2015年上海交大自主招生试题

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2015年3月三校生高考真题上海市部分普通高校专科层次依法自主招生考试

2015年上海市部分普通高校专科层次依法自主招生考试第一部分（每题只有一个正确答案，每题1分，共102分）一、选择题（每题1分，共80分）1.下列姓氏的读音，不正确的一项是（）A.查，zhāB. 仇，qiúC. 区，qū（ōu）D.单，shàn（[ chán ]1.〔～于〕中国古代匈奴君主的称号。

）2.中新网报道：“希腊总理齐普拉斯于当地时间11日凌晨轻松赢得国会的信任投票，此前，齐普拉斯他承诺绝不让以往‘减少开支'和‘纾困计划'的政策重新回到希腊。

”对新闻中“纾”字注音与解释都正确的一项是（）A.yú（缓和）B.yū（舒缓）C.shù（宽缓）D.shū（缓解）3.“因为相聚，让我们分享了这快乐的时光；因为浪漫，让我们承载无尽的祝福。

亲爱的朋友，让我们……”根据下列场景判断，这样的语句更适合（）A. 商务会谈主持人的开场白B.婚礼司仪的结束语C.节庆大会上主持引入正题D.娱乐节目采访嘉宾4.看见有顾客边挑选白菜边将外层还不算老的菜叶剥去，菜场售货员就上前劝阻。

下列用语得体、委婉的一句是（）A. 您要哪棵？我来帮您清理吧！B.喂喂，请不要摘菜叶！C.您这样摘菜叶可就太浪费啦！D.哎哟，请别这样好吧？5.下列语境中依次使用敬辞恰当的一项是（）①别人正安静阅读，麻烦别人递支笔②文章写好了，请老师批阅修改③一时疏忽迟到，求人原谅宽恕④初次见面，握手寒暄A. 劳驾斧正借光光临B.打扰赐教原谅恭候C.打扰指教包涵久仰D.借光劳驾恭候久违借光：请人让路或问事时的客气话。

6.下列诗句中没有直接写出月亮的一项是（）A. 著意登楼瞻玉兔（辛弃疾）B.玉轮轧露湿团光（李贺）C.千里共婵娟（苏轼）D.清夜坠玄天（韦应物）7.一方水土养一方人，一方风情孕育一方的乐器。

下列依次与①②③对应的传统民族乐器是（）①蒙古包、轱辘车，风吹草低见牛羊的大草原②红高粱、信天游，大风起兮云飞扬的黄土高坡③杨柳岸、乌篷船，小桥流水人家的江南水乡A. 冬不拉笛子丝竹B.马头琴唢呐二胡C. 笙箫马头琴琵琶D.管风琴腰鼓扬琴马头琴是一种两弦的弦乐器，有梯形的琴身和雕刻成马头形状的琴柄，为蒙古族人民喜爱的乐器。

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+,则()f x = .2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b-= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为．4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ⋅+⋅+⋅++⋅= .６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ⊂，则k 的最小值为 . ７.设函数()xf x x=,则2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ．8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为252,则a = ．9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为． 10.已知函数121()1x f x x -=+,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若355()()f x f x =，则28()f x = .二、计算与证明题(每小题10分，共50分)１1.工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当10,4r mm h mm ==时，R 的值．1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像．１３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标.参考答案:1. 21x - ２． 12- 3． 2 4． 945. ()1!1n +-6. 27. ()()()1102112104nn n x n x ⎧+>⎪⎪⎨+--⎪<⎪⎩ ８.± 9. 4345 10. 2353x x-- 11．22R r r h=+,60R mm =12.⎡⎣;偶函数;11,224k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈;11,242k k πππ+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈；周期为2π13. min 54d =;5,4M ⎛± ⎝⎭ 1４．略；反证法 1５. 2；3；232322n n --⨯+20０8年交大冬令营数学试题参考答案200８.1.１一.填空题1.若21()21x x f x -=+，1()()g x f x -=,则3()_______5g =．22.函数218x y x +=+的最大值为＿_＿___＿_＿＿.143.等差数列中,81353a a =，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为_＿__＿＿____.2０4．复数||1z =,若存在负数a 使得2220z az a a -+-=,则________a =．125．若1cos sin 2x x -=，则33cos sin ________x x -=．11166.数列{}n a 的通项公式为n a =，则这个数列的前99项之和99_______S =．9107．2(1)(1)x x ++++……9899(1)(1)x x ++++中3x 的系数为________.4100C =39212258．数列{}n a 中,00a =,112a =-,26a =,334a =-，420a =,556a =-,642a =,778a =-，872a =,此数列的通项公式为_______n a =.(1)(1)(1)nnn n --+9．甲、乙两厂生产同一种商品.甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%;甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%.若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为__________．231０．若曲线221:0C x y -= 与 222:()1C x a y -+=错误!未定义书签。

