非线性方程数值解法及其应用
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
3-第三章 非线性方程的数值解法
到小数点后第三位小数，需要二分多少次？ 解：设 f ( x) x6 x 1，由于 f (1) f (2) 0, f ( x) 0(1 x 2)， 所以在区间 [1,2]内方程 f ( x) 0 有唯一实根。
ba 1 令 k 1 10 3 ，求得所需对分次数至少是10次。 2 2
x* xk ba k 1 2
时，停止计算。
§1 根的搜索与二分法
3 2 x 4 x 10 0 在 [1,2] 内的根的近似 例：用二分法求方程 1 2 值，要求绝对误差不超过 10 。 2 3 2 解： f ( x) x 4x 10 f ( x) 3x2 8x 0, x [1,2] 即 f ( x) 严格单调增加，又 f (1) f (2) 0 ，所以方程在[1,2]上有 唯一实根。 ba 1 2 令 2k 1 2 10 ，得到 k 6.64 ，取 k 7 ，即至少二分7次 。计算过程如下：
由 f ( x) 0 转化为 x ( x) 时，迭代函数 ( x) 不是唯一的， ( x) 不同，会产生不同的序列{xk } ，从而收敛情况也不 一样。
§2 迭代法及其迭代收敛的加速方法
几何意义： * x x ( x ) 求方程 的根 ，在几何上就是求直线 y x与曲线 y ( x) 交点 P* 的横坐标，如图所示。从图中可以看出， * ( x ) ( x ) x 当迭代函数 的导数 在根 处满足不同条件时，迭
特点：运算简单，方法可靠，对函数只要求在区间上连续 ；但收敛速度慢，不能用来求复数根及偶数重根。常用于为 其它求根方法提供较好的近似初始值。
§2 迭代法及其迭代收敛的加速方法
迭代法（逐次逼近）
数值分析非线性方程的数值解法
数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。
非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。
本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。
一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。
该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。
迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。
简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。
该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。
弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。
该方法通过用切线来逼近方程的根。
二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。
该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。
三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。
数学方法解决非线性方程组
数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。
解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。
本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。
1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。
它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。
然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。
将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。
牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。
2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。
它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。
具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。
然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。
接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。
3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。
它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。
具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。
然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。
它在求解非线性方程组时具有较好的效果。
4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。
它通过线段的截断来逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。
然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。
重复这个过程，直到满足收敛条件。
弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。
但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。
总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。
非线性方程组的数值解法及最优化方法课件
