2017年高考试题天津卷数学(理) 精品
【数学】2017年高考真题——天津卷(理)(解析版)
2 设变
2 x + y ≥ 0, x + 2 y − 2 ≥ 0, 则目标函数 z = x + y 的最大值为 x, y 满足约束条件 x ≤ 0, y ≤ 3,
B.1 C.
A.
2 3
3 2
D.3
3 阅读 面的程序框图，
行相 的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为
4 3 πR . 3
其中 R 表示球的半径．
1 设集合 A = {1, 2, 6}, B = {2, 4}, C = { x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 5} ，则 ( A U B ) I C = B. {1, 2, 4} C. {1, 2, 4, 6} D. { x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 5}
且 f ( x) 的最小正周期大于 2π ，则
A. ω = C. ω =
2 π ，ϕ = 3 12 1 11π ，ϕ = − 3 24
B. ω = D. ω =
2 11π ，ϕ = − 3 12 1 7π ，ϕ = 3 24
8
x 2 − x + 3, x ≤ 1, x 知函数 f ( x) = 设 a ∈ R ，若关于 x 的 等式 f ( x) ≥| + a | 在 R 2 2 x + , x > 1. x
2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数学
分钟.第 卷 1 至 2 ，第 卷 3 至 5 .
天津卷
理工类
本试卷分为第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分，共 150 分，考试用时 120
答卷前，考生务必将自 的姓 、准考证号填写在答题考 ，并在规定位置粘贴考试用 条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡 ，答在试卷 的无效.考试结束 卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试 利！ 第 注意 1. 小题选出答案 ， 用铅笔将答题卡 对 题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦 净 卷 ，将本试
2017年高考理数真题试卷(天津卷)及解析
第1页，总12页2017年高考理数真题试卷（天津卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设变量 x,y 满足约束条件 {2x +y ≥0,x +2y −2≥0,x ≤0,y ≤3,则目标函数 z =x +y 的最大值为（ ） A.23 B.1 C.32 D.32.已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左焦点为 F ，离心率为 √2 .若经过 F 和P(0,4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A.x 24−y 24=1B.x 28−y 28=1C.x 24−y 28=1D.x 28−y 24=13.已知奇函数 f(x) 在R 上是增函数， g(x)=xf(x) .若 a =g(−log 25.1) ， b =g(20.8) ， c =g(3) ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a <b <cB.c <b <aC.b <a <cD.b <c <a答案第2页，总12页4.设函数 f(x)=2sin(ωx +φ) ， x ∈R ，其中 ω>0 ， |φ|<π .若 f(5π8)=2 ，f(11π8)=0 ，且 f(x) 的最小正周期大于 2π ，则（ ）A.ω=23 ， φ=π12B.ω=23 ， φ=−11π12C.ω=13 ， φ=−11π24D.ω=13， φ=7π245.已知函数 f(x)={x 2−x +3,x ≤1,x +2x,x >1.设 a ∈R ，若关于x 的不等式 f(x)≥|x2+a| 在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A.[−4716,2] B.[−4716,3916]C.[−2√3,2]D.[−2√3,3916]第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）6.已知 a ∈R ，i 为虚数单位，若 a−i2+i 为实数，则a 的值为 .7.在极坐标系中，直线 4ρcos(θ−π6)+1=0 与圆 ρ=2sinθ 的公共点的个数为8.若 a,b ∈R ， ab >0 ，则 a 4+4b 4+1ab 的最小值为9.在 △ABC 中， ∠A =60° ， AB =3 ， AC =2 .若 BD →=2DC →， AE →=λAC →−AB →(λ∈R) ，且 AD →⋅AE →=−4 ，则 λ 的值为三、解答题（题型注释）第3页，总12页…………订…………○…………线级：___________考号：___________…………订…………○…………线10.在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c .已知 a >b ， a =5,c =6 ，sinB =35. （Ⅰ）求 b 和 sinA 的值；（Ⅱ）求 sin(2A +π4) 的值.11.如图，在三棱锥P-ABC 中，PA⊥底面ABC ， ∠BAC =90° .点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C-EM-N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 √721 ，求线段AH 的长. 12.已知 {a n } 为等差数列，前n 项和为 S n (n ∈N ∗) ， {b n } 是首项为2的等比数列，且公比大于0， b 2+b 3=12 , b 3=a 4−2a 1 ， S 11=11b 4 . （Ⅰ）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（Ⅱ）求数列 {a 2n b 2n−1} 的前n 项和 (n ∈N ∗) .13.设椭圆 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，离心率为 12 .已知 A是抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为 12 . （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设 l 上两点 P ， Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （ B 异于点A ），直线 BQ 与 x 轴相交于点 D .若 △APD 的面积为 √62 ，求直线 AP 的方程.14.设 a ∈Z ，已知定义在R 上的函数 f(x)=2x 4+3x 3−3x 2−6x +a 在区间 (1,2) 内有一个零点 x 0 ， g(x) 为 f(x) 的导函数. （Ⅰ）求 g(x) 的单调区间； （Ⅱ）设 m ∈[1,x 0)∪(x 0,2] ，函数 ℎ(x)=g(x)(m −x 0)−f(m) ，求证：ℎ(m)ℎ(x 0)<0 ；答案第4页，总12页（Ⅲ）求证：存在大于0的常数 A ，使得对于任意的正整数 p,q ，且 pq ∈[1,x 0)∪(x 0,2], 满足 |pq−x 0|≥1Aq 4.第5页，总12页……○…………订………______班级：___________考号：______……○…………订………参数答案1.D【解析】1.目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中 A(0,1),B(0,3),C(−32,3),D(−23,43) ，所以直线 z =x +y 过点B 时取最大值3，选D. 2.B【解析】2.由题意得 a =b,4−c=−1⇒c =4,a =b =2√2⇒x 28−y 28=1 ，选B.3.C【解析】3.4.A【解析】4.由题意 {5ωπ8+φ=2k 1π+π211ωπ8+φ=k 2π，其中 k 1,k 2∈Z ，所以 ω=43(k 2−2k 1)−23，又 T =2πω>2π ，所以 0<ω<1 ，所以 ω=23， φ=2k 1π+112π ，由 |φ|<π 得φ=π12，故选A ．5.A答案第6页，总12页……○…………订…………○…………线…………○※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………订…………○…………线…………○【解析】5.所以 −2√3≤a ≤2 ， 综上 −4716≤a ≤2 ．故选A ．6.−2【解析】6. a−i2+i =(a−i)(2−i)(2+i)(2−i)=(2a−1)−(a+2)i5=2a−15−a+25i 为实数， 则 a+25=0,a =−2 .7.2【解析】7.直线为 2√3x +2y +1=0 ，圆为 x 2+(y −1)2=1 ，因为 d =34<1 ，所以有两个交点8.4【解析】8. a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab≥4 ，当且仅当 a =2b =1 时取等号9.311第7页，总12页…………装…………○…………订…………○…………线…………○…校:___________姓名：__________班级：___________考号：___________…………装…………○…………订…………○…………线…………○…【解析】9.10.