圆锥曲线经典总结

圆锥曲线必背口诀-椭圆一、椭圆定义定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ）椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ）定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-）二、椭圆的性质定理长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2e p ，切线方程用代替③焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解：1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+2准线方程：2a x c= （a 方除以c ）3椭圆的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =⋅⋅==）过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到.等效代替后的是切线方程是：0022x x y y1a b+=4焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半.则焦三角形的面积为设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=. 由余弦定理：222m n 2mn 4c cos θ+-⋅=22224a 4b m n 4b ()=-=+-即：22mn 2mn 4b cos θ-⋅=-，即：22b 1mn (cos )θ=+.即：2122b mn PF PF 1||||cos θ==+故：12F PF 1S m n 2sin θ=⋅⋅△2212b b 211sin sin cos cos θθθθ=⋅⋅=⋅++又：22221222sin cossin tan cos cosθθθθθθ==+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122F PF S b 2tan θ∆=. 三、椭圆的相关公式切线平分焦周角，称为弦切角定理①1F2FOx Pmn切点连线求方程，极线定理须牢记② 弦与中线斜率积，准线去除准焦距③ 细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④ 注解：1弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.2若000P x y (,)在椭圆2222x y 1a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线，切点为12P P ,，则点0P 和切点弦12P P ,分别称为椭圆的极点和极线.切点弦12P P 的直线方程即极线方程是0022x x y y 1ab+=（称为极线定理）3弦指椭圆内的一弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ∆得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c=-去除准焦距2bp c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a⋅==- 4中点弦AB的方程：在椭圆中，若弦AB的中点为00M x y(,)，弦AB称为中点弦，则中点弦的方程就是2200002222x x y y x ya b a b+=+，是直线方程.弦中点M的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点000P x y(,)的弦AB，其中点M的方程就是22002222x x y y x ya b a b+=+，仍为椭圆.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-双曲线一、双曲线定义二、双曲线的性质定理基本同椭圆，有所区别：实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2e p ，切线方程用代替③焦三角形计面积，半角余切连乘b ④ 注解：1实轴2a =，虚轴2b =，焦距2c =，则：222a b c +=2准线方程3双曲线的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =⋅⋅==）过双曲线上000P x y (,)点的切线方程，用000P x y (,)等效代替双曲线方程得到，等效代替后的是切线方程是：0022x x y y1a b-=4焦三角形：以双曲线的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF γ=∠的一半.双曲线2222x y 1a b-=的左右焦点分别为12F F ,，点P 为双曲线上异于顶点任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点三角形满足：2122b PF PF 1cos γ=- 其面积为；122F PF S b co 2t γ∆=.设21PF m PF n ,==，则m n 2a -=在12F PF ∆中，由余弦定理得：222121212PF PF 2PF PF F F cos γ+-=，即：222m n 2mn 4c cos γ+-⋅=22224a 4b m n 4b ()=+=-+ 即：2222m n 2mn m n 4b cos ()γ+-⋅=-+即：22mn 2mn 4b cos γ-⋅=，即：22b mn 1(cos )γ=- 即：22b mn 1cos γ=-，即：2122bPF PF 1cos γ=-那么，焦点三角形的面积为：12F PF 1S mn 2sin γ∆=⋅212b 21sin cos γγ=⋅⋅-2222b 22b 122sin cossin cos sinγγγγγ==⋅-2b 2cot γ= 故：122F PF S b 2cot γ∆= 同时：12F PF 12P P 1S F F y c y 2∆=⋅=⋅，故：2p b y c 2cot γ=±⋅ 双曲线的焦点三角形的面积为：122F PF S b co 2t γ∆=.