2009年中考试题 三角形与全等三角形
2009年中考试题分类汇编-三角形的边角与全等三角形
16．三角形的边角与全等三角形一、选择题 1．（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组【关键词】三角形全等的判断 【答案】C2.（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°【关键词】三角形中位线和折叠问题 【答案】B3. (2009年义乌)如图，在ABC 中，90C ∠=。
，EF//AB,150∠=。
,则B ∠的度数为A ．50。
B. 60。
C.30。
D. 40。
【关键词】三角形内角度数【答案】D4.（2009年济宁市）如图，△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD 等于A. 100°B. 120°C. 130°D. 150°【关键词】三角形外角性质 【答案】C 5、（2009年衡阳市）如图2所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．AC 中点 D ．∠C的平分线与AB 的交点 【关键词】勾股定理的逆定理，三角形中垂线【答案】A 6、（2009年海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50° 【关键词】全等三角形的性质 【答案】D 7、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15=OA 米，10=OB 米，A 、B 间的距离不可能是 （ ） A ．5米 B ．10米 C ． 15米 D ．20米【关键词】三角形三边关系 【答案】AA BDB 图28、（2009年崇左）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A ．7 B ．9 C ．12 D ．9或12【关键词】三角形三边关系；等腰三角形有两种情况：（1）2、2、5；（2）5、5、2；（1）不满足三角形三边关系，所以只有5、5、2；周长=12 【答案】C 9、（2009年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（ ）． A ．三角形两边之和大于第三边 B ．三角形的外角和等于360°C ．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形【关键词】三角形的概念、三角形三边关系、三角形三角关系、等边三角形 【答案】D10、（09湖南怀化）如图，在Rt ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）A ． 30B ．40C ．50 D ．60【关键词】三角形三角关系【答案】B 11、（2009年清远）如图，AB CD ∥，EF AB ⊥于E EF ，交CD 于F ，已知160∠=°，则2∠=（ ）A ．20°B ．60°C ．30°D ．45°【关键词】平行线的性质和判定 【答案】C 12、（2009年广西钦州）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ，AC 、BD 交于点O ，则图中全等三角形共有（ ） A ．2对 B ．3对C ．4对D ．5对CDBAF12 A DE B【关键词】全等三角形ADO【答案】B13、(2009年甘肃定西)如图4，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ）A ．2B ．3 C． D．【关键词】全等三角形、旋转、正方形面积 【答案】C14、（2009年广西钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACBABCD【关键词】全等三角形、等腰三角形三线合一 【答案】A15、（2009肇庆）如图，Rt ABC △中， 90ACB ∠=°，DE 过点C ，且DE AB ∥，若 55ACD ∠=°，则∠B 的度数是（ ） A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°【关键词】三角形的角 【答案】A16、（2009年邵阳市）如图，将Rt △ABC(其中∠B ＝340，∠C ＝900）绕A 点按顺时针方A B C D E212 CDBA 向旋转到△AB 1C 1的位置，使得点C 、A 、B 1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）A.560B.680C.1240D.1800【关键词】直角三角形的性质；互余，互补；旋转 【答案】Ｃ 17、（2009年湘西自治州）一个角是80°，它的余角是（ ）A ．10°B ．100°C ．80°D ．120°【关键词】互余，互补，角度换算 【答案】A18、（2009河池）如图，在Rt △ABC 中，90∠=A ，AB =AC ＝86 E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且⊥FE BE ，则△CEF 的面积是（ ）A ． 16B ． 18C ． 66D ． 76【关键词】三角形、面积 【答案】A 19、（2009柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个 【关键词】三角形 【答案】C20、（2009年牡丹江）如图， ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（ ） ①1A ∠=∠，②CD DBAD CD=，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶，⑤ACBD AC CD =·· A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【关键词】直角三角形的判断 【答案】C 21、（2009桂林百色）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，1CBAEC D B A将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°， 得A B O ''△ ，则点A '的坐标为（ ）．A ．（3，1）B ．（3，2）C ．（2，3）D ．（1，3）【关键词】三角形、旋转、坐标 【答案】D 22、（2009年长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm 【关键词】三角形、三边关系 【答案】C 23、（2009年湖南长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．13cm 【答案】C【解析】本题考查了三角形的三边关系，我们知道三角形的第三边应该大于另两边之差，而小于另两边之和，因此，本题的第三边应满足3838+<<-第三边，即115<<第三边，所以本题中应选D 。
2009年中考数学试题汇编之三角形与全等三角形试题及答案[1]
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2009年中考试题专题之16-三角形与全等三角形试题及答案一、选择题 1．（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组2.（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°3. (2009年义乌)如图，在ABC 中，90C ∠=。
，EF//AB,150∠=。
,则B ∠的度数为A ．50。
B. 60。
C.30。
D. 40。
【关键词】三角形内角度数【答案】D4.（2009年济宁市）如图，△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD 等于A. 100°B. 120°C. 130°D. 150°A BD5、（2009年衡阳市）如图2所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．AC 中点 D ．∠C 的平分线与AB 的交点6、（2009年海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50° 7、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15=OA 米，10=OB 米，A 、B 间的距离不可能是 （ ） A ．5米 B ．10米 C ． 15米 D ．20米8、（2009年崇左）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A ．7 B ．9 C ．12 D ．9或12 9、（2009年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（ ）． A ．三角形两边之和大于第三边 B ．三角形的外角和等于360° C ．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分 D ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形10、（09湖南怀化）如图，在Rt ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）A ．30 B ．40 C ．50 D ．6011、（2009年清远）如图，AB CD ∥，EF AB ⊥于E EF ，交CD 于F ，已知160∠=°，则2∠=（ ）A ．20°B ．60°C ．30°D ．45°A DB12、（2009年广西钦州）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ，AC 、BD 交于点O ，则图中全等三角形共有（ ） A ．2对 B ．3对C ．4对D ．5对【形ADO13、(2009年甘肃定西)如图4，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ）A ．2B ．3C．D．14、（2009年广西钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACBABCD15、（2009肇庆）如图，Rt ABC △中， 90ACB ∠=°，DE 过点C ，且DE AB ∥，若 55ACD ∠=°，则∠B 的度数是（ ） A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°CDB AEF12A B E21CDBA16、（2009年邵阳市）如图，将Rt △ABC(其中∠B ＝340，∠C ＝900）绕A 点按顺时针方向旋转到△AB 1 C 1的位置，使得点C 、A 、B 1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ） A.560B.680C.1240D.180017、（2009年湘西自治州）一个角是80°，它的余角是（ ）A ．10°B ．100°C ．80°D ．120°18、（2009河池）如图，在Rt △ABC 中，90∠=A ，AB =AC＝ E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且⊥FE BE ，则△CEF 的面积是（ ）A ． 16B ． 18C ．D ．19、（2009柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个20、（2009年牡丹江）如图， ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（ ） ①1A ∠=∠，②CD DBAD CD=，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶，⑤ACBD AC CD =·· A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【21、（2009桂林百色）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中， 将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°， 得A B O ''△ ，则点A '的坐标为（ ）．A ．（3，1）B ．（3，2）C ．（2，3）D ．（1，3）22、（2009年长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm 23、（2009年湖南长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长1C ACFAEC D BA可能是（ ） A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．13cm24、（2009陕西省太原市）如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A ．20° B ．30° C ．35°D ．40°25、 （2009陕西省太原市）如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．5.526、（2009年牡丹江）尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS27、（2009年新疆）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（ ） A ．50° B ．30° C ．20° D ．15°28、(2009年牡丹江市)尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS123C AB B 'A '【29、（2009年包头）已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43B ．45C ．54D ．34【30、（2009年齐齐哈尔市）如图，为估计池塘岸边A B 、的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15OA =米，OB =10米，A B 、间的距离不可能是（ ） A ．20米 B ．15米 C ．10米 D ．5米31、（2009年台湾）图(三)、图(四)、图(五)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图。
2009年各地中考组合的四份题解直 角三角形
αBCAO ．解直角三角形(1)一、选择题 1． sin30°的值为（）AB C．12D 32．(2009年湖州)如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（） A.sin A =B ．1tan 2A = C ．cosB =D ．tan B =3．三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）A ．34B ．43C ．35D ．454．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为 A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m 5．菱形O A B C 在平面直角坐标系中的位置如图所示，45AOC OC ∠==°，B 的坐标为（）A ．B ．C ．11)， D ．1) 6．(2009年宁德市)如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB 的长为（）A ．B ．4C ．6.D ．27.图是某商场场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ．CD 分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点高度h 是（） A mB ．4 m C ． m D ．8 m8．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l的距离为（ ）米． A ．25B ．C ．3D ．25+9．已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43 B ．45 C ．54 D ．34B AlAA k CB 图4l 1l 2 l3ACB60P Q2cm10．（2009年齐齐哈尔市）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23B ．32C ．34D ．4311．（2009年吉林省）将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（）A．2cm 12．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（）A ．3B ．5C ．25D ．22513．如图5，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为（ ）A ．2 BC ．D ． 14．