2-2不定积分的积分法(1)
不定积分的计算
5 u 4 du u 5 c sin 5 2 x c. 引出凑公式法: Th 若 f ( x) dx F ( x) c,
u sin 2 x
(x )
连续可导,
则
f [ (t)] ( t) dt F [ (t )] c.
该定理可叙述为： 若函数 g (t ) 能分解为 g ( t ) f [ ( t )] (t ) 则有
们就可以用分部积分把不容易积分的 例4 若令
u (x )v (x )dx
计算出来
u x , v cos x v sin x ， 代入分部积分公式
x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
但若令 u cos x , v x v x 2 / 2 ， 代入分部积分公式 x2 1 x cos xdx cos x x 2 sin xdx 2 2 比原积分还复杂
x ln xdx
u ln x , v x v x 2 / 2
相比之下显然， x 容易积分，所以取
x2 1 x2 x2 x2 x ln xdx 2 ln x x 2 dx 2 ln x 4 C
由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意的，那 个作 u , 那个作 v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计 算不出来。 分析分不积分公式，我们可总结出下面一个原则： 一般应把 （相比之下） 容易积分， 积分后比较简单的函数作为 v ， 积分较难或积分后比较复杂的函数作为 u 例 4
2 arctgtdarctgt ( arctgt ) 2 c ( arctg x ) 2 c . 其他凑法举例: 例 18 e x e x d (e x e x ) dx x ln( e x e x ) c . e x e x e ex ln x 1 d ( x ln x ) (x ln x ) 2 dx (x ln x )2
第5章2不定积分换元积分(1)
例10 求 sin3 x dx.
解 sin3 x dx sin2 x sin x dx (1 cos2 x)d cos x
1 cos3 x cos x C 3
说明 当被积函数是三角函数相乘并有奇次幂 时，拆开奇次项去凑微分.
例11 求 sin2 x cos5 xdx.
积分： f [(x)](x)dx F[(x)d[(x)] dF[(x)
第一类换元法可表述为：
换元 ( x )u
积分
f [( x)]( x)dx f (u)duF(u) C
u ( x )还原
F[( x)] C
4
换元积分法
一、第一类换元法
例2 求 2xex2dx .
例3 求 x 1 - x2dx .
19
(1)
5
(1 3x)2 dx
2
(1
7
3x)2
C
21
(3)
1
x x
2
dx
1 ln(1 x2 ) C 2
(5) (ln x)2 dx 1x
(7)
ex x2
dx
1 ln( x)3 C 3
1
ex C
(9) dv 1 2v C 1 2v
(11)
x
2x 2
x
1
3
dx
ln x 2 x 3 C
解
tanxdx
sin cos
x x
dx
1 d cos x cos x
= - ln |cosx| + C
tanxdx = - ln |cosx| + C = ln |secx| + C
同理 cotxdx = ln |sinx| + C = - ln |cscx| + C
不定积分与定积分的计算方法
不定积分与定积分的计算方法在数学中，积分是求解函数定积分和不定积分的一种重要方法。
不定积分和定积分之间有着不同的计算方法和应用场景。
本文将介绍不定积分和定积分的计算方法及其应用。
一、不定积分的计算方法不定积分，又称为原函数，是求解函数的反导函数。
不定积分记作∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示对x的积分。
不定积分的计算方法主要有以下几种：1. 常数项法则：如果f(x)是常函数，即f(x) = C，那么∫f(x)dx = Cx + k，其中k为常数。
2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n≠-1，那么∫f(x)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + k。
3. 三角函数法则：对于三角函数f(x) = sin x、cos x、tan x等，以及其倒数，可以利用基本积分公式进行计算。
4. 代换法则：当被积函数比较复杂时，可以通过代换变量来简化计算过程。
常用的代换包括三角代换、指数代换、倒数代换等。
二、定积分的计算方法定积分是对给定区间上的函数进行积分，可以得到一个数值结果。
定积分记作∫[a,b]f(x)dx，表示在区间[a,b]上对函数f(x)进行积分。
定积分的计算方法主要有以下几种：1. 几何意义法：定积分可以表示函数f(x)与x轴之间的有向面积，利用几何图形的面积计算方法来求解定积分。
2. 分割求和法：将积分区间[a,b]分成若干个小区间，通过求和来逼近定积分的值。
常用的分割求和方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
利用牛顿-莱布尼兹公式，可以通过求解原函数来计算定积分。
三、不定积分与定积分的应用不定积分和定积分在数学和各个应用领域都有广泛的应用。
1. 几何应用：定积分被广泛用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线长度、曲线的旋转体体积等几何问题。
2. 物理学应用：定积分在物理学中有着重要的应用，例如计算质点的位移、速度、加速度等问题。
-2不定积分的分部积分法
dv
dv
vdu
简化
I1 2( x sin x cos x) C
推广 xn sin x d x, 令u xn
注 1° 设 f ( x)d x, 其中 f ( x) ( x) ( x).
