2019版数学一轮高中全程复习方略课件：第三章 三角函数、解三角形3-6
高中全程复习方略数学课件：第三章 三角函数、解三角形 3.3
[变式练]——(着眼于举一反三) 5．(2018·四川资阳一诊)函数 y＝sin2x－ 3cos2x 的图象的一条 对称轴方程为( ) A．x＝1π2 B．x＝－1π2 C．x＝π6 D．x＝－π6
解析：方法一：y＝sin2x－ 3cos2x＝2sin2x－3π，令 2x－π3＝kπ ＋π2，即 x＝k2π＋51π2(k∈Z)，当 k＝－1 时，x＝－1π2，故选 B.
悟·技法 三角函数最值或值域的三种求法 (1)直接法：利用 sinx，cosx 的值域． (2)化一法：化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，确定 ωx＋φ 的范 围，根据正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，转化为二次函数， 求给定区间上的值域(最值)问题.
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义 域
值域
x∈R {y|－1≤y≤1}
x∈R {y|－1≤y≤1}
{x|x∈R 且 x≠π2＋ kπ，k∈Z}
R
[－π2＋2kπ，π2＋2kπ] [(2k－1)π，2kπ]上递
单调 性
上递增，k∈Z；[π2＋ 2kπ，32π＋2kπ]上递
解析：由已知 x∈0，2π，得 2x－π4∈－π4，34π，
所以 sin2x－4π∈－ 22，1，故函数 f(x)＝sin2x－π4在区间
0，π4上的最小值为－ 22.
答案：－
2 2
考向一 三角函数的定义域[自主练透型]
1．函数 y＝ sinx－cosx的定义域为 _x__2_k_π_＋__π4_≤__x_≤__2_k_π_＋__5_4π_，__k_∈__Z____．
高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
考纲下载
考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
2019版数学一轮高中全程复习方略课件：第三章 三角函数、解三角形微专题(六)
2．注意解题步骤的规范性 (1)求 f(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象 进行求解； (2)由值求角时一定要注意限定角的取值范围； (3)写单调区间时最后结果一定要写成区间，并注意 k 的范 围，规范步骤，减少出错．
1 (2015· 重庆卷)已知函数 f(x)＝2sin2x－ 3cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值； (2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍， π 纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象，当 x∈2，π时，求 g(x)的值 域．
解题视点：
1 解析：(1)f(x)＝2sin2x－ 3cos2x 1 3 ＝2sin2x－ 2 (1＋cos2x) 1 3 3 ＝2sin2x－ 2 cos2x－ 2 ， π 3 ＝sin2x－3－ 2 ， 2＋ 3 因此 f(x)的最小正周期为 π，最小值为－ 2 .
3 2－ 3 ， 2 . 3 2－ ， 2
3 .
方法探究： 1．解答此类问基本思路 第一步： 先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函 数化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式； 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．
π 3 (2)由条件可知 g(x)＝sinx－3－ 2 . π π π 2π 当 x∈2，π时，有 x－3∈6， 3 ， 1 π 从而 y＝sinx－3的值域为2，1， 1－ π 3 那么 y＝sin x－3 － 2 的值域为 2 1－ π ， π 故 g(x)在区间 2 上的值域是 2
2019届人教A版高三数学一轮复习第三章 三角函数、解三角形 第6节课件
在△ABC 中，常有以下结论 (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C； A＋B A＋B C C sin 2 ＝cos 2 ；cos 2 ＝sin 2 . (5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A· tan B· tan C. (6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.
提考能课时冲关
3．(导学号 14576320)在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45° ， 则此三角形有( A．无解 C．一解 ) B．两解
D．解的个数不确定 a b b 24 解析：B [∵sin A＝sin B，∴sin B＝asin A＝18sin 45° ，∴sin B
2 2 ＝ 3 . 又∵a＜b，∴B 有两个．]
第三章
理基础自主夯实
析考点层级突破
提考能课时冲关
(1)a＝2Rsin A， b＝ c＝ 2Rsin C ；
2Rsinபைடு நூலகம்
B ， b2＋c2－a2 cos A＝ ； 2 bc ， c2＋a2－b2 cos B＝ ； 2ac
b 常 (2)sin A＝ a ， sin B＝ 2R 2R 见 c 变 sin C＝2R；
2 2 2
)
B．直角三角形 D．等边三角形
2 2 2
1 解析：A [∵2c ＝2a ＋2b ＋ab，∴a ＋b －c ＝－ ab， 2 a2＋b2－c2 1 ∴cos C＝ 2ab ＝－4<0，即 90° <C<180° . ∴△ABC 是钝角三角形．故选 A.]
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数课件理
解析 设∠AOB＝α，则 S 扇形 OA1B1＝12OA21·α＝1， S 扇形 OAB＝12OA2·α，OA＝2OA1， ∴S 扇形 OAB＝21·(2OA1)2·α＝4.
经典题型冲关
题型 1 象限角及终边相同的角
典例1
设集合
M＝xx＝2k·180°＋45°，k∈Z
，N
＝xx＝4k·180°＋45°，k∈Z
利用方程组法、二次函数求最值．
解 (1)α＝60°＝π3 rad， ∴l＝α ·R＝π3×10＝103π (cm)．
2R＋Rα＝10， (2)由题意得12α·R2＝4，
解得Rα＝＝81，
R＝4， (舍去)，α＝12.
故扇形圆心角为12.
(3)由已知，得 l＋2R＝20，所以 S＝12lR＝12(20－2R)R ＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当 R＝5 时，S 取得最大 值 25，此时 l＝10，α＝2.
2．转化法：先将已知角化为 k·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角 α，再由角 α 终 边所在的象限判断已知角是第几象限角．见典例 2.
提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角 α 的终边 逆时针旋转 180°可得角 α＋180°的终边，类推可知 α＋ k·180°(k∈Z)表示终边落在角 α 的终边所在直线上的角．
(4)相关结论 ①象限角
②轴线角
2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫 做 1 弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数 是一个负数，零角的弧度数是 0.
(2)公式
3．任意角的三角函数
[诊断自测] 1．概念思辨 (1) 锐 角 是 第 一 象 限 的 角 ， 第 一 象 限 的 角 也 都 是 锐 角．( × ) (2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大 小，它是角的一种度量单位．( √ ) (3)α∈0，π2，则 tanα>α>sinα.( √ ) (4)α 为第一象限角，则 sinα＋cosα>1.( √ )
2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象课件理
)
π kπ π 解析：由2x≠kπ＋ ，k∈Z ，得x≠ ＋ ，k∈Z ， 2 2 4 所以y＝tan
kπ π 2x的定义域为 x x≠ 2 ＋ 4 ，k∈Z .
答案：D
3 1 4．函数f(x)＝ cos x－ sin xx∈[0，π]的单调递增区间为( 2 2
πx π 1．函数y＝2sin 6 － 3 (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(
)
A．2－ 3 C．－1
B． 0 D．－1－ 3
π πx π 7π 解析：∵0≤x≤9，∴－ ≤ － ≤ ， 3 6 3 6
过
基
础
小
题
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数． (2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴． (3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数． ( ( ( ) ) ) ) ) )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1. ( (5)y＝sin|x|是偶函数． 2 π (6)若sin x> ，则x> . 2 4
π 0， 上的最小值为－ 4
2 . 2
2 答案：－ 2
课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一
三角函数的定义域和值域
[考什么·怎么考]
三角函数的定义域和值域问题是高考的重点，常 与三角恒等变换结合考查，常见的考查形式有： 1求已知函数的定义域和值域； 2由定义域或值域确定参数的值.考题多以选择 题、填空题的形式出现，难度中等.
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x 周期是kπ(k∈Z
周期是2kπ(k∈Z 周期是2kπ(k∈Z 且k≠0)，最小 正周期是2π
2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3.
故函数的定义域为
xx≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z
.
(2)由s9i－n2xx2＞≥00，，
得kπ＜x＜kπ＋π2，k∈Z， －3≤x≤3.
∴－3≤x＜－π2或 0＜x＜π2. ∴函数 y＝lg(sin2x)＋ 9－x2的定义域为－3，－π2∪0，π2.
