直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。
- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。
- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。
2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。
- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。
- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。
- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。
直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。
下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。
-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。
2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。
- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。
3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。
-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
4.2 时域分析法--直接积分法解析
fs
fD
f D / x c tg
[C ], [ K ] 为时变矩阵 非线性问题：
x (t )
x (t )
fD
fs
x (t )
x (t )
2.增量平衡方程
f I (t ) f D (t ) fs (t ) P(t )
t t 时刻：
（1）
f I (t t ) f D (t t ) f s (t t ) P(t t ) f I (t ) f D (t ) f s (t ) P(t )
fI (t ) f I (t t ) f I (t ) [M ]x(t t ) x(t ) [M ]x(t )
f D (t ) f D (t t ) f D (t ) [C (t )]x(t )
----增量方程(3)
•
•
显式方法(explicit)在方程求解过程中只涉及到历史的第i和i－1步的信 息，而当前的第i＋1步的信息（比如空间上的其他点）不会涉及到,而 隐式方法(implicit)在求解当前点(第i＋1步)时，会涉及到其他已知点 的第i+1步信息,所以需要迭代。
显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式一个是用显式方 程表示，一个是用影视方程来表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次 迭代可以由前一次直接求解，这就是显示方程，如果a(n)=a(n1)+f[a(n)]，f[a(n))为a(n)的函数，此时a(n)不能用方程显示表示， 及数学上的隐函数，一般很难直接求解，多用迭代试算法间接求解。
f D (t ) f D (t t ) f D (t ) [C (t )]x(t )
基本积分公式直接积分法
1 arctan x C x
“拆项” （2）（把分母分解因式后）按分母的因式拆项
课堂练习
习题3.2 1， 2（1）（3）（5）（7）（9）（11） 1．选择题： 3，4 （1）下列式子正确的是（ D ） ． P123
x x A． 2 dx 2 C
x x x x B． 2 e dx ( 2 dx )( e dx )
1
C
( 1)
( x) 1
( x )
1
1 x
x
2 x 1 2 x
x
1 d x 2 x C x
(a ) a ln a
特别地：
1 1 x2 d x x C 1 x x a d x a C ln a
(e ) e
1 x x 2 2 e C e C e
e 1 x dx 2 dx 2 e dx e e
x
x x 11 dx (11) 2 dx 2 x 1 x 1 1 dx 2 dx x arctan x C x 1
2 2
dy x 2 ，且 y x2 5 ，求函数 y ． 3．已知 dx
1 (ln x 1) x x
(ln x 1) 1 ln x
所以 x(ln x 1) 是 ln x 的一个原函数．
3.2.1
基本求导公式
基本积分公式
基本积分公式
C 0
( x ) x
特别地：
1
0d x C 1 x d x 1 x d x xC
（1）化 x 型
（4）三角恒等变形 （5）拆项：①假分式=整式+真分式 ②按分母的因式拆项
4.2 时域分析法--直接积分法
3. 对每一时间步计算等效荷载增量
4. 解方程计算位移 t τ
u
K Ft τ
-1
5.计算时刻t+Δ t的响应
用增量形式表示的Wilsonθ法 （推导省略）
增量方程
• 计算公式
K Δ ut τ Δ Ft τ
t τ
• 得到
时刻的响应，
• 再转变成t+Δ t的响应：
直接积分法的补充说明
显式积分、隐式积分
• 显式积分是在第i步计算中状态ti满足运动方程式的
计算方法。
ui1 ui Δ t f ti , ui
•当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前 时刻的位移求解无需迭代过程。 另外，只要将运动方程中的质量矩阵 和阻尼矩阵对角化（线性无关），前一时刻的加速度求解无需解联立 方程组，从而使问题大大简化，这就是所谓的显式求解法。
x
x (t )
f s
结构在t时刻的刚度矩阵 由t时刻结构各构件的切线刚度确定
x(t t )
x (t )
(t ) [ K (t )]x(t ) P(t ) [M ] x(t ) [C(t )]x
----增量方程(3)
方程左边的力增量表达式是近似的！
