高中数学 第一章 坐标系 1.5.2 球坐标系学案 新人教B版选修44
高中数学4-4第一章坐标系全部教案北师大版选修四
高中数学选修4-4坐标系与参数方程一、[课程目标]本专题的内容包括：坐标系、曲线的极坐标方程、平面坐标系中几种变换、参数方程。
通过本专题的教学，使学生简单了解柱坐标系、球坐标系，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式；通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，使学生体会数学在实际中的应用价值；培养学生探究数学问题的能力和应用意识。
二、[知识结构网络]第一章坐标系[课标要求]1．坐标系：了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化。
了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法〔本节内容不作要求〕。
2．曲线的极坐标方程：了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形〔过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆〕的极坐标方程。
3．平面坐标系中几种常见变换〔本节内容不作要求〕了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换。
第一课时直角坐标系一、教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：〔一〕、平面直角坐标系与曲线方程1、教师设问：问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？问题3：(1).如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系？(2).平面直角坐标系中点和有序实数对(x,y)是怎样的关系？问题4：如何研究曲线与方程间的关系？结合课本例子说明曲线与方程的关系？2、思考交流：(1).在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2,3)、 5为半径的圆的方程是什么？〔2〕.在平面直角坐标系中，圆心坐标为〔a,b)半径为r的圆的方程是什么?3、、学生活动：学生回顾并阅读课本，思考讨论交流。
高中数学 第1章坐标系教案 新人教版选修4-4
坐标系【基础知识导学】1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。
2、 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。
3、 坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。
应注意：通过一个表达式，平面直角坐标系中坐标伸缩变换将x 与y 的伸缩变换统一成一个式子了，即⎩⎨⎧>='>=0,0,/μμλλy y x x 我们在使用时，要注意对应性，即分清新旧。
【知识迷航指南】【例1】（2005年江苏）圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN ，试建立适当的坐标系，求动点P 的轨迹方程。
解：以直线O 1O 2为X 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系，则两圆的圆心坐标分别为O 1（-2，0），O 2（2，0），设P （y x ,） 则PM 2=PO 12-MO 12=1)2(22-++y x同理，PN 2=1)2(22-+-y x因为PM=2PN ，即1)2(22-++y x =2[1)2(22-+-y x ]，即,031222=++-y x x 即,33)6(22=+-y x 这就是动点P 的轨迹方程。
【点评】这题考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目。
【例2】在同一直角坐标系中，将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，求满足图象变换的伸缩变换。
分析：设变换为⎩⎨⎧>⋅='>⋅='),0(,),0(,μμλλy y x x 可将其代入第二个方程，得42=-y x μλ，与22=-y x 比较，将其变成,442=-y x 比较系数得.4,1==μλX【解】⎩⎨⎧='='yy x x 4，直线22=-y x 图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍可得到直线42='-'y x 。
高中数学 第一章 坐标系 1.4 柱坐标系与球坐标系简介教案 新人教A版选修4-4(2021年整理)
广西南宁市高中数学第一章坐标系1.4 柱坐标系与球坐标系简介教案新人教A版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广西南宁市高中数学第一章坐标系1.4 柱坐标系与球坐标系简介教案新人教A版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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四 柱坐标系与球坐标系简介教学目的：知识目标:了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标:了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式:启发、诱导发现教学。
教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置,即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课：1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP,记| OP ｜=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ,P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0,0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。
高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系导学案(无答案)新人教B版选修4-4(2021年整理)
辽宁省北票市高中数学第一章坐标系1.2 极坐标系导学案（无答案）新人教B版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省北票市高中数学第一章坐标系1.2 极坐标系导学案（无答案）新人教B版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2极坐标系一、 学习目标及学法指导1．学习目标：了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化2．重、难、考点：点的极坐标，极坐标和直角坐标的互化 二、预习案预习教材6-9页并完成下列问题：1. 极坐标系的概念:（1） 在平面上取一定点O,由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向），合称为一个____________。
O 点称为________，Ox 称为________.平面上任一点M 的位置可以由_____________和________________来刻画。
这两个数组成的有序数对_______称为点M 的__________。
ρ称为_________，θ称为__________。
（2） 在极坐标），（θρ中，一般限定_________.当0=ρ时，就与________重合,此时θ________。
给定点的极坐标_________,就________地确定了平面上的一个点。
但是,平面上一个点的极坐标并不是_________,它有_____________表示形式。
事实上，），（θρ和____________代表同一个点，其中k 为整数.由此可见，平面上的点与它的极坐标不是_________对应关系。
人教B版高中数学选修4-4课件 1.5.2 球坐标系课件2
z P (r,, )
r
O
x
那么，有序数组(r, , )就成为点P的球坐标.
r是矢径， 相当于经度， 称为余纬度.
当 r 0, 0 , 0 2 时，空间的点
(除直线Oz上的点)与有序数组(r, , )建立了一
一对应关系。
数学运用
例1、建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体。
z
y
r
sin
z z
z P(r ,, z)
z
Or
x
Q
数学运用
1、设点的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的
坐标. 1 r cos
1 r sin
1 z
解得
r
点在柱坐标系中的坐标为 (
2,
4
2, ,1)
.
4
注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致.
2、设点M的柱坐标为(2, ,7),求它的直角坐标。
之间的变换关系:
x2 y2 z2 r2
z
P (r, , )
r
z
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
O
x
y
x
z
r≥ 0,
0≤ ≤, 0≤ ＜2
1、设点P的球坐标为 (2, 3 , 3 ) ，求它的直Fra bibliotek坐标.44
点在直角坐标系中的坐标为(1,1, 2)
2、设点P的直角坐标为(6, 2 3, 4)，求 它的球坐标.
问题:
那么怎样确定它们在空间的位置呢?
建构数学 z
在空间任取一点O作为
极点，从O引两条相互
垂直的射线Ox和Oz作
高中数学第1章坐标系1.5柱坐标系和球坐标系人教B版选修4_4
[答案] B
3．设点 M 的直角坐标为(－1，－ 3，3)，则它的柱坐标是( )
A．(2，π3，3)
B．(2，23π，3)
C．(2，43π，3)
D．(2，53π，3)
3．设点 M 的直角 [解析] ∵ρ＝ －12＋－ 32＝2，
坐标为(－1，－ 则它的柱坐标是(
3，3)， )
tan
θ＝－－13＝
[解] 设点的直角坐标为(x，y，z)． (1)∵(ρ，θ，z)＝(2，56π，3)，
x＝ρcos θ＝2cos56π＝－ 3，
∴y＝ρsin
θ＝2sin56π＝1，
z＝3，
因此所求点的直角坐标为(－ 3，1,3)．
(2)∵(ρ，θ，z)＝( 2，4π，5)，
x＝ρcos θ＝ 2cos4π＝1，
由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 M 的柱坐
x＝ρcos θ，
标为(ρ，θ，z)代入变换公式y＝ρsin θ， z＝z.
求 ρ；也可以利用 ρ2＝x2
＋y2，求 ρ.利用 tan θ＝yx，求 θ，在求 θ 的时候特别注意角 θ 所在的 象限，从而确定 θ 的取值．
1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)(2，56π，3)；(2)( 2，4π，5)．
1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要 明确点的球坐标(r，θ，φ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz，Ox 的关系，注 意各自的限定范围，即 0≤θ<2π，0≤φ≤π.
2．化点的球坐标(r，θ，φ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式
x＝rsin φcos θ，
y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ.