三角函数的定义域
[典 例 导 引] (1)函数 y＝tanx1－1的定义域为________． (2)函数 y＝lg(sin2x)＋ 9－x2的定义域为________．
【解析】 (1)要使函数有意义， tanx－1≠0，
必须有x≠π2＋kπ，k∈Z， 即xx≠≠π2π4＋＋kkππ，，kk∈∈ZZ， .
必修部分
第三章 三角函数、解三角形
第三节 三角函数的图象与性质
栏
考情分析 1
目
3 考点疑难突破
导
基础自主梳理 2
航
4 课时跟踪检测
1
考情分析
考点分布
考纲要求
考点频率
命题趋势
1.能画出 y＝sinx，y＝cosx，y
与三角函数的图象有关的问
＝tanx 的图象，了解三角函数
题，主要考查三角函数的图
解得 2kπ＋π3≤x＜2kπ＋56π，k∈Z. 即函数的定义域为2kπ＋3π，2kπ＋56π，k∈Z. 答案：2kπ＋π3，2kπ＋56π，k∈Z
3．辨明三个易误点 (1)y＝tanx 不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z) 内为增函数． (2)三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”连接． (3)求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意 ω 的符号，只有当 ω＞0 时，才 能把 ωx＋φ 看作一个整体，代入 y＝sint 的相应单调区间求解．
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理课件文 共57页
[条件探究 1] 将本典例条件变为“若 2sinAcosB＝
sinC”，那么△ABC 一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 解法一：由已知得 2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB，即 sin(A－B)＝0，
则 cosA＝
1－sin2A＝
3 3.
由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， 化简，得 b2－2b－15＝0，
解得 b＝5(b＝－3 舍去)．
所以 S△ABC＝12bcsinA＝21×5×
3×
36＝5
2
2 .
题型 2 利用正、余弦定理判断三角形的形状
典例 (2017·陕西模拟)设△ABC 的内角 A，B，C 所对 的边分别为 a，b，c，若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为( )
角度 2 与三角形内角有关的最值 典例 (2017·庄河市期末)在△ABC 中，a，b，c 分别为 角 A，B，C 的对边，设 f(x)＝a2x2－(a2－b2)x－4c2. (1)若 f(1)＝0，且 B－C＝π3，求角 C 的大小； (2)若 f(2)＝0，求角 C 的取值范围．
本题采用放缩法．
题型 3 与三角形有关的最值 角度 1 与三角形边长有关的最值
典例 (2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形 ABC 的内
角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，且
a＝bcosC＋
3 3 csinB.
(1)求 B；
(2)若 b＝2，求 ac 的最大值．
本题采用转化法．
解 (1)在△ABC 中，∵a＝bcosC＋ 33csinB， ∴sinA＝sinBcosC＋ 33sinCsinB， ∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋ 33sinCsinB， 化为 cosBsinC＝ 33sinCsinB，sinC≠0， 可得 tanB＝ 3，B∈(0，π)，∴B＝π3.
2019版高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数1. (必修4P 10习题9改编)小明从家步行到学校需要15 min ，则这段时间内钟表的分针走过的角度是________．答案：－90°解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角．又周角为360°，所以360°60×15＝90°，即分针走过的角度是－90°.2. (必修4P 10习题4改编)若角θ的终边与角4π5的终边相同，则在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为__________________．(用列举法表示) 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5解析：由题意θ＝4π5＋2k π(k∈Z )，∴ θ2＝2π5＋k π(k∈Z )．由0≤θ2<2π，即0≤2π5＋k π<2π知－25≤k<85，k ∈Z .∴ k ＝0或1.故在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5. 3. (必修4P 9例3改编)已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________．答案：6解析：设扇形的半径为R ，则12R 2α＝2，∴ 12R 2×4＝2.而R 2＝1，∴ R ＝1，∴ 扇形的周长为2R ＋α·R＝2＋4＝6.4. 已知角θ的终边经过点P(8，m ＋1)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：5解析：sin θ＝m ＋182＋（m ＋1）2＝35，解得m ＝5. 5. 函数y ＝lg(2cos x －1)的定义域为____________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z ) 解析：∵ 2cos x －1＞0，∴ cos x ＞12.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴ x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z )．1. 任意角(1) 角的概念的推广① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z )． (3) 弧度制① 1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③ 弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．④ 弧长公式：l ＝|α|r ．扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2．2. 任意角的三角函数(1) 任意角的三角函数的定义设P(x ，y)是角α终边上任意一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝xr，tan α＝yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． (3) 特殊角的三角函数值45°π42222160°π33212390°π21 0 /120°2π332－12－ 3续表角αα弧度数sin αcos αtan α135°3π422－22－1150°5π612－32－33180°π0 －1 0270°3π2－1 0 /3.设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于点M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT．我们把有向线段OM，MP，AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线[备课札记], 1象限角及终边相同的角), 1) (1) 已知α＝－2 017°，则与角α终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(2) (必修4P 10习题12改编)已知角α是第三象限角，试判断：① π－α是第几象限角？② α2是第几象限角？③ 2α的终边在什么位置？(1) 答案：143° －217° 解析：α可以写成－6×360°＋143°的形式，则与α终边相同的角可以写成k·360°＋143°(k∈Z )的形式．当k ＝0时，可得与角α终边相同的最小正角为143°，当k ＝－1时，可得最大负角为－217°.(2) 解：①∵ α是第三象限角，∴ 2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .∴ －2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z .∴ π－α是第四象限角．② ∵ k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，∴ α2是第二或第四象限角．③ ∵ 4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z ，∴ 2α的终边在第一或第二象限或y 轴非负半轴上． 变式训练(必修4P 10习题5改编)终边在直线y ＝3x 上的角的集合可表示为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π＋π3，k ∈Z 解析：直线y ＝3x 经过第一象限、第三象限，直线的倾斜角为π3，则终边在该直线上的角的集合为{x|x ＝k π＋π3，k ∈Z }．, 2 三角函数的定义), 2) (1) 点P 是始边与x 轴的正半轴重合、顶点在原点的角θ的终边上的一点，若|OP|＝2，θ＝60°，则点P 的坐标是__________；(2) (2017·泰州模拟)已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．答案：(1) (1，3) (2) 12解析：(1) 设点P 的坐标为(x ，y)，由三角函数的定义，得sin 60°＝y2，cos 60°＝x2，所以x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，故点P 的坐标为(1，3)． (2) ∵ r＝64m 2＋9，∴ cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴ m ＞0，∴ 4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.变式训练(2017·无锡期末)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________．答案：－32解析：由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时sin α·tan α＝－32. 当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时sin α·tan α＝－32., 3 三角函数的符号及判定), 3) 点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第________象限． 答案：三 解析：因为2 017°＝5×360°＋217°是第三象限角，所以sin 2 017°＜0.又－2 017°＝－6×360°＋143°是第二象限角，所以cos(－2 017°)＜0，所以点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第三象限．变式训练下列判断正确的是________．(填序号)① sin 300°＞0；② cos(－305°)＜0；③ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223π＞0；④ sin 10＜0. 答案：④解析：300°＝360°－60°，则300°是第四象限角； －305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角； －223π＝－8π＋23π，则－223π是第二象限角； 因为3π＜10＜72π，所以10是第三象限角．故sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＜0，sin 10＜0，④正确．, 4 弧长公式与扇形面积公式), 4) 扇形AOB 的周长为8 cm.(1) 若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB 的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为α，(1) 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴ α＝l r ＝23或6.(2) ∵ 2r＋l ＝8，∴ S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4(cm 2)， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值，∴ r ＝2，∴ 弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)． 备选变式（教师专享）已知扇形的周长是 4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________；扇形的圆心角所对的弦长为________cm.答案： 2 2sin 1解析：设此扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r(4－2r)＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2 cm.从而α＝l r ＝21＝2.扇形的圆心角所对的弦长为2sin 1 cm.1. 若tan(α＋45°)<0，则sin α，cos α，sin 2α，cos 2α中一定为负数的是__________．答案：cos 2α解析：∵ tan(α＋45°)<0，∴ k ·180°－135°<α<k ·180°－45°，∴ k ·360°－270°<2α<k ·360°－90°，∴ cos 2α<0.2. (2017·苏州期末)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：3解析：sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3. 3. 若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k ，m ∈Z )，则下列关于角α与β的终边的位置关系的说法正确的是________．(填序号)① 重合；② 关于原点对称；③ 关于x 轴对称；④ 关于y 轴对称． 答案：③解析：显然角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，而θ与－θ的终边关于x 轴对称，故说法正确的是③.4. 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，扇形所在圆的半径为R.(1) 若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2) 若扇形的周长是一定值C cm(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1) 设弧长为l ，弓形面积为S 弓，又α＝90°＝π2，R ＝10，则l ＝π2×10＝5π(cm)，S 弓＝S 扇－S 三角形＝12×5π×10－12×102＝25π－50 (cm 2)．(2) 扇形周长C ＝2R ＋l ＝(2R ＋αR)cm ，∴ R ＝C2＋αcm ，∴ S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216cm 2.1. 给出下列命题：① 第二象限角大于第一象限角；② 三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③ 不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；④ 若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤ 若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：③解析：由于第一象限角370°大于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ＝π时，cos θ＝－1<0，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．2. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________．答案：－35解析：取终边上一点(a ，2a )(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.3. (2017·扬州一中月考改编)已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则cos α＝________．答案：12解析：∵ r＝1，∴ cos α＝x r ＝12.4. (2017·苏北四市期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．答案：(－2，3]解析：∵ cos α≤0，sin α>0，∴ 角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴ －2<a≤3.1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．(2) 已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．2. 已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．4. 利用单位圆解有关三角函数的不等式(组)的一般步骤 (1) 用边界值定出角的终边位置． (2) 根据不等式(组)定出角的范围． (3) 求交集，找单位圆中公共的部分． (4) 写出角的表达式．第2课时 同角三角函数的基本关系式与 诱导公式(对应学生用书(文)、(理)51～52页)1. 已知sin α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝__________． 答案：－1515解析：由sin α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得cos α＝－154， 则tan α＝sin αcos α＝－1515.2. (必修4P 20练习2改编)sin(－585°)的值为__________．答案：22解析：sin(－585°)＝－sin 585°＝－sin(360°＋225°)＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝22.3. (2017·苏北四市摸底)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α的值为________．答案：15解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴ cos α＝15. 4. (必修4P 23习题11改编)已知tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝__________．答案：1解析：因为tan α＝2，所以2sin α－cos αsin α＋cos α＝2tan α－1tan α＋1＝2×2－12＋1＝1.5. (必修4P 21例4改编)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝__________．答案：119解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.