【解析】10.11.（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设 ，为平面BDE 的法向量， 则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.答案第8页，总12页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○所以，线段AH 的长为 或 .【解析】11.【知识点】高考真题第9页，总12页…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…12.（I ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .由 ，，有，故，，上述两式相减，得得 .所以，数列 的前 项和为 .【解析】12. 13.（Ⅰ）解：设的坐标为 .依题意， ， ， ，解得， ， ，于是 . 所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为.答案第10页，总12页…外…………○…装…………○…………订…………○…………线…………○※※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…内…………○…装…………○…………订…………○…………线…………○所以，直线 的方程为，或.【解析】13. 14.（Ⅰ）由，可得， 进而可得.令 ，解得 ，或 .当x 变化时， 的变化情况如下表：+↗所以，的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是.（Ⅱ）证明：由，得，.第11页，总12页…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…（III ）证明：对于任意的正整数， ，且 ，令，函数 .由（II ）知，当时， 在区间内有零点；当时，在区间内有零点.所以.所以，只要取，就有 .【解析】14.答案第12页，总12页。
2017年高考数学天津理试题及解析
2017年高考数学天津理1.(2017年天津理)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x ∈R|-1≤x≤5}，则(A ∪B)∩C= ( ) A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，6}D.{ x ∈R|-1≤x≤5}1.B 【解析】 (A ∪B)∩C={1，2，4，6}∩[1,5]={1,2,4}．故选B ．2. (2017年天津理)设变量x,y 满足约束条件⎩⎨⎧2x+y≥0，x+2y-2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z=x+y 的最大值为（ ） A. 23B.1C. 32D.32. D 【解析】画出不等式组表示的平面区域（图略），则可行域为四边形ABCD 及其内部，其中A （0，1），B （0，3），C （-32，3），D （-23，43），易得直线y=-x+z 过点B （0，3）时，z=x+y 取最大值为3.故选D ．3. (2017年天津理)阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（ ）A.0B.1C.2D.33. C 【解析】初始N=19，进入循环后N 的值依次为N=18,N=6,N=2，结束循环，输出N=2.故选C ．4. (2017年天津理)设θ∈R ，则“|θ-π12|＜π12”是“sin θ＜12”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. A 【解析】|θ-π12|＜π12⇔0＜θ＜12，但θ=0时，sin θ=0＜12，不满足|θ-π12|＜π12，所以“|θ-π12|＜π12”是“sin θ＜12”的充分不必要条件.故选A.5. (2017年天津理)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为2．若经过F 和P （0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） A. x 24-y 24=1B. x 28-y 28=1C. x 24-y 28=1D. x 28-y 24=15. D 【解析】由题意得a=b ，4-00-（-c ）=1⇒c=4，a=b=22⇒x 28-y 28=1.故选B ．6. (2017年天津理)已知奇函数f(x)在R 上是增函数．g(x)=xf(x).若a=g(-log 25.1),b=g(20.8),c=g(3)，则a,b,c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a6. C 【解析】因为f （x ）是奇函数且在R 上是增函数，所以当x ＞0时，f （x ）＞0，从而g （x ）=xf （x ）是R 上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，a=g(-log 25.1)= g(log 25.1)，20.8＜2，又4＜5.1＜8，则2＜log 25.1＜3，所以0＜20.8＜log 25.1＜3，g （20.8）＜g （log 25.1）＜g （3），所以b ＜a ＜c.故选C.7. (2017年天津理)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π．若f(5π8)=2，f(11π8)=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( ) A. ω=23，φ=π12B. ω=23，φ=-11π12 C. ω=13，φ=-11π24D. ω=13，φ=7π247. A 【解析】由题意得⎩⎨⎧5ωπ8+φ=2k 1π+π2，11ωπ8+φ=k 2π，其中k 1，k 2∈Z ，所以ω=43（k 2-2k 1）-23，又T=2πω＞2π，所以0＜ω＜1，所以ω=23，11212k ϕ=π+π，由|φ|＜π得φ=π12，故选A ．8. (2017年天津理)已知函数f （x ）=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x+3，x≤1，x+2x ，x ＞1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f （x ）≥|x2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.[-4716，2]B.[-4716，3916]C. [-23，2]D. [-23，3916]8. A 【解析】不等式f （x ）≥|x 2+a|可化为-f （x ）≤x2+a≤f （x ），（*）当x≤1时，（*）式即-x 2+x-3≤x 2+a≤x 2-x+3，即-x 2+x 2-3≤a≤x 2-32x+3，又-x 2+x 2-3=-（x-14）2-4716≤-4716（当x=14时取等号），x 2-32+3=（x-34）2+3916≥3916（当x=34时取等号），所以-4716≤a≤3916，当x ＞1时，（*）式为-x-2x ≤x 2+a≤x+2x ，-32x-2x ≤a≤x 2+2x .又-32x-2x =-（32x+2x ）≤23（当x=233时取等号），x 2+2x ≥2x 2·2x =2（当x=2时取等号），所以-23≤a≤2．综上，-4716≤a≤2．故选A ．9. (2017年天津理)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a-i2+i 为实数，则a 的值为___________．9. -2 【解析】a-i 2+i =(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=(2a-1)-(a+2)i 5=2a-15-a+25i 为实数，则a+25=0,a=-2．10. (2017年天津理)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．10. 9π2 【解析】设正方体的边长为a ，则6a 2=18⇒a=3，其外接球直径为2R=3a=3，故这个球的体积V=43πR 3=43π×278=9π2．11. (2017年天津理)在极坐标系中，直线4ρcos （θ-π6）+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为___________．11. 1 【解析】直线为23x+2y+1=0，圆为x 2+（y-1）2=1，因为d=34＜1，所以有两个交点．12. (2017年天津理)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1ab 的最小值为___________．12. 4 【解析】a 4+4b 4+1ab ≥4a 2b 2+1ab =4ab+1ab≥24ab·1ab=4，前一个等号成立的条件是a 2=2b 2，后一个等号成立的条件是ab=12，两个等号可以同时成立，当且仅当a 2=22，b 2=24时取等号．