数值分析上机作业
数值分析上机作业(MATLAB)
将系数矩阵 A 分解为：A=L+U+D
Ax=b
⇔ (D + L +U)x = b ⇔ Dx = −(L + U )x + b ⇔ x = −D −1(L + U )x + D −1b x(k +1) = −D −1 (L + U ) x(k ) + D −1b
输入 A，b 和初始向量 x
迭代矩阵 BJ , BG
否
ρ(B) < 1?
按雅各比方法进行迭代
否
|| x (k+1) − x(k) ||< ε ?
按高斯-塞德尔法进行迭代
否
|| x(k+1) − x (k ) ||< ε ?
输出迭代结果
图 1 雅各布和高斯-赛德尔算法程序流程图
1.2 问题求解
按图 1 所示的程序流程，用 MATLAB 编写程序代码，具体见附录 1。解上述三个问题 如下
16
-0.72723528355328
0.80813484897616
0.25249261987171
17
-0.72729617968010
0.80805513082418
0.25253982509100
18
-0.72726173942623
0.80809395746552
0.25251408253388
0.80756312717373
8
-0.72715363032573
0.80789064377799
9
-0.72718652854079
数值分析大作业
数值分析上机作业（一）一、算法的设计方案1、幂法求解λ1、λ501幂法主要用于计算矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量，即对于|λ1|≥|λ2|≥.....≥|λn|可以采用幂法直接求出λ1，但在本题中λ1≤λ2≤……≤λ501，我们无法判断按模最大的特征值。
但是由矩阵A的特征值条件可知|λ1|和|λ501|之间必然有一个是最大的，通过对矩阵A使用幂法迭代一定次数后得到满足精度ε=10−12的特征值λ0，然后在对矩阵A做如下的平移：B=A-λ0I由线性代数(A-PI)x=(λ-p)x可得矩阵B的特征值为：λ1-λ0、λ2-λ0…….λ501-λ0。
对B矩阵采用幂法求出B矩阵按模最大的特征值为λ∗=λ501-λ0，所以λ501=λ∗+λ0，比较λ0与λ501的大小，若λ0>λ501则λ1=λ501，λ501=λ0；若λ0<λ501，则令t=λ501，λ1=λ0，λ501=t。
求矩阵M按模最大的特征值λ的具体算法如下：任取非零向量u0∈R nηk−1=u T(k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1u k=Ay k−1βk=y Tk−1u k(k=1,2,3……)当|βk−βk−1||βk|≤ε=10−12时，迭终终止，并且令λ1=βk2、反幂法计算λs和λik由已知条件可知λs是矩阵A 按模最小的特征值，可以应用反幂法直接求解出λs。
使用带偏移量的反幂法求解λik，其中偏移量为μk=λ1+kλ501−λ140(k=1,2,3…39)，构造矩阵C=A-μk I，矩阵C的特征值为λik−μk，对矩阵C使用反幂法求得按模最小特征值λ0，则有λik=1λ0+μk。
求解矩阵M按模最小特征值的具体算法如下：任取非零向量u 0∈R n ηk−1= u T (k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1 Au k =y k−1βk =y T k−1u k (k=1,2,3……)在反幂法中每一次迭代都要求解线性方程组Au k =y k−1，当K 足够大时，取λn =1βk 。
数值分析上机实习题
2019-2020 第1学期数值分析上机实习题总目标：会算，要有优化意识。
（以下程序要求以附件1例题代码格式给出）1. 对给定的线性方程组Ax b =进行迭代求解。
（1）给出Jacobi 迭代的通用程序。
（2）给出Gauss-Seidel 迭代的通用程序。
调用条件：系数矩阵A ，右端项b ，初值0x ，精度要求ε。
输出结果：方程组的近似解。
给定线性方程组211122241125x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，和122711122215x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取初值0x 为0， 分别利用Jacobi 迭代和G-S 迭代进行求解，观察并解释其中的数学现象。
2. 利用紧凑格式（即直接分解法或逐框运算法）对给定的矩阵A 进行Doolittle 分解，并用其求线性方程组的解。
调用条件：矩阵A 。
输出结果：单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U 。
给定矩阵1112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用以下算法：1）将A 作Doolittle 分解11A LU =，2）令211A U L =，并对2A 作Doolittle 分解222A L U =，3）重复2）的过程令11n n n A U L --=，并对n A 作Doolittle 分解n n n A L U =，2,3,4,n =， 观察n L ，n U ，n A 的变化趋势，思考其中的数学现象。
3. 给定函数21(),12511f x x x -≤+≤=，取164,8,n =，用等距节点21,i i n x =-+ 0,1,,1i n =+对原函数进行多项式插值和五次多项式拟合，试画出插值和拟合曲线，并给出数学解释。
4. 给出迭代法求非线性方程()0f x =的根的程序。
调用条件：迭代函数()x ϕ，初值0x输出结果：根的近似值k x 和迭代次数k给定方程32()10f x x x =--=，用迭代格式1k x +=0 1.5x =附近的根，要使计算结果具有四位有效数字，利用估计式*1||1||k k k L x x x x L -≤---，或估计式*10||1||kk L x x x x L-≤--来判断需要的迭代次数，分别需要迭代多少次？两者是否有冲突？5. 利用数值求积算法计算()ba f x dx ⎰。
数值分析上机题目
数值分析上机题目4(总21页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--实验一实验项目：共轭梯度法求解对称正定的线性方程组 实验内容：用共轭梯度法求解下面方程组(1) 123421003131020141100155x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 迭代20次或满足()(1)1110k k x x --∞-<时停止计算。
编制程序：储存m 文件function [x,k]=CGmethod(A,b)n=length(A);x=2*ones(n,1);r=b-A*x;rho=r'*r; k=0;while rho>10^(-11) & k<1000 k=k+1; if k==1 p=r; elsebeta=rho/rho1; p=r+beta*p; end w=A*p;alpha=rho/(p'*w); x=x+alpha*p; r=r-alpha*w; rho1=rho;rho=r'*r; end运行程序： clear,clcA=[2 -1 0 0;-1 3 -1 0;0 -1 4 -1;0 0 -1 5]; b=[3 -2 1 5]'; [x,k]=CGmethod(A,b)运行结果： x =(2) Ax b =,A 是1000阶的Hilbert 矩阵或如下的三对角矩阵， A[i,i]=4，A[i,i-1]=A[i-1,i]=-1，i=2,3,..,n b[1]=3, b[n]=3, b[i]=2，i=2,3,…,n-1迭代10000次或满足()()710k k r b Ax -=-≤时停止计算。
编制程序：储存m 文件function [x,k]=CGmethod_1(A,b) n=length(A);x(1:n,1)=0;r=b-A*x;r1=r; k=0;while norm(r1,1)>10^(-7)&k<10^4 k=k+1; if k==1 p=r; elsebeta=(r1'*r1)/(r'*r);p=r1+beta*p; end r=r1; w=A*p;alpha=(r'*r)/(p'*w); x=x+alpha*p; r1=r-alpha*w; end运行程序： clear,clc n=1000; A=hilb(n); b=sum(A')';[x,k]=CGmethod(A,b)实验二1、 实验目的：用复化Simpson 方法、自适应复化梯形方法和Romberg 方法求数值积分。
