非线性方程组数值解法
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
非线性方程(组)的数值解法
第三章 非线性方程(组)的数值解法一．取步长1h =，试用搜索法确立3()25f x x x =--含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于310-。
【详解】因为是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。
(0)5f =-，(1)5f =-，(2)1f =-，(3)16f =，因此，(2,3)中有一个正根。
这就确立了含根区间。
接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于310-，计算结果如下表 迭代次数k ak b k x0 2 3 2.5 1 2 2.5000 2.250 0 2 2 2.2500 2.125 0 3 2 2.1250 2.062 5 4 2.0625 2.1250 2.093 8 5 2.0938 2.1250 2.109 4 6 2.0938 2.1094 2.101 6 7 2.0938 2.1016 2.097 7 8 2.0938 2.0977 2.095 7 92.09382.09572.094 7二．对方程2()2sin 20f x x x =--=，用二分法求其在区间[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01。
【详解】用二分法求解方程在[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表： 迭代次数k ak b k x0 1.5 2 1.75 1 1.7500 2.0000 1.8750 2 1.8750 2.0000 1.9375 3 1.9375 2.0000 1.9688 4 1.9375 1.9688 1.9531 51.95311.96881.9609三．用不动点迭代法，建立适当的迭代格式，求方程3()10f x x x =--=在0 1.5x =附近的根，要求误差小于610-。
【详解】310x x --=，等价于x =。
这样，可以建立不动点迭代格式1k x +=当0x ≥时，总有23110(1)133x -'<=+≤<，因此，迭代格式对于任意初始值00x ≥总是收敛的。
第7章非线性方程组的数值解法
f 1 y f 2 2 y
2 y ( 1,1 ) 2
( 1,1 )
( y 3) ( 1, 1 )
( 1, 1 )
( x 1) ( 1 , 1 ) 2
( 1,1 )
f 1 f 2 2 2[ 2 * ( 3) ( 2 ) * ( 2 )] 4 f1 f2 g10 x ( 1,1) x ( 1,1) x f 1 f 2 g 2 2[ 2 * ( 3) 2 * ( 2 )] 20 20 y y f 1 y f 2 ( 1, 1 ) ( 1, 1 )
完
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y 1 2 ( h k ) f ( x 0 , y0 ) 2! x y 1 n ( h k ) f ( x 0 , y0 ) n! x y 1 n 1 ( h k ) f ( x0 h, y0 k ) ( n 1)! x y
2
2
令
0
得 f 1 f 1 ( g10 x g 20 y ) f 1 ( g10 ( g f 1 g f 1 ) 2 ( g 10 20 10 x y f 2 g 20 x f 2 g 20 x f 2 ) f2 y f 2 2 ) ( x y
1
f 1 ( x 0 , y0 ) f ( x , y ) 2 0 0
从n到n+1的迭代格式为：
f 1 ( x n , y n ) xn 1 x n x y y f 2 ( xn , yn ) n 1 n x
第7章 非线性方程的数值解法
设 0为给定精 度要求，试确定分半次 数k 使
x* xk
ba 2k
由 于2k ， 两 边 取 对 数 ， 即 得
ba
k ln(b a) ln
ln 2
数值分析
18/47
§例1： 5.用2 二二分分法 求 法x3 4x2 10 0在[1,2]内 的 根 ，
要 求 绝 对 误 差 不 超 过1 102。 2
第七章 非线性方程的数值解法
数值分析
本章内容
§7.1 方程求根与二分法 §7.2 不动点迭代及其收敛性 §7.4 牛顿法 §7.5 弦截法
数值分析
2/47
本章要求
1. 掌握二分法基本原理，掌握二分法的算法 流程;
2. 掌握理解单点迭代的基本思想，掌握迭代 的收敛条件；
3. 掌握Newton迭代的建立及几何意义，了解 Newton迭代的收敛性；
27/47
§ 7.2 不动点迭代法及其收敛性
不动点迭代的几个重要问题： 1、迭代格式的构造； 2、初值的选取； 3、敛散性的判断；☆ 4、收敛速度的判断。
数值分析
28/47
§ 7.2 不动点迭代法及其收敛性
三.压缩映射原理（整体收敛性）
考虑方程x g( x), g( x) C[a, b], 若
则f (x)=0在[a, b]内必有一根。
二. 过程
将区间对分，判别f (x)的符号，逐步缩小有根区 间。
