2016-2017年重庆市南川中学九年级(上)期中数学试卷和答案

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2016-2017学年度九年级(上)期中数学试卷解析

2016-2017学年度九年级（上）期中数学试卷学号一、选择题（本大题共16小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是( )A．B．C． D．2．已知函数：①y=3x﹣1；②y=3x2﹣1；③y=﹣20x2；④y=x2﹣6x+5，其中是二次函数的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列哪个方程是一元二次方程( )A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）﹣2x+3=0 C．+4x=3 D．x2﹣2xy=04．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为( )A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=155．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是( )A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和26．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是( )A．27 B．36 C．27或36 D．187．若函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为( )A．﹣2 B．1 C．2 D．﹣18．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是( )A．y=20（1﹣x）2B．y=20+2xC．y=20（1+x）2 D．y=20+20x2+20x9．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2015的值为( ) A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为( )A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣211．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( )A．点A B．点B C．点C D．点D12．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是( )A．（﹣4，3）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）13．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d 应满足的条件是( )A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞314．如图，已知CD相切圆O于点C，BD=OB，则∠A的度数是( )A．30°B．25°C．40°D．20°15．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )A．1 B．1或5 C．3 D．516．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是( )A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）17．抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是__________．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A按顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，那么旋转的角度等于__________．19．如图是一座抛物线形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降2m时，水面的宽为__________m．20．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价__________元．三、解答题（本答题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？22．已知P（﹣3，m）和Q（1，m）是抛物线y=2x2+bx+1上的两点．（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k的最小值．23．某市新建了圆形文化广场，小杰和小浩准备不同的方法测量该广场的半径．（1）小杰先找圆心，再量半径．请你在图1中，用尺规作图的方法帮小杰找到该广场的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）小浩在广场边（如图2）选取A、B、C三根石柱，量得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米．请你帮他求出广场的半径（结果精确到米）．（3）请你解决下面的问题：如图3，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求出OP的长度范围是多少？24．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．25．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？26．某学校兴趣小组的同学进行社会实践，经过市场调查，整理出某种商品在第x天（1≤x≤80）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜45 45≤x≤80售价（元/件）x+40 80每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件20元，设该商品的每天销售利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于5400元？2016-2017学年度九年级（上）期中数学试答案一、选择题（本大题共16小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是( )A．B．C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解．【解答】解：根据中心对称的定义可得：A、C、D都不符合中心对称的定义．故选B．【点评】本题考查中心对称的定义，属于基础题，注意掌握基本概念．2．已知函数：①y=3x﹣1；②y=3x2﹣1；③y=﹣20x2；④y=x2﹣6x+5，其中是二次函数的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的定义．【分析】分别根据一次函数及二次函数的定义对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：①y=3x﹣1是一次函数；②y=3x2﹣1；③y=﹣20x2；④y=x2﹣6x+5是二次函数．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．3．下列哪个方程是一元二次方程( )A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）﹣2x+3=0 C．+4x=3 D．x2﹣2xy=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、是二元一次方程，故A错误；B、是一元二次方程，故B正确；C、是分式方程，故C错误；D、是二元二次方程，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．4．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为( )A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2﹣8x=1，配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是( )A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，∴（x﹣2）（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选D．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．6．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是( )A．27 B．36 C．27或36 D．18【考点】等腰三角形的性质；一元二次方程的解．【专题】分类讨论．【分析】由于等腰三角形的一边长3为底或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：①当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；②当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．【解答】解：分两种情况：①当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，得32﹣12×3+k=0，解得k=27．将k=27代入原方程，得x2﹣12x+27=0，解得x=3或9．3，3，9不能够组成三角形，不符合题意舍去；②当3为底时，则其他两条边相等，即△=0，此时144﹣4k=0，解得k=36．将k=36代入原方程，得x2﹣12x+36=0，解得x=6．3，6，6能够组成三角形，符合题意．故k的值为36．故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解．7．若函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为( )A．﹣2 B．1 C．2 D．﹣1【考点】二次函数的定义．【分析】根据题意列出关于m的不等式组，求出m的值即可．【解答】解：∵函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，∴，解得m=﹣2．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．8．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是( )A．y=20（1﹣x）2B．y=20+2xC．y=20（1+x）2 D．y=20+20x2+20x【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据已知表示出一年后产品数量，进而得出两年后产品y与x的函数关系．【解答】解：∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，∴一年后产品是：20（1+x），∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2．故选：C．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，得出变化规律是解题关键．9．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2015的值为( ) A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0）得到m2﹣m﹣1=0，整体代入即可求出代数式m2﹣m+2015的值．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，∴m2﹣m+2015=2016，故选C．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点、函数图象上点的坐标性质以及整体思想的应用，求出m2﹣m=1是解题关键．10．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为( )A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．【解答】解：设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2﹣2，将（0，2）代入得2=a（0+2）2﹣2解得：a=1故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2﹣2，故选D．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时注意选择顶点式还是选择一般式．11．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( )A．点A B．点B C．点C D．点D【考点】旋转的性质．【分析】连接PP1、NN1、MM1，分别作PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．【解答】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，∴连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选B．【点评】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．12．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是( )A．（﹣4，3）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据旋转的性质结合坐标系内点的坐标特征解答．【解答】解：由图知A点的坐标为（3，4），根据旋转中心O，旋转方向逆时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（﹣4，3）．故选A．【点评】本题涉及图形的旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．13．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d 应满足的条件是( )A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】当d=r时，直线与圆相切，直线L与圆有一个公共点；当d＜r时，直线与圆相交，直线L与圆有两个公共点；当d＞r时，直线与圆相离，直线L与圆没有公共点．【解答】解：因为直线L与⊙O至少有一个公共点，所以包括直线与圆有一个公共点和两个公共点两种情况，因此d≤r，即d≤3，故选B．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，利用直线与圆的交点的个数判定圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系．14．如图，已知CD相切圆O于点C，BD=OB，则∠A的度数是( )A．30°B．25°C．40°D．20°【考点】切线的性质．【专题】计算题．【分析】连结OC，如图，先根据切线的性质得∠OCD=90°，再利用直角三角形斜边上的中线性质得BC=BO=BD，则可判断△OBC为等边三角形，所以∠BOC=60°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求∠A的度数．【解答】解：连结OC，如图，∵CD相切圆O于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵OB=BD，∴BC=BO=BD，∴OC=OB=BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC=60°，而OA=OC，∴∠A=∠OCA，而∠BOC=∠A+∠OCA，∴∠A=∠BOC=30°．故选A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )A．1 B．1或5 C．3 D．5【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是( )A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）17．抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2x2﹣4x﹣3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．【解答】解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得y=﹣2x2﹣4x﹣3，故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A按顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，那么旋转的角度等于60°．【考点】旋转的性质．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的性质可以证明△ABB1是等边三角形，据此即可求解．【解答】解：∵B1是AB的中点，∴BB1=AB1，又∵AB1=AB，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，故答案是：60°．【点评】本题考查了直角三角形的性质，以及旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正确证明△ABB1是等边三角形是关键．19．如图是一座抛物线形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降2m时，水面的宽为6m．【考点】二次函数的应用．【专题】推理填空题．【分析】根据题意可以建立合适的平面直角坐标系，设出二次函数的顶点式，由图象知抛物线过点（6，0），从而可以求得抛物线的解析式，然后将y=﹣2代入解析式，即可求得问题的答案．【解答】解：根据题意可以建立合适的平面直角坐标系，如下图所示：设二次函数的解析式为：y=ax2+4，∵点（6，0）在抛物线的上，∴0=a×62+4解得a=，∴y=，将y=﹣2代入，得，∴水面的宽为：．故答案为：．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是画出相应的平面直角坐标系，设出合适的二次函数．20．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元．【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克涨价1元，销售量将减少10千克，每天盈利1500元，列出方程，求解即可．【解答】解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得：（5+x）=1500，解得：x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；故答案为：5．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．三、解答题（本答题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？【考点】二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．【分析】（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴于B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．【解答】解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．解得：h=1，a=﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x ＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．22．已知P（﹣3，m）和Q（1，m）是抛物线y=2x2+bx+1上的两点．（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k的最小值．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）根据对称轴的定义观察点P（﹣3，m）和Q（1，m）纵坐标相同，求出对称轴，从而求出b值；（2）把b值代入一元二次方程，根据方程的判别式来判断方程是否有根；（3）先将抛物线向上平移，在令y=0，得到一个新方程，此方程无根，令△＜0，解出k的范围，从而求出k的最小值．【解答】解：（1）∵点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，∴P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．∴抛物线对称轴，∴b=4．（2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为2x2+4x+1=0．∵△=b2﹣4ac=16﹣8=8＞0，∴方程有实根，∴x===﹣1±；（3）由题意将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，∴设为y=2x2+4x+1+k，∴方程2x2+4x+1+k=0没根，∴△＜0，∴16﹣8（1+k）＜0，∴k＞1，∵k是正整数，∴k的最小值为2．【点评】此题主要考查一元二次方程与函数的关系及函数平移的知识．23．某市新建了圆形文化广场，小杰和小浩准备不同的方法测量该广场的半径．（1）小杰先找圆心，再量半径．请你在图1中，用尺规作图的方法帮小杰找到该广场的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）小浩在广场边（如图2）选取A、B、C三根石柱，量得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米．请你帮他求出广场的半径（结果精确到米）．（3）请你解决下面的问题：如图3，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求出OP的长度范围是多少？【考点】圆的综合题．【分析】（1）作出弦的垂直平分线，再结合垂径定理推论得出圆心位置；（2）设圆心为O，连结OA、OB，OA交BC于D，根据A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，得出=，从而得出BD=DC=BC，再根据勾股定理得出OB2=OD2+BD2，设OB=x，即可求出广场的半径；（3）过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．【解答】解：（1）如图1所示，在圆中作任意2条弦的垂直平分线，由垂径定理可知这2条垂直平分线必定与圆的2条直径重合，所以交点O即为所求；（2）如图2，连结OA、OB，OA交BC于D，∵AB=AC，∴=，∴OA⊥BC，∴BD=DC=BC=120（米），由题意DA=5，在Rt△BDO中，OB2=OD2+BD2，设OB=x，则x2=（x﹣5）2+1202，解得：10x=14425，x≈1443，答：广场的半径1443米．（3）如图3，过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB=8cm，∴AE=BE=AB=×8=4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB=×10=5cm，∴OE===3（cm），∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．【点评】此题考查了圆的综合题，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、弧、弦、圆周角之间的关系，熟练利用勾股定理得出AO的长是解题的关键．另外，解答（3）时，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．24．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．【考点】切线的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；（2）连结DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF．【解答】证明：（1）如图1，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）如图2，连结DE．∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．在△CDE与△HFE中，，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF．【点评】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到=4.5；，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．【解答】解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，=4.5；∴当t=时，y最大（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．26．某学校兴趣小组的同学进行社会实践，经过市场调查，整理出某种商品在第x天（1≤x≤80）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜45 45≤x≤80售价（元/件）x+40 80每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件20元，设该商品的每天销售利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于5400元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于5400，一次函数值大于或等于54000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．【解答】解：（1）当1≤x＜45时，y=（x+40﹣20）=﹣2x2+160x+4000，当45≤x≤80时，y=（80﹣20）=﹣120x+12000．综上所述：y=；（2）当1≤x＜45时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=40，=﹣2×402+160×45+4000=7200，当x=40时，y最大当45≤x≤80时，y随x的增大而减小，=6600，当x=45时，y最大因为7200＞6600，综上所述，该商品第40天时，当天销售利润最大，最大利润是7200元；。

