考研复习 线性代数选择题解析(十六)
考研《线性代数》考点与考研真题详解
考研《线性代数》考点与考研真题详解线性代数作为考研数学中的重要组成部分,对于许多考生来说是一个具有挑战性的科目。
为了帮助考生更好地掌握线性代数的考点,提高解题能力,本文将详细梳理线性代数的主要考点,并结合考研真题进行深入分析。
一、行列式行列式是线性代数中的基本概念之一,其计算方法和性质是考试的重点。
1、行列式的定义n 阶行列式是一个数,它是由 n 行 n 列的元素按照一定的规则计算得到的。
2、行列式的性质(1)行列式与它的转置行列式相等。
(2)互换行列式的两行(列),行列式变号。
(3)行列式中某行(列)的元素乘以同一数后,加到另一行(列)的对应元素上,行列式不变。
3、行列式的计算常见的计算方法有:上三角法、按行(列)展开法、利用行列式的性质化简等。
考研真题示例:计算行列式\\begin{vmatrix}2 & 1 & 0 & 0 \\1 &2 & 1 & 0 \\0 & 1 & 2 & 1 \\0 & 0 & 1 & 2\end{vmatrix}\解:将行列式按第一行展开,得到\\begin{align}&\begin{vmatrix}2 & 1 & 0 & 0 \\1 &2 & 1 & 0 \\0 & 1 & 2 & 1 \\0 & 0 & 1 & 2\end{vmatrix}\\=&2\times\begin{vmatrix}2 & 1 & 0 \\1 &2 & 1 \\0 & 1 & 2\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\0 & 2 & 1 \\0 & 1 & 2\end{vmatrix}\\=&2\times(2\times\begin{vmatrix}2 & 1 \\1 & 2\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix} 1 & 1 \\0 & 2\end{vmatrix})-1\times(1\times\begin{vmatrix}2 & 1 \\1 & 2\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}0 & 1 \\0 & 2\end{vmatrix})\\=&2\times(2\times(4 1) 1\times(2 0)) 1\times(4 1 0)\\=&2\times(6 2) 1\times 3\\=&8 3\\=&5\end{align}\二、矩阵矩阵是线性代数的核心内容之一,包括矩阵的运算、逆矩阵、矩阵的秩等。
2024考研数学一线性代数历年考题详解
2024考研数学一线性代数历年考题详解线性代数是2024考研数学一科目中的一个重要内容,对于考生来说,掌握线性代数的知识点和解题技巧非常关键。
本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年考题进行详解,帮助考生更好地备考。
一、第一节:向量与矩阵1. 2010年考题考题描述:已知向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性无关,向量\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]可由向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性表示,且\[{\beta}_1 = 2{\alpha}_1 +3{\alpha}_2\],\[{\beta}_2 = 4{\alpha}_1 + 5{\alpha}_2 + {\alpha}_3\],\[{\beta}_3 = 7{\alpha}_1 + 10{\alpha}_2 + 2{\alpha}_3\],则向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为多少?解题思路:根据题意,我们可以建立如下矩阵:\[A =\begin{bmatrix}2 &3 & 0 \\4 &5 & 1 \\7 & 10 & 2 \\\end{bmatrix}\]然后通过对矩阵进行初等行变换,将其化为行最简形。
最后,行最简形的矩阵中非零行的个数即为矩阵的秩。
在本题中,通过计算可知行最简形为:\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]因此,向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为3。
2. 2014年考题考题描述:设矩阵\[A =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\-2 & 1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\],若矩阵\[B = (A - 2I)^2 - I\],其中\[I\)为单位矩阵,求矩阵\[B\)的秩。
线性代数考研试题解析系列
二次型与正定矩阵
包括二次型的标准形、规范形、 正定矩阵的判定和应用。
特征值与特征向量
包括特征值与特征向量的定义、 性质、求解和应用。
线性方程组
包括方程组的求解、解的性质和 结构等。
备考策略与答题技巧
01
02
03
04
系统复习基础知识
熟练掌握基本概念、性质和定 理,构建完整的知识体系。
强化计算能力
加强矩阵运算、行列式计算等 基本功的训练,提高计算速度 和准确性。
掌握证明方法
熟悉线性代数中常用的证明方 法,如归纳法、反证法、构造 法等,培养逻辑推理能力。
多做模拟试题
通过大量练习,熟悉试题类型 和难度,提高解题速度和应试 能力。
02
行列式与矩阵
行列式性质与计算
行列式的定义与性质
介绍行列式的基本概念、性质以及计算方法,包括 行列式的转置、数乘、加法等性质。
特殊行列式的计算
典型例题解析
例题1
判断二次型$f(x,y,z) = x^2 + 5y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 6yz$的正定性。
例题2
求二次型$f(x,y,z) = 2x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 4xy - 4xz - 8yz$的标准形及
所用的变换矩阵。
解析
首先写出二次型的矩阵形式,然后通 过计算行列式、特征值等方法判断其 正定性。
矩阵逆与秩例题
选取具有代表性的矩阵逆与秩的问题,进行详细 解析和讲解,帮助考生掌握相关问题的解题方法 和技巧。
03
向量与线性方程组
向量组及其线性组合
02
01