2015交大自招化学模拟卷

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【自招】2004-2015年上海自主招生数学试题

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2011 年华师二附自主招生数学试题及答案
一、填空题（每题 4 分） 1. 已知关于 x 的多项式 ax7 bx5 x2 x 12 （ a 、 b 为常数），且当 x 2 时，该多项式的值为 8 ，则当 x 2 时，该多项式的值为__________．
2. 已知关于 x 的方程 x2 a 2 x a 1 0 的两实根 x1 、 x2 满足 x12 x22 4 ，则实
15. 某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量，先网出 100 条鱼，做上标记后全部放回
鱼塘，过些时候捕捞出 90 条鱼，发现其中有 4 条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼
约有_________条．
16. 如图，四边形 ABCD 中， ADC 和 ABC 都是直角，
D
DE 垂直于 AB ， AD 边与 CD 边长度相等．已知四边
C 形 ABCD 的面积为 16 ，那么线段 DE 的长度是
_________． A
17. 在 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，如
果延长 BE 交 AC 于 F ，那么 AF : FC ________．
E
B
第 16 题
18. 如图， ABC 中，已知 AB AC ， DEF 是 ABC 的内接正三角形， BDF ，
圆括号内），一律得零分．
1
1.
计算
3
4
3
9 2
32

1 9

2
，得（）
A． 11 9
B． 1
C． 5 9
D． 1 9
2. 如果 a b ，那么下列结论正确的是（）

交大附中往年自招题目

交大附中往年自招题目【最新版】目录1.交大附中往年自招题目概述2.交大附中往年自招题目的特点3.交大附中往年自招题目的启示正文【交大附中往年自招题目概述】交大附中，全名交通大学附属中学，是一所位于上海的著名中学。

历年来，交大附中在自招（自主招生）环节的题目一直备受关注。

本文将通过对交大附中往年自招题目的分析，来让大家更好地了解这些题目的特点以及从中可以得到的启示。

【交大附中往年自招题目的特点】1.多样性：交大附中往年自招题目涉及的领域非常广泛，包括语文、数学、英语、物理、化学、生物等各个学科，甚至还有一些跨学科的综合性题目。

这充分体现了交大附中对学生全面发展的重视。

2.创新性：在交大附中往年自招题目中，我们可以看到很多新颖独特的问题，这些问题往往需要学生运用创新思维和发散性思维来解答。

这种创新性题目旨在选拔具备创新能力的优秀学生。

3.实践性：交大附中往年自招题目中，有很多题目都与生活实际紧密相连，需要学生运用所学知识解决实际问题。

这种实践性题目旨在考查学生的实际操作能力和解决问题的能力。

4.探究性：交大附中往年自招题目中，有一些题目需要学生进行深入探究和研究，从而得出结论。

这种探究性题目旨在培养学生的研究意识和独立思考能力。

【交大附中往年自招题目的启示】通过对交大附中往年自招题目的分析，我们可以得到以下几点启示：1.要全面发展：学生在学习过程中，不能偏科，要全面发展，提高自己在各个学科领域的素养。

2.要培养创新思维：学生要善于打破常规，运用发散性思维和创新思维解决问题。

3.要关注生活实际：学生要关注生活实际，善于运用所学知识解决实际问题。

4.要培养独立思考能力：学生在学习过程中，要善于独立思考，培养自己的研究意识和独立思考能力。

总之，交大附中往年自招题目为我们提供了一个很好的参考，让我们更好地了解自招考试的要求和方向。

上海中考自招真题26套及其答案

四校八大历年自招真题答案目录2013年上中自招试卷2014年上中自招试卷2015年上中自招试卷2011年华二自招试卷2012年华二自招试卷2014年华二自招试卷2013年华二冬令营数学试卷2015年年华二自招试卷2017年年华二自招试卷2013年复附自招试题2014年复附自招试题一2014年复附自招试题二2015年复附自招试题一2015年复附自招试题二2012年交附自招试题2013年交附自招试题2014年交附自招试题2015年交附自招试题2016年交附自招试题2014年七宝自招试题2016年七宝自招试题2016年南模自招试题2016年建平自招试题2017年建平自招试题建平数学培训资料试卷2015年控江自招试题2013年华二冬令营数学试卷1、“帽子函数”的图像如图所示：(1)求此函数的解析式；(2)若有抛物线23(),4y x a a =-+<求它与“帽子函数”图像的交点个数； (3)请试写出一个抛物线解析式，使它与“帽子函数”图像有且只有2个交点，横坐标分别为5722，．【解析】：⑴1,211,12x k x k y x k k x k ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪-+++≤<+⎪⎩⑵0a <时，无交点0a =时，一个交点304a <<时，两个交点 ⑶考虑到34a =时，抛物线234y x =-+与帽子函数交于11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭、11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，所以可以将234y x =-+向右平移3个单位，即满足条件该抛物线解析式为()2334y x =--+2、在一个8×8的正方形方格纸中，一个角剪去一个2×2的小正方形，问其余部分可否剪成15块“L ”型(如图)纸片，若能剪，给出剪切方法，若不能剪，请说明理由。