数值分析
14/47
§7.1.2 二分法
三. 方法
取xmid=0.5*(a+b)
若f(xmid) < (预先给定的精度)，则xmid即为根。
否则，若f (a)*f (xmid)<0，则取a1=a，b1=xmid 若f (a)*f (xmid)>0，则取a1=xmid，b1=b 此时有根区间缩小为[a1, b1]，区间长度为 b1-a1=0.5*(b-a)
非线性方程组数值解法
非线性方程组数值解法
，
非线性方程组数值解法是通过数值方法解决非线性方程组问题的一种解法。
非线性方程组不像普通的线性方程组，它们往往没有普遍的解析解，一般只有数值解。
因此，非线性方程组的数值解法非常重要。
非线性方程组数值解法的基本思想是，将非线性方程组分解为多个子问题，并采用一种迭代算法求解这些子问题。
最常见的数值方法有牛顿法、拟牛顿法和共轭梯度法等。
牛顿法是利用曲线上的点的二次近似，将非线性方程分解为两个子问题，转换为求解一个简单的一元方程的问题来求解非线性方程组的数值解。
拟牛顿法利用有限差分方法来求解非线性方程组的数值解，共轭梯度法利用解的搜索方向，进行有效的搜索，通过解的最优性条件收敛到解。
非线性方程组数值解法是目前应用最广泛的数值解法，它能很好地求解非线性方程组。
不仅能有效求解复杂的非线性方程组，还能求出较精确的数值解。
此外，非线性方程组数值解法运算速度快，可以对模型进行实时定位和跟踪，非常适合模拟复杂的动态系统。
总之，非线性方程组数值解法是一种求解复杂非线性方程组的有效解法，它的准确性高，运算速度快，广泛应用于现实世界中的多种工程与科学计算问题。
非线性方程数值解法及其应用
非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。
本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。
是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。
我将从二分法、Steffensen加速收敛法、Newton迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。
关键字：非线性方程;二分法；Steffensen加速收敛法；代数Newton法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。
科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。
因此经常需要求非线性方程 f(x) = O的根。
方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则f(x) = O在开区间(a,b)内至少有一个实根。
这时称[a,b]为方程f(x) = O的根的存在区间。
本文主要是对在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。
二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。
如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为。
取区间[a,b]的中点，并计算，则必有下列三种情况之一成立：(1)= O,就是方程的根；(2)f(a)·f()<O，方程的根位于区间[a,]之中，此时令，；(3)f()·f(b)<O，方程的根位于区间[,b]之中，此时令。
非线性方程(组)的解法
lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显 然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根， 又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
非线性方程数值解法详解
1 ( p) (
p!
)( xk
)
p
xk1
1
p!
(
p)
(1
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性 （略）
例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能
时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)<0，f(2)>0， f‘(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
(1) f(a)f(b)<0; (2) f'(x)0, x[a, b]; (3) f''(x)不变号, x[a, b]; (4) 初值x0 [a, b]且使f''(x0) f(x0)>0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一 根.
例 研究求
a的Newton公式xk 1 Nhomakorabeaxk 1 xk
f (xk ) f (xk )
(k 0,1, 2,L )
逐次逼近方程f(x)=0的根α ，这种求根算法称为 Newton法（切线法），此公式称为 Newton迭代公式.