（2009丽水市）如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°,AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ ） A ．172 B ．52 C ．24 D ．715．（2009湖南怀化）如图4，在Rt ABC △中， 90=∠ACB ，86AC BC ==，，将ABC △绕AC 所在的直线k 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（ ）A ．30π B ．40πC ．50π D ．60π16. (2009年鄂州)如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos∠DCA=54，BC ＝10，则AB 的值是（ ）A ．3B ．6C ．8D ．9 17（2009白银市）7．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A ．8米 B． C ．3 D ．3米18．（2009年清远）如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥于点E ，连结OC ，若5OC =，8CD =，则tan COE ∠=（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43A19（2009年衢州）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是A ．14B ．4C D20（2009年益阳市）如图3，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为A. αcos 5B. αcos 5C. αsin 5D. αsin 521（2009年衡阳市） 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确 的个数为（ ）①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2A BCD 15S cm =菱形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．022.（2009年广州市）已知圆锥的底面半径为5cm 圆锥的母线与高的夹角为θ（如图5）所示），则sinθ的值为（ ） （A ）125 （B ）135 （C ）1310 （D ）131224．（2009年湖北十堰市）如图，已知RtΔABC 中，∠ACB =90°，AC = 4，BC=3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）． A ．π5168 B ．π24 .C ．π584D ．π12二．25．图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？26 （2009年锦州）为了加快城市经济发展，某市准备修建一座横跨南北的大桥.如图10所示，测量队在点A 处观测河对岸水边有一点C ，测得C 在北偏东60°的方向上，沿河岸向东前行30米到达B 处，测得C 在北偏东45°的方向上，请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度.(结果保留根号)CαβD 乙A 甲 C 60° 38°BD E 23° AF AB27．（2009年常德市）如图5，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）．28．．（2009年内蒙古包头）（本小题满分8分）如图，线段AB DC 、分别表示甲．乙两建筑物的高，AB BC DC BC ⊥，⊥，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高36AB =米． （1）求乙建筑物的高DC ；（2）求甲．乙两建筑物之间的距离BC （结果精确到0.01米）．1.414 1.732）29．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角23AEF ∠=°，量得树干倾斜角38BAC ∠=°，大树被折断部分和坡面所成的角604m ADC AD ∠==°，． （1）求CAE ∠的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？1.4= 1.7=2.4=）解直角三角形（2）一．填空题图5图21．如图，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则cos AOB ∠2．九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =︒∠（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米；（3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．根据测量数据，CE 约为_____ 米．（精确到0.1 1.73≈）3.（2009仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点．C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28) 4．．长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角.则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．5．.如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 离为4米，钢缆与地面的夹角为60º地面的距离AB 是 米．(保留根号）．6．.（2009年齐齐哈尔市）用直角边分别为3和4成凸四边形，所得的四边形的周长是____________．7．.（2009丽水市）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合.已知AB =AC =8 cm,将△MED 绕点A (M )逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 cm 2 (结果 精确到0.1，73.13≈)8．（09湖南怀化）如图8，小明从A 地沿北偏东30方向走到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时小明离A 地 m ．9.小明同学在东西方向的沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B 处，测得江中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为____________米．9.(2)（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为 ．10．如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东方向上的B 处，则海轮行驶的路程AB 为 _____________海里（结果保留根号）． 12（2009白银市）17．如图7，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O ，且经过点B ．C ，那么线段AO = cm ．（第18题图）AC B图813．（2009年广西梧州）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ，则AB 的长是_______cm ．14．如图，在ABC △中，120AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、积是__- （保留π）．15．（2009年包头）如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为___ cm （保留根号）．16．在Rt ABC △中，9032C A B B C ∠===°，，，则c o sA 的值是 ．17（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．18．图7，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC平移得到△C B A '''，使点B '与C 重合，连结B A '，则C B A ''∠t an 的值为 .19如图8，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC △的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1） 用签字笔．．．画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ； （2） 线段CD 的长为 ；（3） 请你在ACD △的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 ． （4） 若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 20.如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC 的高度，他发现绳子刚好比旗杆长11米，若把绳子拉直，绳子接触地面A 点并与地面形成30º角时，绳子末端D 距A 点还有1米，那么旗杆BC 的高度为________ 21．图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，点D 是BC 上一点，AD=BD ，若AB=8，BD=5，则CD=_________二解答题22．（2009辽宁朝阳）一艘小船从码头A 出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B 处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C 处，AC (B ′) BA ′ 图7 C ′B A 6cm3cm 1cm A E C (F ) B 图（1） E AGB C D 图（2）这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离1.4 1.7，结果保留整数）． 23．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离．（结果保留根号） 24．（2009年郴州市）如图7，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB 的高度为1.5米，测得仰角 为30°，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN，结果保留两位小数）25．某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)26．图，从热气球C 上测得两建筑物A ．B 底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的高度CD 为90米．且点A ．D ．B30.（2009柳州）22．（本题满分6分） 如图8，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部C DBA北 60°30°αN B AP M 图7 B AB C D的仰角为︒60，看这栋高楼底部的俯角为︒30，热气球与高楼的水平距离为66 m ， 这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈）31．图，山顶建有一座铁塔，塔高80BC =米，测量人员在一个小山坡的P 处测得塔的底部B 点的仰角为45 ，塔顶C 点的仰角为60．已测得小山坡的坡角为30，坡长40MP =米．求山的高度AB （精确到1米）．1.414≈1.732≈）32．（2009年中山）如图所示，A ．B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：1.732 1.414）解直角三角形（3）CP B A M1海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离．3．(2009年南充)如图6，在平面直角坐标系中，已知点(42)B ，BA x ⊥轴于A ．（1）求tan BOA ∠的值；（2）将点B 绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C ，求点C 的坐标；（3）将O A B △平移得到O A B '''△，点A 的对应点是A '，点B 对应点B '的坐标为(22)-，，在坐标系中作出O A B '''△O '．A '的坐标．4.．（2009临沂）如图，AC 是O ⊙的直径，P A ，PB 是O ⊙的切线，A ，B 为切点，AB =6，P A =5．求（1）O ⊙的半径；（2）sin BAC ∠的值．5.（2009年凉山州）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ，已知C 点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从A 向东走600米到达B 处，测得C 在点B 的北偏西60°方向上． （1）MN1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？6（2009年赤峰市）公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，米，∠B=∠C=120°，∠A=45°．请你求出这块草地的面积C NM （第21题）C7.. （2009年泸州）如图11，在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作DF ⊥BC ， 交AB 的延长线于E ，垂足为F ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线； (2)当AB=5，AC=8时，求cosE 的值．8.如图，两条笔直的公路AB CD 、相交于点O ，AOC ∠为36°，指挥中心M 设在OA 路段上，与O 地的距离为18千米．一次行动中，王警官带队从O 地出发，沿OC 方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：sin 360.59cos360.81tan 360.73===°，°，°．】9．如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M ）位于海滨城市（记作点A ）的南偏西15°，距离为千米，且位于临海市（记作点B ）正西方向千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市．临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？10某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)图ABC D11.(2009年安顺)如图，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ． （1） 求证：DE 是⊙O 的切线；（2） 作DG ⊥AB 交⊙O 于G ，垂足为F ，若∠A ＝30°，AB ＝8，求弦DG 的长．12.如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin 760.97°≈，cos760.24°≈，tan 76 4.01°≈）13京杭运河修建过程中，某村考虑到安全性，决定将运河边一河埠头的台阶进行改造．在如图的台阶横断面中，将坡面AB 的坡角由45°减至30°．已知原坡面的长为6cm （BD 所在地面为水平面）（1）改造后的台阶坡面会缩短多少？（2）改造后的台阶高度会降低多少？（精确到0.1m ，参考数据：2 1.413 1.73≈≈，）14如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠（不需证明）． 问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，请直接写出结论．问题二：如图3，在ABC △中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明．15.小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，27.把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知 =36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm ）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）16.如图10，AB 是⊙O 的直径，AB=10， DC 切⊙O 于点C ，AD ⊥DC ，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ．