题型2
专题04 一元二次方程的应用(八大类型)(题型专练)(原卷版)
专题04 一元二次方程的应用（八大类型）【题型1 一元二次方程应用-变化率】【题型2 一元二次方程应用-传染问题】【题型3 一元二次方程应用-分支问题】【题型4 一元二次方程应用-比赛问题及迁移运用】【题型5 一元二次方程应用-销售问题】【题型6 一元二次方程应用-每每问题】【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】【题型8 一元二次方程应用-几何动态问题】【题型1 一元二次方程应用-变化率】1．（2023春•鄞州区期中）某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x，则x满足的方程是（）A．64（1﹣2x）＝100B．100（1﹣x）2＝64C．64（1﹣x）2＝100D．100（1﹣2x）＝64 2．（2023•东莞市校级一模）某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．25（1+x）2＝64B．25（1+x2）＝64C．64（1﹣x）2＝25D．64（1﹣x2）＝253.（2021·松北期末）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196 4．（2023•沭阳县模拟）某商品原价每件75元，两次降价后每件48元，则平均每次的降价百分率是．5.（2022秋•确山县期中）2022年是中国共产党建党101周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年8月份该基地接待参观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计11月份的参观人数能否突破13.5万人？6.（2022春•沂源县校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率．（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？【题型2 一元二次方程应用-分支问题】7．（2022秋•青川县期末）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7 8．（2022秋•澄海区期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？【题型3 一元二次方程应用-传染问题】9．（2022春•南谯区校级期中）新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（）A．12人B．13人C．14人D．15人10．（2023•兴庆区校级一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，可到方程为（）A．1+2x＝81B．1+x2＝81C．1+x+x2＝81D．（1+x）2＝81 11．（2022秋•沈丘县月考）若有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感（这2个人在第二轮传染中仍有传染性），则每轮传染中平均一个人传染人．12．（2023•城关区一模）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人．13.（2022秋•天河区校级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？14．（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？【题型4 一元二次方程应用-比赛问题及迁移运用】15．（2023•东莞市二模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．7B．8C．9D．1016.（2021秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（）A．10B．11C．12D．1317.（2022•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（）个班级．A．8B．9C．10D．11 18．（2023•惠东县一模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有参赛队伍（）A．8支B．9支C．10支D．11支19．（2022秋•于洪区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（）A．8B．10C．12D．14 20．（2022秋•南平期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有（）名同学．A．12B．13C．14D．1521．（2022秋•和平区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了10次手，则这次会议到会的人数是人．22．（2022秋•荔湾区校级期末）卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，则该小组有支球队．23．（2023春•安徽月考）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为人．24．（2022秋•蔚县校级期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有人．25．（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？【题型5 一元二次方程应用-销售问题】26．（2023春•盐都区月考）某商店分别花20000元和30000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多500千克．（1）该商品的进价是多少？（2）已知该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为：y＝﹣10x+500，若想销售该商品每天获利2000元，该商店需将商品的售价定为多少？27．（2023•中山市一模）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？28．（2022秋•九龙坡区期末）某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元．（1）该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；（2）在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了a%，进货量比九月底增加3a%，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求a%的值．29．（2022秋•平遥县期末）某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价；（1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率；（2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？30．（2023•桂林一模）小王计划经营某种时尚产品的专卖店，已知该产品的进货价为70元/件，售价不能低于80元/件，专卖店每月有800元的固定成本开支，根据市场调研，产品的销售量y（件）随着产品的售价x（元/件）的变化而变化，销售量y与售价x之间的部分对应关系如表：80828486…售价x（元/件）500490480470…销售量y（件）（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（2）小王预计每月盈利8200元，为尽可能让利于顾客，则该产品的售价每件应定为多少元？31．（2022秋•通川区期末）为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；（2）2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过115.2万元，并且采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，请求出所需经费最少的采购方案．32．（2023•抚州一模）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：40455560销售单价x（元/千克）80705040销售量y（千克）（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？33．（2022春•莱芜区期末）某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少元？【题型6 一元二次方程应用-每每问题】34．（2023春•沙坪坝区校级月考）将进货价格为38元的商品按单价45元售出时，能卖出300个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为2300元，则下列关系式正确的是（）A．（x﹣38）（300﹣5x）＝2300B．（x+7）（300+5x）＝2300C．（x﹣7）（300﹣5x）＝2300D．（x+7）（300﹣5x）＝230035.（2021秋•纳溪区期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件，当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售价格为x元/件（x＞40），请你分别用含x 的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元．（2）在第（1）间的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具的销售价格应定为多少元/件．36.（2022秋•东明县期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？37．（2022秋•龙岗区期末）“双十一”期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价）A款保温杯B款保温杯进货价（元/个）3528销售价（元/个）5040（1）若该网店用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数．（2）“双十一”后，该网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将B款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元？38．（2023春•长沙期中）春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价）（1）水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；（2）第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B 种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？39．（2023春•北仑区期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】40．（2023春•温州期中）如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（）A．32×20﹣32x﹣20x＝100B．32x+20x﹣x2＝100C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100D．（32﹣x）（20﹣x）＝100 41．（2022春•凭祥市期中）如图，在长为30m，宽为15m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，要使草坪的面积为406m2，则小路的宽度应为多少（）A．1B．1.5C．2D．442.（2023•两江新区一模）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（）A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750 43．（2023春•涡阳县期中）如图，长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，现在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖的长方体盒子，则x的值为（）A．2B．7C．2或7D．3或6 44．（2023春•永嘉县校级期中）如图，在高3m，宽4m的长方形墙面上有一块长方形装饰板（图中阴影部分），装饰板的上面和左右两边都留有宽度为x （m）的空白墙面．若长方形装饰板的面积为4m2，则以下方程正确的是（）A．（3﹣x）（4﹣x）＝4B．（3﹣x）（4﹣2x）＝4C．（3﹣2x）（4﹣x）＝4D．（3﹣2x）（4﹣2x）＝4 45．（2023•碑林区校级模拟）如图，把一块长AB为40cm的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为5cm的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖长方体纸盒．若纸盒的体积是1500cm3，则长方形硬纸板的宽为多少？46．（2022秋•城固县期末）如图，现有一块长11cm，宽7cm的长方形硬纸板，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分（图中阴影部分）做成一个底面积为21cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．47．（2023•政和县模拟）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为米（用含x的代数式表示）；（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．48．（2022秋•从化区期末）某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙AB长度不限），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场CD边的长为xm，矩形面积为ym2．（1）矩形面积y＝（用含x的代数式表示）；（2）当矩形动物场面积为48m2时，求CD边的长．（3）能否围成面积为60m2矩形动物场？说明理由．【题型8 一元二次方程应用-几何动态问题】49．（2022秋•舞钢市期中）如图，矩形ABCD中，AB＝21cm，BC＝8cm，动点E从A出发，以3cm/s的速度沿AB向B运动，动点F从C出发，以2cm/s 的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．3s B．s C．3s或s D．2.5s50.（2022•晋中期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（）A．3s B．3s或5s C．4s D．5s51.（2022•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为ts，请解决下列问题：若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？52．（2022秋•江门期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．53．（2021秋•城关区月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C 时，P，Q两点同时停止运动．求：（1）几秒后，PQ的长度等于2cm？（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．54．（2023春•蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P 从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B 开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代数式表示）；（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．。
【02】题型-概念题目
D
在匀速圆周运动中， 在匀速圆周运动中，下列物理量中肯定不变 的是: 的是 Ａ．角速度 Ａ．角速度 Ｂ．线速度 Ｂ．线速度 Ｃ．向心加速度 Ｃ．向心加速度 Ｄ．合力 Ｄ．合力
A
关于匀速圆周运动的向心加速度， 关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法 正确的是： 正确的是： A．大小不变，方向变化 ．大小不变， B．大小变化，方向不变 ．大小变化， C．大小、方向都变化 ．大小、 D．大小、方向都不变 ．大小、
A
一个质点绕圆心O做匀速圆周运动， 一个质点绕圆心 做匀速圆周运动，已知该 做匀速圆周运动 质点的线速度为v，角速度为ω，半径为r， 质点的线速度为 ，角速度为 ，半径为 ， 则下列关于它运动的向心加速度表示式错误 的是
D
关于向心加速度的物理意义， 关于向心加速度的物理意义，下列说法中正 确的是（ 确的是（ ） A．描述线速度的大小变化的快慢 ． B．描述线速度的方向变化的快慢 ． C．描述角速度变化的快慢 ． D．描述向心力变化的快慢 ．
第二章 圆周运动 题型例析 02题型---概念题目 题型--：广东省惠州市实验中学 教师： 教师：乔永海
关于物体做匀速圆周运动的正确说法是 A．速度大小和方向都改变 ． B．速度的大小和方向都不变 ． C．速度的大小改变，方向不变 ．速度的大小改变， D．速度的大小不变，方向改变 ．速度的大小不变，
B
高考数学复习考点知识与题型专题讲解2---命题及其关系、充分条件与必要条件
高考数学复习考点知识与题型专题讲解命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．答案a∈(－∞，1)解析依题意得a－1<0，∴a<1.题型一命题及其关系例1(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析 ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，不正确，例如取x ＝－2.②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题． ④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．教师备选(2022·合肥模拟)设x ，y ∈R ，命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是()A ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1或y 2≤1B．若x2＋y2>2，则x2≤1或y2≤1C．若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1D．若x2＋y2>2，则x2≤1且y2≤1答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x2＋y2>2，则x2>1或y2>1”的否命题是“若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1”．思维升华判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·安顺模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是() A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数答案D解析命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数”．(2)命题p：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆否命题为真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，1)解析依题意，命题p 的逆否命题为真命题，则命题p 为真命题，即“若m ≤a －2，则m <－1”为真命题，则a －2<－1，解得a <1.题型二 充分、必要条件的判定例2(1)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)， 由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1<0，q>1时，a n＝a1q n－1<0，此时数列{S n}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n}单调递增时，有S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n>0，若a1>0，则q n>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则q n<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a ·b ＝0，则(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2，所以“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的充分条件；反之，由(a ＋b )2＝a 2＋b 2得a ·b ＝0，所以非零向量a ，b 垂直，“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的必要条件．故“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的充要条件．题型三 充分、必要条件的应用例3已知集合A ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求m 的取值范围．解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴A ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈A 是x ∈B 的必要条件，知B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，故m 的取值范围是[9，＋∞)． 教师备选(2022·泰安检测)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)答案A解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1.