选 u 的一般原则：
(1) d v ( x)d x
( x)d x 易积分, v 易求;
(2) v d u 比 ud v 易积分.
2
x cos x d x x2 cos x x2 sin x d x 更不易积分
2
2
显然，u 选择不当，积分更难进行.
解
x dsin x
简化
u dv
dv
x sin x sin x dx x sin x cos x C
uv
v du
（2）I2 x2 sin x d x x2 dcos x
引例 e x d x 令 x t 2 t et d t
（换元法无法解决） 二、分部积分公式
由导数公式 (uv) uv uv
积分得 uv uvdx uvdx uvdx uv uv dx
公式的作用： 改变被积函数
ud v uv v d u —— 分部积分公式
典型例题
例1 （1）I1 x e x dx
(3) xn arcsin x d x 设 u arcsin x
（例3(2)）
dv xnd x
3° 选 u 的优先原则： “对反代三指” 法
( 或称为“ LIATE ” 法).
选
L
对数函数
u 的
I
反三角函数
优
A
代数函数
先 顺
T
三角函数
序
E
指数函数
不定积分(公式大全)
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x的原函数。
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示
为F(x)＋C 证明：
于是有 ∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx
或表示成 ∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)
这一公式称为分部积分公式。
二、讲解例题
例1 求∫xexdx
解:令 u(x)＝x，v'(x)＝ex 则原式为∫u(x)·v'(x)dx的形式
∵(ex)'＝ex ∴v(x)＝ex，
x 1 1
元，令u
x
1
则原式＝
u
1
1
dx，再反解x＝u2＋1，
得dx＝2udu，代入
x
1 1
1
dx
2
u
u
1
du
2
(1
u
1 )du 1
2[u ln u 1] C 2 x 1 2ln | x 1 1| C
这就是第二换元积分法。
例 求 sin x x dx
dx
(
1 )dx arccos x C 1 x2
两式都是本题的解
[注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间
的关系是 arcsinx＝π ／2－arccosx
四、 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，
求不定积分的几种基本方法
求不定积分的几种基本方法不定积分是求函数的原函数的过程，也就是求导的逆过程。
下面介绍几种基本的求不定积分的方法：1.直接积分法：直接应用不定积分的定义，逐项求积即可。
这个方法适用于具备初等函数原函数的情况，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 分部积分法：适用于积分项为两个函数的乘积时，将其转化为一个函数的导数和另一个函数的不定积分的积的形式进行求解。
分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du，选择不同的u和dv，通过反复应用该公式，可以将原积分项转化为更简单的形式。
3.换元积分法：也称为代换积分法，适用于积分项中含有复杂的函数形式时，通过建立合适的替代变量，将原积分转化为简单的形式。
换元积分法的核心思想是对积分变量进行代换，一般采用的代换方法有三角代换、指数代换、倒代换等。
换元积分法的关键是选取合适的代换变量，使得原积分转化为更容易求解的形式。
4.幂函数积分法：当积分项中含有形如x^n（n是常数）的幂函数时，可以利用幂函数的积分性质求解。
幂函数积分法是直接求解幂函数不定积分的方法，通过对幂函数的不定积分公式进行推导，得到幂函数积分的一般公式。
5.三角函数积分法：当积分项中含有三角函数时，可以利用三角函数的积分性质求解。
三角函数积分法是根据三角函数的不定积分公式进行求解，通过对三角函数的积分公式进行推导，得到不同三角函数的不定积分形式。
