高中数学坐标系共30页文档
高中数学坐标系
第1讲 坐标系1.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标. 解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4. (2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).3.在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程. 解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，且圆心为(1，0).直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心(1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆(x －1)2＋y 2＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ. 4.在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，半径r ＝3.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ →＝2QP →，求动点P 的轨迹方程.解 (1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点.在△OCM 中，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π3，由余弦定理得|CM |2＝|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，化简得ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.(2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)， 由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →， ∴ρ1＝23ρ，θ1＝θ， 代入圆C 的方程，得23ρ＝6cos⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ＝9cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3. 5.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)， 其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α). 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.6.(2017·唐山质检)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离. 解 (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3. ∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32.曲线C 2化为x 26＋y 22＝1(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6. ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ.(2)∵M (3，0)，N (0，1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin2θ，得ρ2＝2，Q⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.。
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
高中数学第一章坐标系1柱坐标系与球坐标系简介素材
柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系图1－4－1如图1－4－1所示，建立空间直角坐标系Oxyz。
设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q,用（ρ，θ）(ρ≥0，0≤θ〈2π）表示点Q在平面Oxy上的极坐标,这时点P的位置可用有序数组（ρ，θ,z)(z∈R）表示．建立了空间的点与有序数组(ρ，θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ，θ,z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ,z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R. 2．球坐标系图1－4－2建立如图1－4－2所示的空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP｜＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P 在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ。
这样点P的位置就可以用有序数组（r，φ，θ）表示．这样，空间的点与(r,φ，θ）之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系）．有序数组（r,φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P（r,φ，θ），其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π）．3．空间直角坐标与柱坐标的转化空间点P（x，y，z)与柱坐标(ρ，θ,z)之间的变换公式为错误!错误! 4．空间直角坐标与球坐标的关系空间点P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ）之间的变换公式为错误!错误!1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制?【提示】空间点的坐标都是三个数值,其中至少有一个是距离．2．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面?在球坐标系中，方程r＝1分别表示空间中的什么曲面？【提示】ρ＝1表示以z轴为中心,以1为半径的圆柱面；球坐标系中,方程r＝1表示球心在原点的单位球面．3．空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些？【提示】（1）柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置．(2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.。
高中数学必修课件第二章空间直角坐标系
台体是由两个平行且小于大底面的截面所截得的几何体，在空间直角坐标系中可以通过上 下底面的方程和高度来描述。
几何体顶点、棱长等参数求解
要点一
顶点坐标
对于给定的几何体方程，可以通过解 方程求得顶点的坐标。例如，对于圆 锥方程$z = sqrt{x^2 + y^2} tan(theta)$，当$x=y=0$时， $z=0$，即顶点在原点。
质。
06
空间直角坐标系在实际问 题中应用
地球经纬度系统简介及转换方法
要点一
地球经纬度系统概述
要点二
经纬度与空间直角坐标系的转换
地球经纬度系统是一种以经度和纬度来表示地球上任意位 置的方法，广泛应用于地理、导航、气象等领域。
在实际应用中，经常需要将经纬度坐标转换为空间直角坐 标系中的坐标，或者将空间直角坐标系中的坐标转换为经 纬度坐标。这种转换可以通过一定的数学公式和算法来实 现。
点与坐标对应关系
空间中的每一个点都唯一对应一个三元组坐标，反之每一个三元组坐标也唯一对 应空间中的一个点。
空间向量及其运算规则
01
空间向量定义
既有大小又有方向的量称为空间向量，其大小称为向量的模，方向由起
点指向终点。
02
向量表示
在空间直角坐标系中，向量可以用一个有序三元组来表示，即向量的坐
标表示。
03
向量运算
空间向量的运算包括加法、减法、数乘和点积等，其中加法和减法遵循
平行四边形法则和三角形法则，数乘是将向量与标量相乘得到新的向量
，点积则是两个向量的数量积运算。
02
空间直角坐标系中点与线 关系
点到直线距离公式推导及应用
公式推导
通过向量投影的概念，推 导出点到直线的距离公式 。
高中数学空间直角坐标系ppt
2
yoz面
xoy面 x
z zox 面
o
y
空间直角坐标系共有三个坐标面
3
回顾与复习
平面的点P 11 有序数对（x，y）
y （x，y） x
4
空间的点P 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 原点 O(0,0,0)
x轴上的点 P1 y轴上的点 P2, z轴上的点 P3,
坐标平面xoy上的点A, 坐标平面yoz上的点B, 坐标平面xoz上的点B, 非特殊点P(x,y,z)
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
z
M（x，y，z）
z
O
o
x
y
Cy
x
d OM x2 y2 z2 .