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 向量空间中,线性无关的向量集合的最小维度是:A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案:D2. 矩阵A的行列式为0,这意味着:A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案:B3. 线性变换T: R^3 → R^3,由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示,其特征值是:A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案:D4. 矩阵A与矩阵B相乘,结果矩阵的秩最多是:A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案:D5. 给定两个向量v1和v2,它们的点积v1·v2 > 0,这意味着:A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案:C6. 对于任意矩阵A,下列哪个矩阵总是存在的:A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案:C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是:A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案:D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是:A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案:A9. 一个矩阵的迹(trace)是:A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案:B10. 矩阵的范数有很多种,其中最常见的是:A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案:D二、简答题(每题10分,共20分)1. 请解释什么是基(Basis)以及它在向量空间中的作用是什么?答:基是向量空间中的一组线性无关的向量,它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
2024考研数学一线性代数历年真题全面解析
2024考研数学一线性代数历年真题全面解析一、前言在2024年的考研数学一科目中,线性代数占据着重要的位置。
掌握线性代数的核心概念和解题技巧对于考生来说至关重要。
为了帮助广大考生更好地备考,本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年真题进行全面解析,并分享一些解题技巧和注意事项。
二、基础知识回顾在开始解析之前,先回顾一下线性代数的基础知识是非常必要的。
包括向量、矩阵、行列式、线性空间、线性变换等概念都是线性代数的基本内容。
理解这些基础知识对于解答试题非常有帮助。
三、真题解析接下来,我们将对几道历年真题进行解析,以帮助考生更好地理解线性代数的应用。
1. 2018年真题题目描述:已知矩阵A的特征值为λ1=2,λ2=-3,对应的特征向量分别为X1=(1,2)T,X2=(1,-1)T。
求矩阵A的逆矩阵。
解析:根据线性代数的知识,当一个矩阵存在特征值时,可以通过特征向量组成的矩阵P和特征值组成的对角矩阵D,利用相似矩阵的性质求得矩阵A的逆矩阵。
首先,我们将特征向量X1和X2组成的矩阵P为:2 -1]然后,根据特征值组成的对角矩阵D为:D = [2 00 -3]利用相似矩阵的性质,可以得到:A = PDP^(-1)由此可得:P^(-1) = [1/3 1/32/3 -1/3]最后,计算得到矩阵A的逆矩阵为:A^(-1) = P^(-1)DP2. 2019年真题题目描述:已知矩阵A是n阶方阵,且满足A^2 = -I,其中I为n 阶单位矩阵。
证明A的特征值一定满足λ^2+1=0。
解析:根据已知条件A^2 = -I,可得到:λI^2 = -I再根据特征值的性质,可以得到:进一步推导,可得:(λ^2+1)I = 0因为矩阵A是n阶方阵,所以λ^2+1=0。
证毕。
四、解题技巧和注意事项1. 理清概念:线性代数是一门较为抽象的学科,需要理清概念和定义。
对于一些概念的记忆和理解,可以通过做例题巩固。
2. 多做习题:做大量的习题是掌握线性代数的关键。
数学一考研2024线性代数历年真题分析
数学一考研2024线性代数历年真题分析一、概述线性代数是数学的一个重要分支,广泛应用于各个领域,尤其在计算机科学、物理学和工程学中起着重要作用。
作为考研数学一科目的一部分,线性代数的考察内容主要包括向量空间、线性变换、矩阵与行列式等方面。
本文将对数学一考研2024线性代数的历年真题进行分析,旨在帮助考生更好地准备考试。
二、向量空间向量空间是线性代数的核心概念之一,考生需要熟悉向量空间的定义、性质和相关定理。
历年真题中,常考察向量空间的子空间、基和维数等内容。
考生在复习过程中要注意掌握基本的向量空间理论,并通过解析几何和线性方程组等应用题加深理解。
三、线性变换线性变换是线性代数中另一个重要概念,考生需要理解线性变换的定义、矩阵表示和基本性质。
历年真题中,线性变换的模型常常出现在题目中,考生需要通过矩阵的运算和特征值特征向量等知识来解答相关问题。
四、矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中的基础概念,考生要熟悉矩阵的运算规则、特殊矩阵的判定和行列式的计算方法。
历年真题中,矩阵的特征值和特征向量、矩阵的秩和正定性等内容经常被考察。
考生需要通过理论知识和计算能力来解答这些问题。
五、解析几何解析几何是线性代数的一个应用领域,考生需要熟悉直线、平面和空间中向量的表示、夹角和距离的计算。
历年真题中,解析几何的应用题经常出现,考生需要将线性代数的知识与几何图形相结合,灵活运用所学知识进行解答。
六、习题训练在备考过程中,考生不仅要理解线性代数的理论知识,还需通过大量的习题训练来提高解题能力。
历年真题和模拟试题是非常宝贵的资源,考生可以通过分析和解答真题来了解考点、总结解题方法和提高解题速度。
七、总结线性代数是数学一考研的一个重要科目,考生需要系统地学习和掌握相关内容。
通过对历年真题的分析,考生可以更好地了解考试的内容和形式,调整备考策略,有针对性地进行复习。
同时,考生还要注意提高解题能力,善于将线性代数的理论知识应用到实际问题中。
考研数学一2024线性代数历年题目全解
考研数学一2024线性代数历年题目全解考研数学一考试是以线性代数为主要内容的学科,对于考生而言,熟练掌握历年的线性代数题目并进行全面解析和讲解是提高题目解答水平的重要方法。
本文将全面解析考研数学一2024年线性代数历年题目,并通过详细的解题过程和讲解,帮助考生深入理解线性代数的基本概念和解题方法。
1. 第一题解析:首先,我们需要明确题目所给的条件和要求。
根据题目中提供的条件,我们可以得到...2. 第二题解析:题目中要求我们...通过以上的解析和讲解,我们可以发现,在解题过程中,需要注意的是...3. 第三题解析:对于此题,我们可以运用...通过以上的解析和讲解,我们可以总结出...4. 第四题解析:题目要求我们...通过以上的解析和讲解,我们可以发现,在解题过程中,需要注意的是...5. 第五题解析:对于此题,我们可以运用...通过以上的解析和讲解,我们可以总结出...通过对上述五道历年线性代数题目的解析和讲解,我们可以发现,线性代数是一门涉及多个概念和技巧的学科。
在解题过程中,需要运用到...总结:通过对考研数学一2024年线性代数历年题目的全面解析和讲解,我们发现了一些解题的方法和技巧。
在考试中,我们应该注重对基本概念和方法的掌握,并灵活运用到具体的题目解答中。
通过不断的练习和总结,我们可以提高解题水平,顺利应对考试。
在学习线性代数的过程中,我们还需重点掌握...希望以上的全面解析和讲解可以帮助考生更好地掌握线性代数的内容和解题方法,为取得优异的成绩奠定坚实的基础。
祝愿各位考生在考研数学一中取得好的成绩!。
考研数学一专题2024线性代数历年题目解析
考研数学一专题2024线性代数历年题目解析一、题目解析在数学一专题的考研中,线性代数是一个重要的内容。
掌握线性代数的基本理论和解题方法对于提高数学一专题的得分至关重要。
为了帮助考生更好地备考线性代数部分,本文将对2024年考研数学一专题中的线性代数部分的历年题目进行解析。
二、基础知识回顾在开始解析具体题目之前,我们先来回顾一下线性代数的基础知识。
1. 矩阵和向量矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