6.无穷级数展开法：对于一些特殊的函数，可以通过将其展开为无穷级数的形式，然后对无穷级数逐项求积分来求解原函数。
以上是一些常见的不定积分的基本方法。
在实际求解过程中，还可以结合不同的方法灵活应用，选择最适合的方法求解不定积分。
同时，需要注意积分常数的添加和积分区间的确定，以保证求解结果的正确性。
不定积分
dln x
dsin x
(6) f (cos x)sin xdx
dcos x
(7) f (tan x)sec2 xdx
dtan x
(8) f (e x )e x dx
de x
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d(arcsin
x)
f (arccos x)
x
1 1
t t
2 2
原式
1
2t 1t 2
2t 1t 2
(1
1t 1t
2 2
)
dx
1
2 t
2
dt
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
x) c
09数二三 计算不定积分
ln(1
1 x )dx x
(x 0)
令
1 x t
x
原式 ln(1 t) 2t dt ln(1 t) 1 d (t2 1)
(t 2 1)2
(t2 1)2
ln(1
t)d
( t
1) 2 1
ln(1 t) 1 1 dt
例4. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
2-第二讲不定积分的计算方法(I)剖析.
解
sin10 x cos3 x d x sin10 x cos2 x cosx d x
sin10 x cos2 x d sin x sin10 x(1 sin2 x) d sin x
(u10 u12 ) d u
令u sin x
凑微分得
1 u11 1 u13 C 11 13
1 sin11 x 1 sin13 x C .
(3). cosxdx=dsinx. (4). sinxdx=-dcosx.
2.被积函数出现正\余弦函数的奇数次幂时:
例8
求 tan x dx .
拆出个正\余弦的1次幂
解
tan
x
dx
sinx cosx
dx
凑微分得
1 cosx
dc
osx
1 u
du
令u cosx
ln u C
ln cosx C
例9
求 sin 3 x cos x d x .
凑微分得
解 sin3 x cosx d x sin3 x d sin x
令 u sin x, 故
拆出个正\余 弦的1次幂
u3 du
1u4 C 4
1 sin4 x C 4
例10 计算 sin10 x cos3 x d x.
拆出个正\余 弦的1次幂
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（二）
—— 一元微积分学
第二讲 不定积分的计算方法
第五、六章 一元函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积 分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部 分分式法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的 关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）. ▪ 理解广义积分的概念.能运用牛顿—莱布尼兹公式计算 广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运 用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体 的体积、经济应用问题等。
不定积分的求解方法及其拓展
（1）∫▒〖kdx=kx+C〗,其中b是常数.
∫▒〖dx=x+C.〗
（2）∫▒〖x^a dx=1/(a+1)〗 x^(a+1)+C,其中a是常数，且a≠-1.
（3）∫▒dx/x=ln|x|+C,x≠0.
（4）∫▒a^x dx=1/lna a^x+C,其中a>0,且a≠1.
公式②称为分部积分公式。如果求∫▒uv'dx有困难，而求∫▒〖u^' vdx 〗比较容易时，分部积分法就能发挥作用了，分部积分法的作用就是化繁为简.分部积分法的原理是四则运算的求导法则的逆用.分部积分法的关键就是恰当的选择u和v'.选对了u和v^'可使计算比原式更加简单，否则会更加麻烦，甚至无法求出结果.