数值分析报告上机题课后作业全部-东南大学
实用标准文案文档大全上机作业题报告2015.1.9 USER1.Chapter 11.1题目设S N =∑1j 2−1N j=2，其精确值为)11123(21+--N N 。
（1）编制按从大到小的顺序11131121222-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。
（2）编制按从小到大的顺序1211)1(111222-+⋯⋯+--+-=N N S N ，计算S N 的通用程序。
（3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。
（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？1.2程序1.3运行结果1.4结果分析按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。
按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。
可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。
当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。
因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。
2.Chapter 22.1题目（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。
（2）给定方程03)(3=-=x xx f ,易知其有三个根3,0,3321=*=*-=*x x x○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。
试确定尽可能大的δ。
○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。
（3）通过本上机题，你明白了什么？2.2程序2.3运行结果（1）寻找最大的δ值。
算法为：将初值x0在从0开始不断累加搜索精度eps，带入Newton迭代公式，直到求得的根不再收敛于0为止，此时的x0值即为最大的sigma值。
运行Find.m，得到在不同的搜索精度下的最大sigma值。
数值分析上机作业
第一章第二题(1) 截断误差为104-时：k=1;n=0;m=0;x=0;e=1e-4;while k==1x1=x+(-1)^n/(2*n+1);if abs(x-x1)<ey=4*x1;m=n+1;break;endx=x1;k=1;n=n+1;endformat longy,my =3.141792613595791m =5001（2）截断误差为108-时：k=1;n=0;m=0;x=0;e=1e-8;while k==1x1=x+(-1)^n/(2*n+1);if abs(x-x1)<ey=4*x1;m=n+1;break;endx=x1;k=1;n=n+1;endformat longy,my =3.141592673590250m =50000001由以上计算可知，截断误差小于104-时，应取5001项求和，π=3.141792613595791；截断误差小于108-时，应取50000001项求和，π=3.141592673590250。
第二章第二题a=[0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2];b=[2 5 5 5 5 5 5 5];c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0];v=220;r=27;d=[v/r 0 0 0 0 0 0 0];n=8;for i=2:na(i)=a(i)/b(i-1);b(i)=b(i)-c(n-1)*a(i);d(i)=d(i)-a(i)*d(i-1);end;d(n)=d(n)/b(n);for i=n-1:-1:1d(i)=(d(i)-c(i)*d(i+1));end;I=d'I =1.0e+002 *1.490717294184090.704617906351300.311568212434910.128623612390290.049496991380330.017168822994210.004772412363470.00047741598598第三章第一题(1)Jacobi迭代法：b=[12;-27;14;-17;12]x = [0;0;0;0;0;]k = 0;r = 1;e=0.000001A=[10,1,2,3,4;1,9,-1,2,-3;2,-1,7,3,-5;3,2,3,12,-1;4,-3,-5,-1,15;] D = diag(diag(A));B = inv(D)*(D-A);f = inv(D)*b;p = max(abs(eig(B)));if p >= 1'迭代法不收敛'returnendwhile r >ex0 = x;x = B*x0 + f;k = k + 1;r = norm (x-x0,inf);endxk计算结果：x =1.0000-2.00003.0000-2.00001.0000k =65(2) 高斯赛德尔迭代：A=[10,1,2,3,4;1,9,-1,2,-3;2,-1,7,3,-5;3,2,3,12,-1;4,-3,-5,-1,15;]x=[0;0;0;0;0];b=[12;-27;14;-17;12]c=0.000001L=-tril(A,-1)U=-triu(A,1)D=(diag(diag(A)))X=inv(D-L)*U*x+inv(D-L)*b;k=1;while norm(X-x,inf)>= cx=X;X=inv(D-L)*U*x+inv(D-L)*b;k=k+1;endXk计算结果：X =1.0000-2.00003.0000-2.00001.0000k =37(3) SOR：A=[10,1,2,3,4;1,9,-1,2,-3;2,-1,7,3,-5;3,2,3,12,-1;4,-3,-5,-1,15] x=[0;0;0;0;0];b=[12;-27;14;-17;12]e=0.000001w=1.44;L=-tril(A,-1)U=-triu(A,1)D=(diag(diag(A)))X=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U)*x+w*inv(D-w*L)*bn=1;while norm(X-x,inf)>=ex=X;X=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U)*x+w*inv(D-w*L)*b;n=n+1;endXn计算结果：X =1.0000-2.00003.0000-2.00001.0000n =22由以上可知，共轭梯度法收敛速度明显快于Jacobi法和G-S法。
数值分析上机题作业
数值分析上机题作业电器学院交通信息工程及控制罗宁20050290010110第一章源程序：REAL SS=1DO I=1,71S=S*29/IEND DOWRITE(*,*) "Y=",SEND结果：Y=79.5416第三章源程序：REAL X,Y,N,K,DX,NEWTON,NE,S,XKDIMENSION X(6),Y(6),NE(6,6),NEWTON(21)DATA X/0.2,0.24,0.28,0.32,0.36,0.4/DATA Y/0.1987,0.2377,0.2764,0.3146,0.3523,0.3894/!