（1）求证：AC 平分∠BAD ；（2）若sin ∠BEC=53，求DC 的长．17.（2009年娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）CAC DFE NM O E BC DH A F NM1 2 图1图2 图3ABC DF GE解直角三角形（4） 1.（09湖南邵阳）如图（十一），家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班，路线为A →B →C →D ．因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为A →F →E →D ．已知BC EF ∥，BF CE ∥，AB BF ⊥，CD DE ⊥，200AB =米，100BC =米，37AFB ∠=°，53DCE ∠=°．请你计算小李上班的路程因改道增加了多少？（结果保留整数）温馨提示：sin 370.60cos370.80tan 370.75︒°≈，≈，°≈．2.（2009年湖北荆州）22．安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE 与支架BF 所在直线相交与水箱横截面⊙O 的圆心O,⊙O 的半径为0.2m,AO 与屋面AB 的夹角为32°，与铅垂线OD 的夹角为40°，BF ⊥AB 于B ，OD ⊥AD 于D ，AB ＝2m,求屋面AB 的坡度和支架BF 的长.(参考数据：13121tan18,tan 32,tan 4035025≈≈≈)3.．(2009年鄂州)如图所示，某居民楼Ⅰ高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM 为2米，窗户CD 高1.8米．现计划在I 楼的正南方距I 楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I 楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?4..如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m 的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m ．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m ，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m 时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.)D CB F E A 江北广场渡口 渡口 教育局西湖桥 资 江53° 图十一37°图10（1） 图10（2）5..（2009年天津市）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A B ，两个凉亭之间的距离．现测得30AC =m ，70BC =m ，120CAB ∠=°，请计算A B ，两个凉亭之间的距离．6.（2009年湘西自治州）22．如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：（1） 未开始收绳子的时候，图中绳子BC 的长度是多少米？ （2） 收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号）7.（2009白银市）22．．图10（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图10（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为120°，从室内看门框露在外面部分的宽为4cm ，求室内露出的墙的厚度a 的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到0.1cm1.73图58.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度．（参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈）9.．（2009年新疆乌鲁木齐市）如图5，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O ⊙交BC 于点M ，MN AC ⊥于点N ． （1）求证MN 是O ⊙的切线； （2）若1202BAC AB ∠==°，，求图中阴影部分的面积．10.．（2009年新疆乌鲁木齐市）九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A 处到笔直的南岸的距离进行测量．他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A 处测得南岸的一尊石雕C 在其东南方向，再向正北方向前进10米到达B 处，又测得石雕C 在其南偏东30°方向．你认为此方案能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？CG E DB AF第5题图图7A米 山顶11.坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪．皮尺．小镜子. （1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶()M 的仰角35α=，在A 点和塔之间选择一点B ，测出看塔顶()M 的仰角45β= ，然后用皮尺量出A ．B 两点的距离为18.6m,自身的高度为1.6m.请你利用上述数D 据帮助小华计算出塔的高度（tan 350.7≈，结果保留整数）. （2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m （如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ .12.．（2009年黄石市）三楚第一山——东方山是黄石地区的佛教圣地，也是国家AAA 级游览景区．它的主峰海拔约为600米，主峰AB 上建有一座电信信号发射架BC ，现在山脚P 处测得峰顶的仰角为α，发射架顶端的仰角为β，其中35tan tan 58αβ==，，求发射架高BC13．（2009年铁岭市）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． （1）求ADB ∠的度数；（2）求索道AB 的长．（结果保留根号）。
2009年中考数学试题分类整理三角形部分
（2009，泉州)如图,ABC ∆中,,50,60︒=∠︒=∠B A 点D 在的延长线上,则ACD ∠=__________度. 110（2009，龙岩）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）D A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°（2009，龙岩）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，若△ABC 的长为12cm ，则△DEF 的周长是 cm. 6（2009，清远）如图5，若111A B C A B C△≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．30°（2009，汕头））如图所示，ABC △是等边三角形， D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE CD =，（1）用尺规作图的方法，过D 点作DM BE ⊥，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM EM =．ABD图4A B C C 1 A 1 B 1 图5 A D解：（1）作图见答案17题图，··········································································· 2分 （2）ABC △是等边三角形，D 是AC 的中点， BD ∴平分ABC ∠（三线合一）， 2ABC DBE ∴∠=∠． ················································································································ 4分 CE CD =，CED CDE ∴∠=∠．又ACB CED CDE ∠=∠+∠， 2ACB E ∴∠=∠． ······················································································································ 5分 又ABC ACB ∠=∠， 22DBC E ∴∠=∠， DBC E ∴∠=∠， BD DE ∴=． 又DM BE ⊥， BM EM ∴=．（2009，肇庆）如图3，Rt ABC △中， 90ACB ∠=°，DE 过点C ，且DE AB ∥，若 55ACD ∠=°，则∠B 的度数是（A ） A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°（2009，宁德）如图：点A 、D 、B 、E 在同一直线上，AD =BE ，AC =DF ，AC ∥DF ，请从图中找出一个与∠E 相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）答案17题图AC BD EMA B E 图3 A FED C B解法1：图中∠CBA ＝∠E ……1分 证明：∵AD ＝BE∴AD ＋DB ＝BE ＋DB 即AB ＝DE …3分 ∵AC ∥DF ∴∠A ＝∠FDE …5分 又∵AC ＝DF∴△ABC ≌△DEF ……7分 ∴∠CBA ＝∠E ……8分解法2：图中∠FCB ＝∠E ………1分 证明：∵AC ＝DF ，AC ∥DF∴四边形ADFC 是平行四边形 ………3分 ∴CF ∥AD ，CF ＝AD ………5分 ∵AD ＝BE ∴CF ＝BE ，CF ∥BE ∴四边形BEFC 是平行四边形 ………7分 ∴∠FCB ＝∠E ………8分 （2009，柳州）如图1所示，图中三角形的个数共有（ C ）A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个（2009，河池）如图7，在△ABC 中，∠ACB =2B ∠． （1）根据要求作图：① 作ACB ∠的平分线交AB 于D ； ② 过D 点作DE ⊥BC ，垂足为E ． （2）在（1）的基础上写出一对全等三角形 和一对相似比不为．．．．．．．1．的相似三角形： △ ≌△ ；△ ∽△ ． 请选择其中一对加以证明．解：（1）①正确作出角平分线CD ； ························ （2分）②正确作出DE ． ·································· （4分）（2）△BDE ≌△CDE ； ·································· （5分） △ADC ∽△ACB ． ·································· （6分）选择△BDE ≌△CDE 进行证明： ∵ DC 平分∠ACB ∴ ∠DCE =12∠ACB 又∵ ∠ACB =2∠B ∴ ∠B =12∠ACB ∴ ∠DCE =∠B ··························································································· （7分） ∵ DE ⊥BC ∴ ∠DEC =∠DEB =90° ·················································· （8分） 又∵ DE =DE ∴ △BDE ≌△CDE （AAS ） ············································ （9分） 或选择△ADC ∽△ACB 进行证明：CDBA图1ACB图7∵ DC 平分∠ACB ∴∠ACD =12∠ACB 又∵ ∠ACB =2∠B ∴∠B =12∠ACB ······················································· （7分） ∴ ∠ACD =∠B ····························································································· （8分）又∵ ∠A =∠A ∴ △ADC ∽△ACB（2009，河池）如图7，在△ABC 中，∠ACB =2B ∠． （1）根据要求作图：① 作ACB ∠的平分线交AB 于D ； ② 过D 点作DE ⊥BC ，垂足为E ． （2）在（1）的基础上写出一对全等三角形 和一对相似比不为．．．．．．．1．的相似三角形： △ ≌△ ；△ ∽△ ． 请选择其中一对加以证明．解：（1）①正确作出角平分线CD ； ························ （2分）②正确作出DE ． ·································· （4分）（2）△BDE ≌△CDE ； ·································· （5分） △ADC ∽△ACB ． ·································· （6分）选择△BDE ≌△CDE 进行证明： ∵ DC 平分∠ACB ∴ ∠DCE =12∠ACB 又∵ ∠ACB =2∠B ∴ ∠B =12∠ACB ∴ ∠DCE =∠B ··························································································· （7分） ∵ DE ⊥BC ∴ ∠DEC =∠DEB =90° ·················································· （8分） 又∵ DE =DE ∴ △BDE ≌△CDE （AAS ） ············································ （9分） 或选择△ADC ∽△ACB 进行证明：∵ DC 平分∠ACB ∴∠ACD =12∠ACB 又∵ ∠ACB =2∠B ∴∠B =12∠ACB ······················································· （7分） ∴ ∠ACD =∠B ····························································································· （8分）又∵ ∠A =∠A ∴ △ADC ∽△ACBACEBDACB图7 ACEBD（2009，桂林）如图，在△ABC 中，∠A ＝α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1 得∠A 1 ，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2 , 得∠A 2 ， ……，∠A 2008BC 的平分线与∠A 2008CD 的平分线交于点A 2009 ，得∠A 2009 ,则∠A 2009＝ 。
2009年中考数学三角形与全等三角形经典题
2009年中考数学三角形与全等三角形1、如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°．（1）求DBC ∠的度数； （2）求证：BD CE =．2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CB,AD=CD 。
求证：∠C=∠A.图3图43、如图2，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于E ，BF DE ∥，交AG 于F ．求证：AF BF EF =+．4、如图3，已知点E C ，在线段BF 上，BE=CF ，AB ∥DE ，∠ACB=∠F ．求证：ABC DEF △≌△．5、如图4，在□ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．求证：FA ＝AB ．图2DCBA EFG DCBA第13（3）题 图C E B FDAA DCB E图5 图6 6、如图5，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．7、如图6，在等腰梯形ABCD 中，E 为底BC 的中点，连结AE 、DE ．求证：ABE DCE △≌△．8、如图7，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点，求证：（1）ACE BCD △≌△；（2）222AD DB DE +=．图8 图9 图10 9、如图8：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ．（1）图中共有 对全等三角形； （2）写出你认为全等的一对三角形，并证明．10、如图9，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点，求证：（1）ACE BCD △≌△；（2）222AD DB DE +=．A D OC B EC B A DD C AB EF7图12 图13图1111、如图10：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，将ADC △沿AC 边所在的直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ． 求证：EC AB ∥．12、如图11：在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB ＝2CD ，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连结EF 、EC 、BF 、CF 。