引言：函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作∫▒〖f(x)dx〗,其中∫▒ 称为积分号，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量。若F(x)是f(x)的某一个原函数，则不定积分可记为∫▒〖f(x)dx=F(x)+C〗,其中C为任意常数.
定积分的思想在古代就已萌芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理论还未形成.直到牛顿——莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进程做出了巨大的贡献。在初学定积分时，学生容易有困难，所以先引进求导的逆运算——求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维.20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过发展.所以不定积分的求解不仅是专业要求，也是适应社会发展的学习趋势.
不定积分26个基本公式
不定积分26个基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一些函数的原函数进行求解。
当我们求解不定积分时，可以利用一些基本的公式来简化计算。
下面将介绍26个常用的基本不定积分公式。
1.幂函数的不定积分：如果k不等于-1，那么∫x^k dx = (1/(k+1)) * x^(k+1) + C2.指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C3.三角函数的不定积分：(1) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(2) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(3) ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C(4) ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C(5) ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C(6) ∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C4.反三角函数的不定积分：(1) ∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C(2) ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C(3) ∫1/，x，(x≠0) dx = sign(x) ln，x， + C，其中sign(x)是x的符号函数5.对数函数的不定积分：(1) ∫1/x dx = ln，x， + C，其中x≠0(2) ∫ln(x) dx = xln，x， - x + C，其中x≠06.双曲函数的不定积分：(1) ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C(2) ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C(3) ∫tanh(x) dx = ln，cosh(x)， + C(4) ∫coth(x) dx = ln，sinh(x)， + C(5) ∫s ech(x) dx = arctan(sinh(x)) + C(6) ∫csch(x) dx = ln，tanh(x/2)， + C7.反双曲函数的不定积分：(1) ∫1/(√(x^2+1)) dx = arsinh(x) + C(2) ∫1/(√(x^2-1)) dx = arcosh(x) + C，其中x≥1(3) ∫1/x dx = arcoth(x) + C，其中，x，>1(4) ∫1/x dx = arcosech(x) + C，其中0<x≤1(5) ∫1/x dx = arccsch(x) + C，其中，x，≥18.部分分式的不定积分：∫(A/(x-a) + B/(x-b)) dx = A ln，x-a， + B ln，x-b， + C，其中a≠b9.三角函数复合函数的不定积分：(1) ∫sin(kx) dx = - (1/k) cos(kx) + C(2) ∫cos(kx) dx = (1/k) sin(kx) + C10.反函数的不定积分：∫f'(x) / f(x) dx = ln，f(x)， + C11.方根的不定积分：(1) ∫√(a^2-x^2) dx = (1/2) (x √(a^2-x^2) + a^2arcsin(x/a)) + C，其中，x，≤a(2) ∫√(x^2+a^2) dx = (1/2) (x √(x^2+a^2) + a^2 ln，x + √(x^2+a^2)，) + C12.有理函数的不定积分：∫(P(x)/Q(x)) dx = F(x) + C，其中F(x)是P(x)/Q(x)的一个原函数这些是常见的基本不定积分公式，掌握了这些公式可以在计算不定积分时减少计算量和复杂性。
不定积分运算法则
由固定成本为2,即q 0，C0 2,
代入可得 C 0 C 2即C0 2;
因此,生产成本函数为 C q q2 3q 2
10
历届试题
（0601，3分）
（0701，3分） （070，3分）
11
基本积分公式
(1) dx x C (2) x dx x1 C ( 1);
1
(3) 1 dx ln | x | C x
(4) axdx ax C; (a 0且a 1) ln a
(5) exdx ex C;
12
(6) sin xdx cos x C;
6
助记词
函数积出原函数， 原函数导出函数！
f (x) 积求分导' F(x) C
7
P221例1
例1 已知曲线y F(x)在任一点x处的切线斜率为2x,且曲线过(1, 2)点, 求此曲线的方程.
