(第2章 非线性方程与方程组的数值解法)
(第2章 非线性方程与方程组的数值解法) 1
方程的有根区间为 [1.3,1.4].
f ' ( x) 3x 2 1 0, x [1.3,1.4]
又 即 f ( x) 0在 [1.3,1.4] 有唯一根。
9
二、二分法 求根
用二分法(将区间平分)求解。
令 a1 a, b1 b, c1 1 2 (a1 b1 ) 若 f (a1 ) f (c1 ) 0 ，则 [a1 , c1 ] 为有根区间， 否则 [c1 , b1 ] 为有根区间 记新的有根区间为 [a2 , b2 ] ， 则
1 取 x cn (an bn ) 2
n
n
* x 为 的近似值。
12
求方程f(x)=0的根的二分法算法
(1) 输入 : 有根区间[a, b] 的a, b值及精度控制量 ;
(2) if f (a ) f (b) 0 then 返回第 1步, 重新输入a, b值 else 转第3步;
2) while | b1 a1 | 时做
0
(二分法求根)
1 1 x (a1 b1 );计算f ( x ); 2
14
求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法
20 30 if if f ( x ) 0转(3); f ( a1 ) f ( x ) 0 then else endwhile; h 3)输出 : x; a1 x ; b1 a1 h; 10 endwhile;
第2章
非线性方程与方程组 的数值解法
1
本章的两类问题
本章重点介绍求解非线性方程 f ( x) 0的几种常见和有 效的数值方法，同时也对非线性方程组
fi ( x1, x2 ,, xn ) 0
数值计算方法第2章2-1节
（2）计算
f
(
a
2
b)
。
（3）若
f
(
a
2
b
)
0
，计算停止；若
f
(
a
2
b
)
f
(a)
0
，用
若
f
(
a
2
b)
f
(b)
0
，以
a
2
b
代替
a
。
a
2
b
代替
b
；
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围
之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
18
证明方程 x3 3x2 6x 1 0 在区间（0，1）内有唯一的实根，并
在[－1,－0.25]，[0.5，1.25]，[1.25，2]各区间内至少有一个实根。
10
2.1.3 区间二分法
定理 函数f(x)在[a,b]上单调连续，且f(a)f(b)<0， 则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。
二分法的基本思想 将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那 个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间 再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此 反复 ，直到求出满足精度要求的近似根。
5
有根区间
介值定理 若函数 f (x) 在[a, b] 连续，且
f (a) f (b) 0 ，则方程 f ( x) 0 在(a,b) 内至
少有一个实根。将[a, b] 称为 f (x) 的有根区间。
6
2.1.2 逐步搜索法
假设f(x)在区间[a,b]内有一
个实根x*,若 b – a较小，则可 在(a,b)上任取一点x0作为初始 近似根。
非线性方程与方程组数值解法
2.2 二分法
表2-2 计算结果
k
0 1 2 3 4 5 6 7
ak
1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3203
bk
2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 1.3281 1.3281
xk
1.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
ab ；否则，回 2
5.2 二分法
说明：
x*
(ⅰ)上述计算步骤（2）和（3）每执行一次就把新的区间分成两份，根的范围也 缩小一半. 如果第 k 次二分后得到的区间记 为 [ak , bk ]，根的近似值记为 xk ，则 ba (a b ) 有 bk ak k ， xk k k ，那么当时 k ， bk ak 0，这说明如果二分过 2 2 程无限继续下去，这些区间必将收敛于一点，即为所求根. (ⅱ) 第
3
2 f ( x ) 3 x 1 0, x [1, 2] 解 已知 f (1) 1 0, f (2) 5 0 且 ，
则方程
f ( x) x 3 x 1 0
在区间
(1, 2)
内只有一个实根.
当 k 1 ， x1
bk ak 102 ，继续二分；
2.1 引言
通常隔离区间的确定方法为 （1）作 y f ( x) 的草图, 由 y f ( x)与横轴交点的大致位置来确定； 或 者将 f1 ( x) f 2 ( x) 改写成 f ( x) 0 ， 根据 y f1 ( x) 和 y f 2 ( x) 交点横坐标来确定
根的隔离区间.
当 k 2 ， x2
非线性方程数值解法详解
1 ( p) (
p!
)( xk
)
p
xk1
1
p!
(
p)
(1
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性 （略）
例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能
时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)<0，f(2)>0， f‘(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
(1) f(a)f(b)<0; (2) f'(x)0, x[a, b]; (3) f''(x)不变号, x[a, b]; (4) 初值x0 [a, b]且使f''(x0) f(x0)>0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一 根.