矩阵可以用来表示线性关系,是线性代数中最基本的概念之一。
向量可以看作是特殊的矩阵,它只有一列。
2. 线性方程组线性方程组是由一组线性方程所组成的方程组。
求解线性方程组是线性代数中的重要问题之一。
3. 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法等。
通过矩阵的运算,我们可以得到矩阵的秩、特征值和特征向量等重要的性质。
4. 矩阵的逆和行列式矩阵的逆是指与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。
行列式是一个常数,它可以用来判断矩阵是否可逆以及矩阵的秩。
三、题目解析接下来我们将对2024年考研数学一专题中的线性代数部分的历年题目进行解析。
以下是几个典型的题目:1. 题目一已知矩阵A是一个n阶方阵,且对任意非零n维列向量x,都有Ax=0。
则矩阵A的秩为多少?解析:根据题目中已知条件,对任意非零n维列向量x,都有Ax=0,这说明矩阵A的列向量都处于同一平面上。
因此,矩阵A的秩为1。
2. 题目二已知矩阵A为3阶方阵,且A的行列式|A|=3,求矩阵A的逆矩阵。
解析:根据矩阵A为3阶方阵,且A的行列式|A|=3,我们可以得知矩阵A是可逆的。
根据矩阵的性质,矩阵A的逆矩阵可以通过下式求得:A^-1 = (1/|A|) * adj(A),其中adj(A)是A的伴随矩阵。
因此,我们可以先求得矩阵A的伴随矩阵,然后再乘以1/3得到矩阵A的逆矩阵。
3. 题目三已知矩阵A和矩阵B都是2阶方阵,且A+B=2I,其中I是2阶单位矩阵。
考研数学线性代数重点知识点整理与习题解析
考研数学线性代数重点知识点整理与习题解析一、矩阵的运算矩阵的加法、乘法、转置以及数量乘法等是矩阵运算的基本操作。
矩阵的加法和乘法具有结合律、交换律和分配律等基本性质。
1.1 矩阵的加法对于两个相同大小的矩阵A和B,它们的和记作A + B,定义为它们对应元素相加所得到的矩阵。
即,如果A = [a_ij],B = [b_ij],则A + B = [a_ij + b_ij]。
1.2 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B,如果A的列数等于B的行数,它们可以进行乘法运算,记作C = AB。
矩阵C的元素c_ij可以表示为c_ij =∑(a_ik * b_kj)。
其中∑表示求和符号,k表示对应元素的相同下标。
1.3 矩阵的转置对于一个矩阵A,它的转置记作A^T。
即,如果A = [a_ij],则A^T = [a_ji]。
也就是说,矩阵A的行变为转置后矩阵的列,矩阵A的列变为转置后矩阵的行。
1.4 数量乘法一个数与一个矩阵的乘积称为数量乘法。
对于一个数k和一个矩阵A,它们的乘积记作kA。
即,kA = [ka_ij]。
其中ka_ij表示矩阵A中每个元素乘以k所得到的矩阵。
二、线性方程组线性方程组是线性代数的重要内容之一。
解一个线性方程组就是找到一组使得方程组中所有方程都成立的未知数的值。
通常通过矩阵的方法来解线性方程组,有三种常用的解法:高斯消元法、克拉默法则和逆矩阵法。
2.1 高斯消元法高斯消元法是通过矩阵的初等变换将线性方程组化为最简形式,从而求解方程组。
具体步骤如下:1) 将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵合并成增广矩阵;2) 逐行进行初等变换,使得增广矩阵的主对角线元素为1,其他元素为0;3) 对增广矩阵进行回代,求出方程组的解。
2.2 克拉默法则克拉默法则是通过行列式的性质来解线性方程组。
对于一个n元线性方程组,如果系数矩阵的行列式不为0,则方程组有唯一解,且每个未知数的值可以通过求解n个行列式得到。
2.3 逆矩阵法逆矩阵法是通过求解方程AX = B来解线性方程组。
考研数学一线性代数历年真题全解2024
考研数学一线性代数历年真题全解2024线性代数是数学的一个分支,是研究向量空间和线性变换的理论。
在考研数学一科目中,线性代数占据了一定的比重,因此熟练掌握线性代数的知识是非常重要的。
本文将针对考研数学一线性代数部分历年真题进行全面解析,以帮助考生更好地备考。
第一部分:向量空间向量空间是线性代数中的重要概念,也是线性代数的基础知识之一。
在考研数学一中,向量空间的相关知识经常会出现在选择题和计算题中。
下面我们将从历年真题中选取一些典型题目,进行详细解析。
题目1:已知向量空间V中的两个非零向量a,b满足a+b和2a-3b线性相关,求向量a和向量b的线性相关关系。
解析:根据已知条件,可以得到方程组:k1(a+b) + k2(2a-3b) = 0化简可得:(2k1+k2)a + (k1-3k2)b = 0由于a和b非零,所以方程组只有零解。
即:2k1+k2=0k1-3k2=0解得k1=3,k2=-6所以,向量a和向量b的线性相关关系为:3a-6b=0。
题目2:设V是数域K上的线性空间,W是V的子空间。
证明:W和V/W的维数之和等于V的维数。
解析:设V的维数为n,W的维数为m,V/W的维数为k。
由定义可知,W是V的子空间,所以m≤n。
而V/W的维数k的定义是:V中所有代表元素的集合构成的集合的维数。
所以,V中任意一组代表元素的集合都可以作为V的一组基,维数为n。
而V中所有代表元素的集合的元素个数为k,所以k≤n。
综上所述,m+k≤n,并且n=m+k。
第二部分:线性变换线性变换在线性代数中扮演着重要的角色,在考研数学一线性代数部分也是一道重要的考点。
线性变换的相关内容通常会涉及到矩阵、特征值等知识。
下面我们将通过历年真题来进行详细解析。
题目3:设A是n阶方阵,证明:矩阵A与其伴随矩阵A*相乘的结果为A的行列式的n次方。
解析:根据定义,矩阵的伴随矩阵满足以下性质:AA*=|A|E其中,|A|为A的行列式,E为单位矩阵。
近年线性代数考研题目及答案
近年线性代数考研题目及答案线性代数是数学中一个重要的分支,广泛应用于科学、工程和经济等领域。
考研中的线性代数题目通常包括矩阵运算、向量空间、线性变换、特征值问题等。
以下是一些近年线性代数考研题目及答案的示例:1. 题目:设矩阵A是一个3×3的实对称矩阵,且满足A^2 - 2A - 3I = 0,其中I是单位矩阵。
证明A的特征值都为3。
答案:首先,由于A是实对称矩阵,它必定存在一组正交的特征向量。
设λ为A的一个特征值,对应的特征向量为v。
根据特征值的定义,我们有Av = λv。
将题目中的等式A^2 - 2A - 3I = 0两边同时乘以v,得到A(Av) - 2Av - 3v = 0,即A(λv) - 2(λv) - 3v = 0,这可以化简为λ^2v - 2λv - 3v = 0。
由于v非零,我们可以除以v得到λ^2 - 2λ - 3 = 0。
解这个二次方程,我们得到λ = 3或λ= -1。
由于A^2 - 2A - 3I = 0,我们可以推断出A的特征值不可能为-1,因此A的特征值只能是3。
2. 题目:设向量组α1, α2, ..., αn线性无关,证明向量组α1 + α2, α2 + α3, ..., αn-1 + αn, αn + α1也是线性无关的。
答案:假设存在一组标量k1, k2, ..., kn,使得k1(α1 + α2)+ k2(α2 + α3) + ... + kn(αn + α1) = 0。
我们可以将这个等式重新排列,得到(k1 + kn)α1 + (k2 - k1)α2 + ... + (k1 -kn)αn = 0。
由于α1, α2, ..., αn线性无关,我们可以得出k1 + kn = 0,k2 - k1 = 0,...,k1 - kn = 0。
这意味着k1 = k2 = ... = kn = 0,因此向量组α1 + α2, α2 + α3, ..., αn-1 + αn,αn + α1是线性无关的。
21年线性代数真题考研
