2014年辽宁省丹东市中考数学真题及答案

2014年丹东市初中毕业生毕业升学考试数 学 试 卷考试时间:120分钟 试卷满分:150分第一部分 客观题（请用2B 铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上）一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共24分） 1.2014的相反数是A. 2014-B. 2014C.D. 2.如图，由4个相同的小立方块组成一个立体图形，它的主视图是A.B.C. D.3.为迎接“2014丹东港鸭绿江国际马拉松赛”，丹东新区今年投入约4000万元用于绿化美化.4000万用科学记数法表示为A. 4×106B. 4×107C. 4×108D. 0.4×1074.下列事件中，必然事件是 A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 打开电视，正在播放广告C. 体育课上，小刚跑完1000米所用时间为1分钟第2题图2014120141-D. 袋中只有4个球，且都是红球，任意摸出一球是红球5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠CBE的度数为A. 70°B. 80°C. 40°D. 30° 6.下列计算正确的是A. 331-=-B. 743x x x =⋅C.532=⋅ D. ()3532q p q p -=-7.如图，反比例函数 和一次函数 的图象交于 A 、B 两点. A 、B 两点的横坐标分别为2，-3.通过观察图象，若 ，则x 的取值范围是A. 20<<xB. 03<<-x 或 2>xC. 20<<x 或 3-<xD. 03<<-x8.如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB =90°，AB =2，点D 为AB的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为 A. 212+πB. 41-πC. 214+πD. 214-π第二部分 主观题（请用0.5mm 黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上）二、填空题（每小题3分，共24分）xx ky 11=21y y >bx k y +=22第8题图B ACDE FB A 第5题图E CD第9题图1 2 abx -3yO AB 第7题图29.如图，直线a ∥b ，将三角尺的直角顶点放在直线b 上， ∠1=35°，则∠2= .10.一组数据2，3，x ，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 .11.若式子 有意义，则实数x 的取值范围是 . 12.分解因式：22344xy y x x +-= .13.不等式组 的解集为 . 14.小明和小丽到文化用品商店帮助同学们买文具.小明买了3支笔和2个圆规共花19元；小丽买了5支笔和4个圆规共花35元.设每支笔x 元，每个圆规y 元.请列出满足题意的方程组 .15.如图，在菱形ABCD 中，AB =4cm ，∠ADC =120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm /s ，点F 的速度为2cm /s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为 .16.如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴和y 轴上， OA=1，OB =3，连接AB ，过AB 中点C 1分别作x 轴和y 轴的 垂线，垂足分别是点A 1、B 1，连接A 1B 1，再过A 1B 1中点C 2作x 轴和y 轴的垂线，照此规律依次作下去，则点C n 的坐标为 .第16题图A 2 A 1 AO xBB 1 B 2C 1C 2y x x -2⎩⎨⎧<->+.423,532x x C BA D EF第15题图三、解答题（每小题8分，共16分） 17.计算：()231260tan 330-+-︒+-π.18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标为A (1,-4) ，B (3，-3) ，C (1，-1).（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）将△ABC 沿y 轴方向向上平移5个单位，画出平移 后得到的△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°，画出旋转后得 到的△A 2B 2C 2，并直接写出点A 旋转到点A 2所经 过的路径长.四、（每小题10分，共20分）19.某中学开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，决定开设A ：踢毽子；B ：篮球；C ：跳绳；D ：乒乓球四种运动项目.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两个统计图.请结合图中的信息解答下列问题：yxOA BC第18题图第19题图B C D A B C D 8060 40 20 0803050人数（单位：人）项目A 40%25% 20%（1）本次共调查了多少名学生？ （2）请将两个．．统计图补充完整. （3）若该中学有1200名学生，喜欢篮球运动项目的学生约有多少名？20.某服装厂接到一份加工3000件服装的订单.应客户要求，需提前供货，该服装厂决定提高加工速度，实际每天加工的件数是原计划的1.5倍，结果提前10天完工.原计划每天加工多少件服装？ 五、（每小题10分，共20分）21.甲、乙两人用如图所示的两个分格均匀的转盘A 、B 做游戏，游戏规则如下：分别转动两个转盘，转盘停止后，指针分别指向一个数字（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）.用所指的两个数字相乘，如果积是奇数，则甲获胜；如果积是偶数，则乙获胜.请你解决下列问题：（1）用列表格或画树状图的方法表示游戏所有可能出现的结果. （2）求甲、乙两人获胜的概率.A B12 34 57 6第21题图22.