高中数学第一章柱坐标系和球坐标系学案北师大版选修4_4
§3 柱坐标系和球坐标系1．了解在柱坐标系，球坐标系中刻画空间点的位置的方法． 2．掌握点的坐标系之间的互化，并能解决简单的实际问题．1．柱坐标系在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z 轴，这样就建立了柱坐标系(如图)．设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的______，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的______； θ＝常数，表示的是过z 轴的______；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的____． 显然，点M 的直角坐标与柱坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ ，z ＝z .【做一做1－1】点A 的柱坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，7，则它的直角坐标是__________．【做一做1－2】点B 的直角坐标为(1，3，4)，则它的柱坐标是__________．2．球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM →与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图)．这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的______，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π，特别地，r ＝常数，表示的是____________；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面．点M 的直角坐标与球坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos θ＝ ，y ＝|OP |sin θ＝ ，z ＝ .【做一做2－1】设点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，34π，则它的直角坐标是__________．【做一做2－2】将点M (1，－1，6)化成球坐标为__________．1．在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系． 有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．2．空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法，它们有什么联系和区别？ 剖析：在直角坐标系中，我们需要三个长度x ，y ，z ；而在柱坐标系中，我们需要长度，还需要角度，它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要r ，θ，z .空间直角坐标：设点M 为空间一已知点．我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P ，Q ，R ，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x ，y ，z .于是空间的一点M 就唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．这个组数(x ，y ，z )就叫做点M 的坐标，并依次称x 、y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．(如图所示)坐标为(x ，y ，z )的点M 通常记为M (x ，y ，z )．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M 和有序数组(x ，y ，z )之间的一一对应关系．如果点M 在yOz 平面上，则x ＝0；同样，zOx 平面上的点，y ＝0；xOy 平面上的点，z ＝0.如果点M 在x 轴上，则y ＝z ＝0；如果点M 在y 轴上，则x ＝z ＝0；如果点M 在z 轴上，则x ＝y ＝0.如果M 是原点，则x ＝y ＝z ＝0等．这两种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．答案：1．柱坐标 圆柱面 半平面 平面 r cos θ r sin θ【做一做1－1】(3，1,7) x ＝r cos θ＝2·c os π6＝3，y ＝r sin θ＝2sin π6＝1，z ＝7，∴点A 的直角坐标为(3，1,7)．【做一做1－2】⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，4 x ＝1＝r cos θ，y ＝3＝r sin θ，∴tan θ＝ 3.∵0≤θ＜2π，x ＞0，∴θ＝π3，r ＝2，z ＝4，∴点B 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，4.2．球坐标 以原点为球心的球面 r sin φcos θ r sin φsin θ r cos φ 【做一做2－1】(－1,1，－2) 由公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin 34πcos 34π＝－1，y ＝2sin 34πsin 34π＝1，z ＝2cos 34π＝－2，∴点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．【做一做2－2】⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，3π4 设点M 的球坐标为(γ，φ，θ)， 则r ＝12＋－2＋62＝22，tan φ＝x 2＋y 2z ＝12＋126＝33，由0≤φ≤π，知φ＝π6，又tan θ＝y x ＝－11＝－1,0≤θ＜2π，x ＞0，∴θ＝3π4.∴M (1，－1，6)的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π6，3π4.题型一 柱坐标与直角坐标的互化【例1】将点M 的直角坐标化为柱坐标，将点P 的柱坐标化为直角坐标．(1)M (－1，3，2)；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1.分析：利用相关公式代入进行转化求值．反思：已知直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(r ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z求r ，也可以利用r 2＝x 2＋y 2求r ，利用tan θ＝yx求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值；已知柱坐标求直角坐标时，将r ，θ，z 的值代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z即可．题型二 球坐标与直角坐标的互化【例2】将点M 的直角坐标化为球坐标，点P 的球坐标化为直角坐标．(1)M (1，3，2)；(2)P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，π3.分析：利用相关公式代入进行转化求值．反思：由点M 的直角坐标化为球坐标时，可以先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ代入点的球坐标即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，c O s φ＝zr.由直角坐标求球坐标，在确定θ和φ的取值时，要特别注意θ和φ的取值范围以及点M 的位置，由球坐标化为直角坐标时，可直接代入变换公式，计算x ，y ，z 的值即可．题型三 柱坐标、球坐标的实际应用【例3】一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度．题型四 易错题型【例4】将直角坐标系中的点M (－3，3，3)转化成柱坐标． 错解：设点M 的柱坐标为(r ，θ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z ，得⎩⎨⎧－3＝r cos θ，3＝r sin θ，z ＝3.∴tan θ＝－33. ∵0≤θ＜2π，∴θ＝56π或θ＝116π.当θ＝56π时，r ＝23；当θ＝116π时，r ＝－2 3.∴M 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，56π，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，116π，3. 错因分析：在求解θ时，没有注意还有一个条件即x ＝－3＜0，∴θ＝56π.另r ∈[0，＋∞)，故r ＝－23＜0错误． 答案：【例1】解：(1)设M 点的柱坐标为(r ，θ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z⇒⎝ ⎛－1＝r cos θ，3＝r sin θ，z ＝2，⇒tan θ＝－ 3.又∵0≤θ＜2π，x ＜0，∴θ＝2π3，r ＝2.∴M 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，2.(2)设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos π4＝2，y ＝r sin θ＝2sin π4＝2，z ＝z ＝1，∴点P 的直角坐标为(2，2，1)．【例2】解：(1)设M 点的球坐标为(r ，φ，θ)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ⇒⎩⎨⎧1＝r sin φcos θ，3＝r sin φsin θ，2＝r cos φ，∴tan θ＝ 3.∵0≤θ＜2π，x ＞0，∴θ＝π3，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋32＋22＝2 2.∴2＝22cos φ.∴cos φ＝22. ∵0≤φ≤π，∴φ＝π4.∴M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，π3. (2)设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝ 3.∴P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3.【例3】解：以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫203，17π16，2.8. 【例4】正解：设点M 的柱坐标为(r ，θ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧tan θ＝y x ＝－33，z ＝3.∵0≤θ＜2π且x ＜0，∴θ＝56π，r ＝2 3.∴M 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，56π，3.1设点M 的直角坐标为(1，9)，则它的柱坐标是( )．A ．π2,,93⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2π2,,93⎛⎫⎪⎝⎭C ．4π2,,93⎛⎫⎪⎝⎭D ．5π2,,93⎛⎫ ⎪⎝⎭2在球坐标系中，M ππ4,,46⎛⎫ ⎪⎝⎭与N π24,,π43⎛⎫⎪⎝⎭两点间的距离是__________．3设点A 的柱坐标为π4，则它的球坐标为__________．4用两个平行平面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们分别为A π8,,4A θ⎛⎫⎪⎝⎭、B 3π8,,4B θ⎛⎫⎪⎝⎭，求出这两个截面间的距离． 答案：1．D ∵r ＝12＋－32＝2，θ＝5π3，z ＝9，∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，9.2．4 设点M ⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，π6的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝4sin π4cos π6＝4×22×32＝6，y ＝r sin φsin θ＝4sin π4sin π6＝4×22×12＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝2 2.∴M 点的直角坐标为(6，2，22)，同理，N 点的直角坐标为(－2，6，22)． ∴|MN |＝6＋22＋2－62＋2－222＝4.3．⎝⎛⎭⎪⎫22，π6，π4 设A 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝r cos θ＝2cos π4＝1，y ＝r sin θ＝2cos π4＝1，z ＝6，∴点A 的直角坐标为(1,1，6)． 设点A 的球坐标为(r ，φ，θ)．则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ⇒⎩⎨⎧1＝r sin φcos θ，1＝r sin φsin θ，6＝r cos φ.∴tan θ＝1.又∵0≤θ＜2π，x ＞0，∴θ＝π4，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋62＝2 2.∴cos φ＝622＝32. 又∵0≤φ≤π，∴φ＝π6.∴点A 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π6，π4. 4．解：如图，由题意可知，O 1O 2即为两个截面间的距离．∵|OA |＝|OB |＝8，∠AOO 1＝π4，∠BOO 1＝3π4， ∴在△AOO 1中，|OO 1|＝|OA |cos π4＝4 2.在△BOO 2中，|OO 2|＝|OB |cos π4＝4 2.则|O 1O 2|＝|OO 1|＋|OO 2|＝42＋42＝82，即两个截面间的距离为8 2.。
高中数学 第一章 坐标系 1 平面直角坐标系学案 北师大版选修44
§1 平面直角坐标系[对应学生用书P1][自主学习]1．平面直角坐标系与曲线方程(1)平面直角坐标系中点和有序实数对的关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．(2)平面直角坐标系中曲线与方程的关系：曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解； ②以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，方程f (x ，y )＝0叫作曲线C 的方程，曲线C 叫作方程f (x ，y )＝0的曲线． (3)一些常见曲线的方程： ①直线的方程：ax ＋by ＋c ＝0；②圆的方程：圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ③椭圆的方程：中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1； ④双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上，实轴长为2a ，虚轴长为2b 的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1；⑤抛物线的方程：顶点在原点，以x 轴为对称轴，开口向右，焦点到顶点距离为p2的抛物线方程为y 2＝2px .2．平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．[合作探究]1．如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？ 提示：①如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点； ②如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；④如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状，那平移变换呢？ 提示：平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状、大小．[对应学生用书P1]到G 的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G 的方程．(2)在边长为2的正△ABC 中，若P 为△ABC 内一点，且|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线．[思路点拨] 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等．解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线．[精解详析] (1)由已知设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则2a ＝12，知a ＝6.又离心率e ＝ca ＝32，故c ＝3 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.(2)以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点，BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设P (x ，y )是轨迹上任意一点，又|BC |＝2，∴B (－1,0)，C (1,0)，则A (0，3)；∵|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，∴x 2＋(y －3)2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2. 化简得x 2＋(y ＋3)2＝4. 又∵P 在△ABC 内，∴y >0.∴P 点的轨迹方程为x 2＋(y ＋3)2＝4(y >0)．其曲线如上图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆孤．1．求曲线方程的方法：(1)已知曲线类型求方程一般用待定系数法；(2)求动点轨迹方程常用的方法有：①直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：a．建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；b．写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；c．用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；d．