思维升华 求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)使2x ≥1成立的一个充分不必要条件是()A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案B解析由2x ≥1得0<x ≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取到，解得1≤a≤2.课时精练1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是() A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y 不全为0，则x2＋y2≠0”．3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．5．(2022·太原模拟)下列四个命题：①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．其中是真命题的为()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是()A．a>2B．a≥2 C．a<2D．a≤2 答案D解析因为x>0，所以x＋4x＋2＝x＋2＋4x＋2－2≥2(x＋2)×4x＋2－2＝2，当且仅当x ＋2＝4x ＋2，即x ＝0时等号成立，因为x >0，所以x ＋4x ＋2>2， 所以“∀x >0，a ≤x ＋4x ＋2”的充要条件是a ≤2. 7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题是真命题，则m 的取值范围是()A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]答案D解析命题的逆命题“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥2，m －1≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m ≤2，得1≤m ≤2， 即实数m 的取值范围是[1,2]．8．(2022·厦门模拟)已知命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．m >12B ．m ≥12C ．m >1D ．m ≥1答案D解析∵命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，即2<x <3，p 是q 的必要不充分条件，∴(2,3)(－∞，2m ＋1)，∴2m ＋1≥3，解得m ≥1.实数m 的取值范围为m ≥1.9．(2022·延边模拟)若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是________．答案a <98且a ≠0 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－3)2－8a >0，a ≠0， 解得a <98且a ≠0. 10．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案x <－1(答案不唯一)解析由于4x ＝22x ，故2x >22x 等价于x >2x ，解得x <0，使得“2x >4x ”成立的一个充分条件只需为集合{x |x <0}的子集即可．11．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)有公共点的充要条件是________．答案a ∈[1，＋∞)解析直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．给出下列四个命题：①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题是“若数列{a n}不是等比数列，则a22≠a1a3”，取a n＝0，可知②是假命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a·b>0”为真命题；④直线l与平面α内的两条直线垂直是直线l与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．13．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p 和q 中有且只有一个为真命题，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <1或a ≥2B ．0<a <1或a >2C ．1<a ≤2D ．1≤a ≤2答案C解析若p 和q 中有且只有一个为真命题，则有p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2－a <1<a ≤2，a >0，解得1<a ≤2；当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤－2－a <2<a ，a >0，无解， 综上，1<a ≤2.14．若“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案m ≥5解析依题意有x 2－4x ＋3<0⇒1<x <3，x 2－mx ＋4<0⇒mx >x 2＋4，∵1<x <3，∴m >x ＋4x ，设f (x )＝x ＋4x (1<x <3)，则函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，∴f (1)＝5，f (2)＝4，f (3)＝133，因此函数f (x )＝x ＋4x (1<x <3)的值域为[4,5)，∵“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，∴m ≥5.15．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4答案A解析若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，255 解析画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255.。
高考数学热点必会题型第2讲 单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题(原卷及答案)
高考数学热点必会题型第2讲单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式 【题型】三、构造奇偶函数求函数值【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题 【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题 【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题 【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题 【题型】八、定义法判断证明函数的单调性 【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性 【题型】十、利用函数的周期性求函数值 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值例1．（2022·江西·高三阶段练习（理））设函数()(0)a xf x a a x-=≠+，若()(1)1g x f x =-+是奇函数，则(2022)f =（ ） A ．20222021-B ．20212023-C ．20222021D ．20212023例2．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知2e ()e x xaf x +=满足()()0f x f x ，且()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，则a b +=___________.例3．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()()()3log 91xf x ax a =++∈R 为偶函数．(1)求a 的值；(2)当[)0,x ∈+∞时，不等式()0f x b -≥恒成立，求实数b 的取值范围． 【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式4．（2022·广东·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[)0+∞,上是增函数，且()20f =，则不等式(3)0x f >的解集为（ ） A ．()()33,log 2log 2,-∞-⋃+∞ B ．3(log 2,)+∞ C ．3(,log 2)-∞-D ．33(log 2,log 2)-例5．（2022·浙江·高三开学考试）已知()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦恒成立，则（ ） A ．()y f x =在(),0∞-上单调递增 B ．()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减 C ．()()1236f f +->D ．()()1236f f -->第二天学习及训练【题型】三、构造奇偶函数求函数值例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1()ln(4f x x x=++在[8-，8]上的最大值和最小值分别为M 、m ，则M m +=（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2例7．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（理））已知函数()3e e 3x xf x x -=-++ ，若()5f a =，则()f a -=（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－5例8．（2022·甘肃·陇西县第二中学高三阶段练习（文））已知函数()()()22sin 11f x x x x x =--++，则()222log 6log 3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．6B ．4C ．2D ．3-【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题例9．（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()1y f x =+是偶函数，()()2f x f x -=--，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列说法不正确的是（ ） A ．()20221f =-B ．当[]9,11x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1C ．()3y f x =+为奇函数D ．方程()()lg 1f x x =+仅有5个不同实数解例10．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x -是偶函数，()2f x +是奇函数，则()2022f =（ ） A ．()1fB ．()2fC ．()3fD ．()4f例11．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 存在导函数()f x '，且满足()()()(),4f x f x f x f x -=-=-，则曲线()y f x =在点()()2022,2022f 处的切线方程可以是___________（写出一个即可）第三天学习及训练【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题例12．（2023·甘肃·模拟预测（理））设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例13．（2023·全国·模拟预测）若()()R,11x f x f x ∀∈+=-，当1x ≥时，2()4f x x x =-，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在()1,+∞上单调递增C ．()min 4f x =-D ．函数()f x 在(,1)-∞上单调递减例14．（2022·全国·高三专题练习）设ππ,,44x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若333πcos()2024sin cos 0x x a y y y a ⎧++-=⎪⎨⎪++=⎩，则cos(2)x y +＝______．【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题例15．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()()()3221,2f x f x f x f x -=-+-=，若()12f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（ ） A ．2023B ．2024C ．3033D ．3034例16．（2023·全国·高三专题练习）设函数()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+，则满足()()326f x f x +-<的x 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()1,+∞C ．(),3-∞D ．(),1-∞例17．（2022·福建·宁德市高级中学高三阶段练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()3221f x f x -=-，()()2f x f x -+=，若()12f =，则()()()()1232023f f f f ++++=______.第四天学习及训练【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题例18．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设*n ∈N ，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()22110f x f x -++=，()f x 在[]0,1单调递增，()11f =，则（ ）A ．()11f -=B ．()40nf =C ．()211f n -=D ．()211nf -=例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-【题型】八、定义法判断证明函数的单调性例20．（2023·全国·高三专题练习）设函数()ln(2f x x x =+且233()1)23a a f a --<--，则a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．)C ．)+∞D ．(()3,∞⋃+例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e e 2x xf x --=，则（）A ．()()22f x y f x =为偶函数 B ．()()2y f x f x =-是增函数 C ．()()sin 1y f x =-不是周期函数 D ．()()1y f x f x =++的最小值为1例22．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =； ④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增． 则上述所有正确结论的编号是________第五天学习及训练【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos f x x x =⋅，x ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数C ．()f x 的图象在点(π,(π))f 处的切线方程为0x y +=D ．()f x 在区间π(,π)2上是减函数例25．（2023·全国·高三专题练习）判断函数()f x x =+.【题型】十、利用函数的周期性求函数值例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[)1,0x ∈-时，()f x x =，则()2021f =（ ）A ．2021B ．1C ．1-D ．0例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(2)()f x f x -=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=（ ）A ．2B ．2022-C ．0D ．2022例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()49g x f x --=，若y g x 的图象关于直线2x =对称，()24g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．47-B ．48-C ．23-D ．24-例29．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 为偶函数，且()1f x +为奇函数，若()00f =，则（ ）A ．()30f =B ．()()35f f =C ．()()31f x f x +=-D ．()()211f x f x +++=例30．（2023·全国·高三专题练习）若函数()2,0,(1)(2),0,x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩则()2023f =________.第六天学习及训练三、题型模拟演练 一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数11()f x x=，211()()f x x f x =+，…，11()()n n f x x f x +=+，…，则函数2018()f x 是（ ） A ．奇函数但不是偶函数 B ．偶函数但不是奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，若()12f x -为奇函数，()12g x +为偶函数，则（ ） A ．()()f x g x +的图象关于直线1x =对称 B ．()()f x g x +的图象关于直线1x =对称 C ．()()f x g x -的图象关于点()1,0对称 D ．()()f x g x -的图象关于点()1,0对称3．（2022·海南昌茂花园学校高三阶段练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是单调递增的，设()2log 4a f =，()1b f =-，23c f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a <<B ．c b a >>C ．b<c<aD ．c a b >>4．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()f x f x +=-，且当(2,0)x ∈-时，2()(3)f x x x =-，则(103)f 等于（ ） A ．2B ．12-C ．2-D ．45．（2022·陕西咸阳中学高三阶段练习（理））设奇函数 ()f x 在()0∞+，上单调递增，且(4)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是（ ）A ．{04}x x <<∣B ．{4xx <-∣或4}x > C ．{4}xx >∣ D ．{40xx -<<∣或04}x <<6．（2023·甘肃·模拟预测（理））设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三期中）设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上是减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解二、多选题8．（2022·河北沧州·高三阶段练习）函数()()1||x f x x αα=∈-R 的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．三、填空题9．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()40f x f x +-=，写出()f x 的一个正周期：______．四、解答题10．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（文））已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()=log (+1)f x x - .(1)求()0f ，()1f ；(2)若()11f a -<- ，求实数a 的取值范围.11．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数()221x x a f x +=+是奇函数．(1)求a 的值；(2)已知()()2212f m f m -<-，求m 的取值范围．高考数学热点必会题型第2讲单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式 【题型】三、构造奇偶函数求函数值【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题 【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题 【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题 【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题 【题型】八、定义法判断证明函数的单调性 【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性 【题型】十、利用函数的周期性求函数值 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值例1．（2022·江西·高三阶段练习（理））设函数()(0)a xf x a a x-=≠+，若()(1)1g x f x =-+是奇函数，则(2022)f =（ ） A ．20222021-B ．20212023-C ．20222021D ．20212023【答案】B【分析】利用函数()g x 的奇偶性求出a ，得到函数()f x 的解析式，根据解析式求函数值即可.【详解】由已知可得12()(1)1111a x a g x f x a x x a -+=-+=+=+-+-，则2()1ag x x a -=-+-．因为()g x 是奇函数，所以22()()011a ag x g x x a x a +-=+=+--+-，因为0a ≠，解得1a =，所以1()1x f x x -=+，所以2021(2022)2023f =-. 故选：B ．例2．