拟牛顿法是牛顿法的改进，通过构造一个近似于真实Hessian矩阵的对称正定矩阵来逼近， 从而加快了算法的收敛速度。
信赖域方法求解非线性方程组
信赖域方法是一种基于梯度信息的迭代算法，通过在每一步中计算一个小的搜索方向，并 限制步长，以避免算法发散。
最优化方法案例
梯度下降法求解无约束最优化问题
梯度下降法是一种迭代算法，通过不断沿负梯度方向更新变量，最终找到最优化问题的最小值点。该方法适用于求解 无约束最优化问题。
牛顿法求解无约束最优化问题
牛顿法是一种基于二阶导数的迭代算法，通过不断逼近函数的极小值点，最终求解无约束最优化问题。该方法适用于 求解具有多个局部最小值的问题。
遗传算法求解约束最优化问题 遗传算法是一种基于生物进化原理的随机搜索算法，通过模拟生物进化过程中的自然选择和遗传机制， 在解空间中进行高效搜索，最终找到满足约束的最优解。
和稳定性。
约束最优化方法
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日函数，将约束最优化问题转化为无 约束最优化问题求解。
罚函数法
通过引入罚函数，将约束条件转化为无约束条件，通 过迭代更新求解。
序列二次规划法
结合拉格朗日乘数法和牛顿法的思想，通过迭代逼近 最优解。
混合整数最优化方法
01
02
03
分支定界法
将整数约束转化为区间约 束，通过不断分支和剪枝 来逼近最优解。
非线性方程组与最优化方法的结合案例
非线性规划问题
非线性规划是最优化领域中一类重要的数学问题，其目标函数和约束条件都是非线性的。常见的非线性规划问题 包括最小二乘问题、二次规划问题等。求解非线性规划问题的常用方法包括梯度下降法、牛顿法等。
数学专业非线性方程数值解法研究
数学专业非线性方程数值解法研究在数学专业中，非线性方程是一类具有重要研究价值的数学模型。
相比线性方程，非线性方程具有更复杂的形式和求解方法。
本文将围绕非线性方程的数值解法展开研究，介绍一些常见的解法和应用实例。
一、非线性方程的基本概念和性质非线性方程是指未知量的函数与未知量本身或其幂次之和相乘、除或开方等，并且未知量的幂次大于1的方程。
非线性方程的求解需要借助于数值计算方法，因为在大多数情况下，非线性方程很难用解析方法求解。
非线性方程的性质和解的存在性有着重要的理论基础。
例如，非线性方程可能存在多个解，也可能无解。
此外，方程的解也可能是不稳定的，即微小的误差可能导致解的不准确性。
因此，非线性方程的数值解法需要考虑这些性质，以确保解的准确性和稳定性。
二、常见的非线性方程数值解法1.二分法二分法是一种简单且直观的非线性方程数值解法。
该方法基于区间中值定理的思想，通过不断缩小方程解所在的区间范围来逼近方程的根。
具体步骤如下：（1）选择一个初始的区间范围，保证方程在该区间内有且只有一个根；（2）计算区间的中点，并求解该中点处的函数值；（3）根据中点处函数值的正负情况，缩小区间范围；（4）重复步骤2和步骤3，直至满足需要的精度。
2.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高效的非线性方程数值解法。
该方法基于导数的概念，通过不断迭代逼近方程的根。
具体步骤如下：（1）选取一个初始的解的估计值；（2）计算函数在该点处的导数值，并求解函数值；（3）利用导数和函数值的信息更新解的估计值；（4）重复步骤2和步骤3，直至满足需要的精度。
3.割线法割线法是一种基于线性插值的非线性方程数值解法。
该方法通过连接两个点构成直线，然后将直线与x轴的交点作为新的近似解，不断迭代逼近方程的根。
具体步骤如下：（1）选取两个初始的解的估计值；（2）利用两点间的线性插值计算新的解的估计值；（3）根据新的解的估计值重新确定两个点；（4）重复步骤2和步骤3，直至满足需要的精度。
非线性偏微分方程数值解法
非线性偏微分方程数值解法非线性偏微分方程数值解法是现代数学中一个重要的研究领域，涵盖了广泛的应用领域，如流体力学、材料科学、地球科学等。
非线性偏微分方程具有复杂的数学性质，解析解往往难以获得，因此需要借助数值方法来求解。
本文将介绍几种常见的非线性偏微分方程数值解法，并分析其特点和适用范围。
有限差分法是求解非线性偏微分方程的常见数值方法之一。
该方法将偏微分方程中的微分算子用差分近似代替，将空间域和时间域划分为离散网格，通过迭代计算网格点上的函数值来逼近方程的解。
有限差分法简单易实现，适用于各种类型的非线性偏微分方程，如抛物型方程、椭圆型方程和双曲型方程。
然而，有限差分法的稳定性和精度受到网格剖分的影响，需要 carefully 选择合适的参数以获得准确的数值解。
有限元法是另一种常见的非线性偏微分方程数值解法。
该方法将求解区域划分为有限个单元，通过建立元素之间的连接关系，将原始方程转化为局部形式，再通过装配求解整体方程。
有限元法具有较高的精度和灵活性，适用于具有复杂边界条件和几何结构的问题。
然而，有限元法需要构建有效的网格剖分和选取合适的形函数，求解过程相对繁琐，需要较高的数值计算能力。
另外，谱方法也是一种常用的非线性偏微分方程数值解法。
谱方法利用谱逼近理论，将方程的解表示为一组基函数的线性组合，通过调整基函数的系数来逼近真实解。
谱方法在处理高度非线性和奇异问题时具有优势，能够提供高精度的数值解。
然而，谱方法对问题的光滑度和周期性要求较高，对基函数的选取也较为敏感。
总的来说，非线性偏微分方程数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等多种方法，每种方法都有其适用的范围和特点。
在实际应用中，需要根据问题的具体特点和求解要求选择合适的数值方法，并结合数值分析和实验验证来确保数值解的准确性和可靠性。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解非线性偏微分方程数值解法的基本原理和应用方法。
非线性方程数值求解法总结
（一）非线性方程的迭代解法1.非线性方程的一般形式：f(x)=02.非线性方程的分类：⎩⎨⎧=为其他函数。
超越方程，次代数多项式；为代数方程，)()(0)(x f n x f x f 3.方程的根：若存在常数s 使f(s)=0，则称s 是方程(4.1)的根，又称s 是函数f(x)的零点。
4.重根：若f(x)能分解为)()()(x s x x f m ϕ-= 则称s 是方程(4.1)的m 重根和f(x)的m 重零点。
当m=1时，s 称为方程(4.1)的单根和f(x)的单零点。