21年线性代数真题考研根据您提供的题目,我将按照研究生考试线性代数真题的格式和要求为您撰写正文,如下所示:考研线性代数真题分析与解答一、选择题1. 设矩阵A与B都为n阶矩阵且AB=BA,下列说法中正确的是()。
A. A与B可逆B. A与B的秩相等C. AB为对称阵D. AB 为上三角阵解析:答案为B。
若AB=BA,则A与B的秩一定相等。
2. 关于线性方程组(A)的解集的推断问题,下列说法中错误的是()。
A. 方程组(A)有唯一解时,Ax=0只有零解B. 方程组(A)有无穷多解时,Ax=0有无穷多解C. 方程组(A)有无穷多解时,Ax=b有无穷多解D. 方程组(A)有无穷多解时,Ax=b的解集是一个非空集解析:答案为C。
当方程组(A)有无穷多解时,Ax=b的解集可能是一个空集。
二、计算题1. 计算矩阵A = 1 2 3 矩阵B = 2 1 30 2 1 1 0 21 1 1 1 1 1解析:A矩阵与B矩阵的乘积AB为:7 3 94 2 44 3 62. 已知向量组v1 = (1, 1, 1),v2 = (1, 2, 3),v3 = (1, 4, 9),计算向量组(v1, v2, v3)的秩。
解析:向量组(v1, v2, v3)的秩为3,因为向量组中的向量线性无关。
三、证明题1. 证明:如果一个齐次线性方程组的系数矩阵的行数小于列数,则必有非零解。
证明:设齐次线性方程组的系数矩阵为A,行数为m,列数为n,其中m < n。
根据线性代数理论可知,齐次线性方程组有非零解的条件是系数矩阵A的秩小于n。
由于A的行数m小于列数n,根据秩的定义可知,秩r(A)小于等于m。
又由于m < n,因此r(A) < n。
综上所述,齐次线性方程组的系数矩阵的行数小于列数时,必有非零解。
总结:线性代数是研究向量空间及其上的线性变换的数学理论。
通过对21年线性代数真题的分析与解答,我们可以发现在考研过程中,掌握并理解基本概念、性质和运算法则是至关重要的。
线性代数考研题库及答案
线性代数考研题库及答案线性代数考研题库及答案线性代数作为数学的一个重要分支,是应用广泛且基础性强的学科。
对于考研学子来说,掌握线性代数的知识是非常重要的。
在备考过程中,做题是必不可少的一环。
本文将为大家介绍一些线性代数考研题库及答案,希望能够对大家的备考有所帮助。
一、基础知识题1. 下列哪个不是向量的性质?A. 加法交换律B. 乘法结合律C. 乘法分配律D. 加法结合律答案:D解析:向量的加法满足交换律、结合律,乘法满足结合律和分配律。
2. 设A为n阶方阵,下列哪个等式成立?A. A^T = -AB. A^T = AC. A^T = A^2D. A^T = A^{-1}答案:B解析:方阵的转置就是将矩阵的行变成列,列变成行,所以A的转置等于A本身。
二、定理证明题1. 证明:矩阵A与B相似的充要条件是存在可逆矩阵P,使得P^{-1}AP = B。
答案:略解析:这是线性代数中的一个重要定理——矩阵相似。
证明的思路是从定义出发,利用矩阵的运算性质和可逆矩阵的性质进行推导。
三、应用题1. 已知向量组v1 = (1, 2, 3)^T,v2 = (2, 3, 4)^T,v3 = (3, 4, 5)^T,求向量组的秩。
答案:2解析:将向量组写成矩阵形式,进行初等行变换,化为阶梯型矩阵,统计非零行的个数即为秩。
2. 设A为n阶方阵,若存在非零向量X,使得AX = X,则矩阵A的特征值为多少?答案:1解析:根据特征向量的定义,AX = λX,其中λ为特征值,X为特征向量。
根据题意可得AX = X,所以特征值λ为1。
四、综合题1. 设A为3阶方阵,已知A的特征值为1,2,3,求A的特征向量。
答案:略解析:根据特征值和特征向量的定义,解线性方程组(A-λI)X = 0,其中λ为特征值,X为特征向量,求解得到特征向量。
总结:线性代数考研题库及答案主要涵盖了基础知识题、定理证明题、应用题和综合题等不同类型的题目。
通过做题可以帮助考生巩固知识、理解概念,并提高解题能力。
线性代数考试题及答案考研
线性代数考试题及答案考研一、选择题1. 设矩阵A的秩为1,矩阵B与矩阵A相抵消,那么矩阵B的秩为:- A. 0- B. 1- C. 2- D. 不确定2. 若矩阵A可逆,且AB=0,则:- A. A可逆,B不可逆- B. B可逆,A不可逆- C. A和B都可逆- D. A和B都不可逆二、填空题1. 若向量组\[a_1, a_2, a_3\]线性相关,则至少存在不全为零的实数\[c_1, c_2, c_3\],使得\[c_1a_1 + c_2a_2 + c_3a_3 =\_\_\_\_\_\_。
2. 设矩阵\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\],矩阵\[A\]的特征值是\_\_\_\_\_\_。
三、解答题1. 已知矩阵\[B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\],求矩阵\[B\]的逆矩阵。
2. 设\[x\]是\[3 \times 1\]的列向量,\[A\]是\[3 \times 3\]的矩阵,若\[Ax = 0\],证明\[x\]是矩阵\[A\]的零空间的基。
答案一、选择题1. 正确答案:A. 0解析:若矩阵B与矩阵A相抵消,则B的列向量是A的行向量的线性组合,因此B的秩小于等于A的秩。
由于A的秩为1,所以B的秩为0。
2. 正确答案:D. A和B都不可逆解析:若AB=0,则A和B至少有一个是不可逆的。
因为如果A可逆,则AB=I,这与AB=0矛盾。
同理,如果B可逆,则AB=I,也与AB=0矛盾。
二、填空题1. 正确答案:0解析:线性相关意味着存在不全为零的系数使得向量和为零向量。
2. 正确答案:2, -1解析:通过计算特征多项式\[|A - λI| = 0\],解得特征值为2和-1。
三、解答题1. 解:矩阵B的逆矩阵计算如下:\[B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \cdot \text{adj}(B)\]其中,\[\det(B) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 0\],因此矩阵B 不可逆,没有逆矩阵。
考研数学专业解析线性代数题型
考研数学专业解析线性代数题型数学专业是考研数学的重要方向之一,而线性代数则是数学专业中一门基础而重要的学科。
在考研数学中,线性代数题型占据了相当大的比重,考查学生对线性代数基本原理和应用的理解程度。
本文将对考研数学专业中的线性代数题型进行解析,帮助考生更好地应对考试。
一、向量与线性空间题型解析1. 向量的基本概念和运算向量是线性代数中的基本对象之一,掌握向量的基本概念是解题的基础。
要理解向量的线性运算以及向量的模长、夹角、投影等运算规则。
同时,还需要熟悉向量的坐标表示、标准正交基、向量组的线性相关性等相关概念。
2. 线性空间的性质和运算线性空间是向量空间的一个重要子集,了解线性空间的性质对解题非常有帮助。
掌握线性空间的定义、性质以及线性空间的基、坐标表示等概念。
例如,对于给定的线性空间,如何求其基和维数,如何判断向量组的线性无关等。
二、矩阵与行列式题型解析1. 矩阵的基本操作和性质矩阵在线性代数中起到了非常关键的作用,学习矩阵的基本操作和性质对解题至关重要。
掌握矩阵的加法、数乘、乘法等基本运算规则,熟悉矩阵的转置、逆、秩、特征值和特征向量等相关概念。
2. 行列式的定义和运算法则行列式是线性代数中的另一个重要概念,熟练掌握行列式的定义和运算法则是解题的关键。
了解行列式的性质以及行列式的计算方法,包括拉普拉斯展开定理、克拉默法则等重要的行列式计算方法。
三、线性变换与特征值题型解析1. 线性变换的定义和表达线性变换是研究线性代数的另一个重要领域,掌握线性变换的定义和表示形式对解题十分重要。
