2019届高三数学9月学情调研测试试题

（第4题图）江苏省南京市2019届高三数学9月学情调研测试试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A ＝{ x |1＜x ＜5，x ∈R }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，那么集合A ∩B 中有▲个元素．2．复数z ＝(1＋b i)(2－i)，其中b ∈R ，i 为虚数单位．若z 是纯虚数，则实数b 的值为▲．3．已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18， 21，22，24，25，那么这组数据的方差为▲． 4．执行右图所示的算法流程图，则最后输出的S 的值 为▲．5．若函数f (x )＝a ＋12x －1是奇函数，则实数a 的值为▲．6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线 x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则 该双曲线的离心率是▲．7．不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是▲．8．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π6对称，则f (0)的值为▲．9．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1－B 1C 1CB 的体积是▲．CA 1B 1C 110．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n(n ＋1) (n ∈N *)，则a 10的值为▲．11．已知△ABC 的面积为315，且AC －AB ＝2，cos A ＝－14，则BC 的长为▲．12．在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， E 为边BC 上一点，且AB →·AE →＝6， AD →·AE →＝32，则AB →·AD →的值为▲．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (1，－1)，点P 为圆(x －4)2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则 S1S2的最小值是▲．14．若函数f (x )＝12ax 2－e x ＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值，且 x2x1≥2，则实数a 的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，已知四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BC ＝EC ，F 是BE 的中点． （1）求证：DE ∥平面ACF ； （2）求证：平面AFC ⊥平面ABE ．16．（本小题满分14分）AEDFBC（第15题图）已知α，β为钝角，且sin α＝35，cos2β＝－35．（1）求tan β的值； （2）求cos(2α＋β)的值．17．（本小题满分14分）销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P ＝att ＋1，销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q ＝bt ，其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f (x )万元． （1）求函数f (x )的解析式；（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且直线l ：x＝2被椭圆E 截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，且PQ 的中点R 在直线l 上．点M (1，0)．（1）求椭圆E 的方程； （2）求证：MR ⊥PQ ．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2．（第18题图）（1）求过原点(0，0)，且与函数f (x )的图象相切的直线l 的方程；（2）若a ＞0，求函数φ(x )＝|g (x )－2a 2f (x )|在区间[1，＋∞) 上的最小值．20．（本小题满分16分）如果数列{a n }共有k (k ∈N *，k ≥4)项，且满足条件：① a 1＋a 2＋…＋a k ＝0； ② |a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝1，则称数列{a n }为P (k )数列．（1）若等比数列{a n }为P (4)数列，求a 1的值； （2）已知m 为给定的正整数，且m ≥2．①若公差为正数的等差数列{a n }是P (2m ＋3)数列，求数列{a n }的公差；②若a n ＝⎩⎨⎧qn －13，1≤n ≤m ，n ∈N *，m －n12，m ＋1≤n ≤2m ，n ∈N *，其中q 为常数，q ＜－1．判断数列{a n}是否为P (2m )数列，说明理由．南京市2019届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准 2018.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分． 1．22．－2 3．64．8 5．126． 5 7．25 8．1 9．2310．191011．812．－9213．2－ 3 14．[2ln2，＋∞）二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．证明：（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结OF ．因为四边形ABCD 是矩形，O 是矩形ABCD 对角线的交点，所以O 为BD 的中点． 又因为F 是BE 的中点，所以 在△BED 中，OF ∥DE ．……………… 4分因为OF 平面AFC ，DE 平面AFC ，所以DE ∥平面AFC ． ……………… 6分 （2）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ．又因为平面ABCD ⊥平面BCE ，且平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB 面ABCD ， 所以AB ⊥平面BCE ． …………………… 9分 因为CF 平面BCE ，所以AB ⊥CF ． 在△BCE 中，因为CE ＝CB ， F 是BE 的中点，所以CF ⊥BE ． …………………… 11分 因为AB 平面ABE ，BE 平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，所以CF ⊥面ABE ． 又CF 平面AFC ，所以平面AFC ⊥平面ABE ．…………………… 14分16．