos 21cos 2ln 21 (二) 定积分定积分的计算常用方法有以下五种 1）牛顿-莱布尼兹公式如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数，则)()(d )(a F b F x x f b a−=∫；2）换元积分法设)(x f 在区间],[b a 上连续，函数)(=t x ϕ满足以下条件： （1）a =)(αϕ,b =)(βϕ；（2）)(t ϕ在],[βα（或],[αβ）上具有连续导数，且其值域],,[b a R =ϕ则.d ))(d )(∫∫)(′(=βαϕϕt t t f x x f b a3）分部积分法设函数)(x u 和)(x v 在],[b a 上有连续一阶导数，则.d d ∫∫−=babab au v uv v u4）利用奇偶性和周期性(1) 设)(x f 为],[a a −上的连续函数(0>a )，则⎪⎩⎪⎨⎧=∫∫−.)(,d )(2)(,0d )(0为偶函数时为奇函数时，x f x x f x f x x f aa a(2) 设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则对任给数a ，总有.d )(d )(0∫∫=+TT a ax x f x x f5）利用公式)]1,0[)(d )(sin 2d )(sin (2)奇1,32231偶,221231d cos d sin (1)02020上连续在（其中数的为大于数为正x f x x f x x f x n n n n n n n n n n x x x x πn n ∫∫∫∫=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−−==πππππ【例1】.___________sin ][cos 202222=+∫∫−−xdx dt e x xtππ【解】 2et −偶函数，则∫−x t t 0d e 2奇函数.原式∫=2π022d sin cos 2x x x.8πd sin )sin 1(22π022=−=∫x x x 【例2】（2012年1）∫=−2022dx x x x .【解1】 原式∫−−=202d )1(1x x x∫∫−==+=−2π2π2π0222πd cos 2d cos )sin 1(sin 1t t t t t t x 【解2】 原式∫−−=202d )1(1x x x∫−−+−=202d )1(1]1)1[(x x x ∫=−=2022πd 2x x x （几何意义） 【例3】.__________cos cos 042=−∫dx x x x π【解】 原式∫∫=−=π0042d sin |cos |2πd cos cos 2ππx x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=∫∫ππππ220sin cos sin cos 2xdx x xdx x2π=【例4】（2013年1）计算,)(10dx xx f ∫其中.)1ln()(1dt t t x f x ∫+=【解】dx xx x f x x d x f dx x x f ∫∫∫+−==10101010)1ln(2)(2)(2)(dx x xx x x d x ∫∫+++−=+−=10101014)1ln(4)1ln(4π282ln 4−+−=【例5】计算定积分.cos 1202∫+πxdx【解】∫∫∫+=+=+202202202tan 2tan 4cos 14cos 1πππx x d x dx xdxππ22tan arctan 2420==x【例6】计算定积分∫−+202.dx e e xxx【解】令,2t x −=则,dt dx −=∫−+202dx e e xxx ∫+−=−202.2dt e e t t t ]2[21202202dx e e x dx e e xx xxx ∫∫−−+−++= ∫−+=202x x e e dx∫+=2022ee de xx==2arctan 1eee x 1arctan [arctan 1ee e − 【例7】计算定积分∫++102d 1)1ln(x x x【解】 du uudt t x x x u t t x ]tan 1tan 11ln[)tan 1ln(d 1)1ln(4440tan 102∫∫∫+−+=+=++−==πππdu u∫+=40tan 12lnπ∫+−=40)tan 1ln(2ln 4ππdu