13. (2017年天津理)在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若→BD =2→DC ，→AE =λ→AC -→AB （λ∈R ），且→AD ·→AE=-4，则λ的值为___________． 13. 311 【解析】由题可得→AB ·→AC =3×2×cos 60°=3，→AD =13→AB +23→AC ，则→AD ·→AE =（13→AB +23→AC ）（λ→AC -→AB ）=λ3×3+2λ3×4-13×9-23×3=-4 λ=311．14. (2017年天津理) 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）14. 1 080 【解析】A 4 5+C 1 4C 3 5A 44=1 080.15. (2017年天津理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＞b ，a=5，c=6，sin B=35．（1）求b 和sin A 的值； （2）求sin （2A+π4）的值．15. 解：（1）在△ABC 中，因为a ＞b ，故由sin B=35，可得cos B=45. 由已知及余弦定理，有b2=a2+c2-2accos B=13，所以b=13. 由正弦定理a sin A =b sin B ，得sin A=asin B b =31313. 所以，b 的值为13，sin A 的值为31313. （2）由（1）及a ＜c ，得cos A=21313，所以sin 2A=2sin Acos A=1213，cos 2A=1-2sin 2A=-513. 故sin （2A+π4）=sin 2Acos π4+cos 2Asin π4=7226.16. (2017年天津理)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．（1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 16.解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3． P （X=0）=（1-12）×（1-13）×（1-14）=14，P （X=1）=12×（1-13）×（1-14）+（1-12）×13×（1-14）+（1-12）×（1-13）×14=1124， P （X=2）=（1-12）×13×14+12×（1-13）×14+12×13×（1-14）=14， P （X=3）=12×13×14=124. 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E （X ）=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312.（2）设Y 表示第1辆车遇到红灯的个数，Z 表示第2辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为P （Y+Z=1）=P （Y=0，Z=1）+P （Y=1，Z=0）=P （Y=0）P （Z=1）+P （Y=1）P （Z=0）=14×1124+1124×14=1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．17. (2017年天津理)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC=90°．点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A =AC =4，AB =2． （1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C -EM -N 的正弦值；（3）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长．17.解：如图，以A 为原点，分别以→AB ，→AC ，→AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），P （0，0，4），D （0，0，2），E （0，2，2），M （0，0，1），N （1，2，0）．（1）易得→DE =（0，2，0），→DB =（2，0，2-）． 设n =(x,y,z)为平面BDE 的法向量，则⎩⎨⎧n ·→DE =0，n ·→DB =0，即⎩⎨⎧2y=0，2x-2z=0. 不妨设z=1，可得n =（1，0，1）．又→MN =（1，2，1-），可得→MN ·n =0． 因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE ． （2）易知n 1=（1，0，0）为平面CEM 的一个法向量.设n 2=（x ，y ，z ）为平面EMN 的一个法向量，则⎩⎨⎧n 2·→EM =0，n 2·→MN =0，因为→EM =（0，-2，-1），→MN =（1，2，-1），所以⎩⎨⎧-2y-z=0，x+2y-z=0.不妨设y=1，可得n 2=（-4，1，-2）.因此有cos<n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|=-421，于是sin<n 1,n 2>=10521.所以，二面角C-EM-N 的正弦值为10521.（3）依题意，设AH =h （0≤h≤4），则H （0，0，h ），进而可得→NH =（-1，-2，h ），→BE =（-2，2，2）．由已知，得|cos<→NH ,→BE >=→NH ·→BE |→NH ||→BE |=|2h-2|h 2+5×23=721， 整理得10h 2-21h+8=0，解得h=85或h=12．所以，线段AH 的长为85或12．18. (2017年天津理)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2+b 3=12，b 3=a 4-2a 1，S 11=11b 4． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *)．18.解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12，得b 1（q+q 2）=12，而b 1=2，所以q 2+q-6=0. 又因为q ＞0，解得q=2.所以b n =2n.由b 3=a 4-2a 1，可得3d-a 1=8，① 由S 11=11b 4，可得a 1+5d=16，②联立①②，解得a 1=1,d=3，由此可得a n =3n-2．所以，数列{a n }的通项公式为a n =3n-2，数列{b n }的通项公式为b n =2n．（2）设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ，由a 2n =6n-2，b 2n-1=2×4n-1，有a 2n b 2n-1=（3n-1）×4n ， 故T n =2×4+5×42+8×43+…+（3n-1）×4n ， 4T n =2×42+5×43+8×44+…+（3n-1）×4n +(3n-1)×4n+1， 上述两式相减，得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n -(3n-1)×4n+1=12×（1-4n）1-4-4-（3n-1）×4n+1=-（3n-2）×4n+1-8，得T n =3n-23×4n+1+83． 所以，数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n-23×4n+1+83．19. (2017年天津理)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程． 19.解：（1）设F 的坐标为（-c ，0）．依题意，c a =12，p 2=a ，a-c=12，解得a=1，c=12，p=2，于是b 2=a 2-c 2=34． 所以，椭圆的方程为x 2+4y 23=1，抛物线的方程为y 2=4x ． （2）设直线AP 的方程为x=my+1（m≠0），与直线l 的方程x=-1联立，可得点P （-1，-2m ），故Q （-1，2m ）． 将x=my+1与x 2+4y 23=1联立，消去x ，整理得（3m 2+4）y 2+6my=0， 解得y=0或y=-6m3m 2+4．由点B 异于点A ，可得点B （-3m 2+43m 2+4，-6m 3m 2+4）．由Q （-1，2m ），可得直线BQ 的方程为（-6m 3m 2+4-2m ）（x+1）-（-3m 2+43m 2+4+1）（y-2m ）=0， 令y=0，解得x=2-3m 23m 2+2，故D （2-3m 23m 2+2，0），所以|AD|=1-2-3m 23m 2+2=6m 23m 2+2. 又因为△APD 的面积为62，故12×6m 23m 2+2×2|m|=62， 整理得3m 2-26|m|+2=0，解得|m|=63，所以m=±63.所以，直线AP 的方程为3x+6y-3=0或3x-6y-3=0.20. (2017年天津理)设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f(x)=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a 在区间(1,2)内有一个零点x 0，g(x)为f(x)的导函数． （1）求g(x)的单调区间；（2）设m ∈[1,x 0)∪(x 0,2]，函数h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m)，求证：h(m)h(x 0)＜0；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p,q ，且p q ∈[1,x 0)∪(x 0,2]满足|pq-x 0|≥1Aq 4．