高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结

高考数学圆锥曲线重要结论

一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。

第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0

引申定义:⒈若一个圆C1内含于另一个圆C2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；

⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。

⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。（-1

例：过点（-8，0），（8，0）的两直线11，12的斜率之积为-3/8，求其交点的轨迹。

⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的m倍，该圆变成椭圆；

⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；

⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线，则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。

对应练习：⑴在椭圆上任一点M与焦点F1F2构成△MF1F2，I为该三角形的内心，连MI交长轴于N

点，则MI/IN的值为多少？

⑤若过点P作∠F1PF2的平分线交过点F1作其平分线的垂线于M,交PF2于N点,则有PF1=PN,所以有

⑶在椭圆上任一点P求:·的最大值(a2-c2),PF1×PF2的最大值a2,点P到对应顶点

的最短距离为a-c.

⑷若在椭圆内部有一点M，要求作一点P使该点到右焦点F的距离与到该定点的距离和最小。则应连接M与左焦点F'，由|MF'|+|MP|+|PF|≥|PF'|+|PF|=2a,当P,M,F'在同一条直线上时距离

最小.最小距离为2a-|MF'|.

二、⑴椭圆的标准方程：(略)

⑸P（x1，y1）为椭圆上任点则焦半径（椭圆上任一点与焦点之间的线段长）为：

|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex2；

⑺从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆反射后会经过另一个焦点。

(8)离心率的求解可根据具体情况对相关线段整体设置,也可以进行坐标设置.

对应小题题例:

⑴当m+n<0时,求椭圆离心率的取值范围;

⑵求证:直线AB与⊙P不相切.(09新乡一模21题) 解析:设点F,B,C的坐标分别为F(-c,0),B(0,b),C(1,0)

⑵证明:假设相切,则点B必为切点,而k AB=b,

⒊设F1,F2为椭圆上的两个焦点,椭圆上有一点P与这两个焦点的连线所成的角为90°,

A.1:5

B.1:3

C.1:2

D.1:1

⒋已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则离心率的取值范围

A. B.2 C. D.3 A

此类题的解题思路不外乎是依据第一或第二定义进行整体设置或根据参数方程进行坐标设置,本题就可以进行依据第一定义整体设置:过B作BB'⊥l,则BF:BB'=1:,又BF=AB/2, 故BB':AB=1:.∠ABB'=45°,又F到l的距离为1,所以AF=.此为法一;

法二:设l交x轴为D,则FD=1,FA=3FB,故点F的横坐标为4/3,则右求出其纵坐标为1/3,并可求出A的纵坐标为1,所以FA=.

A.[0,3]

B.[2,3)

C.[0,2)

D.[0,4]

⒏已知A(2cosα,sinα),B(2cosβ,sinβ),C(-1,0)是平面上三个不同的点,且满足

⒐满足条件+=6的动点轨迹为C,若曲线C上三点到点(0,4)

解析:由题中条件知曲线C为一条在(-3,0)到(3,0)的线段,此等比数列的三

项的最短与最长分别为4和5,而其比为公比q的平方.

A.c

B.b C .a D.不确定C(10年湖北八校联考)

如图,由已知,Rt△OAM∽Rt△OFB,OA:OB=OM:OF→OB·OM=OA·OF=a2,故ON=a.

11.已知F是橢圓C 的一個焦點, B是短軸的一個端點,線段BF 的延長線交C於點D.

析:法一,依題意知點D 坐標為,由點D在曲線上,故滿足

法二：过点B及点D分别向其准线作垂线，垂足为B'，D'依题意得：

例⒈已知椭圆的两个焦点分别为F1（0。-1），F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线，

⑴求椭圆的方程；⑵若点P在椭圆上，设| |-||=m（m≥1），试用m表示·；

解：（本题第一问主要是考查椭圆的几个参量之间的关系，第二问主要考查椭圆的基本定义及向量介入的有关运算；第三问主要考查平面几何的有关知识如三角形任意两边之差小于第三边，但在

椭圆中若是椭圆上任意一点与两个焦点之间的连线所构成的三角形则是这点与两焦点连线所在的

边之差小于等于第三边，同时也考查了相关函数的单调性。）

即m≤2，所以m∈[1，2]

过椭圆的右焦点F（c，0）（c>b）作垂直于x轴的直线炮大圆于第一象限办点A，

OA交小圆于点B,设直线BF是小圆的切线。

⑴证明：c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；

解：⑴由题设条件知：Rt△OFA∽Rt△OBF

∴直线BF与y轴的交点. ∴直线BF与y轴交点为（0，a）点为M（0,a）→（b2+a2k2）x2 +2a3kx+a4-a2b2=0 ④

由③消去x整理得：（b2+a2k2）y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0 ⑤

注意到：a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2

例⒊已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1,且过右焦点F交椭圆于A,B两点，+ 与=（3，-1)共线。