Newton迭代法的收敛性及收敛阶
Newton法的迭代函数是 (x) x f (x)
从而
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的m 重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则
数值分析 第七章 非线性方程(组)的数值解法.
y
,这样就可得缩小有根区间 a1 , b1
y=f(x) y=f(x)
x* a a1 x1 a2 x* x0 b1 b2 b a x0 a1 x1 a2 b b1 b2
23/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.2 二分区间法 ② 对压缩了的有根区间 a1 , b1 施行同样的手法, b 即取中点 x a 2 ,将区间 a1 , b1 再分为两半,然 后再确定有根区间 a 2 , b2 ,其长度是 a1 , b1 的 二分之一。
长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节点:xi=x0＋ih (i=0,1,2,…,n),从左至右检查f (xi)的符号,如发现xi与端点x0 的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间［xi-1,xi］。
y
0 A
a1 b1 a2 b2
B
x
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§7.1 引言
数值解法的三个步骤 ① 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有 根，有几个根？ ② 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔 离开来，这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值。（隔离根） ③ 根的精确化。将根的初始近似值按某种格式 逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止。
10/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
3/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.1 引言 当 f (x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程
f (x)=0为非线性方程。
非线性方程的数值解法研究
非线性方程的数值解法研究在数学和科学计算领域，非线性方程的求解是一个至关重要的问题。
非线性方程不像线性方程那样具有简单和直接的求解方法，它们的复杂性使得寻找精确解往往变得非常困难，甚至在很多情况下是不可能的。
因此，数值解法成为了处理非线性方程的重要手段。
首先，让我们来理解一下什么是非线性方程。
简单来说，非线性方程是指方程中包含未知数的非线性函数，例如幂次高于 1 的项、三角函数、指数函数等。
常见的非线性方程有二次方程、三次方程、指数方程、对数方程等等。
在实际应用中，非线性方程广泛出现在物理学、工程学、金融学、生物学等众多领域。
比如在物理学中，描述天体运动的方程往往是非线性的；在工程学中，结构力学和电路分析中的一些问题也会涉及非线性方程。
那么，为什么非线性方程的求解如此具有挑战性呢？这是因为非线性方程的解可能不是唯一的，甚至可能不存在。
而且，非线性方程的解可能对初始条件非常敏感，微小的变化可能导致完全不同的结果。
接下来，我们来探讨一些常见的非线性方程数值解法。
牛顿法是一种经典且广泛应用的方法。
它基于函数的泰勒展开，通过不断迭代来逼近方程的根。
基本思想是在每一步迭代中，根据当前点的函数值和导数值来确定下一个近似解的位置。
如果函数的导数容易计算，并且初始猜测值比较接近真实解，牛顿法通常收敛速度很快。
然而，如果初始猜测值不好，或者函数的导数在某些点不存在，牛顿法可能会失效。
割线法是牛顿法的一种改进。
它不需要计算函数的导数，而是通过两个初始猜测值来构造一条割线，然后用割线与 x 轴的交点作为新的近似解。
割线法虽然在计算导数困难的情况下很有用，但它的收敛速度通常比牛顿法慢。
二分法是一种简单而可靠的方法。
它基于区间收缩的原理，通过不断将包含根的区间一分为二，逐步缩小根所在的范围，从而逼近根的精确值。
二分法的优点是它总是收敛的，并且对函数的性质要求不高，只要函数在给定区间内连续且两端点函数值异号即可。
但二分法的收敛速度相对较慢，是线性收敛的。
非线性方程数值解法
对分区间法
对分法的基本思想
对分法的基本思想是在平分有根区间的 过程中，逐步缩小有根区间. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) f(b)<0 ，则方程f(x)=0在(a, b)内至少有一 个根.为简便起见，假定方程f(x)=0在(a, b) 内仅有一个根.这样(a, b)为有根区间.这 时可用下面的对分法求方程f(x)=0的近似 根.
迭代法的整体收敛性
定理1 （迭代收敛定理）设(x)在[a, b]上具有一阶 导数，且 1°x[a, b] ，总有(x)[a, b] ； 2°存在0m<1，使x(a, b) ，有'(x)m 则 1°方程x=(x)在[a, b]内有且仅有一根α ，其中α 为对任意初值x0 [a, b]由迭代过程xk+1=(xk)所产生 序列的极限. m xk xk xk 1 2°有估计式
求根步骤
（1）确定所给方程存在多少个根. （2）进行根的隔离，找出每个有根区间， 有根区间内的任一点都可看成是该根的 一个近似值. （3）逐步把近似根精确化，直到足够精 确为止.