∴ cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π＋α－π6 ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－19＝89.∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝13＋89＝119.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2) 商数关系：tan_α＝sin αcos α.2. 诱导公式k ·2±α(k∈Z )与α的三角函数关系的记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．, 1 同角三角函数的基本关系式), 1) (必修4P 23习题20改编)已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.(1) 求sin 2x －cos 2x 的值；(2) 求tan x2sin x ＋cos x的值．解：由sin x ＋cos x ＝15，得1＋2sin xcos x ＝125，则2sin xcos x ＝－2425.∵ －π2<x<0，∴ sin x<0，cos x>0，即sin x －cos x<0.则sin x －cos x ＝－sin 2x －2sin xcos x ＋cos 2x ＝－1＋2425＝－75.(1) sin 2x －cos 2x ＝(sin x ＋cos x)(sin x －cos x)＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－725. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，则tan x ＝－34.即tan x 2sin x ＋cos x ＝－34－65＋45＝158. 变式训练(2017·盐城模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为________．答案：32解析：∵ 5π4<α<3π2，∴ cos α<0，sin α<0，且cos α>sin α，∴ cos α－sinα>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴ cos α－sin α＝32. , 2) (必修4P 23习题12(2)改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝[（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α]·[（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α]＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)·(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）若α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________． 答案：0解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0., 2 诱导公式及其运用), 3) 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为__________．答案：59解析：由诱导公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝89，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝89－13＝59.变式训练已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a(|a|≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝__________．答案：0解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝ －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0., 3 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用), 4) (1) 设tan(5π＋α)＝m ，求sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值；(2) 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．解：(1) 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，∴ sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.(2) 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22. (ⅰ) 当cos A ＝22时，cos B ＝32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝π4，B ＝π6，∴ C ＝π－(A ＋B)＝7π12.(ⅱ) 当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B＝π6，C ＝7π12.变式训练 (1) (2017·江西联考)已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，求cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值；(2) 在△ABC 中，若sin(3π－A)＝2sin(π－B)，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝2cos(π－B)．试判断三角形的形状．解：(1) 由已知得tan α＝23，cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－3×23－1＋9×23＝－15.(2) 由题设条件，得sin A ＝2sin B ，－sin A ＝－2cos B ， ∴ sin B ＝cos B ，∴ tan B ＝1.∵ B ∈(0，π)，∴ B ＝π4，∴ sin A ＝2×22＝1. 又A∈(0，π)，∴ A ＝π2，∴C ＝π4.∴ △ABC 是等腰直角三角形．1. 已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是________．答案：1－a 2解析：sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2.2. 已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是________．答案：31010解析：(解法1)由tan(π－α)＋3＝0，得tan α＝3，即sin αcos α＝3，sin α＝3cos α，所以sin 2α＝9(1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝910.因为α为锐角，所以sin α＝31010.(解法2)因为α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，所以－tan α＋3＝0即tan α＝3.在如图所示的直角三角形中，令∠A＝α，BC ＝3，则AC ＝1，所以AB ＝32＋12＝10，故sin α＝310＝31010.3. (2017·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ＝________．答案：－23解析：∵ sin θ＋cos θ＝43，∴ 2sin θcos θ＝79，∴ (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴ sin θ－cos θ＝23或－23.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴ sin θ<cos θ，∴ sin θ－cos θ＝－23.4. 已知sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为__________．答案：4解析：因为sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，所以sin 2θ＋4＝2cos θ＋2，即cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)．由cos θ＝1得sin θ＝0，故(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4.1. 已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＋α，则sin αcos α＝__________． 答案：－25解析：因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 2. 已知cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝__________．答案：－1－k2k解析：因为cos(－80°)＝cos 80°＝k ，所以sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2.所以tan 100°＝－tan 80°＝－sin 80°cos 80°＝－1－k2k.3. (2017·盐城调研)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α＝________．答案：103解析：∵ 3sin α＋cos α＝0，且cos α≠0，∴ tan α＝－13，∴1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103. 4. (2017·南京、盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π＜α＜－π2，所以－7π12＜α＋5π12＜－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13＞0，所以－π2＜α＋5π12＜－π12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π的形式；② 转化为锐角．3. 同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．4. 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：① 弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如asin x ＋bcos xcsin x ＋dcos x，asin 2x ＋bsin xcos x ＋ccos 2x 等类型可进行弦化切．② 和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．③ 注意变角技巧：如32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α等． ④ 巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…5. 在△ABC 中常用到以下结论： sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ， cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cos C ， tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tan C ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2.[备课札记]第3课时 三角函数的图象和性质(对应学生用书(文)、(理)53～55页)1. (2017·南京期初)若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________．答案：12解析：由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12.2. 将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(x)＝____________．答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数g(x)＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．本题主要考查三角函数的图象变换(平移变换)．3. 已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b]，则b －a 的值是__________．答案：3解析：因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以y ＝2cos x 的值域为[－2，1]，所以b －a ＝3.4. 函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z ) 解析：由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z )． 5. (必修4P 45习题9改编)电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I ＝Asin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则当t ＝1100 s 时，电流强度是__________A.答案：－5解析：由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ ω＝2πT＝100π.∴ I ＝10sin(100πt＋φ).⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴ 100π×1300＋φ＝π2.∴ φ＝π6.∴ I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100s 时，I ＝－5 A.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，那么称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|.2. 三角函数的图象和性质在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记], 1 “五点法”与“变换法”作图), 1) (必修4P 40练习7改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的周期为π.(1) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2) 说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：∵ T＝π，∴ 2πω＝π，即ω＝2.∴ f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1) 令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X. 列表如下： x －π6 π12 π3 7π12 5π6X 0 π2 π 3π22π y ＝sin X 0 1 0 －1 0y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 0 2 0 －2 0(2) (解法1)把y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． (解法2)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 变为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 备选变式（教师专享）已知f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1) 求ω和φ的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．解：(1) 周期T ＝2πω＝π，∴ ω＝2.∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32.又－π2<φ<0，∴ φ＝－π3. (2) 由(1)得f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：(3)∵ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22，∴ 2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，∴ 2k π＋π12<2x<2k π＋7π12， ∴ k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z ，∴ x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z .,2 三角函数的性质)●典型示例2已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1) 求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(3) 求f(x)图象的一条对称轴和一个对称中心，使得它们到y 轴的距离分别最小． 【思维导图】【规范解答】解：(1) 函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k∈Z )，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k∈Z )，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.(3) 令2x ＋π4＝π2＋k π(k∈Z )，解得x ＝π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，直线x ＝π8是所有对称轴中最靠近y 轴的．令2x ＋π4＝k π(k∈Z )，解得x ＝－π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1是所有对称中心中最靠近y 轴的， 所以所求的对称轴为直线x ＝π8，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1. 【精要点评】 对于三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的性质(定义域、单调性、对称性、最值或值域等)问题，通常用换元的方法，令t ＝ωx ＋φ，将其转化为函数y ＝Asin t ，再进行其性质的研究．●总结归纳解有关三角函数性质的问题，通常需先将函数转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再用研究复合函数的单调性、值域的方法利用正弦函数的图象和性质来处理．若ω<0，还需先利用诱导公式转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再将ωx ＋φ看成整体，利用正弦函数y ＝sin x 的性质进行求解．●题组练透1. 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，则φ的最小值为__________．