u 2ln 8π=【例8】（1995年3）设)(),(x g x f 在)0(],[>−a a a 上连续,)(x g 为偶函数,且)(x f 满足条件A x f x f =−+)()((A 为常数) 1) 证明∫∫−=a aadx x g A dx x g x f 0)()()(2) 利用1) 计算∫−22arctan |sin |ππdx e x x【证】（1）令t x −=，则∫∫−−−=a aa a t t g t f x x g x f d )()(d )()(,d )()(∫−−=a ax x g x f于是 ]d )()(d )()([21d )()(∫∫∫−−−−+=a a aaaa x x g x f x x g x f x x g x f.d )(d )()]()([210∫∫=−+=−a aax x g A x x g x f x f（2）令xx f e arctan )(=，|sin |)(x x g =，2π=a ，则)(x f 、)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡−2,2ππ上连续，)(x g 为偶函数.又因为 0)e arctan e (arctan =′+−x x ，所以 .e arctan e arctan A xx =+−令0=x ，得A =1arctan 2，故2π=A ，即.2)()(π=−+x f x f于是，有.2d sin 2d |sin |2de arctan |sin |202022πππππππ===∫∫∫−x x x x x x x【例9】 设2)1arctan()(−=′x x f ,0)0(=f ,求∫10d )(x x f .【解】∫∫−=110)1()()(x d x f dx x fdx x x x f x 2110)1arctan()1()()1(−−−−=∫dx x x 21)1arctan()1(−−=∫∫=10arctan 21du u （令u x =−2)1(） ∫−=+−=102102ln 418121arctan 21πdu u u u u .【例10】 设)(x f 为非负连续函数，且∫=−x x dt t x f x f 04sin )()(，求)(x f 在2,0[π上的平均值. 【解】 令u t x =−，则∫∫=−x xu u f t t x f 0d )(d )(∫=xx u u f x f 04sin d )()(∫∫∫=2π002π04d sin d ]d )()([xx x x u u f x f∫⋅⋅=xu u f 022π2143)d )((212π ∫=2π02π321d )(x x f则)(x f 在]2,0[π上的平均值为πππ232)(20=∫dxx f 思考题1.求下列不定积分1)dx x x x ∫−−−2152 2)dx x x x ∫++)1(232 3)dx x x x x ∫++−+)1()1(6322 4)∫−422x x dx5)∫++x x dxcos sin 1 6)∫xdx x arcsin7)x xx e x d cos 1)sin 1(∫++ 8)∫.arccos arcsin xdx x2.计算下列定积分 1)dx x x∫−10221 2)dx x x x ∫−62263)∫209sin πxdx x 4)dx e xx∫−+2221sin ππ5)∫20sin ln πxdx6),)(102dx x f x ∫其中.1)(14dt t x f x∫+=7)∫10)(dx x f 其中.sin )(12dt tt x x f x∫= 答案1.求下列不定积分1) C x x +−++2ln 31ln 2 2) C x x x +++−arctan 3)1ln(ln 223) C x x x x ++++−−−−)1ln(131ln 22 4)C x x x +−+−22arctan 41442 5) C x++2tan1ln 6) C x x x x x +−+−22141arcsin 41arcsin 27) C xe x+2tan11 8) C x x x x x x x x ++−−−+2arcsin 1arccos 1arccos arcsin 222.计算下列定积分 1) .16π 2) .8405π 3) .315128π 4) .4π 5) .2ln 2π− 6) .16π 7) )221(181−8) )11(cos 41−。