9
zR
M1•
P
o
• M2
Q N
y
x
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0) d OM x2 y2 z2 .
解得x 9或x 1.
所以点P的坐标为（9，0，0）或（－1，0，0）。
12
例3 在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到 点N（6，5，1）的距离最小。
解 由已知，可设M（x，1－x，0），则
MN (x 6)2 (1 x 5)2 (0 1)2
2(x 1)2 51.
所以MN 51. min
一、空间直角坐标系
从空间某一点O引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz.
并取定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .其 中O 点称为坐标原点，数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴，每两
高中数学第一章坐标系1.3柱坐标系和球坐标系课件北师大选修4_4 (1)
������ = ������sin������, ������ = ������.
在柱坐标(ρ,θ,z)中,ρ=|OA|= |������������|2 + |������������|2 = ������2 + ������2, ������ =∠
POA,其中 x,y,z 的值与直角坐标中的相同.在球坐标(r,φ,θ) 中,r=|OM|= |������������|2 + |������������|2 = ������2 + ������2 + ������2, ������ =∠ROM,θ=∠ POA,其中 θ 与柱坐标中的 θ 相同,x,y,z 的值与直角坐标中的相同.
-1 = ������cos������,
������ = ������
【例1】 将点M的直角坐标化为柱坐标,将点P的柱坐标化为直
角坐标.
(1)M(-1, 3, 2); (2)������ 2,π4 ,1 .
分析:利用相关公式代入进行转化求值.
������ = ������cos������, 解:(1)设点 M 的柱坐标为(r,θ,z),则有 ������ = ������sin������,
特别地,r=常数,表示的是以原点为球心的球面; φ=常数,表示的是以原点为顶点,z轴为轴的圆锥面; θ=常数,表示的是过z轴的半平面. 点M的直角坐标与球坐标的关系为
������ = |������������|cos������ = ������sin������cos������,
人教版高中数学选修3-1 第四讲 平面解析几何的产生 二 笛卡儿坐标系 (共31张PPT)教育课件
在《几何学》的第二卷中，笛卡儿考 虑了曲线的分类及其性质，用代数方程的 直接可解性区分“几何曲线”与“非几何 曲线”.他把复杂的高次曲线也看作几何曲 线（代数曲线），把不能用代数方程表示 的曲线称为“机械曲线”（超越曲线）.这 样，笛卡儿开辟了全新的曲线领域.
凡 事 都是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看 到 不 同 的 结果 。 若 能 把 一 些 事 看 淡 了 ，就 会 有 个 好 心 境 ， 若 把 很 多事 看 开 了 ， 就 会有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹 如 月 缺 月 圆那 样 寻 常 ， 让 得 失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那 样 自 然 ， 不 计 较， 也 不 刻 意 执 着； 让 生 命 中 各 种 的 喜 怒 哀 乐 ， 就 像 风 儿一 样 ， 来 了 ， 不 管 是 清 风 拂面 ， 还 是 寒 风 凛 冽 ， 都 报 以自 然 的 微 笑 ， 坦然 的 接 受 命 运 的 馈 赠 ， 把 是 非 曲 折 ， 都当 作 是 人
人们在他的墓碑上刻下了这样一句话： “笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人 类争取并保证理性权利的人.”
笛卡儿解析几何的思想
1637年笛卡儿出版科著名的 著作《方法论》.该书主要是哲 学著作，但包括了3个著名的附 录：《几何学》、《折光》和 《气象》.其中的《几何学》是 他唯一的数学著作.书中阐述了 解析几何的思想，后人把这本书 看作解析几何的开端.