答案：π6解析：易知y ＝sin 2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)．∵ 图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，32，∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.Ｋ2. 设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为__________．答案：2解析：当x ＝π12时，令ωx ＋π3＝π2，则正数ω＝2.3. 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________． 答案：－22解析：由已知x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22. 4. 设函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)．(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，试求y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．解：(1) 因为f(x)的最小正周期为π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2.又f(－x)＝－f(x)，所以f(0)＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝0.又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f(x)＝2sin 2x.则2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k∈Z )，解得函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f(x)取得最大值2；当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f(x)取得最小值－ 3., 3 根据图象和性质确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式), 3) 设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x∈R )的部分图象如图所示．(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f(x)的取值范围．解：(1) 由图象知，A ＝2. 又T 4＝5π6－π3＝π2，ω＞0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.所以f(x)＝2sin(x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k∈Z )． 又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6.所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即f(x)∈[－3，2]．变式训练已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)的单调递减区间．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2π3＋k π，k ∈Z .∵ 0＜φ＜π，∴ φ＝2π3.由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2.故f(x)＝2cos 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象，所以g(x)＝f(x 4－π6)＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k∈Z )时，g(x)单调递减．因此g(x)的单调递减区间为[4k π＋2π3，4k π＋8π3](k∈Z )．, 4 三角函数的应用), 4) (必修4P 42例2改编)如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1) 将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2) 点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解：(1) 建立如图所示的直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.则OP 在t(s)内所转过的角为π6t.由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求函数解析式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2) 令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1.令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 备选变式（教师专享）如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，且60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h.(1) 求h 与θ之间的函数解析式； (2) 设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少．解：(1) 以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2. (2) 点A 在圆上转动的角速度是π30rad/s ，故t s 转过的弧度数为π30t ，∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴ t ＝30 s ，∴ 缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.1. 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则φ的值为__________． 答案：－π12解析：f(x)＝2sin(ωx ＋φ) 的最小正周期为π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x ＋φ)，它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝－22⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，故φ＝－π12. 2. 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示．若A ，B 两点之间的距离AB ＝5，则ω的值为________．答案：π3解析：AB ＝5，|y A －y B |＝4，则|x A －x B |＝3＝T 2，则T ＝6，则2πω＝6，ω＝π3.3. 将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π12个单位得到的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则φ＝________．答案：π6解析：由题意得平移以后的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，因为图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以2×π3＋π6＋φ＝k π(k∈Z )，解得φ＝k π－5π6(k∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝π6.4. 函数f(x)＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示． (1) 求φ及图中x 0的值；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1) 由图可知，f(0)＝f(x 0)＝32， 即cos φ＝32，cos(πx 0＋φ)＝32. 又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x 0>0，所以φ＝π6，x 0＝53.(2) 由(1)可知f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π3≤πx ＋π6≤π2. 所以当πx ＋π6＝0，即x ＝－16时，f(x)取得最大值1；当πx ＋π6＝π2，即x ＝13时，f(x)取得最小值0.1. (2017·南师附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝f(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则φ＝________．答案：3π4解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数f(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z .又0<φ<π，则φ＝3π4. 2. 若函数y ＝sin(ωx －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是______．答案：2，π3解析：由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k∈Z )．而|φ|<π2，所以φ＝π3.3. (2017·第三次全国大联考江苏卷)将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值为________．答案：5π6解析：由题意，可得sin θ＝32.因为－π2＜θ＜π2，所以θ＝π3.因为g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝32.又因为0＜φ＜π，所以－2φ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3，π3，－2φ＋π3＝－4π3，φ＝5π6. 4. 已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则(1) m ＝________；(2) 当f(x)在[a ，b]上至少含20个零点时，b －a 的最小值为________．答案：(1) 0 (2) 28π3解析：(1) f(x)＝ 3 sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋1＋cos 2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.因为0≤x≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， f(x)max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，∴ m ＝0.(2) 由(1)得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，周期T ＝2π2＝π，在长为π的闭区间内有2个或3个零点．由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 2x ＋π6＝2k π＋7π6，k ∈Z 或2x ＋π6＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以x ＝k π＋π2或x ＝k π＋5π6，k ∈Z .不妨设a ＝π2，则当b ＝9π＋π2时，f(x)在区间[a ，b]上恰有19个零点，当b ＝9π＋5π6时恰有20个零点，此时b －a 的最小值为9π＋π3＝28π3.1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： ① 形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；② 形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③ 形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x ±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．3. 对于形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)，可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4. 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解．5. 由y ＝sin x 的图象变换到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．[备课札记]第4课时 两角和与差的正弦、余弦和 正切公式(对应学生用书(文)、(理)56～58页)1. 设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．答案：210解析：∵ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝35，∴ cos α＝45.∴ cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－35×22＝210. 2. (必修4P 106练习4改编)sin 20°cos 10 °－cos 160°sin 10°＝__________．答案：12解析：sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin10°＝sin 30°＝12.3. (必修4P 109练习8改编)函数y ＝2sin x ＋6cos x 的值域是__________． 答案：[－22，22]解析：y ＝2sin x ＋6cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－22，22]．4. (必修4P 118习题9改编)若α＋β＝π4，则(tan α＋1)·(tan β＋1)的值是________．答案：2解析：(tan α＋1)(tan β＋1)＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋1＝tan αtan β＋tan π4·(1－tan αtan β)＋1＝2.5. (必修4P 110例6改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝110，则tan αtan β的值为________．答案：32解析：(解法1)⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝110⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝310，cos αsin β＝15，从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝310×5＝32.(解法2)设x ＝tan αtan β，∵ sin （α＋β）sin （α－β）＝5，∴ sin （α＋β）cos αcos βsin （α－β）cos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan αtan β＋1tan αtan β－1＝x ＋1x －1＝5. ∴ x ＝32，即tan αtan β ＝32.1. 两角差的余弦公式推导过程设单位圆上两点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，sin β)，则∠P 1OP 2＝α－β(α>β)．向量a ＝OP 1→＝(cos α，sin α)，b ＝OP 2→＝(cos β，sin β)， 则a·b ＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)，由向量数量积的坐标表示，可知a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β，因而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2. 公式之间的关系及导出过程3. 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．4. asin α＋bcos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，tan φ＝ba .φ的终边所在象限由a ，b 的符号来决定．5. 常用公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)；sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4； sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎪⎫α－π4.[备课札记]。
2019版高中全程复习方略数学(文)课件：第三章 三角函数、解三角形 3.4
6．函数
π f(x)＝－cos－2x＋3的单调递增区间为________．
π π 解析：f(x)＝－cos－2x＋3＝－cos2x－3，
[小题热身]
π 1．y＝2sin2x＋4的振幅、频率和初相分别为(
)
1 π A．2，π，4 1 π C．2，π，8
1 π ＝2sin2x＋4的
解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数 1 π 振幅为 2，频率为π，初相为4. 答案：A
[变式练]——(着眼于举一反三) 1．(2016· 新课标全国卷Ⅰ)将函数
π y＝2sin2x＋6的图象向右平
1 移4个周期后，所得图象对应的函数为( ) π π A．y＝2sin2x＋4 B．y＝2sin2x＋3 π π C．y＝2sin2x－4 D．y＝2sin2x－3
π y＝sin2x－3的图象，只需
)
π 解析：将 y＝sin2x 的图象向右平行移动6个单位长度得到 y＝ π π sin 2 x－6 ＝sin 2x－3的图象，故选 D. 答案：D
4．(2016· 浙江卷)函数 y＝sinx2 的图象是(
2．函数 f(x)＝ π A.2 C．2π B．π
x π 3sin2－4，x∈R
的最小正周期为(
)
D．4π
2π 解析：最小正周期为 T＝ 1 ＝4π. 2 答案：D
3．(2016· 四川卷，3)为了得到函数 把函数 y＝sin2x 的图象上所有的点( π A．向左平行移动3个单位长度 π B．向右平行移动3个单位长度 π C．向左平行移动6个单位长度 π D．向右平行移动6个单位长度
2019版高考数学(文)高分计划一轮课件：第3章三角函数、解三角形 3-6
(2)∵A＋B＋C＝180°， ∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由 sinB＋sinC＝ 3，得 sinB＋sin(120°－B)＝ 3， ∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝ 3. ∴32sinB＋ 23cosB＝ 3，即 sin(B＋30°)＝1. ∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°. ∴B＋30°＝90°，即 B＝60°. ∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC 为等边三角形.