例 研究求
a的Newton公式xk 1 Nhomakorabeaxk 1 xk
f (xk ) f (xk )
(k 0,1, 2,L )
逐次逼近方程f(x)=0的根α ，这种求根算法称为 Newton法（切线法），此公式称为 Newton迭代公式.
Newton迭代法的收敛性及收敛阶
Newton法的迭代函数是 (x) x f (x)
从而
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的m 重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则
非线性方程和方程组的数值解法
1. 使用二分法求3250x x --=在区间[2，3]上的根，要求误差不超过30.510-⨯.解：首先确定二分次数，根据误差估计式得，取k=10即可。
使用二分法计算10次，结果见下表2. 利用0)ln(=+x x 构造收敛的迭代格式，并求在0.5附近的根.解 首先考虑迭代格式1ln ,0,1,2,...k k x x k +=-=，相应的迭代函数()ln ,x x ϕ=-容易计算'1()x xϕ=-，在0.5附近有 ''()2,()21x x ϕϕ≈-≈>.迭代格式1ln ,0,1,2k k x x k +=-=不收敛，利用上题结论，函数()ln x x ϕ=-的反函数1()x x e ϕ--=，建立迭代格式1,0,1,2,...,k x k x e k -+==取初值00.5x =，计算结果见下表：最后*180.5671408x x≈=3.求方程310x x--=在]2,1[上的唯一正根，精度410-解考虑函数3()1, f x x x=--显然(1)10,(2)50f f=-<=>，故在[1,2]上方程有根存在；另外'2()312,[1,2],f x x x=-≥∈因此在[1,2]上方程有唯一的根。
建立迭代格式1nx+=迭代函数()xϕ=在[1,2]上满足23'131()(1)3x xϕ-=+<根据收敛性定理，迭代格式1nx+=[1,2]x∈均收敛。
例如，取初值x=1.5，并计算结果如下：方程31x x--=0在[]1,2上的精确解是* 1.324718x=4.利用简单加速方法，求方程xx e-=在x=0.5附近得一个根，精度510-。
解考虑'(),()0.6x xx e x e Lϕϕ--==-=≈-.利用简单加速方法()1111111n nnn nL Lx xx x xϕ+++--⎧=⎪⎨=-⎪⎩得()1111 1.60.6nxnnn nx ex x x-+++⎧=⎪⎨=+⎪⎩取初值00.5x =，计算结果列表如下：5. 利用Newton 法解方程x=cosx ，取初值0x =1.解 考虑()cos f x x x =-，建立Newton 迭代格式：()()01'1,,0,1,2.....n n n n x f x x x n f x +=⎧⎪⎨=-=⎪⎩方程x=cosx 的精确解是*x =0.739 085 133……。
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -2191-38-2473-223所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
(完整版)数值分析重点公式
第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x ll x x x lαα+-≤---≤--定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠L （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
第2章-非线性方程与方程组的数值解法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
xn
(yn xn )2 zn 2yn xn
Steffensen迭代格式
也能够改写成
xn1 (xn )
其中迭代函数
(n 0,1,......)
(x) x [(x) x]2 ((x)) 2(x) x
Steffensen迭代法收敛旳充要条件
定理2.2.3 设函数(x) C1， [x* , x* ], 为足够小的正数，且(x*) 1，则
不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn ) n 0,1,.... 收敛到方程旳根。
简朴迭代收敛情况旳几何解释
2.2.2 Steffensen加速收敛法
迭代法收敛旳阶
设序列
收敛到 { x，n}0若有实数x*
零常p 数 1C，使得 lim
n
en1 enp
C
和非
其中，en xn x*，则称该序列是p 阶收敛旳， C 称为渐进误差常数。
故{xn }0 收敛到x*。
敛速是线性旳
因为lim n
en1 en
lim
n
(
xn ) xn
(
x*
x*
)
(x*)
0
所以{xn }0
x*
线性收敛到 。
Steffensen迭代格式
由线性收敛知
lim en2 lim en1 C 0
e e n
n
n1
n
当n充分大时有
en2 en1 en1 en
x (a,b)
压缩映像原理
再证根旳唯一性
设有 x1 , x2 [a, b]均为方程旳根
则
|
x1
x2
|| (x1 )
(
x
2
)
数值分析教案_非线性方程的数值解法
