高二导数讲义

导数【知识归纳】1、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。

如果x y ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim。

2、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3、几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=.4、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。

形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。

复合函数求导步骤：分解——求导——回代。

法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X5、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；6、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；7、最值：一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。

①求函数ƒ)(x 在(a ，b)内的极值；②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

【常见综合题方法导航】1、关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征)()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；2、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题；（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；第三种：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别；（2）函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可；3、函数的切线问题；问题1：在点处的切线，易求；问题2：过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；经典题型分类解析【导数定义的应用】例1、求抛物线 上的点到直线的最短距离.1、（福建）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，2、已知P （－1，1），Q （2，4）是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是 _____________.3、已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 __ __m 2.【利用导数研究函数的图像】例1、（安徽高考）设＜b,函数的图像可能是（ ）1、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 。

【利用导数解决函数的单调性及极值问题】例1、当 ，证明不等式.例2、（全国高考）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．图1 图2 图3 图4【变式1】（ 全国高考）若函数()()11213123+-+-=x a ax x x f 在区间()4,1上是减函数，在区间()+∞,6上是增函数，求实数a 的取值范围．【变式2】（ 浙江高考）已知函数 ．若函数在区间上不单调．．．，求的取值范围．练习1、利用函数的单调性，证明：ln ,0x x x e x <<>变式1：证明：()x x x ≤+≤+-1ln 111，1x >- 变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x 的方程f(x)=x 2+x+a 在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.2、已知函数321()23f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3f x a ->恒成立，求a 的取值范围．3、设函数,若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性.4、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．5、设22(),1x f x x =+()52(0)g x ax a a =+->。

（1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。

【利用导数的几何意义研究曲线的切线问题】例1、（江西高考）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于A ．或B ．或C ．或D ．或【变式】（ 辽宁高考）设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．[]10-， C ．[]01， D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，综合实战训练1. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如右图所示，则导函数y=f (x )的图象可能为()2. 已知曲线S :y =3x －x 3及点(2,2)P -,则过点P 可向S 引切线的条数为( )(A )0 (B )1 (C)2 (D)33. C 设S 上的切点00(,)x y 求导数得斜率，过点P 可求得:200(1)(2)0x x +-=.4. 函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）.3()(,)22A ππ()(,2)B ππ 35()(,)22C ππ()(2,3)D ππ5. y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于( )(A )6 (B )0 (C)5 (D)16. 函数f (x )＝x 3－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( )(A )1，－1 (B )3，-17 (C)1，－17 (D)9，－197.设l 1为曲线y 1=si nx 在点(0，0)处的切线，l 2为曲线y 2=cos x 在点(2π,0)处的切线，则l 1与l 2的夹角为___________.8. 设函数f (x )=x 3+ax 2+bx －1，若当x =1时，有极值为1，则函数g(x )=x 3+ax 2+bx 的单调递减区间为 .9．（湖北）已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 10．（湖南）函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是11．（浙江）曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 9．. 已知函数32()(,)f x x ax b a b R =-++∈（Ⅰ）若函数)(x f 图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：a <<（Ⅱ）若[]0,1x ∈，函数()y f x =图像上任意一点处的切线的斜率为k ，试讨论1k ≤的充要条件。