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知2e ()e x xaf x +=满足()()0f x f x ，且()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，则a b +=___________. 【答案】1- 【分析】根据()()0f x f x ，可得函数()f x 是R 上的奇函数，从而可求得a ，再根据导数的几何意义可得()2f b '=，从而可求得b ，即可得出答案. 【详解】解：函数2e ()e x xaf x +=的定义域为R ，因为()()0f x f x ，所以函数()f x 是R 上的奇函数， 所以()010f a =+=，解得1a =-， 所以2e 1()ex x f x -=，则()22e 11e ()e e x xx xf x f x -----===-， 所以2e 1()ex x f x -=，则()222212e e 1()e e e e ex x xx x xxf x '==⋅--⋅+，因为()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =， 所以2e 1()2eb b f b '+==，解得0b =，所以1a b +=-. 故答案为：1-.例3．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()()()3log 91xf x ax a =++∈R 为偶函数．(1)求a 的值；(2)当[)0,x ∈+∞时，不等式()0f x b -≥恒成立，求实数b 的取值范围． 【答案】(1)1- (2)(]3,log 2-∞【分析】（1）利用函数奇偶性的定义化简可得实数a 的值；（2）由基本不等式结合对数函数的单调性可求得函数()f x 在[)0,∞+上的单调性，由此可得出实数b 的取值范围.【详解】（1）解：因为函数()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即()()33log 91log 91x xax ax --++=++，所以，()()()333312log 91log 91log 91log 19x x xx ax -⎛⎫-=+-+=+-+ ⎪⎝⎭()()333391991log 91log log log 92991x x x xxx x x +⋅+=+-===+， 1a ∴=-.（2）解：()()()()23333331log 91log 91log 3log log 333x xxxx x xf x x -+=+-=+-==+，因为0x ≥，由基本不等式可得()()(333log 33log log 2x x f x -=+≥=，当且仅当33x x -=时，即当0x =时，等号成立，故3log 2b ≤. 【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式4．（2022·广东·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[)0+∞,上是增函数，且()20f =，则不等式(3)0x f >的解集为（ ） A ．()()33,log 2log 2,-∞-⋃+∞ B ．3(log 2,)+∞ C ．3(,log 2)-∞- D ．33(log 2,log 2)-【答案】B【分析】由题意，作出函数()f x 简图，数形结合列指数不等式，并求解. 【详解】()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[)0+∞,上是增函数，且()20f =，作出函数()f x 的简图，如图所示，则(3)0x f >时，332log 2xx >⇒>，或32x x <-⇒∈∅，所以可得不等式(3)0x f >的解集为3(log 2,)+∞. 故选：B例5．（2022·浙江·高三开学考试）已知()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦恒成立，则（ ） A ．()y f x =在(),0∞-上单调递增 B ．()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减 C ．()()1236f f +->D ．()()1236f f -->【答案】BC【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除12x x 得到()()121211f x f x x x ->-，然后根据210x x >>，即可判断()1f x 与()2f x 两者的大小，从而判断选项A ，选项B 由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定()1112f x x -与()2212f x x -的大小，从而确定函数的单调性，选项C 和选项D ，可利用前面得到的不等式，令12x =，23x =带入，然后借助()f x 是奇函数进行变换即可完成判断.【详解】由已知，210x x >>，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦， 所以()()2112011f x f x x x -+->，即()()121211f x f x x x ->-， 因为210x x >>，所以12110x x >>， 所以()()2211011f x f x x x ->->， 因为210x x >>，所以210x x --＜＜，因为()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，所以()()f x f x =--， 所以()()()()121212110f x f x f x f x x x -=--+->->，所以()()21f x f x ->-， 因为210x x --＜＜，所以()y f x =在(),0∞-上单调递增，故选项A 错误； 因为()()121211f x f x x x ->-，12110x x >>，所以1201122x x >>，所以()()()()()11121222112221111111122222f x f x f x f x f x x x x x x x x x -->->=+-++=-， 即()()12122112f x f x x x ->-，又因为210x x >>， 所以()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减，选项B 正确； 因为210x x >>时，()()121211f x f x x x ->-恒成立， 所以令12x =，23x =代入上式得()()311232f f ->-，即()()32361112f f --=>， 又因为()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，所以()()33f f =--， 所以()()1236f f +->，故选项C 正确，选项D 错误.故选：BC.第二天学习及训练【题型】三、构造奇偶函数求函数值例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1()ln(4f x x x=++在[8-，8]上的最大值和最小值分别为M 、m ，则M m +=（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2【答案】A【分析】设()1ln(x xg x =+，[]8,8x ∈-，证明函数()g x 为奇函数，则有()()max min 0g x g x +=，从而可得出答案.【详解】解：设()1ln(x xg x =+，[]8,8x ∈-，因为()()11ln(g x x g x x x --=--==-， 所以函数()g x 为奇函数， 所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 448f x f x g x g x ⎡⎤⎡⎤+=+++=⎣⎦⎣⎦， 所以8M m +=． 故选：A ．例7．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（理））已知函数()3e e 3x xf x x -=-++ ，若()5f a =，则()f a -=（ ） A ．2 B ．1C ．－2D ．－5【答案】B【分析】构造函数()()33e e x x g x f x x -=-=-+，利用其奇偶性求解.【详解】设()()33e e x x g x f x x -=-=-+，则()()()33e e e e x x x x g x x x g x ---=--=--+=-，所以()g x 是奇函数． 因为()()32g a f a =-=， 所以()()32g a f a -=--=-， 则f (－a )＝1． 故选：B例8．（2022·甘肃·陇西县第二中学高三阶段练习（文））已知函数()()()22sin 11f x x x x x =--++，则()222log 6log 3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．6B ．4C ．2D ．3-【答案】B【分析】构造函数()()()211g x f x x =+=-sin 2x x ++，由()()21sin h x x x x =-+为奇函数，()222log 6log 3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()()()()2222log 3log 3log 32log 32g g h h +-=++-+即可得解. 【详解】将()y f x =的图像向左平移1个单位长度， 得到()y g x =的图像，则()()()211g x f x x =+=-sin 2x x ++，令()()21sin h x x x x =-+，显然()h x 为奇函数，所以()()()22222log 6log 1log 31log 33f f f f ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭()()()()2222log 3log 3log 32log 324g g h h =+-=++-+=．故选：B ．【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题例9．（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()1y f x =+是偶函数，()()2f x f x -=--，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列说法不正确的是（ ） A ．()20221f =-B ．当[]9,11x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1C ．()3y f x =+为奇函数D ．方程()()lg 1f x x =+仅有5个不同实数解 【答案】D【分析】由已知条件可得函数的对称中心及对称轴，利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数()f x 的图象，依据图象对各个选项进行判断即可. 【详解】∵()()2f x f x -=--，∴()()()1121f f f -=--=--，∴()10f -=当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，∴函数()f x 在区间[]1,1-的图象如图：∵()1y f x =+是偶函数，∴()()11f x f x -+=+，即()()11f x f x -=+ ∴()f x 的图象关于直线1x =对称，()f x 在区间[]1,3-的图象如图：∵()()2f x f x -=--，∴将()()2f x f x -=--中的x 替换为1x +，得()()()()112f x f x -+=-+-，即()()11f x f x --=--+∴()f x 的图象关于点()1,0-对称，()f x 在区间[]5,3-的图象如图：由函数图象的对称轴直线=1x -和对称中心()1,0-进行多次对称变换，可得函数图象如图：由函数图象可知，()f x 是周期为8的周期函数，函数()f x 的对称轴为直线41x k =+（k ∈Z ），对称中心为点()41,0k -（k ∈Z ）， 另外，函数的周期性还可以通过以下方法进行证明：将()()11f x f x -=+中的x 替换为1x +，得()()()()1111f x f x -+=++， 即()()2f x f x -=+， 由已知有()()2f x f x -=--， ∴()()22f x f x +=--将()()22f x f x +=--中x 分别替换为2x +和2x，得()()()()2222f x fx ++=-+-，即()()4f x f x +=-和()()()()2222fx f x -+=---，即()()4f x f x =--⇒()()4f x f x -=-∴()()44f x f x -=+将()()44f x f x -=+中x 替换为4x +，得()()()()4444fx f x +-=++，即()()8f x f x =+，∴()f x 是周期为8的周期函数. 对于A ，()()()20222528661f f f =⨯+==-，故A 正确； 对于B ，当[]9,11x ∈时，由图象可知其值域为[]0,1，故B 正确；对于C ，由图象知，其图象的对称中心为点()41,0k -（k ∈Z ），当1k =时，点()3,0为()f x 图象的对称中心，因此将()f x 的图象向左平移3个单位长度，所得函数()3y f x =+为奇函数，故C 正确；对于D ，将函数lg y x =的图象向左平移1个单位长度，再将x 轴下方的图象翻折至x 轴上方，得到函数()lg 1y x =+的图象，易知()lg 1y x =+的图象过点()9,1如图，()lg 1y x =+的图象与()f x 的图象有6个交点，所以方程()()lg 1f x x =+有6个不同实数解，故D 错误．故选：D.例10．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x -是偶函数，()2f x +是奇函数，则()2022f =（ ） A ．()1f B ．()2fC ．()3fD ．()4f【答案】D【分析】由已知()1f x -是偶函数，可得()()11f x f x -=--， 由已知()2f x +是奇函数，可得()()22f x f x +=--+，整理解出()f x 的周期为：12T =，最后运用周期进行计算即可. 【详解】解： ()1f x -是偶函数，∴ ()()11f x f x -=--，令1t x =-，则1x t =+ ，∴()()()112f t f t f t =---=--，即()()2f t f t =--，()2f x +是奇函数，∴()()22f x f x +=--+， 令2t x =+，则2x t =-，∴()()()224f t f t f t =--++=--+，即()()4f t f t =--+，由()()2f t f t =--和()()4f t f t =--+得：()()24f t f t --=--+，令2x t =--，则2t x =--，∴()()6f x f x =-+，∴()()()66612f x f x f x +=-++=-+⎡⎤⎣⎦， ∴()()()()61212f x f x f x f x =-+=--+=+⎡⎤⎣⎦， ∴()()12f x f x =+， ∴()f x 的周期为：12T = ，2022169126=⨯- ，∴()()20226f f =-，()()2f t f t =--，令=4t ，则()()()4642f f f =---=，∴()()64f f -=，∴()()20224f f =.故选：D ．例11．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 存在导函数()f x '，且满足()()()(),4f x f x f x f x -=-=-，则曲线()y f x =在点()()2022,2022f 处的切线方程可以是___________（写出一个即可） 【答案】0y =（答案不唯一）【分析】由题意可得()f x 是偶函数且周期为4，继而可得()f x 关于直线2x =对称，根据周期可得到2022x =也是()f x 的对称轴，所以2022x =是()f x 的极值点，故()20220f '=，即可求出答案【详解】()f x 的定义域为R ，由()()f x f x -=可知，()f x 是偶函数， 由()()4f x f x -=-可知()f x 周期为4，因为()()()4f x f x f x =-=-，故()f x 关于直线2x =对称， 又因为202225054=+⨯，所以2022x =也是()f x 的对称轴， 因为()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以2022x =是()f x 的极值点， 即()20220f '=，曲线()y f x =在点()()2022,2022f 处的切线斜率为0， 故切线方程可能为0y =， 故答案为：0y =（答案不唯一）第三天学习及训练【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题例12．（2023·甘肃·模拟预测（理））设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】由奇偶性定义可知()f x 为R 上的偶函数；当0x ≥时，由单调性的性质可确定()f x 单调递增，由奇偶性可知其在(],0-∞上单调递减；利用单调性可化简所求不等式为21x x >-，平方后，解一元二次不等式可求得结果.【详解】()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-， f x 为定义在R 上的偶函数；当0x ≥时，()()21ln 11f x x x =+-+， ()ln 1y x =+在[)0,∞+上单调递增，211y x=+在[)0,∞+上单调递减， f x 在[)0,∞+上单调递增，又()f x 为偶函数，f x 在(],0-∞上单调递减，由()()21f x f x >-得：21x x >-，即()2221x x >-，()()23413110x x x x ∴-+=--<，解得：113x <<，∴不等式()()21f x f x >-的解集为1,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.例13．（2023·全国·模拟预测）若()()R,11x f x f x ∀∈+=-，当1x ≥时，2()4f x x x =-，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在()1,+∞上单调递增C ．()min 4f x =-D ．函数()f x 在(,1)-∞上单调递减 【答案】ABD【分析】由题意求出224,1()4,1x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，作出图象，即可求解【详解】由()()R,11x f x f x ∀∈+=-可知()()R,2x f x f x ∀∈=-， 可知()f x 关于直线1x =对称，当1x ≥时，()()22424f x x x x =--=-，当1x <时，21x ->，()()2222244f x x x -=---=-，所以224,1()4,1x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，作出224,1()4,1x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩的图象，所以()f x 在()0,1，()2,+∞上单调递增，在(),0∞-，()1,2上单调递减，()min 4f x =-，()f x 不是奇函数，故ABD 错误，C 正确；故选：ABD例14．（2022·全国·高三专题练习）设ππ,,44x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若333πcos()2024sin cos 0x x a y y y a ⎧++-=⎪⎨⎪++=⎩，则cos(2)x y +＝______．【答案】1【分析】设3()sin f x x x =+，把已知条件转化为 ()(2)0f x f y +=，又因为函数()f x 在R 上是单调递增的奇函数，故20x y +=，进而求出cos(2)x y +的值．【详解】解：原式可得变形为()()33sin 202sin 220x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩， 设3()sin f x x x =+，因为33()()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=- 所以()f x 为奇函数，当0x > 时，2()3cos f x x x '=+， ①当π02x <<时，cos 0x >，所以()0f x '>， ②当π2x >时，233,cos 1x x ><，所以()0f x '>， 所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数，又因为奇函数关于原点对称，所以函数()f x 在R 上是单调递增函数， 因此()(2)0f x f y +=，所以()(2)(2)2f x f y f y x y =-=-⇒=-， 则20x y +=， 所以 cos(2)x y +＝1． 故答案为：1．【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题例15．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()()()3221,2f x f x f x f x -=-+-=，若()12f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（ ） A ．2023 B ．2024C ．3033D ．3034【答案】A【分析】根据函数的性质由()()3221f x f x -=-，()()2f x f x +-=可得()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=，即可得解.【详解】因为()()2f x f x +-=，()12f =，所以(1)0f -=，(0)1f = 由()()3221f x f x -=-得()(2)f x f x -=+， 所以()(2)2f x f x ++=，(1)(3)2f x f x +++=， 即()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=，所以[(1)(0)(1)(2)][(3)(4)(2021)(2022)]45062024f f f f f f f f -++++++⋅⋅⋅++=⨯=， 所以()()()()12320222024(1)(0)2023f f f f f f +++⋅⋅⋅+=---=. 故选：A例16．（2023·全国·高三专题练习）设函数()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+，则满足()()326f x f x +-<的x 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()1,+∞C ．(),3-∞D ．