化简方程f(x，y)＝0；e．检验或证明d中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则e可以省略．②定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．③代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．④参数法：动点P(x，y)的横坐标、纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．2．根据曲线的方程画曲线时，关键根据方程判定曲线的类型，是我们熟知的哪种曲线，但要注意是曲线的全部还是局部．1．在△ABC中，底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G 的轨迹方程．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，过原点且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (6,0)，C (－6,0)，|BD |＋|CE |＝30， 可知|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20，∴重心G 的轨迹是以(－6,0)，(6,0)为焦点，2a ＝20的椭圆，且y ≠0，其轨迹方程为：x 2100＋y 264＝1(x ≠±10)．[例2] 和正方形BCFG ，连接EC ，AF ，且EC ，AF 交于点M ，连接BM .求证：BM ⊥AC .[思路点拨] 本题考查坐标法在解决平面几何中垂直、平行、线段相等、平分等问题中的应用，解答此题需要先建立适当的平面直角坐标系，设出相关点的坐标，求出相关线的方程，求出k BM ，k AC ，证明k BM ·k AC ＝－1，即可．[精解详析] 如图，以两条直角边所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系．设正方形ABDE 和正方形BCFG 的边长分别为a ，b ，则A (0，a )，B (0,0)，C (b,0)，E (－a ，a )，F (b ，－b )．直线AF ：y ＋b a ＋b ＝x －b0－b， 即(a ＋b )x ＋by －ab ＝0； 直线EC ：y －0a －0＝x －b－a －b， 即ax ＋(a ＋b )y －ab ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b x ＋by －ab ＝0，ax ＋a ＋b y －ab ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2b a 2＋ab ＋b 2，y ＝ab2a 2＋ab ＋b 2.即M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b a 2＋ab ＋b 2，ab 2a 2＋ab ＋b 2.故k BM ＝b a .又k AC ＝0－a b －0＝－ab，∴k BM ·k AC ＝－1， ∴BM ⊥AC .坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步，把代数运算结果翻译成几何结论．2．已知正△ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0.设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y 2－3ay ＋5a24＝3x 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立， ∴所求最小值为a 2，此时P 点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ，它是正△ABC 的中心．[例3] 在下列平面直角坐标系中，分别作出25＋9＝1的图形．(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．[思路点拨] 本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换对图形的影响及数形结合思想，解决此题只需根据坐标轴的伸缩变换找出变换后x 轴、y 轴单位长度的变化情况，再作出图形即可．[精解详析] (1)建立平面直角坐标系使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，则x 225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图②.(3)如果y 轴上的单位长度不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图③.一般地，在平面直角坐标系xOy 中：(1)使x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍(k >0)，则当k ＝1时，x 轴与y 轴具有相同的单位长度；即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝y的伸缩变换，当k >1时，相当于x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝1k y 的伸缩变换，当0<k <1时，相当于y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的k 倍，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝kx ，y ′＝y 的伸缩变换．(2)在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.本例中若x 轴的单位长度为y 轴上单位长度的35，则椭圆x 225＋y29＝1的图形如何？解：如果y 轴上的单位长度不变，x 轴的单位长度缩小为原来的35，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝35x ，y ′＝y ，则x 225＋y 29＝1的图形变为圆．本课时主要考查平面直角坐标系中曲线的求解，常与平面几何知识结合．[考题印证]设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q满足BQ ＝λQA ，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM ＝λMP ，求点P 的轨迹方程．[命题立意] 本题考查直线和抛物线的方程、平面向量的概念、性质与运算、动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养．[自主尝试] 由QM ＝λMP 知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上， 故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)， 则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①再设B (x 1，y 1)，由BQ ＝λQA ， 即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝＋λx －λ，y 1＝＋λy 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝＋λx －λ，y 1＝＋λ2x 2－λ＋λy －λ.③又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21， 再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2，(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2， 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0. 因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.[对应学生用书P4]一、选择题1．方程x 2＋xy ＝0的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线解析：选C 方程变形为x (x ＋y )＝0，∴x ＝0或x ＋y ＝0，而方程x ＝0，x ＋y ＝0表示的是直线，∴C 正确．2．已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，且sin B －sin C ＝12sinA ，若以底边BC 为x 轴、底边BC 的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A 的轨迹方程是( )A.x 29－y 227＝1 B.x 29－y 227＝1(x ＜－3) C.x 227－y 29＝1 D.x 227－y 29＝1(x ＜－3) 解析：选B 由题意知，B (－6,0)，C (6,0) 由sin B －sin C ＝12sin A 得b －c ＝12a ＝6，即|AC |－|AB |＝6.所以点A 的轨迹是以B (－6,0)，C (6,0)为焦点，2a ＝6的双曲线的左支且y ≠0.其方程为x 29－y 227＝1(x <－3)．3．已知一椭圆的方程为x 216＋y 24＝1，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( )解析：选B 如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则该椭圆的形状为选项B 中所示．4．平面内有一条固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值是( )A.32B.12 C ．2D ．3解析：选A 以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一部分.2c ＝4，c ＝2,2a ＝3，∴a ＝32.∴b 2＝c 2－a 2＝4－94＝74.∴点P 的轨迹方程为x 294－y 274＝1(x ≥32)．由图可知，点P 为双曲线与x 轴的右交点时，|OP |最小，|OP |的最小值是32.二、填空题5．已知点A (－2,0)，B (－3,0)，动点P (x ，y )满足PA ·PB ＝x 2＋1，则点P 的轨迹方程是________．解析：由题意得PA ＝(－2－x ，－y )，PB ＝(－3－x ，－y )． ∴PA ·PB ＝(－2－x )(－3－x )＋(－y )2＝x 2＋1. 即y 2＋5x ＋5＝0. 答案：y 2＋5x ＋5＝06．在平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点A (4,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC ＝m OA ＋n OB ，其中m ，n ∈[0,1]，且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为________．解析：由题意知，A ，B ，C 三点共线且C 在线段AB 上，点A ，B 所在的直线方程为2x ＋5y －13＝0，且点C 的轨迹为线段AB ，所以，点C 的轨迹方程为2x ＋5y －13＝0，x ∈[－1,4]．答案：2x ＋5y －13＝0(－1≤x ≤4)7．在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义|OP |＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点，对以下结论：①符合|OP |＝1的点P 的轨迹围成图形面积为2；②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则|OP |的最小值为1；③设P 为直线y ＝kx ＋b (k ，b ∈R )上任意一点，则“使|OP |最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“k ＝±1”．其中正确的结论有________．(填序号) 解析：在①中，由于|OP |＝1⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，0≤x ≤1，y ＝－x －1，－1≤x ≤0，y ＝x ＋1，－1≤x ≤0，y ＝x －1，0≤x ≤1，其图像如图故其面积为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝2.故①正确． 在②中，当P ⎝⎛⎭⎪⎫255，0时，|OP |＝|x |＋|y |＝255＜1， ∴|OP |的最小值不为1，故②错误．在③中，∵|x |＋|y |≥|x ＋y |＝|(k ＋1)x ＋b |， 当k ＝－1时，|x |＋|y |≥|b |满足题意， 即|x |＋|y |≥|x －y |＝|(k －1)x －b |，当k ＝1时，|x |＋|y |≥|b |满足题意，故③正确． 答案：①③8．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．解析：因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a ＞1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即面积不大于12a 2，所以③正确．答案：②③ 三、解答题9.如图所示，△ABC 中，角A ，B ，C 所对三边分别为a ，b ，c ，且B (－1，0)，C (1,0)．(1)求满足b >a >c ，b ，a ，c 成等差数列时，顶点A 的轨迹方程． (2)在x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍的平面直角坐标系中作出(1)中轨迹．解：(1)∵b ，a ，c 成等差数列， ∴b ＋c ＝2a ＝2×2＝4.即|AB |＋|AC |＝4>|BC |＝2符合椭圆定义条件． 动点A (x ，y )的轨迹是椭圆，且⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，2c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，∴A 点的轨迹方程是x 24＋y 23＝1.由于b >c ，即|AC |>|AB |，可知A 点轨迹是椭圆左半部分，还必须除去点(0，－3)，(0，3)．∵A ，B ，C 构成三角形，∴必须除去点(－2,0)． ∴所求轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (－2<x <0)．(2)如果y 轴上的单位长度不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，x 24＋y23＝1(－2<x <0)的图形为图示．10．我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O 正东方向80 n mile 的B 处，沿东西方向向O 岛驶来，指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40 n mile 的A 处的我军舰沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若敌我两舰行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置，并求出该点的坐标．解：A ，B 两点如图所示，A (0,40)，B (80,0)，∴OA ＝40(n mile)，OB ＝80(n mile)． 我军舰直行到点C 与敌舰相遇， 设C (x,0)，∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x . ∵敌我两舰速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .在Rt△AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2， 即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．11.如图，椭圆C0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左、右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．解：(1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)．(2)设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2.从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．。
高中数学 第一章 坐标系 第1节 平面直角坐标系教学案 新人教A版选修44