解：（1）因为cos2β＝－35，cos2β＝2cos 2β－1，所以 2cos 2β－1＝－35，解得cos 2β＝15． …………………… 2分因为β为钝角，所以cos β＝－55． AEDFBC（第15题图）O从而sin β＝1－cos2β＝1－15＝255． …………………… 5分 所以tan β＝sin βcos β＝255－55＝－2． …………………… 7分（2）因为α为钝角，sin α＝35，所以cos α＝－1－sin2α＝－1－(35)2＝－45． …………………… 9分所以 sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝725． …………………… 11分从而cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝725×(－55)－(－2425)×255＝415125． …………………… 14分17．解：（1）由题意，P ＝att ＋1，Q ＝bt ， 故当t ＝3时，P ＝3a 3＋1＝94，Q ＝3b ＝1． …………………… 3分解得 a ＝3，b ＝13． …………………… 5分所以P ＝3t t ＋1，Q ＝13t ．从而 f (x )＝3x x ＋1＋3－x3，x ∈[0，3]． …………………… 7分 （2）由（1）可得：f (x )＝3x x ＋1＋3－x 3＝133－(3x ＋1＋x ＋13)．…………………… 9分因为x ∈[0，3]，所以x ＋1∈[1，4]， 故 3x ＋1＋x ＋13≥2，从而 f (x )≤133－2＝73． …………………… 11分当且仅当3x ＋1＝x ＋13，即x ＝2时取等号．所以f (x )的最大值为73．答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是73万元． …………………… 14分18．解：（1）因为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22，所以e 2＝c2a2＝1－b2a2＝12，即a 2＝2b 2．…………………… 2分因为直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2， 所以点(2，1)在椭圆上，即4a2＋1b2＝1． 解得a 2＝6，b 2＝3，所以椭圆E 的方程为x26＋y23＝1．…………………… 6分（2）解法一：因为直线PQ 与坐标轴不垂直，故设PQ 所在直线的方程为y ＝kx ＋m ．设 P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2) ．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故R (2，2k ＋m )．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y=kx ＋m ，x26＋y23＝1，消去y ，并化简得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， …………………… 9分 所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k2． （*）由x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2＝4，得1＋2k 2＝－km ． ①………………… 12分因为M (1，0)，故k MR ＝2k ＋m2－1＝2k ＋m ，所以k MR ·k PQ ＝(2k ＋m )k ＝2k 2＋km ＝2k 2－(1＋2k 2)＝－1，所以MR ⊥PQ ． …………………… 16分 解法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2)．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故设R (2，t )． 因为点P ，Q 在椭圆E ：x26＋y23＝1上，所以 ⎩⎨⎧x126＋y123＝1，x226＋y223＝1，两式相减得(x 1＋x 2) (x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2) (y 1－y 2)＝0．………………… 9分因为线段PQ 的中点为R ，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2t ．代入上式并化简得(x 1－x 2)＋t (y 1－y 2)＝0． …………………… 12分 又M (1，0)，所以 MR →·PQ →＝(2－1)×(x 2－x 1)＋(t －0)×(y 2－y 1)＝0，因此 MR ⊥PQ ． …………………… 16分19．解：（1）因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x(x ＞0)．设直线l 与函数f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)， 则直线l 的方程为 y －y 0＝1x0(x －x 0)，即 y －ln x 0＝1x0(x －x 0)． …………………… 3分因为直线l 经过点(0，0)，所以0－ln x 0＝1x0(0－x 0)，即ln x 0＝1，解得x 0＝e ．因此直线l 的方程为 y ＝1e x ，即x －e y ＝0． …………………… 6分（2）考察函数H (x )＝g (x )－2a 2f (x )＝x 2－2a 2ln x ．H ′(x )＝2x －2a2x ＝2(x －a)( x ＋a)x(x ＞0)． 因为a ＞0，故由H ′(x )＝0，解得x ＝a ． …………………… 8分 ① 当0＜a ≤1时，H ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，H (x )在区间[1，＋∞)上递增， 所以 H (x )min ＝H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝1．…………………… 11分 ② 当a ＞1时，H (x )在区间[1，a ]上递减，在区间[a ，＋∞)上递增， 所以H (x )min ＝H (a )＝a 2(1－2ln a ) ．(ⅰ)当1－2ln a ≤0，即a ∈[e ，＋∞) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )≤0， 又H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝0．(ⅱ)当1－2ln a ＞0，a ∈(1，e)时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )＞0， 所以φ(x )min ＝a 2(1－2ln a ) ．综上φ(x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜a≤1，a2(1－2lna)，1＜a ＜e ，0，a ≥ e ．…………………… 16分20．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ．因为数列{a n }为P (4)数列，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0， 从而 1＋q ＋q 2＋q 3＝0，即(1＋q )( 1＋q 2)＝0． 所以q ＝－1．又因为|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＝1，所以4|a 1|＝1，解得a 1＝－14 或 14．…………………… 3分（2）①设等差数列{a n }的公差为d ．