计算差商表：DX=0.04DO I=1,6NE(I,1)=Y(I)END DODO J=2,6DO I=J,6NE(I,J)=(NE(I,J-1)-NE(I-1,J-1))/(DX*(J-1))END DOEND DODO I=1,21XK=0.2+(I-1)*0.01NEWTON(I)=NE(1,1)S=1DO J=2,6S=S*(XK-X(J-1))NEWTON(I)=NEWTON(I)+S*NE(J,J)END DOEND DOWRITE(*,*) "NEWTON=",NEWTONEND结果：NEWTON=0.198700 0.208451 0.218209 0.227962 0.2377000.2474170.257108 0.266770 0.276400 0.285998 0.2955640.305097 0.3146000.324072 0.333513 0.342923 0.352300 0.3616420.370943 0.3801990.389400第四章源程序：REAL A,B,ANS,DDIMENSION A(4,4),B(4),ANS(4),D(4,5)DATA A/4197,6.8,88.6,1.45,305,71.3,76.4,5.9,-206,&&-47.4,-10.8,6.13,-840,52,802,36.5/DATA B/136,11.5,25.7,6.6/CALL LGAUS(A,B,4,D)CALL GAUSQ(D,4,ANS)WRITE(*,*) 'ANS=',ANSEND结果：ANS=3.226190E-02 0.322386 0.291290 -1.684955E-02第五章源程序：REAL A1,B1,A2,B2,E1,E2A1=0;A2=0B1=3.141592654/2;B2=1E1=0.000001;E2=0.001CALL SIMPB1(A1,B1,E1,S)WRITE(*,*) '第一题simpson:',SCALL SIMPB2(A2,B2,E1,S)WRITE(*,*) '第二题simpson:',SCALL ROMBERG1(A1,B1,E2,R)WRITE(*,*) '第一题ROMBERG',RCALL ROMBERG2(A2,B2,E2,R)WRITE(*,*) '第二题ROMBERG',RENDSUBROUTINE SIMPB1(A,B,E,S)F(X)=SIN(X)/XH=(B-A)/2S2=0;N=1S0=1+F(B)S1=F(A+H)S=(S0+4.0*S1)*H/3.060 N=2*N;H=H/2.0S2=S2+S1S1=0.0X=A+HDO I=1,NS1=S1+F(X)X=X+H+HEND DOS2N=(S0+2.0*S2+4.0*S1)*H/3.0IF(ABS(S2N-S)>E)THENS=S2NGOTO 60END IFEND SUBROUTINESUBROUTINE SIMPB2(A,B,E,S)F(X)=LOG(1+X)/XH=(B-A)/2S2=0;N=1S0=1+F(B)S1=F(A+H)S=(S0+4.0*S1)*H/3.060 N=2*N;H=H/2.0S2=S2+S1S1=0.0X=A+HDO I=1,NS1=S1+F(X)X=X+H+HEND DOS2N=(S0+2.0*S2+4.0*S1)*H/3.0IF(ABS(S2N-S)>E)THENS=S2NGOTO 60END IFEND SUBROUTINESUBROUTINE ROMBERG1(A,B,E,R)F(X)=SIN(X)/XREAL S,DS,TINTEGER K,UDIMENSION S(100,100)S(1,1)=(B-A)*(F(B)+1)/2K=1T=0100 K=K+1S(K,1)= 1/2*S((K-1),1)U=2**(K-2)-1DO J=0,UT=T+F(A+(2*J+1)*(B-A)/(2**(K-1)))END DOS(K,1)=S(K,1)+T*(B-A)/2**(K-1)DO J=2,KS((K-J+1),J)=(4**(J-1)*S((K-J+2),(J-1))+S((K-J+1),(J-1)))/&&(4**(J-1)-1)END DODS=S(1,K)-S(1,K-1)IF(ABS(DS).GT.E)THENR=S(1,K)ELSEGOTO 100END IFEND SUBROUTINESUBROUTINE ROMBERG2(A,B,E,R)F(X)=LOG(X+1)/XREAL S,DS,TINTEGER K,UDIMENSION S(100,100)S(1,1)=(B-A)*(F(B)+1)/2K=1T=0100 K=K+1S(K,1)= 1/2*S((K-1),1)U=2**(K-2)-1DO J=0,UT=T+F(A+(2*J+1)*(B-A)/(2**(K-1)))END DOS(K,1)=S(K,1)+T*(B-A)/2**(K-1)DO J=2,KS((K-J+1),J)=(4**(J-1)*S((K-J+2),(J-1))+S((K-J+1),(J-1)))/&&(4**(J-1)-1)END DODS=S(1,K)-S(1,K-1)IF(ABS(DS).GT.E)THENR=S(1,K)ELSEGOTO 100END IFEND SUBROUTINE结果：第一题simpson: 1.37076第二题simpson: 0.822467第一题ROMBERG 1.37128第二题ROMBERG 0.822811第六章第一题源程序：REAL X0,E,X1,X2,XXXX=1.55X0=1.5E=0.00005CALL SUPPO(X0,E,X1)WRITE(*,*) "X1=",X1CALL SUPPO1(X0,E,X2)WRITE(*,*) "X2=",X2CALL NTSP1(X0,XX,E,X4)WRITE(*,*) "X4=",X4CALL NTQX(X0,E,X3)WRITE(*,*) "X3=",X3END!简单迭代SUBROUTINE SUPPO(X0,E,X1)G(X)=1+1/x**2I=1X1=X0100 X2=X1X1=G(X1)I=I+1Y=X1-X2IF(ABS(Y)>E) THENGOTO 100ENDIFEND SUBROUTINE SUPPO!加速迭代SUBROUTINE SUPPO1(X0,E,X2) G(X)=1+1/X**2G1(X)=-2/X**3I=1X=X0200 X2=G(X)Q=G1(X2)X2=(X2+Q*X)/(1-Q)I=I+1Y=X2**3-X2**2-1X=X2IF(ABS(Y)>E) THENGOTO 200ENDIFEND SUBROUTINE SUPPO1!NEWTONSUBROUTINE NTQX(X0,E,X2)G(X)=X**3-X**2-1G1(X)=3*X**2-2*XX1=X0300 F=G(X1)F1=G1(X1)X2=X1-F/F1X1=X2I=I+1U=X2**3-X2**2-1IF(ABS(U)>E)THENGOTO 300END IFEND SUBROUTINE NTQXSUBROUTINE NTSP1(X0,XX,E,X4)G(X)=X**3-X**2-1I=1X1=XXF1=G(X0)400 F=G(X1)X4=X1-F*(X1-X0)/(F-F1)I=I+1Y=X4**3-X4**2-1X1=X4IF(ABS(Y)>E) THENGOTO 400END IFEND SUBROUTINE NTSP1结果：X1= 1.46556X2= 1.46558X3= 1.46667X4= 1.46557第二题源程序：REAL A,B,E,XDIMENSION A(3,3),B(3),X(3)DATA A/-8,1,1,1,-5,1,1,1,-4/DATA B/1,16,7/E=0.0001CALL YACOBI(A,B,3,E,X)WRITE(*,*) "方程的解为：",XCALL GAUSEI(A,B,3,E,X)WRITE(*,*) "方程的解为：",XENDSUBROUTINE YACOBI(A,B,N,E,X)REAL A,B,X,YDIMENSION A(N,N),B(N),X(N),Y(N)DO I=1,NX(I)=0END DO60 D=0DO I=1,NY(I)=B(I)DO J=1,NIF(I.NE.J)THENY(I)=Y(I)-A(I,J)*X(J)END IFEND DOY(I)=Y(I)/A(I,I)IF(ABS(X(I)-Y(I))>D)THEND=ABS(X(I)-Y(I))ENDIFEND DODO I=1,NX(I)=Y(I)ENDDOIF(D>E)THENGO TO 60END IFEND SUBROUTINE YACOBISUBROUTINE GAUSEI(A,B,N,E,X)DIMENSION A(N,N),B(N),X(N)DO I=1,NX(I)=0END DO100 D=0DO I=1,NY=B(I)DO J=1,NIF(I.NE.J) THENY=Y-A(I,J)*X(J)ENDIFEND DOY=Y/A(I,I)IF(ABS(X(I)-Y)>D)THEND=ABS(X(I)-Y)END IFX(I)=YEND DOIF(D>E)THENGOTO 100END IFEND SUBROUTINE GAUSEI结果：方程的解为：-0.999985 -3.99998 -2.99998 方程的解为：-0.999988 -3.99999 -2.99999第七章第一题源程序：REAL A,B,Y0,YY,Y,XINTEGER N1,N2,N3A=0.0;B=1.0Y0=1.0N1=10;N2=100;N3=1000CALL