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°,以AB 为直径的⊙O 与AC 边交于点D ，过点D 的直线交BC 边于点E ，∠BDE =∠A ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由. （2）若⊙O 的半径R =5，tan A = ，求线段CD 的长.六、（每小题10分，共20分）23.禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘 可疑船只，测得A 、B 两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行.我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C 处将可疑船只拦截. 求该可疑船只航行的速度. （参考数据：sin 27°≈209，cos 27°≈109，tan 27°≈21，sin 53°≈54，cos 53°≈53，tan 53°≈34）24.在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套.设销售单价为x （x ≥60）元，销售量为y 套.（1）求出y 与x 的函数关系式.43第22题图 EABCDO53°北 A 第23题图BC27°（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是 ] 七、（本题12分）25.在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，将△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC 1、BD 1，AC 1与BD 1交于点P . （1）如图1，若四边形ABCD 是正方形.①求证：△AOC 1≌△BOD 1.②请直接写出AC 1 与BD 1的位置关系.（2）如图2，若四边形ABCD 是菱形，AC =5，BD =7，设AC 1=k BD 1.判断AC 1与BD 1的位置关系，说明理由，并求出k 的值. （3）如图3，若四边形ABCD 是平行四边形，AC =5，BD =10，连接DD 1，设AC 1=kBD 1.请直接写出k 的值和 的值.2121)(kDD AC +PAB C DD 1OC 1 C DAB D 1PC 1O图1 图2 图3第25题图CDABD 1P C 1O)44,2(2ab ac a b --八、（本题14分）26.如图1，抛物线y=ax 2+bx -1经过A （-1,0）、B （2,0）两点，交y 轴于点C ．点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC 的表达式. （2）如图1，当点P的横坐标为 时，求证：△OBD ∽△ABC . （3）如图2，若点P 在第四象限内，当OE =2PE 时，求△POD 的面积.（4）当以点Ｏ、Ｃ、Ｄ为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P 的坐标.32x PA BCO PxyxyAB CO D E图1 图2 备用图yA B CO DE第26题图201４年丹东市初中毕业生毕业升学考试数学试卷参考答案及评分标准 （若有其它正确方法，请参照此标准赋分）一、选择题：(每小题3分，共24分)二、填空题（每小题3分，共24分）9. 55° 10. 3 11. x ≤2且x ≠0 12. x(x-2y)213. 1<x<2 14. ⎩⎨⎧=+=+35451923y x y x 15. 3416. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 23,21 三、解答题（每小题8分，共16分） 17.解：()231260tan 33-0-+-︒+π3232331-+-+=………………………………………………４分3=…………………………………………………………………………８分18. 解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求. …………………………３分（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求. …………………………６分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案A CB D D BC DC 2B 2A 2C 1B 1A 1CBA O yx点A 旋转到点A 2所经过的路径长为：217π………………８分 四、（每小题10分，共20分） 19.解：（1）80÷40%=200（人）∴本次共调查200名学生. ………３分 （2）补全如图（每处2分）. …………………７分 （3）1200×15%=180（人）∴该学校喜欢乒乓球体育项目的学生约有180人. ……………………１０分20.解：该服装厂原计划每天加工x 件服装，则实际每天加工1.5x 件服装，根据题意，得…………………………１分105.130003000=-xx ………………………………………５分解这个方程得x=100…………………………………………………………………８分经检验，x=100是所列方程的根. …………………………………９分答：该服装厂原计划每天加工100件服装. ……………………１０分 五、（每小题10分，共20分）4025%D C20%15%B40%A 人数（单位：人）项目D C BA 5030808060402021.解：（1）所有可能出现的结果如图：方法一：列表法方法二：树状图法…………………………………………………４分（2）从上面的表格（或树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同，其中积是奇数的结果有4种，即5、7、15、21，积是偶数的结果有8种，即4、6、8、10、12、14、12、18. …………………………………………６分∴甲、乙两人获胜的概率分别为：31124)(==甲获胜P，32128)(==乙获胜P……１０分22. （1）解：直线DE与⊙O相4 (3,4) 125 (3,5) 156 (3,6) 187 (3,7) 214 (2,4) 85 (2,5) 106 (2,6) 127 (2,7) 144 (1,4) 45 (1,5) 56 (1,6) 67 (1,7) 7123开始45671（1，4） 4（1，5） 5（1，6） 6（1，7） 72（2，4） 8（2，5） 10（2，6） 12（2，7） 143（3，4） 12（3，5） 15（3，6） 18（3，7） 21AB切. ……………………………………………………１分理由如下：连接OD . ∵OA=OD ∴∠ODA=∠A 又∵∠BDE=∠A ∴∠ODA=∠BDE ∵AB 是⊙O 直径 ∴∠ADB=90°………………………………………………………3分即∠ODA+∠ODB=90° ∴∠BDE+∠ODB=90° ∴∠ＯＤＥ＝90° ∴ＯＤ⊥ＤＥ ∴DE 与⊙O 相切. ………………………………………………………５分（2）∵R=5∴AB =10在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ∵tanA=ABBC ＝43∴BC= AB ·tanA=10×43=215…………………………6分∴E CD BAOA BC53°北27°DAC=225215102222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+BC AB …………………………7分∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB ∴△BCD∽△ACB …………………………8分∴CACB CBCD =∴…………………………………１０分（其它解法参考此标准赋分）六、（每小题10分，共20分）23.解：如图，根据题意可得，在△ABC 中，AB=99海里，∠ABC=53°，∠BAC=27°，过点C作CD ⊥AB ，垂足为点Ｄ. ……………………………１分设BD=x 海里，则AD=（99-x ）海里，在Rt △BCD 中，BDCD=︒53tan ，则CD=x ·tan53°≈x 34海里. ………………………………３分 在Rt △ACD 中， ，则29225)215(22===CA CB CD ADCD =︒27tan )99(2127tan x AD CD -≈︒⋅=∴ x 34=)99(21x -………………………………………………5分解得，x=27，即BD=27. ……………………………………７分在Rt △BCD 中，BCBD =︒53cos ，则BC= 4545÷2=22.5（海里/时） ………………………………………９分∴该可疑船只的航行速度为22.5海里/时. ………………………１０分（其它解法参考此标准赋分）24.解：（1）20560240⨯--=x y∴y=-4x+480 …………………………２分（2）根据题意可得，x （- 4x+480）=14000…………………………………４分解得，x 1=70，x 2=50（不合题意舍去）∴当销售价为70元时，月销售额为14000元. ………………………６分（3）设一个月内获得的利润为ｗ元，根据题意，得ｗ=（x-40）=≈︒532753cos BD（-4x+480）……………………………………………………８分=-4x 2+640x-19200 =-4（x-80）2+6400当x=80时，ｗ的最大值为6400∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元.………………………………………１０分 七、（本题１２分）25.解： （1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形∴ＡＣ＝ＢＤ，OC ＝OA=21ＡＣ，ＯＤ＝OB=21ＢＤ ∴OC=OA=ＯＤ＝OB ，∵△C 1OD 1由△COD 绕点O 旋转得到∴O C 1= OC ，O D 1=OD ，∠CO C 1=∠DO D 1 ∴O C 1= O D 1 ∠AO C 1=∠BO D 1∴△A O C 1≌△BOD 1………………………………３分②ＡC 1⊥BD 1………………………………………４分（2）ＡC 1⊥BD 1…………………………………………５分理由如下：∵四边形ABCD 是菱形PABCDD 1OC 1图1CDABD 1 PC 1O图2CDABD 1P C 1 O图3∴OC ＝OA=21ＡＣ，ＯＤ＝OB=21ＢＤ，AC ⊥BD ∵△C 1OD 1由△COD 绕点O 旋转得到 ∴O C 1= OC ，O D 1=OD ，∠CO C 1=∠DO D 1 ∴O C 1＝OA ，O D 1＝OB ，∠AO C 1=∠BO D 1 ∴OB OD OA OC 11=∴OBOA OD OC =11∴△A O C 1∽△BOD 1………………………………７分∴∠O AC 1= ∠OB D 1又∵∠AOB=90°∴∠O AB+∠ABP+∠OB D 1=90° ∴∠O AB+∠ABP+∠O AC 1=90° ∴∠APB=90° ＡC 1⊥BD 1∵△A O C 1∽△BOD 1∴75212111====BD AC BD ACOB OA BD AC∴75=k ……………………………………… ９分（其它方法按此标准赋分）（3）21=k …………………………………………… １０分25)(2121=+kDD AC …………………………………１２分图1图2 第26题图xAB CP yO D ExPO y AB C DE八、（本题１４分）26. 解：（1）抛物线表达式：1212121--=x x y …………………………２分直线BC 的表达式：1212-=x y…………………………３分（2）如图1，当点P 的横坐标为32 时，把x=32代入1212-=x y，得32132212-=-⨯=y …………４分∴DE=32又∵OE=32，∴DE=OE ∵∠OED =90° ∴∠EOD=45°又∵ＯＡ＝ＯＣ＝１，∠ＡＯＣ =90° ∴∠O ＡＣ=45° ∴∠O ＡＣ=∠EOD 又∵∠ＯＢＤ=∠ＡＢＣ△OBD ∽△ABC ……………………………………６分（3）设点P 的坐标为P （x ，121212--x x） ∴ＯＥ＝x ，P Ｅ＝121212--x x＝121212++-x x又∵OE=2PE ∴)12121(22++-=x xx 解得21=x 22-=x （不合题意舍去）…………………８分∴Ｐ、Ｄ两点坐标分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,2P ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222,2D …………９分 ∴ＰＤ＝12)22(222-=--- ＯＥ＝2∴()2222122121-=⋅-⋅=⋅⋅=∆OE PD S POD ……………………１０分 （4）(),1,11-P,2527,542⎪⎭⎫ ⎝⎛-P ,553,5523⎪⎪⎭⎫⎝⎛--P .553,5524⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--P ……………１４分O。