解 曲线的切线斜率为2x,即k Fx 2x; 现在要求F x.
（注:此性质可推广到有限多个函数之和）
(2) kf (x)dx k f ( x)dx.（k 是常数，k 0)
14
题型4.2 直接积分法（P226）
知识要求 1、函数变形（化和差、化幂指、化分式、化三角）; 2、积分运算法则(3条)； 3、积分基本公式(9条)。
方法步骤
函数变形---法则拆项--公式计算
复习：
求微分 du u 'dx
例: d(x 3) 3x 2 dx
凑微分 (x)dx u '(x)dx du 例: 2dx ( 2x ) 'dx d ( 2x )
求不定积分的方法与技巧
求不定积分的方法与技巧作者：贡云梅陈贝来源：《读书文摘（下半月）》2017年第08期摘要：随着知识的更新和时代的发展，我国的教育教学工作取得了巨大的成就，其中高等数学的研究工作也有很大的进步，高等数学对于学科研究具有至关重要的作用。
微积分可以说是高等代数中一个非常重要的部分，而不定积分又是它的重中之重，处于核心部分。
然而求解不定积分不是那么简单，本文简单介绍了不定积分的定义和性质，在定义和性质的基础上重点研究求解不定积分的方法和技巧，从而学生更好的掌握解不定积分积分方法和技巧，使之遇到不同的不定积分知道如何入手。
本文详细讲解了高等数学中的各种不定积分方法和技巧，希望在一定程度上为学习者提供帮助。
关键词：不定积分；换元积分法；分部积分法；待定系数1前言为了更好地提高思维逻辑和利用数学手段分析解决问题的能力，学习高等数学是理工科大学生必修的基础理论课之一，而微分学与积分学是高等数学中最重要的部分，二者互为逆运算。
一般的，都是先讲授微分学再讲授积分学，微分学给积分学提供了必要的知识储备。
大家都知道不定积分是积分学的关键，是求定积分的基础，对于不定积分的定义、性质、理论和技巧的牢固掌握，不仅能够促使学生巩固所学的导数和微分的概念，在一定程度上更好地进行复习熟记工作，而且在学习定积分、微分方程和多元函数的积分学等学科的过程中要求定积分的运算熟练。
因此决定了不定积分在数学计算中的重要地位，至还会对其他的课程有一定的影响。
在高等数学中，不定积分的积分方法和技巧有很多，因此归纳总结其积分方法对于学科研究起着重要的作用。
虽然求不定积分的过程没有固定的格式也没有特定的步骤，但是求不定积分的方法具有灵活性和技巧性，这种技巧性大大优于微分运算。
本文在这个基础之上总结归纳了求不定积分的方法和技巧，为以后的学习做铺垫。
2不定积分的积分技巧不定积分的积分方法最主要的是四种，即直接积分法、第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法和分部积分法，这四种积分方法在教科书中都有详细的论述，而且这四种积分方法规定了不定积分方法的大方向，而且是进行不定积分运算的总原则，但是不定积分的积分方法具有灵活性，所以在发展的过程中积分方法也要不断地提高技巧，在这个原则上进行改进是我们不断努力的方向，因为不定积分的积分方法也要做到与时俱进，而在这个大方向上进行改进和拓展是我们的一项任务。
不定积分计算方法总结
不定积分计算方法总结不定积分是微积分中的重要概念之一，它是求一个函数的不定积分，也可以看作是求导的逆运算。
不定积分的计算方法有很多，其中比较常用的方法有换元法、分部积分法、三角函数积分等。
本文将对这些常用的计算方法进行总结，并详细介绍其基本思想和具体步骤。
第一种计算不定积分的方法是换元法。
这种方法的基本思想是将被积函数中的一个变量用另一个相关的变量表示，以求得另一个变量对应的积分表达式。
换元法的具体步骤为：1. 选择合适的变量替换，使得被积函数表达式简化或变得更易积分。
2. 计算新函数的导数，并将其代入原函数中进行替换。
3. 将变量限定在一定的范围内，以确保积分得到的结果是所求问题的。
4. 计算新函数在给定的区间上的积分。
第二种计算不定积分的方法是分部积分法。