【解析】（一道基础的染色问题）如图进行黑白相间染色，那么L 型放入方格纸中，必定可以盖住1个黑格子和3个白格子，或者3个黑格子和1个白格子。

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何

专题之7、解析几何一、选择题。

1．(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是2．(2009年复旦大学)平面上三条直线x−2y+2=0,x−2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是A.只有唯一值B.可取二个不同值C.可取三个不同值D.可取无穷多个值3．(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0<k1<k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=±k1(x−1)+1和y=±k2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比等于5．(2011年复旦大学)A.ρsin θ=1B.ρcos θ=−1C.ρcos θ=1D.ρsin θ=−1 6．(2011年复旦大学)设直线L过点M(2,1),且与抛物线y2=2x相交于A,B两点,满足|MA|=|MB|,即点M(2,1)是A,B的连接线段的中点,则直线L的方程是A.y=x−1B.y=−x+3C.2y=3x−4D.3y=−x+5 7．(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足A.a2(1−b2)≥1B.a2(1−b2)>1C.a2(1−b2)<1D.a2(1−b2)≤1 8．(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5B.ρ2−6ρcos θ−4ρsin θ=0C.ρ2−ρcos θ=1D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=19.10.(2012年复旦大学)B.抛物线或双曲C.双曲线或椭圆D.抛物线或椭圆A.圆或直线线11．(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y−20=0,则抛物线方程为A.y2=16xB.y2=8xC.y2=−16xD.y2=−8xA.2B.2C.4D.413．(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为14．(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x−4)2+(y−1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是二、解答题。

上海市2015年重点中学自主招生数学模拟试题(含答案)

2016年重点中学自主招生数学模抵试題参考答案与并分标程一、选择题（共5小题，每題6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A, B, C,D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号壊入题后的括号内.不壊、多填或错填均不得分）1、如果关于x的方程x2-ax + a2-3 = Q至少有一个正根.则实数a的取值范围是（C ）A、-2<a<2B、>/3<a<2C、-75<a<2D、-V5<a<22、如图，己知：点£、F分别是正方形ABCD的边刀8、8C的中点，BD、QF分别交CE于点G、H .若正方形的面枳是240,则四边形8FHG的面积等于（B ）A、26B、28C、24 D. 303、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：归3一4 +仏％・4 = 缶二-伝二.则代数式x + y + z ^^xyz的值是............... （A ）A、0B、1C、3D、条件不足，无法计算4、如图.四边形8DCE内接于以BC为直径的QA.巳知：8C = 10,cosZBCD = |, ZBCE = 30°.则线段DE 的长是............. （D ）A、789B、7 73C、4+3 V3D、3+4 右5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个〃排的等腰梯形阵，且这〃排学生数按每排都比前一拝多一人的规律排列，则当〃取到最大值时.排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是............... （B ）A、296B、221C、225D、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。

不设中间分）6、己知：实常数a、b、c、d同时満足下列两个等式：⑴asin0 + 8cosQ-c = O：（2）acosQ-Z）sin0 + d = O （其中。

为任意锐角），则。

、如c、d之间的关系式是:_a2 +b2 =c2 +d2_o7、函数J，= |x-1| + 2|x-2| + 3|x-3| + 4|x-4|的最小值是8 ________ .8、己知一个三角形的周长和面积分别是84、210. 一个单位圆在它的内部沿着三边勾速无摩擦地滾动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是84-^9、己知：x=疽则可用含x的V5 + V2有理系数三次多项式来表示为：41 =1 3 11---- X ------ X。

上海交通大学自主招生+物理题及答案强基计划

1.如图，在P-V图像中，气体做一个完整的循环，轨迹是一个圆心在（2，2），半径为1的圆。

（1）求在这个循环中的最大温度是哪个点（2）在这个循环中对外做的功是多少2、如图所示，半径为R的空心圆环固定在滑块上，滑块放置在光滑水平地面上，滑块与圆环的总质量为M，质量为m的小球(看成质点)可在环内作无摩擦运动。

开始时小球位于圆环最高点，环与小球均静止。

在微小扰动下小球沿环下滑。

1）试求小球相对地面的轨迹方程2）试用物理方法求小球轨迹(相对地面)在图中A、B两处的曲率半径。

3、我们设计了一个理想的实验：设有两个黑体I和II，其平衡温度分别为T1和T2，且T1>T2，C为连接两个黑体场的真空圆筒，筒中有两个可无摩擦滑动的平面活塞A和B，圆筒的内壁和活塞A，B的两个平面都是理想的反射面，初始时刻活塞A和B的平面分别紧贴黑体I和II的位置1和2，如图所示。

现作如下操作：先将B移出筒C，让黑体II的辐射能充满C，再将B移回到位置2，并把A移出筒C，然后推动活塞B，当B移到位置1时，筒C中的辐射能全部被黑体I吸收，此时，筒中又充满了黑体II的辐射能。

把活塞A和B轮流移入和移出，重复上述过程，黑体II的辐射能不断地被黑体I吸收，从而使黑体I温度不断上升，黑体II的温度不断下降。

1）证明：使活塞在筒中移动时要消耗功；2）活塞在筒中移动时所做的功实际上是克服了“光压”，即光照射在物体表面会产生压强作用。

现重复上述实验使得q的热量从黑体II传到了黑体I，问活塞克服光压所做的功至少是多少？（假设黑体I，II都非常大，以至于这个过程种T1和T2可视为恒定值）4、在空间A点有电量为5Q的固定点电荷，在B点有电量为12Q的固定点电荷，A点和B点相距13a，空间另一C点与A点和B点分别相距5a和12a。