了解线性变换的基本概念,包括线性变换的定义、矩阵表示形式、线性变换的合成与逆等相关概念。
2. 特征值与特征向量的判断和求解特征值和特征向量是解析线性代数题目中的重要考点,熟练掌握求特征值和特征向量的方法对解题至关重要。
了解特征值和特征向量的定义,掌握求解特征值和特征向量的方法,例如求解特征方程、对角化等相关技巧。
综上所述,考研数学专业中的线性代数题型包括向量与线性空间、矩阵与行列式、线性变换与特征值等方面。
线性代数习题精选精解考研
线性代数习题精选精解考研线性代数在数学中的地位可谓非常重要,它是现代数学研究中的重要支架,也是物理、工程、计算机科学等学科中的重要基础课程。
在考研中,线性代数也是必修的一门课程,考研生必须掌握线性代数中的各种概念和方法,并通过一些线性代数的习题来检验自己的掌握程度。
下面,我们来看看一些线性代数习题的精选和精解。
一、矩阵乘法在线性代数中,矩阵乘法是一种基本的运算方式,特别是在线性方程组的求解过程中。
下面是一道典型的矩阵乘法的习题:已知矩阵A = [[2, 1], [-1, 3]],B = [[3, 4], [1, -2]],求矩阵C = AB。
答案:[2*3 + 1*1, 2*4 + 1*-2] = [7, 6][-1*3 + 3*1, -1*4 + 3*-2] = [0, -10]C = [[7, 6], [0, -10]]二、矩阵的逆在线性代数中,矩阵的逆也是一个非常重要的概念,一个矩阵是否可逆,可以决定线性方程组的是否有唯一解。
下面是一道典型的矩阵逆的习题:已知矩阵A = [[1, 2], [2, 3]],求矩阵A的逆矩阵。
答案:|A| = 1*3 - 2*2 = -1A的伴随矩阵:[3, -2][-2, 1]A的逆矩阵:[-3, 2][2, -1]A的逆矩阵的验证:A*A的逆矩阵 = I[[1, 2], [2, 3]][[-3, 2], [2, -1]] = [[1, 0], [0, 1]]三、矩阵的特征值和特征向量在线性代数的学习过程中,矩阵的特征值和特征向量也是一种很重要的概念,它与线性变换和矩阵的对角化有很大的关系。
下面是一道典型的矩阵特征值和特征向量的习题:已知矩阵A = [[3, 1], [1, 3]],求矩阵A的特征值和特征向量。
答案:|A-λI| = 0 --> λ = 2, 4当λ=2时:(A-2I)x = 0,解得x = [1 -1]。
当λ=4时:(A-4I)x = 0,解得x = [1 1]。
考研数学一(线性代数)模拟试卷16(题后含答案及解析)
考研数学一(线性代数)模拟试卷16(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1.设A是三阶实矩阵λ1,λ2,λ3是A的三个不同的特征值,ξ1,ξ2,ξ3是三个对应的特征向量.证明:当λ2λ3≠0时,向量组ξ1,A(ξ1+ξ2),A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关正确答案:因涉及知识点:线性代数2.设A是n阶实矩阵,有Aξ=λξ,ATη=μη,其中λ,μ是实数,且λ≠μ,ξ,η是n维非零向量.证明:ξ,η,正交.正确答案:Aξ=λξ,两边转置得ξTAT=λξT,两边右乘η,得ξTAT η=λξTη,ξTμη=λξTη,(λ—μ)ξTη=0,λ≠μ,故ξTη=0,ξ,η相互正交.涉及知识点:线性代数3.设矩阵,问k为何值时,存在可逆阵P,使得P-1AP=A,求出P及相应的对角阵.正确答案:λ=一1是二重特征值,为使A相似于对角阵,要求涉及知识点:线性代数4.已知求A的特征值和特征向量,a为何值时,A相似于A,a为何值时,A不能相似于A.正确答案:涉及知识点:线性代数5.已知α=[1,k,1]T是A-1的特征向量,其中求k及a所对应的特征值.正确答案:由题设A一1α=λα,λ是A一1的对应于α的特征值,两边左乘A,得α=λAα,A一1可逆,涉及知识点:线性代数6.设矩阵有三个线性无关特征向量,λ=2是A的二重特征值,试求可逆阵P使得P-1AP=A,A是对角阵.正确答案:A有三个线性无关的特征向量,λ=2是二重特征值,故特征矩阵2E一A的秩应为1.涉及知识点:线性代数7.已知考ξ=[1,1,一1]T是矩阵的一个特征向量.(1)确定参数a,b及ξ对应的特征值λ;(2)A是否相似于对角阵,说明理由.正确答案:(1)设A的特征向量ξ所对应的特征值为λ,则有Aξ=λξ,即解得λ=一1,a=一3,b=0.(2)当a=一3,b=0时,由知λ=一1是A的三重特征值,但当λ=-1时,对应的线性无关特征向量只有一个,故A不能相似于对角阵.涉及知识点:线性代数8.设矩阵且|A|=一1,A的伴随矩阵A*有特征值λ0,属于λ0的特征向量为α=[一l,一1,1]T,求a,b,c及λ0的值.正确答案:A*α=λ0α,左乘A,得AA*α=|A|α=一a=λ0Aα.即涉及知识点:线性代数9.设A是三阶实对称阵,λ1=一1,λ2=λ3=1是A的特征值,对应于λ1的特征向量为考ξ=[0,1,1]T,求A.正确答案:λ2=λ3=1有两个线性无关特征向量ξ2,ξ3,它们都与ξ正交,故可取ξ2=[1,0,0]T,ξ1=[0,1,-1]T,且取正交矩阵涉及知识点:线性代数10.设A是n阶方阵,2,4,…,2n是A的n个特征值,E是n阶单位阵.计算行列式|A一3E|的值.正确答案:若λ为A的特征值,则λ-3为A一3E的特征值.所以A一3E的特征值为一1,1,3,…,2n一3,故|A一3E|=(一1)×1×3×…×(2n 一3)=一(2n一3)!!.涉及知识点:线性代数11.设矩阵(1)已知A的一个特征值为3,试求y;(2)求矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.正确答案:(1)|A一λE|=(Aλ-1)(λ2+1)λ一(2+y)λ+(2y一1)]一0→y=2.i2)A为对称矩阵,要使(AP)T(AP)=PTA2P为对角矩阵,即将实对称矩阵A2对角化由(1)得A的特征值λ1=一1,λ2,3=1,λ4=3,故A2的特征值λ1,2,3=1,λ4=9.且A2的属于特征值λ1,2.3=1的正交单位化的特征向量为A2的属于特征值λ4=9的正交单位化的特征向量为涉及知识点:线性代数设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3.12.证明:β,Aβ,A2β线性无关;正确答案:设k1β+k2Aβ+K3A2β=0,①由题设Aαi=λiαi(i=1,2,3),于是Aβ=A1α1+A2α2+A3α3=λ1α1+λ2α令P=[β,Aβ,A2β],则P可逆,且涉及知识点:线性代数14.设求实对称矩阵B,使A=B2.正确答案:涉及知识点:线性代数15.证明:A~B,其中并求可逆阵P,使得P-1AP=B.正确答案:由A知,A的全部特征值是1,2,…,n,互不相同,故A相似于由其特征值组成的对角阵B.由于λ1=1时,(λ1E—A)X=0,有特征向量ξ1=[1,0,…,0]T;λ2=2时,(λ2E-A)X=0,有特征向量ξ2=[0,1,…,O]T;λn=n时,(λnE-A)X=0,有特征向量ξn=[0,0,…,1]T.故有Aξn=nξn,Aξn-1=(n一1)ξn-1,Aξ1=ξ1,故得可逆阵有P一1AP=B.涉及知识点:线性代数16.设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0<r≤n).证明:其中Er是r阶单位阵.正确答案:A2=A,A的特征值的取值为1,0,由A—A2=A(E一A)=0知r(A)+r(E一A)≤n,r(A)+r(E—A)≥r(A+E—A)=r(E)=n,故r(A)+r(E一A)=n,r(A)=r,从而r(E—A)=n—r.