这种方法的基本思想是将一个积分分解为两个因子相乘的形式，然后通过对这两个因子的选择和计算，将积分化简为更容易计算的形式。
分部积分法的具体步骤为：1. 选取合适的因子进行积分运算。
2. 计算所选因子的积分和导数，并对原函数进行变形。
3. 进行积分运算并求得结果。
第三种计算不定积分的方法是三角函数积分法。
这种方法主要适用于包含三角函数的积分问题。
其基本思想是通过使用三角函数的性质，对被积函数进行简化或转化，以便于进行积分运算。
三角函数积分法的具体步骤为：1. 利用三角函数的基本性质，将被积函数中的三角函数进行变换。
2. 通过三角函数公式、恒等变形等方法，将积分问题转化为容易计算的形式。
3. 进行积分运算并求得结果。
除了以上三种常用的计算方法，还有一些其他的不定积分计算方法，如分式分解法、特殊函数积分法、部分系数法等。
这些方法在特定的情况下会更加有效。
总体来说，不定积分的计算方法是很多的，并且每一种方法都有其适用范围和具体步骤。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点和计算的要求选择合适的方法。
不定积分的计算方法是微积分学习的重要内容之一，通过掌握和运用这些方法，可以解决各种复杂的积分计算问题。
不定积分计算方法
不定积分计算方法
不定积分是指在定积分难以求解时，可采用某种积分方法来改写原积分形式而求解的积分。
下面是常见的不定积分计算方法：
一、傅里叶变换法
1、原积分的变换函数的傅里叶变换；
2、计算变换函数的傅里叶变换的变量F(s)；
3、把F(s)带入不定积分的表达式中，求出不定积分的值。
二、Laplace变换法
1、原积分的变换函数的Laplace变换；
2、计算变换函数的Laplace变换的变量F(s)；
3、把F(s)带入不定积分的表达式中，求出不定积分的值。
三、格式变换法
1、通过某种变换把不定积分变成定积分形式；
2、根据变换后的积分形式，使用定积分的解法；
3、计算出定积分结果；
4、还原变换，得到不定积分结果。
四、拉普拉斯变换法
1、积分的变换函数的拉普拉斯变换；
2、计算变换函数的拉普拉斯变换的变量F(s)；
3、把F(s)带入不定积分的表达式中，求出不定积分的值。
五、换元法
1、定义理想积分约束条件；
2、通过合法换元变换，把不定积分变换成多个新定积分；
3、利用定积分解法，求出每个定积分的结果；
4、将结果还原，求出不定积分的值。
六、检验方法
1、定义积分约束条件；
2、对不定积分函数作误差估计；
3、使用不定积分的某种方法得出积分的逼近值；
4、计算误差，比较逼近结果是否满足误差估计，如果满足可以接受该结果，否则可以采用更加精确的方法计算。
不定积分的计算
1 1
dx x
2t 1
t
dt
2
t
1 t 1
1
dt
2
dx
t
1 1
dt
2t ln 1 t C.
2 x ln 1 x C.
例2 求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 ex 则 ex t2 1, x ln t 2 1 ,
dx
t
2t 2
dt , 1
1 dx
1 ex
t
解（一） 令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sin
xdx
显然，u,v 选择不当，积分更难进行.
解（二） 令 u x, cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
ln
sin
x
C
例5 求 sin2 x cos xdx.
d sin x cos xdx
解 sin2 x cos xdx sin x2 d sin x
1 sin3 x C.
3
u2du u3 C 3
一般地, 有
sin x f (cos x)dx f (cos x)d cos x;
d(1
x
2
)
x arccos x 1 x2 C
例4 求 x arctan xdx.