(),1-∞【答案】B【分析】构造()sin e e ,R x xg x x x x -=+--∈，发现()g x 为奇函数，然后()f x 是()g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，可得()f x 的对称中心为()1,3，能得到()()62f x f x =+-，通过求导可发现()f x 在R 上单调递增，继而求解不等式【详解】解：假设()sin e e ,R x xg x x x x -=+--∈，所以()()sin e e x xg x x x --=-+-+，所以()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，而()()()11sin 1e e 13x xf x x x --=-+---+是()g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以()f x 的对称中心为()1,3，所以()()62f x f x =+-，由()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+求导得()()()11111cos 1e e 1e +cos 11e x x x x f x x x ----'=-++-=+--因为111e 2e x x --+≥=，当且仅当111ee x x --=即1x =，取等号，所以()0,f x '≥所以()f x 在R 上单调递增，因为()()()()3262f x f x f x f x +-<=+-得()()322f x f x -<- 所以322x x -<-，解得1x >， 故选：B例17．（2022·福建·宁德市高级中学高三阶段练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()3221f x f x -=-，()()2f x f x -+=，若()12f =，则()()()()1232023f f f f ++++=______. 【答案】2023【分析】根据()()3221f x f x -=-得到()()2f x f x -=+，结合()()2f x f x -+=得到()()22f x f x ++=，进而得到()()()()1234f x f x f x f x ++++++=，再用赋值法求出()21f =，()30f =，从而利用函数周期性分组求解出答案.【详解】()()3221f x f x -=-，故131332212222f x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()()2f x f x -=+， 因为()()2f x f x -+=，所以()()22f x f x ++=，()()132f x f x +++=， 两式相加得：()()()()1234f x f x f x f x ++++++=，其中()()2f x f x -+=中，令=0x 得：()202f =，所以()01f =， ()()3221f x f x -=-中，令1=2x 得：()()201f f ==，()()2f x f x -+=中，令=1x 得：()()112f f -+=，因为()12f =，所以()1220f -=-=，()()3221f x f x -=-中，令=0x 得：()()310f f =-=，()()()()()()()()()()()12320231234567f f f f f f f f f f f ++++=+++++++⎡⎤⎣⎦()()()()2020202120222023f f f f +++++⎡⎤⎣⎦21045052023=+++⨯=.故答案为：2023第四天学习及训练【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题例18．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设*n ∈N ，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()22110f x f x -++=，()f x 在[]0,1单调递增，()11f =，则（ ）A ．()11f -=B ．()40nf =C ．()211f n -=D ．()211nf -=【答案】B【分析】根据题意结合函数性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）的定义和相关结论分析判断.【详解】对A ：∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()111f f -=-=-，A 错误； 由题意可得：()f x 在[]1,0-上单调递增，则()f x 在[]1,1-上单调递增∵()()22110f x f x -++=，则()()()222111f x f x f x +=--=-∴函数()f x 关于=1x 对称，则()f x 在[]1,3上单调递减当(]1,3x ∈-时，当且仅当=1x 时，()=1f x ；当且仅当=0x 或=2x 时，()=0f x ∵函数()f x 关于=1x 对称，则()()()22f x f x f x =-=--，即()()2f x f x +=- ∴()()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=，则函数()f x 的周期为4当1x ≥时，则有：()=1f x 的根依次为1,5,9,...，即当且仅当43x n =-，()=1f x若=2n ，则{}*21213|43,n n x x n n -=-=∉=-∈N ，即()31f ≠，C 、D 错误；()=0f x 的根依次为2,4,6,...，即当且仅当2x n =，()=0f x∵(){}21*4=22|2,N n n x x n n -∈=∈，则()40nf =，B 正确；故选：B.例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-【答案】ABCD【分析】由已知判断函数的周期性、对称性、单调性，对选项逐一判断 【详解】对于A ，由函数(1)f x +的图象关于=1x -对称，根据函数的图象变换， 可得函数()f x 的图象关于0x =对称，所以函数()f x 为偶函数，故 A 正确；对于B ，由函数()f x 对任意x R ∈都有(2)()f x f x +=-，可得()2(()4)f x f x f x -+=+=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，因为(2)0f -=，可得(2)0f =，则(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==，故B 正确； 对于C ，因为函数()f x 为偶函数，即()()f x f x -=，所以(2)()()f x f x f x +=-=--， 可得(2)()0f x f x ++-=，所以函数()f x 关于(1,0)中心对称，故C 正确； 对于D ，由对任意的12,(0,2)x x ∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，可得函数()f x 在区间(0,2)上为单调递增函数，又因为函数为偶函数，故函数()f x 在区间(2,0)-上为单调递减函数，故()()21f f ->-，故D 正确. 故选：ABCD【题型】八、定义法判断证明函数的单调性例20．（2023·全国·高三专题练习）设函数()ln(2f x x x =+且233()1)23a a f a --<--，则a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．)C ．)+∞D ．(()3,∞⋃+【答案】B【分析】首先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可；【详解】解：()ln(2f x x x =+，x R ∈，22()()2)(2))0ln(1)0f x f x x x x x x x ∴+-=++-+=++-=，()()f x f x ∴-=-，∴函数()f x 在R 上是奇函数．当0x 时，函数()f x 单调递增，因此函数()f x 在R 上单调递增．又()(1ln 12f -=--，则233()1)23a a f a --<--，即233()1)23a a f a -<--， 即()23313a a f f a ⎛⎫-<- ⎪-⎝⎭，∴23313a a a -<--，即()()233103a a a -+<-，而210a +>，3(3)(3)0a a ∴--<，即2(3)0a a a a +-<，而20a >，∴(3)0a a -<，3a <．∴实数a的取值范围为．故选：B ．例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e e 2x xf x --=，则（）A ．()()22f x y f x =为偶函数 B ．()()2y f x f x =-是增函数 C ．()()sin 1y f x =-不是周期函数 D ．()()1y f x f x =++的最小值为1【答案】AD【分析】根据奇偶性、单调性、周期性分别判断ABC ，分类讨论确定函数的最小值判断D ． 【详解】选项A ，由()0f x ≠得0x ≠，函数定义域是{|0}x x ≠，关于原点对称，2222e e e e (2)(2)22e e e e 2()2()2222x x x xx x x x f x f x f x f x -------===---⋅⋅，所以函数为偶函数，正确；选项B ，定义域是(,0)(0,)-∞+∞，e ()(e )2x xf x f x ---==-，即()f x 是奇函数，易知()f x 是R 上的增函数，函数值域为R ，(0)0f =，所以存在00x >，值得0()f x从而0()f x -=于是002()0()f x f x -=，002()0()f x f x --=-，但00x x -<，所以2()()y f x f x =-不是增函数，B 错；选项C ，()()sin 1y f x =-定义域是R ，(sin(21))(sin(1))f x f x π+-=-，因此2π是函数的一个周期，C 错；选项D ，由上推理知()f x 是奇函数，0x <时， ()()1y f x f x =++()()11f x f x =-++=， 0x ≥时，()()1y f x f x =++()()1e e 1x x f x f x -=++=-+，易知函数为增函数，所以()(0)1f x f ≥=，综上函数最小值是1，D 正确．故选：AD ．例22．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =； ④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增． 则上述所有正确结论的编号是________ 【答案】①③【分析】对于①，通过赋值0x y ==可得()00f =，①正确； 对于②，通过赋值y x =-可证()f x 为奇函数，②错误； 对于③，通过赋值1x y ==可得()11f =，③正确；对于④，函数单调性的定义，根据题意，结合函数为奇函数，可证()f x 在R 上单调递减，④错误．【详解】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确； 对于②令y x =-，则()()()00f f x f x =+-=，∴()()f x f x -=-，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确； 对于④设12x x >，则120x x ->，∴()()()12120f x x f x f x -=+-<， 则()()()122f x f x f x <--=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误． 故答案为：①③．第五天学习及训练【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】令1x t -=，()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，令()21sin sin h t t t t t=+-，根据奇偶性的定义，可判断()h t 的奇偶性，根据奇偶性，可得()h t 在(][2,0)0,2-⋃最大值与最小值之和为0，分析即可得答案.【详解】由21()[(1)1]sin(1)11f x x x x =---++- 令1x t -=，因为[1,1)(1,3]x ∈-⋃，所以(][2,0)0,2t ∈-⋃；那么()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，(][2,0)0,2t ∈-⋃，令()21sin sin h t t t t t=+-，(][2,0)0,2t ∈-⋃，则()()()()()()2211sin sin sin sin h t t t t t t t h t t t ⎛⎫-=--+--=-+-=- ⎪-⎝⎭，所以()h t 是奇函数可得()h t 的最大值与最小值之和为0， 那么()g t 的最大值与最小值之和为2． 故选：B ．例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos f x x x =⋅，x ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数C ．()f x 的图象在点(π,(π))f 处的切线方程为0x y +=D ．()f x 在区间π(,π)2上是减函数【答案】ACD【分析】利用函数奇偶性定义、周期性定义判断A ，B ；利用导数的几何意义求出切线方程判断C ；利用导数确定单调性判断D 作答.【详解】对于A ，函数()f x 的定义域是R ，cos()()()f x x x f x =-⋅-=--，()f x 是奇函数，A 正确；对于B ，不存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=，()f x 不是周期函数，B 错误；对于C ，()cos sin f x x x x '=-，1()πf '=-，(π)πf =-，则()f x 在点(π,(π))f 处的切线方程为π(π)y x +=--，即0x y +=，C 正确；对于D ，当π(,π)2x ∈时，()cos sin 0f x x x x -'=<，()f x 在区间π(,π)2上是减函数，D 正确．故选：ACD例25．（2023·全国·高三专题练习）判断函数()f x x =+. 【答案】非奇非偶函数【分析】判断函数奇偶性，先判断定义域是否关于原点对称，由于定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数.【详解】因为()f x 有意义，则满足10110xx x -⎧≥⎪+⎨⎪+≠⎩，所以-11x <≤，所以()f x 的定义域不关于原点对称，所以()f x 为非奇非偶函数． 【题型】十、利用函数的周期性求函数值例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[)1,0x ∈-时，()f x x =，则()2021f =（ ）A ．2021B ．1C ．1-D ．0【答案】B【分析】分析可知函数()f x 是周期为4的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性的性质可求得结果.【详解】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=， 即()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4， 所以()()()2021450511f f f =⨯+=，因为函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当[)1,0x ∈-时，()f x x =， 所以()()()1111f f =--=--=，所以()20211f =. 故选：B.例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(2)()f x f x -=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=（ ）A ．2B ．2022-C ．0D ．2022【答案】A【分析】根据()f x 是定义域上的奇函数，结合条件(2)()f x f x -=化简，可得出函数的周期4T =，再计算出(1)(2)(3)(4)f f f f ，，，的值，发现(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，且呈周期出现，代入计算即可. 【详解】(2)()(2)()x f x f f f x x -=∴+=-,又()()f x f x -=-，(2)()()f x f x f x ∴+=-=-，∴函数的周期4T =.又函数()f x 是定义域为R 的奇函数，(0)0f ∴=，(2)(0)0f f ∴==，(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(4)(0)0f f ==(1)(2)(3)(4)20200f f f f +++=+-+=∴，又202250542=⨯+ (1)(2)(3)(2022)5050(1)(2)2f f f f f f ∴++++=⨯++=.故选：A.例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()49g x f x --=，若y g x 的图象关于直线2x =对称，()24g =，则()221k f k ==∑（ ）。
题型二 估测题(必考)
题型二 估测题（必考）
1.(2022河北15题2分)下列数据最接近实际情况的是( )
A. 一只圆珠笔的质量约为 500 g
<m>
</m>
√B. 教室中课桌的高度约为 75 cm
<m>
</m>
C. 中学生百米赛跑的成绩约为 5 s
<m>
</m>
D. 河北省12月份的平均气温约为 25℃
<m>
</m>
B. 一部手机的质量约为 1 kg
<m>
</m>
C. 普通居民楼每层高约为 5 m
<m>
</m>
√D. 声音在空气中的传播速度约为 340m/s
<m>
</m>
6.（10年3考）下列估测最接近实际的是( )
A. 乒乓球台高约为 760 cm
<m>
</m>
B. 电冰箱冷冻室的温度约为 4℃
A. 一张纸的厚度约为 0.1 cm
<m>
</m>
√B. 正常骑行自行车的速度约为 5m/s
<m>
</m>
C. 一块学生常用橡皮的质量约为 0.5 kg
<m>
</m>
D. 标准大气压下冰水混合物的温度约为 4℃
<m>
</m>
5.(2018河北15题2分)下列数值最接近实际情况的是( )
A. 洗澡水的温度约为 70℃
<m>
2012国考数学第三节常见题型(二)
五、概率问题1、知识点2、经典例题 抽取问题1、一个袋子中装有 6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（）9 2 3 32、 10个灯泡中 5个是好的，5个是坏的，混合在一起，1）若随机有放回的抽取2个灯泡，这2个灯泡都是好的概率为多少？2）若第1个和第2个灯泡都是好的，再抽第3个灯泡仍旧是好的概率为多少？ 3）若重新抽取3个灯泡，这3个全是好的概率为多少？4）如果一开始采用不放回的抽样，抽中3个全是好的概率为多少？3.一个袋子里放有 10个小球（其中4个白球，6个黑球），无放回地每次抽取1个，则第二次取到白球的概率是多少?15 155 54、小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。
小孙任意从口 袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。
问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味 的可能性（概率）是多少？1 1A ． 3B ． 41 1C ． 5D ． 6比赛问题1．现有甲、乙两个水平相当的技术工人需进行三次技术比赛，规定三局两胜者为胜方。
如 果在第一次比赛中甲获胜，这时乙最终取胜的可能性有多大？A ．B ．C ．D ．2.乒乓球比赛的规则是五局三胜制。
甲、乙两球员的胜率分别是60%和40%。
在一次比赛中，若甲先连胜了前两局，则甲最后获胜的胜率：A.为60%B.在 81%~85之间1 1 1 2A. B. C.D.2 4 1 2 A. B. C. D. 14 13 12 1 6C.在86%~90%之间 D.在91%以上独立重复1.某射击运动员每次射击命中10环的概率是80%，5次射击有4次命中10环的概率是A.80%B.63.22%C.40.96%D.32.81%27验中恰好出现两次阳性反应的概率为.几何概率1. 如图所示的两个转盘分别被均匀地分成 3个和 4个扇形，每个扇形上都标有一个实数。
高中物理16种常见题型与解题方法
高中物理16种常见题型与解题方法高中物理考试常见的类型总结下来有16种，怎样才能做好每一类型的题目呢？今天库库为同学们整理了高中物理16种常见题型的解题方法和思维模板！快快收藏！题型1直线运动问题题型概述：直线运动问题是高考的热点，可以单独考查，也可以与其他知识综合考查。
单独考查若出现在选择题中，则重在考查基本概念，且常与图像结合;在计算题中常出现在第一个小题，难度为中等，常见形式为单体多过程问题和追及相遇问题.思维模板：解图像类问题关键在于将图像与物理过程对应起来，通过图像的坐标轴、关键点、斜率、面积等信息，对运动过程进行分析，从而解决问题;对单体多过程问题和追及相遇问题应按顺序逐步分析，再根据前后过程之间、两个物体之间的联系列出相应的方程，从而分析求解，前后过程的联系主要是速度关系，两个物体间的联系主要是位移关系。
题型2物体的动态平衡问题题型概述：物体的动态平衡问题是指物体始终处于平衡状态，但受力不断发生变化的问题。
物体的动态平衡问题一般是三个力作用下的平衡问题，但有时也可将分析三力平衡的方法推广到四个力作用下的动态平衡问题。
思维模板：常用的思维方法有两种.(1)解析法：解决此类问题可以根据平衡条件列出方程，由所列方程分析受力变化；(2)图解法：根据平衡条件画出力的合成或分解图，根据图像分析力的变化。
题型3运动的合成与分解问题题型概述：运动的合成与分解问题常见的模型有两类。
一是绳(杆)末端速度分解的问题，二是小船过河的问题，两类问题的关键都在于速度的合成与分解.思维模板：主要有两种情况。
(1)在绳(杆)末端速度分解问题中，要注意物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度的方向应取绳(杆)的方向和垂直绳(杆)的方向;如果有两个物体通过绳(杆)相连，则两个物体沿绳(杆)方向速度相等.(2)小船过河时，同时参与两个运动，一是小船相对于水的运动，二是小船随着水一起运动，分析时可以用平行四边形定则，也可以用正交分解法，有些问题可以用解析法分析，有些问题则需要用图解法分析。
小学奥数《盈亏问题》经典题型(2)
小学奥数《盈亏问题》经典题型（2）1．幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。
如全部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。