笛卡尔《几何》
第一部分讨论尺规作图，将几 何问题化为代数问题，提出“仅用 圆与直线的作图问题”.
高中数学平面直角坐标系
你能建立不同的直角坐标系解决这个问 题吗？比较不同的直角坐标系下解决问 题的过程，建立直角坐标系应注意什么 问题？
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系 :
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换： 曲线4x2+9y2=36变为曲线
x y 1
2 2
x x 1解：设伸缩变换 ， 0 y y
代入x +y =1得 x y 1
2 2
2 2 2 2
1 3 2 2 则 又4 x 9 y 36 1 2
y 3 y
（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1 1 x x x 2 x 2 解： 1由伸缩变换 得 y 3y y 1 y 3 代入2x+3y=0 得x+y=0
1 x x x 2 x 2 2 由伸缩变换 得 y 3y y 1 y 3 2 y2 x 代入x2 +y2 =1得 4 + 9 =1
x x y 3 y
2
通常把 2 长变换。
叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。 y y=3sin2x y=sinx 2
O
x
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 1 标不变，将横坐标x缩为原来的 2 ，在此基础上， 将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为
高中数学必修二4.3.1空间直角坐标系课件
( 1 ,0, 1 ),(1, 1 , 1 ),( 1 ,1, 1 ),(0, 1 , 1 );
2 2 22 2 2 22
z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上层这五个钠原子所 在位置的坐标分别是
(0,0,1), (1,0,1), (1,1,1),
(0,1,1),( 1 , 1 ,1);
22
y
x
练习：在空间直角坐标系中描出下列各点， 并说明这些点的位置。
图：建立空间直角坐标系 O xyz 后，
试写出全部钠原子所在位置的坐标。
z
y x
解: 把图中的钠原子分成下,中,上三层来 写它们所在位置的坐标.
下层五个钠原子所在位置的坐标分别是
(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),( 1 , 1 ,0);
22
中层这四个钠原子所在位置的坐标分别是
A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0）
D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0）
解：
z
3 D•
2• B
1 •A C
F• O 1 •2 y 21
•E
x
课后练习：
z
解：
D
P
C
A
B
O xA
Cy B
解：
z
D A
O xA
C
B Q
Cy B
练习：点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点 ，写出满足下列条件的点的坐标.（课本138题1）
A
x -1
0
y
P
N
0
Mx
12
数轴上的点可用与 这个点对应的实数 x来表示。
平面直角坐标系上的点用 它对应的横纵坐标，即一 对有序实数对(x,y)表示。
高中数学—极坐标系
5
6
).
E(2.5, ).
F (5,
4
3
).
G(4,
5
3
).
2
C
DB
E
A
4
x
G
4 F
5
3
3
2. 中央气象台在 2004 年 7 月 15 日 10:30 发布的 一则台风消息: 今年第 9 号热带风暴 “圆规” 的中 心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大 约440 公里的南海东北部海面上, 中心附近最大风力 有 9 级. 请建立适当的坐标系, 用坐标表示出该台风 中心的位置.
解: 以广东省汕尾市为极
点, 正东方向为极轴的正方向,
建立极坐标系.
则台风中心的极坐标为
(440,
7
4
).
O 45
x
汕尾市 440 km
P
台风中心
求
3. 在极坐标系中, A, B 两点间的距离.
已知两点 A(3,
3
),
B(1,
2
3
).
解: 如图, A, B 与极点在同一直线上,
所以 A, B 两点间的距离是
角坐标与极坐标的关系是
x=rcosq, y=rsinq.
r2 = x2 y2,
tanq
=
y x
(
x
0).
例3.
将点 M 的极坐标 (5,
2
3
)化成直角坐标.