2016-2017学年新人教版九年级上册数学期中测试卷含答案

2016-2017学年新人教版九年级上册数学期中测试卷含答案2016-2017学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.方程3x²-4x-1=0的二次项系数和一次项系数分别为（）A。

3和4B。

3和-4C。

3和-1D。

3和12.二次函数y=x²-2x+2的顶点坐标是（）A。

(1,1)B。

(2,2)C。

(1,2)D。

(1,3)3.将△ABC绕O点顺时针旋转50°得△A1B1C1（A、B分别对应A1、B1），则直线AB与直线A1B1的夹角（锐角）为（）A。

130°B。

50°C。

40°D。

60°4.用配方法解方程x²+6x+4=0，下列变形正确的是（）A。

(x+3)²=-4B。

(x-3)²=4C。

(x+3)²=55.下列方程中没有实数根的是（）A。

x²-x-1=0B。

x²+3x+2=0C。

2015x²+11x-20=0D。

x²+x+2=06.平面直角坐标系内一点P(-2,3)关于原点对称的点的坐标是（）A。

(3,-2)B。

(2,3)C。

(-2,-3)D。

(2,-3)7.如图，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，A。

5cmB。

8cmC。

6cmD。

4cm8.已知抛物线C的解析式为y=ax²+bx+c，则下列说法中错误的是（）A。

a确定抛物线的形状与开口方向B。

若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变C。

若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变D。

若将抛物线C沿直线l:y=x+2平移，则a、b、c的值全变9.如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的面积最大值是（）A。

64B。

16C。

24D。

3210.已知二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠），且a²+ab+ac＜0，下列说法：①b²-4ac＜0；②ab+ac＜0；③方程ax²+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且(x1-1)(1-x2)＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点。

2016-2017学年上学期九年级期中考试数学参考答案

∴易求得 A（k-2，k2-2k），B（k+2，k2+2k）……..……9 分直线 x=1 上有一点 P，可设 P（1，m） ∵△PAB 是一个以 AB 为斜边的等腰直角三角形 ∴AM=PN，PM=BN
图2 y
x=1
∴k2-2k-m=k+2-1，1-（k-2）=k2+2k-m……..……11 分
∴ k 1 ， m 17 ……..……12 分
3
9
B
O
A
M
PN
图3
x x
3
三角形，且∠AEC=90°.
………………………………4 分
所以 CD= DE2 CE2 62 52 61 .所以 BC 的长是 2 61 .………………6 分
设点 A 到 BC 的距离为 h,由面积公式得
1 2
BC
h
SABC
,
1 2
2
61h 1 125 2
解得 h= 30 61 . 61
………………8 分
在△DCE 和△DAF 中，∵CD=AD，∠C=∠DAF，CE=AF ∴△DCE≌△DAF（SAS）……7 分 ∴DE=DF．……8 分 19、解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴ (2k 1)2 4(k 2 1) 4k 3 0 ，……3 分
解得： k 3 ． 4
……………………4 分
1
20、（1）如下图：
………………………………2 分 [来源:学*科*网Z*X*X*K]
（2）①2（2.1 到 1.7 之间都正确）
………………………………5 分
②该函数有最大值 4（其他正确性质都可以，比如从增减性的角度）． ……8 分
20．(1)作出△CDE；

重庆市XX初中2016届九年级上期中数学试卷含答案解析

A．
B．
C．
D．
3．下列计算正确的是（） A．2a+3a=6a B．a2+a3=a5 C．a8÷a2=a6 D．（a3）4=a7 4．如图，直线 a，b 被直线 c 所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4 等于（）
A．20° B．40° C．60° D．80°
5．以下说法正确的是（）
2015-2016 学年重庆市 XX 中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、 B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方格涂黑. 1．实数﹣6、0、﹣2、2 的中最小的是（） A．﹣6 B．0 C．﹣2 D．2 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．40° B．45° C．50° D．80° 9．将抛物线 y=x2 平移得到抛物线 y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（） A．向左平移 2 个单位 B．向右平移 2 个单位 C．向上平移 2 个单位 D．向下平移 2 个单位 10．如图图象所反映的过程是：明明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中 x 表示时间（分），y（千米）表示明明离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）
时，函数值 M 为整数的个数记为 k，求 k 的值；（2）若 x[]y=y[]x，对任意实数 x，y 都成立（这里 x[]y和 y[]x均有意义），求 a 与 b 的函数关
系式？
五、解答题.（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 25．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点 E，AD⊥BC于点 D，连接 DE．（1）如图 1，若 AD=3，AB=BC=5，求 ED的长；（2）如图 2，若∠ABC=45°，求证：CE+EF= ED；（3）如图 3，若∠ABC=45°，现将△ADC沿 AC边翻折得到△AGC，连接 EG、DG．猜想线段 AE、 DG、BE之间的数量关系，写出关系式，并证明你的结论．