定理 2（不动点迭代法的全局收敛性定理） 设 ( x) C[a, b] 满足定理 1 中的两个条 件，则对任意的 x0 [a, b] ，由（2.1）式生成的迭代序列 {xk } 收敛到 ( x) 在 [a, b] 上的不 动点，且有
| x* xk | | xk 1 xk | , 1 L
ak bk ） 。记第 n 次过程得到的隔根区间为 2
[an , bn ] ，则 [a0 , b0 ] [a1, b1 ] [a2 , b2 ] [an , bn ]
an x* bn ， n 0,1, 2,
bn an bn 1 an 1 2 b0 a0 2n
k
则称迭代方程（2.1）收敛。 2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性 定义 若存在常数 L ，使对任何 x1 , x2 [a, b] 有
| ( x1 ) ( x2 ) | L | x1 x2 |
则称 ( x) 在 [a, b] 上满足 Lipschitz（利普希茨）条件， L 称为 Lipschitz 常数。 显然， 若 ( x) 在 [a, b] 上满足 Lipschitz 条件， 则 ( x) 在 [a, b] 上连续。 若 ( x ) 在 [ a, b] 上一阶导数存在且有界，则 ( x) 在 [a, b] 上满足 Lipschitz 条件。 定理 1（不动点存在性定理） 设 ( x) C[a, b] 满足以下两个条件： （1）对任意 x [a, b] ，有 ( x) [a, b] ； （2） ( x) 在 [a, b] 上满足 Lipschitz 条件，且 Lipschitz 常数 L 1 ； 则 ( x) 在 [a, b] 上存在唯一的不动点。 证明：先证明不动点的存在性，记 g ( x) x ( x) ，由定理条件有 g (a) a (a) 0 及 g (b) b (b) 0 ，若有一等号成立，则 g (a) 0 或 g (b) 0 ，即 有不动点，否则必 有 g (a) g (b) 0 ，因 g ( x) C[a, b] ，则必有 x* [a, b] 使 g ( x* ) x* ( x* ) 0 ，x* 即为 的 不动点。
《数值计算方法》复习资料
实用文档《数值计算方法》复习资料第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值解法第三章线性方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1.知道产生误差的主要来源。
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3.知道四则运算中的误差传播公式。
实用文档三例题例 1 设x*= =3.1415926⋯近似值 x=3.14 ＝ 0.314× 101,即 m=1，它的绝对误差是－ 0.001 592 6 ，⋯有即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字 .x=3.14准确到小数点后第 2 位 .又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074 ⋯，有即 m=1,n＝ 5， x=3.1416 有 5 位有效数字 .而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926 ⋯，有即 m=1,n＝ 4， x=3.1415 有 4 位有效数字 .这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；例 2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4－0.002 009 0009 000.00解因为 x1=2.000 4＝ 0.200 04× 101, 它的绝对误差限 0.000 05=0.5 × 10 1―5，即m=1,n=5, 故 x=2.000 4 有 5 位有效数字 . a1=2，相对误差限x2=－ 0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为 m=－2，n=3 ，x2=－ 0.002 00 有 3 位有效数字 . a1=2 ，相对误差限r ==0.002 5实用文档x3=9 000 ，绝对误差限为0.5× 100，因为 m=4, n=4, x3=9 000 有 4 位有效数字， a=9 ，相对误差限r＝＝ 0.000 056x4=9 000.00 ，绝对误差限0.005，因为 m=4， n=6， x4=9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝＝ 0.000 000 56由 x3与 x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例 3 ln2=0.69314718⋯，精确到10－3的近似值是多少？解精确到 10－3＝ 0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
非线性代数方程组的解法
(ΔK i )−1
=
[Δδi
−
(
K
i
−1
)−1
Δψ
i
]
[Δδi [Δδi −
− (K i−1 )−1 Δψi (K i−1 )−1 Δψi ]T
]T Δψ
i
（当 Δδi ≠ (K i−1)−1 Δψi 时）
(2.21)
12