RKUTTA(A,B,N1,Y0,YY)WRITE(*,*) '步长为0.1，y(1)=',YYCALL RKUTTA(A,B,N2,Y0,YY)WRITE(*,*) '步长为0.01，y(1)=',YYCALL RKUTTA(A,B,N3,Y0,YY)WRITE(*,*) '步长为0.001，y(1)=',YYENDSUBROUTINE RKUTTA(A,B,M,Y0,YY)F(X,Y)=EXP(X)*Y**2-2*YREAL X0,A,B,Y0,YY,HHDIMENSION HH(5)X0=A;Y=Y0H=(B-A)/MHH(1)=H/2;HH(2)=HH(1);HH(3)=H;HH(4)=H;HH(5)=H/2DO I=1,MX1=X0;Y1=Y;YY=YDO J=1,4X=X1+HH(J)AA=F(X,Y)YY=YY+AA*HH(J+1)/3Y=Y1+AA*HH(J)END DOY=YYEND DOEND SUBROUTINE RKUTTA结果：步长为0.1，y(1)= 0.253325步长为0.01，y(1)= 0.239780步长为0.001，y(1)= 0.238542第二题源程序：REAL A,B,Y,YYINTEGER N,MDIMENSION Y(3),YY(3)DATA Y/1,-1,0/N=5/0.25A=0.0;B=5.0M=3CALL HRKUTTA(A,B,N,M,Y,YY)WRITE(*,*) '方程的解为：',YYENDSUBROUTINE HRKUTTA(A,B,N,M,Y,YY)REAL X0DIMENSION HH(5),Y(M),Y1(M),F(M),YY(M)X0=AH=(B-A)/NHH(1)=H/2;HH(2)=HH(1);HH(3)=H;HH(4)=H;HH(5)=H/2DO I=1,NX1=X0+(I-1)*HX=X1DO J=1,MY1(J)=Y(J);YY(J)=Y(J)END DODO K=1,4CALL FUN(X,Y,F)X=X1+HH(K)DO L=1,MYY(L)=YY(L)+F(L)*HH(K+1)/3Y(L)=Y1(L)+F(L)*HH(K)END DOEND DODO J=1,MY(J)=YY(J)END DOEND DOEND SUBROUTINE HRKUTTASUBROUTINE FUN(X,Y,F)REAL X,Y,FDIMENSION Y(3),F(3)F(1)=-Y(1)+2*Y(2)+6*Y(3)F(2)=-1*Y(2)+3*Y(3)+2*SIN(X)F(3)=-1*Y(3)+X**2*EXP(-1*X)+COS(X)END SUBROUTINE FUN结果：方程的解为：-1.42051 -1.67879 -6.023698E-02。
数值分析上机作业
数值分析上机作业2实验一：（1） ①用不动点迭代法求()013=--=x x x f 的根，至少设计两种迭代格式，一个收敛一个发散，1210-=ε。
（2） ②对迭代格式使用Aitken 加速，观察敛散性变化。
1取递推公式31)1(+=x x ，可以得到收敛时的迭代结果为：x=(2)^(1/3); t=1; while(1)if(abs(x-(x+1)^(1/3))<10^-12) break; endx=(x+1)^(1/3);t=t+1;end t xtemp=x^3-x-1 %带回来验证下 t = 16 x =1.324717957243755 temp =-4.225952920933196e-12 加速后代码如下 x=1;x=(x*((x+1)^(1/3)+1)^(1/3)-(x+1)^(2/3))/(x-2*(x+1)^(1/3)+((x+1)^(1/3)+1)^(1/3)) t=1; while(1)if(abs(x-(x*((x+1)^(1/3)+1)^(1/3)-(x+1)^(2/3))/(x-2*(x+1)^(1/3)+((x+1)^(1/3)+1)^(1/3)))<10^-10) break; endx=(x*((x+1)^(1/3)+1)^(1/3)-(x+1)^(2/3))/(x-2*(x+1)^(1/3)+((x+1)^(1/3)+1)^(1/3)); t=t+1; if (t>100000)break; %防止运算次数过多 end endfprintf('需要%d 次',t);输出需要670次>>此处取10^10-=ε，若到10^-12次方则可能需要运行更多次取13-=x x 则迭代发散。
使用aitken 加速计算结果如下 x=2; t=1; while(1)if( abs(x-((x*((x^3-1)^3-1))-(x^3-1)^2)/(x-2*(x^3-1)+(x^3-1)^3-1))<10^-10) break; end t=t+1;x=((x*((x^3-1)^3-1))-(x^3-1)^2)/(x-2*(x^3-1)+(x^3-1)^3-1); if (t>100000)break; %防止运算次数过多 end end t xt = 108x = 1.324717956244172由此可见经过aitken 加速以后，原来发散的迭代格式收敛了。
数值分析上机作业
数值分析上机作业（1、2、3、4、6章）第一章17. 舍入误差与有效数设2211NN j S j ==-∑，其精确值为1311221N N ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭。
（1）编制按从大到小的顺序22211121311N S N =+++---，计算N S 的通用程序； （2）编制按从小到大的顺序2221111(1)121N S N N =+++----，计算N S 的通用程序；（3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数（编制程序时使用单精度）；（4）通过本上机题你明白了什么？运行结果：按从大到小的顺序计算得：N N S误差e有效位数2⨯8 100.7400495 94.95049501392230710-4⨯ 4 100.7498521 54.79049995000258010-6⨯ 3 100.7498521 41.46900000499994310-按从小到大的顺序计算得：N N S误差e有效位数2⨯84.95049501392230710-100.7400495 944.99950003618465610-⨯8 100.7499000 965.00044450291170510-⨯11 100.7499990 13（4）通过本题可以看出，不同算法造成的误差是不同的，好的算法可以让计算结果精度更高。
对于本题，当采用从大到小的顺序累加计算时，计算误差随着N的增大而增大；当采用从小到大的顺序累加计算时，计算误差随着N的增大而减小。
因此在N比较大时宜采用从小到达的顺序累加计算。
第二章20.Newton 迭代法（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制Newton 法解方程()0f x =根的通用程序；（2）给定方程3()03x f x x =-=，易知其有三个根*1x =，*20x =，*3x =①由Newton 方法的局部收敛性可知存在0δ>，当0(,)x δδ∈-时Newton 迭代序列收敛于根*2x ，试确定尽可能大的δ；②试取若干初始值，观察当0(,1)x ∈-∞-，(1,)δ--，(,)δδ-，(,1)δ，(1,)+∞时Newton 序列是否收敛以及收敛于哪一个根；（3）通过本上机题，你明白了什么？本实验取610ε-=，找到的最大的0.774597δ=②当0(,1)x ∈-∞-时，计算结果如下：x0 xend -1000 -1.732051 -500 -1.732051 -100 -1.732051 -10 -1.732051 -1.5-1.732051Newton 序列收敛于-1.732051当0(1,)xδ∈--时，计算结果如下：x0 xend-0.95 1.732051-0.90 1.732051-0.85 1.732051-0.80 -1.732051-0.78 -1.732051 Newton序列收敛于1.732051或-1.732051当0(,)xδδ∈-时，计算结果如下：x0 xend-0.77 0.000000-0.5 0.000000-0.1 0.0000000.3 0.0000000.77 0.000000 Newton序列收敛于0当0(,1)xδ∈时，计算结果如下：x0 xend0.78 1.7320510.80 1.7320510.85 -1.7320510.90 -1.7320510.95 -1.732051 Newton序列收敛于1.732051或-1.732051当0(1,)x∈+∞时，计算结果如下：x0 xend1.5 1.73205110 1.732051100 1.732051500 1.7320511000 1.732051Newton序列收敛于1.732051（3）通过本题发现，Newton迭代法解方程初始值的选取非常重要，不同的初始值会收敛于方程不同的根，且有些区间是全局收敛，有些区间是局部收敛。