【人教版】2016届九年级上期中数学试卷及答案解析

九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来并填在该题相应的括号内）1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：12．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB的值是（）A．B．C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（）A．15°B．30°C．60°D．75°4．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD •AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．7．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA=4，PB=2，那么线段BC的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③B．①②③④ C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）9．等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为．10．弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则该弧所在圆的半径是．11．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．12．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，则= ．13．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC=80°，那么∠BDC= 度．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答应写出必要的证明过程或演算步骤15．计算：tan30°•sin60°+cos230°﹣sin245°•tan45°．16．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的长．17．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD ⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，求AC的长．18．如图，△ABC的三顶点分别为A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．请画出一个以原点O为位似中心，且与△ABC相似比为的位似图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．（只需画出一种情况，A1B1：AB=）19．如图1表示一个时钟的钟面垂直固定与水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直与桌面，A点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距离桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分？20．如图，小明为测量某铁塔AB的高度，他在离塔底B的10米C处测得塔顶的仰角α=43°，已知小明的测角仪高CD=1.5米，求铁塔AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin43°=0.6820，cos43°=0.7314，tan43°=0.9325）21．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．（1）求∠A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求MD的长度．22．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）23．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．24．如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）计算：AC•AF的值．九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

人教版 2016届九年级上册初三数学期中试卷(含答案解析)