根的隔离
根的隔离
确定出若干个小区间，使每个小区间有 且仅有方程f(x)=0的一个根，这个步骤称 为根的隔离.其中每个有根小区间都称为 隔根区间.
第三章
非线性方程的数值解法
根的概念
给定方程f(x)=0，如果有α使得f(α)=0， 则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的 m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法.
非线性方程的5种数值解法及其
①收敛速度比较慢； ②只能求解奇数重根,不 能求解偶数重根；
函数在有根区 间上连续,且在 区间端点处的 函数值异号；
①在整个有根 区间上,一介导 函数值不变号, 且恒不为0； ②选取的初始 值的一介,二介 导函数值号；
引言
论 文 结 构 框 架
相关领域研究回顾
相关理论知识
介绍了这5种方法的基本 原理及算法步骤 以方程 x 6 x 2 x 5 0 为例, 用matlab程序分别实现
3 2
及算法步骤
算例分析 综合分析比较
分析比较,归纳其应用 范围和优缺点
1 引言
• 在实际问题中,求解非线性方程根的精确值很困难, 大部 分的情况下,我们只需要求解出近似值即可.而数值解法, 就是用数值迭代的方法来求解近似值的一种方法. • 其中最早提出来的是二分法.
表1:最终的迭代结果比较
初始值
二分法
a 9 b 5
迭代次数
33
迭代时间
0.015秒
数值解
-5.80383649934083
netwon迭 代法
反函数法 求交法
x 0 6 .5
4
3 4
0.01秒
0.01秒 0.006秒
-5.80383649910152
-5.80383649910152 -5.80383649910152
6 .5
区间是 9 , 5 ,然后再选取初始值 x 0
和精确度
10
9
最后用matlab语言对这5种方法逐一实现,求解出该方程 根的近似值,并要求能得到每一步迭代的结果.(具体程序 见附录).
非线性方程(组)的解法
f ( x) f ( xk ) f ( xk )(x xk ) 一元函数 F ( x) F ( x k ) F ( xk )(x xk ) 0 x k为向量 F ( x k )(x x k ) F ( x k ) x x k F ( x k )1 F ( x k )
18
3.非线性方程组的迭代解法
f1 ( x1 , x2 , , xn ) 0 f1 ( x) f1 ( x1 , L , xn ) 或 F ( x) L 0 L f ( x) f ( x , L , x ) f ( x , x ,, x ) 0 n n n 1 n n 1 2
9
迭代法及收敛性
考虑方程 x ( x)。 这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
但如果给出根的某个猜测值 x0， 代入 x ( x) 中的右端得到 x1 ( x0 )，再以 为一个猜测值，
x1
代入 x ( x) 的右端得 x2 ( x1 ) ，反复迭代 得
1 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 f ( ) 2 其中在x和x0之间
0 f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) 0
16
Newton迭代法
有：
*
f ( x0 ) x x0 f ( x0 )
能为力时，数值方法则可以借助于计算机出色完成。
2
2.1二分法
概念：
有根区间：存先确定有限区间：依据零点定理。 设 f ( x) C[a, b]，且 f (a) f (b) 0 ，则 方程 f ( x) 0在区间 (a, b)上至少有一个根。 如果 f ' ( x) 在 (a, b)上恒正或恒负，则此根唯 一。
非线性方程和方程组的数值解法
第四章 非线性方程和方程组的数值解法教学目标：1.了解并掌握非线性方程的根的相关概念，如m 重根、有根区间等概念；2.掌握逐步搜索法和二分法（区间对分法）的基本思想及步骤，了解这两种方法的适用性及缺点，能应用其求解简单的非线性方程；3.了解迭代法的分类，理解并掌握不动点迭代法的概念及相关收敛性定理，掌握全局收敛性及局部收敛性联系及区别，理解收敛阶和计算效率的相关概念的来历及含义；4.了解迭代加速的思想，掌握加权法（松弛法）、Aitken 以及Steffensen 加速方法的思想及相关理论、计算公式；5.理解并掌握Newton 迭代法及求重根的修正Newton 迭代法的思想、实现步骤以及相关理论；6.理解Newton 迭代法的相关变形方法的提出及实现步骤，如简化Newton 法（平行弦法）、Newton 下山法、拟Newton 法和Steffensen 方法；7、理解割线法和Muller 法提出的背景及实现步骤，掌握相关的理论。