[条件探究 3] 将本典例条件变为“若 bcosB＋ccosC＝ acosA”，试判断三角形的形状．
解 由已知得 b·a2＋2ca2c－b2＋c·a2＋2ba2b－c2＝a·b2＋2cb2c－a2， ∴b2(a2＋c2－b2)＋c2(a2＋b2－c2)＝a2(b2＋c2－a2)． ∴(a2＋c2－b2)(b2＋a2－c2)＝0. ∴a2＋c2＝b2 或 b2＋a2＝c2，即 B＝π2或 C＝π2. ∴△ABC 为直角三角形．
方法技巧 判定三角形形状的两种常用途径
提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得 出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公 式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．
冲关针对训练 在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边， 且 2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC. (1)求角 A 的大小； (2)若 sinB＋sinC＝ 3，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由 2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC 及正弦定 理，得 2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c， 即 bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12， A∈(0，π)， ∴A＝60°.
高三数学一轮总复习课件：第三章 三角函数、解三角形3-3
第三节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
基础回扣· 自主学习
热点命题· 深度剖析
特色专题· 感悟提高
高考明方向 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、 余弦、 正切公式， 推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
4 2 B．－ 5 3 2 D．－ 5
解析 而 ＝
4 π 3 因为 sinα＝ ， <α<π，所以 cosα＝－ . 5 2 5
π π sinα＋4＋cosα＋4 π 2sinα＋2＝
3 2 2cosα＝－ . 5
答案 D
6．已知函数 f(x)＝ 3sinx－cosx，x∈R，若 f(x)≥1，则 x 的 取值范围为( )
)
7 2 A．－ 10 2 C．－ 10
7 2 B. 10 2 D. 10
解析
4 由于 α 是第三象限角且 cosα＝－ ， 5
3 ∴sinα＝－ . 5
π π π ∴sinα＋4＝sinαcos4＋cosαsin4
2 3 4 7 2 ＝ 2 －5－5 ＝－ 10 .
π 2sinx－6≥1，即
π π 5π 由图象可知满足6＋2kπ≤x－6≤ 6 ＋2kπ(k∈Z)， π 解得3＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．
答案 B
R 热点命题· 深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
问 题 探 究 问题 1 两角和与差的正切公式对任意角 α，β 都成立吗？其
2tanα (3)T2α：tan2α＝ . 1－tan2α
2019年高考数学(人教版文)一轮复习课件：第3章 三角函数、解三角形3.1
解析：(1)错误。顺时针旋转得到的角是负角。(2)正确。钝角的范 π 围是2，π， 显然是第二象限的角。 (3)错误。 角 180° 的终边与角－180° 的终边相同，显然它们不相同。(4)错误。1 弧度的角是单位圆中长度 为 1 的弧所对的圆心角。(5)正确。终边在 y 轴上的角与单位圆的交点 坐标为(0,1)，(0，－1)。由三角函数的定义知，角的正切值不存在。
2.象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合
π { α |2 k π ＜ α ＜ 2 k π ＋ ，k∈Z} ⑥______________________________ 2 π ⑦______________________________ {α|2kπ＋2＜α＜2kπ＋π，k∈Z} 3π ⑧{ ______________________________ α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋ 2 ，k∈Z} 3π ⑨______________________________ {α|2kπ＋ 2 ＜α＜2kπ＋2π，k∈Z}
[小题热身] 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)顺时针旋转得到的角是正角。( × ) (2)钝角是第二象限的角。( √ ) (3)若两个角的终边相同，则这两个角相等。( × ) (4)1 弧度的角就是长度为 1 的弧所对的圆心角。( × ) (5)终边在 y 轴上的角的正切值不存在。( √ )
考纲要求 1.了解任意角的概念。 2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
考情分析 1.本部分内容是后续学习三角函数其他知识的基础，三角函数的 定义常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三 角函数的化简与求值。 2．命题形式较单一，主要考查三角函数的定义，常以选择题、填 空题的形式出现。
2019版高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数1. (必修4P 10习题9改编)小明从家步行到学校需要15 min ，则这段时间内钟表的分针走过的角度是________．答案：－90°解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角．又周角为360°，所以360°60×15＝90°，即分针走过的角度是－90°.2. (必修4P 10习题4改编)若角θ的终边与角4π5的终边相同，则在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为__________________．(用列举法表示) 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5解析：由题意θ＝4π5＋2k π(k∈Z )，∴ θ2＝2π5＋k π(k∈Z )．由0≤θ2<2π，即0≤2π5＋k π<2π知－25≤k<85，k ∈Z .∴ k ＝0或1.故在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5. 3. (必修4P 9例3改编)已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________．答案：6解析：设扇形的半径为R ，则12R 2α＝2，∴ 12R 2×4＝2.而R 2＝1，∴ R ＝1，∴ 扇形的周长为2R ＋α·R＝2＋4＝6.4. 已知角θ的终边经过点P(8，m ＋1)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：5解析：sin θ＝m ＋182＋（m ＋1）2＝35，解得m ＝5. 5. 函数y ＝lg(2cos x －1)的定义域为____________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z ) 解析：∵ 2cos x －1＞0，∴ cos x ＞12.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴ x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z )．1. 任意角(1) 角的概念的推广① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z )． (3) 弧度制① 1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③ 弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．④ 弧长公式：l ＝|α|r ．扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2．2. 任意角的三角函数(1) 任意角的三角函数的定义设P(x ，y)是角α终边上任意一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝xr，tan α＝yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． (3) 特殊角的三角函数值45°π42222160°π33212390°π21 0 /120°2π332－12－ 3续表角αα弧度数sin αcos αtan α135°3π422－22－1150°5π612－32－33180°π0 －1 0270°3π2－1 0 /3.设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于点M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT．我们把有向线段OM，MP，AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线[备课札记], 1象限角及终边相同的角), 1) (1) 已知α＝－2 017°，则与角α终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(2) (必修4P 10习题12改编)已知角α是第三象限角，试判断：① π－α是第几象限角？② α2是第几象限角？③ 2α的终边在什么位置？(1) 答案：143° －217° 解析：α可以写成－6×360°＋143°的形式，则与α终边相同的角可以写成k·360°＋143°(k∈Z )的形式．当k ＝0时，可得与角α终边相同的最小正角为143°，当k ＝－1时，可得最大负角为－217°.(2) 解：①∵ α是第三象限角，∴ 2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .∴ －2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z .∴ π－α是第四象限角．② ∵ k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，∴ α2是第二或第四象限角．③ ∵ 4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z ，∴ 2α的终边在第一或第二象限或y 轴非负半轴上． 变式训练(必修4P 10习题5改编)终边在直线y ＝3x 上的角的集合可表示为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π＋π3，k ∈Z 解析：直线y ＝3x 经过第一象限、第三象限，直线的倾斜角为π3，则终边在该直线上的角的集合为{x|x ＝k π＋π3，k ∈Z }．, 2 三角函数的定义), 2) (1) 点P 是始边与x 轴的正半轴重合、顶点在原点的角θ的终边上的一点，若|OP|＝2，θ＝60°，则点P 的坐标是__________；(2) (2017·泰州模拟)已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．答案：(1) (1，3) (2) 12解析：(1) 设点P 的坐标为(x ，y)，由三角函数的定义，得sin 60°＝y2，cos 60°＝x2，所以x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，故点P 的坐标为(1，3)． (2) ∵ r＝64m 2＋9，∴ cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴ m ＞0，∴ 4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.变式训练(2017·无锡期末)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________．答案：－32解析：由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时sin α·tan α＝－32. 当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时sin α·tan α＝－32., 3 三角函数的符号及判定), 3) 点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第________象限． 答案：三 解析：因为2 017°＝5×360°＋217°是第三象限角，所以sin 2 017°＜0.又－2 017°＝－6×360°＋143°是第二象限角，所以cos(－2 017°)＜0，所以点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第三象限．变式训练下列判断正确的是________．(填序号)① sin 300°＞0；② cos(－305°)＜0；③ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223π＞0；④ sin 10＜0. 答案：④解析：300°＝360°－60°，则300°是第四象限角； －305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角； －223π＝－8π＋23π，则－223π是第二象限角； 因为3π＜10＜72π，所以10是第三象限角．故sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＜0，sin 10＜0，④正确．, 4 弧长公式与扇形面积公式), 4) 扇形AOB 的周长为8 cm.(1) 若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB 的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为α，(1) 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴ α＝l r ＝23或6.(2) ∵ 2r＋l ＝8，∴ S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4(cm 2)， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值，∴ r ＝2，∴ 弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)． 备选变式（教师专享）已知扇形的周长是 4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________；扇形的圆心角所对的弦长为________cm.答案： 2 2sin 1解析：设此扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r(4－2r)＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2 cm.从而α＝l r ＝21＝2.扇形的圆心角所对的弦长为2sin 1 cm.1. 若tan(α＋45°)<0，则sin α，cos α，sin 2α，cos 2α中一定为负数的是__________．答案：cos 2α解析：∵ tan(α＋45°)<0，∴ k ·180°－135°<α<k ·180°－45°，∴ k ·360°－270°<2α<k ·360°－90°，∴ cos 2α<0.2. (2017·苏州期末)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：3解析：sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3. 3. 若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k ，m ∈Z )，则下列关于角α与β的终边的位置关系的说法正确的是________．