《数值分析》上机习题
《数值分析》上机习题1.用Newton法求方程X7 - 28X4 + 14=0在（0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）。
#include<stdio.h>#include<math.h>int main(){ float x1,x,f1,f2;static int count=0;x1=0.1 ;//定义初始值do{x=x1;f1=x*(x*x*x*x*x*x-28*x*x*x)+14;f2=7*x*x*x*x*x*x-4*28*x*x*x;//对函数f1求导x1=x-f1/f2; count++; }while(fabs(x1-x)>=1e-5);printf("%8.7f\n",x1); printf("%d\n",count);return 0;}2.已知函数值如下表：试用三次样条插值求f(4.563)及f’(4.563)的近似值。
include <stdio.h>#include <math.h>#define N 11main(){double B[N+1][N+1],m,x,u[N+1],y[N+1],c[N+1],d[N+1];double e[N+1]={2,0,4.15888308,6.5916738,8.3177664,9.6566268,10.750557,11.675460 6,12.47667,13.1833476,13.8155106,14.0155106};int i;x=4.563;B[0][0]=-2;B[0][1]=-4;B[N][N-1]=4;B[N][N]=2;for(i=1;i<N;i++){B[i][i-1]=1;B[i][i]=4;B[i][i+1]=1;}u[0]=B[0][0];y[0]=e[0];for(i=1;i<N;i++){m=B[i][i-1]/u[i-1];u[i]=B[i][i]-m*B[i-1][i];y[i]=e[i]-m*y[i-1];}c[N]=y[N]/u[N];for(i=N-1;i>=0;i--)c[i]=(y[i]-B[i][i+1]*c[i+1])/u[i];for(i=0;i<12;i++){m=fabs(x-i);if(m>=2)d[i]=0;else if(m<=1)d[i]=0.5*fabs(pow(m,3))-m*m+2.0/3;elsed[i]=(-1.0/6.0)*fabs(pow(m,3))+m*m-2*fabs(m)+4/3.0;} m=0;for(i=0;i<12;i++) m=m+c[i]*d[i];printf("f(%4.3f)=%f\n",x,m);printf("f'(4.563)=%lf\n",(c[4]-c[2])/2); }3.用Romberg 算法求)00001.0(sin )75(32314.1=+⎰ε允许误差dx x x x x . #include "stdafx.h" #include<stdio.h> #include<math.h> float f(float x) {float f=0.0;f=pow(3.0,x)*pow(x,1.4)*(5*x+7)*sin(x*x); return (f); } main() {int i=1,j,k,n=12;float T[12],a=1.0,b=3.0,s=0.0; T[0]=0.5*(b-a)*(f(a)+f(b));for(j=1;j<n-1;j++){ for(k=1;k<=pow(2,j-1);k++) s+=f(a+(2*k-1)*(b-a)/pow(2,j)); T[j]=0.5*(T[j-1]+(b-a)*s/pow(2,j-1)); s=0.0; }T[11]=(4*T[1]-T[0])/(float)3;for(;fabs(T[11]-T[0])>0.00001;i++) {T[0]=T[11];for(j=1;j<n-1-i;j++) T[j]=(pow(4,i)*T[j+1]-T[j])/(pow(4,i)-1); T[11]=(pow(4,i+1)*T[1]-T[0])/(pow(4,i+1)-1); }printf("%f\n",T[11]); }4. 用定步长四阶Runge-Kutta 求解一、程序要求用定步长四阶法求解 y1’=1y2’=y3 y3’=1000-1000y2-100y3(y1(0)=y2(0)=y3(0)=0) h=0.0005,打印yi(0.025),yi(0.045),yi(0.085),yi(0.1),(i=1,2,3)h =0.0005，打印y i (0.025) ，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===--===0)0(0)0(0)0(10010001000//1/321323321y y y y y dt dy ydt dy dt dyy i(0.045) ，y i(0.085) ，y i(0.1) ，(i=1，2，3)#include "stdafx.h"#include <stdio.h>#include <math.h>double F(double x,double y[4],double f[4]){f[1]=0*x+0*y[1]+0*y[2]+0*y[3]+1;f[2]=0*x+0*y[1]+0*y[2]+1*y[3]+0;f[3]=0*x+0*y[1]-1000*y[2]-100*y[3]+1000;return(1);}void main(){double F(double x,double y[4],double f[4]);doubleh=0.0005,x=0,Y[4],k[5][4],s[4],f[4],det,m[4]={0.025,0.045,0.085,0.1};int i,j,t; for(t=0;t<=3;t++)/*龙格-库塔算法*/{for(j=0;j<=3;j++)Y[j]=0; //每求一组值后将初值条件还原为0 for(i=1;i<=int(m[t]/h);i++){for(j=1;j<=3;j++)s[j]=Y[j];det=F(x,s,f);for(j=1;j<=3;j++)k[1][j]=h*f[j]; /*四阶古典公式中的k值和求和的计算*/ for(j=1;j<=3;j++)s[j]=Y[j]+0.5*k[1][j];det=F(x+0.5*h,s,f);for(j=1;j<=3;j++)k[2][j]=h*f[j];for(j=1;j<=3;j++)s[j]=Y[j]+0.5*k[2][j];det=F(x+0.5*h,s,f);for(j=1;j<=3;j++)k[3][j]=h*f[j];for(j=1;j<=3;j++)s[j]=Y[j]+k[3][j];det=F(x+h,s,f);for(j=1;j<=3;j++)k[4][j]=h*f[j];for(j=1;j<=3;j++)Y[j]=Y[j]+(k[1][j]+2*k[2][j]+2*k[3][j]+k[4][j])/6;x+=h;} for(j=1;j<=3;j++)printf("y[%d](%f)=%f ",j,m[t],Y[j]); printf("\n"); } } 5.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=40.00001 4.446782 2.213474- 0.238417 1.784317 0.037585- 1.010103- 3.123124 2.031743- 4.446782 30.719334 3.123789 1.103456- 2.121314 0.71828- 0.336993 1.112348 3.067813 2.213474- 3.123789 14.7138465 0.103458- 3.111223- 2.101023 1.056781- 0.784165- 1.7423820.238417 1.103456- 0.103458- 9.789365 0.431637 3.741856- 1.836742 1.563849 0.718719 1.7843172.1213143.111223- 0.431637 19.8979184.101011 2.031454 2.189736 0.113584-0.037585- 0.71828- 2.101023 3.741856- 4.101011 27.108437 3.123848 1.012345- 1.112336 1.010103- 0.336993 1.056781- 1.836742 2.031454 3.123848 15.567914 3.125432- 1.061074- 3.123124 1.112348 0.784165- 1.563849 2.189736 1.012345- 3.125432- 19.141823 2.115237 2.031743- 3.067813 1.742382 0.718719 0.113584- 1.112336 1.061074- 2.115237 12.38412A Tb )5.6784392- 4.719345 1.1101230 86.612343- 1.784317 0.84671695 25.173417- 33.992318 2.1874369(= 用列主元消去法求解Ax=b 。