20.解：（1）由f(x)=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a ，可得g(x)=f′(x)=8x 3+9x 2-6x-6， 进而可得g′(x)=24x 2+18x-6．令g′(x)=0，解得x=-1或x=14．当x 变化时，g′(x), g(x)的变化情况如下表：`所以，g(x)的单调递增区间是(-∞,-1)，(14,+∞)，单调递减区间是(-1, 14)． （2）由h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m)，得h(m)=g(m)(m-x 0)-f(m)， h(x 0)=g(x 0)(m-x 0)-f(m)．令函数H 1(x)=g(x)(x-x 0)-f(x)，则H 1′(x)=g′(x)(x -x 0)．由（1）知，当x ∈[1,2]时，g′(x)＞0，故当x ∈[1，x 0]时，H 1′(x)＜0，H 1(x)单调递减； 当x ∈（x 0，2]时，H 1′(x)＞0，H 1(x)单调递增．因此，当x ∈[1,x 0)∪(x 0,2]时，H 1(x)＞H 1(x 0)=-f(x 0)=0，可得H 1(m)＞0，即h(m)＞0． 令函数H 2(x)=g(x 0)(x-x 0)-f(x)，则H 2′(x)= g(x 0)-g(x)．由（1）知，g(x)在[1,2]上单调递增，故当x ∈[1,x 0)时，H 2′(x)＞0，H 2(x)单调递增； 当x ∈（x 0，2]时，H 2′(x)＜0，H 2(x)单调递减．因此，当x ∈[1,x 0)∪(x 0,2]时，H 2(x)＜H 2(x 0)=0，可得H 2(m)＜0，即h （x 0）＜0． 所以，h （m ）h （x 0）＜0．（3）对于任意的正整数p ，q ，且pq ∈[1,x 0)∪(x 0,2]， 令m=pq ，函数h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m).由（2）知，当m ∈[1,x 0)时，h （x ）的区间（m ，x 0）内有零点；当m ∈（x 0，2]时，h （x ）在区间（x 0，m ）内有零点，所以h （x ）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x 1，则h(x 1)=g(x 1)(p q -x 0)-f(pq )=0.由（1）知g(x)在[1,2]上单调递增，故0＜g （1）＜g （x 1）＜g （2）， 于是|pq -x 0|=|f （p q ）g （x 1）|≥|f （pq ）|g （2）=|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|g （2）q 4．因为当x ∈[1,2]时，g(x)＞0，故f （x ）在[1,2]上单调递增，所以f （x ）在区间[1,2]上除x 0外没有其他的零点，而p q ≠x 0，故f （pq ）≠0．又因为p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|是正整数，从而|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|≥1，所以|p q -x 0|≥1g （2）q 4．所以，只要取A=g （2），就有|p q -x 0|≥1Aq 4．。
2017年天津市高考数学试卷(理科)
2017年天津市高考数学试卷（理科）、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. （5 分）设集合A={1, 2, 6}，B={2, 4}，C=[x€ R| -1 <x<5}，则（A U B）n C=（）A. {2}B. {1，2，4}C. {1，2，4，5}D. {x€ R| - 1<x< 5}（2x+y>0JT JT 14. （5分）设氏R,贝U “ 9-—| v ”是“sinv y ”的（A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. （5分）设变量x，y满足约束条件'x+2y-2^0则目标函数z=x+y的最大值为（）A. ：：B. 1C. ；D. 3323. （5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输22 _5. (5分)已知双曲线二_-==1 (a >0, b >0)的左焦点为F ,离心率为 \若 经过F 和P (0, 4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，贝U 双曲线的方程为2 2 2 2 2 2 2 2=1 B.——=1C.工 =1 D 「' =144 8 8 48 8 4(5分)已知奇函数f(x )在R 上是增函数，g( x ) =xf(x ).若a=g (- log 25.1), b=g (20'8), c=g (3),则 a , b , c 的大小关系为()A . a v b v c B. c v b v a C. b v a v c D . b v c v a 7. (5 分)设函数 f (x ) =2sin ( 3X©), x € R,其中 3>0, | 创 v x .若f (竺)S> | ' +a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )厶A .[-三，2] B.[-三，干] C . [ - 2 二，2] D. [ - 2 二，干] 二■填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. ___________________________________________________________ (5分)已知a € R, i 为虚数单位，若二丁为实数，则a 的值为 ___________________ . 10. (5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积 为18,则这个球的体积为 ________ .11. (5分)在极坐标系中，直线4p co ( 0- . ) +1=0与圆p =2sin 的公共点的6个数为12. (5分)若a , b € R , ab >0,则二的最小值为 13. (5 分)在厶 ABC 中，/ A=60°, AB=3, AC=2 若祝=2疋,AE =反—両(入第2页(共23页)€ R),且AD*AE =- 4贝U 入的值为 ______ .14 (5分)用数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9组成没有重复数字，且至多有 一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 ______________ 个•(用数字作答)A .6. =2, f 1) =0,且f (x )的最小正周期大于2n 贝U(8= 3二, 3 13=,A . C.©= B.12.11兀 (p=_ 一 =, lin 3D . 3二.,3 12J U8. (5 分) 已知函数f (x )=十2 >]，设a € R,若关于x 的不等式f (x )x三■解答题：本大题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (13分)在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c•已知a>b, a=5,c=6, sinB=.(I)求b和si nA的值；(U)求sin (2A+—)的值.416 (13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为I ,二，I .2 3 4(I)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(U)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.17 . (13分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA!底面ABC, / BAC=90.点D, E, N分别为棱PA PC, BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4 AB=2.(I)求证：MN //平面BDE(U)求二面角C- EM - N的正弦值；(E)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 _ ',求线段AH的长.18. (13分)已知｛a n｝为等差数列，前n项和为S n (n € N+), ｛bj是首项为2的等比数列，且公比大于0, b2+b3=12, b3=a4 - 2a i, Sn=11b4.(I)求｛a n和｛b n｝的通项公式；(U)求数列｛a2n b2n -1｝的前n项和(n € N+).2 219. (14分)设椭圆「+一’ =1 (a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为J b21.已知A是抛物线y2=2px (p >0)的焦点，F到抛物线的准线I的距离为1 .22 (I)求椭圆的方程和抛物线的方程；(II)设I上两点P, Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B (B异于A), 直线BQ与x轴相交于点。