5.结论：(1)零点存在定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)•f(b)<0，那么在开区间（a,b ）内至少有一点ξ，使f(ξ)=0.(2)根的唯一性判别：一阶导数不变号且不为零(3)n 次代数方程在复数域上恰有n 个根(4)高于4次的代数方程没有求根公式6.方法：(1)搜索根方法：①作图法：②逐步搜索法：确定方程根的范围的步骤：步骤1 取含f(x)=0根的区间[a,b]，即f(a)•f(b)<0；步骤2 从a 开始，按某个预定的步长h ，不断地向右跨一步进行一次搜索， 即检查kh a x k +=上的函数)(k x f 值的符号。
若0)()(1<•-k k x f x f ，则可以确定一个有根区间],[1k k x x -.步骤3 继续向右搜索，直到找出[a,b]上的全部有根区间],[1k k x x -（k=1,2,…,n).(2)二分法①基本思想：含根区间逐次分半缩小，得到一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列 {}k I ,在给定根的误差界时，利用长度趋于零的特点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。
②迭代终止的条件ε<)(k x fε2<-k k a b或者ε<-≤-2k k k a b s x(3)简单迭代法及其收敛性)(0)(x x x f ϕ=⇔=,2,1,0),(1==+k x x k k ϕ迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐 步精确化,最后得到满足精度要求的解。
非线性方程数值解法及其应用
非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。
本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。
是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。
我将从二分法、Steffensen加速收敛法、Newton迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。
关键字：非线性方程;二分法；Steffensen加速收敛法；代数Newton法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。
科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。
因此经常需要求非线性方程 f(x) = O的根。
方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则f(x) = O在开区间(a,b)内至少有一个实根。
这时称[a,b]为方程f(x) = O的根的存在区间。
本文主要是对在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。
二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。
如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为。
取区间[a,b]的中点，并计算，则必有下列三种情况之一成立：(1)= O,就是方程的根；(2)f(a)·f()<O，方程的根位于区间[a,]之中，此时令，；(3)f()·f(b)<O，方程的根位于区间[,b]之中，此时令。
非线性方程(组)的解法
lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显 然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根， 又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
非线性方程数值解法详解
1 ( p) (
p!
)( xk
)
p
xk1
1
p!
(
p)
(1
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性 （略）
例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能
时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)<0，f(2)>0， f‘(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
(1) f(a)f(b)<0; (2) f'(x)0, x[a, b]; (3) f''(x)不变号, x[a, b]; (4) 初值x0 [a, b]且使f''(x0) f(x0)>0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一 根.
例 研究求
a的Newton公式xk 1 Nhomakorabeaxk 1 xk
f (xk ) f (xk )
(k 0,1, 2,L )
逐次逼近方程f(x)=0的根α ，这种求根算法称为 Newton法（切线法），此公式称为 Newton迭代公式.
Newton迭代法的收敛性及收敛阶
Newton法的迭代函数是 (x) x f (x)
从而
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的m 重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则
非线性方程数值解法
对分区间法
对分法的基本思想
对分法的基本思想是在平分有根区间的 过程中，逐步缩小有根区间. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) f(b)<0 ，则方程f(x)=0在(a, b)内至少有一 个根.为简便起见，假定方程f(x)=0在(a, b) 内仅有一个根.这样(a, b)为有根区间.这 时可用下面的对分法求方程f(x)=0的近似 根.
迭代法的整体收敛性
定理1 （迭代收敛定理）设(x)在[a, b]上具有一阶 导数，且 1°x[a, b] ，总有(x)[a, b] ； 2°存在0m<1，使x(a, b) ，有'(x)m 则 1°方程x=(x)在[a, b]内有且仅有一根α ，其中α 为对任意初值x0 [a, b]由迭代过程xk+1=(xk)所产生 序列的极限. m xk xk xk 1 2°有估计式
求根步骤
（1）确定所给方程存在多少个根. （2）进行根的隔离，找出每个有根区间， 有根区间内的任一点都可看成是该根的 一个近似值. （3）逐步把近似根精确化，直到足够精 确为止.