教学重点：1.逐步搜索法和二分法（区间对分法）的基本思想及步骤；2.不动点迭代法的概念及相关收敛性定理；3.迭代加速的思想及三种实现方式；4. Newton 迭代法及相关变形或改进的迭代法的思想及步骤。
教学难点：1..不动点迭代法的概念及相关收敛性定理；2.迭代加速的思想及三种实现方式；3. Newton 迭代法及相关变形或改进的迭代法的思想及步骤。
教学方法：教具：§4.1 问题的提出非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一个不可缺的内容。
但是，非线性方程的求根非常复杂。
本章重点讨论单个方程的求根方法，对于非线性方程组的解法仅作一些简单的介绍。
这是因为单个方程的求根问题比非线性方程组更普遍。
另外非线性方程组的求解是个难度比较大的问题，许多近代研究集中在这个问题上。
非线性方程和方程组的数值解法主要是迭代法。
一般的非线性方程组可以写成()0F x =，其中F 和x 都是n 维向量。
数值分析-第三章小结
姓名 班级 学号第三章 非线性方程的数值解法一、学习体会本章主要介绍了非线性方程组的方程根的解法，求方程根的步骤，由于非线性方程组只有少数类型能解出根的解析表达式，只能用数值方法求出它的近似值。
求解非线性方程组的方法有作图法等，求根的方法有二分法、迭代法、牛顿法、割线法等。
在学习过程当中，我们要注意各种方法的特点与使用范围，针对不同场合下的非线性方程组，选择合适的方法有利于我们快速准确的得到所要求的结果。
二、知识梳理非线性方程的迭代解法1、对分法对分法的算法步骤如下：对k=0，1……，M 执行（1）计算k 2a kk x b +=； （2）()k f x ε<或者2k k b a ε-<则停止计算。
取s=k x ，否则转（3）； （3）若f(k a )f (k x )〈0，令k+1k+1k k a =b =a x ，，；若f(k a )f (k x )〉0则有k+1k+1k k a =b =b x ，，； （4）若k=M ，则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
2、简单迭代法及其收敛性定理1：设函数()[,]x C a b ϕ∈,在(a,b)内可导,且满足两个条件:（1）当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ϕ∈；（2）当(,)x a b ∈时, |'()|1x L ϕ≤<, 其中L 为一常数。
则有如下结论:（1）方程=()x x ϕ在区间[,]a b 上有唯一的根s ；（2）对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x a b ⊂且收敛于s ；（3）成立误差估计式101|-|||1|-|||1kk k k k L s x x x L L s x x x L-≤--≤-- 定理2 设=()s s ϕ，'()x ϕ在包含s 的某个开区间内连续。
如果|'()|<1s ϕ，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x s s δδ⊂-+且收敛于s 。
非线性方程的数值解法
非线性方程:f(x)=0 包括：代数方程（多项式）、超越方程（三角函数、指
数函数或对数函数）。
求解方法：直接求解法、间接求解法； 直接求解法一般为解析法，能够得到精确解，如二次方 程求根公式等。简单但不一定总有效。 间接求解法一般较复杂，可以利用计算机进行计算，其 结果为近似解，但误差可以控制。
L L2 | x * xk | | x k x k 1 | | x k 1 xk 2 | ...... 1 L 1 L 注：定理条件非必要条件，对某些问题在区间 [a, b]上不 k L 满足| φ ’(x) | L < 1 ，迭代也收敛。 | x1 x0 | 1 L
是
是 是
f (a) =0
否
否 f(a)f(m)>0 否 b=m
打印b, k
结束
打印a, k
k=K+1