2009—2012全国中考数学四边形及全等三角形题汇编
2009—2012全国中考数学四边形及全等三角形题汇编（2009四川资阳）如图8-1，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与A 、C 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F .(1) 求证：BP =DP ；(2) 如图8-2，若四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP =DP ？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .⑴ 解法一：在△ABP 与△ADP 中，利用全等可得BP =DP .解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP =DP .⑵ 不是总成立 .当四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，点P 旋转到BC 边上时，DP >DC >BP ，此时BP =DP 不成立.说明：未用举反例的方法说理的不得分. ⑶ 连接BE 、DF ，则BE 与DF 始终相等. 在图8-1中，可证四边形PECF 为正方形， 在△BEC 与△DFC 中，可证△BEC ≌△DFC . 从而有 BE =DF（2009山东青岛）将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．证明：⑴ 由折叠可知：∠D＝∠D′，CD ＝AD′，∠C＝∠D′AE． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB ＝CD ，∠C＝∠BAD．………2′ ∴∠B＝∠D′，AB ＝AD′，∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3． ∴∠1＝∠3． ∴△ABE ≌△A D′F． ……………4′ ⑵ 四边形AECF 是菱形．由折叠可知：AE ＝EC ，∠4＝∠5．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC． ∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE ．∵A E ＝EC ， ∴AF＝EC ． 又∵AF∥E C ， 图8-2图8-1 A B C DEF D ′A B C D EF D ′ 1 2 34 56∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AF＝AE ，∴四边形AECF 是菱形．（2009淄博）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明．（1）证明：在△A BC 中， AB =AC ，AD ⊥BC ．∴ ∠BAD =∠DAC ． ………………………………1分 ∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，∴ MAE CAE ∠=∠．…………………………………………2分∴ ∠DAE =∠DAC +∠CAE =⨯21180°=90°．……………3分又 ∵ AD ⊥BC ，CE ⊥AN ，∴ ADC CEA ∠=∠=90°， ………………………………4分 ∴ 四边形ADCE 为矩形． ………………………………5分 （2）说明：给出正确条件得1分，证明正确得2分．例如，当AD=12BC 时，四边形ADCE 是正方形．…………6分证明：∵ AB=AC ，AD ⊥BC 于D ．∴ DC=12BC ． ………………………………………7分又 AD=12BC ，∴ DC=AD ．由（1）四边形ADCE 为矩形，∴ 矩形ADCE 是正方形．（2009甘肃陇南）四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ． （1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想． (1) 证明： 如图，∵ AD =CD ，DE =DG ，∠ADC =∠GDE =90o， 又 ∠CDG =90o+∠ADG =∠ADE ，A B C DMN E (第8题)∴ △ADE ≌△CDG ． ∴ AE =CG ． （2）猜想： AE ⊥CG ． 证明： 如图，设AE 与CG 交点为M ，AD 与CG 交点为N ． ∵ △ADE ≌△CDG ， ∴ ∠DAE =∠DCG ． 又∵ ∠ANM =∠CND ， ∴ △AMN ∽△CDN ． ∴ ∠AMN =∠ADC =90o．∴ AE ⊥CG ．（2009江苏扬州）如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转n 后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 交于点O ．（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直．．．．．．．，并说明这两条线段互相垂直的理由； （2）若正方形的边长为2cm ，重叠部分（四边形AEOD ）的面积为243cm 3，求旋转的角度n ． 解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是______和______． 理由如下： （2）（1）AO DE ⊥证明：在Rt ADO △与Rt AEO △中，AD AE AO AO ==，， Rt Rt ADO AEO ∴△≌△，DAO OAE ∴∠=∠（即AO 平分DAE ∠） AO DE ∴⊥（等腰三角形的三线合一） 注：其它的结论也成立如GD BE ⊥． （2）30四边形AEOD 的面积为433， ∴三角形ADO 的面积2323AD DO ⨯=， 2323AD DO ==，，3030DAO EAB ∴∠=∴∠=，． （2009浙江台州）把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？ 请先观察猜想，然后再证明你的猜想．解：HG HB =． 证法1：连结AH ，∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形．GDOC FEBAD CG HF∴90B G ∠=∠=°．由题意知AG AB =，又AH AH =．Rt Rt ()AGH ABH HL ∴△≌△，HG HB =∴．（2008兰州）如图，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．（1）证明：当时，，又，四边形为平行四边形．（2）证明：四边形为平行四边形，．．（3）四边形可以是菱形．理由：如图，连接， 由（2）知，得，与互相平分． 当时，四边形为菱形． 在中，，，又，，，绕点顺时针旋转时，四边形为菱形．（2008山西省）如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF 。
2009年中考数学试题汇编之25-相似试题及答案
2009年中考试题专题之25-相似试题及答案一、选择题1．（2009年滨州）如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC=；④2AC AD AB =． 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【关键词】三角形相似的判定.【答案】C2.（2009年上海市)如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BC DF CE =B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF=【关键词】平行线分线段成比例【答案】A3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1【关键词】【答案】B4. (2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形【答案】D5.（2009重庆綦江）若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1 D【关键词】【答案】B6.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B7.2009年宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ）A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形【关键词】位似【答案】C8.（2009年江苏省）如图，在55 方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）A ．先向下平移3格，再向右平移1格B ．先向下平移2格，再向右平移1格C ．先向下平移2格，再向右平移2格D ．先向下平移3格，再向右平移2格【关键词】平移【答案】D9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
09年中考数学三角形与中考
第六章三角形与中考中考要求及命题趋势1、、线段的和与差及线段的中点；2、角的概念、分类及计算；3、对顶角、余角、补角的性质及计算；度、分、秒的换算；4、垂线、垂线段、线段的垂直平分线的定义及性质；5、直线平行的条件的应用；6、平行线的特征的应用。
7、三角形三边的关系；三角形的分类8、三角形内角和定理；9、全等三角形的性质10、三角形全等的条件11、三角形中位线的定义及性质12、等腰三角形的性质与条件；13、直角三角形的性质与判别条件2007年中考，将继续考查线段的中点的概念及应用，对顶角、余角、补角的性质及应用。
继续考查垂线、线段的垂直平分线的性质的应用，平行线性质与判定方法的应用。
三角形全等的性质和判别条件，等腰三角形、直角三角形的性质和判别条件。
应试对策1、认真掌握好线段中点的定义及相关表示方法，对顶角、邻补角、余角的性质。
2、认真掌握垂线，线段垂直平分线的性质与判别；平行线的性质与判定方法3、熟练掌握与三角形有关的基本知识和基本技能；三角形全等的性质和判别条件，等腰三角形、直角三角形的性质与判别条件，并需注意将有关知识应用到综合题的解题过程中去，如把某些问题化为三角形的问题求解；能从复杂的图形中寻求全等的三角形等。
第一讲几何初步及平行线、相交线【回顾与思考】〖知识点〗两点确定一条直线、相交线、线段、射线、线段的大小比较、线段的和与差、线段的中点、角、角的度量、角的平分线、锐角、直角、钝角、平角、周角、对顶角、邻角、余角、补角、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角、平行线、平行线的性质及判定、命题、定义、公理、定理〖大纲要求〗1．了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一个交点， 解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形；2．了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行〖考查重点与常见题型〗1．求线段的长、角的度数等，多以选择题、填空题出现，如：已知∠а＝112°，则∠а的补角的度数是2．利用平行线的判定与性质证明或计算，常作为主要定理或公理使用，如： 如图，AB ∥CD ，∠CFE ＝112°，ED 平分∠BEF ，交CD 于D ，则∠EDF ＝【例题经典】角的计算例1．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_________．图形，可作出一条辅助线，从而把问题化难为易．点评：适当添加辅助线是解决几何问题的重要手段，有时方法不唯一，可引导学生多方面、多角度去思考．例2、如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形，∠AOB 画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P ，使点P 落在∠AOB 的平分线上。
历年中考全等三角形
（2009年浙江省绍兴市）如图，在ABC△中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°．（1）求DBC ∠的度数； （2）求证：BD CE =．（2009年福州）如图，已知AC 平分∠BAD ，∠1=∠2，求证：AB=AD（2009年宜宾）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CB,AD=CD 。
求证：∠C=∠A.DCBA第13（3）题 图(2009武汉)如图，已知点E C ，在线段BF 上，BE=CF ，AB ∥DE ，∠ACB=∠F ．求证：ABC DEF △≌△．（2009年北京市）已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90，CD AB ⊥于点D,点E 在AC上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F .求证：AB=FC（2009年黄石市）如图，C F 、在BE 上，A D AC DF BF EC ∠=∠=，∥，．求证：ABDE =．OCEBDAABC FE DC E B FDA（2009年广西梧州）如图（7），△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于 点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ．求证：AD ＝CE ；(2009年肇庆市)如图 8，在ABC △中，36AB AC A =∠=，°，线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，连接BE ． （1）求证：∠CBE =36°； （2）求证：2AE AC EC =．DBCAENMO 图（7）AE CBD图8(2010江苏苏州) (本题满分6分)如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)若∠D=50°，求∠B的度数．（2010四川宜宾，13(3)，5分）如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．（2010湖北武汉）如图，B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．求证：AC=DF（2010江苏淮安）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,求证：AE=BD．（2010北京）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．求证：∠ACE=∠DBF．（2010 重庆江津）已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．求证：⑴△ABC≌△DEF；⑵BE＝CF．（2010广西梧州）如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC。
中考数学专题17 三角形与全等三角形
温馨提示：
三角形的边、角之间的关系是三角形中重要的性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到。学习时应结合图形，做到熟练、准确地应用。
三角形的角平分线、高、中线均为线段。
（三）全等三角形的概念与性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
【答案】(1)C(2)A(3)C
方法总结：
（1）考查三角形的边或角时，一定要注意三角形形成的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（2）在求三角形内角和外角时，要明确所求的角属于哪个三角形的内角和外角，要抓住题目中的等量关系；
类型二全等三角形
(1)如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_________________________.