1）以C点为球心，以r=a为半径作一球，试求在该球区域内，静电场电场强度E的平均值的大小（表达式为：）式中E i是在体积元△V i处的电场强度。

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何

专题之8、平面几何一、选择题.1、(2009年复旦大学)一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k∶1(k>1),则这个菱形的一个等于A.arctan(k)B.arctanC.arctanD.arctan2、(2009年复旦大学)用同样大小的一种正多边形平铺整个平面(没有重叠),有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙?A.2种B.3种C.4种D.5种3、(2012年复旦大学)设S是平面上的一个六边形,不是凸的,且它的任意3个顶点都不共线,称一个以S的某些顶点为顶点的多边形为一个S多边形,则下面的结果一定不对的是A.每个S四边形都是凸四边形B.存在S五边形为凸五边形C.每个S五边形都不是凸五边形D.至少有两个S四边形是凸四边形4、(2011年同济大学等九校联考)如图,△ABC内接于☉O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交☉O于G,F,交☉O在A点处的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为5、(2010年清华大学等五校联考)如图,△ABC的两条高线AD,BE交于H,其外接圆圆心为O,过O作OF垂直BC于F,OH与AF相交于G,则△OFG与△GHA面积之比为A.1∶4B.1∶3C.2∶5D.1∶26、(2012年清华大学等七校联考)已知锐角△ABC,BE垂直AC于E,CD垂直AB于D,BC=25,CE=7,BD=15,BE,CD交于H,连接DE,以DE为直径画圆,与AC交于另一点F,则AF 的长为A.8B.9C.10D.11二、解答题.7、(2009年华中科技大学)由图1,得4(ab)+c2=(a+b)2,①可推得勾股定理a2+b2=c2.则由图2,可得一个类似于①的等式:.从而推得一个重要的三角公式:.8、(2009年中国科技大学)如图所示,已知D、E、F分别为BC、AC、AB的三等分点,并且EC=2AE,BD=2CD,AF=2BF,若S△ABC=1,试求S△PQR.9、(2012年同济大学等九校联考)如图,AB是圆O的直径,CD⊥AB于H,且AB=10,CD=8,DE=4,EF是圆的切线,BF交HD于G.(1)求GH;(2)连接FD,判断FD与AB的关系,并加以证明.10、(2009年北京大学)如图,圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求圆的半径.11、(2010年北京大学等三校联考)A,B为边长为1的正五边形边上的点.证明:AB最长为.12、(2011年北京大学等十三校联考)在△ABC中,a+b≥2c,求证:∠C≤60°.13、(2011年北京大学等十三校联考)已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5,一条对角线长是6,求另一条对角线长.14、(2012年北京大学等十一校联考)求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.A1A4A5A6都是凸四边形,故选项D正确;如图③,选项C正确.4.B【解析】因为AC∥PF,所以∠HAC=∠APE,又PA是☉O的切线,可得∠HAC=∠B,故∠APE=∠B,又因为∠PEA=∠BED,所以△BED∽PEA,故=,因为PE=3,ED=2,BE=AE,所以BE=AE=,再由相交弦定理可得GE·EF=BE2,故GE=2,得PG=1,最后由切割线定理可得PA2=PG·PF,知PA=.故选B.5.A【解析】观察到△OFG与△GHA相似,只要找到这两个三角形的边长之比,就可以求出其面积之比.因为O点为△ABC的外心,OF⊥BC,所以F是BC边的中点,故AF是BC边上的中线,由欧拉定理可知OH和AF的交点G为△ABC的重心,所以FG∶GA=1∶2,又△OFG∽△HAG,故两三角形面积之比为1∶4.选A.6.B【解析】方法一如图,7.用面积分割的方法考虑各部分面积之和等于整个图形的面积.四个三角形的面积的和为2×[(nsin β)(ncos β)]+2×[(msin α)(mcos α)],中间平行四边形的面积为mnsin[π−(α+β)]=mnsin(α+β),而整个图形的面积为(nsin β+msin α)(ncos β+mcos α),∴2×[(nsin β)(ncos β)]+2×[(msin α)(mcos α)]+mnsin(α+β)=(nsin β+msin α)(ncos β+mcos α),整理上式有sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.8.过E作BC的平行线,交AD于S.10.11.以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.(1)如图1,当A,B中有一点位于P点时,知另一点位于R1或者R2时有最大值|PR1|;当有一点位于O点时,|AB|max=|OP|<|PR1|.(2)如图2,当A,B均不在y轴上时,知A,B必在y轴的异侧方可能取到最大值(否则取A点关于y轴的对称点A',有|A'B|>|AB|).不妨设A位于线段OR2上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的),则使|AB|最大的B点必位于线段PQ上,且当B从P向Q移动时,|AB|先减小后增大,于是|AB|max=|AP|或|AQ|.对于线段PQ上任意一点B,都有|BR2|≥|BA|.于是|AB|max=|R2P|=|R2Q|.由(1)(2)知|AB|max=|R2P|.下面研究正五边形对角线的长.如图3,12.【解析】论证角的范围往往是通过先论证该角的某个三角函数值的范围后,再结合相应函数的单调性进行的.本题是在三角形中解决问题,并且已知了三角形的三条边之间的关系,因此可考虑利用余弦定理先确定cos C的范围,再根据余弦函数的单调性证得结论.13.因为平行四边形中的各边长度是已知的,因此可考虑利用三角形的余弦定理进行求解.如图,不妨设AB=5,AD=3,BD=6.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB·ADcos∠BAD;在△ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC2−2BA·BCcos∠ABC,由于AD=BC,AB=BA,∠ABC+∠DAB=π,故两式相加得AC2+BD2=2(AB2+AD2),于是62+AC2=2×(52+32),解得AC=4,即另一条对角线长为4.14.方法一如图1所示,五边形ABCDE为☉O内接五边形,延长AE,CD,DC,AB,有两交点G,H,连接AC. 因为∠AED=∠EDC,所以∠GED=∠GDE,所以GE=GD.因为A,C,D,E在☉O上,所以∠CAG=∠GDE,∠GCA=∠GED,所以∠CAG=∠GCA,故GA=GC,可得AE=CD.连接AD,同理可得AB=CD,从而AE=AB=CD.同样延长BC,ED,BA,DE,可证得BA=BC=DE,所以AB=BC=CD=DE=EA,从而可得五边形ABCDE为正五边形.方法二如图2所示,。