可以看出，只要初始逆矩阵 (K 0 )−1 是对称的，那么按式（2.21）和（2.14）求出的 (K i )−1 总
上述方程组可表示为
ψ(δ) = 0
还可以将它改写为
ψ(δ) ≡ F (δ) − R ≡ K (δ)δ − R = 0 K (δ) 是一个 n × n 的矩阵，其元素 kij 是矢量 δ 的函数，R 为已知矢量。在位移有限元中, δ 代表未知的结点位移， F (δ) 是等效结点力， R 为等效结点荷载，方程 ψ(δ) = 0 表示结点
这实际上是对eul当前一增量步的计算结果精确时式239成立则自修正方法回到euler232euler修正newton在每一增量步内采用修正的newton法取其初始的切线劲度矩不变的劲度矩阵则由于所以如果每一增量步内只迭代一次此时er法所产生的与真解偏差的修正因而称为自修正方法
第二章 非线性代数方程组的解法
2.1.3 修正的 Newton-Raphson 法
采用直接迭代法和 Newton 法求解非线性方程组时，在迭代过程的每一步都需要重新计
算
K
i T
。如将
Newton
法迭代公式中的
K
i T
改用初始矩阵
K
0 T
= KT (δ0 ) ，就成了修正的
Newton-Raphson 法（简称修正 Newton 法，图 2.5）。此时，仅第一步迭代需要完全求解一个
非线性方程的数值解法课件
弦截法
弦截法是一种改进的迭代方法 ，通过将非线性方程转化为线 性方程来求解根。
弦截法的迭代公式为 $x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$ ，其中$f(x)$为非线性方程。
弦截法的优点是无需计算函数 的导数，但收敛速度较慢，且 需要选择合适的迭代初值。
04
迭代法的优点是简单易 行，但收敛速度较慢， 且需要选择合适的迭代 初值。
牛顿法
牛顿法是一种基于泰勒级数的迭代方 法，通过线性化非线性方程来求解根 。
牛顿法的收敛速度较快，但需要计算 函数的导数，且在接近根时可能会产 生震荡。
牛顿法的迭代公式为$x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，其中$f(x)$为 非线性方程。
步长与收敛性的关系
深入研究步长与算法收敛性的关系，以找到最佳的步长调整策略。
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这类方程在某些区间上具 有不同的非线性性质，例 如 $|x| = y$。
非线性方程的特性
不存在通用解法
与线性方程不同，非线性 方程没有统一的解法，需 要根据具体方程的特点选 择合适的解法。
解的复杂性
非线性方程的解通常比线 性方程复杂，可能存在多 个解或不存在解，也可能 存在混沌解。
对初值和参数敏感
线性方程
如果一个方程中未知数的最高次 幂为一次，并且没有未知数的幂 ，那么这个方程就是线性方程。
非线性方程的分类
01
02
03
代数非线性方程
这类方程中包含未知数的 幂，例如 $x^2 + y^3 = 1$。
超越非线性方程
计算方法 第2章 非线性方程数值解法
第二章非线性方程数值解法本章将讨论非线性方程0)(=x f (2.1)的数值解法，我们最为熟悉的非线性方程是一元二次方程02=++c bx ax也是最简单的非线性方程，其解为：aac b b x 2422,1-±-=但是对于(2.1)式中一般形式的非线性函数)(x f ，很难甚至不可能找到解析形式的解，通常只能用数值的方法求其近似数值解。
2.1 基本概念定义2.1如果*x 满足0)(*=x f ，则称*x 为方程(2.1)的解或根，也称*x 为函数)(x f 的零点或根。
用数值方法求解非线性方程的解，通常需要我们对其解有一个初步的估计，或知道其解的一个限定区间，因此确定包含解的区间将是我们首先需要解决的问题。
定义2.2若连续函数)(x f 在],[b a 内至少有一个根，则称],[b a 为有根区间，若在],[b a 内恰有一个根，则称],[b a 为隔根区间。
定理2.1 如果函数)(x f 在],[b a 上连续且0)()(<b f a f ，则)(x f 在),(b a 内至少有一个根，如果函数)(x f 另外满足在],[b a 上单调连续，则)(x f 在),(b a 内恰有一个根。
寻找隔根区间的通常方法有：图形法, 试探法。
例2.1 求033)(3=+-=x x x f 的有根区间。
解：作出函数)(x f y =的曲线图形图2.1 例2.1曲线示意图观察图中的曲线与X 轴的交点，可判断在区间)2,3(--之间方程有一个根。
例2.2 求033)(23=--+=x x x x f 的有根区间。
解：计算出)(x f 在一些点的值。
从表中可以看出1-=x 是一个根，区间)2,1(是一个有根区间。
如果在[-2,-1]之间把间隔再缩小到0.25我们可以得到下列表格在这个表格里我们又发现一个有根区间)5.1,75.1(--。
从此例中我们可以体会到试探法有可能漏掉某些有根区间，具有一定的局限性。
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3)输出:
x; a1
x
h 10
; b1
a1
h;
endw hile;
14
例题
例1 设方程 f (x) x3 x 1,[a,b] [1,2]
解：取h=0.1,扫描得：
f (1.3) 0.61 0 f (1.4) 0.344 0
方程的有根区间为[1.3,1.4].