2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3．三角形中的重要线段
(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．
(2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．
(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．
(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等．
1．(2009·温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是()
A．1cm，2cm，3.5cmB．4cm，5cm，9cm
C．5cm，8cm，15cmD．6cm，8cm，9cm
解析：计算较小两数的和与最大数比较，大于的组成三角形，否则不能．
答案：D
2．(2008·嘉兴)如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位线，则DE＝()
2009年数学中考真题
[2009]13．如图5，直线、被所截，且°．°．[2009]2．图1是一个五边形木架，它的内角和是（）是一个五边形木架，它的内角和是（） A ．B ．C ．D ．[2009]15．三角尺在灯泡的照射下在墙上形成影子（如图6所示）.现测得，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是．，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是．[2009]22．已知在平面直角坐标系中的位置如图10所示．所示． （1）分别写出图中点的坐标；的坐标； （2）画出绕点按顺时针方向旋转； （3）求点旋转到点所经过的路线长（结果保留）．[2009]23．如图11，、是半径为1的的两条切线，点、分别为切点，． （1）在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；）在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；（2）求阴影部分的面积（结果保留）．a b c 11202a b Ð=Ð=∥，°，则720°540°360°180°O 20cm 50cm OA OA ¢==，ABC △A C 和点ABC △C 90A B C ¢¢¢°后的△A A ¢πPA PB O ⊙A B 60APB OP AB C O D Ð=°，与弦交于点，与⊙交于点π图1 c a b 1 2 图5 图6 A A ′ O 灯 三角尺三角尺 投影投影 A 北 图10 y x 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8 7 6 5 4 3 2 1 B C A 图11 P A O B D C 3cm 的半径为23cm A ． B ． C ． D ． A BCDC A OE A DF P3-22x+1-1 0 1 2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 个1 O y3 y 元 48000 28000 0 500 1000 (mx为 _____________海里（结果保留根号）分数段分数段 频数频数 频率频率 60≤x ＜70 30 0.15 70≤x ＜80 m 0.45 80≤x ＜90 60 n2 A C P 东45° 30°2 5 10 17 3 6 11 18 12 19 16 15 14 20 25 24 23 22 频数 120 90 60 30 0 90 90 100 100 80 60 70 90≤x＜100 20 0.1 CEA BOD。
2009高考试题及答案 2009年中考试题专题之16三角形与全等三角形试题及答案
2009高考试题及答案2009年中考试题专题之16-三角形与全等三角形试题及答案导读：就爱阅读网友为您分享以下“2009年中考试题专题之16-三角形与全等三角形试题及答案”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to 的支持!②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD?m，AE?AF?n，则S△AEF?mn；④EF不能成为△ABC的中位线．其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）【22、(2009年达州)如图5，△ABC中，AB＝AC，与∠BAC 相邻的外角为80°，则∠B＝____________.23、(2009年达州)长度为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是______________.【关键词】三角形三边关系,概率【答案】3 4三、解答题1、（2009年浙江省绍兴市）如图，在△ABC中，分别以AB，ACAB?AC，?BAC?40°，为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使?BAD??CAE?90°．（1）求?DBC的度数；（2）求证：BD?CE．2、（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(?8，0)，直线BC经过点B(?8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转?度得到四边形OA?B?C?，此时直线OA?、直线B?C?分别与直线BC相交于点P、Q．（1）四边形OABC的形状是，当??90°时，BP的值是；BQ（2）①如图2，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在y轴正半轴时，求BP的值；BQ②如图3，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在直线BC上时，求△OPB?的面积．（3）在四边形OABC旋转过程中，当0??≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP?1BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2（图2）【答案】综．）（图3）（备用图）（第26题）3、（2009年福州）如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD4、（2009年宜宾）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD。
三角形与全等三角形试题及答案
9、（2009年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（）．
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形的外角和等于360°
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
10、（09湖南怀化）如图，在 中， ， 是 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ．已知 ，则 的度数为（）
5、（2009年衡阳市）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）
A．AB中点B．BC中点
C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点
A．2B．3C． D． 14、（2009年广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB_15、（2009肇庆）如图，_ EMBED Equation.DSMT4 ___中，_ EMBED Equation.DSMT4 ___，DE过点C，且_ EMBED Equation.DSMT4 ___，若_ EMBED Equation.DSMT4 ___，则∠B的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．65° _16、（2009年邵阳市）如图，将Rt△ABC(其中∠B＝34_，∠C＝90_）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1 C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）A.56_ B.68_ C.124_D.180__ SHAPE \* MERGEFORMAT ____17、（2009年湘西自治州）一个角是80°，它的余角是（ ）A．10°B．100°C．
中考备考数学总复习14讲三角形与全等三角形(含解析)
第14讲三角形与全等三角形[锁定目标考试]考标要求考查角度1.了解三角形和全等三角形有关的概念，知道三角形的稳定性，掌握三角形的三边关系．2．理解三角形内角和定理及推论．3．理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．4．掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明.中考多以填空题、选择题的形式考查三角形的边角关系，通过解答题来考查全等三角形的性质及判定．全等三角形在中考中常与平行四边形、二次函数、圆等知识相结合，考查运用知识的能力.[导学必备知识]知识梳理一、三角形的概念及性质1．概念(1)由三条线段________顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．2．性质(1)三角形的内角和是______；三角形的一个外角等于与它不相邻的____________；三角形的一个外角大于与它________的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和______第三边；三角形任意两边之差________第三边．二、三角形中的重要线段1．三角形的角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的________．2．三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作______，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点，这个点叫做三角形的______．3．三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边______的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的______．4．三角形的中位线连接三角形两边______的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的________．三、全等三角形的性质与判定1．概念能够________的两个三角形叫做全等三角形．2．性质全等三角形的__________、__________分别相等．3．判定(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．四、定义、命题、定理、公理1．定义对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义．2．命题判断一件事情的语句．(1)命题由________和________两部分组成．命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．(2)命题的真假：正确的命题称为________；错误的命题称为________．(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．3．定理经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题．所以不是所有的定理都有逆定理．4．公理有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫做公理．五、证明1．证明从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过________，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明．2．证明的一般步骤(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．3．反证法先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的．这种证明的方法叫做反证法．自主测试1．(浙江嘉兴)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于() A．40° B．60° C．80° D．90°2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是()A．3,8,4 B．4,9,6 C．15,20,8 D．9,15,83. (贵阳)如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是()A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF4．下面的命题中，真命题是()A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等5．(四川雅安)在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC．能得出△ADB≌△ADC的序号是__________．6．(广东广州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE ＝CD．[探究重难方法]考点一、三角形的边角关系【例1】若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是()A．1 B．5 C．7 D．9解析：设第三边为x，根据三角形三边的关系可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.答案：B方法总结 1.在具体判断时，可用较小的两条线段的和与最长的线段进行比较．若这两条线段的和大于最长的那条线段，则这三条线段能组成三角形．否则就不能组成三角形．2．三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系．触类旁通1已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为()A．2 B．3 C．5 D．13考点二、全等三角形的性质与判定【例2】(云南)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过点M作ME∥BC交AB于点E.求证：△ABC≌△MED．证明：在△ABC和△MED中，∵BC∥EM，∴∠MED＝∠B．∵DM⊥AB，∴∠MDE＝90°，∴∠C＝∠MDE.∵AC＝MD，∴△ABC≌△MED．方法总结 1.判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．在具体的证明中，要根据已知条件灵活选择证明方法．2．全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系．触类旁通2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．求证：△BEC ≌△CDA ． 考点三、真假命题的判断【例3】 (湖南益阳)下列命题是假命题．．．的是( ) A ．中心投影下，物高与影长成正比B ．平移不改变图形的形状和大小C ．三角形的中位线平行于第三边D ．圆的切线垂直于过切点的半径解析：同一时刻，平行投影下物高与影长成正比，故A 项错误；平移是全等变换，不改变图形的形状和大小，故B 项正确；三角形的中位线平行于第三边，故C 项正确；圆的切线垂直于经过切点的半径是切线的性质，故D 项正确．