#考研_线性代数_笔记精华_3打印

一章行列式

一、重点

1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。

2、掌握：行列式的基本性质及推论。

3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。

二、难点

行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的使用。

三、重要公式

1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│

2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│

3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1

若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1

4、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi

四、题型及解题思路

1、有关行列式概念和性质的命题

2、行列式的计算（方法）

1）利用定义

2）按某行（列）展开使行列式降阶

3）利用行列式的性质

①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。

②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。

③逐次行（列）相加减，化简行列式。

④把行列式拆成几个行列式的和差。

4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式

5）数学归纳法，多用于证明

3、运用克莱姆法则求解线性方程组

若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即

x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D

其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

注意：克莱姆法则仅适用于方程个数和未知数个数相等的方程组。

4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题

1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）

2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出

第二章矩阵

一、重点

1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）

2、掌握：

1）矩阵的各种运算及运算规律

2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法

3）矩阵的初等变换方法

二、难点

1、矩阵的求逆矩阵的初等变换

2、初等变换和初等矩阵的关系

三、重要公式及难点分析

1、线性运算

1）交换律一般不成立，即AB≠BA

2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2

(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2

(AB)k≠AkBk

(A+B)(A-B)≠A2-B2

以上各式当且仅当A和B可交换，即AB=BA时才成立。

3）由AB=0不能得出A=0或B=0

4）由AB=AC不能得出B=C

5）由A2=A不能得出A=I或A=0

6）由A2=0不能得出A=0

7）数乘矩阵和数乘行列式的区别

2、逆矩阵

1）(A–1)–1＝A

2）(kA) –1=(1/k)A–1，（k≠0）

3）(AB)–1=B–1A–1

4）(A–1)T=(AT)–1

5）│A–1│=│A│–1

3、矩阵转置

1）(AT)T＝A

2）(kA) T=kAT，（k为任意实数）

3）(AB)T=BTAT

4）(A+B)T=AT+BT

4、伴随矩阵

1）A*A＝A A*=│A│I (AB)*=B*A*

2）(A*)*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ,(n≥2)

3）(kA)*=kn-1A* (A*)T=(AT)*

4）若r(A)=n，则r (A*)=n

若r(A)=n-1，则r (A*)=1

若r(A)

5）若A可逆，则(A*)-1=(1/│A│)A，(A*)-1＝(A-1)*，A*＝│A│A-1 5、初等变换（三种）

1）对调二行（列）

2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素

3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素

注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用

②求逆阵，只能用行或列变换

③求线性方程组的解，只能用行变换

6、初等矩阵

1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵

2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次和P同样的行（列）变换

3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵

E-1ij=Eij，E(-1)i(k)=Ei(1/k)，E(-1)ij(k)=Eij(-k)

7、矩阵方程

1）含有未知矩阵的等式

2）矩阵方程有解的充要条件

AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示

<==>r(A)=r(A┆B)

四、题型及解题思路

1、有关矩阵的概念及性质的命题

2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）

3、矩阵可逆的判定

n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B，有AB=BA=I

<==>│A│≠0

<==>r(A)=n

<==>A的列（行）向量组线性无关

<==>Ax=0只有零解

<==>任意b，使得Ax=b总有唯一解

<==>A的特征值全不为零

4、矩阵求逆

1）定义法：找出B使AB=I或BA=I

2）伴随阵法：A-1=(1/│A│)A*

注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏(-1)i+j，当n>3时，通常用初等变换法。

3）初等变换法：对(A┆I)只用行变换化为(I┆A-1)

4）分块矩阵法

5、解矩阵方程AX=B

1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X

2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X

(A┆B)初等行变换(I┆X)

3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。

第三章线性方程组

一、重点

1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合和线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关和线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概

念及性质，基础解系的概念。

2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。

3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程组的解法。

二、难点

线性相关、线性无关的判定。向量组的秩和矩阵的秩的关系。方程组和向量组线性表示及秩之间的联系。

三、重点难点分析