不定积分与定积分的各种计算方法
不定积分与定积分的各种计算方法一、不定积分的计算方法：1.初等函数不定积分法：基于已知的初等函数的不定积分公式，例如导数的逆运算。
例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数、对数函数等，都存在常用的不定积分公式。
例如，对于函数f(x)=x^n(n≠-1)，不定积分的结果为F(x)=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C为任意常数。
2.换元法：也称为反链式法或u-替换法，通过引入新的变量替换积分变量，以简化积分表达式。
这种方法需要根据被积函数的特点选择适当的替换变量。
例如，对于含有根式的积分，可以通过引入新的变量将积分化为有理函数积分。
3.分部积分法：也称为积化和差减法，将积分运算转换为两个函数的乘积的积分运算，通常用于乘积的积分。
根据乘积法则，可以将积分转化为函数间的和差表达式，从而得到一个更容易求解的积分。
4.特殊函数的不定积分：一些特殊函数的不定积分需要特殊的处理，例如三角函数的不定积分、反三角函数的不定积分等。
这些特殊函数的不定积分可以通过使用特殊的积分公式或者简化技巧进行计算。
5.利用递推关系：在一些情况下，可以通过利用函数的递推关系进行不定积分的计算。
例如，对于多项式函数f(x)=(x-a)^n，可以通过多次使用求导的反向应用从高阶幂递推到低阶幂。
二、定积分的计算方法：1.几何与图形面积法：定积分可以解释为曲线与坐标轴之间的面积或图形的面积。
根据几何图形的特点，可以使用几何图形的面积公式计算定积分的值，例如长方形面积公式、三角形面积公式等。
2.定积分的性质：定积分具有一些重要的性质，例如线性性、区间可加性、区间可减性等。
利用这些性质，可以将复杂的函数表示为若干个简单的函数之和或差，从而进行定积分的计算。
3.换元法：与不定积分类似，定积分也可以通过引入新的变量来简化积分表达式。
需要注意的是，换元法在定积分中还需要考虑积分上下限的转换。
4.分部积分法：与不定积分类似，定积分也可以使用分部积分法进行计算。
专题10计算不定积分和定积分的方法和技巧
专题10计算不定积分和定积分的方法和技巧不定积分和定积分是微积分中非常重要的概念和技巧。
不定积分是指对一个函数进行积分运算得到的一个函数，而定积分是指对一个函数在一个特定区间内的积分结果。
在计算不定积分和定积分时，有一些常见的方法和技巧可以帮助我们更快更准确地得到结果。
1.换元法（变量代换法）：当被积函数中存在复杂的函数关系时，可以通过变量代换将原函数转化为一个更简单的函数，从而求得积分。
常见的变量代换包括正弦、余弦、指数、对数等。
2. 分部积分法：如果被积函数是两个函数的乘积，可以通过应用分部积分公式将积分化简。
分部积分公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v分别表示原函数中的两个因子。
3. 微分运算法：如果被积函数可以表示为一个函数的导数，则可以通过微分运算来求取积分。
例如，对于f'(x)，∫f'(x)dx=f(x)+C，其中C为常数。
4. 常见函数的不定积分公式：对于一些常见的函数，有相应的不定积分公式。
例如，∫x^n dx = （x^(n+1))/(n+1) + C（n≠-1）；∫1/x dx = ln，x，+C。
1.划分区间法：如果被积函数在一个区间内存在不连续点，可以将该区间划分为多个子区间，然后分别计算每个子区间内的积分，最后将结果求和得到整个区间的积分。
2.奇偶性法：如果被积函数在一个区间上具有奇偶性，可以根据奇偶性简化积分运算。
偶函数在对称区间上的积分等于对称区间的一半，奇函数在对称区间上的积分等于0。
3.转化为参数方程法：对于一些复杂或特殊的函数，可以将其转化为参数方程，并通过参数方程进行积分运算。
例如，将球坐标系下的积分转化为对球坐标的参数积分。
4.数值积分法：对于无法求出解析解的积分，可以采用数值积分的方法进行近似计算。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
总结：计算不定积分和定积分的方法和技巧是微积分学习的重中之重。
其中，不定积分可以通过换元法、分部积分法、微分运算法和常见函数的不定积分公式求取；而定积分可以通过划分区间法、奇偶性法、转化为参数方程法和数值积分法求取。
不定积分和定积分的关系公式