数值分析上机作业最强版
数值分析上机作业姓名：唐皓学号：142460专业：道路与铁道工程院系：交通学院授课教师：吴宏伟日期：2015年1月习题一1 题目17．（上机题）舍入误差与有效数 设2211NN j S j ==-∑，其精确值为1311221N N ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭。
（1）编制按从大到小的顺序22211121311N S N =+++---，计算N S 的通用程序； （2）编制按从小到大的顺序2221111(1)121N S N N =+++----，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。
（编制程序时用单精度）；（4）通过本上机题你明白了什么？2 通用程序代码2.1 按从小到大的顺序计算N Svoid AscendSum(unsigned long int N)// 计算从大到小的总和 {for (unsigned long int j=2;j<=N;j++) ascendSum+=(float )1.0/(j*j-1);cout<<"Sum From 1 to N (Ascend) is: "<<ascendSum<<endl; Error(ascendSum); Delimiter();} 2.2 按从大到小的顺序计算N Svoid DescendSum(unsigned long int N)//计算从小到大的总和 {for (unsigned long int j=N;j>=2;j--) descendSum+=(float )1.0/(j*j-1);cout<<"Sum From N to 1 (Descend) is: "<<descendSum<<endl; Error(descendSum); Delimiter();}3计算结果展示图1 N=100时的计算结果图2 N=10000时的计算结果图3 N=1000000时的计算结果表1-1 计算结果汇总N S 精确值按从小到大按从大到小N S 值有效位数 N S 值有效位数210S 0.7400494814 0.7400494814 10 0.740049541 6 410S 0.7498999834 0.7498521209 4 0.7498999834 10 610S0.74999898670.75185602920.752992510824 计算结果分析（1）如果采用单精度数据结构进行计算，则相较于双精度的数据结果，由于数据存储字长的限制导致计算机存在较大的舍入误差，因此本程序采用的是双精度数据存储方式。
第四章数值分析上机作业
1.用两种方法解sin 5cos 20.31x x +=-，如何一次求出此方程的四个根。
解：方法一：在Ｍatlab 命令窗口输入命令x=solve('sin(5*x)+cos(2*x)=-0.31')运行后输出结果：x =- 0.36685340479904406504913603551901 - 0.089925518994485866153169602644131*i 方法二：在Matlab 命令窗口输入命令E1=sym('sin(5*x)+cos(2*x)=-0.31');[x1]=solve(E1)运行后输出结果：x1 =- 0.36685340479904406504913603551901 - 0.089925518994485866153169602644131*i ２.用三种方法解方程11852912312x x x x -+-=。
解：方法一：在Ｍatlab 命令窗口输入命令x=solve('9*x^11-12*x^8+x^5-3*x^2=12')运行后输出结果：x =1.1945355092112803561808169303487 - 0.25878939596021341127295614138703 + 0.98996423045277565907337492165509*i - 0.91081125361412082546165956220494 + 0.34557668006489020731472236114125*i - 0.6567748898900820562684890790666 - 0.94093805304063227438930031737768*i - 0.6567748898900820562684890790666 + 0.94093805304063227438930031737768*i 0.34695114229720670305614226506505 + 0.85428006847946699100354057810685*i - 0.25878939596021341127295614138703 - 0.98996423045277565907337492165509*i 0.88215664256156941185655405241917 + 0.47468310614563172153151897912015*i 0.34695114229720670305614226506505 - 0.85428006847946699100354057810685*i 0.88215664256156941185655405241917 - 0.47468310614563172153151897912015*i - 0.91081125361412082546165956220494 - 0.34557668006489020731472236114125*i 方法二：在Ｍatlab 命令窗口输入命令fa=[9,0,0,-12,0,0,1,0,0,-3,0,-12];xk=roots(fa)运行后输出结果：xk =-0.9108 + 0.3456i-0.9108 - 0.3456i-0.6568 + 0.9409i-0.6568 - 0.9409i-0.2588 + 0.9900i-0.2588 - 0.9900i1.1945 + 0.0000i0.8822 + 0.4747i0.8822 - 0.4747i0.3470 + 0.8543i0.3470 - 0.8543i方法三：在Ｍatlab命令窗口输入命令E1=sym('9*x^11-12*x^8+x^5-3*x^2-12=0'); [x1]=solve(E1)运行后输出结果：x1 =1.1945355092112803561808169303487 - 0.25878939596021341127295614138703 + 0.98996423045277565907337492165509*i - 0.91081125361412082546165956220494 + 0.34557668006489020731472236114125*i - 0.6567748898900820562684890790666 - 0.94093805304063227438930031737768*i - 0.6567748898900820562684890790666 + 0.94093805304063227438930031737768*i 0.34695114229720670305614226506505 + 0.85428006847946699100354057810685*i - 0.25878939596021341127295614138703 - 0.98996423045277565907337492165509*i 0.88215664256156941185655405241917 + 0.47468310614563172153151897912015*i 0.34695114229720670305614226506505 - 0.85428006847946699100354057810685*i 0.88215664256156941185655405241917 - 0.47468310614563172153151897912015*i - 0.91081125361412082546165956220494 - 0.34557668006489020731472236114125*３ 用MATLAB 方法求函数11852()912312f x x x x x =-+--的导数'()f x 。