2017年高考天津卷理数试题解析(精编版)(原卷版)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么·如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )．P (AB )=P (A )P (B )．·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式343V R =π.其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R （2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23（B ）1（C ）32（D ）3（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F 2.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）221x y -=（B ）221x y -=（C ）221x y -=（D ）221x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a<<（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）23ω=，12ϕπ=（B ）23ω=，12ϕ11π=-（C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16-（B ）4739[,1616-（C ）[23,2]-（D ）39[23,]16-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年天津卷(理科数学)含答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅰ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )．·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式.其中S 表示棱柱的底面面积，其中表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合，则【B 】343V R =πR {1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ()A B C =（A ）（B ）（C ）（D ）（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为【D 】 （A ） （B ）1（C ） （D ）3（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为【C 】（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（4）设，则“”是“”的【A 】（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线的左焦点为，.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为【B 】（A ） （B ）（C ）（D ）（6）已知奇函数在R 上是增函数，.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为【C 】{2}{1,2,4}{1,2,4,6}{|15}x x ∈-≤≤R ,x y 20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩z x y =+2332N N θ∈R ππ||1212θ-<1sin 2θ<22221(0,0)x y a b a b -=>>F F (0,4)P 22144x y -=22188x y -=22148x y -=22184x y -=()f x ()()g x xf x =2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =（A ） （B ）（C ）（D ） （7）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则【A 】（A ），（B ），（C ），（D ），（8）已知函数设，若关于x 的不等式在R 上恒成立，则a 的取值范围是【A 】（A ）（B ） （C ）（D ）第Ⅰ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年高考天津卷理数试题解析(正式版)(解析版)
第 1 页 共 12 页绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么·如果事件A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )．P (AB )=P (A )P (B )．·棱柱的体积公式V=Sh ．·球的体积公式343V R =π． 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =U I（A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R【答案】B【解析】(){1,2,4,6}[1,5]{1,2,4}A B C =-=U I I ，故选B ．（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A）23（B）1（C）32（D）3 【答案】D（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C【解析】初始：24N=，进入循环后N的值依次为8,7,6,2N N N N====，输出2N=，故选C．（4）设θ∈R，则“ππ||1212θ-<”是“1sin2θ<”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin2θ⇒<，但0θ=时1sin02θ=<，不满足ππ||1212θ-<，第 2 页共 12 页所以“ππ||1212θ-<”是“1sin2θ<”的充分而不必要条件，故选A．（5）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为F，离心率为2．若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A）22144x y-=（B）22188x y-=（C）22148x y-=（D）22184x y-=【答案】B【解析】由题意得2240,14,2210()88x ya b c a bc-==⇒===⇒-=--，故选B．（6）已知奇函数()f x在R上是增函数，()()g x xf x=．若2(log5.1)a g=-，0.8(2)b g=，(3)c g=，则a，b，c的大小关系为（A）a b c<<（B）c b a<<（C）b a c<<（D）b c a<<【答案】C（7）设函数()2sin()f x xωϕ=+，x∈R，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28fπ=，()08f11π=，且()f x的最小正周期大于2π，则（A）23ω=，12ϕπ=（B）23ω=，12ϕ11π=-（C）13ω=，24ϕ11π=-（D）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118kkωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k∈Z，所以2142(2)33k kω=--，又22Tωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212kϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A．（8）已知函数23,1,()2, 1.x x xf xx xx⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a∈R，若关于x的不等式()||2xf x a≥+在R上恒成立，则a的取第 3 页共 12 页值范围是（A）47 [,2] 16-（B）4739[,]1616-（C）[23,2]-（D）39[23,]16-【答案】A当1x>时，(*)式为222xx a xx x--≤+≤+，32222xx ax x--≤≤+．又3232()2322x xx x--=-+≤-23x=，22222x xx x+≥⨯=（当2x=时取等号），所以232a-≤≤．综上，47216a-≤≤．故选A．第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年高考理科数学天津卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷参考公式：·如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件,A B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ·球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x R x =∈-≤≤，则()A B C =A ．