答案：A方法总结 对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题．触类旁通3已知三条不同的直线a ，b ，c 在同一平面内，下列四个命题：①如果a ∥b ，a ⊥c ，那么b ⊥c ；②如果b ∥a ，c ∥a ，那么b ∥c ；③如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ⊥c ；④如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ∥C ．其中为真命题的是__________．(填写所有真命题的序号)考点四、证明的方法【例4】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E.求证：(1)△BFC ≌△DFC ； (2)AD ＝DE .证明：(1)∵CF 平分∠BCD ，∴∠BCF ＝∠DCF . 在△BFC 和△DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCF ＝∠DCF ，FC ＝FC ，∴△BFC ≌△DFC ． (2)如图，连接BD ．∵△BFC≌△DFC，∴BF=DF.∴∠FBD=∠FDB．∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．又BD是公共边，∴△BAD≌△BED．∴AD=DE.方法总结 1.证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有据，推理严密．要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法．2．证明的基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法；(2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；(3)两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法．触类旁通4如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF，垂足分别为点E，F.求证：BE=CF.[品鉴经典考题]1．(湖南长沙)现有3 cm,4 cm,7 cm,9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42．(湖南娄底)下列命题中，假命题是()A．平行四边形是中心对称图形B．三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等C．对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差D．若x2＝y2，则x＝y3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是()A．1 cm,2 cm,4 cm B．4 cm,6 cm,8 cm C．5 cm,6 cm,12 cm D．2 cm,3 cm,5 cm4．(湖南长沙)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，则外角∠ACD＝__________°.5．(湖南郴州)已知，点P是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，经过点P的直线EF交AB于点E，交DC于点F.求证：AE=CF.6. (湖南衡阳)如图所示，AF＝DC，BC∥EF，请你只补充一个条件，使△ABC≌△DEF，并说明理由．[研习预测试题]1．如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得P A＝16 m，PB＝12 m，那么AB间的距离不可能是()A．5 m B．15 m C．20 m D．28 m2．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为()A．2 2 B．4 C．3 2 D．4 23．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B ＝__________.4．如图，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________．5．如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为__________．6．如图，点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1__________(填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是__________(只需写出一个)．7．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB＝FC．8．如图，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF.参考答案【知识梳理】一、1.(1)首尾2．(1)180° 两个内角的和 不相邻 (2)大于 小于 二、1.内心 2.垂线 垂心 3．中点 重心 4.中点 一半三、1.完全重合 2.对应边 对应角四、2.(1)题设 结论 (2)真命题 假命题 (3)结论 题设 五、1.逻辑推理 导学必备知识 自主测试1．A 设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝x ＋20°，则x ＋2x ＋x ＋20°＝180°，解得x ＝40°，即∠A ＝40°.2．A3．B 由已知可得两个三角形已有两组边对应相等，还需要另一组边对应相等或夹角对应相等，只有B 能满足条件．4．D5．①②④ 由题意知AD ＝AD ，条件①可组成三边对应相等，条件②可组成两角和其中一角的对边对应相等，条件④可组成两边及其夹角对应相等，这三个条件都可得出△ADB ≌△ADC ，条件③组成的是两边及其一边的对角对应相等，不能得出△ADB ≌△ADC .6．证明：∵在△ABE 和△ACD 中，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，∴△ABE ≌△ACD (ASA)．∴BE ＝CD .探究考点方法触类旁通1.B 由三角形三边的关系可得13－2＜x ＜13＋2，即11＜x ＜15， ∵x 为正整数，∴x 为12,13,14，故选B.触类旁通2.证明：∵BE ⊥CF 于点E ，AD ⊥CE 于点D ， ∴∠BEC ＝∠CDA ＝90°.在Rt △BEC 中，∠BCE ＋∠CBE ＝90°， 在Rt △BCA 中，∠BCE ＋∠ACD ＝90°， ∴∠CBE ＝∠ACD . 在△BEC 和△CDA 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CDA ，∠CBE ＝∠ACD ，BC ＝CA ，∴△BEC ≌△CDA . 触类旁通3.①②④触类旁通4.证明：∵在△ABC 中，AD 是中线， ∴BD ＝CD .∵CF ⊥AD ，BE ⊥AE ，∴∠CFD ＝∠BED ＝90°. 在△BED 与△CFD 中，∵∠BED ＝∠CFD ，∠BDE ＝∠CDF ，BD ＝CD ， ∴△BED ≌△CFD ，∴BE ＝CF .品鉴经典考题1．B 根据三角形三边关系，能组成三角形的是：3,7,9；4,7,9. 2．D 若x 2＝y 2，则x ＝y 或x ＝－y ，所以D 是假命题． 3．B4．105 ∠ACD ＝∠A ＋∠B ＝45°＋60°＝105°. 5．证明：在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠ACD ＝∠BAC .在△APE 和△CPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACD ＝∠BAC ，∠CPF ＝∠APE ，PC ＝P A ，∴△APE ≌△CPF .∴AE ＝CF . 6．解：答案不唯一，如BC ＝EF 等． 理由：∵AF ＝DC ，∴AC ＝DF . ∵BC ∥EF ，∴∠BCA ＝∠EFD . 又BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF .研习预测试题1．D 由三角形三边关系知16－12＜AB ＜16＋12，故选D. 2．B 因为由已知可证明△BDF ≌△ADC ，所以DF ＝CD . 3．70° 4.α＝β＋γ5．60° ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠CDE ＋∠CED ＋∠C ＝180°， ∴∠A ＋∠B ＝∠CDE ＋∠CED .∴∠A ＋∠B ＋∠CDE ＋∠CED ＝2(∠A ＋∠B )＝280°. ∵∠1＋∠2＋∠CDE ＋∠CED ＋∠A ＋∠B ＝360°， ∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°. 又∵∠1＝20°，∴∠2＝60°. 6．不是 ∠B ＝∠E (答案不唯一)7．证明：∵FE ⊥AC 于点E ，∠ACB ＝90°， ∴∠FEC ＝∠ACB ＝90°.∴∠F ＋∠ECF ＝90°. 又∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠A ＋∠ECF ＝90°. ∴∠A ＝∠F .在△ABC 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠F ，∠ACB ＝∠FEC ，BC ＝CE ，∴△ABC ≌△FCE . ∴AB ＝FC .8．证明：∵AD ＝EB ，∴AD －BD ＝EB －BD ，即AB ＝ED .又∵BC∥DF，∴∠CBD＝∠FDB. ∴∠ABC＝∠EDF.又∵∠C＝∠F，∴△ABC≌△EDF.∴AC＝EF。
2009年中考数学专题复习——全等三角形
2009年中考数学专题复习——全等三角形一、选择题1. （2008年山东省潍坊市）如图, Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AD ⊥BC ,平分∠ABC ，交A D 于E ，EF ∥AC ，下列结论一定成立的是（ ）A.AB =BFB.AE =EDC.AD =DCD.∠ABE =∠DFE ，AB C D EF2.(2008年成都市)如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( ) (A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF3．（08绵阳市）如图，O 是边长为1的正△ABC 的中心，将△ABC 绕点O 逆时针方向旋转180°，得△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1与△ABC 重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）．A ．33 B ．43 C ．63 D ．834.(2008 台湾)如图，有两个三角锥ABCD 、EFGH ，其中甲、乙、丙、丁分别表示❒ABC 、❒ACD 、 ❒EFG 、❒EGH 。
若∠ACB =∠CAD =∠EFG =∠EGH =70︒，∠BAC =∠ACD =∠EGF =∠EHG =50︒，则下列叙述何者正确？ ( )(A)甲、乙全等，丙、丁全等 (B) 甲、乙全等，丙、丁不全等(C) 甲、乙不全等，丙、丁全等 (D) 甲、乙不全等，丙、丁不全等5.（2008年湖南省邵阳市）如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B ．AC AD = C ．ACB ADB ∠=∠ D ．CAB DAB ∠=∠6.（2008年江苏省无锡市）如图，OAB △绕点O 逆时针旋转80到OCD △的位置，已知45AOB ∠= ，则AOD ∠等于（ ）Ａ．55Ｂ．45Ｃ．40Ｄ．35二、填空题1、（2008年山东省滨州市）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。
2009年中考数学分类汇编专题测试(5)——三角形的角和边
2009年中考数学分类汇编专题测试一一三角形的角和边5.（ 2008年浙江省嘉兴市）已知等腰三角形的一个内角为 50，则这个等腰三角形的顶角为（ ）A. 50B. 80C. 50 或 80D. 40 或 656. （2008年山东省枣庄市）如图，已知△ ABC 为直角三角形，/ C =90。
，若沿图中虚线剪去/ C 则/ 1 + Z 2等于7、 （2008 湖北 十堰）下列长度的三条线段，能组成三角形的是 （）A. 1cm, 2 cm ， 3cm B . 2cm ， 3 cm ， 6 cm C. 4cm, 6 cm ， 8cm D . 5cm, 6 cm ， 12cm 8、 （2008 湖北 十堰）如图，在△ ABC 中, AODC=DB / ACD 100。
，贝UZ B 等于（）A. 50 ° B . 40° C . 25° D. 20°1. A. .选择题（2008山东威海）.若三角形的三边长分别为0 v x v 8 B. 2v x v 8 C. 0v x v 6 2. A. （2008年陕西省）一个三角形三个内角的度数之比为 直角三角形B .等腰三角形C •锐角三角形3, 4, x -1，则x 的取值范围是（D. 2v x v 6 2:3:7 ，这个三角形- -定是 D.钝角三角形3. （2008湖北鄂州）如图2,已知△ ABC 中，• ABC =45：：, AC =4 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ A.B. 4C. 2、、3D.△ ABC 中, 已知AB =8,二（ ）C. 2D. 1C . 180D . 135C4. （ 2008年浙江省嘉兴市）如图,DE 是中位线，则DE BA . 315°B . 270°A9.（2008 山东聊城）如图，.1 =100：, 2=145，那么.3=（）A. 300B. 400C. 500D. 60011. （2008山西太原）如图，在|_ABC中，D, E分别是边AB, AC的中点, 已知BC=1Q贝UDE的长为（）A.3B.4C.5D.612. （2008山西太原）如果三角形的两边分别为3和5,那么这个三角形的周长可能是（A.15B.16C.8D.713. （2008 黑龙江黑河）如图，将△ABC沿DE折叠，使点1EF // AB 且EF AB :② BAF "CAF ；2④.BDF • • FEC =2 BAC，正确的个数是（A. 0< x v8B. 2< x< 8C. 0 < x < 6D. 2 < x < 6CA. 1B. 2C. 3D. 414.（2008年山东省威海市）若三角形的三边长分别为3, 4, x-1，贝U x的取值范围是（C. 75D. 85°10. （2008山西太原）在|_ABC中, ■ B =40°, . C =80°，则.A的度数为(）F列结论中：①③S四边形ADFE1AF L DE；A与BC边的中点F重合,二.填空题1、（ 2008山东威海）如图，在正五边形 ABCD 中，连结 AC AD 则/ CAD 勺度数是2. ____________________________________________________ （ 2008湖南益阳）如图 5,在厶ABC 中,AB=AC AD 是 BC 边上的高，点 E 、F 是AD 的三等分点，若△ ABC 的面积为12cm ,则图中阴影部分的面积是___________________________________________________________ cm .3. 的度数是ABCDE 是一个正五边形，则图中/ ABC4.（2008年沈阳市）已知 △ ABC 中,• A = 60“，ABC , ACB 的平分线交于点 0，则.BOC 的度数 为 __________ .5. （ 2008年江苏省南通市）如图,DE// BC 交AB AC 于D E 两点，CF 为BC 的延长线，若/ ADE= 50°, 度•6. （2008年江苏省南通市）已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法:方法方法直接法补形法方法三：分割法.