根的隔离
根的隔离
确定出若干个小区间，使每个小区间有 且仅有方程f(x)=0的一个根，这个步骤称 为根的隔离.其中每个有根小区间都称为 隔根区间.
第三章
非线性方程的数值解法
根的概念
给定方程f(x)=0，如果有α使得f(α)=0， 则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的 m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法.
非线性代数方程(组)的解法
06
应用举例与算法实现
应用举例
经济学
非线性方程组在经济学中广泛应用于描述市场均衡、消费者行为等问题。例如，求解供需平衡价格时，可以通过构建 非线性方程组来表示供给和需求函数，进而求解市场均衡价格。
工程学
在机械、电子等工程领域，非线性方程组常用于描述系统的动态行为。例如，在控制系统中，通过建立非线性状态方 程来描述系统的状态变化，可以求解系统的稳定性、响应特性等问题。
拟牛顿法是对牛顿法的改进，通过近 似计算雅可比矩阵或其逆矩阵来减少 计算量。常见的拟牛顿法有BFGS方 法、DFP方法等。程序设计时，需要 实现拟牛顿法的迭代过程，包括选择 合适的拟牛顿公式、更新近似矩阵等 步骤。
信赖域方法
信赖域方法是一种全局收敛的非线性 方程组求解算法，其基本思想是在每 次迭代中构造一个信赖域，然后在该 区域内寻找使目标函数充分下降的试 探步。程序设计时，需要实现信赖域 方法的迭代过程，包括构造信赖域、 求解子问题、更新信赖域半径等步骤 。
04
解析解法分离变量法源自01 适用于可将方程中的变量分离为两个或多个独立 函数的情况。
02 通过将方程两边同时积分，得到各变量的通解。 03 需要注意积分常数的确定，以及解的合理性验证。
行波法
01
适用于可化为行波形式的非线性方程。
02
通过引入行波变换，将原方程化为关于行波参数的常微分方 程。
03
步骤
1. 选定适当的坐标轴，将方程的变量表 示为坐标轴上的点。
等倾线法
定义：等倾线法是一种通过绘 制等倾线（即斜率相等的线） ，从而找出方程解的方法。
步骤
1. 将方程转化为斜率形式， 即 y' = f(x, y)。
3. 通过观察等倾线的交点、 切线等性质，可以判断方程 的解的存在性、唯一性等。
非线性bbm方程的数值解法
非线性bbm方程的数值解法
非线性 Burger-Bridgman 方程的数值解法：
1. 非线性 Burger-Bridgman 方程简介
Burger-Bridgman 方程是一个无参考性的、非线性的偏微分方程,用于描述不同相混合物之间的浓度分布和温度分布。
它属于普通的偏微分方程系统，由两个分量的不可约化小于零的偏微分方程组组成，可以用来模拟复杂流体系统中的传热与传质过程。
2. 数值解法
（1）牛顿-谢尔宁法。
牛顿-谢尔宁法是一种在处理偏微分方程问题时使用的数值解法，它可以通过使用谢尔宁方程组变换的牛顿序列将非线性问题转换为线性方程组，最终求解非线性 Burger-Bridgman 方程。
3. 结论
非线性 Burger-Bridgman 方程解决了复杂流体系统中的传热与传质过程。
以上是关于非线性 Burger-Bridgman 方程数值解法的三种主要方法：牛顿-谢尔宁法、层状矩阵法、有限元法。
这些方法可以有效地解决相伴随着混合物流体系统中的传热传质问题，实现非线性 Burger-Bridgman 方程的数值解。
非线性方程(组)的解法
f ( x) f ( xk ) f ( xk )(x xk ) 一元函数 F ( x) F ( x k ) F ( xk )(x xk ) 0 x k为向量 F ( x k )(x x k ) F ( x k ) x x k F ( x k )1 F ( x k )
18
3.非线性方程组的迭代解法
f1 ( x1 , x2 , , xn ) 0 f1 ( x) f1 ( x1 , L , xn ) 或 F ( x) L 0 L f ( x) f ( x , L , x ) f ( x , x ,, x ) 0 n n n 1 n n 1 2
9
迭代法及收敛性
考虑方程 x ( x)。 这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
但如果给出根的某个猜测值 x0， 代入 x ( x) 中的右端得到 x1 ( x0 )，再以 为一个猜测值，
x1
代入 x ( x) 的右端得 x2 ( x1 ) ，反复迭代 得
1 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 f ( ) 2 其中在x和x0之间
0 f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) 0
16
Newton迭代法
有：
*
f ( x0 ) x x0 f ( x0 )
能为力时，数值方法则可以借助于计算机出色完成。
2
2.1二分法
概念：
有根区间：存先确定有限区间：依据零点定理。 设 f ( x) C[a, b]，且 f (a) f (b) 0 ，则 方程 f ( x) 0在区间 (a, b)上至少有一个根。 如果 f ' ( x) 在 (a, b)上恒正或恒负，则此根唯 一。