第1节 平面直角坐标系[核心必知]1．平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用通过直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ＞0），y ′＝μ·y ，（μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[问题思考]1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．2．伸缩变换中的系数λ，μ有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？提示：伸缩变换中的系数λ>0，μ>0，在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．已知Rt △ABC ，|AB |＝2a (a >0)，求直角顶点C 的轨迹方程．[精讲详析] 解答此题需要结合几何图形的结构特点，建立适当的平面直角坐标系，然后设出所求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式，化简后即可得到所求的轨迹方程．以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A (－a ，0)，B (a ，0)，设顶点C (x ，y )．法一：由△ABC 是直角三角形可知|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，即(2a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋y 2＝a 2.依题意可知，x ≠±a .故所求直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．法二：由△ABC 是直角三角形可知AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，则yx ＋a ·yx －a＝－1(x ≠±a )，化简得直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．法三：由△ABC 是直角三角形可知|OC |＝|OB |，且点C 与点B 不重合，所以x 2＋y 2＝a (x ≠±a )，化简得直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．——————————————————求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．1．已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，求动点M的轨迹方程．解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，C(0，2)，D(0，－2)．设M(x，y)为轨迹上任一点，则|MA|＝（x＋4）2＋y2，|MB|＝（x－4）2＋y2，|MC|＝x2＋（y－2）2，|MD|＝x2＋（y＋2）2，∴由|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，可得[（x＋4）2＋y2][（x－4）2＋y2]＝[x2＋（y－2）2][x2＋（y＋2）2].化简，得y2－x2＋6＝0.∴点M的轨迹方程为x2－y2＝6.已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.[精讲详析] 本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B(－a，0)，C(a，0)，A(0，h)．则直线AC 的方程为y ＝－h ax ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0. 直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ， 即：hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式：|BD |＝|2ah |a 2＋h2，|CE |＝|2ah |a 2＋h2，∴|BD |＝|CE |， 即BD ＝CE . ——————————————————(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握．(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．2．已知△ABC 中，BD ＝CD ，求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)． 证明：以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则D (a ＋b 2，c2)，∴AD 2＋BD 2＝（a ＋b ）24＋c 24＋（a －b ）24＋c24＝12(a 2＋b 2＋c 2)， AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2＋c 2.∴AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x，y ′＝12y后的图形是什么形状？(1)y 2＝2x ；(2)x 2＋y 2＝1.[精讲详析] 本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入y 2＝2x ，可得4y ′2＝6x ′，即y ′2＝32x ′.即伸缩变换之后的图形还是抛物线． (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入x 2＋y 2＝1，得(3x ′)2＋(2y ′)2＝1，即x ′219＋y ′214＝1，即伸缩变换之后的图形为焦点在y 轴上的椭圆． ——————————————————利用坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ>0），y ′＝μ·y ，（μ>0）求变换后的曲线方程，其实质是从中求出⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，然后将其代入已知的曲线方程求得关于x ′，y ′的曲线方程．3．将圆锥曲线C 按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2＝1，求曲线C 的方程．解：设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .代入x ′2－y ′2＝1得(x3)2－(y2)2＝1，即x 29－y 24＝1为所求．本课时考点常以解答题(多出现在第(1)小问)的形式考查轨迹方程的求法，湖北高考将圆锥曲线的类型讨论同轨迹方程的求法相结合，以解答题的形式考查，是高考命题的一个新热点．[考题印证](湖北高考改编)设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．[命题立意] 本题考查圆锥曲线的相关知识以及轨迹方程的求法． [解]如图，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |. ①因为A 点在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0，1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)； 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．一、选择题1．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，曲线方程变为( )A ．y ′＝3cosx ′2B ．y ′＝3cos 2x ′C ．y ′＝13cos x ′2D ．y ′＝13cos 2x ′解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.又∵y ＝cos x ，∴13y ′＝cos x ′2，即y ′＝3cos x ′2. 2．直线2x ＋3y ＝0经伸缩变换后变为x ′＋y ′＝0，则该伸缩变换为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13yD.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y解析：选B 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ>0）y ′＝μ·y ，（μ>0），将其代入方程x ′＋y ′＝0，得，λx ＋μy ＝0.又∵2x ＋3y ＝0，∴λ＝2，μ＝3.即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y . 3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆 D ．双曲线 解析：选D 由伸缩变换的意义可得．4．已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B 设P 点的坐标为(x ，y )， ∵|PA |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]． 即(x －2)2＋y 2＝4.故P 点的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆， 它的面积为4π. 二、填空题5．将点P (2，3)变换为点P ′(1，1)的一个伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝hx （h >0）y ′＝kx （k >0），由⎩⎪⎨⎪⎧1＝2h1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝12，k ＝13∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y 3. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y36．将对数曲线y ＝log 3x 的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________． 解析：设P (x ，y )为对数曲线y ＝log 3x 上任意一点，变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由题意知伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝y ′.代入y ＝log 3x 得y ′＝log 312x ′，即y ＝log 3x2.答案：y ＝log 3x27．把圆x 2＋y 2＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆x ′2＋y ′216＝1，则坐标变换公式是________．解析：设φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0），则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ.代入x 2＋y 2＝16得x ′216λ2＋y ′216μ2＝1.∴16λ2＝1，16μ2＝16. ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，μ＝1.故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 4，y ′＝y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 4，y ′＝y8．已知A (2，－1)，B (－1，1)，O 为坐标原点，动点M ，其中m ，n ∈R ，且2m 2－n 2＝2，则M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，则(x ，y )＝m (2，－1)＋n (－1，1)＝(2m －n ，n －m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －n ，y ＝n －m .又2m 2－n 2＝2，消去m ，n 得x 22－y 2＝1.答案：x 22－y 2＝1三、解答题9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 (x －42)2－9y 2＝1.①x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－2＝x －42，y ′＝3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝3y .所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象．10．在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为|PA |，|PB |，|PC |，且满足|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程．解：以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P (x ，y )，B (－a ，0)，C (a ，0)，A (0，3a )，(y >0，a >0)用点的坐标表11 示等式|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2， 化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2，即点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0)． 11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)∴e ＝33， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13， ∴b 2a 2＝23. 又圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切， ∴b ＝21＋1＝ 2. ∴b 2＝2，a 2＝3.因此，a ＝3，b ＝ 2.(2)由(1)知F 1，F 2两点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，由题意可设P (1，t )． 那么线段PF 1的中点为N (0，t 2)． 设M (x ，y )，由于MN ―→＝(－x ，t2－y )， PF 1―→＝(－2，－t )，则⎩⎪⎨⎪⎧MN ―→·PF 1―→＝2x ＋t （y －t 2）＝0y ＝t，消去t 得所求轨迹方程为y 2＝－4x ，曲线类型为抛物线．。
【方向】2020学年高中数学第一章坐标系12极坐标系学案新人教B版选修44
【关键字】方向1.2 极坐标系[对应学生用书P4][读教材·填要点]1．平面上点的极坐标(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．(2)点的极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．2．极坐标与直角坐目标关系(1)极坐标和直角坐标变换的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)极坐标和直角坐目标变换公式：或[小问题·大思维]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中n∈Z)．2．若ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点M(ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示．这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点M的极坐标为(ρ，θ)，则M点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．[对应学生用书P5][例1](1)将极点移至O′处，极轴方向不变，求P点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动，求P点的新坐标．[思路点拨] 本题考查极坐标系的建立及极坐目标求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．[精解详析] (1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO′|＝2，|OP|＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝，∴∠POO′＝.在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.即|O′P|＝2.∴|OP|2＝|OO′|2＋|O′P|2，∠OO′P＝.∴∠OPO′＝.∴∠OP′P＝π－－＝.∴∠PP′x＝.∴∠PO′x′＝.∴P点的新坐标为.(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝＋＝.∴P点的新坐标为.建立极坐标系的要素是：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的．极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.1．在极坐标系中，点A的极坐标是，则(1)点A关于极轴的对称点是________；(2)点A关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A关于直线θ＝的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0,2π))解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．答案：(1) (2) (3)点的极坐标和直角坐标的互化[例2] 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． (1)已知点A 的极坐标为，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)[思路点拨] 本题考查极坐标和直角坐目标互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．[精解详析] (1)∵x ＝ρcos θ＝4·cos 5π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－23， ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋－22＝22，tan θ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内，∴θ＝7π4.∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y ＜0，ρ＝15， ∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2.(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. (2)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．2．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π2，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为A (3，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，C (－2,23)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A ⎝⎛⎭⎪⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，D (0，－4)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3.[例3] △ABC 的顶点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，6，C ⎝⎛⎭⎪⎫8，6.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积； (3)求△ABC 的边AB 上的高．[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式．解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点间的距离公式求解．