常用的隐式积分法
例：
g (t )kN P(t ) mx
2.5
求位移时程曲线， 恢复力时程曲线， 最大位移，最大恢复力， 开始时静止。 x
g
W=15kN
x(t)
计算步骤： 1.确定积分步长t 2.确定当前积分步长内结构的 质量，刚度和阻尼矩阵以及 阻尼力和恢复力 3.计算初始加速度 4.确定等效刚度K*和等效荷载 矩阵P*
不定积分的几种形式及求解技巧
不定积分的几种形式及求解技巧不定积分是微积分中的重要概念，通常用来求解函数的原函数。
在求解不定积分时，我们有几种不同的形式和求解技巧。
1. 一般形式不定积分：一般形式的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)是要求积分的函数。
求解一般形式的不定积分的方法主要有以下几种：- 直接积分法：根据不同函数的性质，应用相关的积分求法，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
例如，对于多项式函数f(x)=x^n，不定积分为∫x^n dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C是常数。
- 分部积分法：分部积分法可以将一个复杂的函数积分转化为两个简单函数的乘积积分。
公式表达为：∫u dv = uv - ∫v du。
通过选取适当的u和dv，进行分部积分求解不定积分。
例如，对于函数f(x)=x*sin(x)，可以令u=x，dv=sin(x)dx，然后进行分部积分求解。
- 代换法：代换法是通过选择一个新的变量来简化不定积分的求解过程。
通过选择适当的代换变量可以将复杂的函数转化为一个简单的函数。
例如，对于函数f(x)=e^x，我们可以令u=e^x，然后进行代换求解。
- 部分分式分解法：当不定积分的被积函数可以使用部分分式分解时，就可以将其转化为一组简单的分式的和的形式，然后依次求解。
例如，对于函数f(x)=1/(x^2+1)，可以将其分解为1/((x+1)(x-1))的形式，然后再分别进行不定积分求解。
2. 特殊形式不定积分：特殊形式的不定积分是指一些常见的函数在积分过程中的特殊形式。
这些特殊形式的不定积分可以通过特定的方法进行求解。
常见的特殊形式不定积分有以下几种：- 三角函数不定积分：对于一些常见的三角函数，例如sin(x)、cos(x)、tan(x)等，其不定积分可以通过特定的恒等变换和公式进行求解。
例如，∫sin(x)dx=-cos(x)+C，∫cos(x)dx=sin(x)+C，∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C。
直接积分法
直接积分法
直接积分法（Direct Integration）是一种使用无穷多项式（Infinite Series）作为求取积分的数学方法。
它在解决复杂积分方程时有着不可替代的优势。
这种方法的基础是多项式（Polynomial）展开定理，说明函数可以利用无穷多个项表达，而不需要考虑数学上的复杂推导。
例如，使用函数y=x^2的积分的话，将其平方展开后，得到的多项式结果形式为：y=1/3*x^3 + C。
这里的对应项就是一次多项式，求取某个范围内的积分只要求出两个多项式项之间的差值即可。
而采用直接积分方法求取积分时，首先需要将函数分解为无限多项式，即将函数平方展开，得到一系列项和系数，再把这些项应用到函数中进行积分，比如将求得函数积分后的项代入运算结果中。
该方法虽然能够有效求解复杂的积分方程，但也存在一些问题和局限性，比如一般情况下难以计算求取到的值的准确性，而且用时较长，因此并不能满足一些复杂的积分任务的要求。
因此，直接积分法虽然有其特殊优势，但也同样有一定的局限性，因此如何有效求解复杂的积分问题，仍有待进一步探索。
不定积分的基本公式和直接积分法
不定积分的基本公式和直接积分法第二节不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of UndefinedIntegral and Direct Integral）课题：1.不定积分的基本公式2.不定积分的直接积分法课堂类型：讲授教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。
教学重点：不定积分的基本公式教学难点: 直接积分法教具：多媒体课件教学方法：教学内容：一、不定积分的基本公式由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。
二、不定积分的直接积分法利用不定积分的性质和基本公式，可以求出一些简单函数的不定积分，通常把这种求不定积分的方法叫做直接积分法。
例１ 求32x dx ⎰导数的基本公式 ()1222()01()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1(arctan )1(arccos )1(cot )1x xx x C x xxe e a a ax xx x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'='=+'='=-+21(log )ln a x x x a'=不定积分的基本公式 ()1222011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x xxdx Cdx x Cx x dx C a e dx e C a a dx C a dxx Cx xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x Cx Cdxx C xααα+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11log ln a x C dxx C x dx x Cx a =-+=-++=+⎰⎰⎰解 31333412222312x x dx x dx x dx C x C +===⨯+=++⎰⎰⎰例２求(23cos x x dx -+⎰ 解(32322233233cos 3cos 3sin 