非线性微分方程的数值求解方法
非线性微分方程的数值求解方法非线性微分方程是现代科学研究中的一个重要课题，其涉及机械、物理、化学、电子、生物、医学等众多领域。
然而，由于非线性微分方程普遍难以求解，因此，数值求解成为了解决问题的有效方法。
在本文中，我们将介绍非线性微分方程数值求解的常用方法和一些应用实例。
1. 常用方法1.1 有限差分法有限差分法是一种基于离散化技术的数值求解方法。
其具体操作是将非线性微分方程转化为一个差分方程，然后利用数值迭代的方法逐步计算出方程的解。
有限差分法是非线性微分方程数值求解的最基本方法，其优点是简单、易于实现，但由于离散化带来的误差限制了其应用范围。
1.2 有限元法有限元法是结构力学和流体力学中常用的一种数学方法，可以用于求解大量的非线性微分方程。
该方法将连续的物理问题转化为一系列离散的有限元问题，并利用数值技术实现数值计算。
相对于有限差分法，有限元法更加灵活、精确，能够模拟各种复杂的力学问题。
1.3 辛波特-欧拉法辛波特-欧拉法是非线性微分方程数值求解中的一种高精度方法。
其基本思想是将微分方程用欧拉法离散化，然后利用辛波特方法来提高精度。
该方法应用广泛，在计算机模拟、物理学、天文学等领域有着广泛的应用。
2. 应用实例2.1 生态学非线性微分方程在生态学中有着广泛的应用，其中最经典的例子是Lotka-Volterra方程。
这个模型描述了食物链中食草动物和食肉动物的数量变化。
利用有限元法、有限差分法等数值方法，可以对生态系统的发展、演变进行模拟，研究生态链条的稳定性、物种丰富度变化、环境扰动的影响等问题。
2.2 理论物理学非线性微分方程在理论物理学中也有着广泛的应用。
例如，把非线性微分方程用于研究非线性波方程和非线性光学方程，以及非线性薛定谔方程和非线性薛定谔场方程等等。
这些数值方法的应用可以有效地模拟和研究各种物理现象。
例如，研究自然灾害引起的气候变化、稳定器的效应、研究界面液晶显示器，以及研究光学调制中涉及的非线性现象等等。
计算方法 第2章 非线性方程数值解法
第二章非线性方程数值解法本章将讨论非线性方程0)(=x f (2.1)的数值解法，我们最为熟悉的非线性方程是一元二次方程02=++c bx ax也是最简单的非线性方程，其解为：aac b b x 2422,1-±-=但是对于(2.1)式中一般形式的非线性函数)(x f ，很难甚至不可能找到解析形式的解，通常只能用数值的方法求其近似数值解。
2.1 基本概念定义2.1如果*x 满足0)(*=x f ，则称*x 为方程(2.1)的解或根，也称*x 为函数)(x f 的零点或根。
用数值方法求解非线性方程的解，通常需要我们对其解有一个初步的估计，或知道其解的一个限定区间，因此确定包含解的区间将是我们首先需要解决的问题。
定义2.2若连续函数)(x f 在],[b a 内至少有一个根，则称],[b a 为有根区间，若在],[b a 内恰有一个根，则称],[b a 为隔根区间。
定理2.1 如果函数)(x f 在],[b a 上连续且0)()(<b f a f ，则)(x f 在),(b a 内至少有一个根，如果函数)(x f 另外满足在],[b a 上单调连续，则)(x f 在),(b a 内恰有一个根。
寻找隔根区间的通常方法有：图形法, 试探法。
例2.1 求033)(3=+-=x x x f 的有根区间。
解：作出函数)(x f y =的曲线图形图2.1 例2.1曲线示意图观察图中的曲线与X 轴的交点，可判断在区间)2,3(--之间方程有一个根。
例2.2 求033)(23=--+=x x x x f 的有根区间。
解：计算出)(x f 在一些点的值。
从表中可以看出1-=x 是一个根，区间)2,1(是一个有根区间。
如果在[-2,-1]之间把间隔再缩小到0.25我们可以得到下列表格在这个表格里我们又发现一个有根区间)5.1,75.1(--。
从此例中我们可以体会到试探法有可能漏掉某些有根区间，具有一定的局限性。
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非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。
本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。
是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。
我将从二分法、Steffensen 加速收敛法、Newton 迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。
关键字：非线性方程;二分法；Steffensen 加速收敛法；代数Newton 法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。
科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。
因此经常需要求非线性方程 f(x) = O 的根。