[精解详析] ∠AOB ＝4π3－5π6＝π2，∠BOC ＝7π6－5π6＝π3，∠COA ＝4π3－7π6＝π6.(O为极点)(1)∵|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝42＋62＝213. |BC |＝|OB |2＋|OC |2－2|OB |·|OC |cos ∠BOC ＝213，|AC |＝|OA |2＋|OC |2－2|OA |·|OC |cos ∠AOC ＝45－2 3.∴△ABC 是等腰三角形． (2)S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12，S △BOC ＝12|OB |·|OC |sin ∠BOC ＝123， S △C OA ＝12|OC |·|OA |sin ∠COA ＝8.∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △C OA －S △AOB ＝123－4. (3)设AB 边上的高为h ，则h ＝2S △ABC |AB |＝243－8213＝1239－41313.对于这类问题的解决方法，可以直接用极坐标内两点间的距离公式d ＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2求得；也可以把A ，B 两点由极坐标化为直角坐标，利用直角坐标中两点间的距离公式d ＝x 1－x 22＋y 1－y 22求得，极坐标与直角坐标的互化体现了化归的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得．3．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，求第三个顶点C 的坐标．解：由题设知，A ，B 两点关于极点O 对称．又|AB |＝4，所以由正三角形的性质知，|CO |＝23，∠AOC ＝π2，从而C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4.[对应学生用书P6]一、选择题1．在极坐标系中，与点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6 解析：选 B 与A ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z )，只有选项B 满足．2．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π6，则△AOB 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选B 由题意知∠AOB ＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故选B.3．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.18＋62 B.18－62 C.36＋322D.36－322解析：选C A ，B 在极坐标中的位置，如图， 则由图可知∠AOB ＝13π12－π4＝5π6.在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3， 所以，由余弦定理，得|AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos 5π6＝9＋9－2×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝18＋93＝92(1＋3)2.∴|AB |＝36＋322.4．已知极坐标平面内的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，()1，3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3，()1，－3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3，(－1，3) D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－2π3，(－1，－3) 解析：选D 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3关于极点的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3＋π，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，且x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－2cos π3＝－1，y ＝2sin －⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin π3＝－3，所以选D.二、填空题5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )．依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.∴y ＝θ＝0，ρ>0.∴M (ρ，0)． 答案：(ρ，0)6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3.显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π37．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12.所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π48．写出与直角坐标系中的点(－2,23)表示同一个点的所有点的极坐标________________．解析：∵ρ＝ x 2＋y 2＝ －22＋232＝4，tan θ＝y x ＝23－2＝－3，∴θ＝2π3.∴点(－2,23)用极坐标表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2kπ＋2π3(k ∈Z )． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z )三、解答题9．设点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)．解：如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－π3， 关于直线l 的对称点为C ⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3，关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫1，－2π3. 10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．解：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y .解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.∴点P 的直角坐标为(3，－3)．ρ＝32＋－32＝23，tan θ＝－33.∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝11π6.∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6. 11．在极轴上求与点A (42，π4)的距离为5的点M 的坐标．解：设M (r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4， 所以422＋r 2－82r ·co s π4＝5.即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高中数学 第一章 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介教学案 新人教A版选修44
四 柱坐标系与球坐标系简介[对应学生用书P10]1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R .(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φ·cos θ，y ＝r sin φ·sin θ，z ＝r cos φ.[对应学生用书P10][例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．(2)已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，8，求它的直角坐标．[思路点拨] 直接利用公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2.tan θ＝yx＝3，又x ＞0，y ＞0，点A 在第一象限． ∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，5.(2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得：x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝ x 2＋y 2＝ 02＋12＝1.∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2.∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2.2．已知点N 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，3，求它的直角坐标．解：由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝2cos π2＝0，y ＝2·s in π2＝2，故点N 的直角坐标为(0,2,3).[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4， π4求它的直角坐标．(2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由变换公式得：x ＝r sin φcos θ＝4sin 3π4cos π4＝2. y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2. z ＝r cos φ＝4cos3π4＝－2 2. 故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式，可得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝－2＋－2＋－222＝4.由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1，θ＝3π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，3π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置.3．求下列各点的直角坐标：(1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，π3；(2)N ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，7π6.解：(1)由变换公式得：x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12， y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32， z ＝r cos φ＝2cos π6＝ 3.故其直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3.(2)由变换公式得：x ＝r sin φcos θ＝2sin 3π4cos 7π6＝－62. y ＝r sin φsin θ＝2sin 3π4sin 7π6＝－22. z ＝r cos φ＝2cos3π4＝－ 2. 故其直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－62，－22，－2. 4．求下列各点的球坐标：(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)．解：(1)由变换公式得：r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋32＋22＝2 2.由z ＝r cos φ得cos φ＝z r ＝222＝22.∴φ＝π4，又tan θ＝yx ＝31＝3，x ＞0，y ＞0， ∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3. (2)由变换公式得：r ＝x 2＋y 2＋z 2＝－2＋12＋－22＝2.由z ＝r cos φ得：cos φ＝z r ＝－22. ∴φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1－1＝－1.x ＜0，y ＞0. ∴θ＝3π4.∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4.[对应学生用书P12]一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面． 答案：B2．点P 的柱坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π4，3，则其直角坐标为( )A ．(22，22，3)B ．(－22，22，3)C ．(－22，－22，3)D ．(22，－22，3)解析：x ＝ρcos θ＝4cos 5π4＝－22，y ＝ρsin θ＝4sin5π4＝－22， 故其直角坐标为(－22，－22，3)． 答案：C3．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4C.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4 解析：由坐标变换公式，得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2， cos φ＝zr ＝22，∴φ＝π4. ∵tan θ＝y x ＝－1－1＝1，x ＜0，y ＜0，∴θ＝5π4.∴M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4.答案：B4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z 轴对称点的柱坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4，1 解析：(1,1,1)关于z 轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，1.答案：C 二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________．解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P的直角坐标为(23，2,3)，其到原点距离为23－2＋－2＋－2＝25＝5.答案：56．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝y x＝2. 答案：532 7．在球坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4和B ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4的距离为________．解析：A ，B 两点化为直角坐标分别为：A (1,1，2)，B (－1,1，－2)．∴|AB |＝[1－－2＋－2＋[2－－22＝2 3.答案：2 3 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标．解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(点(1,1)在平面xOy 的第一象限)．r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋22＝2.由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.9．设地球的半径为R ，在球坐标系中，点A 的坐标为(R,45°，70°)，点B 的坐标为(R,45°，160°)，求A ，B 两点间的球面距离．解：设纬度圈的圆心为O ′，地球球心为O ，如图，OA ＝OB ＝R ，由点A ，B 的球坐标可知，∠BOO ′＝45°，∠AOO ′＝45°，这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上．则∠xOQ ＝70°，∠xOH ＝160°， ∴∠AO ′B ＝160°－70°＝90°. ∵OB ＝R ，O ′B ＝O ′A ＝22R ， ∴AB ＝R .则AO ＝BO ＝AB ＝R .∴∠AOB ＝60°，AB ＝16·2πR ＝13πR .即A ，B 两点间的球面距离为13πR .10.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A －xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。
高中数学 第1讲 坐标系 1 平面直角坐标系学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高中选修4-4数学