5310sin 3xx dx x dx xdx x x x Cx x x C -+=-+=⨯-++=-++⎰⎰⎰⎰例３ 求dx x x ⎰-23)1( 解Cx x x x Cx x dxxx x dx xx x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1||ln 332 31072 )133( 133)1(22327222323 例４ 求221sin cos dx x x⎰ 解22222222221sin cos 11sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例５ 求2x x e dx ⎰解 ()()()2222ln 21ln 2xxxx x e e e dx e dx C C e==+=++⎰⎰例６ 求2sin 2xdx ⎰ 解 21cos sin 22x x-=21cos 11sin sin 2222x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例７ 求()221dxx x +⎰ 解()222211111x x x x =-++ ()222222111111111arctan dx dx dx dx x x x x x x x Cx⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭=--+⎰⎰⎰⎰例８ 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时，物体经过的路程为3m ，求物体的运动方程。
基本积分公式和直接积分法
2
dx
x arctan x C
例3 计算 tan2 xdx 解 tan2 xdx (sec2 x 1)dx sec2 xdx dx
tan x x C
例4
计算
cos2
x dx 2
解
cos2
x 2
dx
1
cos 2
x
dx
1 2
dx cosdx
1 ( x sin x) C
7
作业: 习题4.2
8
2
6
三、小结
1、基本积分公式 由于求不定积分和求导数互为逆运算，因此基本积分
公式是与基本微分公式对应的积分公式。 在基本微分公式较熟 悉的前提下，基本积分公式是不难记住的。
2、直接积分法 用直接积分法求不定积分时，需先对被积函数作代数恒 等变形（如例1，例2等）或三角恒等变形（如例3，例4等）， 然后再利用不定积分的基本运算法则，化为能直接用基本积分 公式求不定积分的形式，而后求出积分。这里灵活地对被积函 数进行恒等变形是很重要的。
定理1 两个函数代数和的不定积分等于各函数不定积分 的代数和，即
[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx
证 因为
f ( x)dx
g( x)dx
Байду номын сангаас
f
( x)dx
g( x)dx
f (x)
g( x)
故由不定积分的定义即知定理1成立。类似地，可以证明
定理2 非零常数因子可以提到积分号前面，即
4.2 基本积分公式和直接积分法
主要内容: 1.基本积分公式 2.直接积分法
1
一、基本积分公式
1) 0dx C
3)
基本积分公式直接积分法
基本积分公式直接积分法1.幂函数的积分公式：- 若a≠-1，则∫x^ndx=(1/n+1)x^(n+1)+C- 若a=-1，则∫1/xdx=ln，x，+C- 若a≠0，则∫a^xdx=1/(lna)*a^x+C2.指数函数的积分公式：- ∫e^xdx=e^x+C3.三角函数的积分公式：- 若n为奇数，则∫sin^nx dx= (-1/(n-1))*sin^(n-1)x*cosx +(n-2)/(n-1)∫sin^(n-2)x dx- 若n为偶数，则∫sin^nx dx= -(1/(n-1))*sin^(n-1)x*cosx +(n-2)/(n-1)∫sin^(n-2)x dx- 若n为奇数，则∫cos^nx dx= (1/(n-1))*cos^(n-1)x*sinx +(n-2)/(n-1)∫cos^(n-2)x dx- 若n为偶数，则∫cos^nx dx= (1/(n-1))*cos^(n-1)x*sinx +(n-2)/(n-1)∫cos^(n-2)x dx- ∫secxdx=ln，secx+tanx，+C- ∫cscxdx=ln，cscx-cotx，+C- ∫secxtanxdx= secx+C- ∫cscxcotxdx= -cscx+C4.反三角函数的积分公式：- ∫1/(√1-x^2)dx = sin^(-1)x + C- ∫1/(1+x^2)dx = tan^(-1)x + C- ∫1/(x√x^2-1)dx = sec^(-1)x + C这些基本积分公式为直接积分法提供了基础工具，也为我们求解各类函数的不定积分提供了便利。
直接积分法主要根据基本积分公式进行计算，其基本步骤如下：1.根据被积函数的形式，选择相应的基本积分公式。
2.对函数进行化简和分解，将其转化为基本积分公式形式。
3.由基本积分公式计算出积分结果。
4.在计算结果中加上积分常数C。
以下是一些例题来演示直接积分的具体过程：例题1：计算∫(3x^2 + 2x + 1)dx解：根据基本积分公式∫x^ndx=(1/n+1)x^(n+1)+C∫(3x^2 + 2x + 1)dx =(1/3+1)x^(3+1)+(1/2+1)x^(2+1)+x^(1+1)+C=(1/4)x^4+(1/3)x^3+x^2+C例题2：计算∫sin^3xdx解：根据基本积分公式∫sin^nx dx= (-1/(n-1))*sin^(n-1)x*cosx +(n-2)/(n-1)∫sin^(n-2)x dx∫sin^3xdx = (-1/(3-1))*sin^(3-1)x*cosx +(3-2)/(3-1)∫sin^(3-2)x dx= (-1/2)*sin^2x*cosx +(1/2)∫sinxdx= (-1/2)*sin^2x*cosx -(1/2)cosx + C通过以上例题，我们可以看到直接积分法的基本原理和步骤。
3.3-直接积分法
4. 求解定积分只要求出一个原函数（不要加 c），再把上下限代入即可.