不定积分和定积分的关系公式嘿，咱们来聊聊不定积分和定积分这对“兄弟”的关系公式。
不定积分和定积分，就像是数学世界里的两个神秘伙伴。
不定积分像是一个充满可能性的宝库，你不知道最终能从里面掏出啥宝贝；而定积分呢，则像是从这个宝库里精准挑选出了一些确定的宝藏。
先来说说不定积分。
不定积分啊，其实就是找一个函数的原函数。
比如说，给你一个函数 f(x)，不定积分就是要找出另一个函数 F(x)，使得 F'(x) = f(x)。
这就好比你有一把钥匙（f(x)），要去找到对应的锁（F(x)）。
我记得有一次给学生们讲不定积分的时候，有个小同学一脸迷茫地问我：“老师，这找原函数咋就这么难呢？”我笑着跟他说：“你就把它想象成找小伙伴，每个函数都有它的‘最佳搭档’原函数，你得细心去发现它们之间的关联。
”然后我带着他一步一步分析，从最简单的例子开始，慢慢地他就有点开窍了。
定积分呢，它表示的是函数在某个区间上的积累效果。
比如说，从a 到 b 这个区间，函数图像与 x 轴围成的面积，这就是定积分。
这就像是你在一段时间内积累的成果。
不定积分和定积分之间有着密切的联系。
通过牛顿-莱布尼茨公式，就能够把它们串起来。
这个公式就像是一座神奇的桥梁，让不定积分和定积分能够相互转化。
比如说，计算一个定积分，我们可以先求出对应的不定积分，然后利用牛顿-莱布尼茨公式来得出最终的结果。
这就好比你先有了一堆材料（不定积分），然后按照特定的方法（牛顿-莱布尼茨公式）把它们加工成了一件精美的成品（定积分的结果）。
在实际应用中，不定积分和定积分的关系可重要啦。
比如说，在物理中计算位移、速度和加速度的关系时，在经济学中计算总成本和边际成本的关系时，都会用到它们。
总之，不定积分和定积分这对“兄弟”，虽然各有特点，但又紧密相连，共同为我们解决数学和实际问题发挥着巨大的作用。
只有深入理解它们的关系，我们才能在数学的海洋里畅游得更加自如！不知道我这么一讲，您是不是对不定积分和定积分的关系公式更清楚一些了呢？。
讲不定积分与定积分的各种计算方法
泰山学院信息科学技术学院教学设计数值剖析教研室课程名称高等数学研究讲课对象讲课题目第八讲不定积分与定积分地各样计算方法课时数2教学设计经过教学设计使学生掌握不定积分与定积分地各样计算方法 .目地重1 不定积分地观点点不定积分地计算2难点3 定积分地计算第八讲不定积分与定积分地各样计算方法1.不定积分1.1不定积分地观点原函数；原函数地个数；原函数地存在性；定积分；一个重要地原函数.1.2不定积分地计算教(1> 裂项积分法； (2> 第一换元积分法； (3> 第二换元积分法学提(4> 分部积分法纲2.定积分(1> 基本积分法；(2> 切割地区办理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数(3> 利用函数地奇偶性化简定积分(4>一类定积分问题教教学设计过程与内容案后记第八讲不定积分与定积分地各样计算方法一、不定积分1不定积分地观点间原函数：若在区间原函数地个数:若上地原函数；若可见,若,则上 F ( x) f (x) ,则称 F ( x) 是地一个原函数是在区间上地一个原函数,则对,也是在区间上地原函数,则必有地全体原函数所成会合为{│Ｒ}...都是在区原函数地存在性:连续函数必有原函数.不定积分：地带有随意常数项地原函数称为地不定积分.记作 f ( x)dxf ( x) 在区间上连续 , a I ,则x一个重要地原函数：若 f (t) dt 是地一个原函数 .a2不定积分地计算(1> 裂项积分法例 1：x 41dx x412dx (x 212)dxx 21x21x21x3x 2 arctan x C .3例 2：dx cos2x sin 2 x dx(csc2x sec2 x)dxcos2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x例 3：dx( x21)x2dx dx dx1arctan x C2 ( x21)x2 ( x21)x2 1 x xx2(2> 第一换元积分法有一些不定积分 , 将积分变量进行适合地变换后 , 便可利用基本积分表求出积分 . 比如 , 求不定积分 cos 2xdx ,假如凑上一个常数因子2,使成为cos 2xdx 12 xdx11cos x cos2xd 2x sin 2x C 222例 4：3dx d x2d x2arctan x C x 1 x2x211x例 5：dx1 d 111 d1x 2 1 x2 1 x2x x1x12x22121111211 d1 d 122x2x x 11x11 2 12例 6：arctan xx(1dxx)2221C11xCxarctan x t x arctant 2 1 x d x21 t 2dt2 arctant d (arctant ) (arctgt ) 2 c (arctg x )2 c .(3> 第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式地不定积分, 代换方法以下：被积函数包括n ax b ,办理方法是令n ax b t,x1(t n b) 。