方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a ，b]上连续，且f(a)·f(b)<O ，则f(x) = O 在开区间(a,b)内至少有一个实根。
这时称[a,b]为方程f(x) = O 的根的存在区间。
本文主要是对522)(23-+=x x x f 在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。
二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。
如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O ，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为*x 。
取区间[a,b]的中点)(21b a x k +=，并计算)(1x f ，则必有下列三种情况之一成立： (1))(1x f = O,1x 就是方程的根*x ；(2)f(a)·f(1x )<O ，方程的根*x 位于区间[a,1x ]之中，此时令a a =1，11x b =；(3)f(1x )·f(b)<O ，方程的根*x 位于区间[1x ,b]之中，此时令0111,b b x a ==。
在(2)、(3)两种情况下，取)(21112b a x +=，并计算)(2x f ，重复上述过程，就可逐次把区间缩短一半，且始终包含根根*x 。
当经过k 次二分后，根*x 所在的区间],[k k b a 的长度为k k k ab a b 2-=-。
若取有根区间的中点i k k k y b a x )(211+=+作为根的近似值，则在二分过程中，可以获得一个近似根序列}{1+k x ，该序列必以根*x 为极限。
在实际计算时，不可能完成这种无穷过程，其实也没有这种必要。
由于1*122++-=-≤-k k k k ab a b x x 所以，只要二分足够次(即k 足够大)，便有ε<-+*1x x k 。
这里ε为事先给定的精度，再注意到2*1kk k a b x x -≤-+，所以，在实际计算时，只要某个有限区间的长度小于ε，就可以停止计算，并取该有限区间的中点作为根*x 的近似值。
二分法的优点是算法简单及近似根序列一定收敛，缺点是收敛速度比较慢。
2、Steffensen 加速收敛法如图所示，由(),()nn n n n n n n y x z y P ϕϕ==可得（x ,y ）,Q(y ,z )两点，连接PQ 弦有方程：()n nn n n nz y y y x x y x --=--令y=x,可得11(,)n n n R x x ++点，有解式：21()2n n n n n n n y x x x x z y x +-==--+3、代数Newton 法)0(0)(0110≠=+⋅⋅⋅++=-a a x a x a x f n n n设n 次代数方程用Newton 迭代法求有限区间的实根，则要计算，一般采用秦九韶算法。
由Taylor 展式比较x 的同次幂系数得：)2(!)()(...!2)()()()()1()()()(!)()(...!2)()()()()()()(1')(2'n x f x x x f x x x f x Q x Q x x x f n x f x x x f x x x f x x x f x f n n n n n n n n n n n nn n n n n n --++''-+=-+=-++''-+-+=其中);)(1)()1(n n x f x Q n x f x x 余式为次多项式，得商为）去除式表示，用（--)3()()()()(),()(212110''---+⋅⋅⋅++=-=n n n n n n n b x b x b x Q x Q x x x f x f x Q 的余式，令除以为且）式知，由（nn n nn n n n n a x a xa x ab x b x b x x x f x f ++++=+⋅⋅⋅++-+=-----111012110...])[()()(1)3(）式得式代入（),...,2,1()(100n k x x f b b a b a b x n n nk k k =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==-的同次幂系数得比较等式两边)()()()()('x R x x x f x Q x Q x x n n n -+=-有取除以用)4()(23120---+⋅⋅⋅++=n n n c x c x c x R 令12211023120...])[()()()3()4(-------++++=+⋅⋅⋅++-+'=n n n n n n n n n b x b x b x b c x c x c x x x f x Q 式得式代入00⎪⎧=b c则得出代数Newton 的公式:4、弦截法代数Newton 虽然收敛速度快，但需要计算导数)('x f ，如果函数)(x f 比较复杂，就会带来一些不便。
因此要考虑一种能避开导数运算的迭代公式。
000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→可以用平均变化率：0)()(x x x f x f --来近似代替)('0x f 。