（1） 0dx C ；
（2） kdx kx C (k为常数) ；
（3）
x dx 1 x 1 C
1
( 1) ；
（4） axdx 1 ax C ； ln a
（5） exdx ex C ；
（6）
1 x
dx
ln
|
x
|
C
；
（7） cos xdx sin x C ；
（8）sin xdx cos x C ；
解 原式 x3dx xdx 4dx
1 x4 1 x2 4x C 42
例3.3.2 求不定积分 (2x 2sin x 2x x)dx . 3
解 原式 2xdx 2sin xdx 2x2dx
2x 2cos x 4 x2 x C
ln 2
5
解题熟练后可不用和差性质，直接求积分.
3.3 直接积分法
不定积分与导数的关系：
( f (x)dx) f (x) 或 d( f (x)dx) f (x)dx ；
f (x)dx f (x) C或 df (x) f (x) C .
显然微分运算与积分运算是互逆运算，先 积后微，形式不变；先微后积，多一常数.
不定积分的一组公式（14个基本公式）：
1 x
2
dx
arctan
x
C
arc
cot
x
C
；
不定积分运算性质： 性质1 （和差性质）
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx ;
性质2 （数乘性质）
cf (x)dx c f (x)dx （c为常数）。
直接积分法
（10）
3 x2 x2 (1 x2
)
dx
（11） 1 3x2 dx x2 (1 x2 ) .
拓展训练1：
.
.
拓展训练2：
dt
.
.
总结
直接积分法主要有哪几种方法？
.
布置下次课任务
什么是第一类换元积分。 完成第一类换元积分线上学习。
.( 2 e ) x C (来自e)x Cln(2e)
ln 2+lne
(2e)x
C
ln 2 1 .
【例4】 求
x2 dx
1 x2
x 2
解：
dx 1 x2
x2 11 dx
1 x2
(1 1 )dx 1 x2
xarctanxC
.
【例5】求
1 x2 (1
x2 ) dx
解：
x2
1 (1
.
例 12ex+3cosxdx
2exdx+3cosxdx 2exdx+3cosxdx
2ex+3sinxC
.
例 2 (3x3x25sinx)dx
3xdx3x2dx5sinxdx
3xdx3x2dx5sinxdx
3x
x3 5cosxC
ln3
.
【例3】 求 2 x e x d x
解： 2 x e x d x (2e)xdx
2被积函数经过简单的恒等变形以后再利用公式和性质这种计算不定积分的方法叫做直接积分法edxxdxedxxdxdxxdxxdx5cosln3dxxdxxdx2eln2e2eln2eln2lnelnarctan拓展训练2
直接积分法
.