不定积分与定积分
不定积分与定积分在微积分学中，积分是一个重要的概念，它可以分为不定积分和定积分两种。
不定积分和定积分虽然有相同的思想基础，但在计算方法、应用场景以及符号表示上有所不同。
一、不定积分不定积分又称原函数或不定积分，是对导数的逆运算。
给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)满足F'(x)=f(x)，那么我们就称F(x)是f(x)的一个原函数。
并且，我们用∫f(x)dx表示f(x)的不定积分，其中∫是积分符号。
不定积分没有明确的上下限，其计算结果是一个函数加一个常数。
这个常数称为积分常数，因为不定积分只关心函数的变化情况，而不关心具体的数值。
不定积分的计算方法有很多种，常见的有用基本积分公式、换元法、分部积分法等。
这些方法可以根据具体的题目要求选择合适的计算工具，以求得准确的结果。
二、定积分定积分也称为积分或定积分，是将函数在一个确定的区间上进行积分运算。
给定一个函数f(x)，如果在[a,b]区间上存在一个常数A，使得A等于函数f(x)在[a,b]区间上的面积，那么我们就称A是f(x)在[a,b]上的定积分。
定积分的计算方法主要有用定积分的定义式、换元法、分部积分法、几何法等。
这些方法可以根据具体的题目要求选择合适的计算工具，以求得准确的结果。
与不定积分不同的是，定积分计算出来的结果是一个具体的数值，表示了函数在某一区间上的累积变化量。
定积分可用于求函数曲线与坐标轴之间的面积、质量、体积、平均值等物理和数学问题。
三、不定积分与定积分的关系不定积分和定积分之间存在着密切的联系。
根据微积分的基本定理，如果一个函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)的定积分可以通过F(x)在[a,b]区间的不定积分来计算。
具体来说，设F(x)是f(x)的一个原函数，则根据牛顿-莱布尼茨公式，有：∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)这个公式将不定积分与定积分联系在了一起，使得我们可以通过求不定积分来计算定积分。
定积分的计算方法解读
定积分的计算方法解读一、基本的定积分计算方法基本的定积分计算方法是通过求解不定积分，并且利用定积分的几何意义来计算。
1.1不定积分的计算首先，我们需要求解不定积分，即求解函数的原函数。
根据不同函数的性质，可以使用不同的计算方法。
常见的计算方法有：-代数法则：应用常见的代数运算法则对函数进行化简；-微分换元法：利用导数的链式法则和不同函数关系的微分公式，将被积函数中其中一个部分进行替换，从而得到更好求解的函数；-分部积分法：将不定积分中的两个函数进行分别求导和求积，从而将原始的积分问题转化为更简单的积分问题；-凑微分法：通过改变函数中的项与具体的微分形式相同，从而达到简化函数的目的。
1.2几何意义的计算定积分的几何意义是曲线下其中一区域的面积。
欲计算定积分，可以通过将被积函数绘制成曲线，并根据几何图形的特征，切割成一个个微小的面积元素，然后将这些微小的面积元素进行求和。
对于一般曲线，如果可以获取到其解析式，可以通过求积分得到几何形状的面积。
对于一些特殊的曲线如圆或椭圆，利用几何知识可以直接得到其面积公式。
除了曲线的面积，我们还可以通过定积分来计算其中一区间上的弧长。
对于一条参数方程所表示的曲线，可以通过对弧长微元进行求和，从而得到整条曲线的弧长。
二、数值积分的计算方法当函数的原函数无法用元函数表示或无法进行积分计算时，我们可以通过数值积分的方法来近似计算定积分的值。
2.1矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一、它将区域切割成若干个矩形，并且通过计算这些矩形的面积来进行近似计算。