已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有多少个？2．幼儿园把一袋糖果分给小朋友．如果分给大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒．如果分给小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 个小朋友，这袋糖果共有多少粒？3．有一些糖，每人分块则多块，如果现有人数增加到原有人数的倍，那么每人块就少两块，这些糖共有多少块？4．卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如果大熊猫数增加到3倍还少5只，那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少棵？5．体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个羽毛球还缺少8个，问有羽毛球多少个？6．王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍。
桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个。
问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？7．用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深。
8．乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币．乐乐共存了多少钱？9．阳光小学学生乘汽车到香山春游。
如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？10．幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4人则多出3条长椅．问：到会议室开会的少先队员有多少人？11．智康小合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出9人，若每条长椅上坐4人则多出3人.问：合唱队有多少人？12．少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。
新题型2
2014年高考模拟题1.第二节语法填空（共10小题；每小题1.5分，满分15分）阅读下面短文，按照句子结构的语法性和上下文连贯的要求，在空格处填入一个适当的词或使用括号中词语的正确形式填空，并将答案填写在答题卡标号为1~10的相应位置上。
1. To understand the marketing concept, it is only necessary to understand the difference between marketing and selling. Not too many years ago, most industries concentrated primarily on the efficient production of goods, and then relied on “1.(persuade) salesmanship” to move as much of these goods as possible. Such production and selling focuses on the needs of the seller2. produce goods and then convert(使转换) them into money.Marketing, on the other hand, focuses on the wants of consumers. It begins with first analyzing the 3.(prefer) and demands of consumers and then goods that will satisfy 4. . This eye-on-the-consumer approach is known as the marketing concept, which simply means that instead of trying to sell whatever is easiest to produce, the makers and dealers first find out what the consumer wants to buy and then go about making it 5.(avail) for purchase.This concept does not imply that business is benevolent(慈善的) or that consumer satisfaction is given priority6. profit in a company. There are always two sides to every business transaction—the firm and the customer—and each must be satisfied 7. trade occurs. Successful merchants and producers, however, recognize that the surest route to profit is 8. understanding and catering to(迎合) customers. A striking example of the importance of catering to the consumer presented itself in mid-1985, 9. Coca Cola changed the flavor of its drink. The non-acceptance of the new flavor by a significant portion of the public brought about a prompt 10.(restore)of the Classic Coke, which was then marketed alongside the new.语法填空答案：第一篇1.persuasive2. to3. preferences4. them5. available6. over7. before8. through9. when 10. restoration1。
2022-2023学年浙江七年级上学期数学重难题型精炼专题02 数轴中的动点问题 专项讲练(含详解)
专题02 数轴中的动点问题专项讲练数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。
【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；①写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；①表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；①列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动。
题型1. 单动点问题例1.（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（）①B对应的数是－4；①点P到达点B时，t＝6；①BP＝2时，t＝5；①在点P的运动过程中，线段MN的长度不变A．1个B．2个C．3个D．4个变式1．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（）甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为1()2b a-；乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为1()2a b-；丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为1()2a b+．A．只有甲正确B．只有乙正确C．只有丙正确D．三人均不正确题型2. 单动点问题（规律变化）例2.（2021·浙江温州·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点．(1)求点A 与点C 的距离．(2)若PB 表示点P 与点B 之间的距离，PC 表示点P 与点C 之间的距离，当点P 满足PB ＝2PC 时，请求出在数轴上点P 表示的数．(3)动点P 从点B 开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P 满足PC ＝2P A 时，则点P 移动 次． 变式2．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①33x =；①51x =；①108104x x <；①20192020x x >．其中，正确结论的序号是_______．题型3. 双动点问题（匀速）例3.（2021·陕西·西安铁一中滨河学校七年级期中）如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示数c ，且a ，b 满足|a +3|+（b ﹣9）2＝0，c ＝1．（1）a ＝ ，b ＝ ；（2）点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ，则当x 时，代数式|x ﹣a |﹣|x ﹣b |取得最大值，最大值为 ；（3）点P 从点A 处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q 从点B 处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q 到达点C 后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （t ≤8）秒，求第几秒时，点P 、Q 之间的距离是点B 、Q 之问距离的2倍？变式3．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）已知数轴上有A ，B ，C 三个点，分别表示有理数2-，4，6．(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A ，点B ，点C ；(2)动点P 从点C 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A 后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C ，到达点C 后停止运动，设运动时间为t 秒．①当1t =时，PA 的长为__________个单位长度，PB 的长为__________个单位长度，PC 的长为____________。
二元一次方程组的应用(二)重难点题型
二元一次方程组的应用（二）-重难点题型【北师大版】【例1】（2021春•夏津县期末）为庆祝建党100周年，更加深入了解党的光荣历史，我校团委计划组织全校共青团员到曾家岩周公馆、红岩村纪念馆、烈士墓渣滓洞一线开展红色研学之旅．计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位．设计划调配30座客车x 辆，全校共青团员共有y 人，则根据题意可列出方程组为（ ） A ．{y −30x =836(x −1)−y =4B ．{y −30x =8y −36(x −1)=4C ．{30x −y =836x −1−y =4D ．{30x −y =8y −(36x −1)=4【变式1-1】（2021春•沈丘县期末）乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的三分之一调入甲组，则甲组比乙组多15人，设甲组原有x 人，乙组原有y 人，则可得方程组为 ．【变式1-2】（2021春•永定区期中）在抗击新冠肺炎疫情期间，各省市积极组织医护人员支援武汉．某省组织医护人员统一乘车去武汉，原计划调配45座客车若干辆，则有30人没有座位；若调配同样数量的60座客车，则有45个座位无人坐．（1）该省有多少医护人员支援武汉？（2）若同时调配45座和60座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【变式1-3】（2020•恩平市模拟）北京和上海都有检测新冠肺炎病毒的仪器可供外地使用，其中北京有10台，上海有4台．（1）已知武汉需要8台，温州需要6台，从北京、上海将仪器运往武汉、温州的费用如表所示，有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种运送方案，使武汉、温州能得到所需仪器，而且运费正好够用．（2）为了节约运送资金，中央防控工作组统一调配仪器，分配到温州的仪器不能超过5台，则如何调配？运费表单位：（元/台）温州武汉终点起点北京400800上海300500【题型2 配套问题】【例2】（2020•松北区二模）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问安排名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．【变式2-1】（2020春•义乌市期末）为紧急安置50名雅安地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，且所有帐篷都住满人，则搭建方案共有 种．【变式2-2】（2020春•甘南县期中）某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎样调配劳力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工？【变式2-3】（2020春•浦东新区期末）某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m 的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m 这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【例3】（2021•洛阳三模）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x 两，一枚白银的重量为y 两，则可列方程组为（ ） A ．{9x =11y 9x −y =11y −x +13B ．{9x =11y 9x −y =11y −x −13C ．{9x =11y 8x +y =10y +x +13D ．{9x =11y 8x +y =10y +x −13【变式3-1】（2021•泰安）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，根据题意，可列方程组为 ．【变式3-2】（2020•南陵县一模）《九章算术》中有这样一题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？大意为：现有若干人合伙出钱买一只鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题．【变式3-3（2020•泉州二模）我国古代数学著作《九章算术》记载这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，问几何？”其大意为：现有木棍，不知道它的长短，用绳子去量，绳子多了4尺5寸；把绳子对折后再量，绳子又短了1尺，问：木棍有多长？【题型4 盈不足问题】【例4】（2021•朝阳一模）《九章算术》中“盈不足术”问题的原文为：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文为：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？”设共同购买该物品的有x 人，该物品的价格是y 元，则根据题意，列方程组为（ ） A ．{8x −y =37x −y =4B ．{8x −y =3y −7x =4C ．{y −8x =37x −y =4D ．{y −8x =3y −7x =4【变式4-1】（2021•赣州模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为 ． 【变式4-2】（2021•江西模拟）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一．书中有一盈不足问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”译文：今有数人共同买金子，每人出400，多出来3400；每人出300，多出来100，问：共有多少人？金价是多少？请解决这个问题．【变式4-3】（2021春•桂平市期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．书中有如下问题：今有其买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少4元钱，问有多少人？该物品价值多少元？【题型5 从图表中获取问题】【例5】（2021春•沂水县期末）已知关于x ，y 的二元一次方程2x ﹣3y ＝t ，其取值如下表，则p 的值为（ ）x m m +2 y n n ﹣3 t 5p A ．16B ．17C ．18D ．19【变式5-1】（2021春•博兴县期末）篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，下表是某队全部比赛结束后的部分统计结果：胜 负 合计 场数 y 10 积分2x16表中x ，y 满足的二元一次方程组是（ ） A ．{x +y =102x −y =16B ．{x +y =102x +y =16C ．{x −y =102x +y =16D ．{4x +y =162x +y =16【变式5-2】（2020春•五华区校级月考）新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污水导致部分信息无法识别，根据下表解决问题：家居用品名称单价（元）数量（个）金额（元）挂钟30260垃圾桶15塑料鞋架40艺术饰品a2120电热水壶351b合计8310（1）直接写出a＝，b＝；（2）甲居民购买了垃圾桶，塑料鞋架各几个？（3）若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？【变式5-3】（2020•徐州）小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？商品名单价（元）数量（个）金额（元）签字笔326自动铅笔 1.5●●记号笔4●●软皮笔记本●29圆规 3.51●合计828【题型6 从几何图形中获取信息】【例6】（2021春•漳州期末）如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成一个周长为68的大长方形ABCD．求大长方形ABCD的面积．【变式6-1】（2021春•上城区期末）如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形．（1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？（2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？【变式6-2】（2021春•九龙坡区校级期末）小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为他爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若小语用长40cm，宽34cm的长方形纸片恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等，则该茶叶盒的容积是多少？（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利1800元，求这批茶叶共进了多少盒？【变式6-3】（2021春•天河区校级月考）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．（1）如果加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？（2））如果加工成有盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．现工厂有35块铁板，每块铁板都可以裁剪成长方形铁片和正方形铁片，且有以下三种裁剪方式．方式①：每块铁板可裁成3张长方形铁片；方式②：每块铁板可裁成4张正方形铁片；方式③；每块铁板可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少铁盒？。
高考语文复习题型专项练习2描述画面内容
高考语文复习题型专项练习描述画面内容【母题原题】17．【高考山东卷】下图是俄罗斯女摄影师艾琳娜舒米洛娃拍摄的儿子与小兔子在一起的画面。
请仔细观察，对画面进行准确、生动的描写。
要求：使用比喻或比拟的修辞手法，不超过80字（4分）【答案】微风抚摸着孩子的面庞，阳光洒下一片和谐，不远处草地树木闪着翠绿。
孩子甜甜的笑靥像一朵安静绽放的花朵，他快乐地托起温顺的小兔子，轻闭双眼用鼻尖触触它那毛茸茸的嘴巴。
【试题解析】此题考查额是生动形象表达的能力，同样要求运用比喻、比拟的修辞，同样有字数要求。
备考中生动表达的能力是必考的内容，要有充分准备，而生动形象的要求往往体现在修辞的运用上，所以备考具体讲就是熟练运用常见修辞（尤其是比喻、比拟两个修辞手法）。
此题还要求“仔细观察”“准确”描写，考生要注意观察照片中孩子的头发是飘动的，有阳光在侧面照到的效果，环境不太清晰，但应该是树木草地的环境，当然还有孩子的表情、动作的细节，兔子可爱特征要表现。
字数不能超过所要求的80字，但也不能太少，太少说明观察不仔细，没注意细节。
【命题意图】这是一道图文转换的题目，考点为语言表达简明、连贯、得体、准确、鲜明、生动，能力层级为表达运用E。
山东卷考这种题已不是第一次，08年曾考刘璇的动作的描述。
这类题目考核的重点是对画面内容的描述，注意是描述不是概括，一般要求要运用修辞，是综合考核语言运用能力的一道题目。
【考试方向】这类题目在单独命题的省市考核，人口较多的省市较少出现，因为答案的不唯一性造成判卷的难度，但由于要求较高，能真正的考核出学生的语言运用能力，所以应该是一种较为高级的题型，关键是对语言中修辞和表现手法的考核。
【得分要点】答题时首先要明确的找到图片中的要素，主要是图案、色彩、人物的动作、表情等，不要遗漏。
如此题的小兔子、小孩、树木、黄绿、欢笑。
注意隐含要素的挖掘，如此题的阳光、微风是通过孩子的头发的色彩和形状展现。
表述时注意修辞，往往修辞要在景物描写和人物的神态上下功夫。
新定义类问题专练(2题型)—2023-2024学年八年级数学下学期期末真题(浙江专用)(解析版)