对λ=1,(E--A)X=0,因r(E-A)=n一r,故有r个线性无关特征向量,设为ξ1,ξ2,……ξr;对λ=0,(OE-A)X=0,即AX=0,因r(A)=r,有n一r个线性无关特征向量,设为ξr+1,ξr+2,……ξn.故存在可逆阵P=[ξ1,ξ2,……ξn],使得涉及知识点:线性代数17.设A,B均为n阶矩阵,A有n个互不相同的特征值,且AB=BA.证明:B相似于对角阵.正确答案:A有n个互不相同的特征值,故存在可逆阵P,使得P一1AP=diag(λ1,λ2,…,λn)=A1,其中λi,i=1,2,…,n是A的特征值,且λi≠λj(i≠j).又AB=BA,故P一1APP一1BP=P一1BPP一1AP,即A1P一1BP=P一1BPA1.设P一1BP=(ij)n×n,则涉及知识点:线性代数18.设α=[a1,a2……an]T≠0,A=ααT,求可逆阵P,使P-1AP=A.正确答案:(1)先求A的特征值.直接用A的特征方程得A的特征值为(2)再求A的对应于λ的特征向量.因为A=ααT,λ=0时,(λE—A)X=一ααTX=0,因为满足αTX=0的X必满足ααTX=0,故λ=0时,对应的特征方程是a1x1+a2 x2+…+anxn=0.对应λ=0的n一1个特征向量为,对特征矩阵λE—A=αTαE一ααT右乘α,得(λE-A)α=(αTαE一ααT)α=(αTα)α-α(αTα)=0,故知α=[α1,α2……αn]T即是所求ξ.(3)由ξ1,ξ2,……ξn,得可逆阵P. 涉及知识点:线性代数设A=E+αβT,其中α=[a1,a2……an]T≠0,β=[b1,b2……bn]T=0,且αT β=2.19.求A的特征值和特征向量;正确答案:设(E-αβT)ξ=λξ.①左乘βT,βT(E+αβT)ξ一(E+αβT)ξ=(1+βTα)βTξ=λβTξ,若βTξ≠0,则λ=1+βTα=3;若βTλ=0,则由①式,λ=1.λ=1时,即[b1,b2……bn]X=0,因αTβ=2,故α≠0 β≠0,设b1≠0,则ξ1=[b2,一b1,0,…,0]T,ξ2=[b3,0,一b1,…,0]T,…,ξn-1=[bn,0,…,0,一b1]T;λ=3时,(3E-A)X=(2E一αβT)X=0,ξn=α=[a1,a2,…,an]T.涉及知识点:线性代数20.求可逆矩阵P,使得P-1AP=A.正确答案:取涉及知识点:线性代数设向量α=[a1,a2……an]T,β=[b1,b2……bn]T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT,求:21.A2;正确答案:由A=αβT和αTβ=0,有A2=AA=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(αTβ)αβT=O,即A是n阶幂零阵(A2=O).涉及知识点:线性代数22.A的特征值和特征向量;正确答案:利用(1)A2=O的结果.设A的任一特征值为λ,对应于λ的特征向量为ξ,则λξ=λξ.两边左乘A,得A2ξ=λAξ=λ2ξ.因A2=O,所以λ2ξ=0,ξ≠0,故λ=0,即矩阵A的全部特征值为0.涉及知识点:线性代数23.A能否相似于对角阵,说明理由.正确答案:A不能相似于对角阵,因α≠0,β≠0,故A=αβT≠0,r(A)=r ≠0(其实r(A)=1,为什么?).从而对应于特征值λ=0(n重)的线性无关的特征向量的个数是n一r≠n个,故A不能对角化.涉及知识点:线性代数设a0,a1……an-1是n个实数,方阵24.若λ是A的特征值,证明:ξ=[1,λ,λ2,…,λn-1]T是A的对应于特征值λ的特征向量;正确答案:λ是A的特征值,则λ应满足|λE一A|=0,即将第2列乘λ,第3列乘λ2,…,第n列乘λn-1加到第1列,再按第1列展开,得得证ξ=[1,λ,λ2,…,λn-1]T是A的对应于λ的特征向量.涉及知识点:线性代数25.若A有n个互异的特征值λ1,λ2,…,λn,求可逆阵P,使P-1AP=A.正确答案:因λ1,λ2,……λn异,故特征向量考ξ1,ξ2,……ξn线性无关,取可逆阵P=[ξ1,ξ2,……ξn],得其中ξi=[1,λi,λi2,……λin-1]T,i=1,…,n.涉及知识点:线性代数26.设问A,B是否相似,为什么?正确答案:A,B均是实对称阵,均可相似于对角阵,由于对换|λE一A|的1,2列和1,2行,得故A和B有相同的特征方程,相同的特征值,它们均相似于同一个对角阵,故A~B.涉及知识点:线性代数27.设A是三阶矩阵,λ1=1,λ2=2,λ3=3是A的特征值,对应的特征向量分别是ξ1=[2,2,一1]T,ξ2=[一1,2,2]T,ξ3=[2,一1,2]T.又β=[1,2,3]T,计算:(1)Anξ;(2)Anβ.正确答案:(1)因Aξ1=λ1ξ1,故ANξ1=λ1Nξ1,故(2)利用Aξi=λi ξi有Anξi=λiξi,将β表成ξ1,ξ2,ξ3的线性组合.设β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3,即涉及知识点:线性代数28.已知二次型f(x1,x2,x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3.(1)写出二次型f的矩阵表达式;(2)用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.正确答案:涉及知识点:线性代数29.已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ξ2=4,求a,b的值和正交矩阵P.正确答案:则所求正交矩阵P=[p1,p2,p3].涉及知识点:线性代数30.已知f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32一2x1x2+6x1x3—6x2x3的秩为2.试确定参数c及二次型对应矩阵的特征值,并问f(x1,x得λ1=0,λ2=4,λ3=9.存在正交阵Q,令X=QY,则f=4y22+9y32,故f(x1,x2,x3)=1表示椭圆柱面.涉及知识点:线性代数31.已知A是m×n矩阵,m<n.证明:AAT是对称阵,并且AAT正定的充要条件是r(A)=m.正确答案:由(AAT)T=(AT)TAT=AAT,所以AAT是对称阵.必要性若AAT 正定,r(AAT)=m≤r(A),又r(Am×n)≤m,故r(A)=m.充分性若r(A)=m,则齐次方程组ATX=0只有零解,故对任意X≠0,均有ATX≠0,故XTAATX=(ATX)T(ATX)>0,即AAT正定.涉及知识点:线性代数32.设矩阵,矩阵B=(kE+A)2,求对角阵A,使得B;和A相似,并问k 为何值时,B正定阵.正确答案:涉及知识点:线性代数33.设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵.证明:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.正确答案:显然BTAB为对称矩阵.BTAB为正定矩阵.涉及知识点:线性代数34.设A为m×N实矩阵,e为N阶单位矩阵.已知矩阵b=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.正确答案:用定义证明.显然B为对称矩阵.对,当λ>0时,有故B为正定矩阵.涉及知识点:线性代数35.证明:实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B,使得AB+BTA正定.正确答案:必要性取B=A一1,则AB+BTA=E+(A-1)TA=2E,所以AB+BTA 是正定矩阵.充分性用反证法.若A不是可逆矩阵,则r(A)<n,于是存在实向量x0≠0使得Ax0=0.因为A是实对称矩阵,B是实矩阵,于是有x0T(AB+BTA)x0=(Ax0)TBx0+x0TBT(Ax0)=0,这与AB+BTA是正定矩阵矛盾.涉及知识点:线性代数36.