2016-2017学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题满分45分，共15小题，每题3分．在下列各小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请把符合要求的选项前面的字母代号填写在答卷上指定的位置）1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．将一元二次方程x2+3=x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．0、3 B．0、1 C．1、3 D．1、﹣13．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）4．关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有两个实根，则k的范围是（）A．k≤1 B．k≥1 C．k＜1 D．k＞15．将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是（）A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2﹣3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+36．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个根，则x1x2的值是（）A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．27．下列命题中：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④长度相等的弧是等弧．真命题有（）个．A．1 B．2 C．3 D．48．某种型号的电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元，降到了980元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（）A．1500（1﹣x）2=980 B．1500（1+x）2=980 C．980（1﹣x）2=1500 D．980（1+x）2=15009．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（）A ．29°B ．31°C ．59°D ．62°10．已知二次函数y=x 2﹣4x+m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0的两个实数根是（）A ．x 1=1，x 2=﹣1B ．x 1=﹣1，x 2=2C ．x 1=﹣1，x 2=0D ．x 1=1，x 2=311．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为P ．若PA=2，PB=8，则CD 的长为（）A ．2B ．4C ．8D ．12．已知点（﹣3，y 3），（﹣2，y 1），（﹣1，y 2）在函数y=x 2+1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 2＞y 1＞y 313．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC 绕点O 顺时针旋转90°得到△BOD ，则的长为（）A ．πB ．6πC ．3πD ．1.5π14．如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（）A ．B ．C ．D ．15．已知一次函数y=﹣kx+k 的图象如图所示，则二次函数y=﹣kx 2﹣2x+k 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、解答题：（本大题满分75分，共9小题）16．解方程：x （2x ﹣5）=4x ﹣10．17．已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （0，1），B （﹣1，1），C （﹣1，3）．（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点C 1的坐标；（2）画出△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°后得到的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标；19．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1，x 2为该方程的两个实数根且满足x 12x 22﹣x 1﹣x 2=115，求k 的值．20．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为E ．（1）求证：BC=BD ；（2）若BC=15，AD=20，求AB和CD的长．21．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？22．某工厂从1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染；若再按现状生产，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资111万元治理污染，治污系统可在1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1至3月的生产收入以相同的百分率递增，经测算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，1至3月份的生产累计可达91万元；3月份以后，每月生产收入稳定在3月份的水平．（1）求出投资治污后2、3月份生产收入增长的百分率（参考数据：3.62=1.912，11.56=3.402）（2）如果把利润看做生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的处罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见效？（即治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润）．23．如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，则△AEF是三角形，MD、MN的数量关系是．（2）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）将图1中正方形ABCD及直角三角板ECF同时绕点C顺时针旋转90°，如图3，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．24．如图，抛物线y=（x+1）2+k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线上一动点，且在第三象限；①当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△AMP是以AM为底的等腰直角三角形，若存在，请求出点P和点M的坐标；若不存在，请说明理由．九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题满分45分，共15小题，每题3分．在下列各小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请把符合要求的选项前面的字母代号填写在答卷上指定的位置）1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．将一元二次方程x2+3=x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．0、3 B．0、1 C．1、3 D．1、﹣1【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】首先移项进而得出二次项系数和一次项系数即可．【解答】解：∵x2+3=x，∴x2﹣x+3=0，∴二次项系数和一次项系数分别为：1，﹣1．故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确移项得出是解题关键．3．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：因为y=（x+2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选B．【点评】考查顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．要掌握顶点式的性质．4．关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有两个实根，则k的范围是（）A．k≤1 B．k≥1 C．k＜1 D．k＞1【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：根据题意得：△=36﹣36k≥0，解得：k≤1．故选A．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5．将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是（）A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2﹣3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】抛物线平移不改变a的值．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）．可设新抛物线的解析式为y=2（x ﹣h ）2+k ，代入得：y=2（x+1）2+3．故选A ．【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．6．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个根，则x 1x 2的值是（）A ．3B ．﹣2C ．﹣3D ．2【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x 1x 2=﹣2．故选B ．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=，x 1x 2=．7．下列命题中：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④长度相等的弧是等弧．真命题有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 【考点】命题与定理．【专题】推理填空题．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：∵圆既是轴对称图形又是中心对称图形，∴选项①正确；∵所平分的弦是直径时不满足，∴选项②不正确；∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，∴选项③不正确；∵能完全重合的弧是等弧，∴选项④不正确．综上，可得正确的命题有1个：①．故选：A．【点评】主要主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．某种型号的电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元，降到了980元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（）A．1500（1﹣x）2=980 B．1500（1+x）2=980 C．980（1﹣x）2=1500 D．980（1+x）2=1500【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得，原价×（1﹣降价百分率）2=现价，据此列方程即可．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得，1500（1﹣x）2=980．故选A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（）A．29° B．31° C．59° D．62°【考点】圆周角定理．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，求得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠C的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=59°，∴∠A=90°﹣∠ABD=31°，∴∠C=∠A=31°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=3【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一个根是x=1．∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的另一根是t．∴1+t=4，解得 t=3．即方程的另一根为3．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．注意二次函数解析式与一元二次方程间的转化关系．11．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为P．若PA=2，PB=8，则CD的长为（）A ．2B ．4C ．8D ．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OC ，根据PA=2，PB=8可得CO=5，OP=5﹣2=3，再根据垂径定理可得CD=2CP=8．【解答】解：连接OC ，∵PA=2，PB=8，∴AB=10，∴CO=5，OP=5﹣2=3，在Rt △POC 中：CP==4，∵直径AB 垂直于弦CD ，∴CD=2CP=8，故选：C ．【点评】此题主要考查了勾股定理和垂径定理，关键是掌握平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．12．已知点（﹣3，y 3），（﹣2，y 1），（﹣1，y 2）在函数y=x 2+1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 2＞y 1＞y 3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将三个点的坐标分别代入函数关系式，求出y 1，y 2，y 3的值，从而得解．【解答】解：y 1=（﹣3）2+1=9+1=10，y 2=（﹣2）2+1=4+1=5，y3=（﹣1）2+1=1+1=2，所以，y1＞y2＞y3．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，此类题目，可以利用二次函数的对称性以及增减性求解，也可以求出具体的相关的函数值．13．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（）A．πB．6πC．3πD．1.5π【考点】旋转的性质；弧长的计算．【专题】计算题．【分析】根据弧长公式列式计算即可得解．【解答】解：的长==1.5π．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．14．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A．B．C．D．【考点】垂径定理的应用；正方形的性质．