第二章 非线性方程(组)的数值解法2

f 割 法 代 式 解： 设 ( x) = x3 + 4x2 −10 ,则 线 迭 格 为 ( xk − xk−1)( xk3 + 4xk2 −10) xk+1 = xk − 3 ( xk + 4xk2 − xk−13 − 4xk−12 ) f 取 (1) = −5, f (2) =14, x0 =1, x1 = 2.
且 '( x) = 2x > 0 所 方 f ( x) = 0在 0, +∞) 有 一 a。 f ( ， 以 程 内 唯 根 f 又 ''( x) = 2 > 0,故 x0 > a时 有 ( x0 ) ⋅ f ''( x0 ) > 0 当 ， f ， 此 定 知 x 因 由 理 ， 0 > a时 迭 法 敛 ， 代 收
例1： 写 求 a的 顿 代 式 （ 求 含 方 算 出 牛 迭 格 。 要 不 开 运 ） 解： 等价于求方程
f ( x ) = x 2 − a = 0 (a > 0) 的正根 f ′( x) = 2x
2 f ( xk ) xk − a 1 a xk +1 = xk − = xk − = ( xk + ) k = 0,1, 2,L f ′( x k ) 2 xk 2 xk
§4 牛顿法 /* Newton - Raphson Method */
一、牛顿迭代公式的推导 1、待定参数法 、 不动点迭代的关键是构造满足收敛条件的 不动点迭代的关键是构造满足收敛条件的迭代函数 g ( x ) 关键是构造满足收敛条件 一种自然的选择是令 一种自然的选择是令 自然的选择
f ( x ) = 0 ⇔ g( x ) = x
割线
/* secant line */
切线 收敛比Newton’s Method 收敛比 且对初值要求同样高。 慢，且对初值要求同样高。 x2 x1 x0
/* tangent line */
切线斜率 ≈ 割线斜率
⇒
f ′( xk ) ≈
f ( xk ) − f ( xk −1 ) xk − xk −1
x 取 0 =1,则 x1 =1.500000000, x2 =1.416666667, x3 =1.414215686, x4 =1.414 213562. x4与 确 取 位 效 字 完 相 。 精 解 十 有 数 时 全 同
§5 割线法 /* Secant Method */ Newton’s Method 每一步要计算 f 和 f ′ ，为了避免计算 导数值， 从而得到割线法 弦割法）。 割线法（ 导数值，现用 f 的值近似 f ′ ，从而得到割线法（弦割法）。
—拉夫森方法，简称牛顿法 拉夫森方法 简称牛顿法 方法，
2、Taylor展开法/* Taylor’s expansion Method */ 、 展开法 原理：将非线性方程线性化 原理：将非线性方程线性化 展开: 取 x0 ≈ x*，将 f (x)在 x0 做一阶 ， 在 做一阶Taylor展开 展开
f ( x0 ) ⇒ x* ≈ x0 − f ′( x0 )
⇒ x1
y
线性 /* linear */ x
x0
x*
x2 x1
y = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
与x轴交点的横坐标 轴交点的横坐标
x k +1
f ( xk ) = xk − f ′( x k )
k = 0 , 1, 2 , L
f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′(ξ ) ( x − x0 )2，ξ 在 x0 和 x 之间 2!