一平面直角坐标系1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用．2．了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．(重点、难点)3．能够建立适当的直角坐标系解决数学问题．[基础·初探]教材整理1 平面直角坐标系阅读教材P2～P4“探究”及以上部分，完成下列问题．1．平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．2．坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．3．坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．点P(－1,2)关于点A(1，－2)的对称点坐标为( )A．(3,6) B．(3，－6)C．(2，－4) D．(－2,4)【解析】设对称点的坐标为(x，y)，则x－1＝2，且y＋2＝－4，∴x＝3，且y＝－6.【答案】 B教材整理2 平面直角坐标系中的伸缩变换阅读教材P4～P8“习题”以上部分，完成下列问题．设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·xλ>0，y ′＝μ·y μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线【解析】 由伸缩变换的意义可得． 【答案】 D2．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，曲线方程变为( )A ．y ′＝3cosx ′2B ．y ′＝3cos 2x ′C ．y ′＝13cos x ′2D ．y ′＝13cos2x ′【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′y ＝13y ′，又∵y ＝cos x ，∴13y ′＝cos x ′2，即y ′＝3cos x ′2. 【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]运用坐标法解决平面几何问题已知▱ABCD ，求证：|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).【导学号：91060000】【思路探究】 从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A ，B ，C ，D 点的坐标，通过计算，证明几何结论．【自主解答】 法一 (坐标法)以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0,0)，设B (a,0)，C (b ，c )，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c2，由对称性知D (b －a ，c )， 所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2， |AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2， |AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )，|AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ， ∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)． 法二 (向量法)在▱ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →， 同理得BD →2＝|BD →|2＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC →， 以上两式相加，得 |AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB →＋BA →) ＝2(|AB →|2＋|AD →|2)，即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法，即用解析法实现几何结论的证明．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．2．建立平面直角坐标系的方法步骤： (1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是 利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明；(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程； (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．[再练一题]1．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且满足|BD |＝|CD |. 求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|BD |2)．【证明】 法一 以A (O )为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy . 则A (0,0)，设B (a,0)，C (b ，c )，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2，所以|AD |2＋|BD |2＝a ＋b24＋c 24＋a －b24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)，|AB |2＋|AC |2＝a 2＋b 2＋c 2＝2(|AD |2＋|BD |2)． 法二 延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE |2＋|BC |2＝2(|AB |2＋|AC |2)，即(2|AD |)2＋(2|BD |)2＝2(|AB |2＋|AC |2)，所以|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|BD |2)．用坐标法解决实际问题由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6 km 处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【思路探究】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A 、B 、C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．【自主解答】 设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示， 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上．k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)，∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)． ①又|PB |－|PA |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．②联立①②，解得P 点坐标为(8,53)， ∴k PA ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1．由于A ，B ，C 的相对位置一定，因此解决问题的关键是如何建系．2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．[再练一题]2．有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用：A 地每千米的运费是B 地每千米运费的3倍，已知A 、B 两地距离为10千米，顾客选择A 地或B 地购买这件商品的标准是包括运费和价格的总费用最低，求P 地居民选择A 地或B 地购货总费用相等时，点P 所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？【解】 如图，以A 、B 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，设P 点的坐标为(x ，y )，P 到A 、B 两地购物的运费分别是3a 、a (元/千米)．当由P 地到A 、B 两地购物费用相等时，有“价格＋A 地运费＝价格＋B 地运费”， ∴3a ·x ＋52＋y 2＝a ·x －52＋y 2，化简整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542.(1)当P 点在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－254，0为圆心，154为半径的圆上时，居民到A地或B 地购货总费用相等．(2)当P 点在上述圆内时，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1542，∴[9(x ＋5)2＋9y 2]－[(x －5)2＋y 2]＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1542<0，∴3x ＋52＋y 2<x －52＋y 2.故此时到A 地购物最合算．(3)当P 点在上述圆外时，同理可知，此时到B 地购物最合算．[探究共研型]伸缩变换探究1 怎样由正弦曲线y ＝sin x 得到曲线y ＝sin 2x? 【提示】如图，在正弦曲线y ＝sin x 上任取一点P (x ，y )，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的12，那么正弦曲线y ＝sin x 就变成曲线y ＝sin 2x .探究2 怎样由正弦曲线y ＝sin x 得到曲线y ＝3sin x?【提示】 如图，在正弦曲线y ＝sin x 上任取一点P (x ，y )，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，那么正弦曲线y ＝sin x 就变成曲线y ＝3sin x .探究3 怎样由正弦曲线y ＝sin x 得到曲线y ＝3sin 2x?【提示】 实际上，这是上述探究1、2的“合成”：如图，先保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的12；在此基础上再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以由正弦曲线y ＝sin x 得到曲线y ＝3sin 2x .在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换后得到点B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程；(4)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后所得曲线C ′的焦点坐标．【思路探究】 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，求得x ′，y ′，即用x ，y 表示x ′，y ′；(2)(3)(4)将求得的x ，y 代入原方程得x ′，y ′间的关系．【自主解答】 (1)设点A ′(x ′，y ′)．由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .又已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2.于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴变换后点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，由于B ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，12，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，∴B (－1,1)为所求．(3)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′，代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′， 所以y ′＝x ′，即y ′＝x ′为所求． (4)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1， 化简得x ′29－y ′216＝1，∴a 2＝9，b 2＝16，c 2＝25，因此曲线C ′的焦点F ′1(5,0)，F ′2(－5,0)．1．解答本题的关键：(1)是理解平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；(2)是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解．2．伸缩变换前后的关系：已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ>0，y ′＝μ·yμ>0，则点的坐标与曲线的方程的关系为：联系类型变换前 变换后 点P (x ，y )(λx ，μy )曲线Cf (x ，y )＝0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′，1μy ′＝0[再练一题]3．若将例3中第(4)题改为：如果曲线C 经过φ变换后得到的曲线的方程为x ′2＝18y ′，那么能否求出曲线C 的焦点坐标和准线方程？请说明理由．【解】 设曲线C 上任意一点M (x ，y )，经过φ变换后对应点M ′(x ′，y ′)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 2. (*)又M ′(x ′，y ′)在曲线x ′2＝18y ′上．①将(*)代入①式得(3x )2＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即x 2＝y 为曲线C 的方程．可见仍是抛物线，其中p ＝12，抛物线x 2＝y 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，准线方程为y ＝－14.[构建·体系]平面直角坐标系—⎪⎪⎪⎪—平面直角坐标系—坐标法思想—伸缩变换—⎪⎪⎪⎪—定义—应用1．如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( )A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12B ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12【解析】 y ＝sin x ――――――――→横坐标伸长为原来的2倍y ＝sin 12x ――――――――→纵坐标压缩为原来的12y ＝12sin 12x .故选D.【答案】 D2．将直线x ＋y ＝1变换为直线2x ′＋3y ′＝6的一个伸缩变换为( )【导学号：91060001】A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x y ′＝12yD.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝13y【解析】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，由(x ′，y ′)在直线2x ′＋3y ′＝6上，则2λx ＋3μy ＝6， 因此λ3x ＋μ2y ＝1，与x ＋y ＝1比较，∴λ3＝1且μ2＝1，故λ＝3且μ＝2， 即所求的变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .【答案】 A3．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为________． 【解析】 ∵△ABC 的周长为10， ∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6＞4，∴A 点轨迹为椭圆除去B 、C 两点，且2a ＝6,2c ＝4， ∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5，∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．【答案】x 29＋y 25＝1(y ≠0) 4．将圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4xy ′＝3y 后的曲线方程为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′4，y ＝y ′3，代入到x 2＋y 2＝1，得x ′216＋y ′29＝1.【答案】x ′216＋y ′29＝15．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝14y 后，曲线C 变为曲线x ′216＋4y ′2＝1，求曲线C 的方程并画出图形．【解】 设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为M ′(x ′，y ′)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝14y ，且M ′(x ′，y ′)在曲线x ′216＋4y ′2＝1上，得4x 216＋4y216＝1， ∴x 2＋y 2＝4.因此曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，表示以O (0,0)为圆心，以2为半径的圆(如图所示)．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(一) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2,2)的距离，则点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线【解析】 ∵M (2,2)在直线x ＋y －4＝0上， ∴点P 的轨迹是过M 与直线x ＋y －4＝0垂直的直线． 【答案】 A2．已知线段BC 长为8，点A 到B ，C 两点距离之和为10，则动点A 的轨迹为( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线【解析】 由椭圆的定义可知，动点A 的轨迹为一椭圆．【答案】 C3．若△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1,2)，B (2,3)，C (3,1)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形【解析】 |AB |＝2－12＋3－22＝2，|BC |＝3－22＋1－32＝5， |AC |＝3－12＋1－22＝5，|BC |＝|AC |≠|AB |，△ABC 为等腰三角形． 【答案】 A4．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π【解析】 设P 点的坐标为(x ，y )， ∵|PA |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]， 即(x －2)2＋y 2＝4.故P 点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π. 【答案】 B5．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，后为( )A ．y ′＝cos x ′B ．y ′＝3cos 12x ′C ．y ′＝2cos 13x ′D ．y ′＝12cos 3x ′【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′，∴y ′＝cos x ′. 