【专题】计算题．【分析】如图，正方形ABCD为直径为a的⊙O的内接正方形，作OE⊥BC于E，交⊙O于F，连接OB，则OB=a，则可判断△OBE为等腰直角三角形，所以OE=OB=a，然后计算OF﹣OE即可．【解答】解：如图，正方形ABCD为直径为a的⊙O的内接正方形，作OE⊥BC于E，交⊙O于F，连接OB，则OB=a，∴△OBE为等腰直角三角形，∴OE=OB=a，∴EF=OF﹣OE=a﹣a=a．即桌布下垂的最大长度x为a．故选A．【点评】本题考查了垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．也考查了正方形的性质．15．已知一次函数y=﹣kx+k的图象如图所示，则二次函数y=﹣kx2﹣2x+k的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据一次函数的图象和性质判断k的取值范围，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，得到答案．【解答】解：从一次函数图象可知，k ＞1，﹣k ＜0，抛物线开口向下，﹣＞﹣1，对称轴在x=﹣1的右侧，与y 轴的交点在（0，1）的上方．故选：B ．【点评】本题考查的是一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质，掌握性质、读懂图象从中获取正确的信息是解题的关键，解答二次函数图象问题时，要从开口方向、对称轴和顶点坐标三个方面入手．二、解答题：（本大题满分75分，共9小题）16．解方程：x （2x ﹣5）=4x ﹣10．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】由于方程左右两边都含有（2x ﹣5），可将（2x ﹣5）看作一个整体，然后移项，再分解因式求解．【解答】解：原方程可变形为：x （2x ﹣5）﹣2（2x ﹣5）=0，（2x ﹣5）（x ﹣2）=0，2x ﹣5=0或x ﹣2=0；解得x 1=，x 2=2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17．已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】根据顶点坐标设出顶点形式，把B 坐标代入求出a 的值，即可确定出解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4，∵抛物线经过点B （3，0），∴a （3﹣1）2﹣4=0，解得：a=1，∴y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可，然后从坐标中读出各点的坐标；（2）让三角形的各顶点都绕点O顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可．【解答】解：（1）点C1的坐标（﹣1，﹣3）．（2）所作图形如下：．根据图形结合坐标系可得：C 2（3，1）．【点评】本题考查轴对称及旋转作图的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握两种几何变换的特点，根据题意找到各点的对应点．19．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1，x 2为该方程的两个实数根且满足x 12x 22﹣x 1﹣x 2=115，求k 的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=36﹣4k ＞0，解不等式求出k 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x 1+x 2=6，x 1•x 2=k ，代入x 12x 22﹣x 1﹣x 2=115得到关于k 的方程，结合k 的取值范围解方程即可．【解答】解：（1）由题意可得△=36﹣4k ＞0，解得k ＜9；（2）∵x 1，x 2为该方程的两个实数根，∴x 1+x 2=6，x 1•x 2=k ，∵x 12x 22﹣x 1﹣x 2=115，∴k 2﹣6=115，解得k=±11．∵k ＜9，∴k=﹣11．【点评】此题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根；（4）x 1+x 2=﹣；（5）x 1•x 2=．20．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为E ．（1）求证：BC=BD ；（2）若BC=15，AD=20，求AB 和CD 的长．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】探究型．【分析】（1）直接根据垂径定理即可得出结论；（2）先根据垂径定理判断出△ABD 是直角三角形，再根据勾股定理求出AB 的长，由AB •DE=AD •BD 即可求出DE 的长，再由CD=2DE 即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴BC=BD；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AB===25，∵AB•DE=AD•BD，∴×25×DE=×20×15．∴DE=12．∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CD=2DE=2×12=24．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解答此题的关键．21．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？【考点】二次函数的应用．【专题】函数思想．【分析】先设抛物线的解析式，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求解．【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），由CD=10m，可设D（5，b），由AB=20m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B（10，b﹣3），把D、B的坐标分别代入y=ax2得：，解得．∴y=；（2）∵b=﹣1，∴拱桥顶O到CD的距离为1m，∴=5（小时）．所以再持续5小时到达拱桥顶．【点评】命题立意：此题是把一个实际问题通过数学建模，转化为二次函数问题，用二次函数的性质加以解决．22．（2011•枝江市模拟）某工厂从1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染；若再按现状生产，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资111万元治理污染，治污系统可在1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1至3月的生产收入以相同的百分率递增，经测算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，1至3月份的生产累计可达91万元；3月份以后，每月生产收入稳定在3月份的水平．（1）求出投资治污后2、3月份生产收入增长的百分率（参考数据：3.62=1.912，11.56=3.402）（2）如果把利润看做生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的处罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见效？（即治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润）．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）设每月的增长率为x，那么2月份的生产收入为25（1+x），三月份的生产收入为25（1+x）2，根据1至3月份的生产累计可达91万元，可列方程求解．（2）设y月后开始见成效，根据利润看做生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的处罚款且治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润可列不等式求解．【解答】解：（1）设每月的增长率为x，由题意得：25+25（1+x）+25（1+x）2=91解得，x=0.2，或x=﹣3.2（不合题意舍去）答：每月的增长率是20%．（2）三月份的收入是：25（1+20%）2=36（万元）设y月后开始见成效，由题意得：91+36（y﹣3）﹣111≥22y﹣2y解得，y≥8答：治理污染8个月后开始见成效．【点评】本题考查理解题意能力，关键是找到1至3月份的生产累计可达91万元和治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润这个等量关系和不等量关系可列方程和不等式求解．23．如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，则△AEF是等腰三角形，MD、MN的数量关系是MD=MN ．（2）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）将图1中正方形ABCD及直角三角板ECF同时绕点C顺时针旋转90°，如图3，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【考点】四边形综合题；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角形；三角形中位线定理；正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得出CE=CF，继而证出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，即△AEF是等腰三角形；依据直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的性质，可得到MN与MD的数量关系；（2）连接AE，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，得出BE=DF，继而证出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，再依据直角三角形斜边上中线的性质，可得DM=AF，根据三角形的中位线的性质，可得MN=AE，最后得出MN与MD的数量关系；（3）先连接AE，A′F，根据等腰直角三角形的性质得出CE=CF，继而证出△ADE≌△A′D′F，得到AE=AF，再依据三角形的中位线的性质，可得DM=A′F，MN=AE，最后得出MN与MD的数量关系．【解答】解：（1）∵FC=EC，DC=BC，∴DF=BE，又∵AB=AD，∠B=∠ADF=90°，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形，又∵M、N分别是AF与EF的中点，∴Rt△ADF中，DM=AF，△AEF中，MN=AE，∴DM=MN，故答案为：等腰，DM=MN；（2）MD=MN仍成立，证明：连接AE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∵在Rt△ADF中，点M为AF的中点，∴DM=AF，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN=AE，∴DM=MN；（3）MD=MN仍成立，理由如下：连接AE，A′F，∵CD=CD′，CE=CF，∴CD﹣CE=CD′﹣CF，即DE=D′F，又∵AD=A′D′，∠ADE=∠D′，∴△ADE≌△A′D′F（SAS），∴AE=A′F，又∵点D是AA′的中点，点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN，MD分别为△AEF和△AA′F的中位线，∴MN=AE，DM=A′F，∴MN=DM．【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题需要掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质和判定，综合性较强，难度较大．解题时注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线等于第三边的一半，是得出线段相等数量关系的主要依据．24．如图，抛物线y=（x+1）2+k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线上一动点，且在第三象限；①当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△AMP是以AM为底的等腰直角三角形，若存在，请求出点P和点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将C（0，﹣3）代入抛物线的解析式求得k的值，从而得到抛物线的解析式；（2）连结AC，过点M作MD⊥AC，交AD于点D．先求得点A、B的坐标，然后再求得直线AC的解析式，设M（x，x2+2x﹣3），则D（x，﹣x﹣3），则MD=﹣x2﹣3x，然后依据四边形AMCB的面积=△ABC面积+△AMC面积列出S与x的函数关系式，然后依据配方法求得二次函数的最大值，从而可求得点M的坐标；（3）先求得抛物线的对称轴方程为x=﹣1，然后过点M 作MD ⊥直线x=﹣1，垂足为D ，设直线x=﹣1与x 轴交于点E ，先证明△APE ≌△PMD ，从而得到EP=MD ，AE=PD ．设点P （﹣1，a ），点M （a ﹣1，a ﹣2）．将点M 的坐标代入抛物线的解析式可求得a 的值，从而得到点M 与点P 的坐标．【解答】解：（1）∵y=（x+1）2+k 与y 轴交于点C （0，﹣3）﹣3=1+k ，得，k=﹣4∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，即y=x 2+2x ﹣3．（2）如图1所示：连结AC ，过点M 作MD ⊥AC ，交AD 于点D ．令y=0得：x 2+2x ﹣3=0，解得x 1=﹣3，x 2=1，∴A （﹣3，0）、B （1，0）．设直线AC 的解析式为y=kx+b ．∵将A （﹣3，0）、C （0，﹣3）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣3． ∴直线AC 解析式为y=﹣x ﹣3．设M （x ，x 2+2x ﹣3），则D （x ，﹣x ﹣3），则MD=﹣x 2﹣3x ．∵四边形AMCB 的面积=△ABC 面积+△AMC 面积，∴四边形AMCB 的面积=MD •AO+AB •OC=×（﹣x 2﹣3x ）×3+×4×3=﹣x 2﹣x+6=﹣（x+）2+．∴当x=﹣时，S 最大值为，点M 的坐标为（﹣，﹣）．（3）存在，理由如下．∵x=﹣=﹣1，∴抛物线的对称轴为x=﹣1．如图2所示：过点M作MD⊥直线x=﹣1，垂足为D，设直线x=﹣1与x轴交于点E∵△APM为等腰直角三角形，∴AP=PM，∠APE+∠MPD=90°．∵∠MPD+∠PMD=90°，∴∠PMD=∠APE．在△APE和△PMD中，∴△APE≌△PMD．∴EP=MD，AE=PD．设点P（﹣1，a），点M（a﹣1，a﹣2）．将M点代入y=x2+2x﹣3中，得（a﹣1）2+2（a﹣1）﹣3=a﹣2，整理得：a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1，∵点P在x轴的下方，∴a=﹣1．∴P（﹣1，﹣1）、M（﹣2，﹣3）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判断、求二次函数的最大值，列出S与x的函数关系式是解答问题（2）的关键，用含a的式子表示点M的坐标是解答问题（3）的关键．。