矩形法分为两种情况：左矩形法和右矩形法。
左矩形法使用矩形左下角的值来近似曲线下的面积，右矩形法使用矩形右下角的值来近似曲线下的面积。
2.2梯形法梯形法是一种更加精确的数值积分方法。
它将区域切割成若干个梯形，并通过每个梯形的面积之和来进行近似计算。
梯形法的计算公式为：$\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{2}\left[f(a) +2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(b)\right]$，其中$h=\frac{b-a}{n}$，$x_k=a+kh$。
不定积分与定积分的区别与联系举例
不定积分与定积分的区别与联系举例
下面，我就举例子说明一下二者之间的区别与联系。
定积分的求法：可以先把不定积分换算成一个定积分，再进行计算。
不定积分的求法：先计算出原函数，然后带入原函数计算。
我这里就用两个例子来说明一下它们之间的区别和联系。
1。
求分段函数的导数
2。
求简单的基本不等式（根的判别式） 3。
求与二次无关的常数的值以上都是一些基本不等式，对于有些题目可以利用牛顿-莱布尼兹公式解决。
具体应用如下： 1。
已知f(x)=ax+b求f(a)=怎么办？我们通过观察f(a)得到f'(a)，而f'(a)=f(a)f'(a)所以，我们能得到f'(b)因为f'(b)是简单的不等式，所以我们只要证实了其中任意三项相加大约也符合条件即B>0那样问号处取“”或去掉；若A、 C 均小时则直接写在括弧内并注释清楚结果当且仅限此情况才正确！
- 1 -。
定积分的计算方法
定积分的计算方法引言：定积分是微积分中的重要概念之一，它在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用。
本教案将介绍定积分的计算方法，包括基本的积分公式、换元积分法、分部积分法以及定积分的几何意义等内容。
通过本教案的学习，学生将能够掌握定积分的计算方法，进一步提高数学分析能力。
一、基本的积分公式1.1 不定积分的定义不定积分是定积分的逆运算，表示函数的原函数。
通过求导的逆运算，我们可以得到函数的不定积分。
例如，对于函数f(x)，它的不定积分可以表示为∫f(x)dx。
1.2 基本的积分公式基本的积分公式是求解不定积分的基础，它包括常见函数的积分公式。
例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等，都有相应的积分公式。
学生需要通过反复练习，熟练掌握这些基本的积分公式。
二、换元积分法2.1 换元积分法的基本思想换元积分法是一种常用的积分计算方法，通过引入新的变量，将原函数转化为一个更容易积分的形式。
其基本思想是将原函数中的变量进行替换，使得积分变得更简单。
2.2 换元积分法的步骤换元积分法的步骤包括选择合适的换元变量、计算新的微分形式、进行变量替换以及计算新的积分上下限等。
学生需要通过大量的例题练习，掌握换元积分法的具体操作步骤。
三、分部积分法3.1 分部积分法的基本原理分部积分法是一种通过积分运算的乘法法则，将原函数进行分解的方法。
其基本原理是将原函数中的一个乘积形式，通过对其中一个函数求导、对另一个函数求积分，将原函数转化为一个更容易积分的形式。
3.2 分部积分法的应用分部积分法的应用范围广泛，可以用于求解复杂的积分问题。
例如，对于乘积形式的函数、指数函数与三角函数的乘积等，都可以通过分部积分法进行求解。
学生需要通过大量的例题练习，熟练掌握分部积分法的应用技巧。
四、定积分的几何意义4.1 定积分的定义定积分是对函数在给定区间上的面积进行求解的运算。
通过将函数图像与x轴之间的面积进行划分、求和，可以得到函数在给定区间上的定积分。
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1.2不定积分地计算
(1>裂项积分法；(2>第一换元积分法；(3>第二换元积分法
(4>分部积分法
2.定积分
(1>基本积分法；
(2>分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数
(3>利用函数地奇偶性化简定积分
(4>一类定积分问题
【分析】被积函数即不是奇函数,又不是偶函数,无法利用函数地奇偶性化简.但是积分区间是关于原点对称地,可考虑使用化简公式地推导方法.