八下新定义类问题专练四边形新定义问题1．（2023春•义乌市期末）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“半对称四边形”，这条角平分线称为四边形的“分割对角线”．例如：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，则称四边形ABCD是半对称四边形，BD称为四边形ABCD的分割对角线．（1）如图1，求证：BC∥AD．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD 是半对称四边形．（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，，D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是半对称四边形且AC为分割对角线时，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）利用等腰三角形的性质，角平分线的定义和平行线的判定定理解答即可得出结论；（2）利用“半对称四边形”的定义解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法分①当DA＝DC，AC平分∠BAD时，②当DA＝DC，AC平分∠BCD时，画出符合题意的图形，先计算得到△ABC的三边长度和它的面积，再计算△ADC的面积，则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠ADB，∴BC∥AD；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DAC．∵∠CAD＝2∠DBC，∴∠ABC＝2∠DBC，即BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD．这样，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∴四边形ABCD是半对称四边形；（3）解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，如图，∵CE⊥AB，∠A＝45°，∠ABC＝120°，∴∠ACE＝45°，∠EBC＝60°，∴AE＝EC，∠ECB＝30°，∴BE＝BC＝，∴EC＝＝＝3，∴AE＝EC＝3，∴AC＝EC＝3．∴AB＝AE﹣BE＝3﹣．∴AB•EC＝3＝．①当DA＝DC，AC平分∠BAD时，如图，由题意：∠DAC＝∠BAC＝45°，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝45°，∴∠ADC＝90°，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD＝CD＝AC＝3，∴AD•CD＝，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝+＝9﹣；②当DA＝DC，AC平分∠BCD时，如图，由题意：∠ACD＝∠BCA＝15°，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝15°，∴∠ADC＝150°，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，则∠CDF＝30°，∴CF＝CD，∴DF＝CD．设CD＝x，则AD＝x，CF＝x，AF＝AD+DF＝（1+）x，在Rt△ACF中，∵AC2＝AF2+CF2，∴，∴x＝3+3（不合题意，舍去）或x＝3﹣3，∴AD＝3﹣3，CF＝．∴S△ADC＝AD•CF＝，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝﹣+＝﹣6．综上，四边形ABCD的面积为9﹣或﹣6．2．（2022春•德清县期末）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°，①若AB＝CD＝1，AB∥CD BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD＝CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF ＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝＝．②如图1中，连接AC、BD．∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．（2）若EF⊥BC，则四边形ABFE是矩形，AE＝BF＝BC＝6，∵AB＝5，∴AE≠AB∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5．②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴DE：BF＝PD：PB＝1：2，∴DE＝2.5，∴AE＝9﹣2.5＝6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．3．（2023春•余姚市期末）定义：一个四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，我们把这样的四边形叫做双距四边形．（1）下列说法正确的有①③（填序号）．①正方形一定是双距四边形．②矩形一定是双距四边形．③有一个内角为60°的菱形是双距四边形．（2）如图1，在四边形ABCD AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝∠DCB＝72°，求证：四边形ABCD为双距四边形．（3）如图2，四边形ABCD为双距四边形，，BC＝DC，AB＜BC，求BC的长．【分析】（1）由正方形的四条边都相等，两条对角线相等，可知正方形是双距四边形，可判断①正确；因为矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，所以矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，所以矩形不一定是双距四边形，可判断②错误；由菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，可知该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，则有一个内角为60°的菱形是双距四边形，可判断③正确，于是得到问题的答案；（2）作DG∥AB交BC于点G，则∠DBC＝∠ABC＝∠DCB＝72°，所以DC＝DG，而四边形ABCD是平行四边形，则AB＝DG，因为AB＝AD，所以AB＝AD＝DC，∠ADB＝∠ABD，而∠ADB＝∠CBD，则∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，因为∠CDA＝180°﹣∠DCB＝108°，所以∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝72°＝∠DCB，则BC＝BD，再证明△ABC和≌△DCB，即可证明AC＝BC＝BD，则四边形ABCD是双距四边形；（3）由四边形ABCD为双距四边形，AB＝AD，BC＝DC，AB＜BC，得AC＝BD＝BC＝DC，设AC交BD于点E，AC＝BD＝BC＝2x，因为AC垂直平分BD，所以∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝DE＝BD＝BC＝x，则CE＝＝x，AE＝2x﹣x，由勾股定理得x2+（2x ﹣x）2＝（）2，求得符合题意的x值为，则BC的长是3+．【解答】（1）解：∵正方形的四条边都相等，两条对角线相等，∴正方形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，∴正方形是双距四边形，故①正确；∵矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，∴矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，∴矩形不一定是双距四边形，故②错误；∵菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，∴该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，∴该菱形中较短的对角线长与该菱形的边长相等，∴有一个内角为60°的菱形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，∴有一个内角为60°的菱形是双距四边形，故③正确，故答案为：①③．（2）证明：作DG∥AB交BC于点G，∵∠ABC＝∠DCB＝72°，∴∠DBC＝∠ABC＝∠DCB＝72°，∴DC＝DG，∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DG，∴AB＝DC，∵AB＝AD，∴AB＝AD＝DC，∠ADB＝∠ABD，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∵∠CDA＝180°﹣∠DCB＝108°，∴∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝72°＝∠DCB，∴BC＝BD，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC＝BD，∴AC＝BC＝BD，∴四边形ABCD是双距四边形．（3）解：∵四边形ABCD AB＝AD，BC＝DC，AB＜BC，∴AC＝BD＝BC＝DC，如图2，设AC交BD于点E，AC＝BD＝BC＝2x，∵点A、点C都在BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝DE＝BD＝BC＝x，∴CE＝＝＝x，∴AE＝AC﹣CE＝2x﹣x，∵BE2+AE2＝AB2，AB＝，∴x2+（2x﹣x）2＝（）2，整理得x2＝，解得x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），∴BC＝2×＝3+，∴BC的长是3+．4．（2023春•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于正方形ABCD和它的边上的动点P，作等边△OPP'，且O，P，P′三点按顺时针方向排列，称点P'是点P关于正方形ABCD的“友好点”．已知A（﹣a，a），B（a，a），C（a，﹣a），D（﹣a，﹣a）（其中a＞0）．（1）如图1，若a＝3，AB的中点为M，当点P在正方形的边AB上运动时，①若点P和点P关于正方形ABCD的“友好点”点P′，恰好都在正方形的边AB上，则点P'的坐标为（，3）；点M关于正方形ABCD的“友好点”点M′的坐标为（，）；②若记点P关于正方形ABCD的“友好点”为P′（m，n），直接写出n与m的关系式（不要求写m的取值范围）；（2）如图2，E（﹣1，﹣1），F（2，2）．当点P在正方形ABCD的四条边上运动时，若线段EF上有且只有一个点P关于正方形ABCD的“友好点”，求a的取值范围；（3）当2≤a≤4时，直接写出所有正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积．【分析】（1）①如图，OP＝OP'＝PP'，Rt△OMP中，OM2+MP2＝OP2，解得MP'＝，得P'（，3）；如图，过点M作MF⊥x轴，垂足为F，则∠OFM＝90°，OM′＝3，OF＝＝，得M'（，）：②如图，直线PM交轴于点G，可证△POM≌△P′OM′，得∠OM′P′＝∠OMP＝90°，∠OGM′＝60°，可知点P′（m，n）在直线M′G上，设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），求得k＝﹣，b＝6，于是n＝﹣m+6；（2）由（1）知若A（﹣a，a），则OM′＝OM＝a．求得点G（a，0），可求得直线A′B′解析式y＝﹣x+2a，经过F（2，2），得a＝+1，直线C′D′解析式为y＝﹣x+2a，经过（﹣1，﹣1），得a＝；于是＜a≤+1；（3）如图，分别求得a＝2时，4时，点P′轨迹所在四边形的面积，相减即得所有“友好点”组成图形的面积为48．【解答】（1）（，3）；（，）；′如图，OP＝OP'＝PP'，∴PM＝P′M，OM＝3，∠MOP＝∠MOP′＝30°，∴OP′＝2MP′，∴Rt△OMP中，OM2+MP2＝OP2，∴32+MP′2＝（2MP′）2，解得MP'＝，∴P（，3）；如图，过点M′作M′F⊥x轴，垂足为F，则∠OFM′＝90°，OM′＝3，∴∠M′OF＝90°﹣∠MOM′＝30°，∴M′F＝OM′＝，∴OF＝＝，∴M′（，）；②n＝﹣m+6；如图，直线P′M′交x轴于点G，∵∠POP′＝∠MOM′＝60°，∴∠POP′﹣∠MOP′＝∠MOM′﹣∠MOP′，即∠POM＝∠P′OM′，又∵OP＝OP′，OM＝OM′，∴△POM≌△P′OM′（SAS），∴∠OM′P′＝∠OMP＝90°，∵∠MOG＝90°﹣60°＝30°，∴∠OGM′＝90°﹣∠M′OG＝90°﹣30°＝60°，点P′（m，n）在直线M′G上，设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴n＝﹣m+6；（2）如上图，由（1）知若A（﹣a，a），则OM′＝OM＝a，在Rt△OM′G中，M′G＝OG，∴a2+（OG）2＝OG2，解得OG＝a，即点G（a，0），由（1）知点P在线段AB上时，直线P′M′与x轴相交锐角为60°，可设直线M′G为y＝﹣x+q，代入G（a，0），解得q＝2a，故点P′在直线y＝﹣x+2a上，即A′B′解析式为y＝﹣x+2a，如下图，同理可得，直线C′D′解析式为y＝﹣x﹣2a，经过（﹣1，﹣1），则一1＝﹣5×（﹣1）﹣2a，解得a＝；如下图，直线A′B′的解析式为y＝﹣x+2a，经过F（2，2），则2＝﹣×2+2a，解得a ＝+1．∴＜a≤+1；（3）如图，当a＝2时，点P′轨迹所在四边形A′B′C′D′的面积为（2×2）2＝16，当a＝4时，点P′轨迹所在四边形的面积为（2×4）2＝64，故2≤a≤4时，正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积为64﹣16＝48．反比例函数新定义问题5．（2022•宜城市一模）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC ⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A 在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式；②补画x＜0时“Z函数”的图象；③并写出这个函数的性质（两条即可）．【分析】（1）由四边形ABED是正方形，得AB＝1，从而得出A（4，1），则k＝4；（2）①由题意，A（x，x﹣z），则x（x﹣z）＝4，即可得出“Z函数”的表达式；②利用描点法画出图象；③根据图象可得出性质．【解答】解：（1）∵AC＝4，CD＝3，∴AD＝AC﹣CD＝1，∵四边形ABED是正方形，∴AB＝1，∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°，∴四边形ABOC是矩形，∴OB＝AC＝4，∴A（4，1），∴k＝4；（2）①由题意，A（x，x﹣z），∴x（x﹣z）＝4，∴z＝x﹣，②图象如图所示，③性质1：x＞0时，y随x的增大而增大，性质2：x＜0时，y随x的增大而增大，（答案不唯一）．6．（2022春•嵊州市期末）定义：在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2），x1≠x2，y1≠y2，且点M，N在同一象限，过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为点G，F，若|y1|＞|y2|，则过点M作y轴的垂线，交直线NF于点E，如图1．我们称矩形MEFG为过点M，N的伴随矩形．已知：如图2，点A（1，3），点B是反比例函数图象上的两点．（1）求k的值．（2）若过点A，B的伴随矩形是正方形，求点B的坐标．（3）若过点A，B的伴随矩形的面积是3，求点B的坐标．【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，求解即可求出答案；（2）分两种情况：利用伴随矩形是正方形得出|m﹣1|＝3或|﹣1|＝，解方程即可求出答案；（3）分两种情况：过点A，B的伴随矩形的面积是3，得出3•|n﹣1|＝3或•|n﹣1|＝3，解方程即可求出答案．【解答】解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝1×3＝3；（2）由（1）知，k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝，设点B（m，）（m＞0），①当＜3，即m＞1时，∵过点A，B的伴随矩形是正方形，∴|1﹣m|＝3，∴m＝﹣2（舍去）或m＝3∴B（4，）；②当＞3，即m＜1时，∵过点A，B的伴随矩形是正方形，∴|m﹣1|＝，∴m＞1或m＝＜0，不符合题意，即点B（4，）；（3）由（1）知，k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝，设点B（n，）（n＞0），①当＜3，即n＞1时，∵过点A，B的伴随矩形的面积是3，∴3•|n﹣1|＝3，∴n＝0（舍去）或n＝2，∴B（2，）；②当＞3，即n＜1时，∵过点A，B的伴随矩形的面积是3，∴•|n﹣1|＝3，∴n＝，∴B（，6）；即点B的坐标为（2，）或（，6）．7．（2023春•宁波期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形．（1）矩形是勾股四边形（填“是”或“不是”）．（2）如图在直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与双曲线相交于A，B两点，点P（﹣3，0）在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．①分别求出A、B两点的坐标．②当四边形APQB是平行四边形时，如图（Ⅰ），请证明▱APQB是勾股四边形．（3）在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标．【分析】（1）证矩形的对角线将矩形分成的两个直角三角形全等即可得出结论；（2）①直线y＝﹣x+1与双曲线联立成方程组，解方程组即可得点A，B的坐标；②利用待定系数法求出直线AP的解析式为y＝3x+9，直线BQ的解析式为y＝3x+11，直线PQ的解析式为y＝﹣x﹣3，解方程组，可得点Q（2，﹣5），然后证△APB为直角三角形，再证△APB和△QBP全等即可得出结论；（3）由∠APB＝90°得：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，有以下三种情况：（ⅰ）当AB、AP为勾股四边形的边时，即是（2）②，此时可得点Q的坐标；（ⅱ）当AB为勾股四边形的边，AP为对角线时，过点A作PB的平行线与过点P作AB的平行线交于点Q，证△APB和△P AQ可得四边形ABPQ为勾股四边形，连接BQ交AP于点E，先求出点E（﹣2.5，1.5），进而可求出点Q的坐标；（ⅲ）当AP为勾股四边形的边，AB为对角线时，过点A作PB的平行线与过点B作AP的平行线交于点Q，此时四边形APBQ为矩形，由（1）知矩形为勾股四边形，同（ⅱ）得点Q的坐标．【解答】（1）解：矩形是勾股四边形．理由如下：四边形ABCD为矩形，AC为对角线，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠C＝90°，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴矩形是勾股四边形．故答案为：是．（2）①解：解方程组，得：，，∴点A（﹣2，3），点B（3，﹣2）；②证明：设直线AP的解析式为：y＝k1x+b1，将点A（﹣2，3），P（﹣3，0）代入y＝k1x+b1，得，解得：，∴直线AP的解析式为：y＝3x+9，∵四边形APQB为平行四边形，∴BQ∥AP，PQ∥AB，AP＝QB，AB＝QP，∴设直线BQ的解析式为：y＝k2x+b2，∵BQ∥AP，∴k2＝3，即直线BQ的解析式为：y＝3x+b2，将点B（3，﹣2）代入y＝3x+b2，得：b2＝﹣11，∴直线BQ的解析式为：y＝3x﹣11，设直线PQ的解析式为：y＝k3x+b3，∵PQ∥AB，∴k3＝﹣1，即直线PQ的解析式为：y＝﹣x+b3，将点P（﹣3，0）代入y＝﹣x+b3，得：b3＝﹣3，∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x﹣3，解方程组，解得：，∴点Q（2，﹣5），∵点A（﹣2，3），B（3，﹣2），P（﹣3，0），Q（2，﹣5），∴AB2＝（﹣2﹣3）2+（3+2）2＝50，AP2＝（﹣2+3）2+（3﹣0）2＝10，PB2＝（3+3）2+（﹣2﹣0）2＝40，∴AB2＝AP2+PB2，∴△APB为直角三角形，即∠APB＝90°，∵BQ∥AP，∴∠APB＝∠QBP＝90°，∴△QBP为直角三角形，在△APB和△QBP中，，∴△APB≌△QBP（SSS），∴平行四边形APQB为勾股四边形．（3）解：点Q的坐标为（2，﹣5）或（﹣8，5）或（4，1）或（1，4）．理由如下：由（2）可知：∠APB＝90°，∴当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，有以下四种情况：（ⅰ）当AB、AP为勾股四边形的边时，即是（2）②，此时点Q的坐标为（2，﹣5）；（ⅱ）当AB为勾股四边形的边，AP为对角线时，过点A作PB的平行线与过点P作AB的平行线交于点Q，则四边形ABPQ为平行四边形，∴APB＝∠P AQ＝90°，PB＝AQ，在△APB和△P AQ中，，∴△APB≌△P AQ（SAS），∴四边形ABPQ为勾股四边形，设点Q的坐标为（k，t），连接BQ交AP于点E，则点E既是AP的中点，又是BQ的中点，∵A（﹣2，3），P（﹣3，0），∴点E的横坐标为：，点E的纵坐标为：，即点E（﹣2.5，1.5），又点Q（k，t），B（3，﹣2），∴，，∴k＝﹣8，t＝5，∴点Q的坐标为（﹣8，5）；（ⅲ）当AP为勾股四边形的边，AB为对角线时，过点A作PB的平行线与过点B作AP的平行线交于点Q，则四边形APBQ为平行四边形，又∠APB＝90°，∴四边形APBQ为矩形，由（1）知：矩形为勾股四边形，∴四边形APBQ为勾股四边形，同（ⅱ）可得点Q的坐标为（4，1）．（ⅳ）由（2）可知：∠APB＝90°．作点P关于直线AB的对称点Q，连接PQ交AB于H，如图所示：根据轴对称性可知：△APB≌△AQB，∴四边形APBQ为勾股四边形，设直线PQ的表达式为：y＝mx+n，∵P，Q关于AB对称，∴PQ⊥AB，点H为PQ的中点，∴m＝1，∴直线PQ的表达式为：y＝x+n，将点P（﹣3，0）代入y＝x+n，得n＝3，∴直线PQ的表达式为：y＝x+3，解方程组，得，∴点H的坐标为（﹣1，2），∵点H为PQ的中点，∴点Q的坐标为（1，4）．综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q的坐标为（2，﹣5）或（﹣8，5）或（4，1）或（1，4）．1．（2023春•东阳市期末）对于平面直角坐标系xOy中的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），给出如下定义：若x1x2＝1，y1y2＝1，则称点A，B互为“倒数点”，例如：点，B（2，1）互为“倒数点”．（1）已知点A的坐标为（1，3），则点A的“倒数点”点B的坐标为，；将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′，则线段A′B′上不存在（填“存在”或“不存在”）“倒数点”．（2）如图，在正方形CDEF中，点C坐标为，点D坐标为，请判断该正方形的边上是否存在“倒数点”，并说明理由．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得出x2＝1，，点B的坐标为，由平移的性质得出A′（3，3），，即可得出结论；（2）①若点M（x1，y1）在线段CF上，则，点N（x2，y2）应当满足x2＝2，可知点N 不在正方形边上，不符题意；②若点M（x1，y1）在线段CD上，则，点N（x2，y2）应当满足y2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；③若点M（x1，y1）在线段EF上，则，点N（x2，y2）应当满足，得出，，此时点，在线段EF上，满足题意．