重庆市重点中学2017届九年级上期中数学试卷(A)含答案解析

4．方程 x2﹣22x+2=0 的根的情况为（） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=476＞0，由此即可得出结论．【解答】解：∵在方程 x2﹣22x+2=0 中，△=（﹣22）2﹣5×1×2=476＞0， ∴方程 x 2﹣22x+2=0 有两个不相等的实数根．故选 B．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当根的判别式△＞0 时，方程有两个不相等的实数根．”是解题的关键．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
试卷（卷）参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 1．若一元二次方程 ax2 +bx+c=0 有一根为 0，则下列结论正确的是（） A．a=0 B．b=0 C．c=0 D．c≠0 【考点】一元二次方程的解．【分析】把 x=0 代入方程 a2x+bx+c=0，求得 c=0．【解答】解：∵一元二次方程 ax 2+bx+c=0 有一根为 0， ∴将 x=0 代入一元二次方程 ax2+bx+c=0 得：c=0．故选 C．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
（1）配方成 y=a（x﹣h ）2 +k 的形式．（2）求出它的图象的顶点坐标和对称轴．（3）求出函数的最大或最小值． 26．（15 分）若抛物线 y=x2﹣2x﹣2 的顶点为 A，与 y 轴的交点为 B，求过 A，B 两点的直线的函数解析式．
2016-2017 学年重庆市重点中学九年级（上）期中数学 A

2016—2017学年度第一学期九年级数学期中检测试题及答案

2016-2017学年度第一学期九年级数学期中检测试题2016年10月一选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）将选择题答案填在下表中1.下列各点，在二次函数的图象上的是( )A.（0，0）B.（﹣1，﹣1）C.（1，9）D.（2，﹣2）2.下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）3.在平面直角坐标系中，把点P（-3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为( )A.（3，2）B.（2，﹣3）C.（﹣3，﹣2）D.（3，﹣2）4.下列命题中不正确的是( )A.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴B.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心C.同弧或等弧所对的圆心角相等D.平分弦的直径一定垂直于这条弦5.二次函数的最小值是（）A. B.7 C. D.56.将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )A. B. C. D.7.如图在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知二次函数和一次函数的两个交点分别为A(-1，0)，B(3，4)，当时，自变量的取值范围是（）A． B． C． D．9.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是( )A.ac＜0B.b＜0C.b2﹣4ac＜0D.x=3关于x方程ax2+bx+c=0一个根10.为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B-E-D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是( )A.监测点AB.监测点BC.监测点CD.监测点D二填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，-1）的抛物线的解析式__________．（结果请化为一般式）12.二次函数的图象的对称轴是．13.已知抛物线经过两点A（-2，y1）和，则与的大小关系是_______．14.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，则CD的长为 .15．如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的度数为．16.如图，正方形ABCD边长为2，E为CD的中点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得△ABF，连接EF，则EF的长等于__________.17.经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50t下降到40.5t，则平均每年下降的百分率是__________.18．已知点A（0，1），B（0，-1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于________.19.如图建立直角坐标系，某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，则它对应的解析式为：_______________________.20.如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，AP+BP的最小值为___________.三、解答题（共40分）21.如图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转180°后的图形；（2）若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为_________．22．如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片，你能帮他找到这个车轮的半径吗？（画出示意图，保留作图痕迹）23.二次函数的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（-1,0），与y轴交于点C（0,-5），且经过点D（3,－8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标。