计算三角形一边的长，并求出该边上的高.•将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三现给出三点坐标：A （- 1, 4）, B （2, 2）, C （4,—1）,请你选择一种方法计算厶ABC的面积，你的答I案^是S A ABC^ __________ .7.（2008年江苏省无锡市）如图，OB =OC , . B =80：，则.AOD二 _________ .& （2008湖北鄂州）如图8,在厶ABC中，• BAC =45 , AD _ BC于D点，已知BD = 6, CD = 4 , 则高AD 的长为____________________ .9. ________________ （2008湖北鄂州）如图7,正方体的棱长为2, 0为边AD的中点，则以O,A1〉B三点为顶点的三角形面积为______ .10. （2008北京）如图，在厶ABC中，D, E分别是AB, AC的中点，若DE = 2cm，则BC二—cmA11. （2008江苏宿迁）若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是12. （2008 湖南 长沙）△ ABC 中，/ A=55，/ B=2513. （2008 湖北 恩施）如图，在Rt ^ ABC 中，/ ACB 90'请写出图中一对相等的锐角 ： _________ .{ ________14. （ 2008山东东营）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点 A, E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE AD 与 BE 交于点Q AD 与BC 交于点P , BE 与CD 交于点Q,连结PQ 以下五个结论：① AD=BE; ② PQ/ AE ③ AP=BQ ④ DE=DP ⑤ / AOB 60°.恒成立的结论有 _________________ 15. （2008浙江金华）15、把两块含有300的相同的直角尺按如图所示摆放,连结CD 若AC=6cm 贝U △ BCD 的面积是 __________ . __________16. （ 2008佳木斯市）三角形的每条边的长都是方程 x 2 -6x • 8 = 0的根，则三角形的周长是 _____________ 17. （ 2008广东）已知等边三角形 ABC 的边长为3十J3，则△ ABC 的周长是 _____________ ; 18. （ 2008广东）如图1，在△ ABC 中，M N 分别是 AB AC 的中点，且/ A + / B=120°，则/ AN M= _________ °图119. （ 2008浙江湖州）利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的 定理，这个定理称为 ________________________ ，该定理的结论其数学表达式是 ___________________，则/ C= .________,CD L AB D 为垂足.在不添加辅助线的情况下 只需写出一对即可）（把你认为正确的序号都填上） 使点C B 、E 在同一条直线上,C a b20. （2008四川内江）如图， Rt △ ABC •是由Rt △ ABC 绕B 点顺时针旋转而得，且点 A , B , C 在同一 条直线上，在 Rt A ABC 中，若/ C =90； , BC =2, AB = 4，则斜边AB 旋转到A B 所扫过的扇形面21. （2008 云南省）在 AABC 中，/A:N B =2:1 , N C =60^U N A = ______________ .22. （2008宁夏）已知a 、b 、c 为三个正整数，如果 a +b +c =12，那么以a 、b 、c 为边能组成的三角形是: ①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形.以上符合条件的正确结论 是 _____________ .（只填序号）23. （ 2008 湖南常德市）如图 1,已知 AD//BC, / EAD=50\ / ACB=40\ 则/ BAC=.24. （ 2008 桂林市）如图，/ACD= 155： ZB= 35：则ZA= ___ 度.25. （ 2008年浙江省衢州）如图，点 C 在线段AB 的延长线上，.DAC =15 ,NDBC=110°，则N D 的度数是 ________________26. （2008年浙江省衢州）如图，点 D E 分别在△ ABC 的边上AB AC 上，且.AED 工/ABC ，若DE=3, BC=6 AB=8贝U AE 的长为_____________b27. （2008四川达州市）某机器零件的横截面如图所示，按要求线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格，一工人测得.A =23，. D =31，. AED =143，请你帮他判断该零件是否合格.（填“合格”或“不合格”）三.解答题1. （2008年山东省青岛市）如图，AB, AC表示两条相交的公路，现要在/ BAC的内部建一个物流中心. 设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A点的距离为1000米.（1）若要以1 : 50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A点的图上距离；（2）在图中画出物流中心的位置P.1cm2. （2008广东）如图3,在4 ABC中，AB=AC=10 BC=8用尺规作图作BC边上的中线AD （保留作图痕迹, 不要求写作法、证明），并求AD的长.3. （2008湘潭市）如图，四边形ABC［是矩形，E是AB上一点，且DE=AB过C作CF丄DE垂足为F.（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论.A E4. （2008四川内江）如图，在△ ABC 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD = BE ，/ BAD 二/ BCE , AD 与CE 相交于点F ，试判断△ AFC 的形状，并说明理由.三角形的角和边答案一. 选择题1. D2.D3.B4.B5.C6.B7.C8.D9.B 10.D 11.C 12.A 13.B 14.B 二. 填空题 1.36 2. 6 3. 108° 4. 1205. 606.57. 20 8. 12 9.6 10. 4;11.8 12. 100213./ A =Z 2 或 / 仁/B 14.①②③⑤ 15. 27 ; 16. 6 或 10 或 12 17. 9 3,3 18.60 19.勾股定理，a 2+b 2=c 2 20. 21.80 ° 22.①②③ 23. 90°24. 12025. 9526. 4 27. 不合格三. 解答题 1.解：(1) 1000 米=100000cm, 100000 - 50000= 2 (cm )•••物流中心到公路交叉处 ............................... A 点的图上距离 2cm 2分 （2）作/ BAC 的角平分线，且 AP = 2cm.................... 6分2. 解：（1）作图正确得2分（不保留痕迹的得 1分）（2）在厶ABC 中，AB=AC 人。
2009年中考数学复习 全等三角形
2009年中考数学复习全等三角形课前热身1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线交于O点，钝角∠AOB=_____．2．已知三角形的两边分别为7cm和12cm，•则它的周长必须大于_______•而小于_______．3．（ 06某某）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．6对知识整理1．三角形全等的判定：SAS，ASA（AAS），SSS，HL2．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等因此利用全等三角形可证明线段相等或角相等的题目．例题讲解例1．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△A≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是_________．例2．（06某某）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．课堂练习1.如图所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_______．（第1题图）2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D•点到直线AB的距离是_______cm．（第2题图）3．（ 06德阳）已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm 和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似．•要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边．那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（）ECBAA ．10，25B ．10，36或12，36C ．12，36D ．10，25或12，364．（05黄冈）如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形； ③S 四边形AEPF =12S △ABC ；④EF=AP ． 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E•不与A 、B 重合），上述结论中始终正确的有（ ） A ．①④ B ．①②C ．①②③ D ．①②③④（第4题图）5．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAD=30°，求∠EDC 的度数．（第5题图）6．（07某某）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，P 为梯形ABCD 外一点，PA 、PD 分别交线段BC 于点E 、F ，且PA=PD ．（1）写出图中3对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．（第6题图）PFECDB A。
2009年中考复习 三角形及三角形全等(学案+试卷及答案)
C第1课 三角形及三角形全等的应用教学案课前导练 【提优重点】熟练掌握与三角形有关的基本知识和基本技能；三角形全等的性质和判别条件，等腰三角形、直角三角形的性质与判别条件，并需注意将有关知识应用到综合题的解题过程中去，如把某些问题化为三角形的问题求解；能从复杂的图形中寻求全等的三角形等。
【真题热身】一、选择题（走进中考）1.（08辽宁沈阳）若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A ．50B ．80C ．65 或50D ．50 或802.（08山西太原）在A B C △中，4080B C ∠=∠=，，则A ∠的度数为（ ） A ．30B ．40C ．50D ．603、（08四川资阳）如图3，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E＝30°，D 为AB 的中点，AC ＝1，若△DEC 绕点D 顺时针旋转，使ED 、CD 分别与Rt△ABC 的直角边BC 相交于M 、N ，则当△DMN 为等边三角形时，AM 的值为（ ）AB3C3D ．14.（08山西太原）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）A ．15B ．16C ．8D ．75、（08山东潍坊）如图，R t A B C △中，A B A C ⊥，A D B C ⊥，B E 平分A B C ∠，交A D 于E ，E F A C ∥，下列结论一定成立的是（ ） A ．A B B F = B ．A E E D =C ．AD D C =D ．A BE DF E =∠∠二、填空题6、（08年江苏南京）若等腰三角形的一个外角为70，则它的底角为 度． 7、（08年江苏宿迁）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为____． 8、(08甘肃白银等)已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为9、（08湖南长沙）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90︒，AB=10cm ，D 为AB 的中点，则CD= cm.10、（08四川泸州）如图AD 与BC 相较于O ，AB∥CD，oB 20∠=，oD 40∠=，EA BD FCO BA 图3（第3题）那么B O D ∠的度数为 .11、（08山东滨州）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：① AD=BE； ② PQ ∥AE ； ③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°．恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． 12、（08山东济南）如图，在∆ABC 中，EF 为∆ABC 的中位线，Ｄ为BC 边上一点(不与B 、C 重合)，AD 与EF 交于点Ｏ，连接DE 、DF ，要使四边形AEDF 为平行四边形，需要添加条件 ．(只添加一个条件)第1课三角形全等的应用 练案一、选择题1、（08黑龙江鸡西）如图，将A B C △沿D E 折叠，使点A 与B C 边的中点F 重合，下列结论中：①E F A B ∥且12E F A B =；②B A F C A F ∠=∠； ③12A D F E S A F D E =四边形；④2B D F F E C B A C ∠+∠=∠，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42、（08山东济宁如图，A B C △是等腰直角三角形，B C 是斜边，将A B P △绕点A 逆时针旋转后，能与A C P '△重合，如果3A P =，那么P P '的长等于（ ） A．B．C．D．3、（08年江苏无锡）如图，O A B △绕点O 逆时针旋转80到O C D △的位置，已知45A O B ∠=，则AO D ∠等于（ ）Ａ．55Ｂ．45Ｃ．40Ｄ．354、（08浙江省丽水）如图，在三角形A B C 中，A B ＞A C ，D 、E 分别是A B 、A C 上的点，△A D E 沿线段D E 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形A D A E '是菱形，则下列说法正确的是( )C第1题图（第2题A BC ED O P QAEBCF O第12题图DA. D E 是△A B C 的中位线B. A A '是B C 边上的中线C. A A '是B C 边上的高D. A A '是△A B C 的角平分线 5、（08湖北鄂州）如图5已知A B C △中，45A B C ∠=，4A C =，H是高A D 和B E 的交点，则线段B H 的长度为（ ） AB ．4C．D ．56、（08湖北黄石）12．如图，在等腰三角形A B C 中，120A B C ∠=，点P 是底边A C 上一个动点，M N ， 分别是A B B C ，的中点，若P M P N +的最小值为2，则A B C △的周长是（ ）A ．2 B．2+C ．4 D．4+二、填空题 7、（08年江苏徐州）如图，Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，AC ＝5cm ，将△ABC 折叠，使点C 与A 重合，得折痕DE ，则△ABE 的周长等于_________cm.8、（08湖南郴州）如图5，D 是AB 边上的中点，将A B C ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则B D F ∠= __________度．