解:
∵r =5,
q
=
2
3
,
∴x=rcosq
=
5cos
2
3
=
5 2
,
y=rsinq
高中数学第一讲四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系课件新人教A版选修4-4
将直角坐标化为柱坐标
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标． [思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝xy求 θ.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和 θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限 确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．
四
柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐标系
柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示．这 样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把 建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，其中_ρ_≥__0_,_0_≤__θ_＜__2_π_，__z_∈__R_.
解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2， 又tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝π4，
∴点A的柱坐标为
பைடு நூலகம்
2，π4，1.
将点的柱坐标化为直角坐标
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z
即可．
3．点N的柱坐标为2，π2，3，求它的直角坐标．
x＝ρcos θ， 解：由变换公式y＝ρsin θ， 得
z＝z， x＝ρcos θ＝2cosπ2＝0，y＝ρsin θ＝2·sinπ2＝2， 故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．
高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.1平面直角
题型一 题型二 题型三
解:(1)设
������ ������
=
������,
得y=kx,所以
k
为过原点的直线的斜率.
又 x2+y2-4x+1=0 可化简为(x-2)2+y2=3,
它表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,如图所示.
当直线 y=kx 与已知圆相切,且切点在第一象限时,k 最大,
此时,|CP|= 3, |������������| = 2,
(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借 助坐标系,研究曲线与方程间的关系.
名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系 中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为
|P1P2|= (������1-������2)2 + (������1-������2)2.
所以
-1 + 2������ < -3-������ < 0,
0,
即
������
<
1 2
,
������ > -3.
所以-3<m< 12.
答案:-3<m<
1 2
2.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲 线. 名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面 直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条 件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程 f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为 坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤 (5)可以省略.
课件高中数学_人教版必修：空间直角坐标系PPT课件_优秀版
B '(3, 4, 2)
4y
C (0, 4, 0)
B(3, 4, 0)
典型例题
例3 .结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成 是八个棱长为 1/2的小正方体堆积成的正方体), 其中色点代表钠原 子,黑点代表氯原子. 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部 钠原子所在位置的坐标.
数对（a,b,c)叫做点P的坐标 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
1
• （2）y轴对称的点P 为_(___x,_y_,___z_) ; 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
注意 空间直角坐标系的画法
（1）x轴对称的点P1为__________;
2
• （3）z轴对称的点P 为__(__x_, __y_, _z_) . 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
墙 墙
地面
新知探究
1.空间直角坐标系
如图,OABC-D1A1B1C1是单位正方体.以O为原点,分别以 射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的 长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.这时我们说 建立了一个空间直角坐标系O-xyz .
其中点O叫做坐标原点, x
z
Ⅲ
z
yz 面 (-x0 , -y0)
（2）y轴对称的点P2为__________; 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置. 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
zx面
Ⅱ
以O为原点,分别以射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.
人教版高中数学选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系
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空间直角坐标系
1．在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j， k}(如图)．以点O为原点，分别以i，j，k的方向 为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数 轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做 坐标轴 ．这时 我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做 __原__点___，i，j，k都叫做 坐标向量，通过每两条
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空间中点和向量的直角坐标
在空间直角坐标系 Oxyz 中(图①)，i，j，k 为坐标向量，对空间任意一 点 A，对应一个向量O→A，且点 A 的位置由向量O→A唯一确定，由空间向 量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使
O→A＝xi＋yj＋zk.
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[例1] 在空间直角坐标系Oxyz中． ①坐标向量i，j，k构成一个单位正交基底； ②x轴垂直于坐标平面Oyz； ③坐标平面Oxy垂直于坐标平面Oyz. 其中正确命题的序号是___①__②__③_____．
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分析：以O为原点，以单位正交基底{i，j，k}中基向量i，j，k的方向为 正方向，以它们的长度为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这 时我们建立了一个空间直角坐标系Oxyz，i，j，k叫做坐标向量，x， y，z轴两两垂直，借助线面垂直判定定理可得结论． [解析] 由空间直角坐标系概念，知①正确；又知x轴、y轴、z轴两两 垂直，∴x轴垂直于坐标平面Oyz，∴坐标平面Oxy垂直于坐标平面Oyz.
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1．3 空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1 空间直角坐标系