【答案】 A 二、填空题6．若点P (－2 016,2 017)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2 017，y ′＝y2 016后的点在曲线x ′y ′＝k 上，则k ＝________.【解析】∵P (－ 2 016,2 017)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2 017，y ′＝y2 016，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2 0162 017，y ′＝2 0172 016，代入x ′y ′＝k ， 得k ＝－1. 【答案】 －17．将点P (2,3)变换为点P ′(1,1)的一个伸缩变换公式为________.【导学号：91060002】【解析】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝hxh ＞0，y ′＝ky k ＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧1＝2h ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝12，k ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2，y ′＝y3.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2y ′＝y38．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ>0，λ≠1，y ′＝μyμ>0，μ≠1，作用下仍是其本身的点为________．【解析】 设P (x ，y )在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0，y ′＝μyμ>0作用下得到P ′(λx ，μy )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx ，y ＝μy ，其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1，∴x ＝y ＝0，即P (0,0)为所求． 【答案】 (0,0) 三、解答题9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3，y ′＝y2后的图形．(1)x 2－y 2＝1； (2)x 29＋y 28＝1.【解】 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x 3，y ′＝y2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.①(1)将①代入x 2－y 2＝1得9x ′2－4y ′2＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y2后，双曲线x 2－y 2＝1变成双曲线9x ′2－4y ′2＝1，如图甲所示．(2)将①代入x 29＋y 28＝1得x ′2＋y ′22＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y2后，椭圆x 29＋y 28＝1变成椭圆x ′2＋y ′22＝1，如图乙所示．10．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处．求城市B 处于危险区内的时间．【解】 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40,0)， 以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2.求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)，故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h.[能力提升]1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝0，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋36y 2＝0 B ．9x 2＋100y 2＝0 C ．10x ＋24y ＝0D.225x 2＋89y 2＝0 【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y ，代入2x ′2＋8y ′2＝0，得：2·(5x )2＋8·(3y )2＝0，即：25x 2＋36y 2＝0. 【答案】 A2．如图111，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其他点优于点Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( )图111A. AB ︵B. BC ︵C. CD ︵D. DA ︵【解析】 如图，过任一点P 作与坐标轴平行的直线，则两直线将平面分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，由题意，Ⅱ(包含边界)区域内的点优于P ，在圆周上取点，易知只有P 在AD ︵上时，Ⅱ(含边界)内才不含Ω内的点，故点Q 的集合为DA ︵.【答案】 D3．已知A (2，－1)，B (－1,1)，O 为坐标原点，动点M 满足OM →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R ，且2m 2－n 2＝2，则M 的轨迹方程为________．【解析】 设M (x ，y )，则(x ，y )＝m (2，－1)＋n (－1,1)＝(2m －n ，n －m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －n ，y ＝n －m .又2m 2－n 2＝2，消去m ，n 得x 22－y 2＝1.【答案】x 22－y 2＝14.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图112，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)，观测点A (4,0)，B (6,0)同时跟踪航天器．图112(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A ，B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647.因为D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )．根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，y ＝－17x 2＋647，∴4y 2－7y －36＝0，解得y ＝4或y ＝－94(不合题意，舍去)，∴y ＝4.解得x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)， ∴C 点的坐标为(6,4)，|AC |＝25，|BC |＝4.即当观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．。
高中数学人教B版选修4-4教学案第一章 1.5 1.5.1 柱坐标系
1．5.1柱坐标系[读教材·填要点]．柱坐标系的概念设空间中一点的直角坐标为(，，)，点在坐标面上的投影点为，点在平面)，则三个有序数ρθ，ρ，上的极坐标为(θ称为空间中点的θ，)，构成的数组ρ(，柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥≤θ<π，为任意实数．．直角坐标与柱坐标的转化空间点的直角坐标(，，)与柱坐标(ρ，θ，)之间的变换公式为(\\(＝ρ θ，＝ρ θ，＝.)))[小问题·大思维]．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．．在极坐标中，方程ρ＝ρ(ρ为正常数)表示圆心在极点，半径为ρ的圆，方程θ＝θ(θ为常数)表示与极轴成θ角的射线．那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？提示：在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ表示中心轴为轴，底半径为ρ的圆柱面，它是上述圆周沿轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ表示与坐标面成θ角的半平面．[例]已知空间点的直角坐标为(，)，求它的柱坐标．[思路点拨]本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法．解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决．[精解详析]由公式(\\(＝ρ θ，＝ρ θ，＝，))得ρ＝＋，＝.∴ρ＝()＋()＝＋＝.∴ρ＝.θ＝＝＝，又>，>，点在第一象限，∴θ＝.∴点的柱坐标为.已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ，尤其是θ.要注意求出θ，还要根据点所在的象限确定θ的值(θ的范围是[π))．．点的直角坐标为(，，－)，则它的柱坐标为( )解析：选∵ρ＝＝，θ＝＝，∴点的柱坐标为.[例]已知点的柱坐标为，求它的直角坐标．[思路点拨]本题考查柱坐标与直角坐标的转化．解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可．[精解详析]∵点的柱坐标为，∴ρ＝，θ＝.由公式(\\(＝ρ θ，＝ρ θ，＝，))得(\\(＝(π)，＝(π)，＝，))即(\\(＝()，＝，＝.))∴点的直角坐标为(，)．已知柱坐标，求直角坐标直接利用变换公式(\\(＝ρ θ，＝ρ θ，＝))即可．。
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1．5.2 球 坐 标 系[对应学生用书P16][读教材·填要点]1．球坐标系设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，点M 在xOy 坐标面上的投影点为M 0，连接OM和OM 0，设z φ，x 的夹角为θ，M 点到原点O 的距离为r ，则由三个数r ，θ，φ构成的有序数组(r ，θ，φ)称为空间中点M 的球坐标．在球坐标中限定r ≥0，0≤θ<2π，0≤φ≤π.2．直角坐标与球坐标的转化空间点M 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φ·cos θ，y ＝r sin φ·sin θ，z ＝r cos φ.[小问题·大思维]球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy 平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ.[对应学生用书P16][例1] 已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，4π3，5π6，求它的直角坐标．[思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫5，4π3，5π6中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．[精解详析] ∵M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，4π3，5π6，∴r ＝5，φ＝5π6，θ＝4π3.由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5sin5π6cos 4π3＝－54，y ＝5sin 5π6sin 4π3＝－534，z ＝5cos 5π6＝－532.故它的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－534，－532.已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.1．已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4，求它的直角坐标． 解：由变换公式得x ＝r sin φcos θ＝4sin 3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2， z ＝r cos φ＝4cos3π4＝－2 2. ∴它的直角坐标为(2,2，－22).[例2] 设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标．[思路点拨] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系．解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意θ与φ的取值范围．[精解详析] 由坐标变换公式，可得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋22＝2.由r cos φ＝z ＝2， 得cos φ＝2r＝22，φ＝π4. 又tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(x >0，y >0)，所以知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M 的球坐标为(r ，θ，φ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，求出r ，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r 2＝x 2＋y2＋z 2，tan θ＝yx，cos φ＝zr求解．特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．2．设点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，64，－22，求它的球坐标． 解：由变换公式得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝216＋616＋24＝1. 由r cos φ＝z ＝－22得cos φ＝－22，φ＝3π4. 又tan θ＝y x＝3(r >0，y >0)， 得θ＝π3，∴M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，3π4.[例3] 在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系．有A ，B 两个城市，它们的球坐标分别为AR ，π6，π4，BR ，2π3，π4.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程． [思路点拨] 本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离．解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法．[精解详析] 如图所示，因为A ⎝⎛⎭⎪⎫R ，π6，π4，B ⎝⎛⎭⎪⎫R ，2π3，π4，可知∠AOO 1＝∠O 1OB ＝π4，∴∠O 1AO ＝∠O 1BO ＝π4.又∠EOC ＝π6，∠EOD ＝2π3，∴∠COD ＝2π3－π6＝π2.∴∠AO 1B ＝∠COD ＝π2.在Rt △OO 1B 中，∠O 1BO ＝π4，OB ＝R ，∴O 1B ＝O 1A ＝22R . ∵∠AO 1B ＝π2，∴AB ＝R .在△AOB 中，AB ＝OB ＝OA ＝R ，∴∠AOB ＝π3.故飞机沿经过A ，B 两地的大圆飞行，航线最短，其路程为π3R .我们根据A ，B 两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A ，B 两地的大圆飞行时，飞行最快．求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A ，B 两地的球面距离．3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫8，θA ，π4，B 8，θB ，3π4，求出这两个截面间的距离． 解：由已知，OA ＝OB ＝8，∠AOO 1＝π4，∠BOO 1＝3π4.∴在△AOO 1中，OO 1＝4 2. 在△BOO 2中，∠BOO 2＝π4，OB ＝8，∴OO 2＝42，则O 1O 2＝OO 1＋OO 2＝8 2. 即两个截面间的距离O 1O 2为8 2.[对应学生用书P18]一、选择题1．已知一个点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4，点P 在xOy 平面上的投影点为P 0，的夹角为( )A ．－π4B.3π4C.π2D.π3解析：选A ∵φ＝3π4，∴OP 与OP 0之间的夹角为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π4.2．点M 的球坐标为(r ，φ，θ)(φ，θ∈(0，π))，则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为( )A ．(－r ，－φ，－θ)B ．(r ，π－φ，π－θ)C ．(r ，π＋φ，θ)D ．(r ，π－φ，π＋θ)解析：选D 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则点M 关于(0,0,0)的对称点M ′的直角坐标为(－x ，－y ，－z )，设M ′的球坐标为(r ′，φ′，θ′)，因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r ′sin φ′cos θ′＝－r sin φcos θ，r ′sin φ′sin θ′＝－r sin φsin θ，r ′cos φ′＝－r cos φ，可得⎩⎪⎨⎪⎧r ′＝r ，φ′＝π－φ，θ′＝π＋θ，即M ′的球坐标为(r ，π－φ，π＋θ)．3．点P 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π，π2，则它的直角坐标为( )A ．(1,0,0)B ．(－1，－1,0)C ．(0，－1,0)D ．(－1,0,0)解析：选D x ＝r sin φcos θ＝1·sin π2·cos π＝－1，y ＝r sin φsin θ＝1·sin π2sin π＝0， z ＝r cos φ＝1·cos π2＝0，∴它的直角坐标为(－1,0,0)．4．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )A ．P (5,1,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62B ．P (1,1,5)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62C ．P ⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62，B (1,1,5)D ．P (1,1,5)，B ⎝⎛⎭⎪⎫62，364，324解析：选B 球坐标与直角坐标的互化公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，柱坐标与直角坐标的互化公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )， 则x ＝2cos π4＝2×22＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝5.设B 点的直角坐标为(x ′，y ′，z ′)，则x ′＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y ′＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z ′＝6cos π3＝6×12＝62. 所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62.二、填空题5．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy 坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z 轴正向，本初子午线所在平面为zOx 坐标面，如图所示．若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R ，则该地的球坐标可表示为________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为R ，5π3，3π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫R ，5π3，3π46．已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，π4，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标． 答案：(－2,2,22) ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，22 7．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为________． 解析：由坐标变换公式，得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝1＋1＋2＝2， cos φ＝zr ＝22，∴φ＝π4. ∵tan θ＝y x ＝－1－1＝1，又∵x <0，y <0，∴θ＝5π4.∴M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，π48．在球坐标系中，方程r ＝1表示________，方程φ＝π4表示空间的________．解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．答案：球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面顶角为π2的圆锥面三、解答题9．如图，请你说出点M 的球坐标．解：由球坐标的定义，记|OM |＝R ，OM 与z 轴正向所夹的角为φ.设M 在xOy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点M 的位置就可以用有序数组(R ，θ，φ)表示．∴M 点的球坐标为M (R ，θ，φ)．10．已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6，3π4，求它的直角坐标．解：根据坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin3π4cos 7π6＝2·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－62，y ＝2sin 3π4sin 7π6＝2·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－22，z ＝2·cos 3π4＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，∴点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22，－2. 11．如图，建立球坐标系，正四面体ABCD 的棱长为1，求A ，B ，C ，D 的球坐标．(其中O 是△BCD 的中心)解：O 是△BCD 的中心，则OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63. ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，π2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，2π3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，4π3，π2，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，0，0.对应学生用书P19][对应学生用书P19]利用平面直角坐标系解决几何问题1．利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x 轴，y 轴(坐标原点)．2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1] 线段AB 与CD 互相垂直且平分于点O ，|AB |＝2a ，|CD |＝2b ，动点P 满足|PA |·|PB |＝|PC |·|PD |，求动点P 的轨迹方程．[解] 以AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，如图所示．设P (x ，y )，则A (－a,0)，B (a,0)，C (0，－b )，D (0，b )，由题设，知|PA |·|PB |＝|PC |·|PD |. ∴x ＋a2＋y 2·x －a2＋y 2＝ x 2＋y ＋b 2·x 2＋y －b 2.化简得x 2－y 2＝a 2－b 22，∴动点P 的轨迹方程为x 2－y 2＝a 2－b 22.设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax a ＞，Y ＝by b ＞0的作用下，点P (X ，Y )对应点P ′(x ′，y ′)，称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧X ＝2x ，Y ＝2y后，曲线C 变为曲线(X－5)2＋(Y ＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．[解] 将⎩⎪⎨⎪⎧X ＝2x ，Y ＝2y 代入(X －5)2＋(Y ＋6)2＝1中，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.化简，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋3)2＝14.该曲线是以⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3为圆心，12为半径的圆.1．在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F (ρ，θ)＝0.如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程．2．平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．3．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，其在极坐标中仍然适用．注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3] △ABC 的底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．[解] 如图，令A (ρ，θ)． △ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ2，ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π－3θ2＝又|BC |＝10，|AB |＝ρ，所以由正弦定理，得10sinθ2.化简，得A 点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.1．互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．2．互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y xx3．直角坐标方程化极坐标方程可直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x ，y 代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线． (1)ρ＝2a cos θ(a ＞0)； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.[解] (1)ρ＝2a cos θ，两边同时乘以ρ， 得ρ2＝2a ρcos θ，即x 2＋y 2＝2ax . 整理得x 2＋y 2－2ax ＝0，即(x －a )2＋y 2＝a 2. 它是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)， 即x 2＋y 2＝9x ＋9y ，又可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －922＝812.它是以⎝ ⎛⎭⎪⎫92，92为圆心，以922为半径的圆． (3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x 2＋y 2＝16. 它是以原点为圆心，以4为半径的圆． (4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x －3y ＝5.它是一条直线.1．柱坐标：设M 是空间内任意一点，它在xOy 平面上的射影为M 0，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点M 0在平面xOy 上的极坐标．这时点M 的位置可由有序数组(ρ，θ，z )表示，叫做点M 的柱坐标．2．球坐标：建立空间直角坐标系O xyz ，设M 是空间任意一点，连接OM ，记|OM |＝r ，OM 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设M 在xOy 平面上的射影为M 0.Ox 轴按逆时针方向旋转到OM 0时，所转过的最小正角为θ，则M (r ，θ，φ)为M 点的球坐标．[例5] 在柱坐标系中，求满足⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )围成的几何体的体积．[解] 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π.[例6] 如图，长方体OABC —D ′A ′B ′C ′中，OA ＝OC ＝a ，BB ′＝2OA ，对角线OB ′与BD ′相交于点P ，顶点O 为坐标原点，OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．试写出点P 的球坐标．[解] r ＝|OP |，φ＝∠D ′OP ，θ＝∠AOB ， 而|OP |＝a ，∠D ′OP ＝∠OB ′B ，tan ∠OB ′B ＝|OB ||BB ′|＝1，∴∠OB ′B ＝π4，θ＝∠AOB ＝π4.∴点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a ，π4，π4.对应学生用书P21]一、选择题1．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3，k ∈Z解析：选C ρ2＝(－1)2＋(3)2＝4，∴ρ＝2.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝32.∴θ＝23π＋2k π，k ∈Z .即点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2k π＋2π3，k ∈Z . 2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1解析：选C ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝x ＝1. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆D ．一个圆解析：选C ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ(ρ2＝4ρsin θ)，则x ＝0，或x 2＋y 2＝4y .4．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2的最近距离等于( )A.2－1B.5－1 C ．1D. 2解析：选A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0,1)，则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心的距离减去半径，即2－1.二、填空题5．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为________________．解析：原方程化为直角坐标方程为x 24－y 26＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝10，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(10，0)，(－10，0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(10，0)，(10，π)．答案：(10，0)，(10，π)6．点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，π2，则它的直角坐标为________．解析：x ＝6·sin π2·cos π3＝3，y ＝6sin π2sin π3＝33， z ＝6cos π2＝0，∴它的直角坐标为(3,33，0)． 答案：(3,33，0)7．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：过点(3,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x ＝3，曲线ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，把x ＝3代入上式，得9＋y 2－12＝0，解得，y 1＝3，y 2＝－3，所以|AB |＝|y 1－y 2|＝2 3. 答案：2 38．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为________． 解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2＋y 2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，故切线长为42－22＝12＝2 3.答案：2 3 三、解答题9．求由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线X 2＋Y 2＝1的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝axa ，Y ＝by b，将其代入方程X 2＋Y 2＝1，得a 2x 2＋b 2y 2＝1.又∵4x 2＋9y 2＝36，即x 29＋y 24＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝19，b 2＝14.又∵a >0，b >0，∴a ＝13，b ＝12.∴将曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线X 2＋Y 2＝1的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝13x ，Y ＝12y .10．已知A ，B 两点的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A ，B 两点间的距离和△AOB的面积．解：求两点间的距离可用如下公式： |AB |＝4＋16－2×2×4×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝122×4×sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝12×2×4＝4.11．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径为1.Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足OQ QP ＝23，求动点P 的轨迹方程．解：(1)如图所示，设M (ρ，θ)为圆C 上任意一点．在△OCM 中，可知|OC |＝3，|OM |＝ρ，|CM |＝1，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π6.根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·c os ⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π6.化简整理，得ρ2－6·ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋8＝0为圆C 的轨迹方程．(2)设Q (ρ1，θ1)，则有ρ21－6·ρ1cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ1－π6＋8＝0.①设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝25ρ，又θ1＝θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝25ρ，θ1＝θ.代入①得425ρ2－6·25ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＋50＝0为P 点的轨迹方程．。