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵x1x2＝1，y1y2＝1，A（1，3），∴x2＝1，，点B的坐标为，将线段AB水平向右平移2个单位得到线段A′B′，则A′（3，3），，∵3×3＝9，，∴线段A′B′上不存在“倒数点”，故答案为：（1，）；不存在；（2）正方形的边上存在“倒数点”M、N，理由如下：①若点M（x1，y1）在线段CF上，则，点N（x2，y2）应当满足x2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；②若点M（x1，y1）在线段CD则，点N（x2，y2）应当满足y2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；③若点M（x1，y1）在线段EF上，则，点N（x2，y2）应当满足，∴点N只可能在线段DE上，，，此时点，在线段EF上，满足题意；∴该正方形各边上存在“倒数点”，，，．2．（2023春•鄞州区期末）【新知学习】定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“筝形”．（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”ABCD，要求点D是格点；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，“筝形”EFGH的顶点E是AB的中点，点F，G，H分别在BC，CD，AD上，且，求对角线EG的长；【拓展思考】（3）如图3，在“筝形”ABCD中，AB＝AD，BC＝DC＝12，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，AE平分∠BEF，EF⊥CD，EF＝8，求“筝形”ABCD的面积．【分析】（1）根据“筝形”的定义找到点D即可；（2）分两种情况讨论：当EF＝EH，GH＝GF时，分别利用HL证得Rt△AEH和Rt△BEF全等，Rt△DGH和Rt△CGF全等，得出点G是CD的中点，从而得出EG＝AD，即可求出EG的长；当FE＝FG，HE＝HG时，利用勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出CG的长，最后利用勾股定理求出EG的长即可；（3）过点A作AH⊥EF于点H，根据角平分线的性质得出AB＝AH，结合已知条件证出四边形AHFD是正方形，设AD＝DF＝FH＝AH＝x，用x表示CF、CE的长，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出x的值，然后根据图形面积之间的关系计算即可．【解答】解：（1）如图1，点D是所求作的点，由勾股定理得，，，由图可得AB＝5，∴AB＝AD，CD＝CB，∴四边形ABCD是“筝形”；（2）如图2﹣1，EF＝EH，GH＝GF，∵E是AB的中点，AB＝10，∴AE＝BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，在Rt△AEH和Rt△BEF中，，∴Rt△AEH≌Rt△BEF（HL），∴AH＝BF，∴AD﹣AH＝BC﹣BF，即DH＝CF，在Rt△DGH和Rt△CGF中，，∴Rt△DGH≌Rt△CGF（HL），∴DG＝CG，∴EG＝AD＝12；如图2﹣2，FE＝FG，HE＝HG，过点G作GM⊥AB于点M，∴∠GME＝∠GMB＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形BMGC是矩形，∴BM＝CG，∵点E是AB的中点，AB＝10，∴AE＝BE＝5，GM＝BC＝12，在Rt△BEF中，BE＝5，，由勾股定理得，∵BC＝12，∴CF＝BC﹣BF＝12﹣5＝7，在Rt△CFG中，CF＝7，，由勾股定理得，∴BM＝1，∴ME＝BE﹣BM＝5﹣1＝4，在Rt△GME中，GM＝12，ME＝4，由勾股定理得；综上，EG的长是12或；（3）如图3，过点A作AH⊥EF于点H，∵AE平分∠BEF，∠B＝90°，AH⊥EF，∴AB＝AH，∵AB＝AD，∴AH＝AD，∵AH⊥EF，∠D＝90°，EF⊥CD，∴∠AHF＝∠EFD＝∠D＝90°，∴四边形AHFD是矩形，又AH＝AD，∴四边形AHFD是正方形，∴AD＝DF＝FH＝AH，设AD＝DF＝FH＝AH＝x，则CF＝CD﹣DF＝12﹣x，EH＝EF﹣FH＝8﹣x，在Rt△ABE和Rt△AHE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴BE＝EH，∴BE＝8﹣x，∴CE＝CB﹣BE＝12﹣（8﹣x）＝x+4，在Rt△EFC中，由勾股定理得CE2＝EF2+CF2，∴（x+4）2＝82+（12﹣x）2，解得x＝6，∴AD＝AB＝DF＝AH＝6，BE＝2，CF＝6，∴S筝形ABCD＝S△ABE+S△AEF+S△ADF+S△EFC＝＝＝6+24+18+24＝72．3．（2022春•南浔区期末）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE 恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．【分析】【性质初探】过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，证明Rt△ABG≌Rt △ECG（HL），即可求解；【性质再探】证明△BFC≌△CEB（SAS），即可求解；【拓展应用】连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，分别证明△ACG是等腰三角形，△CDG是等腰直角三角形，△DGM是等腰直角三角形，从而可求AG＝2，GM＝DM，在Rt△AGM中，用勾股定理求出AD的长即为所求BC的长．【解答】【性质初探】解：过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，∵▱ABCD，∴AE∥BC，∴AG＝EH，∵四边形ABCE恰为等腰梯形，∵AB＝EC，∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），∴∠B＝∠ECH，∵∠B＝80°，∴∠BCE＝80°；【性质再探】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵四边形BCEF是等腰梯形，∴BF＝CE，由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，∴△BFC≌△CEB（SAS），∴BE＝CF；【拓展应用】解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，∵GO⊥AC，∴AC＝CG，∵AB∥CD，∠ABC＝45°，∴∠DCG＝45°，∴∠CDG＝90°，∴CD＝DG，∴BA＝DG＝2，∵∠CDG＝90°，∴CG＝2，∴AG＝2，∵∠ADC＝∠DCG＝45°，∴∠CDM＝135°，∴∠GDM＝45°，∴GM＝DM＝，在Rt△AGM中，（2）2＝（AD+）2+（）2，∴AD＝﹣，∴BC＝﹣．4．（2023春•东阳市期末）定义：在平面直角坐标系中，过点P，Q分别作x轴，y轴的垂线所围成的矩形，叫做P，Q的“关联矩形”，如图所示．（1）已知点A（﹣2，0）①若点B的坐标为（3，2），则点A，B的“关联矩形”的周长为14．②若点C在直线y＝4上，且点A，C的“关联矩形”为正方形，求直线AC的解析式．（2）已知点M（1，﹣2），点N（4，3），若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，求k的取值范围．【分析】（1）①画出点A，B的“关联矩形”，确定长和宽，最后确定周长；②画出点A，C的“关联矩形”为正方形的图形，点C有两个位置，分别求直线AC的解析式；（2）画出点M、N的“关联矩形”，若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，观察函数中k的变化，找到k的临界值，即函数的图象过点N（4，3、（4，﹣2）时，进而求出k的取值范围．【解答】解：（1）①点A，B的“关联矩形”的长为3﹣（﹣2）＝5，宽为2﹣0＝2，∴周长为（5+2）×2＝14．故答案为：14．②点A，C的“关联矩形”为正方形时点C有两个，C1（2，4），C2（﹣6，4），如图所示：设直线AC1的解析式为y＝k1x+b1，则，∴，∴直线AC1的解析式为y＝x+2；设直线AC2的解析式为y＝k2x+b2，则，∴，∴直线AC2的解析式为y＝﹣x﹣2；∴直线AC的解析式为y＝x+2或y＝﹣x﹣2．（2）如图所示：当k＞0时，若函数的图象过点N（4，3），则k＝12，所以0＜k≤12；当k＜0时，若函数的图象过点（4，﹣2），则k＝﹣8，所以﹣8≤k＜0；∴若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，k的取值范围为﹣8≤k＜0或0＜k≤12．5．（2023春•宁波期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形ABCD中，连接AC，在AD的延长线上取点E使得AC＝AE，以CA、AE为边作菱形CAEF，我们称菱形CAEF是菱形ABCD的“伴随菱形”．（1）如图2，在菱形ABCD中，连接AC，在BC的延长线上作CA＝CF，作∠ACF的平分线CE 交AD的延长线于点E，连接FE，求证：四边形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”．（2）①如图3，菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”，过C作CH垂直AE于点H，对角线AC、BD相交于点O，连接EO若，试判断ED与BD的数量关系并加以证明．②在①的条件下请直接写出的值．【分析】（1）可推出∠FCE＝∠AEC，∠FCE＝∠ACE，从而∠ACE＝∠AEC，从而得出AC＝AE，进而得出CF＝AE，进一步得出结论；（2）①作OT⊥AE于T，可证得△AOT∽△ACH，从而，于是不妨设OT＝1，则CH＝2，OE＝CH＝2，ET＝＝，设AT＝x，则AC＝AE＝x+，AO＝，在Rt△AOT中列出x2+1＝（）2，从而求得AT＝，OA＝，由tan∠OAT＝tan∠DOT得出，从而求得DT＝，从而得出ED＝ET﹣DT＝＝，由S△AOD＝得OD＝，进一步得出结论；②由①可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AE，∴∠FCE＝∠AEC，∵CE平分∠ACF，∴∠FCE＝∠ACE，∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，∵AC＝CF，∴CF＝AE，∴四边形AEFC是平行四边形，∴▱AEFC是菱形，∴菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”；（2）解：①如图，ED＝BD，理由如下：作OT⊥AE于T，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC，BD⊥AC，∵CH⊥AE，∴OT∥CH，∴△AOT∽△ACH，∴，不妨设OT＝1，则CH＝2，OE＝CH＝2，∴ET＝＝，设AT＝x，则AC＝AE＝x+，∴AO＝，在Rt△AOTx2+1＝（）2，∴x1＝，x2＝（舍去），∴AT＝，OA＝，∵∠AOD＝90°，∴∠AOT+∠DOT＝90°，∵∠ATO＝90°，∴∠AOT+∠OAT＝90°，∴∠OAT＝∠DOT，∴tan∠OAT＝tan∠DOT，∴，∴，∴DT＝，∴ED＝ET﹣DT＝＝，AD＝DT+AT＝＝，由S△AOD＝得，∴，∴OD＝，∴BD＝2OD＝，∴ED＝BD；②由①知：CH＝2，ED＝，∴＝．。
中考规律探索题—(类型二：图形规律)
中考规律探索题—（类型二：图形规律）一、典题讲解题型1 :分类法例1（2021江苏扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为．例2（2021内蒙鄂尔多斯）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有个“〇”．例3（2020山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）题型2 :补形法例1（2021黑龙江绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n 个图形中三角形个数是 ．例2（2020鸡西）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是 个．题型3:数形结合法例1（2020四川遂宁）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为1a ，第2幅图中“▱”的个数为2a ，第3幅图中“▱”的个数为3a ，…，以此类推，若 20202...222321n a a a a n =+++（n 为正整数），则n 的值为 ．二、跟踪练习1. (2017娄底17题3分)刘莎同学用火柴棒依图中的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第________个．2. (2021湘西州18题4分)古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数a n＝________．(用含n的式子表达)3. (万唯原创) 如图，是由黑白两色的圆按照一定的方法摆放而成的图形，按照这样的方法摆放下去，能满足黑色圆的个数是白色圆个数的2倍还多1个的图形是()A. 第11个B. 第12个C. 第13个D. 第14个4. 如图是一组有规律的图案，第1个图案中有1个“·”，第2个图案中有5个“·”，第3个图案中有9个“·”，第4个图案中有13个“·”，…，按此规律排下去，第n个图案中有________个“·”．(用含n的代数式表示)5. 如图是一组形似“山”字的图案，它们是由边长相等的小正方形组合而成，图①有8个小正方形，图①有13个小正方形，图①有18个小正方形，…，按照这个规律，第n个图形中，小正方形的个数为()A. 2n－5B. 2n＋5C. 5n＋3D. 5n－36. 观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依此规律，第20个图形中①的个数是()A. 398B. 439C. 450D. 4727．（2020海南）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有个菱形，第n个图中有个菱形（用含n的代数式表示）．8. 如图是一组有规律的图案，它们是由相同的矩形拼接而成，已知矩形的长为a，宽为b，则第①个图案的周长为________．9. 如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多________个．(用含n的代数式表示)10．(2017永州)一小球从距地面1m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．(1)小球第3次着地时，经过的总路程．．．为________________m；(2)小球第n次着地时，经过的总路程．．．为________________m．。
2-----题型一 多解填空题
类型一 条件开放
类型二 结论开放
拓展类型 相似三角形的对应边不确定
• （一）形状不定--------针对演练
1. 已知△ABC的边BC＝4 cm，⊙O是其外接圆，且半径也 为4 cm，则∠A的度数为____________． 2. △ABC中，AB＝4，BC＝3，∠BAC＝30°，则△ABC 的面积为____________． 3. 将腰长为6 cm，底边长为5 cm的等腰三角形废料加工成 菱形工件，菱形的一个内角恰好是这个三角形的一个角，菱 形的其他顶点均在三角形的边上，则这个菱形的边长是 ____________ cm.
类型一 条件开放
类型二 结论开放
拓展类型 相似三角形的对应边不确定
• （一） 等腰三角形的腰与底不确定------针对演练
4. 如图，AB为半圆的直径，AB＝10，点O的弦AC的距
离为4，点P从B出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的
速度运动，连接CP，经过__________秒后， △APC为等腰
6. 菱形ABCD的对角线AC＝6 cm，BD＝4 cm，以AC为边 作正方形ACEF，则BF的长为____________．
类型一 条件开放
类型二 结论开放
拓展类型 相似三角形的对应边不确定
• （二）位置不定------针对演练
7. 如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝30°，AB⊥BC， 且AB＝AD＝10，以AD或AB为边作三角形，使三角形的另一 边长为15，第三个顶点落在BC上于点E，则所作三角形的面 积为____________．
类型一 条件开放
类型二 结论开放
拓展类型 相似三角形的对应边不确定
• （一）形状不定--------针对演练
高考数学二轮1题型练2 选择题、填空题综合练(二)
题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.若全集为实数集R,集合M={x|x>1},N={x∈Z|0≤x≤4},则(∁R M)∩N=()A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{2,3,4}2.(2021广西玉林高三模拟)已知z i+1=2i,则|z|=()A.√3B.√5C.1D.23.(2021广西河池高三期末)某几何体的三视图如图所示,记底面的中心为E,则PE与底面所成的角为()A.π3B.π4C.π6D.π24.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的平均分为85,乙班学生成绩的中位数为83,则x+y的值为()A.9B.7C.8D.65.已知p:∀x∈[-1,2],4x-2x+1+2-a<0恒成立,q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2021河北邯郸高三三模)已知点P在直线x+y=4上,过点P作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,则点M(3,2)到直线AB的距离的最大值为()A.√2B.√3C.2D.√57.已知实数x,y满足{x-2≥0,y-2≥0,x+y-8≤0,z=ax+by(a>b>0)的最大值为2,则直线ax+by-1=0过定点()A.(3,1)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-3,1)8.已知函数f(x)=log2x,x∈[1,8],则不等式1≤f(x)≤2成立的概率是()A.17B.27C.37D.479.已知等差数列{a n}的通项是a n=1-2n,前n项和为S n,则数列{S nn}的前11项和为() A.-45 B.-50C.-55D.-6610.已知P为椭圆x 225+y216=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5B.7C.13D.1511.已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32π12.已知a>0,a≠1,函数f(x)=4a x+2a x+1+x cos x(-1≤x≤1),设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则()A.M+N=8B.M+N=6C.M-N=8D.M-N=613.设α,β表示平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列说法:①若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α;②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB;③若l⊄α,A∈l,则A∉α;④若A,B,C∈α,A,B,C∈β,则α与β重合.其中,正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个14.a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,已知a (sin A+9sin B )=12sin A ,sin C=13,则△ABC 的面积的最大值为( ) A.1B.12C.43D.2315.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a 的值为 .16.已知直线y=mx 与函数f (x )={2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m 的取值范围是 .思维提升训练17.设集合A={x|x+2>0},B={x |y =√3-x },则A ∩B=( )A .{x|x>-2}B .{x|x<3}C .{x|x<-2或x>3}D .{x|-2<x<3}18.(2021广西河池高三期末)已知复数z=1+(a-1)i,a ∈R ,i 为虚数单位,则“a>0”是“复数z 在复平面内对应的点位于第一象限”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 19.(2021全国乙,文6)cos 2π12-cos 25π12=( ) A.12 B.√33C.√22D.√3220.(2021广西南宁高三一模)若实数x ,y 满足约束条件{x -y +2≥0,x -3≤0,x +y -3≥0,则z=x+y 的最大值为( ) A.3 B.5C.6D.821.若实数x ,y 满足|x-1|-ln 1y =0,则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )22.若函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象的一个对称中心为(π3,0),其相邻一条对称轴方程为x=7π12,该对称轴处所对应的函数值为-1,为了得到g (x )=cos 2x 的图象,则只需将f (x )的图象( ) A.向右平移π6个单位长度 B.向左平移π12个单位长度 C.向左平移π6个单位长度 D.向右平移π12个单位长度23.如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A .2116 B .32 C .2516D .324.在△ABC 中,AC=√7,BC=2,B=60°,则BC 边上的高等于( ) A .√32 B .3√32 C .√3+√62 D .√3+√39425.已知圆(x-1)2+y 2=34的一条切线y=kx 与双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)有两个交点,则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A.(1,√3)B.(1,2)C.(√3,+∞)D.(2,+∞)26.