(填序号)① 重合；② 关于原点对称；③ 关于x 轴对称；④ 关于y 轴对称． 答案：③解析：显然角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，而θ与－θ的终边关于x 轴对称，故说法正确的是③.4. 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，扇形所在圆的半径为R.(1) 若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2) 若扇形的周长是一定值C cm(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1) 设弧长为l ，弓形面积为S 弓，又α＝90°＝π2，R ＝10，则l ＝π2×10＝5π(cm)，S 弓＝S 扇－S 三角形＝12×5π×10－12×102＝25π－50 (cm 2)．(2) 扇形周长C ＝2R ＋l ＝(2R ＋αR)cm ，∴ R ＝C2＋αcm ，∴ S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216cm 2.1. 给出下列命题：① 第二象限角大于第一象限角；② 三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③ 不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；④ 若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤ 若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：③解析：由于第一象限角370°大于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ＝π时，cos θ＝－1<0，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．2. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________．答案：－35解析：取终边上一点(a ，2a )(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.3. (2017·扬州一中月考改编)已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则cos α＝________．答案：12解析：∵ r＝1，∴ cos α＝x r ＝12.4. (2017·苏北四市期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．答案：(－2，3]解析：∵ cos α≤0，sin α>0，∴ 角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴ －2<a≤3.1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．(2) 已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．2. 已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．4. 利用单位圆解有关三角函数的不等式(组)的一般步骤 (1) 用边界值定出角的终边位置． (2) 根据不等式(组)定出角的范围． (3) 求交集，找单位圆中公共的部分． (4) 写出角的表达式．第2课时 同角三角函数的基本关系式与 诱导公式(对应学生用书(文)、(理)51～52页)1. 已知sin α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝__________． 答案：－1515解析：由sin α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得cos α＝－154， 则tan α＝sin αcos α＝－1515.2. (必修4P 20练习2改编)sin(－585°)的值为__________．答案：22解析：sin(－585°)＝－sin 585°＝－sin(360°＋225°)＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝22.3. (2017·苏北四市摸底)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α的值为________．答案：15解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴ cos α＝15. 4. (必修4P 23习题11改编)已知tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝__________．答案：1解析：因为tan α＝2，所以2sin α－cos αsin α＋cos α＝2tan α－1tan α＋1＝2×2－12＋1＝1.5. (必修4P 21例4改编)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝__________．答案：119解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.∴ cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π＋α－π6 ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－19＝89.∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝13＋89＝119.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2) 商数关系：tan_α＝sin αcos α.2. 诱导公式k ·2±α(k∈Z )与α的三角函数关系的记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．, 1 同角三角函数的基本关系式), 1) (必修4P 23习题20改编)已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.(1) 求sin 2x －cos 2x 的值；(2) 求tan x2sin x ＋cos x的值．解：由sin x ＋cos x ＝15，得1＋2sin xcos x ＝125，则2sin xcos x ＝－2425.∵ －π2<x<0，∴ sin x<0，cos x>0，即sin x －cos x<0.则sin x －cos x ＝－sin 2x －2sin xcos x ＋cos 2x ＝－1＋2425＝－75.(1) sin 2x －cos 2x ＝(sin x ＋cos x)(sin x －cos x)＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－725. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，则tan x ＝－34.即tan x 2sin x ＋cos x ＝－34－65＋45＝158. 变式训练(2017·盐城模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为________．答案：32解析：∵ 5π4<α<3π2，∴ cos α<0，sin α<0，且cos α>sin α，∴ cos α－sinα>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴ cos α－sin α＝32. , 2) (必修4P 23习题12(2)改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝[（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α]·[（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α]＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)·(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）若α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________． 答案：0解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0., 2 诱导公式及其运用), 3) 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为__________．答案：59解析：由诱导公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝89，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝89－13＝59.变式训练已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a(|a|≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝__________．答案：0解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝ －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0., 3 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用), 4) (1) 设tan(5π＋α)＝m ，求sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值；(2) 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．解：(1) 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，∴ sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.(2) 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22. (ⅰ) 当cos A ＝22时，cos B ＝32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝π4，B ＝π6，∴ C ＝π－(A ＋B)＝7π12.(ⅱ) 当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B＝π6，C ＝7π12.变式训练 (1) (2017·江西联考)已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，求cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值；(2) 在△ABC 中，若sin(3π－A)＝2sin(π－B)，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝2cos(π－B)．试判断三角形的形状．解：(1) 由已知得tan α＝23，cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－3×23－1＋9×23＝－15.(2) 由题设条件，得sin A ＝2sin B ，－sin A ＝－2cos B ， ∴ sin B ＝cos B ，∴ tan B ＝1.∵ B ∈(0，π)，∴ B ＝π4，∴ sin A ＝2×22＝1. 又A∈(0，π)，∴ A ＝π2，∴C ＝π4.∴ △ABC 是等腰直角三角形．1. 已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是________．答案：1－a 2解析：sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2.2. 已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是________．答案：31010解析：(解法1)由tan(π－α)＋3＝0，得tan α＝3，即sin αcos α＝3，sin α＝3cos α，所以sin 2α＝9(1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝910.因为α为锐角，所以sin α＝31010.(解法2)因为α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，所以－tan α＋3＝0即tan α＝3.在如图所示的直角三角形中，令∠A＝α，BC ＝3，则AC ＝1，所以AB ＝32＋12＝10，故sin α＝310＝31010.3. (2017·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ＝________．答案：－23解析：∵ sin θ＋cos θ＝43，∴ 2sin θcos θ＝79，∴ (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴ sin θ－cos θ＝23或－23.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴ sin θ<cos θ，∴ sin θ－cos θ＝－23.4. 已知sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为__________．答案：4解析：因为sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，所以sin 2θ＋4＝2cos θ＋2，即cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)．由cos θ＝1得sin θ＝0，故(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4.1. 已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＋α，则sin αcos α＝__________． 答案：－25解析：因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 2. 已知cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝__________．答案：－1－k2k解析：因为cos(－80°)＝cos 80°＝k ，所以sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2.所以tan 100°＝－tan 80°＝－sin 80°cos 80°＝－1－k2k.3. (2017·盐城调研)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α＝________．答案：103解析：∵ 3sin α＋cos α＝0，且cos α≠0，∴ tan α＝－13，∴1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103. 4. (2017·南京、盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π＜α＜－π2，所以－7π12＜α＋5π12＜－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13＞0，所以－π2＜α＋5π12＜－π12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π的形式；② 转化为锐角．3. 同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．4. 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：① 弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如asin x ＋bcos xcsin x ＋dcos x，asin 2x ＋bsin xcos x ＋ccos 2x 等类型可进行弦化切．