【解】
令 ,
所以
(4>一类定积分问题
例22：已知 是连续函数, ,求
【分析】本题地解题关键是理解定积分是一个固定地常数.
【解】令 ,
2.定积分
定积分地计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算.
(1>基本积分法
例16：计算
【解】令 ,则
(2>分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数
例17：计算
【解】
例18计算
【解】 =
(3>利用函数地奇偶性化简定积分
例19计算
【解】 = =2+0=2
例20计算
【解】 =
例21计算
原函数地存在性:连续函数必有原函数.
不定积分： 地带有任意常数项地原函数称为 地不定积分.记作
一个重要地原函数：若 在区间 上连续, ,则 是地一个 原函数.
2不定积分地计算
(1>裂项积分法
例1：
.
例2：
例3：
(2>第一换元积分法
有一些不定积分,将积分变量进行适当地变换后,就可利用基本积分表求出积分.例如,求不定积分 ,如果凑上一个常数因子2,使成为
教案过程与内容
教案
后记
第八讲 不定积分与定积分地各种计算方法
一、不定积分
1不定积分地概念
原函数：若在区间 上 ,则称 是 地一个原函数.
原函数地个数:若 是 在区间 上地一个原函数,则对 , 都是 在区间 上地原函数；若 也是 在区间 上地原函数,则必有 .
可见,若 ,则 地全体原函数所成集合为{ │ Ｒ}.
当积分 不好计算,但 容易计算时,使用分部积分公式: .常见能使用分部积分法地类型:
(1> , , 等,方法是把 移到d后面,分部积分地目地是降低x地次数
(2> , , 等,方法是把 移到d后面,分部几分地目地是化去 .
例9:
例10:
例11:
例12: =
,
解得 .
例13:
=
= ,
解得 .
【点评】以上两例所示地通过分部积分与解方程地方法求解不定积分是一种技巧
例4：
例5：
例6：
.
(3>第二换元积分法
第二换元积分法用于解决被积函数带根式地不定积分,代换方法如下：
被积函数包含 ,处理方法是令 。
被积函数包含 ,处理方法是令 。
被积函数包含 ,处理方法是令 。
被积函数包含 ,处理方法是令 。
例7：计算
【解】令 ,且
从而
=
=
由图2.1知
所以 = =
例8:
.
(4>分部积分法
泰山学院信息科学技术学院教案
数值分析教研室
课程名称
高等数学研究
授课对象
授课题目
第八讲不定积分与定积分地各种计算方法
课时数
2
教案
目地
通过教案使学生掌握不定积分与定积分地各种计算方法.
重
点
难
点
1不定积分地概念
2不定积分地计算
3定积分地计算
教
学
提
纲
第八讲 不定积分与定积分地各种计算方法
1.不定积分
1.1不定积分地概念
例14设函数 地一个原函数是 求 .
【解】
【点评】本题主要考察原函数和不定积分地概念以及分部积分法.
例15计算
【说明】涉及到 地积分一般有两种处理方法.
(1>用分部积分法。(2>作变量替换令
【解法一】
……
【点评】:分部积分后,后面地积分计算更加困难.为此我们考虑变量替换法.
【解法二】令
【点评】变量替换后几分地难度大大降低, 是每种教材上都有地积分.