应用： 3 f x x 2x 5, a, b 2,3, 0.01 ，求x=? 例、设 解： k ba a x b
0 1 2 3 4 5 6
23+ 2.5+ 1 22.5+ 2.25+ 0.5 22.25+ 2.125+ 0.25 22.125+ 2.06250.125 2.06252.125+ 2.093750.0625 2.09375 2.125+ 2.109375+ 0.03125 2.09375 2.109375 2.1015625 0.015625 0.02
L | x k x k 1 | ? ④ | x * xk | 1 L
3 简单迭代法
| x xk | L | x xk 1 | L | x * xk xk xk 1 | | xk xk |) 1 |来 L(| x * x可用 | | x x k k k 1 (1 L) | x x | L | x x | 控制收敛精度
非线性方程的数值解法
迭代法求解的问题
1、迭代的收敛性 2、迭代的收敛速度 以上问题与迭代形式 x=ϕ(x)有关 例：方程 x2 + x – 6 =0 ,初值x0=1 迭代形式： x =6-x2 结果发散 迭代形式： x =(6+3x-x2)/4
结果收敛
简单迭代法的几何解释
迭代法的收敛条件
设方程 f (x)=0的根为x=a, 即f (a)=0 迭代形式 x=ϕ(x)，则 a = ϕ (a)，xn+1 = ϕ (xn) xn+1-a = ϕ (xn)- ϕ (a)
f ′(x) 与 f ′ (x) 均存在,
x0, x∈[ a,b] ；
插 值 法 的 几 何 解 释
弦割法
Newton’s Method 一步要计算 f 和 f ’，相当于 个函数值， 个函数值， ，相当于2个函数值 比较费时。 比较费时。现用 f 的值近似 f ’，可少算一个函数值。 ，可少算一个函数值。
直接法：fslove函数 直接法：fslove函数
fsolve函数有多种调用格式可供选用，现 以最常见的格式为例说明。 b=fsolve (′F′,x0,options) 例：fsolve(‘sin(x)’,1.2) 其中F为函数名，x0为初值矩阵,options为 以向量表示的可选参数值
迭代法求解
第二节 初值估计
1. 物理法 根据数学方程 f(x)=0 的物理概念确定初值。 例：计算实际气体的压缩因子 Z = PV / R T 可将理想气体的压缩因子作为初值 优缺点：物理法估计初值简便而确切, 并 具有明确的物理概念。但在实际应用上有 一定的局限性, 并不能解决所有初值的估 计问题。
Z0 =1
ϕ′(x) ≤ q <1
非线性方程求解的数值方法研究
非线性方程求解的数值方法研究非线性方程求解是数学领域中的重要问题之一。
与线性方程不同，非线性方程存在更加复杂的形式和求解方法。
本文将针对非线性方程求解的数值方法进行研究，探讨其应用和效果。
一、引言非线性方程是指未满足线性关系的方程，形如f(x) = 0。
相比于线性方程，非线性方程更具挑战性和难度。
在实际问题中，非线性方程常常出现，如物理、经济、工程等领域。
因此，研究非线性方程的数值解法对解决实际问题具有重要意义。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法。
其基本思想是通过不断逼近方程的根来求解方程。
具体来说，牛顿迭代法通过将非线性方程化为一系列线性方程的解来逼近方程的根。
该方法的迭代过程如下：1. 选取初始近似解x_0；2. 对于第n+1次迭代，计算x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)；3. 若满足终止准则，如|f(x_{n+1})| < ε，则停止迭代，得到近似解x_{n+1}。
牛顿迭代法具有收敛速度快的优点，尤其对于初始值选择合适的情况下，其迭代过程可以较快地接近方程的根。
然而，该方法也有其局限性，如可能出现迭代发散或震荡等问题。
三、二分法二分法是一种较为简单但有效的非线性方程求解方法。
其思想是通过判断非线性方程在区间内的正负性来逼近方程的根。
该方法的基本过程如下：1. 选取区间[a, b]，满足f(a) * f(b) < 0；2. 对区间[a, b]进行二分，计算c = (a + b) / 2；3. 判断f(c)和f(a) * f(c)的正负关系，更新区间[a, b]；4. 若满足终止准则，如|f(c)| < ε，则停止迭代，得到近似解c。
二分法的优点在于其简单性和稳定性，适用于一些函数有明显单调性的情况。