上海交大自主招生等面试经验

上海交大自主招生等面试经验上海交大自主招生“面经〞1、对于填报的专业，是否应该非常了解？有些认真的同学会在寒假里就花费大量时间，就自己填报的第一志愿专业进行深入了解，甚至背诵一些与该专业相关的所谓“常识〞。

个人认为，出于兴趣的了解固然挺好，但如果时间精力不允许，就没有必要挖掘过深。

大学是希望在自主招生中找到综合能力强的学生。

一个有能力的学生，只要他愿意付出努力，是可以就读任何学科的。

当你的实力得到认可，相信学校是会尽力满足你的第一志愿的，所以没有必要刻意在面试中展现出对你所向往的专业好似很有研究的样子。

如果你纯粹是为了班门弄斧，那就更糟糕了。

在面试时，当你遇到相对专业的知识性问题，且不能确切答复的时候，最好提出自己的猜测，并分析一下你的想法是怎么得来的，富有逻辑的思考很有可能胜过一个近乎背诵出来的正确答案。

2、如何准备自主招生面试？总体上想明白两点即可：为什么我要选择这所学校？这所学校又为什么要选择我？不少同学在报名参加自主招生时是盲目的，甚至有些是由家长决定的。

这种情况下，第一个问题也可以降为“这所学校有什么吸引我的地方〞，要求你对所选择的学校有所了解，至少能找到一些兴趣点。

第二个问题要求你梳理一下过往的人生经历〔当然最主要的是高中阶段〕，在写申请材料的时候大家应该已经有过这个步骤，但在面试前还是建议再来一遍。

通过这样的梳理，首先你能产生一种自信，因为每个人的人生中或多或少都有过一些值得自己骄傲和回味无穷的事情，要相信自己是一个值得所申请学校拥有的人；其次是帮助你定下心、了解自己，明确自己的个人特色，这在面试中的重要性想必不用多说。

此外，这种梳理对你畅想未来，追寻理想也有所帮助，能使你产生对大学生活的憧憬并制定初步规划，面试官们也很乐意了解你这方面的想法。

3、关于面试时如何表现？面试时是高调些好还是低调些好？如何掌握尺度？应该自信张扬还是谨慎谦虚？教授问我一个问题后，我应该就题论题，还是扯到我所擅长的东西上侃侃而谈？这是很多同学心里久久萦绕的疑问，还常常因为觉得问题太直白或功利而不好意思发问。

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率

专题之5、概率一、选择题。

1、(2009年华中科技大学)从0,1,2,…,9这十个数码中不放回地随机取n(2≤n≤10)个数码,能排成n位偶数的概率记为Pn,则数列{Pn}A.既是等差数列又是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.是等差数列但不是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列2、(2009年华中科技大学)5张票中有1张奖票,5个人按照排定的顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票,且后抽的人不知道先抽的人抽出的结果,则第3个人抽到奖票的概率是A. B. C. D.3、(2009年复旦大学)某种细胞如果不能分裂则死亡,并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为,现有两个这样的细胞,则两次分裂后还有细胞存活的概率是A. B. C. D.4、(2012年复旦大学)随机任取一个正整数,则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是A. B. C. D.二、填空题。