{}2B ．{124}，，C ．16}2{4，，， D ．{}1|5x R x ∈-≤≤2．设变量x ，y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为A ．23B ．1C ．32D ．33．阅读右边所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的 A ．0B ．1C ．2D ．34．设θ∈R ，则“ππ121||2θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F.若经过F 和()0,4P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144y x -= B ．22188y x -= C ．22148y x -= D ．22184y x -=6．已知奇函数f x （）在R 上是增函数，g x xf x =（）（）．若25.1a g log =-（），0.82b g =（），3c g =（），则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．设函数2sin f x x ωϕ=+（）（），x ∈R ，其中0ω>，πϕ<．若5π28f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f x （）的最小正周期大于2π，则 A ．2π,312ωϕ== B ．211π,312ωϕ==-C ．111π,324ωϕ==-D ．17π,324ωϕ==8．已知函数()23,1,2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()2f x a x ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）A ．47,216⎡⎤⎢⎥⎣⎦-B ．4739,1616-⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．2-⎡⎤⎣⎦D．3916-⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 10．已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．11．在极坐标系中，直线π4cos 106ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为 ．12．若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．13．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．14．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值； （2）求π24sin A +（）的值． 16．（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．（1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21，求线段AH 的长．数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）18．（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*n S n ∈Ν（），{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和*n ∈N （）．19．（本小题满分14分）设椭圆222210x y a ba b +=>>（）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线()220y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程．20．（本小题满分14分）设a Z ∈，已知定义在R 上的函数()4322336f x x x x x a =+--+在区间()12，内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （1）求()g x 的单调区间；（2）设0012[]m x x ∈，）（，，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且00[]12qx x p∈，）（，，满足041p x q Aq -≥．-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析1．【答案】B 【解析】{}(){}1,2,4,6,1,2,4AB A BC ==，选项B 符合．【提示】解题时应根据集合的运算法则，以及集合元素的三大特征，借助数轴或图示求解．【考点】集合的运算 2．【答案】D【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z x y =+得y x z =-+，作出直线y x =-，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在()03B，处取得，故max 033z =+=，选项D 符合．【提示】常常需画出约束条件所表示的可行域，画图时一定要注意边界是实线还是虚线，求解时要注意z 的几何意义。
2017年高考真题——数学(理)(天津卷) Word版含解析
绝密★启用前本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B 【解析】(){1246}[15]{124}AB C =-=，，，，，， ,选B.（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，选D.（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 【答案】C【解析】依次为8N = ,7,6,2N N N ===，输出2N = ，选C. （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. （6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-【答案】A所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年高考理科数学天津卷含答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh. ·球的体积公式343V R =π.其中S表示棱柱的底面面积，其中R表示球的半径．h表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x===∈-≤≤R，则()A B C=【B】（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为【D 】 （A ）23 （B ）1（C ）32 （D ）3（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为【C 】（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的【A 】（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为【B 】（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为【C 】（A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a << （7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5(28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则【A 】（A ）23ω=，12ϕπ=（B ）23ω=，12ϕ11π=-（C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是【A 】（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[-（D）39[16-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年高考真题——数学(理)(天津卷) Word版含答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a <<（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C ）[- （D ）39[]16- 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017高考数学天津卷理(附参考答案及详解)
第卷
二 填 空 题本大题共&小题每 小 题 " 分共 (# 分!把 答 案 填 在
题中横线上
3!已
知+(#7为
虚
数
单
位
#若+07为 $/7
实
数
#则
+
的
值
为
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!