三、双曲线的相关公式切线平分焦周角，称为弦切角定理① 切点连线求方程，极线定理须牢记② 弦与中线斜率积，准线去除准焦距③ 细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④ 注解：1弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线. 如图，12F PF ∆是焦点三角形，12F PF ∠为焦周角，PT 为双曲线的切线. 则PT 平分12F PF ∠.2若000P x y (,)在双曲线2222x y 1a b-=外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过0P 作双曲选的两条切线，切点为1P 、2P ，则点0P 和切点弦12P P 分别称为双曲线的极点和极线，切点弦12P P 的直线方程即极线方程是0022x x y y 1a b -=（称为极线定理）3弦指双曲线内的一弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ∆得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c =去除准焦距2b p c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a⋅== 4中点弦AB 的方程：在双曲线中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，称弦AB为中点弦，则中点弦的方程就是：2200002222x x y y x y aba b-=-，它是直线方程. 弦中点M 的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点000P x y (,)的弦AB ，其AB 中点M 的方程就是22002222x x y y x y a b a b-=-，仍为双曲线.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-抛物线一、抛物线定义抛物线，有定义，定点定线等距离12二、抛物线性质焦点准线极点线①，两臂点乘积不变② 焦弦切线成直角，切点就是两端点③ 端点投影在准线，连结焦点垂直线④ 焦弦垂直极焦线⑤，切线是角平分线⑥ 直角梯形对角线，交点就是本原点⑦ 焦弦三角计面积，半个p 方除正弦⑧ 注解：1抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.抛物线方程：2y 2px =，焦点(,)p F 02，准线p p x 2=-(抛物线的顶点(,)O 00到定点(,)pF 02和定直线p p x 2=-距离相等) 焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点A 和B ，则AB 称为焦弦. 弦中点(,)M M M x y ，A B M x x x 2+=，A B M y yy 2+= 焦弦方程：()p y k x 2=-，k 为斜率. 2焦点三角形两边OA 和OB 的点乘积为定值，且夹角是钝角. 证明：焦弦AB 满足的条件()2y 2pxp y k x 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩⇒ ()22p k x 2px 2-=⇒ ()22222k p k x k 2px 04-++=由韦达定理得：2A Bp x x 4=2A B py y 22p p 2==-=-⋅=-， 即：2A B p x x 4=，2A B y y p =- ①且：2A A B B A B A B 3OA OB x y x y x x y y p 04(,)(,)⋅=⋅=+=-<. 故：焦点三角形两边之点乘积为定值. 3即：焦弦两端点的切线互相垂直. 证明：如图，由抛物线方程：2y 2px = 得到导数：yy p '=，即：p y y'=故：AE A p k y =，BE Bp k y = 于是：2AE BEA B A Bp p p k k y y y y ⋅=⋅=将①式2A B y y p =-代入上式得：AE BE k k 1⋅=-即：AE BE ⊥，故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形. 4即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形. 证明：坐标B p C y 2(,)-,A p D y 2(,)-则：B CF p y (,)=-，A DF p y (,)=- 于是：2A B CF DF p y y ⋅=+将①式2A B y y p =-代入上式得：CF DF 0⋅= 故：CF DF ⊥即：焦弦端点A B ,在准线的投影点D C ,，则CF DF ⊥，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.5若焦弦AB 对应的极点E ，则EF 为极焦线，于是EF AB ⊥ 用向量方法可证.由于M 是AB 的中点，AEB ∆为直角三角形，计算可得E 是DC 的中点， 故：ED EF EC == 由向量法可证EF AB 0⋅=即：焦弦AB 与极焦线EF 互相垂直.6即：切线平分焦弦的倾角(或倾角的外角) 如图：因为ADE ∆和AFE ∆都是直角三角形， 且由定义知：AF AD =，AE AE = 故ADE AFE ∆∆≌，则对应角相等. 即：AE 是DAF ∠的角平分线 同理，BE 是CBF ∠的角平分线 7即：直角梯形ABCD 对角线相交于原点 即：A O C ,,三点共线；B O D ,,三点共线. 用向量法证明：OA CO //，OB DO //证明：坐标2A A y A y 2p (,)，2B B y B y 2p (,)，B p C y 2(,)-，A pD y 2(,)-向量：2A A y OA y 2p (,)=，B pCO y 2(,)=-各分量之比：2A2x A 2xy OA y 2p p p CO 2()()==，2y A AB A B y OA y y y y y CO ()()==--将①式2A B y y p =-代入上式得：22yA A2A B y OA y y y y pCO ()()==- 故：y x xyOA OA OACO CO CO()()()()==，即：OA CO // 同理：OB DO //.