因为数列{a n }为P (2m ＋3)数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 2m ＋3＝0，即(a1＋a2m ＋3)(2m ＋3)2＝0．因为1＋2m ＋3＝2(m ＋2)，所以a 1＋a 2m ＋3＝2a m ＋2，从而(2m ＋3)a m ＋2＝0，即a m ＋2＝0． …………………… 6分 又因为 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2m ＋3|＝1，且d ＞0，所以 －(a 1＋a 2＋…＋a m ＋1)＋(a m ＋3＋a m ＋4＋…＋a 2m ＋3)＝1， 即(m ＋2)(m ＋1)d ＝1，解得 d ＝1(m ＋1)(m ＋2)．因此等差数列{a n }的公差为d ＝1(m ＋1)(m ＋2)．…………………… 9分②若数列{a n }是P (2m )数列，则有：a 1＋a 2＋…＋a 2m ＝0；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2m |＝1．因为 a n＝⎩⎨⎧qn －13，1≤n ≤m ，n ∈N *，m －n12，m ＋1≤n ≤2m ，n ∈N *，且q ＜－1，所以 13×1－qm 1－q －m(m ＋1)24＝0； （*）13×1－|q|m 1－|q|＋m(m ＋1)24＝1． （**） 当m 为偶数时，在（*）中，13×1－qm 1－q ＜0，－m(m ＋1)24＜0，所以（*）不成立． …………………… 12分 当m 为奇数时，由（*）＋（**）得： 1－qm 1－q ＋1－|q|m1－|q|＝3．又因为 q ＜－1，所以1－qm 1－q ＋1＋qm 1＋q ＝3， 解得q m＋1＝3q2－12．因为m(m≥2)为奇数，所以q m＋1≥q4，所以3q2－12≥q4，整理得(2q2－1)(q2－1)≤0，即12≤q2≤1，与q＜－1矛盾．综上可知，数列{a n}不是P(2m)数列．…………………… 16分南京市2019届高三学情调研考试数学附加题参考答案及评分标准2018．09 21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．A．选修4—2：矩阵与变换解：（1）因为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 2 ，β＝⎣⎡⎦⎤x y ，且A β＝α， 所以 A β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤2x －2y x －3y ＝⎣⎡⎦⎤－4 2． …………………… 3分所以⎩⎨⎧2x －2y ＝－4，x －3y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2．…………………… 5分（2）因为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (ad －bc ≠0)的逆矩阵为M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc ，且矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －2 1 －3，…………………… 8分所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 34 －1214－12． …………………… 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将曲线 C ：ρ＝6sin θ的极坐标方程化为直角坐标方程，得x 2＋(y －3)2＝9，因此，曲线C 是以(0，3)为圆心、半径为3的圆．…………………… 3分 将直线l ：ρcos(θ－π4)＝2的极坐标方程化为直角坐标方程，得x ＋y －2＝0．…………………… 6分因为圆心(0，3)到的直线l 距离d ＝|0＋3－2|2＝22，所以AB ＝2r2－d2＝29－(22)2＝34． …………………… 10分C ．选修4—5：不等式选讲解：由a ，b ，c 是正数及柯西不等式，得(a ＋b ＋c )( 1a ＋4b ＋4c )≥( a ． 1a ＋ b ． 4b ＋ c ． 4c)2＝25．…………………… 4分因为a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋4b ＋4c≥25．…………………… 6分当且仅当a1a ＝ b4b ＝c4c 时，不等式取等号， 此时 a ＝15，b ＝c ＝25．所以1a ＋4b ＋4c 的最小值为25.…………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分． 22．解：在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以{DA →，DC →，DD1→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ． 因为AB ＝3，AA 1＝2，E 是CC 1的中点，AF →＝2FB →，所以E (0，3，1)，F (3，2，0)，B 1(3，3，2)．…………………… 2分（1）从而 FE →＝(－3，1，1)，DB1→＝(3，3，2)． 设异面直线FE 和DB 1所成的角为α，则cos α＝|cos<FE →，DB1→>|＝|－3×3＋1×3＋1×211×22|＝411×22＝2211．因此，异面直线FE 和DB 1所成角的余弦值为2211． …………………… 5分（2）设平面B 1FE 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．因为FE →＝(－3，1，1)，FB1→＝(0，1，2)，由 ⎩⎪⎨⎪⎧n1·FE →＝0，n 1·FB1→＝0，得 ⎩⎨⎧－3x ＋y ＋z ＝0， y ＋2z ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13z ，y ＝－2z ．取z ＝－3，则平面B 1FE 的一个法向量为n 1＝(1，6，－3)．…………………… 8分又因为平面AB 1F 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)， 所以cos< n 1，n 2>＝146×1＝4646． 因此|cos θ|＝| cos< n 1，n 2>|＝4646． …………………… 10分23．解：（1）由于两人租车时间都不会超过3小时，根据题意，每人所付费用可能为0，2，4元． 因此，两人都付0元的概率为P 1＝14×12＝18，都付2元的概率为P 2＝12×14＝18，都付4元的概率为为P 3＝14×14＝116．所以，两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝516．…………………… 4分（2）根据题意，X 所有可能的取值为0，2，4，6，8．P (X ＝0)＝14×12＝18； P (X ＝2)＝14×14＋12×12＝516； P (X ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516； P (X ＝6)＝12×14＋14×14＝316； P (X ＝8)＝14×14＝116 ．因此，随机变量X 的分布列为：…………………… 8分随机变量X 的数学期望E (X )＝58＋54＋98＋12＝72． …………………… 10分。