② 和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．③ 注意变角技巧：如32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α等． ④ 巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…5. 在△ABC 中常用到以下结论： sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ， cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cos C ， tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tan C ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2.[备课札记]第3课时 三角函数的图象和性质(对应学生用书(文)、(理)53～55页)1. (2017·南京期初)若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________．答案：12解析：由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12.2. 将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(x)＝____________．答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数g(x)＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．本题主要考查三角函数的图象变换(平移变换)．3. 已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b]，则b －a 的值是__________．答案：3解析：因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以y ＝2cos x 的值域为[－2，1]，所以b －a ＝3.4. 函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z ) 解析：由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z )． 5. (必修4P 45习题9改编)电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I ＝Asin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则当t ＝1100 s 时，电流强度是__________A.答案：－5解析：由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ ω＝2πT＝100π.∴ I ＝10sin(100πt＋φ).⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴ 100π×1300＋φ＝π2.∴ φ＝π6.∴ I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100s 时，I ＝－5 A.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，那么称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|.2. 三角函数的图象和性质在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记], 1 “五点法”与“变换法”作图), 1) (必修4P 40练习7改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的周期为π.(1) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2) 说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：∵ T＝π，∴ 2πω＝π，即ω＝2.∴ f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1) 令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X. 列表如下： x －π6 π12 π3 7π12 5π6X 0 π2 π 3π22π y ＝sin X 0 1 0 －1 0y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 0 2 0 －2 0(2) (解法1)把y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． (解法2)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 变为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 备选变式（教师专享）已知f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1) 求ω和φ的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．解：(1) 周期T ＝2πω＝π，∴ ω＝2.∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32.又－π2<φ<0，∴ φ＝－π3. (2) 由(1)得f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：(3)∵ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22，∴ 2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，∴ 2k π＋π12<2x<2k π＋7π12， ∴ k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z ，∴ x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z .,2 三角函数的性质)●典型示例2已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1) 求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(3) 求f(x)图象的一条对称轴和一个对称中心，使得它们到y 轴的距离分别最小． 【思维导图】【规范解答】解：(1) 函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k∈Z )，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k∈Z )，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.(3) 令2x ＋π4＝π2＋k π(k∈Z )，解得x ＝π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，直线x ＝π8是所有对称轴中最靠近y 轴的．令2x ＋π4＝k π(k∈Z )，解得x ＝－π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1是所有对称中心中最靠近y 轴的， 所以所求的对称轴为直线x ＝π8，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1. 【精要点评】 对于三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的性质(定义域、单调性、对称性、最值或值域等)问题，通常用换元的方法，令t ＝ωx ＋φ，将其转化为函数y ＝Asin t ，再进行其性质的研究．●总结归纳解有关三角函数性质的问题，通常需先将函数转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再用研究复合函数的单调性、值域的方法利用正弦函数的图象和性质来处理．若ω<0，还需先利用诱导公式转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再将ωx ＋φ看成整体，利用正弦函数y ＝sin x 的性质进行求解．●题组练透1. 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，则φ的最小值为__________．答案：π6解析：易知y ＝sin 2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)．∵ 图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，32，∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.Ｋ2. 设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为__________．答案：2解析：当x ＝π12时，令ωx ＋π3＝π2，则正数ω＝2.3. 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________． 答案：－22解析：由已知x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22. 4. 设函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)．(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，试求y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．解：(1) 因为f(x)的最小正周期为π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2.又f(－x)＝－f(x)，所以f(0)＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝0.又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f(x)＝2sin 2x.则2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k∈Z )，解得函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f(x)取得最大值2；当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f(x)取得最小值－ 3., 3 根据图象和性质确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式), 3) 设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x∈R )的部分图象如图所示．(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f(x)的取值范围．解：(1) 由图象知，A ＝2. 又T 4＝5π6－π3＝π2，ω＞0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.所以f(x)＝2sin(x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k∈Z )． 又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6.所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即f(x)∈[－3，2]．变式训练已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)的单调递减区间．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2π3＋k π，k ∈Z .∵ 0＜φ＜π，∴ φ＝2π3.由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2.故f(x)＝2cos 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象，所以g(x)＝f(x 4－π6)＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k∈Z )时，g(x)单调递减．因此g(x)的单调递减区间为[4k π＋2π3，4k π＋8π3](k∈Z )．, 4 三角函数的应用), 4) (必修4P 42例2改编)如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1) 将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2) 点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解：(1) 建立如图所示的直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.则OP 在t(s)内所转过的角为π6t.由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求函数解析式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2) 令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1.令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 备选变式（教师专享）如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，且60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h.(1) 求h 与θ之间的函数解析式； (2) 设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少．解：(1) 以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2. (2) 点A 在圆上转动的角速度是π30rad/s ，故t s 转过的弧度数为π30t ，∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴ t ＝30 s ，∴ 缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.1. 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则φ的值为__________． 答案：－π12解析：f(x)＝2sin(ωx ＋φ) 的最小正周期为π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x ＋φ)，它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝－22⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，故φ＝－π12. 2. 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示．若A ，B 两点之间的距离AB ＝5，则ω的值为________．答案：π3解析：AB ＝5，|y A －y B |＝4，则|x A －x B |＝3＝T 2，则T ＝6，则2πω＝6，ω＝π3.3. 将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π12个单位得到的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则φ＝________．