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
2-第二讲 不定积分的计算方法(I)
求成本函数.
又固定成本为1000元,即x=0 (不生产)时,y=1000 所以 c=1000,故本函数为:
y 7x 50 x 1000.
例3 解
3x 2 求 2 d x. x 1 3x 2 3x 2 3 3 1 d x d x 3 d x 3 x2 1 x2 1 1 x2 d x
令u cosx
凑微分得
ln cos x C
例9 解
求 sin 3 x cos x d x .
3 3 sin x cos x d x sin x d sin x
凑微分得
令 u sin x, 故
拆出个正\余 弦的1次幂
u3 d u
1 u4 C 4
1 4 sin x C 4
积分的线性性质
8 7 12 5 x x 2 x3 x C . 7 5
直接的积分公式
例2
已知生产的成本y的变化率(边际成本)是产量
25 . 又固定成本为1000元 x的函数, y 7 x
25 y 7 . x 解: 因为 所以y是它的原函数,即:
25 y (7 ) d x 7dx 25x dx 7x 50 x c . x
(2). xadx=d(xa+1)/(a+1).
比如: xdx=d(x2)/2
• 下面介绍两大类型被积函数的积分方法:
二. 三角函数的积分计算例:
1. 先观察下面这个例子的多种求解过程 例7 解
sin 2 x d x . 法1 : sin 2 x d x
求
1 sin 2 x d 2 x 2
记 F (u ) f (u ), 则
不定积分的基本积分公式与性质
不定积分的基本积分公式与性质不定积分是微积分中的重要概念，是求解函数的原函数的过程。
本文将介绍不定积分的基本积分公式和性质。
一、基本积分公式1.定积分求导与不定积分定积分和不定积分是互为逆运算的，即对一个函数进行积分再求导，或者先求导再积分，所得到的结果是相同的。
这个性质表现为两个基本定理：（1）定积分的基本定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
（2）不定积分的基本定理：若函数f(x)在区间I上连续，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数，F(x)为f(x)的一个原函数。
2.基本积分公式（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中k为常数。
（2）幂函数：∫x^ndx = (1 / (n+1)) * x^(n+1) + C，其中n≠-1（3）指数函数：∫e^xdx = e^x + C。
（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C。
（5）反三角函数：∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx + C，∫1/√(1+x^2)dx = arctanx + C。
二、不定积分的性质对于任意常数a、b，函数f(x)和g(x)，有以下性质：（1）∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
（2）∫f'(x)dx = f(x) + C。
2.替换性质：对于一个可导函数u(x)和原函数f(u)，有以下性质：∫f'(u)u'(x)dx = ∫f'(u)du。
3.分部积分法：对于可导函数u(x)和v(x)，有以下积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
4.换元积分法：对于函数f(u)和可导函数u(x)，有以下积分公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx。
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设 b
f fC([ax, b])，F为10,,f
f ( x)dx F(b)
的任1一原x函数 ，0,则 0 x 1.
F(a) : F( x) b ．
a
a
Note：Thm 的条件可减弱为： f ( x) 在[a, b] 上可积，
an ，
∴ a1 2a2
nan
lim x0
f (x) x
．同理，1 lim sin x x0 x
.
由 f ( x) sin x f ( x) sin x ( x 0)
x
x
故，由极限局部保序性知， a1 2a2 nan 1
m
n
凹凸性： f x (1 )y f (x) (1 ) f ( y) 关系
法一（等式右端启发） f ( x) a x , x m, y n loga b
法二（等式左端启发） f ( x) ln x, x am , y bn
ln ab ln a ln b 1 m ln a 1 nln b 1 ln am 1 ln bn
且 f ( x) 在[a, b]上存在原函数 F( x)，则
b f ( x)dx F (b) F (a) ． a
2．不定积分的概念及基本积分公式
1) Def. 2 f ( x) 的原函数的全体（或一般表达式）
称为 f ( x) 不定积分，记为
f ( x)dx ．
若 F ( x)为 f ( x) 的原函数，则
② 运算法则
10 f ( x) g( x)dx f ( x)dx g( x)dx ，（可加性）
20 kf ( x)dx k f ( x)dx ， （齐次性）
n
n
ki fi ( x)dx ki fi ( x)dx ．（线性性质）
i 1
i 1
f ( x)dx F( x) C ， 其中 C 为任意常数
2) 不定积分的几何意义
积分常数
y
... ...