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1=1,S 2=2,且S n+1-3S n +2S n-1=0(n ∈N *,n ≥2),则此数列为( ) A .等差数列 B .等比数列C .从第二项起为等差数列D .从第二项起为等比数列27.一名警察在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁28.关于函数f (x )=sin |x|+|sin x|有下述四个结论:①f (x )是偶函数;②f (x )在区间(π2,π)内单调递增;③f (x )在区间[-π,π]上有4个零点;④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③29.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 m 3.30.设F 是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1的一个焦点.若C 上存在点P ,使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为 .31.已知曲线f(x)=ax e x在点(0,f(0))处的切线与抛物线y=x2-2x+4相切,则a=.32.在(2x2+x-1)5的展开式中,x3的系数为.答案：能力突破训练1.B解析:∵N={x∈Z|0≤x≤4},M={x|x>1},∴N={0,1,2,3,4},∁R M={x|x≤1}.∴(∁R M)∩N={0,1}.2.B解析:因为z i+1=2i,所以z=-1+2ii=2+i,所以|z|=√22+12=√5.3.A解析:由三视图可知该几何体的直观图如图所示﹐∠PEA为PE与底面所成的角.∵PA=√6,AE=√2,∴tan∠PEA=PAAE=√3,∴∠PEA=π3.4.C解析:由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+(8+9+5+x+0+6+2)=590+x,又甲班学生的平均分为85,所以总分为85×7=595,所以x=5.乙班学生成绩的中位数为80+y=83,所以y=3.所以x+y=8.5.A解析:关于p:不等式化为22x-2·2x+2-a<0,令t=2x,∵x∈[-1,2],∴t∈[12,4],则不等式转化为t2-2t+2-a<0,即a>t2-2t+2对任意t∈[12,4]恒成立.令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t∈[12,4]时,y max=10,所以a>10.关于q:只需a-2>1,即a>3.故p是q的充分不必要条件.6.D解析:设P(a,b),则a+b=4,以OP为直径的圆的方程为(x-a2)2+(y-b2)2=14(a2+b2),与圆O的方程x2+y2=4相减,得直线AB的方程为ax+by-4=0.因为a+b=4,所以b=4-a ,代入直线AB 的方程,得ax+(4-a )y-4=0,即a (x-y )+4y-4=0,由x-y=0,且4y-4=0,解得x=1,y=1,所以直线AB 过定点N (1,1).所以点M 到直线AB 的距离的最大值即为点M ,N 之间的距离.又|MN|=√5,所以点M 到直线AB 的距离的最大值为√5. 7.A 解析:作出不等式组表示的可行域如图所示.将z=ax+by 化为y=-ab x+1b z. 因为a>b>0,所以-ab <-1.由图可知当直线y=-ab x+1b z 过点A 时,z 取最大值. 由{x +y -8=0,y -2=0,得A (6,2).所以z max =6a+2b=2,即3a+b=1. 所以直线ax+by-1=0恒过定点(3,1). 8.B 解析:由1≤f (x )≤2,得1≤log 2x ≤2, 解得2≤x ≤4.由几何概型可知P=27,故选B . 9.D 解析:因为a n =1-2n ,S n =n (-1+1-2n )2=-n 2,Snn =-n ,所以数列{S nn }的前11项和为11(-1-11)2=-66.故选D .10.B 解析:由题意知椭圆的两个焦点F 1,F 2分别是两圆的圆心,且|PF 1|+|PF 2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF 1|+|PF 2|-1-2=7.11.A 解析:由题意知☉O 1的半径r=2.由正弦定理知ABsinC =2r , ∴OO 1=AB=2r sin60°=2√3, ∴球O 的半径R=√r 2+|OO 1|2=4. ∴球O 的表面积为4πR 2=64π.12.B 解析:f (x )=4a x +2a x +1+x cos x=3+a x -1a x +1+x cos x ,设g (x )=a x -1a x +1+x cos x ,则g (-x )=-g (x ),函数g (x )是奇函数,则g (x )的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x ≤1时,设-m ≤g (x )≤m ,则3-m ≤f (x )≤3+m ,∴函数f (x )的最大值M=3-m ,最小值N=3+m ,得M+N=6,故选B . 13.A 解析:①正确;②α,β可能重合,故②错误;③当l ∩α=A 时,A ∈l ,A ∈α,故③错误;④当A ,B ,C 共线时,α,β可能相交,故④错误.故选A .14.D 解析:因为a (sin A+9sin B )=12sin A ,所以a (a+9b )=12a.又a>0,所以a+9b=12≥2√9ab 当且仅当a=9b ,即a=6,b=23时,等号成立,所以ab ≤4,所以△ABC 的面积的最大值为12×4×13=23.15.32 解析:第一次循环,输入a=1,b=2,判断a ≤31,则a=1×2=2; 第二次循环,a=2,b=2,判断a ≤31,则a=2×2=4; 第三次循环,a=4,b=2,判断a ≤31,则a=4×2=8; 第四次循环,a=8,b=2,判断a ≤31,则a=8×2=16; 第四次循环,a=16,b=2,判断a ≤31,则a=16×2=32; 第五次循环,a=32,b=2,不满足a ≤31,输出a=32. 16.(√2,+∞) 解析:作出函数f (x )={2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0的图象,如图.直线y=mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m ≤0时,直线y=mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx 始终与函数y=2-(13)x(x ≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx 与函数f (x )的图象有三个公共点,必须使直线y=mx 与函数y=12x 2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=12x 2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x 2-2mx+2=0的判别式Δ=4m 2-4×2>0,解得m>√2.故所求实数m 的取值范围是(√2,+∞).思维提升训练17.D 解析:由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A ∩B={x|-2<x<3},故选D . 18.B 解析:若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限,则a-1>0,即a>1.因为“a>0”是“a>1”的必要不充分条件,所以“a>0”是“复数z 在复平面内对应的点位于第一象限”的必要不充分条件.19.D 解析:原式=cos 2π12-cos 2(π2−π12)=cos 2π12-sin 2π12=cos π6=√32. 20.D 解析:作出不等式组{x -y +2≥0,x -3≤0,x +y -3≥0表示的可行域如图所示.由{x -3=0,x -y +2=0,解得{x =3,y =5,即点A (3,5).平移直线z=x+y ,当直线z=x+y 经过点A 时,z 取得最大值,所以z max =3+5=8. 21.B 解析:已知等式可化为y=(1e )|x -1|={(1e )x -1,x ≥1,(1e )-(x -1),x <1,根据指数函数的图象可知选项B 正确,故选B .22.B 解析:依题意,函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点(π3,0),(7π12,−1), 则A=1,14·2πω=7π12−π3,解得ω=2.所以f (π3)=sin (2π3+φ)=0, 所以φ=-2π3+k π(k ∈Z). 又|φ|<π2,所以φ=π3.所以f (x )=sin (2x +π3).所以把f (x )=sin (2x +π3)的图象向左平移π12个单位长度,可得y=sin (2x +π3+π6)=cos2x 的图象,即得到g (x )=cos2x 的图象.23.A 解析:如图,取AB 的中点F ,连接EF.AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AE ⃗⃗⃗⃗⃗+BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )2-(AE ⃗⃗⃗⃗⃗-BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )24=(2FE⃗⃗⃗⃗⃗ )2-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 24=|FE⃗⃗⃗⃗⃗ |2-14. 当EF ⊥CD 时,|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小,即AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值.过点A 作AH ⊥EF 于点H ,由AD ⊥CD ,EF ⊥CD ,可得EH=AD=1,∠DAH=90°. 因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°. 在Rt △AFH 中,易知AF=12,HF=14, 所以EF=EH+HF=1+14=54.所以(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =(54)2−14=2116.24.B 解析:设AB=a ,则由AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BC cos B 知7=a 2+4-2a ,即a 2-2a-3=0, ∴a=3(负值舍去).∴BC 边上的高为AB·sin B=3×√32=3√32. 25.D 解析:由已知得√k 2+1=√32,解得k 2=3. 由{y =kx ,x 2a 2-y 2b 2=1,消去y ,得(b 2-a 2k 2)x 2-a 2b 2=0,则4(b 2-a 2k 2)a 2b 2>0,即b 2>a 2k 2. 因为c 2=a 2+b 2,所以c 2>(k 2+1)a 2. 所以e 2>k 2+1=4,即e>2.故选D .26.D 解析:由S 1=1得a 1=1,又由S 2=2可知a 2=1.因为S n+1-3S n +2S n-1=0(n ∈N *,且n ≥2), 所以S n+1-S n -2S n +2S n-1=0(n ∈N *,且n ≥2),即(S n+1-S n )-2(S n -S n-1)=0(n ∈N *,且n ≥2),所以a n+1=2a n(n∈N*,且n≥2),故数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列.故选D.27.B解析:因为乙、丁两人的观点一致,所以乙、丁两人的供词应该是同真或同假.若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯;由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,矛盾.所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,由甲、丙的供词内容可以断定乙是罪犯.28.C解析:因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确;当π2<x<π时,f(x)=2sin x,它在区间(π2,π)内单调递减,故②错误;当0≤x≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点0和π;当-π≤x≤0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sin x;当x∈(2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确.综上可知①④正确,故选C.29.2解析:由三视图知四棱锥高为3,底面平行四边形的底为2,高为1,因此该四棱锥的体积为V=13×(2×1)×3=2.故答案为2.30.√5解析:不妨设F(c,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为B(0,b),依题意得点P为(-c,2b),又点P在双曲线上,所以(-c)2a2−(2b)2b2=1,得c2a2=5,即e2=5,因为e>1,所以e=√5.31.2或-6解析:∵f(x)=ax e x,∴f'(x)=a e x+ax e x,∴曲线f(x)=ax e x在点(0,f(0))处的切线的斜率为k=f'(0)=a.又切点为(0,0),∴切线方程为y=ax.由{y=ax,y=x2-2x+4,得x2-(2+a)x+4=0,∴Δ=(2+a)2-16=0,解得a=2或a=-6.32.-30解析:(2x2+x-1)5=[2x2+(x-1)]5,故T r+1=C5r(2x2)5-r(x-1)r,因为要求x3的系数,所以r=4或5.当r=4时,x3的系数为C54·2·C43·(-1)3;当r=5时,x3的系数为C55·C52·(-1)2.所以x3的系数为C54·2·C43·(-1)3+C55·C52·(-1)2=-40+10=-30.。
六年级重点题型一般分数问题专题2
一般分数问题（二）1. 有甲乙两筐苹果，若把甲筐苹果的1/5取出放入乙筐。
两筐苹果就一样重，已知乙筐原来有苹果60千克。
甲筐原来有多少千克苹果？2.有两缸金鱼，甲缸的条数是乙缸的3/5，如果把乙缸的6条金鱼放入甲缸中，两缸的金鱼条数正好相等。
甲乙两缸原来各有多少条金鱼？3.有甲乙两堆煤，原来甲堆煤的质量是乙堆的5/8。
如果从乙堆运22吨煤到甲堆，那么甲乙两堆煤的质量相等。
原来甲乙两堆煤各有多少吨？4.某班男女生人数比是5:4，男生人数比女生人数多几分之几？女生人数比男生人数少几分之几？5.如果甲数比乙数多1/5，那么乙数比甲数少几分之几？6.甲数是乙数的4/5，则甲数比乙数少几分之几？乙数比甲数多几分之几？7.甲数的31等于乙数的41，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？8、甲数的43于乙数的52，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？9.六三班有58名学生已知女生人数的4/7等于男生人数的8/15，六三班男女生各有多少名？10.修一条公路已修和未修长度比是2:5，再修300米后，已修和未修长度比是1:2，这条公路长多少米？11.修一条公路已修和未修长度比是1:4，再修500米后已修和未修长度比是2:3，这条公路长多少米？12.某班女生人数与男生人数比是4:5，最近又转进1名女生，这时女生人数是男生人数的65，现在全班有学生多少人？13.王刚从家到县城，他已走的路程与未走路程的比是1:2，他再走1千米，则他已走的路程与未走路程的比是2:3，王刚家到县城有多少千米？14.学校舞蹈队和合唱队的人数比是3:5 ，后来由于某种原因，有3名唱歌的队员转入舞蹈队 ，现在舞蹈队和合唱队的人数比是5:7，求原来舞蹈队和合唱队各有多少人 ？15.果糖盒中奶糖占果糖总数的3/8。
后来又放入20块儿奶糖，这时奶糖占糖果总数的7/12。
现在这盒糖果中有多少块儿奶糖 ？16.在操场上做游戏的学生中，男生人数占做游戏总人数的3/7。
简要叙述题例题
简要叙述题例题【考点扫描】1、整体感知文章的主要内容，理解文章的中心及主题。
2、理清文章思路，把握文章结构。
3、根据要求提取信息。
4、结合语境理解词语和句子的含义。
5、品味语言，赏析表达技巧。
【应考指南】常考题型及答题技巧（一）内容概括，整体把握。
题型1：请用简洁的语言概括文章叙述了一件什么事。
题型2：请简要概括本文的主要内容。
答题技巧：（１）必须包含两个要素：人物＋事情；（２）其他要素如：时间（季节、年代）、地点、环境如果有特定意义，也应概括在内。
回答清楚（什么时间、什么地点）什么人做什么事格式：（时间＋地点）＋人＋事。
（二）题目理解，把握中心。
标题的含义和作用：（1）把握象征意义；（2）语带双关；（3）作者感情的出发点；（4）概括文章的主要内容；（5）文章线索；（6）文眼；揭示文章中心；（7）吸引读者、新颖；（8）题目中运用修辞的，要还原它的本义后再分析作用。
题型1：结合全文，说说题目“XX”的作用。
题型2：题目“XX”的含义是什么？题型3：文章以“XX”为题，有哪些好处？答题技巧：1、题目的含义：要从表层义和深层义两方面来谈。
深层义：（1）把握象征意义；（2）语带双关。
2、题目的作用（好处）：①点明了故事发生的地点；②交代了故事发生的环境；③交代了描写对象；④设置悬念，引起读者阅读兴趣；⑤点明线索；⑥揭示文章主旨。
注意：题目中运用修辞的，要还原它的本义后再分析作用。
（三）阅读语段，体会作用。
题型1：第一段在文中起什么作用？题型2：第14段中画横线的句子在文章结构上有什么作用？题型3：文章第三自然段引用《XX》中的诗文，在文中有何作用？答题技巧：1、段落的作用：一般从内容和结构两方面入手。
A、重要段落的作用①开头段：统摄全篇、提纲挈领、领起下文、引出悬念、开门见山、渲染气氛、为后文做铺垫，埋下伏笔。
②过渡段：承上启下。
③结尾段：总结全文，呼应前文或题目，深化（升华）主题，卒章显志，言有意而意无穷，画龙点睛，与首段相照应。
六年级数学上册重点题型汇总卷2加解析
六上重点题型卷2学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知下列方程：①22x x -=；①0.31x =；①512x x =+；①243x x -=；①6x =；①20.x y +=其中一元一次方程的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，已知数轴上,A B 两点表示的数分别是,a b ，则计算b a -正确的是（ ）A ．b a -B ．a b -C ．a b +D ．a b --3．下列说法正确的是（ ）①正方体的截面可以是等边三角形；①正方体不可能截出七边形；①用一个平面截正方体，当这个平面与四个平面相交时，所得的截面一定是正方形； ①正方体的截面中边数最多的是六边形A ．①①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①4．小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）A ．他身上的钱还缺65元B ．他身上的钱会剩下65元C ．他身上的钱还缺115元D ．他身上的钱会剩下115元5．已知|2|(3)58---=a a x 是关于x 的一元一次方程，则=a （ ）A ．3或1B ．1C ．3D ．06．如图，数轴上4个点表示的数分别为a 、b 、c 、d ．若|a ﹣d |＝10，|a ﹣b |＝6，|b ﹣d |＝2|b ﹣c |，则|c ﹣d |＝（ ）7．若||4=a ，||2b ，且a b +的绝对值与相反数相等，则a b -的值是（ ）A ．2-B ．6-C ．2-或6-D ．2或68．下列说法错误的是( )A ．单项式2a h 的系数是1B ．多项式a -2.5的次数是1C ．m+2和3都是整式D ．233xy 是六次单项式 二、填空题9．一个数由四舍五入精确到千分位后得到的数是1.270，那么这个数最小可以取________．10．若多项式22571--+-x mxy y xy （m 为常数）不含xy 项，则m =____________． 11．已知3x =，()214y +=，且0xy <，则x y +的值为______．12．把3.1415取近似数（精确到0.01）为______ ；把23810精确到千位为________，66.75010⨯精确到______ 位。
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1.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部
分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平
移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是米
2. 如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边
长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外
面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所
围成图形的面积S．
B
A(M)Q
3. 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB ）放在直线l 1上，OA 边与直线l 1重
合，然后将三角形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转120°，此时点O 运动到了点O 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将三角形纸片AO 1B 1绕点B 1按顺时针方向旋转120°，此时点A 运动到了点A 1处，点O 1运动到了点O 2处（即顶点O 经过上述两次旋转到达O 2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O 运动所形成的图形
是两段圆弧，即 1OO 和 12
O O ，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l 1围成的图形面积等于扇形AOO 1的面积、△AO 1B 1的面积和扇形B 1O 1O 2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线l 2上，
OA 边与直线l 2重合，然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O 运动到了点O 1处（即点B 处），点C 运动到了点C 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将正方形纸片AO 1C 1B 1绕顶点B 1按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC 接上述方法经过3次旋转，求顶点O 经过的路程，
并求顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l 2围成图形的面积；若正方形纸片OA BC 按上述方法经过5次旋转，求顶点O 经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是
? 请你解答上述两个问题．。