5、(2009年南京大学)有一个1,2,…,9的排列,现将其重新排列,则1和2不在原来位置的概率是.三、解答题。

6、(2010年中南财经政法大学)某市在36位“政协委员”候选人中任选2名,其中来自教育界的候选人共有6人,求:(1)至少有1名来自教育界的人当选的概率是多少?(2)候选人中任何人都有当选的可能性,若选得同性别委员的概率等于,则男女候选人相差几名?(注:男候选人多于女候选人)7、(2011年同济大学等九校联考)一袋中有a个白球和b个黑球,从中任取一个球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在进行n次这样的操作后,记袋中白球的个数为Xn.(1)求E;(2)设P(=a+k)=,求P(=a+k),k=0,1,…,b;(3)证明:EX n+1=(1)EX n+1.8、(2009年清华大学)12名职工(其中3名为男性)被平均分配到3个部门.(1)试求3名男员工分配到不同部门的概率;(2)试求3名男员工分配到相同部门的概率;(3)试求1名男员工指定到某一部门,另两名不在同部门的概率.9、(2009年清华大学)M为三位的自然数,求:(1)M含因子5的概率;(2)M中恰有两位数码相同的概率.10、(2010年清华大学)12个人玩一个游戏,游戏开始后每个人被随机地戴上红、黄、蓝、绿四种颜色之一的帽子,每个人都可以看到其余11个人帽子的颜色,游戏开始后12个人不能再交流,并被要求猜出自己帽子的颜色,请为这12个人在游戏前商定一个方案,使得他们同时猜对自己帽子的颜色的概率尽可能大.11、(2010年清华大学等五校联考)假定亲本总体中三种基因型式:AA,Aa,aa的比例为u∶2v∶w(u>0,v>0,w>0,u+2v+w=1)且数量充分多,参与交配的亲本是该总体中随机的两个.(1)求子一代的三种基因型式的比例;(2)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗?并说明理由.12、(2011年清华大学等七校联考)将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,以表示未出现连续三次正面的概率.(1)求、、和;(2)探究数列{}的递推公式,并给出证明(3)讨论数列{}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义.13、(2012年清华大学等七校联考)系统内有2k−1(k∈N*)个元件,每个元件正常工作的概率为p(0<p<1),各个元件独立工作.若系统有超过一半的元件正常工作,则系统正常工作,系统正常工作的概率称为系统的可靠性.(1)求该系统正常工作的概率;(2)试讨论的单调性,并讨论增加两个元件后,能否提高系统的可靠性.因此两次分裂后还有细胞存活的概率为1−P(E)=.4.D【解析】首先,一个正整数的3次方的个位数是1,则这个正整数的个位数也必须是1.其次可试得1~100中只有71符合要求,而且末两位是71的均符合要求.故选D.5..【解析】2+=57×或+7×7×,∴P=.6.(1) . (2) 6【解析】(1)任意选取2人的选法为,其中2人都不是来自教育界的选法为,因此所求概率为p==.(2)设男候选人为x(x>18)人,则女候选人为36−x人,选出两人都是男性的概率为p 1=,选出两人都是女性的概率为=,+=,∴x2−36x+35×9=0,∴x=21(x>18),p2∴男女相差6人.=a+k)=p k·+p k−1·(k≥1).7.(1) . (2) P(X(3)第n次白球个数的数学期望为EX n,由于白球和黑球的总个数为a+b,则将第n+1次白球个数的数学期望分为两类:第n+1次取出来的是白球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数为EX n;第n+1次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是EX n+1,数的数学期望分为两类:第n+1次取出来的是白球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数为EX n ;第n+1次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是EX n +1, 故EX n+1=EX n +·(EX n +1)=+(1)(EX n +1)=+EX n+1=(1)EX n +1. 8.(1(2)(3)【解析】(1)P 1==;(2)P 2==;(3)P3==.9.(1) (2).【解析】(1)当个位数字为0时,有9×10=90个符合题意的三位数;当个位数字为5时,有9×10=90个符合题意的三位数,故M含因子5的概率为=.(2)当M中含有数字0,且0是重复数码时,有9个符合题意的三位数;当M中含有数字0,且0不是重复数码时,有9×=18个符合题意的三位数;当M中不含数字0时,有9×8×3=216个符合题意的三位数,故M中恰有两位数码相同的概率为=.10.12个人同时猜对的概率一定不大于单独一个人猜对的概率,即.【解析】首先将问题数学化,将红、黄、蓝、绿四种颜色分别用数字0、1、2、3代表.策略是每个人将其余11人的帽子的颜色所对应的数字求和,记为S,S除以4的余数设为d,(4−d)对应的颜色即为他所猜的颜色.例如,若12个人都戴黄帽子,每个人看到其余11个人的帽子颜色对应数字和均为11,11除以4余3,4−3=1对应黄色,全都猜对.这样的策略使得同时猜对头上帽子颜色的概率为.当且仅当12个人的帽子颜色所对应数字之和为4的倍数时,12个人能够同时猜对.不然,12个人会同时猜错.这12个人或者同时猜对,或者同时猜错,同时猜对的概率与一个人随机猜测正确的概率相等,为.而多个人猜测时,由于不能由他人的帽子颜色推断出有关自己帽子颜色的信息,因此12个人同时猜对的概率一定不大于单独一个人猜对的概率,即.因此上述方案是最优的.11.(1)AA,Aa,aa的比例为p2∶2pq∶q2.(2) 相同可知子二代的基因型式AA,Aa,aa的比例为α2∶2αβ∶β2,其中α=p2+pq,β=pq+q2.由p+q=1,可得α=p,β=q.故子二代的三种基因型式AA,Aa,aa的比例为p2∶2pq∶q2,与子一代的三种基因型式的比例相同.【解析】(1)参与交配的两个亲本(一个称为父本,一个称为母本)的基因型式的情况,及相应情p 1=u2×1+2uv×+2uv×+4v2×=(u+v)2.由对称性知子一代的基因型式为aa的概率为p3=(v+w)2.子一代的基因型式为Aa的概率为p 2=2uv×+uw×1+2uv×+4v2×+2vw×+uw×1+2vw×=2(uv+uw+v2+vw)=2(u+v)(v+w).若记p=u+v,q=v+w,则p>0,q>0,p+q=1,子一代的三种基因型式AA,Aa,aa的比例为p2∶2pq∶q2.(2)由(1)可知子二代的基因型式AA,Aa,aa的比例为α2∶2αβ∶β2,其中①×②,有p=p n−1p n−4(n≥5).(3)n≥4时,{p n}单调递减.又p1=p2>p3>p4,∴n≥2时,数列{p n}单调递减,且有下界0.∴p的极限存在记为a,对p n=p n−1p n−4两边同时取极限可得a=a a,a=0,故p n=0.其概率意义:当投掷的次数足够多时,不出现连续三次正面的概率非常小.【解析】(1)显然p 1=p2=1,p3=1=;又投掷四次出现连续三次正面的情况只有:正正正正或正正正反或反正正正,故p 4=1=.(2)共分三种情况:1)如果第n次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n−1次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是×p n−1;2)如果第n次出现正面,第n−1次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n−2次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是×p n−2;增加两个元件时,系统可靠性降低;当p>时,P k+1>P k,函数P k单调递增,增加两个元件时,系统可靠性提高.【解析】(1)当系统有2k−1(k∈N*)个元件时,恰有k个元件正常工作的概率为·p k(1−p)k−1,恰有k+1个元件正常工作的概率为·p k+1(1−p)k−2,…,恰有2k−1个元件正常工作的概率为·p2k−1(1−p)0,P k=·p k(1−p)k−1+·p k+1(1−p)k−2+…+·p2k−1(1−p)0。