数值分析上机作业1-1解析
数值计算方法上机题目11、实验1. 病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。
所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。
希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。
病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
问题提出：考虑一个高次的代数多项式∏=-=---=201)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1）显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。
现考虑该多项式方程的一个扰动0)(19=+xx p ε (E1-2)其中ε是一个非常小的数。
这相当于是对（E1-1）中19x 的系数作一个小的扰动。
我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。
实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab 函数：“roots ”和“poly ”，输入函数u ＝roots （a ）其中若变量a 存储1+n 维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。
设a 的元素依次为121,...,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程0...1121=++++-n n n n a x a x a x a的全部根，而函数b=poly(v)的输出b 是一个n ＋1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。
可见“roots ”和“Poly ”是两个互逆的运算函数.ve=zeros(1,21); ve(2)=ess;roots(poly(1:20))+ve)上述简单的Matlab 程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess ”即是（E1-2）中的ε。
实验要求：（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。
数值分析上机作业(2)
一、数值求解如下正方形域上的Poisson 方程边值问题 2222(,)1,0,1(0,)(1,)(1),01(,0)(,1)0,01u u f x y x y x y u y u y y y y u x u x x ⎧⎛⎫∂∂-+==<<⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎨==-≤≤⎪⎪==≤≤⎩二、用椭圆型第一边值问题的五点差分格式得到线性方程组为2,1,1,,1,10,1,,0,141,?,?,?,?0,1i j i j i j i j i j ijj N j i i N u u u u u h f i j N u u u u i j N -+-+++----=≤≤====≤≤+， 写成矩阵形式Au=f 。
其中1．三 、编写求解线性方程组Au=f 的算法程序, 用下列方法编程计算, 并比较计算速度。
2．用Jacobi 迭代法求解线性方程组Au=f 。
3．用块Jacobi 迭代法求解线性方程组Au=f 。
4． 用SOR 迭代法求解线性方程组Au=f,用试算法确定最佳松弛因子。
1122N N v b v b u f v b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4114114ii A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭11,12,1,121,22,2,21,2,,2211,12,1,121,22,2,221,2,,(,,...,),(,,...,),......,(,,...,)(,,...,)?,(,,...,)?,......,(,,...,)?1,999,0.10.011T T N N TN N N N N T T N N T N N N N N v u u u v u u u v u u u b h f f f b h f f f b h f f f h N h N ====+=+=+===+取或则或,1,,1,2,...,i j f i j N== 1122NN A I I A A I I A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭5．用块SOR 迭代法求解线性方程组Au=f,用试算法确定最佳松弛因子。
数值分析上机
7 数值分析上机作业
m=0; else if(fabs(t1)<=1) m=0.5*fabs(t1)*fabs(t1)*fabs(t1)-t1*t1+2.0/3.0; else m=-1.0/6.0*fabs(t1)*fabs(t1)*fabs(t1)+t1*t1-2*fabs(t1)+4.0/3.0; return(m); } float func2(float t2) {double n; if(fabs(t2)>=2.0/3.0) n=0; else if(-0.5<=fabs(t2)&&fabs(t2)<=0.5) n=-t2*t2+3.0/4.0; else n=0.5*t2*t2-(3.0/2.0)*fabs(t2)+9.0/8.0; return(n); }
6 数值分析上机作业
int i,j,k; int a[12][12]={{-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, {1,4,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, {0,1,4,1,0,0,0,0,0,0,0,0}, {0,0,1,4,1,0,0,0,0,0,0,0}, {0,0,0,1,4,1,0,0,0,0,0,0}, {0,0,0,0,1,4,1,0,0,0,0,0}, {0,0,0,0,0,1,4,1,0,0,0,0}, {0,0,0,0,0,0,1,4,1,0,0,0}, {0,0,0,0,0,0,0,1,4,1,0,0}, {0,0,0,0,0,0,0,0,1,4,1,0}, {0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,4,1}, {0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1}}; float b1,b2; float s1=0,s2=0; for (k=0;k<=500;k++) for (i=0;i<=11;i++) {b1=0; b2=0;
数值分析 上机作业
1.已知矩阵A=1078775658610975910⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,B=2345644567036780028900010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,错误！未找到引用源。
=11/21/31/41/51/6 1/21/31/41/51/61/7 1/31/41/51/61/71/8 1/41/51/61/71/81/9 1/51/61/71/81/91/10 1/61/71/81/91/101/11⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）用MATLAB函数“eig”求矩阵全部特征值。
（2）用基本QR算法求全部特征值（可用MA TLAB函数“qr”实现矩阵的QR分解）。