2016九年级(上)数学期中试卷

2016-2017学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷九年级数学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．2．答选择题必须用2B 铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．3．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题．．卷．相应位置．．．．上) 1．下列方程中，是一元二次方程的是 A ．2x ＋3y ＋1＝0 B ．x 2－1＝0C ．y ＝(x －2)2D ．1x＋x ＝12．某校九年级学生参加体育测试，其中10人的引体向上成绩如下表：这10人完成引体向上个数的众数与中位数分别是 A ．9和10B ．9.5和10C ．10和9D ．10和9.53．设x 1、x 2是一元二次方程x 2－4x －1＝0的两个根，则x 1＋x 2的值为A ．1B ．4C ．－1D ．－44．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，C 是AB ︵的中点，∠CDB ＝25°，∠AOB 的度数是 A ．50°B ．100°C ．125°D ．150°5．如图，正八边形ABCDEFGH 的两条对角线AC 、BE 相交于点P ，∠EPC 的度数为（第5题）AB C DEFPGH （第4题）A ．67.5°B ．69°C ．72°D ．112.5°6．如果四边形内存在一个点到四个顶点的距离相等，那么这个四边形一定．．有 A ．一组邻角相等B ．一组对角相等C ．两组对角分别相等D ．两组对角的和相等二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分. 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置．．．．．．．上) 7．将方程x 2＋4x －1＝0化为(x ＋a )2＝b 的形式为 ▲ ．8．圆锥的母线长为5，底面半径为3，圆锥的侧面积为 ▲ ．（结果保留π） 9．小亮本学期数学的平时作业、期中考试、期末考试及数学综合实践活动的成绩分别是88分、82分、90分和90分，各项占学期成绩的百分比分别为30%、30%、35%、5%，则小亮的数学学期成绩是 ▲ 分．10．已知关于x 的一元二次方程3(x －1)(x －m )＝0的两个根是1和2，则m 的值是 ▲ ． 11．甲、乙两地5月下旬10天的日平均气温统计如下表（单位：°C ）：则甲、乙两地这10天日平均气温的方差的大小关系为：S 2甲 ▲ S 2乙．（填“＞”、“＜”或“＝”）12．某电视机厂今年3月的产量为50万台，5月上升到72万台，求该厂平均每月产量增长的百分率．若设该厂平均每月产量增长的百分率为x ，则列出的方程是 ▲ ． 13．在直径为650 mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图．若油面宽AB ＝600 mm ，则油的最大深度为 ▲ mm ．14．如图，四边形ABCD 中，AB 、CD 分别与以AD 为直径的半圆O 切于点A 、D ，BC切半圆O 于点E ，若AB ＝4 cm ，CD ＝9 cm ，则AD ＝ ▲ cm ．15．如图，四边形OABC 为菱形，点B 在以点O 为圆心、以OC 为半径的EF ︵上，若OA ＝3，∠COF ＝∠AOE ，则EF ︵的长度为 ▲ ．（结果保留π）OABCEF（第15题）（第14题）（第13题）16．顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫做圆外角．圆外角的两边所夹的两条弧的度数与该角的度数之间的数量关系是：圆外角的度数等于 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程x 2－3x －1＝0．18．（6分）解方程x (x ＋2)＝6＋3x ．19．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＋3＝0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．20．（8分）证明定理“垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧”．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为P ．求证CP ＝DP ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵．21．（8分）如图，我区准备用一块长为60 m ，宽为54 m 的矩形荒地建造一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的两个完全一样的矩形区域将铺设塑胶作为运动场地．若塑胶运动场地总面积为2700 m 2，求通道的宽度．B（第20题）（第21题）22．（8分）如图，⊙O 是正方形ABCD 与正六边形AEFCGH 的外接圆．（1）正方形ABCD 与正六边形AEFCGH 的边长之比为 ▲ ；（2）连接BE ．BE 是否为⊙O 的内接正n 边形的一边？如果是，求出n 的值；如果不是，请说明理由．23．（8分）教练想从甲、乙两名运动员中选拔一人参加射击锦标赛，故先在射击队举行了一场选拔比赛．在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示．（1）请你根据图中的数据填写下表：（2）根据选拔赛结果，教练选择了甲运动员参加射击锦标赛，请给出解释．24．（8分）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠C ＝120°．E 是AB ︵上一点（点E 不与点A 、B 重合）．（1）求∠E 的度数；（2）若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积是 ▲ ．（结果保留根号和π）25．（8分）如图，过△ABC 的顶点A 作射线AM ，使∠1＝∠B .（第24题）（第22题）甲射靶成绩的条形统计图乙射靶成绩的折线统计图（第23题）（1）用直尺和圆规作出△ABC 的外接圆O （保留作图痕迹，不写作法）；（2）判断直线AM 与⊙O 的位置关系，并说明理由．26．（10分）实际问题某批发商以40元/kg 的成本价购入了某产品700 kg ，据市场预测，该产品的销售价y （元/kg ）与保存时间x （天）的函数关系为y ＝50＋2x ，但保存这批产品平均每天将损耗15 kg ．另外，批发商每天保存该批产品的费用为50元．已知该产品每天的销量不超过600 kg ，若批发商希望通过这批产品卖出获利7000元，则批发商应在保存该产品多少天时一次性．．．卖出？小明的思路及解答当x ＝0时，700－15x ＝700＞600（不合题意，舍去），当x ＝40时，700－15x ＝100＜600．答：批发商应在保存该产品40天时一次性卖出可获利7000元．数学老师的批改数学老师在小明的解答中画了一条横线，并打了一个“×”．你的观点及做法AM C （第25题）B1（1）请指出小明错误的原因；（2）重新给出正确的解答过程．27．（10分）如图①，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AmB ︵上的一个动点（点C 与点A 、B 不重合），连接AC ．D 是ABC ︵的中点，作弦DE ⊥AB ，垂足为F .（1）若点C 和点E 不重合，连接BC 、CE 和EB .当△BCE 是等腰三角形时，求∠CAB的度数；（2）若点C 和点E 重合，如图②．探索AB 与AC 的数量关系并说明理由.（第27题）②①。

九年级上期中考试数学试题含答案

重庆一中初2017级16—17学年度上期半期考试数学试卷（考生注意：本试题共26小题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项．参考公式：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--ab ac a b 44,22，对称轴为a bx 2-=．一．选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡内． 1．下列实数中的无理数是（ ▲ ）A ．7.0B ．21C ．πD ．8-2．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是( ▲)A ．B ．C ．D ．3．下列等式一定成立的是（ ▲ ）A ．1052a a a =⨯B ．b a b a +=+ C ．1243)(a a =-D ．a a =24．不等式组⎩⎨⎧>->+0301x x 的解集是（ ▲ ）A ．1->xB ．3>xC ．31<<-xD ．3<x5．下列说法中正确的是（ ▲ ）A ．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件B ．“02<x （x 是实数）”是随机事件C ．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上D ．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查 6．如图，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，∠B=36°，则∠DCE 等于（ ▲ ）第6题图 A ．18°B ．36°C ．45°D ．54°7．函数21-=x y 的自变量x 的取值范围为（ ▲ ） A ．2>xB ．2<xC ．2≤xD ．2≠x8．如果α∠是锐角，且31sin =α，那么αcos 的值是（▲） A ．35 B ．332C ．322 D ．532 9．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（▲）A ．51B ．70C ．76D ．8110．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴为1=x ，下列结论中正确的是（ ▲ ） A ．0>abB ．a b 2=C ．024<++c b aD ．b c a <+第10题图11．如图，小黄站在河岸上的G 点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C 的俯角是∠FDC=30°，若小黄的眼睛与地面的距离DG 是1.6米，BG=0.7米，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡AB 的坡度为i =3:4，坡长AB=10.5米，则此时小船C 到岸边的距离CA 的长为（ ▲ ）米．（7.13≈，结果保留两位有效数字） A ．11 B ．8.5 C ．7.2D ．1012．若关于x 的分式方程24341-=-+--x x ax 有正整数解，关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->+<--2322)2(3x x a x x 有解，则a 的值可以是（▲）A ．2-B ．0C ．1D ．2 二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案填在答题卡内.13．神舟十一号飞行任务是我国第6次载人飞行任务，也是中国持续时间最长的一次载人飞行任务．2016年第11题图CF10月19日，神舟十一号飞船与天宫二号自动交会对接成功．神舟十一号和天宫二号对接时的轨道高度是393000米，将数393000用科学计数法表示为▲． 14．计算：9+(-2)0 =▲．15．二次函数y =12(x +1)(x -3)的对称轴是▲． 16．有一个进、出水管的容器，某时刻起4分钟只开进水管，此后进水管，出水管同时开放，经过8分钟注满容器，随后只开出水管，得到时间x （分钟）与水量y （升）之间的函数关系如图，那么容器的容积为▲升．F第16题图第18题图17.有六张正面分别标有数字3,2,1,0,2,3--的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将卡片上的数字分别做为点P 的横、纵坐标，则P 点落在抛物线322-+=x x y 上的概率为 ▲．18.正方形ABCD 中，BD 为正方形对角线，E 点是AB 边中点，连结DE ，过C 点作CG ⊥DE 交DE 于G 点，交BD 于H 点，过B 点作BF ⊥DE 交DE 延长线于F 点，连结AF.若AF=2，则△BHG 的面积为 ▲.三．解答题：（本大题2个小题，第19题6分，20题8分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．19．如图，点C ，D 在线段BF 上，AB ∥DE ， AB=DF ，BC=DE ，求证：AC=FE.20．计算（1）)(4)2)(2(y x y y x y x ++-+（2）1961812++-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--y y y y y四．解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 21．百日长跑为我校的传统项目，为了解九年级学生的体能状况，从我校九年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A 、B 、C 、D 四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）求本次测试共调查了多少名学生？（2）求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图；（3）我校九年级共有2100名学生，请你估计九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人？22．如图，直线y =12x +2与双曲线相交于点A （m ，3），与x 轴交于点C ．（1）求双曲线解析式；（2）点P 在x 轴上，如果△ACP 的面积为3，求点P 的坐标．23.某绿色种植基地种植的农产品喜获丰收，此基地将该农产品以每千克5元出售，这样每天可售出1500千克，但由于同类农产品的大量上市，该基地准备降价促销，经调查发现，在本地该农产品若每降价0.2元，每天可多售出100千克．当本地销售单价为x ）3(≥x 元时，销售量为y 千克．（1）请直接写出y 和x 的函数关系式；（2）求在本地当销售单价为多少时可以获得最大销售收入？最大销售收入是多少？（3）若该农产品不能在一周内出售，将会因变质而不能出售．依此情况，基地将10000千克该农产品运往外地销售．已知这10000千克农产品运到了外地，并在当天全部售完．外地销售这种农产品的价格比在本地取得最大销售收入时的单价还高%a （）（20≥a ），而在运输过程中有%6.0a 损耗，这样这一天的销售收入为42000元．请计算出a 的值．24.对于钝角β，定义它的三角函数值如下：)180sin(sin ββ-= ,)180cos(cos ββ--= ,)180tan(tan ββ--=（1）求、、的值.（2）若一个三角形的三个内角的比是1︰1︰4，A 、B 是这个三角形的两个顶点，sin A 、cos B 是方程ax 2-bx -1=0的两个不相等的实数根，求a 、b 的值及∠A 和∠B 的大小.五．解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 25.平行四边形ABCD 中,∠ABD=90°,G 点为BC 边上一点，连结DG ，E 点在BC 边所在直线上，过E 点作EF ∥CD 交GD 于F 点.（1）如图1，若G 为BC 边中点，EF 交GD 延长线于F 点，tanA=21，CE=CG ，DG=5，求EF ；（2）如图2，若E 点在BC 边上，G 为BE 中点，且GD 平分∠BDC ，求证：DF FG DB +=22；xxy（3）如图3，若E 点在BC 延长线上，G 为BE 中点，且∠GDC=30°，问（2）中结论还成立吗？若不成立，那么线段DB 、FG 、DF 满足怎样的数量关系，请直接写出结论.26.抛物线c x x y +--=241与直线l 1:kx y =相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为)3,3(-,点B 的坐标为),3(b .（1）求抛物线顶点M 的坐标和b 的值.（2）如图1，若P 是抛物线上位于M 、B 两点之间的一个动点，连结AM 、MP 、PB ，求四边形PMAB 的面积的最大值及此时P 点的坐标.（3）如图2，将直线l 1绕B 点逆时针方向旋转一定角度后沿y 轴向下平移5个单位得到l 2,l 2与y 轴交于点)423,0(-C ，P 为抛物线上一动点,过P 点作x 轴的垂线交l 2于点D ，若点D ′是点D 关于直线PC 的对称点，是否存在点P ，使点D ′恰好落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标，若不存在，请说明理由.命题人：邱秦飞陈缨审题人：余志渊王敏xyxl 1图1xyxl 1l 2l 1图2M第11页共11页。