看成高阶小量 则有： 高阶小量， 将 (x* − x0)2 看成高阶小量，则有：
0 = f ( x*) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x * − x0 )
Th4 （收敛的充分条件）设f (x) =0 且f ∈C2[a, b]，若 收敛的充分条件） ，
(1) f (a) f (b) < 0；(2) 在整个 b]上 f ′′ 不变号,且 ； 在整个[a, 上 不变号 且 f ′( x) ≠ 0 ; (3) 选取 x0 ∈ [a, b] 使得 f ( x0 ) f ′′( x0 ) > 0 ； 产生的序列{ 则Newton’s Method产生的序列 xk } 以不低于二阶的收敛 产生的序列 速度收敛于方程的根 x∗ 。 产生的序列单调有 产生的序列单调有 有根 凹凸性 根唯一 界保证收敛
k 0 xk 1.0 f (xk ) −5.0 k xk f (xk ) 5 1.365 211903 − 2.990 6071×10−7 − 2.0416×10−7 0.0 0.0
1 2.0 14.0 6 1.365 230 013 2 1.263 157 895 −1.602 274 384 7 1.365 230 013 3 1.338 827 839 −0.430 364 744 8 1.365 230 013 4 1.366 616 395 0.022 909 427
注：Newton’s Method 收敛性依赖于 0 的选取。 收敛性依赖于x 的选取。
x0 x0 x0 x*
1 a 例2： 明 求 a的 顿 代 式 k+1 = ( xk + ) (k = 0,1 2L , ) 证 ： 牛 迭 公 x 2 xk 任 初 值 对 意 始 x0 > 0均 敛 并 a = 2实 进 迭 计 。 收 ， 就 际 行 代 算
1 a 0 , 当 < x0 < a时 由 1 = ( x0 + ) > a知 ， x 2 x0 x ， 算 回 x 从 1起 计 又 到 0 > a的 形 因 当 < x0 < a时 情 。 此 0 ， 牛 法 收 。 上 论 立 顿 也 敛 综 结 成 。
1 a ), x 证 2： 为 > 0, x0 > 0, 而 k+1 = ( xk + )(k = 0,12,L 法 因 a 2 xk 1 a 1 a 2 以 是 ) + a ≥ a, 所 xk > 0. 于 xk+1 = ( xk + ) = ( xk − 2 xk 2 xk
f ( xk )( xk − xk −1 ) ⇒ xk+1 = xk − f ( xk ) − f ( xk−1 )
需要2个初值 需要 个初值 x0 和 x1。
例3： 用 线 求 方 x3 + 4x2 −10 = 0在 1， 上 根 要 割 法 解 程 [ 2] 的 ， 求
xk+1 − xk < 10−9
析 明 敛 有 种 法 第 种 利 牛 法 收 条 来 分 证 收 可 两 方 ： 一 是 用 顿 的 敛 件 验 收 性 第 种 利 证 序 的 限 在 得 收 性 检 其 敛 。 二 是 用 明 列 极 存 来 到 敛 。
解：证 1： f ( x) = x2 − a, x ∈(0, +∞),则 (0) = −a < 0, f (+∞) > 0, f 法 设
f ′( x )
g ′( x ∗ ) = 1 + h′( x ∗ ) f ( x ∗ ) + h( x ∗ ) f ′( x ∗ ) = 1 + h( x ∗ ) f ′( x ∗ ) = 0 1 ∗ ( f ′( x∗ ) ≠ 0) ⇒ h( x ) = − f ′( x∗ )
Newton – Raphson迭代格式 迭代格式
xk+1 1 a x ) 进 又 而 有 = + ≤1,即 k+1 ≤ xk (k =1, 2,L , 2 2 2xk xk
{ xk } 对任意初始值x0 > 0均收敛。结论成立。
1 2 计 a = 2.迭 格 为 k+1 = ( xk + ). 算 代 式 x xk 2
故{ xk } 单 递 有 界 则 据 调 界 理 ， 调 减 下 。 根 单 有 原 知
1 取 h( x) = − ( f ′( x) ≠ 0) f ′( x) f ( x) 因此， 因此，选取迭代函数 g ( x ) = x − f ′( x )
g ′( x ∗ ) = 0 满足
f ( xk ) xk +1 = xk − k = 0,1, 2,L f ′( xk )
称之为牛顿 称之为牛顿
∗ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∗
∗
g( x ) = x + cf ( x ) (c ≠ 0)
为了加速不动点迭代的收敛过程，应尽可能使迭代函数 g ( x ) 为了加速不动点迭代的收敛过程， 处有更多阶导数等于零 定理2 更多阶导数等于零（ 在 x = x ∗ 处有更多阶导数等于零（定理2）。 令 1 ∗ ∗ g ′( x ) = 1 + cf ′( x )= 0 ⇒ c = − 遗 憾！ ∗ 现设 g ( x ) = x + h( x ) f ( x )