解：MATLAB程序如下：求矩阵A的特征值：clear;A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];E=eig(A)输出结果：求矩阵B的特征值：clear;B=[2 3 4 5 6;4 4 5 6 7;0 3 6 7 8;0 0 2 8 9;0 0 0 1 0];E=eig(B)输出结果：求矩阵错误！未找到引用源。
的特征值：clear;错误！未找到引用源。
=[1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6; 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7; 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8; 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9;1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10; 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11]; E=eig(错误！未找到引用源。
)输出结果：（2）A=1078775658610975910第一步：A0=hess(A);[Q0,R0]=qr(A0);A1=R0*Q0 返回得到：第二部：[Q1,R1]=qr(A1);A2=R1*Q1第三部：[Q2,R2]=qr(A2);A3=R2*Q2现在收缩，继续对A3的子矩阵错误！未找到引用源。
最新(完美版)数值分析上机作业
一. 上机作业任务一： 用五点差分格式求解Poisson 方程边值问题，P124-------3、4（任选一题）。
二. 上机作业任务二：用Simpson 求积法计算定积分()baf x dx ⎰。
下面两种方法任选一。
（1）变步长复化Simpson 求积法。
（2）自适应Simpson 求积法三. 上机作业任务三：用MATLAB 语言编写连续函数最佳平方逼近的算法程序（函数式M 文件）。
要求算法程序可以适应不同的具体函数，具有一定的通用性。
并用此程序进行数值试验，写出计算实习报告。
所编程序具有以下功能：1. 用Lengendre 多项式做基，并适合于构造任意次数的最佳平方逼近多项式。
可利用递推关系 0112()1,()()(21)()(1)()/2,3,.....n n n P x P x xP x n xP x n P x n n --===---⎡⎤⎣⎦=2. 被逼近函数f(x)用M 文件建立数学函数。
这样，此程序可通过修改建立数学函数的M 文件以适用不同的被逼近函数（要学会用函数句柄）。
3. 要考虑一般的情况]1,1[],[)(+-≠∈b a x f 。
因此，程序中要有变量代换的功能。
4. 计算组合系数时，计算函数的积分采用数值积分的方法。
5. 程序中应包括帮助文本和必要的注释语句。
另外，程序中也要有必要的反馈信息。
6. 程序输入：（1）待求的被逼近函数值的数据点0x (可以是一个数值或向量)（2）区间端点：a,b 。
7. 程序输出：（1）拟合系数：012,,,...,n c c c c（2）待求的被逼近函数值00001102200()()()()()n n s x c P x c P x c P x c P x =++++ 8． 试验函数：()cos ,[0,4]f x x x x =∈+；也可自选其它的试验函数。
9． 用所编程序直接进行计算，检测程序的正确性，并理解算法。
10． 分别求二次、三次、。
数值分析上机实验6
数值分析上机实验6根据表中数据，预测公元2000年时的世界人口。
问题分析与数学模型设人口总数为N(t)，根据人口理论的马尔萨斯模型，采用指数函数N(t) = e a + b t=+，令对数据进行拟合。
为了计算方便，将上式两边同取对数，得ln N a bty = ln N或N = e y变换后的拟合函数为y(t) = a + b t根据表中数据及等式 k k( 1，2，……，9)可列出关于两个未知数、b的9个方程的超定方程组（方程数多于未知数个数的方程组）a + t j b = y j(j= 1，2， (9)可用最小二乘法求解。
算法与数学模型求解算法如下：第一步：输入人口数据，并计算所有人口数据的对数值；第二步：建立超定方程组的系数矩阵，并计算对应的正规方程组的系数矩阵和右端向量；第三步：求解超定方程组并输出结果：a，b；第四步：利用数据结果构造指数函数计算2000年人口近似值N(2000)，结束。
MATLAB程序t=1960:1968;t0=2000;N=[29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83];y=log(N);A=[ ones(9,1), t' ];d=A\ y' ;a=d(1),b=d(2)N0=exp(a+b*t0)x=1960:2001;yy=exp(a+b*x);plot(x,yy,t,N,'o',2000,N0,'o')计算结果为a =－3，b =6N (2000)所以取五位有效数，可得人口数据的指数拟合函数t e t N 0186.00383.33)(+-=经计算得2000年人口预测值为： (亿)。
例2．温度数据的三角函数拟合问题 洛杉矶郊区在11月8日的温度记录如下在不长的时期内，气温的变化常以24小时为周期，考虑用Fourier 级数的部分和（有限项）做拟合函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中国矿业大学（北京）理学院
数值分析实验报告
实验名称追赶法实验时间10月16日组长签名
班级数学与应用
数学
学号
11107100112
成绩
组员签名11107100107 11107100108 11107100109 11107100111 11107100119
一、实验目的,内容
二、相关背景知识介绍
三、代码
四、数值结果
五、计算结果的分析
六、计算中出现的问题，解决方法及体会
一、实验目的、内容：
二阶常微分方程边值问题
⎪⎩
⎪⎨⎧==-<<-=++-11111101222)(,)(,)(u u x u x dx u
d ， （该问题真解为：)()(12
12
-=x e
x u ）步长h 自己选定，利用差分法求出近似解，利用MATLAB
函数画出比较图形。
二、相关背景知识介绍：
运用差分法解决二阶常微分边值问题，化成三对角矩阵然后运用追赶法求解。
三、代码（Matlab ）：
function y=Aa(n) for i=2:n
y(i)=0.125*i*i; end end
function y=Bb(n) for i=1:n
y(i)=2+(4*i*i/(n*n))-(4*i/n)-(0.25*n*n); end end
function y=Cc(n) for i=1:(n-1) y(i)=i*i*0.125; end end
function y=Dd(n) for i=2:(n-1) y(i)=0.; end
y(1)=-0.125*n*n;
y(n)=-0.125*n*n;
end
n=100;
a=Aa(n);
b=Bb(n);
c=Cc(n);
d=Dd(n);
x=zhuiganfa(a,b,c,d)
X
追赶法
function x=zhuiganfa(a,b,c,d)
n=length(b);
u0=0;y0=0;a(1)=0;
%“追”的过程
L(1)=b(1)-a(1)*u0;
y(1)=(d(1)-y0*a(1))/L(1);
u(1)=c(1)/L(1);
for i=2:(n-1)
L(i)=b(i)-a(i)*u(i-1);
y(i)=(d(i)-y(i-1)*a(i))/L(i);
u(i)=c(i)/L(i);
end
L(n)=b(n)-a(n)*u(n-1);
y(n)=(d(n)-y(n-1)*a(n))/L(n);
%“赶”的过程
x(n)=y(n);
for i=(n-1):-1:1
x(i)=y(i)-u(i)*x(i+1);
end
四、数值结果：
由于方程阶数比较大导致结果数量比较大，所以就没有对进行粘贴。
五、计算结果的分析
我们先化成三对角矩阵，然后用追赶法对方程进行了求解，当我们令阶数为100时，图像与老师给的标准答案的图像不一样，然后我们把答案代入方程发现结果不符，所以我们组觉得这道题给的答案不对。
求解图
答案图
六、计算中出现的问题，解决方法及体会
开始时代码有些问题，导致结果出不来，仔细检查后及时改正，以后编程得细心些。
总的来说，经过将近一年的matlab编程的训练，有些基础还是有些问题，所以以后还要继续练。
教
师
评
语
指导教师：
2013 年 5 月 8 日。