!
!
!
!#!已知一个正方体的所有顶点在 一 个 球 面 上#若 这 个 正 方 体 的 表
面 积 为 !.#则 这 个 球 的 体 积 为 ! ! ! ! !
'$'#'&#
的
焦
点
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到
抛
物
线
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距离
为
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!求 椭 圆 的 方 程 和 抛 物 线 的 方 程 !
$设/上两点6C 关 于# 轴 对 称直 线 "6 与 椭 圆 相 交 于 点
$点 $ 异于点"直 线 $C 与# 轴 相 交 于 点 &!若 /"6& 的
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(完整版)2017年天津市高考数学试卷(理科)详细解析版
2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．33．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=16．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2] D．[﹣2，]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A． B．1 C．D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．3．（5分）阅读上面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=≤3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，输出N=2，故选C 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．4．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊂[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e==，c=a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k==，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2] D．[﹣2，]【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+x ﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+）≤a≤+，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2．【解答】解：===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d==＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有1080个．（用数字作答）【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：① 、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．三.解答题：本大题共6小题，共80分．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=；所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×+×=；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE 所成角的余弦值为列式求得线段AH的长．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E （0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=4．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为，∴×=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0，2]时，通过h（x）的零点．转化推出|﹣x0|=≥=．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．【解】（Ⅰ）由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，）（，+∞）g′（x）+﹣+g（x）↗↘↗所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），所以h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．。
2017年天津市高考数学试卷(理科)
2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．33．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=16．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log5.1），2b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．18．（13分）已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n （n ∈N +），{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2+b 3=12，b 3=a 4﹣2a 1，S 11=11b 4． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{a 2n b 2n ﹣1}的前n 项和（n ∈N +）． 19．（14分）设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为．已知A 是抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为． （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若△APD 的面积为，求直线AP 的方程．20．（14分）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f （x ）=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x+a 在区间（1，2）内有一个零点x 0，g （x ）为f （x ）的导函数． （Ⅰ）求g （x ）的单调区间；（Ⅱ）设m ∈[1，x 0）∪（x 0，2]，函数h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ），求证：h （m ）h （x 0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且∈[1，x 0）∪（x 0，2]，满足|﹣x 0|≥．2017年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．3．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=≤3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，输出N=2，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．4．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊊（﹣+2kπ，+2kπ），k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x ，根据直线的斜率公式，即可求得c 的值，求得a 和b 的值，即可求得双曲线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点F （﹣c ，0），离心率e==，c=a ，则双曲线为等轴双曲线，即a=b ， 双曲线的渐近线方程为y=±x=±x ， 则经过F 和P （0，4）两点的直线的斜率k==，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．6．（5分）已知奇函数f （x ）在R 上是增函数，g （x ）=xf （x ）．若a=g （﹣log 25.1），b=g （20.8），c=g （3），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a【分析】由奇函数f （x ）在R 上是增函数，则g （x ）=xf （x ）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g （﹣log 25.1）=g （log 25.1），则2＜log 25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b ＜a ＜c【解答】解：奇函数f （x ）在R 上是增函数，当x ＞0，f （x ）＞f （0）=0，且f′（x ）＞0，∴g （x ）=xf （x ），则g′（x ）=f （x ）+xf′（x ）＞0， ∴g （x ）在（0，+∞）单调递增，且g （x ）=xf （x ）偶函数， ∴a=g （﹣log 25.1）=g （log 25.1）， 则2＜log 25.1＜3，1＜20.8＜2，由g （x ）在（0，+∞）单调递增，则g （20.8）＜g （log 25.1）＜g （3），∴b＜a＜c，故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+x ﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+）≤a≤+，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．另解：作出f（x）的图象和折线y=|+a|当x≤1时，y=x2﹣x+3的导数为y′=2x﹣1，由2x﹣1=﹣，可得x=，切点为（，）代入y=﹣﹣a，解得a=﹣；当x＞1时，y=x+的导数为y′=1﹣，由1﹣=，可得x=2（﹣2舍去），切点为（2，3），代入y=+a，解得a=2．由图象平移可得，﹣≤a≤2．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2 ．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 2 ．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d==＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为 4 ．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有1080 个．（用数字作答）【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A 54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数； ②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C 53•C 41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A 44=24种顺序， 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个； 故答案为：1080．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＞b ，a=5，c=6，sinB=． （Ⅰ）求b 和sinA 的值； （Ⅱ）求sin （2A+）的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB ，再由余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sinA ；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA ，再由倍角公式求得sin2A ，cos2A ，展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵a ＞b ，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=；所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×+×=；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF ∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP 所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2）， 则，，设平面MEN 的一个法向量为，由，得，取z=2，得． 