直角梯形ABCD 对角线相交于原点. 8即：焦弦三角形的面积为：sin 2AOBp S 2α∆= （α为焦弦的倾角）证明：AB AF BF =+A B A B p p x x x x p 22=+++=++M p2x 2()=+2EM = 如图：GF 2OF p ==则：2EF GF 1pEM sin sin sin sin αααα==⋅= 于是：22pAB sin α=故：AOB1S OF AB 2sin α∆=221p 2p p 222sin sin sin ααα=⋅⋅⋅=附：圆锥曲线必背----极坐标圆锥曲线的极坐标以准焦距p 和离心率e 来表示常量，以极径ρ和极角θ来表示变量.0ρ≥，[,)o 0360θ∈以焦点(,)F 0θ为极点(原点O )，以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线的实轴为极轴的建立极坐标系. 故准线是到极点距离为准焦距p 、且垂直于极轴的直线L .极坐标系与直角坐标系的换算关系是：ρ=，arctan y xθ= 或者：cos x ρθ=，sin y ρθ= 特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程.EG如图，O 为极点，L 为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之比为定值(定值e )的点的轨迹为圆锥曲线. 所以，对极坐标系，请记住：⑴ 极坐标系的极点O 是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点； ⑵ 曲线上的点(,)P ρθ到焦点F 的距离是ρ，到准线的距离是cos p ρθ+，根据定义：cos e p ρρθ=+即：cos ep e ρθρ+=，即：cos ep e ρρθ=-， 即：cos ep1e ρθ=- ①这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.⑶ 对应不同的e ，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是右边的一支； 对抛物线，开口向右.将极轴旋转o 180，α和θ分别对应变换前后的极角，即转角为o180θα=+，则极坐标方程变换前方程为：cos ep1e ρα=-变换后方程为： cos ep1e ρθ=+ ②此时的极坐标系下，此时有： ⑴ 极坐标系的极点O 是椭圆的右焦点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点；⑵ 对应不同的e ，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是左边的一支；对抛物线，开口向左.⑴将极轴顺时针旋转o 90，即：o90θα=+，则情况如图.圆锥曲线的方程为：sin ep1e ρθ=- ③ 此时的极坐标系下：对应于直角坐标系下，焦点在y 轴的情况，且极点O 对应于椭圆下方的焦点，双曲线上方的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴上边的一支；对抛物线，开口向上. ⑵如果将极轴逆时针旋转o 90，即：o 90θα=-，则情况如图. 圆锥曲线的方程为：sin ep1e ρα=+ ③此时的极坐标系下：对应于直角坐标系下，焦点在y 轴的情况，且对应于椭圆上方的焦点，双曲线下方的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴下边的一支；对抛物线，开口向下. ⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：=cos ep1e ρθ- ①即：cos e ep ρρθ-=，即：cos ep e ρρθ=+即：(cos )(cos )(cos )2222222ep e e p e 2e p ρρθρθρθ=+=++ ② 将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入②式得：2222222x y e p e x 2e px +=++即：()2222221e x 2e px y e p --+= ③ 当e 1≠时有：()[()]()()22222222222222e pe p e p 1e x 2x y e p 1e 1e 1e 1e--++=+---- 即：()()()222222222222e p e e p 1e x y e p 11e 1e 1e--+=+=--- 即：()()22222222222e px y 1e1e p e p1e 1e --+=-- ④⑴当e 1<时，令()22222e p a 1e =-，2222e p b 1e=-，22e p c 1e=-则：()222222222e p e p a b 1e 1e-=---[()]()()224222222e p e p 11e 1e 1e =--=--而：()()2422222222e p e p c a b 1e 1e ===--- 代入④式得：()2222x c y 1ab-+= ⑤这是标准的椭圆方程. ⑵当e 1>时，令()22222e p a e 1=-，2222e p b e 1=-，22e p c e 1=-则：()222222222e p e p a b e 1e 1+=+--[()]()()224222222e p e p 1e 1e 1e 1=+-=-- 而：()()2422222222e p e p c a b e 1e 1===+--代入④式得：()2222x c y 1ab+-= ⑥ 这是标准的双曲线方程.⑶当e 1=时，由③式()2222221e x 2e px y e p --+=得：222px y p -+= 即：()22p y 2px p 2p x 2=+=+ 即：()2p y 2p x 2=+ ⑦ 这是标准的抛物线方程.。