然而，该方法的收敛速度较慢，尤其对于复杂的非线性方程，可能需要较多的迭代次数才能得到较精确的解。
四、弦截法弦截法是一种综合了牛顿迭代法和二分法思想的非线性方程求解方法。
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非线性方程组数值解法
n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为
(1)
式中ƒi(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。
若ƒi中至少有一个非
线性函数，则称(1)为非线性方程组。
在R n中记ƒ＝
则(1)简写为ƒ(尣)=0。
若存在尣*∈D，使ƒ(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。
方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。
对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。
除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。
根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。
牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序：
(2)
式中
是ƒ(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。
这个程序至少具有2阶收敛速度。
由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出ƒ(尣k)及
;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求。
由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。
为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P 为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值ƒi及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W内）。
效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定
义，牛顿法(2)的效率为。
牛顿法有很多变形,如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即
式中I是单位矩阵。
牛顿法是局部收敛方法,因而对初始近似尣0限制较严，为放宽对尣0的要求,扩大收敛范围,通常可引进松弛因子ωk，得到牛顿下降法：
(3)
式中ωk的选择应使成立。
为减少解线性方程组次数，提高效率，可使用修正牛顿程序
(4)
这种算法也称为萨马斯基技巧，它的收敛阶为 p =m+1，由尣k计算的工作量为W =n2 +mn，于是该法的效率。
当n=10,m＝7时,当n＝1 00,m＝37时,，由此看到修正牛顿法(4)比牛顿法效率高，且m越大效果越明显。
在计算机上往往采用不计算偏导数的离散牛顿法，即
(5)
式中
，
其中e j为基向量,,若取，则(5)仍具有2阶收敛速度。
其效率与牛顿法相同。
若在牛顿法(2)中解线性方程组不用直接法,而采用迭代法则得到一类解非线性方程组的双重迭代法。
按解线性方程组采用的方法不同就得到不同名称的迭代法，如牛顿－赛德尔迭代法，牛顿－SOR迭代法，牛顿－ADI迭代法，等等。
这些方法都具有超线性收敛速度，工作量也比牛顿法大，除了对某些特殊稀疏方程组外，通常用得校少。
若将解线性方程组迭代法的思想直接用于非线性方程组(1)，然后把(1)化为一维方程求解，可得到另一类双重迭代法，由于采用的迭代法与解一维非线性方程的方法不同，则得到不同的双重迭代法。
如果利用SOR迭代法后再用牛顿法解一维方程则得SOR－牛顿迭代法，在牛顿法中只计算一步而不进行迭代，则得一步的SOR－牛顿迭代，其计算公式可表示为
式中记号嬠iƒi表示；ω为迭代参数，当ω=1时就是赛德尔-牛顿迭代法,这类方法对解维数高的稀疏的非线性方程组是有效的。