任务内容
不定积分的基本公式？ 什么是直接积分法？ 怎样利用公式直接积分？
常见求积分方法总结
Yi b i n U n i v e r s i t y毕业论文（设计）题目常见求积分方法总结系别数学学院专业数学与应用数学学生姓名罗大宏学号********* 年级12级4班指导教师刘信东职称xxx2016 年 3 月10 日常见求积分方法总结作者：罗大宏单位：宜宾学院数学学院12级4班指导教师：刘兴东摘要: 微积分是数学分析中的一个重要基础学科，并且微积分中的积分运算是求导的逆运算，它是连接微分学和积分学的枢纽。
因此怎样求积分就显得非常重要，本文讲解了常见求积分的几种方法：直接积分法、分部积分法、换元积分法和有理函数积分的待定系数法，掌握了这些方法，将对我们迅速求解积分来说非常重要。
关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法引言数学分析是大学数学与应用数学专业必修专业课，而微积分是数学分析的重点，又不定积分是积分学的基础，会影响到后面学习其它的积分，特别是定积分的求解。
它的目的是形成一定的思维方法和解决问题的能力。
并且不定积分的求解要比导数的求解复杂很多，运用积分的基本公式只能解决一些容易的积分，更多的不定积分要因函数的差别而采用相应的方法。
另外，如果我们掌握了求不定积分的方法，那么求解定积分就变得容易。
本文我们就对常见求积分方法进行总结，以便帮助我们解决一些实际问题。
1.积分的概念1.1、不定积分若()x F 是函数()x f 在区间I 上的一个原函数，则()x f 在I 的所有原函数()C x F +（C 为任意常数）称为()x f 在区间I 上的不定积分。
记作()()C x F dx x f +=⎰。
其中⎰称为积分号，函数()x f 称为被积函数，x 称为积分变量，()d x x f 称为被积表达式，C 称为积分常数。
另外，求已知函数不定积分的过程就称作对这个函数进行积分。
1.2、定积分设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义，在[]b a ,内任意插入1-n 个分点： ,,...,,,1321x x x x n -,,a 令0x b x n == ,...1210b x x x x x a n n =<<<<<=- 把区间[]b a ,分为n 个小区间[x x 10,],[x x 21,]，... ，[x x k k ,1-],... ,[x xn n ,1-],各个小区间的长度依次为x x x 011-=∆, x x x 122-=∆,...,,1x x x n n n--=∆在每个小区间[x x i i ,1-]上任取一点ζi[]()x x ii i,1-∈∀ζ,作乘积()x f i i ∆•ζ()n i , (2)1=，并作和式 ().1x f S i n i i n∆∑==ζ记{},,...,,max 21x x x n ∆∆∆=λ当0→λ时，即n 无限增大时，S n 的极限如果存在并趋于I ，且I 与[]b a ,的分法及ζi 的取法无关，则称此极限I 为函数()x f 在区间[]b a ,上的定积分，记作()()I x f dx x f i ni i ba =∆∑=⎰=→10lim ζλ. 其中符号⎰叫做积分号，()x f 叫做被积函数，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[]b a ,叫做积分区间． 1.3 定积分与不定积分的联系定积分的本质是将函数的图象在平面直角坐标系上用与y 轴平行的的直线和x 轴将它分割成很多个矩形。
4.3节 积分的计算(1)_板书
= ln 1 + e + c
x
ex 得∫ dx = ln(1 + e x ) + c 1 + ex
= ln(1 + e x ) + c
补例 求 ∫
e
x
x
dx e3
x
例4.3.13 求 ∫
x
dx
2 e 2 ln x ln 2 x 例4.3.19 求∫ dx与∫ dx e x x
例4.3.20
∫xe
1 例 .3.10 ∫ 2 2 dx, a ≠ 0. 4 a +x
1 dx = arctan x + C 分析: 分析 想要套用公式∫ 2 1+ x
解:
1 ∫ a 2 + x 2 dx = ∫
1 x a 2 [1 + ( ) 2 ] a
dx
x d( ) 1 a = ∫ a 1 + ( x )2 a
= sin x − cos x +c
例 4.3.3求 ∫ tan xdx;
2
∫
π
6 0
tan xdx
2
解:
(1) ∫ tan 2 xdx = ∫ (sec 2 x − 1)dx
= ∫ sec2 xdx − ∫ dx
= tan x − x + c
(2) ∫ tan xdx = 6 (sec2 x − 1)dx = ∫
2
解:
x2 例 .3.5 求∫ 4 dx 2 1+ x
例 .3.6 求∫ 4
2π
解:
0
1− cos xdx
2
2
2π
原式 = ∫
2π
基本积分公式直接积分法资料
1 d x arcsin x C 1 x2
arccos x C
(arc
tanx)
1
1 x
2
1 1 x2
d
x
arctan
x
C
(arc
cot
x)
1
1 x2
arccot x C
3.2.2 直接积分法
由已知函数求出全部原函数的方法称为 积分法．把被积函数（经恒等变形后）直接 运用不定积分的性质和基本积分公式求出不 定积分的方法称为直接积分法．
1 x2
d
