河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查(一)

河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数学试题（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.（1）C （2）C （3）A （4）A （5）D（6）D（7）A（8）B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.（9）3455i + （10） 10- （11） 6（12）23（13） 64 （14）7-三、解答题：本大题共6小题，共80分.（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式、诱导公式、和角的正余弦公式以及正余弦定理等基础知识. 考查运算求解能力.满分13分（Ⅰ）解：由条件b c C a =+21cos ，得B C C A sin sin 21cos sin =+， 又由()C A B +=sin sin ，得C A C A C C A sin cos cos sin sin 21cos sin +=+.由sin ≠C ，得21cos =A ，故3π=A . ………………………6分（Ⅱ）解：在ABC V 中，由余弦定理及4b =，6c =，3π=A ,有2222cos a b c bc A =+-，故27a =由sin sin b A a B =得3sin 7B =，因为b a <，故cos 7B =.因此sin 22sin cos B B B =437=,2cos 22cos 1B B =-17=. 所以cos(2)A B +11cos cos 2sin sin 214A B A B =-=- .…………………13分（16）本小题主要考查茎叶图、平均数的概念、超几何分布、离散型随机变量的分布列与数学期望以及二项分布等基础知识. 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力. 满分13分.（Ⅰ）解：随机抽取15天的数据的平均数为：()5592312825151=++++=Λx ………………………6分（Ⅱ）依据条件，ξ的可能值为0,1,2,3，当0ξ=时，0351031524(0)91C C P C ξ===， 当1ξ=时，1251031545(1)91C C P C ξ=== , 当2ξ=时，2151031520(2)91C C P C ξ=== ，当3ξ=时，305103152(0)91C C P C ξ=== , 所以其分布列为：数学期望为：45202231919191E ξ=+⨯+⨯= ………………………10分（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为η，则1(360,)3B η:，∴13601203E η=⨯=（天） 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级. ………………………13分 （17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、直线与平面所成角、二面角等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接AC 交BG 于点O ,连接OM ,CG ,依题意易证四边形ABCG 为平行四边形.AO OC ∴= 又PM MA =Q ，MO ∴∥PC 又MO ⊂Q 平面BMG ,PC ⊄平面BMG ，∴PC ∥平面BMG . (3)分ξ 0 1 23 P24914591 2091 291 OA GM(ⅱ)解：如图,在平面四边形BCDG 中 BG Q ∥CD ，CD GD ⊥，BG GD ∴⊥以G 为原点建立空间直角坐标系O xyz - 则(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0)G P D ，(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0)A B C -(0,1,1)M - (2,0,2)PB ∴=-u u u r ，(2,0,0),(0,1,1)GB GM ==-u u u r u u u u r设(,,)x y z =n 为平面BMG 的法向量则00GB GM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u rn n ，得200x y z =⎧⎨-+=⎩，不妨设(0,1,1)=n (2,0,2)(0,1,1)21sin cos ,4282PB θ-⋅∴====⋅u u u r n又[0,],26ππθθ∈∴=即直线PB 与平面BMG 所成的角的大小为6π. ………………………9分 （Ⅱ）设(0,2,2)(0,2,2),(0,1)AM AP λλλλλ===∈u u u r u u u r∴(0,22,2)M λλ-(2,22,2),(2,2,0)BM DB λλ∴=--=-u u u u r u u u r,设(,,)x y z =m 为平面BMD 的法向量,则0DB BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m uu u r uuu r 得，220(24)20x y y z λλ-=⎧⎨-+=⎩，不妨设2(1,1,)λλ-=m , 又平面ADP 的法向量为(1,0,0)=n ,O ADBCPGMxyzO ADBCPGM xyz|cos ,|∴m n 222112211()λλ==-++. 2440λλ∴+-=222λ∴=-±(0,1)λ∈，22-2λ∴=.……………………13分（18）本小题主要考查等差数列的通项公式、由前n 项和公式求通项公式的及用错位相减法求数列前项和.考查运算求解能力.满分13分.（Ⅰ）解：根据题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ， 当1=n 时，1111==S a ，所以56+=n a n . 设数列{}n b 的公差为d ，⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d b 321721121，可解得⎩⎨⎧==341d b ，所以13+=n b n . ………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+， 又123n n T c c c c =++++L ，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+++⨯L345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+++⨯L ，两式作差，得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯++++-+⨯L224(21)3[4(1)2]2132n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅ 所以232n n T n +=⋅ . ……………………13分（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）解：由题意知222222BF b c a =+== ，因为点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,34C 在椭圆上，所以131342222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ，解得12=b ，所以椭圆方程为1222=+y x . ……………………5分 （Ⅱ）解：易知()b c BF -=,2，因为点()()0,,,02c F b B 在直线AB 上，所以直线AB 的方程为1=+byc x .设()()2211,,,y x B y x A ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+112222b y a x by c x ，得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=2222122212c a a c b y c a c a x ，⎩⎨⎧==b y x 220所以点A ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+2222222,2c a a c b c a c a ，又x AC ⊥轴，所以椭圆对称性，可得点()22222222,b a c a c C a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=22322321,3c a b c a c c a C F ,又因为AB C F ⊥1，所以()222412222230c a c b FC BF a c a c+⋅=-=++uuu r uuu r ， 即()()03222222=--+c a c a c ，化简得55,522==e a c . ……………14分 （20）本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的性质、不等式的性质等基础知识和方法.考查分类讨论思想和化归思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）解：()()()b x e x g x f x F x--=-=2，则()2-='xe x F .令()02>-='xe x F ，得2ln >x ，所以()x F 在()+∞,2ln 上单调递增.令()02<-='xe x F ，得2ln <x ，所以()x F 在(),ln 2-∞上单调递减. ………5分（Ⅱ）解：因为()12-+='x e x f x，所以()00='f ，所以l 的方程为1=y .依题意，1,12-==c a.于是l 与抛物线()b x x x g +-=22切于点()11，， 由1212=+-b 得2=b ，所以1,2,-2===c b a …………8分（Ⅲ）解：设()()()()b x a e x g x f x h x-+-=-=1，则()0≥x h 恒成立.易得()()1+-='a e x h x.（1）当01≤+a 时，因为()0>'x h ，所以此时()x h 在()∞+∞，-上单调递增． ①若01=+a ，则当0≤b 时满足条件，此时1-≤+b a ；②若01<+a ，取00<x 且110+-<a bx ， 此时()()()011111000=-+-+-<-+-=b a ba b x a e x h x， 所以()0≥x h 不恒成立．不满足条件； （2）当01>+a 时，令()0='x h ，得()1ln +=a x .由()0>'x h ，得()1ln +>a x ； 由()0<'x h ，得()1ln +<a x .所以()x h 在()()1ln -+∞a ，上单调递减，在()()+∞+,1ln a 上单调递增. 要使得“()()01≥-+-=b x a e x h x恒成立”，必须有“当()1ln +=a x 时，()()()011min ≥-+-+=b x a a x h ”成立． 所以≤b ()()11a a x +-+，则()()()11ln 112-++-+≤+a a a b a ． 令()0,1ln 2>--=x x x x x G ，则()x x G ln -1='. 令()0='x G ，得e x =．由()0>'x G ，得e x <<0；由()0<'x G ，得e x >．所以()x G 在()e ,0上单调递增，在()∞+，e 上单调递减，所以，当e x =时，()1max -=e x G ．从而，当0,1=-=b e a 时，b a +的最大值为1-e ． 综上，ba +的最大值为1-e ． ……………14分。