在牛顿迭代公式中，用0)()(x x x f x f k k --来近似代替)('k x f ，就得到迭代公式)()()()(001x x x f x f x f x x k k k k k ---=+按这个公式进行迭代计算的方法就称为弦截法。
弦截法的收敛速度比牛顿法慢得多，为了加快收敛速度，改用差商11)(')('----k k k k x x x f x f 来代替牛顿迭代公式中的导数)('k x f ，于是得到下列快速弦截法的迭代公式)()()()(111--+---=k k k k k k k x x x f x f x f x x ,...)2,1(=k因为在计算1+k x 时，用了前面两步的信息k x 和1-k x ，所以收敛速度就提高了。
应该注意，在使用快速弦截法迭代公式时，必须先给出两个初始近似根0x 和1x 。
弦截法的优点是收敛速度也相当快。
三、非线性方程数值解法的MATLAB 实现1、二分法（1）MATLAB 程序：,...)2,1(11=-=-+n c b x x n nn n（2）二分法的MATLAB 实现及分析：用二分法计算522)(23-+=x x x f 在区间[1,2]上的根。
因为二分法只能求单根，首先搜索函数在区间[1.2]的根的情况。
在MATLAB 命令窗口输入程序：x=1:0.01:2;y=2*x.^3+2*x.^2-5; plot( x,y)得到图1。
从图1中可以得到函数在区间[1，2]间有唯一的一个大于1.35而小于1.4的单根。
建立函数的程序function f=f(x);f=2*x^3+2*x^2-5;在命令窗口输入erfen(‘f' ,1,2,0.0001)，得到结果x=1.0929。
图1（3）二分法的手算：522)(23-+=x x x f ，因为0)2(,0)1(><f f ，所以f(x)在[1,2]上有根。
下面是二分法的求解过程：（1）Steffensen 加速收敛法MATLAB 程序:（2）Steffensen 加速收敛法的MATLAB 实现及分析用Steffensen 加速收敛法计算522)(23-+=x x x f 在区间[1,2]上的根,精度00001.0=ε，编写函数程序：function f=f(x);f=2*x^3+2*x^2-5;在命令窗口输入：steff(‘f ’,1.5,0.00001,20)，得结果x=1.0929.(3)Steffensen 加速收敛法的手算：令f(x)=0,得325.2)(x x -=ϕ，由)(),(n n n n y z x y ϕϕ==，有nn n n n n n x y z x y x x +---=+2)(21。
于是有以下手算过程： n n xn yn z0 1.5 0.629960524 1.281219081 1 1.002419435 1.143480508 1.060425938 2 1.091204172 1.093981861 1.092288682 3 1.092929912 1.092931036 1.092930351 41.0929303983、代数Newton 法（1）代数Newton 法的MATLAB 程序：(2)代数Newton 法的MATLAB 实现及分析用代数牛顿法求方程522)(23-+=x x x f ，设初值依然为5.10=x ，精度为00001.0=ε，首先编写程序:function f=f(x) f=2*x^3+4*x^2-10; 在命令窗口输入：x=daishuNewton(1,1.5,0.00001),得结果x=1.0929.（3）代数Newton 法的手算：因为nn n n n n x x x x x x 465222231+-+-=+，所以有以下手算过程： 0x1x2x3x4x1.51.17944871791.0980364071.0929498441.092930614、弦截法(1)弦截法的MATLAB 程序:function root=Secant(f,a,b,eps) if(nargin==3) eps=1.0e-5; endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if(f1==0) root=a; endif(f2==0) root=b; endif(f1*f2>0) disp; return; elsetol=1;fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);root=a-(b-a)*fa./(fb-fa); while (tol>eps) r1=root;fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1); s=fx*fa; if(s==0) root=r1; elseif(s>0)root=b-(r1-b)*fb/(fx-fb); elseroot=a-(r1-a)*fa/(fx-fa); end endtol=abs(root-r1) end end(2)弦截法的MATLAB 实现及分析:采用弦截法求方程522)(23-+=x x x f 在区间[1,2]上的根。