x
1 x
C
ax d x 1 ax C
ln a
ex d x exC
1 x
d
x
ln
x
C
(sin x) cosx
cos x d x sin x C
(cosx) sin x sin x d x cos x C
(tan x) 1 sec2 x cos2 x
s ec2 x d x tan x C
C． xf (x)dx x f (x)dx
D． 3 f (x)dx 3 f (x)dx
（2）下列运算正确的是（ D ）．
A．
F(x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C
作业解析：P120 5题
5．求经过点（1，1），且切线斜率为 x 2 的曲线方程．
解：设曲线方程为y f (x),依题意y x2,
所以y x2dx 1 x3 C, 3
又因为曲线过(1,1)点,有1 1 C,所以C 2 ,
1) x2
1
d
x
(x2 1)(x2 1) 1
1 x2
第二节 不定积分的基本公式和直接积分法
dx ∫ x = ln | x | +C ;
简写为
1 ( 4) ∫ dx = arctan x + C ; 2 1+ x 1 ( 5) ∫ dx = arcsin x + C ; 2 1− x (6) ∫ cos xdx = sin x + C ;
(7)
2
2
2
1 1 dx = − 1 + arctan x + C . = ∫ 2 dx + ∫ 2 x 1+ x x
例2 求下列不定积分
x (1)∫ sin dx 2
2
cos 2 x ( 2) ∫ dx cos x − sin x
解
1 1 − cos x dx = ∫ (1 − cos x )dx (1)原式 = ∫ 原式 2 2
x ∫ x dx = µ + 1 + C (µ ≠ −1);
µ
∫ kdx = kx ++C µ 1
是常数 ( k是常数);
dx = ln x + C , 说明： 说明： x > 0, ⇒ ∫ x 1 1 ( − x )′ = , x < 0, [ln( − x )]′ = x −x dx dx ⇒ ∫ = ln( − x ) + C , ∴ ∫ = ln | x | + C , x x
( 8)
∫ sin xdx = − cos x + C ; dx 2 ∫ cos 2 x = ∫ sec xdx = tan x + C ;
dx (9) ∫ 2 = ∫ csc 2 xdx = − cot x + C ; sin x
多项式积分的求解方法
多项式积分的求解方法下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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任务内容
不定积分的基本公式？ 什么是直接积分法？ 怎样利用公式直接积分？
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任务目标
教学目标：掌握不定积分的 基本公式，能够利用公式进 行积分构造变形后求积分。
教学重点：直接利用公式进 行积分。
教学难点：被积函数的变形。
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二、 知识要点
直接积分法： （1）直接利用基本积分的基本公式和积分 的性质。 （2）被积函数经过简单的恒等变形以后再 利用公式和性质 这种计算不定积分的方法叫做直接积分法
（10）
3 x2 x2 (1 x2
)
dx
（11） 1 3x2 dx x2 (1 x2 ) .
拓展训练1：
.
.
拓展训练2：
dt
.
.
总结
直接积分法主要有哪几种方法？
.
布置下次课任务
什么是第一类换元积分。 完成第一类换元积分线上学习。
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( 2 e ) x C (2e)x C
ln(2e)
ln 2+lne
(2e)x
C
ln 2 1 .
【例4】 求
x2 dx
1 x2
x 2
解：
dx 1 x2
x2 11 dx
1 x2
(1 1 )dx 1 x2
xarctanxC
.
【例5】求
1 x2 (1
x2 ) dx
解：
x2
1 (1
.
例 12ex+3cosxdx
2exdx+3cosxdx 2exdx+3cosxdx
2ex+3sinxCFra bibliotek.例 2 (3x3x25sinx)dx
3xdx3x2dx5sinxdx
3xdx3x2dx5sinxdx
3x
x3 5cosxC
ln3
.
【例3】 求 2 x e x d x
解： 2 x e x d x (2e)xdx
x2
)
dx
(1 x2 ) x2 x2(1 x2) dx
1 x2
1 1 x2
dx
1arctanxC x
.
【例6】求
1 x x2 dx
x(1 x 2 )
解：
1 x x2 x(1 x 2 ) dx
(1 x2 ) x x(1 x2 ) dx
(1 1 )dx x 1 x2
lnxarctanxC
.
强化训练1
（1） 3x exdx （2） 5xe2xdx
（3）
(x 1)2 dx
x2
（4） (x 2)2 dx 2x
.
强化训练2
（5）
x2 dx
1 x2
（6）
x2 1 dx
1 x2
（7）
2x2 1
x21dx
（8）
3x2 1dx 1 x2
.
强化训练3
（9） 2 x2 dx x2 (1 x2 )