... 0
F(x)
.. .. x
f (x)dx F(x) C
――一簇曲线，相互间只差一常数，
3) 基本积分公式
即从一条曲线上下平移而得
3) 基本积分公式
f ( x)dx
在微[a积,b分]上学可基积本定的理函（数第未一必大有定原理函）数，如
Thm 2 （Newton-Leibniz 公式）
设 b
f fC([ax, b])，F为10,,f
f ( x)dx F(b)
的任1一原x函数 ，0,则 0 x 1.
F(a) : F( x) b ．
a
a
Note：Thm 的条件可减弱为： f ( x) 在[a, b] 上可积，
且 f ( x) 在[a, b]上存在原函数 F( x)，则
b f ( x)dx F (b) F (a) ． a
09-10-2 作业讲评10
表扬： A 有进步 徐力达 02-3，吉月婷 胡乔 02-4
吴竞 02-5 范玉斌 徐磊 聂彤 02-6，
27P143 f ( x) a1 sin x a2 sin 2x an sin nx , f ( x) sin x ．
f (0证) ： a1 2a2 nan 1
(sin x) x0
f (0) lim x0
f ( x) f (0) x0
lim
x0
(2) x2 (1 x2 ) dx = x2 (1 x2 ) dx
=
1 x2
dx
1 1 x2
dx
=
1 x
arctan
x
C
．
结果是否正确，唯一的检验方法
求导，看积分结果的导函数是否为被积函数
例 5 (3) tan2 x dx (sec2 x 1)dx tan x x C
f ( x) 的原函数的全体
① 不定积分是微分（或导数）的逆运算
10 f ( x)dx f ( x) ， 或 d f ( x)dx f ( x)dx
先不定积分再求导 =本身
20 f ( x)dx f ( x) C ， 或 df ( x) f ( x) C ．
③ 基本积分公式
P161 基本积分表
添上
1 dx arccos x C ， 1 x2
1
1 x2
dx
arc cot
x
C．
例5
(1) ( x 1)2 dx = ( x 2 x 1)dx
x2 4 3 = x2 x C
23
1 2 x2
(1 x2 ) x2
m
n
m
n
30(7) P 144 证： ab 1 am 1 bn （ m, n 1, 1 1 1 ）
mn
mn
凹凸性或单调性 有很 构多 造辅种助构函造数辅是助思函路数
单调性： 将一个字母看出变量，其它字母看出常数，
所构造的函数 求导简单，便于后面的计算
在微[a积,b分]上学可基积本定的理函（数第未一必大有定原理函）数，如
∴ f (0) f (1) M ． 错
在区间内部的最值点处用两次 Lagrange 中值 Thm
区间内部的可导的最值点处，导数为零 （Fermat 引理）
30(7) P 144 证： ab 1 am 1 bn （ m, n 1, 1 1 1 ）
mn
mn
凹凸性或单调性 取有很多1种, 1构造辅 助1 函？数f , x, y
EXE
(4)
1 dx
1 x2
1 1
x2
dx
arcsin
x
C1 ，
或 arccos x C2
28P143 在[0,1] 上 f ( x) M ，且 f ( x) 在 (0,1) 内取到最大值．
证： f (0) f (1) M
f , f 联系，由什么建立 Lagrange 中值 Thm
f (1) f (0) f ( ) f (1) f (0) M ，