割线法若对方程组 (1)线性化时使用插值方法确定线性方程组
(6)
中的A k和b k,则可得到一类称为割线法的迭代序列。
假定已知第k步近似尣k，为确定A k和
b k,可在尣k附近取n个辅助点у忋(j=1,2,…,n),使n个向量线性无关，由插值条件可知
由此可求得
由(6)解得以此作为方程 (1)的新近似，记作，于是得到
(7)
(7)称为解非线性方程组的割线法。
辅助点у忋取得不同就得到不同的割线法程序，例如
取为常数(j=1,2,…,n)，就得到与(5)相同的程序，由于它只依赖于尣k点的信息，故也称一点割线法,若取它依赖于点尣k及, 称为两点割线法。
其他多点割线法由于稳定性差，使用较少。
布朗方法布朗采用对每个分量方程ƒi(尣)=0逐个进行线性化并逐个消元的步骤，即在每迭代步中用三角分解求线性方程组的解，得到了一个效率比牛顿法提高近一倍的迭代法，即
式中
(8)中当i=n时求得x n记作,再逐次回代,求出(i=n-1,n-2,…, 1)就完成了一个迭代步。
布朗迭代程序的敛速仍保持p＝2，而每一迭代步的工作量
，故效率对这方法还可与牛顿法一样进行改进，得到一些效率更高的算法。
这类方法是70年代以来数值软件包中常用的求解非线性方程组的算法。
拟牛顿法为减少牛顿法的计算量，避免计算雅可比矩阵及其逆，60年代中期出现了一类称为拟牛顿法的新算法,它有不同的形式，常用的一类是秩1的拟牛顿法，其中不求逆的程序为
式中,,，称为逆拟牛顿公式。
计算时先给出尣0及B0，由(9)逐步迭代到满足精度要求为止。
每步只算n个分量函数值及O(n2)的计算量,比牛顿法一步计算量少得多。
理论上已证明，当尣0及B0选得合适时,它具有超线性收敛速度,但实践表明效率并不高于牛顿法，理论上尚无严格证明。
最优化方法求方程组 (1)的问题等价于求目标函数为的极小问题,因此可用无约束最优化方法求问题(1)的解（见无约束优化方法）。
连续法又称嵌入法，它可以从任意初值出发求得方程组(1)的一个足够好的近似解,
是一种求出好的迭代初值的方法。
连续法的基本思想是引入参数t∈【0,b】，构造算子H(尣, t)，使它满足条件：H(尣,0)=ƒ0(尣),H(尣,b)=ƒ(尣)，其中ƒ0(尣)=0的解尣0是已知，方程：
(10)
在t∈【0,b】上有解尣=尣(t)，则尣(b)=尣*就是方程(1)的解。
当b有限时，通常取b=1，例如可构造。
(11)
这里尣0是任意初值,显然H(尣0,0)=0,H(尣,1)=ƒ(尣)。
为了求得(10)在t=1的解尣*=尣(1),可取分点0=t0<t1<…<t N=1在每个分点t i(i=1,2,…,N)上，求方程组
H(尣,t i)=0 (i=1,2,…,N) (12)
的解尣i，如果取尣i-1为初值，只要足够小，牛顿迭代就收敛，但这样做工作量较大。
已经证明，如果方程组(12)只用一步牛顿法，当t=t N=1时，再用牛顿迭代，结果仍具有2阶收敛速度。
以(11)为例,得到连续法的程序为：
若H(尣,t)的偏导数H t(尣,t)及在D×【0,1】嶅R上连续。
且非奇异，则由(10)对t求导可得到等价的微分方程初值问题:
(13)
于是求方程(10)的解就等价于求常微初值问题(13)的解，求(13)的解可用数值方法由t=0计算到t=t N=b得到数值解。
已经证明只要N足够大,以尣N为初值再进行牛顿迭代可收敛到方程(1)的解x*，这种算法称为参数微分法。
20世纪60年代中期以后，发展了两种求解非线性方程组(1)的新方法。
一种称为区间迭代法或称区间牛顿法，它用区间变量代替点变量进行区间迭代，每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。
这是区间迭代法的主要优点，其缺点是计算量大。
另一种方法称为不动点算法或称单纯形法，它对求解域进行单纯形剖分，对剖分的顶点给一种恰当标号，并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形,从而得到方程(1)的近似解。
这种方法优点是，不要求ƒ(尣)的导数存在,也不用求逆，且具有大范围收敛性，缺点是计算量大。
参考书目
J.M.Ortega and W.G.Rheinboldt,Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several variables,Academic Press,New York,1970.。