由图可得平面CME 的一个法向量为．∴cos ＜＞=． ∴二面角C ﹣EM ﹣N 的余弦值为，则正弦值为； （Ⅲ）解：设AH=t ，则H （0，0，t ），，．∵直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为，∴|cos ＜＞|=||=||=．解得：t=或t=． ∴线段AH 的长为或．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．18．（13分）已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n （n ∈N +），{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2+b 3=12，b 3=a 4﹣2a 1，S 11=11b 4．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{a 2n b 2n ﹣1}的前n 项和（n ∈N +）．【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ． 由已知b 2+b 3=12，得b 1（q+q 2）=12，而b 1=2，所以q+q 2﹣6=0．又因为q ＞0，解得q=2．所以，b n =2n ．由b 3=a 4﹣2a 1，可得3d ﹣a 1=8①．由S 11=11b 4，可得a 1+5d=16②，联立①②，解得a 1=1，d=3，由此可得a n =3n ﹣2．所以，数列{a n }的通项公式为a n =3n ﹣2，数列{b n }的通项公式为b n =2n ． （II ）设数列{a 2n b 2n ﹣1}的前n 项和为T n ，由a 2n =6n ﹣2，b 2n ﹣1=4n ，有a 2n b 2n ﹣1=（3n ﹣1）4n ，故T n =2×4+5×42+8×43+…+（3n ﹣1）4n ，4T n =2×42+5×43+8×44+…+（3n ﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n ﹣（3n ﹣1）4n+1==﹣（3n ﹣2）4n+1﹣8 得T n =．所以，数列{a 2n b 2n ﹣1}的前n 项和为． 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．19．（14分）设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D （，0）． ∴|AD|=1﹣=．又∵△APD 的面积为，∴×=，整理得3m 2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±． ∴直线AP 的方程为3x+y ﹣3=0，或3x ﹣y ﹣3=0．【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20．（14分）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f （x ）=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x+a 在区间（1，2）内有一个零点x 0，g （x ）为f （x ）的导函数．（Ⅰ）求g （x ）的单调区间；（Ⅱ）设m ∈[1，x 0）∪（x 0，2]，函数h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ），求证：h （m ）h （x 0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且∈[1，x 0）∪（x 0，2]，满足|﹣x 0|≥．【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g （x ）=f′（x ）=8x 3+9x 2﹣6x ﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ），推出h （m ）=g （m ）（m ﹣x 0）﹣f （m ），令函数H 1（x ）=g （x ）（x ﹣x 0）﹣f （x ），求出导函数H′1（x ）利用（Ⅰ）知，推出h （m ）h （x 0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p ，q ，且，令m=，函数h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ）．由（Ⅱ）知，当m ∈[1，x 0）时，当m ∈（x 0，2]时，通过h （x ）的零点．转化推出|﹣x 0|=≥=．推出|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|≥1．然后推出结果．【解答】（Ⅰ）解：由f （x ）=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x+a ，可得g （x ）=f′（x ）=8x 3+9x 2﹣6x ﹣6，进而可得g′（x ）=24x 2+18x ﹣6．令g′（x ）=0，解得x=﹣1，或x=． 当x 变化时，g′（x ），g （x ）的变化情况如下表： ，（所以，g （x ）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ），得h （m ）=g （m ）（m ﹣x 0）﹣f （m ），h （x 0）=g （x 0）（m ﹣x 0）﹣f （m ）．令函数H 1（x ）=g （x ）（x ﹣x 0）﹣f （x ），则H′1（x ）=g′（x ）（x ﹣x 0）． 由（Ⅰ）知，当x ∈[1，2]时，g′（x ）＞0，故当x ∈[1，x 0）时，H′1（x ）＜0，H 1（x ）单调递减；当x ∈（x 0，2]时，H′1（x ）＞0，H 1（x ）单调递增．因此，当x ∈[1，x 0）∪（x 0，2]时，H 1（x ）＞H 1（x 0）=﹣f （x 0）=0，可得H 1（m ）＞0即h （m ）＞0，令函数H 2（x ）=g （x 0）（x ﹣x 0）﹣f （x ），则H′2（x ）=g （x 0）﹣g （x ）．由（Ⅰ）知，g （x ）在[1，2]上单调递增，故当x ∈[1，x 0）时，H′2（x ）＞0，H 2（x ）单调递增；当x ∈（x 0，2]时，H′2（x ）＜0，H 2（x ）单调递减．因此，当x ∈[1，x 0）∪（x 0，2]时，H 2（x ）＞H 2（x 0）=0，可得得H 2（m ）＜0即h （x 0）＜0，．所以，h （m ）h （x 0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p ，q ，且， 令m=，函数h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ）．由（Ⅱ）知，当m ∈[1，x 0）时，h （x ）在区间（m ，x 0）内有零点； 当m ∈（x 0，2]时，h （x ）在区间（x 0，m ）内有零点．所以h （x ）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x 1，则h （x 1）=g （x 1）（﹣x 0）﹣f （）=0．由（Ⅰ）知g （x ）在[1，2]上单调递增，故0＜g （1）＜g （x 1）＜g （2），于是|﹣x 0|=≥=． 因为当x ∈[1，2]时，g （x ）＞0，故f （x ）在[1，2]上单调递增，所以f （x ）在区间[1，2]上除x 0外没有其他的零点，而≠x 0，故f （）≠0． 又因为p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|是正整数， 从而|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|≥1．所以|﹣x 0|≥．所以，只要取A=g （2），就有|﹣x 0|≥．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．。
2017年天津卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷共20题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1C．D．33．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0B．1C．2D．34．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=16．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g （3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣2，]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学(参考答案)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：B．2．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．3．【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=≤3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，输出N=2，故选：C4．【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊂[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．5．【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e==，c=a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k==，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B．6．【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．7．【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．8．【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选：A．9．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．10．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．11．【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d==＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．12．【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．13．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．14．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．15．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．16．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=；随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×+×=；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．17．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=4．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4．18．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．19．【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为，∴×=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．20．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．，所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x ）在区间[1，2]上除x 0外没有其他的零点，而≠x 0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．11/ 11。