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题

专题之4、创新与综合题一、选择题。

1．(2011年复旦大学)设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和,则这样的n的个数是A.1B.2C.3D.42．(2011年同济大学等九校联考)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射,用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ,用σk表示连续做k 次σ的变换,则στσ2τσ3τσ4是A.σ4B.σ5C.σ2τD.τσ2二、解答题。

3．(2009年南京大学)求所有满足tan A+tan B+ta n C≤[tan A]+[tan B]+[tan C]的非直角三角形.4．(2010年浙江大学)如图,一条公路两边有六个村庄,要建一个车站,要求到六个村庄的距离之和最小,应该建在哪里最合适?如果再在边上增加一个村庄呢?5．(2009年清华大学)A、B两人玩一个游戏,A选择n枚硬币,B根据自己的策略将这些硬币全部摆放在位点上,之后A选取一个至少有2枚硬币的位点,取走一枚硬币,再将另一枚硬币移动到相邻位点,A若在有限步内根据规则在指定点P处放上一个硬币则获胜.问在一条有5个位点的线段和7个位点的圆环上,A分别至少选择多少枚硬币时,无论点P的位置如何均可保证获胜?6．(2009年清华大学)有64匹马,每匹马的速度保持不变且各不相同,现通过比赛来完成排名,若每场比赛最多只能有8匹马参赛,问理想状态下能否在50场比赛内完成排名?7．(2009年清华大学)有100个集装箱,每个集装箱装有两件货物.在取出来的过程中货物的顺序被打乱了,现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中.集装箱的体积都是1,且每个集装箱最多放两件货物,若装了一件货物后装不下第二件货物,那么就将这个集装箱密封,把第二件货物装到下一个集装箱中.问在最坏情况下需要多少个集装箱?8．(2009年清华大学)请写出一个整系数多项式f(x),使得+是其一根.9．(2010年清华大学)将长为n的棒锯开,要求锯成的每段长都是整数,且任意时刻,锯成的所有棒中最长的一根严格小于最短的一根的2倍,如6只能锯一次,6=3+3,而7能锯2次,7=4+3,4又能锯为2+2,问长为30的棒最多能锯成几段?若a,b,c中没有1,则a≥2,b≥2,c≥2,a+b+c=abc化为++=1,而1=++≤++=,显然不成立.∴三角形三内角的正切值分别为1,2,3.即满足三内角的正切值分别为1,2,3的三角形,即为所求.【解析】无4.1.首先设六个村庄到达公路的距离之和为S0,车站P到六个村庄的距离之和为S,下面我们根据车站所建的位置来讨论它到六个村庄的距离之和.(1)建在A、B之间(包括端点A),则S=AP+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+4PB.(2)建在B、C之间(包括两端点B、C),则S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0.(3)建在C、D之间(包括端点D),则S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+2PC.(4)建在D、E之间(包括端点E),则S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+2PC+2PD.(5)建在A的左侧或E的右侧,则S均比情况(2)中的大.综合以上各种情况,我们可以发现:当车站建在B、C之间(包括端点B、C)时最合适.币.于是由结论①可知A可获胜.③对于4个位点线段的情况,A只要选择8枚硬币,不妨设点P为P1,P2,P3三点中的一点,并设点P 4处有硬币S枚,则点P4处的硬币尽可能移到点P3处后,点P1,P2与P3处共有:8−S+[]≥4②左半环内有7枚硬币.a.若这7枚硬币全在点P7处,则看右半环内的4枚硬币,若点P1处有2枚,则将其移动到点P7处后,点P7处就有8枚硬币,就能保证通过左半环的通路移动硬币,最终让点P处有硬币;若点P1处仅有1枚或没有硬币,则可将点P7处的硬币移动3枚到点P1处,再将点P1处的硬币移动到点P2处后,点P2与点P3处的硬币就不少于4枚.这样,通过右半环的通路,最终可将至少1枚硬币移动到点P4处.b.若这7枚硬币不全在点P7处,则将点P7处的硬币移到点P6处后,在点P5与点P6两处的硬币就不少于4枚.于是通过左半环的通路,最终也可保证有硬币移动到点P4处.③左半环有6枚硬币,则右半环就有5枚硬币.a.