又 f ' (x) 3x2 1 0, x [1.3,1.4] 即 f (x) 0在 [1.3,1.4] 有唯一根。
6
等步长扫描算法
算法：（求方程 f (x) 0的有根区间）
(1) 输入 a,b, h ；
(2) f0 f (a) ；
(3) x a h, 停机。
f1
f (x)，若
x b 输出失败信息，
(4)若 f1 0。输出x ，已算出方程的一个根，停
机。
7
等步长扫描算法
(5) 若 f0 f1 0 。输出 a, x,[a, x] 为有根区间， 停机
15
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式
如：
x3 x 1 0 x 3 x 1
或 x 1 x3
x cosx 0 x cosx
16
迭代法及收敛性
考察方程 x (x) 。
这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
但如果给出根的某个猜测值 x0， 代入 x (x) 中的右端得到 x1 (x0 ) ，
记新的有根区间为 [a2 ,b2 ] ， 则
[a1,b1 ] [a2 ,b2 ]
且
b2
a2
1 2
(b1
a1 )
9
二分法
对 [a2 ,b2 ]重复上述做法得
[a1, b1 ] [a2 ,b2 ] ...... [an ,bn ] ......
且
bn
an
1 2 n1
(b
a
)
10
二分法
再以x1 为一个猜测值， 代入 x (x) 的右端得 x2 (x1)
反复迭代得
xk1 (xk ) k 0,1,......
17
迭代法及收敛性
若{xk }收敛，即
lim
k
xk
x
则得 x 是 x (x) 的一个根
lim
n
xn
1
lim
n
(
xn
)
(lim n
xn
)
x
(x)
18
迭代法的几何意义
2
2.1二分法 求非线性方程 f (x) 0 的根的方法
分为两步：
确定方程的有根区间(等长扫描法) 计算根的近似值（二分法）
3
概念：
有根区间：存在根 隔根区间：唯一根
4
首先确定有限区间：依据零点定理。 设 f (x) C[a,b]，且 f (a) f (b) 0 ，则
方程 f (x) 0 在区间(a,b) 上至少有一个根。 如果 f ' (x) 在(a,b)上恒正或恒负，则此根唯 一。
endw hile;
(4)输出x
1
(a
b).
2
12
求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法
(1) 输入 : a,b,h,;
(2) a1 a; b1 a1 h; (3) while b1 b 时做
1) while f (a1) f (b1) 0做a1 a;b1 a1 h; endwhile;
x
(x)
y
y
x
(x)
交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
19
简单迭代法 将f (x) 0变为另一种等价形式 x (x)。
选取 x的某一近似值 x0 [a,b] ，则按递推 关系 xk1 (xk ) k 0,1,......产生的迭代序列 {xk } 。这种方法算为简单迭代法。
20
例题
(2) if f (a) f (b) 0 then 返回第1步,重新输入a,b值
else 转第3步; (3)while | a b | 时做
1)令x 1 (a b),计算f (x); 2
2)if f (a) f (x) 0 then [a,b][a, x];
else [a,b][x,b].
2) while | b1 a1 | 时做
10
x
1 2
(a1
b1); 计算f
( x);
13
求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法
20 if f (x) 0转(3);
30 if f (a1) f (x) 0 then [a1, b1][a1, x]
else [a1, b1][x, b1].
endw hile;
5
等步长扫描法 求有根区间
用计算机求有根区间：等步长扫描法。
设h>0是给定的步长，取 x0 a, x1 a h ，
若 f (x0 ) f (x1) 0 则扫描成功；否则令 x0 x1, x1 x0 h，继续上述方法，直到成
功。如果 x1 b 则扫描失败。再将h 缩小，
继续以上步骤。
第2章
非线性方程与方程组 的数值解法
1
本章重点介绍求解非线性方程 f (x) 0的几种常见和有
效的数值方法,同时也对非线性方程组
fi (x1, x2,, xn ) 0 (i 1,2,, n)
求解,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在 实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突 破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力 时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.
(6) a x ，转 3） 注：如果对足够小的步长h 扫描失败。
说明：
➢ 在 [a,b] 内无实根 或 ➢ 在 [a,b] 内有偶重根
8
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
)
若 f (a1) f (c1) 0 ，则 [a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1] 为有根区间
例2.2.1 试用迭代法求方程
f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由x 3 x 1 建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…….
计算结果如下:
21
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
设 所求的根为 x，
则 x [an ,bn ] n 1,2......
即 an x bn n 1,2......
1
lnim(bn
an )
lim
n
2 n 1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
x 取
x
cn
1 2
(an
bn )
为
的近似解
11
求方程f(x)=0的根的二分法算法
(1) 输入 : 有根区间 [a,b]的a,b值及精度控制量 ;