设A与B均为正交矩阵,并且|A|+|B|=0.证明:A+B不可逆.正确答案:由AAT=E有|A|2=1,因此,正交矩阵的行列式为1或一1.由|A|+|B|=0有|A|.|B|=一1,也有|AT|.|BT|=一1.再考虑到|ATT(A+B)BT|=|AT+BT|=|A+B|,所以一|A+B|=|A+B|,|A+B|=0.故A+B不可逆.涉及知识点:线性代数37.已知f(x,y)=x2+4xy+y2,求正交变换P,,使得正确答案:涉及知识点:线性代数38.已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12一y22一y32,又知矩阵B满足矩阵方程其中α=[1,1,一1]T,A*为A的伴随矩阵,求二次型XTBX 的表达式.正确答案:由条件知A的特征值为2,一1,一1,|A|=2,因为A*的特征值为,所以A*的特征值为1,-2,-2,由已知,α是A*关于λ=1的特征向量,也就是α是A关于λ=2的特征向量.由得2ABA-1=2AB+4E→B=2(E一A)-1,则B的特征值为一2,1,1,且Bα=一2α.设B关于λ=1的特征向量为β=[x1,x2,x3]T,又B是实对称阵,β与β正交,故x1+x2一x3=0,解出β1=[1,-1,0]T,β2=[1,0,1]T,令故XTBX=-2x1x2+2x1x3+2x2x3.涉及知识点:线性代数39.设A为n阶正定矩阵,证明:存在唯一正定矩阵H,使得A=H2.正确答案:由于A为n阶正定矩阵,故存在正交矩阵U,使得涉及知识点:线性代数40.设方阵A2与B1合同,A2与B2合同,证明:正确答案:因为A1与B1合同,所以存在可逆矩阵C1,使B1=C1TA1C1.因为A2与B2合同,所以存在可逆矩阵C2,使B2=C2TA2C2.涉及知识点:线性代数41.已知R3的两个基分别为求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵P.正确答案:[β1,β2,β3]=[α1,α2,α3]P一1→P=[α1,α2,α3]叫[β1,β2,β3]= 涉及知识点:线性代数42.设B是秩为2的5×4矩阵,α1=[1,1,2,3]T,α2=[一1,1,4,一1]T,α3=[5,一1,一8,9]T是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.正确答案:先求Bx=0的基础解系,r(B5×4)=2→Bx=0的基础解系含4一r(B)=2个线性无关的解向量.显然α1,α2线性无关,则α1,α2为Bx=0的一个基础解系.将α1,α2正交单位化得Bx=0的解空间的一个标准正交基:涉及知识点:线性代数。
考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编16(题后含答案及解析)
考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编16(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设A为n阶实矩阵,AT是A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ):Ax=0和(Ⅱ):ATAx=0,必有A.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解.B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解.C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解.D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.正确答案:A解析:若x满足Ax=0,两端左乘AT,得ATAx=0,故Ax=0的解都是ATAx=0的解;若x满足ATAx=0,两端左乘xT,得(xTAT)(Ax)=0,即(Ax)T(Ax)=0,或‖Ax‖2=0,得Ax=0,所以ATAx=0的解也都是Ax=0的解.因此(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,只有选项A正确.知识模块:线性方程组2.4个平面aix+biy+ciz=di(i=1,2,3,4)交于一条直线的充要条件是对应的联立线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵=A.1B.2C.3D.4正确答案:B解析:记4个平面方程联立所得方程组为Ax=b,则4个平面交于一条直线→Ax=b的通解为x=(x0,y0,z0)…+c(l,m,n)’→r(A)=r(A┆b)且Ax=0的基础解系所含解向量个数为3一r(A)=1→r(A)=r(A)=2,只有选项B正确.知识模块:线性方程组3.设A是n阶矩阵,α是n维列向量,且则线性方程组A.Ax=α必有无穷多解.B.Ax=α必有唯一解.C.=0仅有零解.D.=0必有非零解.正确答案:D解析:因为方程组=0是n+1元齐次线性方程组,而它的系数矩阵的秩为:秩=秩(A)≤n<n+1,故该齐次线性方程组必有非零解,即(D)正确.注意,在题设条件下,有秩(A)=秩[A┊α].故方程组AX=α必有解,但不能肯定它是有无穷多解还是有唯一解,故(A)、(B)都不对.知识模块:线性方程组4.设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0,若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系A.不存在.B.仅含一个非零解向量.C.含有两个线性无关的解向量.D.含有3个线性无关的解向量.正确答案:B解析:由A*≠0知A*至少有一个元素Aij=(一1)i+jMij≠0,故A的余子式Mij≠0,而Mij为A的n一1阶子式,故r(A)≥n一1,又由Ax=b有解且不唯一知r(A)<n,故r(A)=n一1.因此Ax=0的基础解系所含向量个数为n—r(A)=n 一(n一1)=1,只有B正确.知识模块:线性方程组5.设A为4×3矩阵,η1,η2,η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则Ax=β的通解为A.+k1(η2—η1).B.+k1(η2—η1).C.+k1(η2—η1)+k2(η3—η1).D.+k1(η2—η1)+k2(η3—η1).正确答案:C解析:首先,由A[(η2+η3)]=β,知(η2+η3)是Ax=β的一个特解;其次,由解的性质或直接验证,知η2—η1及η3—η1均为方程组Ax=0的解;再次,由η1,η2,η3线性无关,利用线性无关的定义,或由[η2—η1,η3—η1]=[η1,η2,η3]及矩阵的秩为2,知向量组η2—η1,η3—η1线性无关,因此,方程组Ax=0至少有2个线性无关的解,但它不可能有3个线性无关的解(否则,3一r(A)=3,→r(A)=0,→A=O,这与Aη1=β≠0矛盾),于是η2—η1,η3—η1可作为Ax=0的基础解系,Ax=0的通解为k1(η2—η1)+k2(η3—η1),再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项C正确.知识模块:线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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考研复习线性代数选择题解析(十六)
对于考研的同学们来说,考研数学史决定考研成败的关键因素之一,而线性代数又是数学中的绝对重点,凯程教育小编为大家整理了线性代数考研习题的相关信息,希望对各位同学的复习有所帮助!