左半环内的6枚硬币全在点P7处,将它们移动到点P1处后,右半环内就有了8枚硬币,则通过右半环的通路,可最终保证至少移动1枚硬币到点P4处.b.左半环内的6枚硬币,点P7处有5枚,则再看点P1处,若点P1处的硬币数不足2枚,则在点P2与点P3处就有4枚硬币,则从右半环的通路,就能移动硬币到点P4;若点P1处的硬币数有2枚或2枚以上,则至少可从点P1处移动1枚硬币到点P7处.这样,点P7处就有6枚硬币,于是可移3枚到点P6处.这样点P5与点P6处就有4枚硬币,通过左半环可移动硬币到点P4处.c.左半环内的6枚硬币,点P7处有4枚或不足4枚,则在点P6与点P5处就有2枚或2枚以上,则将点P7处的硬币移动到点P6处以后,在点P6与点P5处的硬币数就不少于4枚,于是通过左半环可移动硬币到点P4处.④若左半环内的硬币数不足6枚,则右半环内的硬币就在6枚或6枚以上,则对右半环内硬币的分布情况进行相同的讨论,亦可发现必可将硬币移动到点P4处.各自的前4名,共8匹马进行一场比赛.这8匹马中的前4名,就是A组与B组32匹马中的前4名;接下来,又在A组与B组中分别扣除32匹马中的前4名后,再分别按照A组与B组中的排名,再各取4匹马,这8匹马进行一场比赛,它们中的前4名,就是A组与B组32匹马中的第5名到第8名;重复上述过程,又可分别确定第9名到第12名;……;最后留下的8匹马,只需进行一场比赛,就能确定第25名到第32名的排名.这样进行了7场比赛,就将A组与B组中的32匹马进行了排名.同理进行7场比赛,又可将C组与D组中的32匹马进行排名.这样第三步共进行14场比赛.第四步:要来完成AB组的32匹马与CD组的32匹马(它们各自内部的排名已经完成)共计64匹马的排名.采用第三步中的方法,每次分别选择AB组与CD组中留下的前4名进行一场比赛,都能确定其中4匹马在总体中的排名,这样14场比赛后,就确定了前56匹马的排名,最后留下的8匹马,只需进行一场比赛,就确定了第57名到第64名的排名.因此,只需15场比赛就能完成这两大组64匹马的排名.综观以上四个步骤,一共进行:8+12+14+15=49(场).所以,可以在50场比赛内完成排名.【解析】无7.由题意知共有200件货物.设a1≤a2≤…≤a99≤a100,b1≥b2≥…≥b99≥b100,令a i+b i=1,a i≥b i,则将它们按如下顺序排列:a1,a2,b1,a3,b2,a4,b3,…,a99,b98,a100,b99,b100,则a 1+a2>1,a2+b1>1,b1+a3>1,…,a100+b99>1,+<1,a1到a100,b1到b98各在一个箱中,b99,b100在一个箱子中,则在最坏情况下需要199个箱子.换个角度考虑,无论200件货物如何排列,体积最小的货物总能与它前面的或后面的货物合装进一个集装箱的,故有199个集装箱就一定能将200件货物全部装下.【解析】无8.设x=+,则(x)3=3,即x3−3x2·+3x·2−2=3,∴x3+6x−3=(3x2+2)·,∴(x3+6x−3)2=2·(3x2+2)2,整理得:x6−6x4−6x3+12x2−36x+1=0,则f(x)=x6−6x4−6x3+12x2−36x+1即为所求的一个整系数多项式.【解析】无9.首先,由题意可知:当我们锯了若干次之后,产生若干根棒,它们中有长度相等与仅差一个单位的棒(例如:7,8,9;6,6,7;5,5,6,6等),这些棒除了2k−2,2k−1,2k与2k−1,2k−1,2k这两种情况,其他无论锯开哪一根,均不能符合最长的一根严格小于最短一根的2倍,有了这样的认识,我们就可以用枚举法来解本题了.(1)30=11+19=11+7+12=11+7+6+6=5+6+7+6+6,。

自招上海自主招生数学试题

B． 30 A 45
C． 45 A 60
D． 60 A 90
3
8. 观察右图，根据规律，从 0
3→4
7→8
11 → …
↓
↑
↓
↑
↓
↑
…
2002 到 2004，箭头方向 1 → 2
2
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案
（本试卷满分 100 分，90 分钟完成）
一、单项选择题：（本大题满分 30 分）本大题共有 10 个小题，每小题给出了代号为 A 、B 、
C 、 D 四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请把正确答案的代号写在题后的
圆括号内．每小题选对得 3 分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在
2011-2015 年上海初中自主招生数学
试题及答案
1
目录
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