809、（08云南双柏）如图，点P 在A O B ∠的平分线上，若使A O P B O P △≌△，则需添加的一个条件是 ． （只写一个即可，不添加辅助线）10、（08年江苏南通）已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°∠C＝25°则∠AEB ＝ 度．D CBAE H图5AB CPMN BA图8AB PO O ABCDE（第10题）三、解答题1、（08新疆区卷）如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，AD 是△ABC 的角平分线，∠1=∠B ． 求证：AB =AC +CD ．2、（08山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片A B C △和D E F △．将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把D E F △绕点B 顺时针方向旋转，这时A C与D F 相交于点O ．（1）当D E F △旋转至如图②位置，点()B E ，C D ，在同一直线上时，A F D ∠与D C A ∠的数量关系是 ．（2）当D E F △继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）在图③中，连接B O A D ，，探索B O 与A D 之间有怎样的位置关系，并证明．2、解：（1）∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ＝︒=∠4021ABC（2）∵AB ＝BC ， BD 是∠ABC 的平分线，∴D 为AC 的中点 ∵DE ∥BC ，∴E 为AB 的中点，∴DE ＝cmAB 621=2、解：（1）A F D D C A ∠=∠（或相等）． （2）A F D D C A ∠=∠（或成立），理由如下： 方法一：由A B C D E F △≌△，得A B D E B C E F ==，（或B F E C =），AB C D E FB AC ED F ∠=∠∠=∠，．A B C F B C D E F C B F ∴∠-∠=∠-∠，A B F D E C ∴∠=∠．C A E FDBDOAFB (E )ADO F C B (E )图①图②图③在A B F △和D E C △中，A B D E A B F D E C B F E C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，A B F D E C B A F E D C ∴∠=∠△≌△，．B AC B A F ED FE D CF A C C D F ∴∠-∠=∠-∠∠=∠，． A O D F A C A F D C D F D C A ∠=∠+∠=∠+∠ ， A F D D C A ∴∠=∠．方法二：连接A D ．同方法一A B F D E C A F D C ∴=△≌△，． 由A B C D E F △≌△，得F D C A =．在A F D D C A △≌△，A F D C F D C A A D D A =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，A F D D C A ∴△≌△，A F D D C A ∠=∠．（3）如图，B O A D ⊥．方法一：由A B C D E F △≌△，点B 与点E 重合， 得B A C B D F B A B D ∠=∠=，．∴点B 在A D 的垂直平分线上，且B A D B D A ∠=∠．O A D B A D B A C ∠=∠-∠ ， O D A B D A B D F ∠=∠-∠， O A D O D A ∴∠=∠．O A O D ∴=，点O 在A D 的垂直平分线上．∴直线B O 是A D 的垂直平分线，B O A D ⊥．方法二：延长B O 交A D 于点G ，同方法一，O A O D =．在A B O △和D B O △中，A B D B B O B O O A O D =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，A B O D B O A B O D B O ∴∠=∠△≌△，．在A B G △和D B G △中，A B D B A B G D B G B G B G =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，A B G D B G ∴△≌△，90A G B D G B ∠=∠=．B O A D ∴⊥．ADO F CB (E )G。
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2009年中考试题 三角形与全等三角形一、选择题1. （2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为A B C △的A C ，B C 边的中点，将此三角形沿D E 折叠，使点C 落在A B 边上的点P 处．若48C D E ∠=°，则A P D ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°2. （2009年衡阳市）如图2所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．AC 中点 D ．∠C 的平分线与AB 的交点3. （2009年崇左）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）A ．7B ．9C ．12D ．9或124. （2009年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（ ）．A ．三角形两边之和大于第三边B ．三角形的外角和等于360°C ．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形5. （09湖南怀化）如图，在R t ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）A ．30 B ．40 C ．50 D ．606. （2009年清远）如图，AB C D ∥，EF AB ⊥于E E F ，交C D 于F ，已知160∠=°，则2∠=（ ）A ．20°B ．60°C ．30°D ．45°CDB AE F12图2ADCEB21CDBA7. （2009年广西钦州）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ，AC 、BD 交于点O ，则图中全等三角形共有（ ） A ．2对 B ．3对C ．4对D ．5对AB CDO8. (2009年甘肃定西)如图4，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2 B ．3C．D．9. （2009年广西钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACBABCD10. （2009年邵阳市）如图，将Rt △ABC(其中∠B ＝340，∠C ＝900）绕A 点按顺时针方向旋转到△AB 1 C 1的位置，使得点C 、A 、B 1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于 A.560 B.680 C.1240 D.180011. （2009河池）如图，在Rt △ABC 中，90∠=A ，AB =AC＝E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且⊥FE BE ，则△C E F 的面积是（ ）A ． 16B ． 18C ．D ．12. （2009柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个13. （2009年牡丹江）如图， A B C △中，C D AB ⊥于D ，一定能确定A B C △为直角三角形的条件的个数是（ ） ①1A ∠=∠，②C D D B A DC D=，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶，⑤ACBD AC C D =·· A ．1 B ．2 C ．3 D ．41CACFAECD BA14. （2009年台湾）图(三)、图(四)、图(五)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图。
已知 甲的路线为：A →C →B 。
乙的路线为：A →D →E →F →B ，其中E 为AB 的中点。
丙的路线为：A →I →J →K →B ，其中J 在AB 上，且AJ >JB 。
若符号「→」表示「直线前进」，则根据图(三)、图(四)、图(五)的数据，判断三人行进路线 长度的大小关系为何？(A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D )丙<乙<甲 。
15. （2009年娄底）如图1，已知AC ∥ED ，∠C =26°，∠CBE =37°，则∠BED 的度数是( ) A ．63°B ．83°C ．73°D ．53°16. (2009武汉)在直角梯形A B C D 中，A D B C ∥，90A B C A B B C E ∠==°，，为A B 边上一点，15B C E ∠=°，且AE AD =．连接D E 交对角线A C 于H ，连接B H ．下列结论：①A C D A C E △≌△； ②C D E △为等边三角形； ③2E H B E=； ④EDC EHCS AH S C H=△△．其中结论正确的是（ ） A ．只有①②B ．只有①②④C ．只有③④D ．①②③④17. （2009年台湾） 若 ABC 中，∠B 为钝角，且AB =8，BC =6，则下列何者可能为AC 之长度？ (A) 5 (B) 8 (C) 11 (D) 14 。
18. （2009年重庆）观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）DCBEAH圖(三)圖(四)圖(五)A ． 22n +B ．44n +C ．44n -D ．4n19. （2009年重庆）如图，在等腰R t ABC △中，908C A C ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持A D C E =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论①D F E △是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形， ③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8． 其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①④⑤C ．①③④D ．③④⑤ 20. （2009江西）如图，已知A B A D =，那么添加下列一个条件后， 仍无法判定A B C A D C △≌△的是（ ）A ．CBCD = B ．B A C D A C =∠∠C ．B C AD C A =∠∠ D ．90B D ==︒∠∠21. 如图，OP 平分A O B ∠，P A O A ⊥，P B O B ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．P O 平分APB ∠C ．O A O B =D ．A B 垂直平分O P二、填空题1.（2009河池）如图2，A B C △的顶点坐标分别为(36)(13)A B ，，，，(42)C ，．若将A B C △绕C 点顺时针旋转90，得到A B C '''△，则点A 的对应点A '的坐标为 ．CEBAFDO BAP……第1个第2个第3个AB CD （2、（2009河池）小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏长为 m ．3、 (2009宁夏)如图，A B C △的周长为32，且AB AC AD BC =⊥，于D ，AC D △的周长为24，那么A D 的长为 ．三、解答题1、（2009年浙江省绍兴市）如图，在A B C △中，40A B A C B A C =∠=，°，分别以A B A C ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和AC E ，使90B A D C A E ∠=∠=°． （1）求D B C ∠的度数； （2）求证：B D C E =．2、（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形O A B C '''，此时直线O A '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ． （1）四边形OABC 的形状是 ，当90α=°时，BP BQ的值是 ；（2）①如图2，当四边形O A B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求BP BQ的值；②如图3，当四边形O A B C '''的顶点B '落在直线B C 上时，求O P B '△的面积．（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使12B P B Q =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．AB CD） x3、(2009年安顺)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF=BD ，连结BF 。
（1） 求证：BD=CD ；（2） 如果AB=AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。
4、(2009年南充)如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，D E A G ⊥于E ，BF D E ∥，交AG 于F ．求证：AF BF EF =+．5、(2009年湖州)如图：已知在A B C △中，A B A C =，D 为B C 边的中点，过点D 作D E A B D F A C ⊥，⊥，垂足分别为E F ，.（1） 求证：B E D C F D △≌△；（2）若90A ∠=°，求证：四边形D FAE 是正方形.6、(2009年湖州)若P 为A B C △所在平面上一点，且120APB BPC C PA ∠=∠=∠=°，则点P 叫做A B C △的费马点.（1）若点P 为锐角A B C △的费马点，且60ABC PA PC ∠===°，3，4，则P B 的值为________； （2）如图，在锐角A B C △外侧作等边A C B △′连结B B ′. 求证：B B ′过A B C △的费马点P ，且B B ′=P A P B P C ++.B 'DC BE AFDCBA EFG7、（2009烟台市）如图，直角梯形ABCD 中，B C A D ∥，90B C D ∠=°，且2t a n 2C D A D A B C =∠=，，过点D 作A B D E ∥，交B C D ∠的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：B C C D =；（2）将B C E △绕点C ，顺时针旋转90°得到D C G △，连接EG .．求证：CD 垂直平分EG .（3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点．．8（2009年重庆市江津区）如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .9、（2009年北京市）已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90 ，C D AB ⊥于点D,点E 在AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F .求证：AB=FC10、（2009年郴州市）如图6，在下面的方格图中，将△ABC 先向右平移四个单位得到△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1绕点A 1逆时针旋转90°得到D A 1B 2C 2，请依次作出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2。