答案：π6解析：由题意得平移以后的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，因为图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以2×π3＋π6＋φ＝k π(k∈Z )，解得φ＝k π－5π6(k∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝π6.4. 函数f(x)＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示． (1) 求φ及图中x 0的值；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1) 由图可知，f(0)＝f(x 0)＝32， 即cos φ＝32，cos(πx 0＋φ)＝32. 又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x 0>0，所以φ＝π6，x 0＝53.(2) 由(1)可知f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π3≤πx ＋π6≤π2. 所以当πx ＋π6＝0，即x ＝－16时，f(x)取得最大值1；当πx ＋π6＝π2，即x ＝13时，f(x)取得最小值0.1. (2017·南师附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝f(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则φ＝________．答案：3π4解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数f(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z .又0<φ<π，则φ＝3π4. 2. 若函数y ＝sin(ωx －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是______．答案：2，π3解析：由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k∈Z )．而|φ|<π2，所以φ＝π3.3. (2017·第三次全国大联考江苏卷)将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值为________．答案：5π6解析：由题意，可得sin θ＝32.因为－π2＜θ＜π2，所以θ＝π3.因为g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝32.又因为0＜φ＜π，所以－2φ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3，π3，－2φ＋π3＝－4π3，φ＝5π6. 4. 已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则(1) m ＝________；(2) 当f(x)在[a ，b]上至少含20个零点时，b －a 的最小值为________．答案：(1) 0 (2) 28π3解析：(1) f(x)＝ 3 sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋1＋cos 2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.因为0≤x≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， f(x)max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，∴ m ＝0.(2) 由(1)得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，周期T ＝2π2＝π，在长为π的闭区间内有2个或3个零点．由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 2x ＋π6＝2k π＋7π6，k ∈Z 或2x ＋π6＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以x ＝k π＋π2或x ＝k π＋5π6，k ∈Z .不妨设a ＝π2，则当b ＝9π＋π2时，f(x)在区间[a ，b]上恰有19个零点，当b ＝9π＋5π6时恰有20个零点，此时b －a 的最小值为9π＋π3＝28π3.1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： ① 形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；② 形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③ 形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x ±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．3. 对于形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)，可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4. 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解．5. 由y ＝sin x 的图象变换到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．[备课札记]第4课时 两角和与差的正弦、余弦和 正切公式(对应学生用书(文)、(理)56～58页)1. 设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．答案：210解析：∵ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝35，∴ cos α＝45.∴ cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－35×22＝210. 2. (必修4P 106练习4改编)sin 20°cos 10 °－cos 160°sin 10°＝__________．答案：12解析：sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin10°＝sin 30°＝12.3. (必修4P 109练习8改编)函数y ＝2sin x ＋6cos x 的值域是__________． 答案：[－22，22]解析：y ＝2sin x ＋6cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－22，22]．4. (必修4P 118习题9改编)若α＋β＝π4，则(tan α＋1)·(tan β＋1)的值是________．答案：2解析：(tan α＋1)(tan β＋1)＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋1＝tan αtan β＋tan π4·(1－tan αtan β)＋1＝2.5. (必修4P 110例6改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝110，则tan αtan β的值为________．答案：32解析：(解法1)⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝110⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝310，cos αsin β＝15，从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝310×5＝32.(解法2)设x ＝tan αtan β，∵ sin （α＋β）sin （α－β）＝5，∴ sin （α＋β）cos αcos βsin （α－β）cos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan αtan β＋1tan αtan β－1＝x ＋1x －1＝5. ∴ x ＝32，即tan αtan β ＝32.1. 两角差的余弦公式推导过程设单位圆上两点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，sin β)，则∠P 1OP 2＝α－β(α>β)．向量a ＝OP 1→＝(cos α，sin α)，b ＝OP 2→＝(cos β，sin β)， 则a·b ＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)，由向量数量积的坐标表示，可知a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β，因而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2. 公式之间的关系及导出过程3. 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．4. asin α＋bcos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，tan φ＝ba .φ的终边所在象限由a ，b 的符号来决定．5. 常用公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)；sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4； sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎪⎫α－π4.[备课札记]。
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(2)三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂． (3)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值． ②尽量使函数种数最少． ③尽量使项数最少． ④尽量使分母不含三角函数． ⑤尽量使被开方数不含三角函数.
考向二 三角函数求值[互动讲练型] 1 [例 1] (1)(2018· 山西临汾一中等五校联考)若 tanα－tanα＝ 2 π π π 3 ， ，则 sin2α＋ 的值为________； ， α ∈ 10 4 2 4 2 1 13 π π (2) 已知 cosα ＝ 7 ， cos(α － β) ＝ 14 ，且 0<β<α< 2 ，则 β ＝ 3 ________.
π＝8. sin6
4
答案：8
考向一 化简与求值问题[自主练透型] 1 4 2 2cos x－2cos x＋2 1．化简： π π ＝________. 2tan4－xsin24＋x
1 4 2 4cos x － 4cos x ＋ 1 2 解析：原式＝ π sin4－x 2π 2× π · cos 4－x cos4－x 2 2 2cos2x－12 cos 2x cos 2x 1 ＝ π π ＝ π ＝2cos2x＝2 cos2x. 4sin4－xcos4－x 2sin2－2x 1 答案：2cos2x
)
7 A.9
1 B．－9 7 1 C．－9 D.9
解析：由已知得 3(cos α－sin α)＝2 2(cosα－sinα)， π ∵α∈4，π，∴cosα－sinα≠0， ∴3(cosα＋sinα)＝2 2， 2 2 8 ∴cosα＋sinα＝ 3 ，1＋sin2α＝9， 1 ∴sin2α＝－9. 答案：B
[小题热身] 1 α 1．已知 cosα＝3，α∈(π，2π)，则 cos2等于( 6 6 3 3 A. 3 B．－ 3 C. 3 D．－ 3 )
1 α π 解析：∵cosα＝3，α∈(π，2π)，∴2∈2，π， 1 1＋3 1 ＋ cos α 6 α ∴cos2＝－ ＝－ ＝－ . 2 2 3 答案：B
2
2
cos10° 1＋ 3tan10° 5．(2018· 新疆第二次适应性检测 ) 的值 cos50° 是________．
cos10° 1＋ 3tan10° cos10° ＋ 3sin10° 解析： 依题意得 ＝ ＝ cos50° cos50° 2sin10° ＋30° 2sin40° ＝ ＝ 2. cos50° sin40° 答案：2
1－cos210° 2．计算： ＝( cos80° 1－cos20° 2 1 3 2 A. 2 B.2 C. 2 D．－ 2
)
1－cos210° 解析： cos80° 1－cos20° sin210° ＝ sin10° 1－1－2sin210° sin210° 2 ＝ ＝2. 2 2sin 10° 答案：A
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1．降幂公式 1－cosα 2α sin 2＝① 2 (用 cosα 表示) 1＋cosα 2α cos 2＝② 2 (用 cosα 表示) 1－cosα 2α tan 2＝③ (用 cosα 表示) 1＋cosα
2．半角公式 1－cosα α sin2＝± 2 1＋cosα α cos2＝± 2 1－cosα 1－cosα sinα α tan2＝± ＝ ＝ sinα 1＋cosα 1＋cosα α 其符号由2所在的象限决定．
2sin 2－1 π 6．若 f(x)＝2tanx－ x x ，则 f12的值为________． sin2cos2
2x
解析：∵f(x)＝2tanx＋ 1 sin x 2 4 sin2x，
π ∴f12＝
1－2sin 2
2x
2cosx 2 ＝2tanx＋ sinx ＝sinxcosx＝
－3cosα)· (sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα， 又 sin2α＋cos2α＝1， 2 3 ∴cosα＝ ，sinα＝ ， 13 13 π sinα＋4 ∴ sin2α＋cos2α＋1 2 sin α ＋ cos α 2 26 ＝ . 2 2 2 ＝ 8 sinα＋cosα ＋cos α－sin α 26 答案： 8
3．辅助角公式 asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)， b a 其中 sinφ＝ 2 2，cosφ＝ 2 2. a ＋b a ＋b
二、必明 2●个易误点 1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公 式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的． 2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而 符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类 讨论，防止丢解．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
悟· 技法 三角式化简与求值的原则方法与要求 (1)三角函数式的化简遵循的三个原则 ①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与 联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． ②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使 用的公式，常见的有“切化弦”． ③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变 形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
sin2θ 3．若 tanθ＝ 3，则 ＝( 1＋cos2θ A. 3 B．－ 3 3 3 C. 3 D．－ 3
)
sin2θ 2sinθcosθ 解析： ＝ ＝tanθ＝ 3. 2 1＋cos2θ 1＋2cos θ－1 答案：A
π π 4． 若 α∈4，π， 且 3cos2α＝4sin4－α， 则 sin2α 的值为(
－3cos α＝0，则 ＝________. sin2α＋cos2α＋1
π 2． (2018· 河南商丘一模)已知 α∈0，2， 且 2sin2α－sinα· cosα π sinα＋4 2
π 解析：∵α∈0，2，且
2sin2α－sinα· cosα－3cos2α＝0，则(2sinα