考研复习线性代数选择题解析(十七)
对于考研的同学们来说,考研数学史决定考研成败的关键因素之一,而线性代数又是数学中
的绝对重点,凯程教育小编为大家整理了线性代数考研习题的相关信息,希望对各位同学的复习有所帮助!
考研数学概率论与数理统计高效备考
很多考生抱怨概率论与数理统计部分难度较大,殊不知是考生们的惯有看法使其变得难度大,只要考生在备考过程中高效率备考,取得满分也是有可能的,下面是凯程教育小编为大家整理的详细介绍,供参考!
如果把数学三个科目难度划分的话,总是高等数学排第一,因为它不论从大学时学习的先后次序,还是从题型的丰富程度和变化程度来说,抑或从考研数学中所占比例来说都是当仁不
让的;其次是线性代数,这门学科比较抽象,而且许多各章节串联性非常强,很多小结论都要记忆,同学们普遍反映较难。
那么,概率论与数理统计当之无愧是这三科中相对最简单的,这是因为概率的题型单一、方法固定、变化较少,更注重基本概念和方法的考查。
所以为了达到最大的性价比,明智的考生理应最先保证拿到这门最简单科目的最多得分。
事实上概率在实际中的应用更广泛一些,所以学好概率论与数理统计无论在研究生阶段的课程中,还是工作以后都有较多的用武之地。
现在我们来说一下如何能顺利通过考研中概率部分的题目并取得高分的一些细节,这是目前考研的同学们的重要任务。
一、不搞题海战术
考研数学中,相比于高等数学丰富多变的题型与方法,概率论与数理统计这门学科考查的题型固定、单一,解题技巧较少。
因此,一不要同时看太多本的辅导书。
因为每本辅导书里概率的体系和解题方法、技巧都是差不多的,假如你的手上一共有两本辅导书,那么就深入钻研这两本,掌握“三基”,掌握题型,做完每一道练习题。
二不要搞题海战术。
例如,同学们在学习概率论与数理统计的时候不要一头扎入古典概型的概率计算中不可自拔。
概率论的第一部分就是关于古典概型与几何概型的计算问题,有很多问题是很复杂的,一旦陷入这一类问题的题海中,要么你的脑瓜会越来越聪明,要么打击你的信心,对概率论失去兴趣。
一般同学都会处于后一种状态。
我们应该挑准一本练习册,多做几遍上面的题目,每做一遍,都回头总结一下,此题的考点是什么,应用了哪些基本方法,把题目做精做透。
二、对概率论与数理统计的考点整体把握
考研中,概率论的重点考查对象在于随机变量及其分布和随机变量的数字特征。
所以对于第一条中所讲的古典概型与几何概型这部分,只要掌握一些简单的概率计算就可,把大量精力放在随机变量的分布上,尤其是第四章二维随机变量及其分布,是重中之重。
数理统计的考查重点在于一是与抽样分布相关的统计量的分布及其数字特征,二是参数估计的两种方法。
这就是对一门课程整体把握的优势。
三、重视基本功的熟练度。
想要数学高分,就是要对常规题型有无可争议的熟练度。
近年来考研数学的一大特点就是计算量逐年加大、答题时间紧。
如果只是满足于会做,是远远不够的,要达到不但会做,而且最短时间内正确的做出来的层次,这才叫做基本功。
四、复习的中后期,真题为主
有一些考生并不相信真题的宝贵性,但是又不敢不做真题,只想应付了事。
对照近5年的数学真题,你会发现近5年的题目有70%以上可以在以往的试卷里找得到相似的题型甚至是原题的“影子”。
考研真题中有大量的常考题型,其难度和综合程度都是其他题目无法比拟的,其他的训练题目由于其目的是为了强化训练某个知识点,故难免过于简单,或过于困难,或超纲,或综合性不够。
五、克服心理恐惧
考研数学试题中有关概率论与数理统计的题目对大多数考生来说有一定难度,这就使得很多考完试的同学感慨万千,概率题太难了!同时也为学弟学妹们传达了概率题目难的信息。
所以同学们在复习之前就已经有了先入为主的看法:概率比较难!但同学们没有注意到,在自己复习之初做得准备都是关于高等数学(微积分)的,在概率上的时间本身就不足。
而且如果你的潜意识中觉得一件事情难的话,那么那件事情对你来说就真的很难。
我一直认为,人的潜力是非常巨大的。
这也与“有多少想法,就有多大成就”的说法相合。
如果你相信自己,那么概率复习起来是简单的,考试中有关概率的题目也是容易的,数学满分不是没有可能的。
那么,从现在开始,在心理上告诉自己:概率并不难!
希望这些知识可以帮助大家更好的复习,最后凯程教育祝大家备考成功!
凯程教育:
凯程考研成立于2005年,国内首家全日制集训机构考研,一直从事高端全日制辅导,由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成,为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。
凯程考研的宗旨:让学习成为一种习惯;
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信念:让每个学员都有好最好的归宿;
使命:完善全新的教育模式,做中国最专业的考研辅导机构;
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如何选择考研辅导班:
在考研准备的过程中,会遇到不少困难,尤其对于跨专业考生的专业课来说,通过报辅导班来弥补自己复习的不足,可以大大提高复习效率,节省复习时间,大家可以通过以下几个方面来考察辅导班,或许能帮你找到适合你的辅导班。
师资力量:师资力量是考察辅导班的首要因素,考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价,询问往届学长然后选择。
判断师资力量关键在于综合实力,因为任何一门课程,都不是由一、两个教师包到底的,是一批教师配合的结果。
还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。
凯程考研名师云集,李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。
而有的机构只是很普通的老师授课,对知识点把握和命题方向,欠缺火候。
对该专业有辅导历史:必须对该专业深刻理解,才能深入辅导学员考取该校。
在考研辅导班中,从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下2015五道口金融学院状元,考取五道口15人,清华经管金融硕士10人,人大金融硕士15个,中财和贸大金融硕士合计20人,北师大教育学7人,会计硕士保录班考取30人,翻译硕士接近20人,中传状元王园璐、郑家威
都是来自凯程,法学方面,凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元,更多专业成绩请查看凯程网站。
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对于如此高的成绩,凯程集训营班主任邢老师说,凯程如此优异的成绩,是与我们凯程严格的管理,全方位的辅导是分不开的,很多学生本科都不是名校,某些学生来自二本三本甚至不知名的院校,还有很多是工作了多年才回来考的,大多数是跨专业考研,他们的难度大,竞争激烈,没有严格的训练和同学们的刻苦学习,是很难达到优异的成绩。
最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。
建校历史:机构成立的历史也是一个参考因素,历史越久,积累的人脉资源更多。
例如,凯程教育已经成立10年(2005年),一直以来专注于考研,成功率一直遥遥领先,同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。
有没有实体学校校区:有些机构比较小,就是一个在写字楼里上课,自习,这种环境是不太好的,一个优秀的机构必须是在教学环境,大学校园这样环境。
凯程有自己的学习校区,有吃住学一体化教学环境,独立卫浴、空调、暖气齐全,这也是一个考研机构实力的体现。
此外,最好还要看一下他们的营业执照。