重庆南川中学 2016-2017学年九年级上半期测试卷

2016-2017学年重庆市南川中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卡上将对应方框涂黑.1．（4分）观察下列图形，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣3的图象顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，3） D．（1，﹣3）3．（4分）用配方法解方程x2﹣4x+1=0，下列配方正确是（）A．（x﹣2）2=5 B．（x+2）2=5 C．（x﹣2）2=3 D．（x+2）2=54．（4分）下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+2x+2=0 C．（x﹣1）2+1=0 D．（x﹣1）（x+2）=0 5．（4分）把抛物线y=x2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2﹣2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2+2 6．（4分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2450张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）=2450 B．x（x﹣1）=2450 C．x（x+1）=2450 D．x（x﹣1）=2450 7．（4分）已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（2，y3）在函数y=2（x﹣1）2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y28．（4分）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是（）A． B．C．D．9．（4分）给出一种运算：对于函数y=x n，规定y′=nx n﹣1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（）A．x1=4，x2=﹣4 B．x1=2，x2=﹣2 C．x1=x2=0 D．x1=2，x2=﹣2 10．（4分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0，④a+b+c=0．其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④11．（4分）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10°B．15°C．7.5°D．20°12．（4分）如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④四边形AO BO′的面积为6+3；⑤S△AOC +S△AOB=6+．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上.13．（4分）方程2x2=x的根是．14．（4分）直线y=x+3上有一点P（m，2），则P点关于原点的对称点P′的坐标为．15．（4分）如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形ODEF，则E的坐标为．16．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c ＜0的解集是．17．（4分）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：则抛物线的对称轴是．18．（4分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x ≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=．三、解答题（本大题2个小题，每题各7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上. 19．（7分）用适当的方法解方程：x2﹣5x﹣14=0．20．（7分）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知△ABC：（1）作出△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1，并写出点B对应点B1的坐标；（2）作出把△ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形△AB2C2．写出点C对应点C2的坐标．四、解答题：（本大题4个小题，每题各10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上. 21．（10分）求抛物线y=x2﹣2x的对称轴和顶点坐标，并画出图象．22．（10分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．23．（10分）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC•AB=AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取2.2）．24．（10分）已知：在△ABC中，AB=AC，若将△ABC顺时针旋转180°，得到△FEC．（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由；（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上. 25．（12分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）26．（12分）已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年重庆市南川中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卡上将对应方框涂黑.1．（4分）观察下列图形，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（4分）二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣3的图象顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，3） D．（1，﹣3）【分析】因为y=﹣2（x﹣1）2﹣3是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．【解答】解：∵抛物线解析式为y=﹣2（x﹣1）2﹣3，∴二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣3）．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等．3．（4分）用配方法解方程x2﹣4x+1=0，下列配方正确是（）A．（x﹣2）2=5 B．（x+2）2=5 C．（x﹣2）2=3 D．（x+2）2=5【分析】在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣4x+1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣1+4，配方得（x﹣2）2=3．故选C．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．（4分）下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+2x+2=0 C．（x﹣1）2+1=0 D．（x﹣1）（x+2）=0【分析】计算判别式的值，可对A、B进行判断；根据非负数的性质可对C进行判断；利用因式分解法解方程可对D进行判断．【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数解，所以A选项错误；B、△=22﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、（x﹣1）2≥0，则（x﹣1）2+1＞0，方程没有实数解，所以C选项错误；D、x﹣1=0或x+2=0，解得x1=1，x2=﹣2，所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．5．（4分）把抛物线y=x2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2﹣2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2+2【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【解答】解：抛物线y=x2向下平移2个单位，得：y=x2﹣2；再向右平移1个单位，得：y=（x﹣1）2﹣2．故选C．【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．6．（4分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2450张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）=2450 B．x（x﹣1）=2450 C．x（x+1）=2450 D．x（x﹣1）=2450【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=2450．故选B．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．7．（4分）已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（2，y3）在函数y=2（x﹣1）2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2【分析】分别计算自变量为﹣1，﹣2，2所对应的函数值，然后比较大小即可．【解答】解：当x=﹣1时，y1=2（x﹣1）2=8；当x=﹣2时，y2=2（x﹣1）2=18；当x=2时，y3=2（x﹣1）2=2，所以y2＞y1＞y3．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，即已知横坐标可求对应的纵坐标．8．（4分）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是（）A． B．C．D．【分析】本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．【解答】解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b应经过二、四象限，故A可排除；B、由二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b应经过一、二、四象限，故B可排除；C、由二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b应经过一、三象限，故C可排除；正确的只有D．故选：D【点评】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．9．（4分）给出一种运算：对于函数y=x n，规定y′=nx n﹣1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（）A．x1=4，x2=﹣4 B．x1=2，x2=﹣2 C．x1=x2=0 D．x1=2，x2=﹣2【分析】首先根据新定义求出函数y=x3中的n，再与方程y′=12组成方程组得出：3x2=12，用直接开平方法解方程即可．【解答】解：由函数y=x3得n=3，则y′=3x2，∴3x2=12，x2=4，x=±2，x1=2，x2=﹣2，故选B．【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力；注意：①二次项系数要化为1，②根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．10．（4分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0，④a+b+c=0．其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；把x=1代入函数解析式，结合对称轴方程对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，则a＞0．∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，则2a﹣b=0．故②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0．故①正确；∵x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0．故③错误；根据抛物线的对称性知，当x=1时，y=0，∴a+b+c=0，∴a+2a+c=0，即3a+c=0．故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选：C．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、与x轴的交点坐标，以及对称性是解决问题的关键．11．（4分）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10°B．15°C．7.5°D．20°【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1计算即可得解．【解答】解：∵∠CED=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，∴∠BCE1=15°，∴∠BCD1=60°﹣15°=45°，∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△D1CB中，，∴△ABC≌△D1CB（SAS），∴∠BD1C=∠ABC=45°，∴∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1=45°﹣30°=15°．故选B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC和△D1CB全等是解题的关键．12．（4分）如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④四边形AO BO′的面积为6+3；⑤S△AOC +S△AOB=6+．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故结论④错误；如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC +S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．【解答】解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，在△BO′A和△BOC中，，∴△BO′A≌△BOC（SAS），又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，则S △AOC +S △AOB =S 四边形AOCO″=S △COO″+S △AOO″=×3×4+×32=6+，故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选：C ．【点评】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB 向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上.13．（4分）方程2x 2=x 的根是 x 1=0，x 2= ．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：2x 2=x ，2x 2﹣x=0，x （2x ﹣1）=0，x=0，2x﹣1=0，x1=0，x2=，故答案为：x1=0，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．14．（4分）直线y=x+3上有一点P（m，2），则P点关于原点的对称点P′的坐标为（1，﹣2）．【分析】首先把（m，2）代入y=x+3，可求出m的值，进而可得点P的坐标，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：∵P（m，2）在直线y=x+3上，∴2=m+3，解得：m=﹣1，∴P点（﹣1，2），∴P点关于原点的对称点P′的坐标为（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是正确计算出m的值，确定P的坐标．15．（4分）如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形ODEF，则E的坐标为（4，2）．【分析】据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得OD=OA，OF=OC，再根据点E在第一象限写出点E的坐标即可．【解答】解：∵矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形ODEF，∴OD=OA=4，OF=OC=2，又∵点E在第一象限，∴点E的坐标为（4，2）．故答案为：（4，2）．【点评】题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．16．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c ＜0的解集是﹣1＜x＜3．【分析】直接根据二次函数的图象即可得出结论．【解答】解：∵由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方，∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．【点评】本题考查的是二次函数与不等式式，能利用数形结合求不等式的解集是解答此题的关键．17．（4分）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：则抛物线的对称轴是x=．【分析】首先找出纵坐标相等的两个点，可根据这两个点的横坐标判断出抛物线的对称轴．【解答】解：由抛物线过（0，6）、（1，6）两点知：抛物线的对称轴为x==．故答案为：x=．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性，找出对称点是解决问题的关键．18．（4分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x ≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=5﹣．【分析】设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出BC的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2=a，解得x=，∴点B（，a），=a，则x=，∴点C（，a），∴BC=﹣．∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1=（）2=5a，∴点D的坐标为（，5a）．∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为5a，∴=5a，∴x=5，∴点E的坐标为（5，5a），∴DE=5﹣，∴==5﹣．故答案是：5﹣．【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A 的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．三、解答题（本大题2个小题，每题各7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上.19．（7分）用适当的方法解方程：x2﹣5x﹣14=0．【分析】根据题目中的方程的特点，可以发现利用因式分解法可以解答．【解答】解：x2﹣5x﹣14=0（x﹣7）（x+2）=0∴x﹣7=0，x+2=0，解得，x1=7，x2=﹣2．【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是会用因式分解法解方程．20．（7分）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知△ABC：（1）作出△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1，并写出点B对应点B1的坐标；（2）作出把△ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形△AB2C2．写出点C对应点C2的坐标．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于点O成中心对称的点，然后顺次连接，写出点B对应点B1的坐标；（2）分别将点B、C绕点A逆时针旋转90°后的点，然后顺次连接，写出点C对应点C2的坐标．【解答】解：（1）所作图形如图所示：B1（﹣4，﹣1）；（2）所作图形如图所示：C2（﹣1，4）．【点评】本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．四、解答题：（本大题4个小题，每题各10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上. 21．（10分）求抛物线y=x2﹣2x的对称轴和顶点坐标，并画出图象．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，可求得其对称轴及其顶点坐标，再利用描点法可画出其函数图象．【解答】解：y=（x﹣1）2﹣1，∴对称轴为x=1，顶点为（1，﹣1）．其函数图象如图所示．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．22．（10分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．（2）由于AB=2是方程kx2﹣4x+2=0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×k×2=16﹣8k≥0，解得：k≤2，又因为k是二次项系数，所以k≠0，所以k的取值范围是k≤2且k≠0．（2）由于AB=2是方程kx2﹣4x+2=0，所以把x=2代入方程，可得k=，所以原方程是：3x2﹣8x+4=0，解得：x1=2，x2=，所以BC的值是．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数k≠0．23．（10分）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC•AB=AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取2.2）．【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．【解答】解：设太和门到太和殿的距离为x丈，由题意可得，x2=100（100﹣x）解得，，（舍去）则x≈﹣50+50×2.2=60，答：太和门到太和殿的距离为60丈．【点评】本题开车的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．24．（10分）已知：在△ABC中，AB=AC，若将△ABC顺时针旋转180°，得到△FEC．（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由；（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．【分析】（1）根据△FEC是△ABC顺时针旋转180°产生的，可知，AC=CF，BC=CE，所以得到四边形ABFE是平行四边形；由平行四边形的性质可知AE∥BF且AE=BF；=3cm2，又因为四个三角形等底同（2）过点A作AD⊥BC于点D，则可求得S△ABC高，所以S=4×S△ABC，可求得面积是12cm2；四边形ABFE（3）当∠ACB=60°时，AB=AC=BC，可得AF=BE，即四边形ABCD是矩形．【解答】解：（1）∵△FEC是△ABC顺时针旋转180°产生的，∴ACF、BCE共线且AC=CF，BC=CE（2分），∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF且AE=BF．（3分）（2）过点A作AD⊥BC于点D，=BC•AD=3cm2．（5分）则S△ABC=S△AEC，S△FBC=S△FEC，又∵平行四边形ABFE中，BC=CE，S△ABC又∵AC=CF，=S△FBC，∴S△AEC∴四个三角形面积相等，=4×S△ABC=12cm2．（6分）∴S四边形ABFE（3）∠ACB=60°时，四边形ABEF是矩形，（7分）理由：∵当∠ACB=60°时，AB=AC=BC，∴AF=BE，（8分）∴四边形ABEF是矩形．（9分）【点评】主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质和旋转的性质．解题的关键是利用旋转的性质得到相等的线段和全等的图形．熟练掌握矩形的判定以及等腰三角形的性质才能在综合题中灵活运用．五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上. 25．（12分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）【分析】（1）根据题意先求得当单价为70元时的销售量，然后根据利润=销售量×每件的利润求解即可；（2）依据销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件列出函数关系式即可；（3）每天的总成本=每件的成本×每天的销售量列出一元一次不等式，从而可求得x的范围，然后利用二次函数的性质可求得最大值利润为4480元．【解答】解：（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润=（70﹣50）×[50+5×（100﹣70）]=4000元；（2）由题得y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=﹣5x2+800x﹣27500（x≥50）．∵销售单价不得低于成本，∴50≤x≤100．（3）∵该企业每天的总成本不超过7000元∴50×[50+5（100﹣x）]≤7000（8分）解得x≥82．由（2）可知y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=﹣5x2+800x﹣27500∵抛物线的对称轴为x=80且a=﹣5＜0∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．∴当x=82时，y有最大，最大值=4480，即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，依据题意列出每天的销售利润y与x的定价x的函数关系式是解题的关键．26．（12分）已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据OC=3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，﹣3），把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，求出a点坐标即可求出函数解析式；（2）图，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．设M（m，﹣m﹣3）则D（m，m2+2m﹣3），然后求出DM的表达式，把S四边形ABCD 分解为S△ABC+S△ACD，转化为二次函数求最值；（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形．【解答】解：（1）∵OC=3OB，B（1，0），∴C（0，﹣3）．把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，得a=1，c=﹣3，∴抛物线的解析式y=x2+2x﹣3．（2）由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．设M（m，﹣m﹣3）则D（m，m2+2m﹣3），DM=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+，∴﹣1＜0，∴当x=时，DM有最大值，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×4×3+×3×DM，此时四边形ABCD面积有最大值为6+×=．。

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