圆锥曲线经典性质总结及证明!!!
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
圆锥曲线中常用结论和性质
焦点弦长公式：过焦点弦长121222p p PQ x x x x p =+++=++ 抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2οοy py 或2(2,2)P pt pt 或P οοοοpx y y x 2),(2=其中已知抛物线，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，直线的倾斜角为，求证：。
直线与抛物线的位置关系把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组。
（1）方程组有一组解直线与抛物线相交或相切（一个公共点）；（2）方程组有二组解直线与抛物线相交（2个公共点）（3）方程组无解直线与抛物线相离。
直线与抛物线相交形成的弦的有关问题。
设线段AB 为抛物线的弦，A 、B 的坐标为、，直线AB 的斜率为k ，弦AB 的中点为M ，则（1）（2）直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点。
求证：，2214p x x =A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB 经过一个定点(3)作OM AB 于M ，求点M 的轨迹方程 双曲线设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积。
焦点三角形12PF F △的面积：122cot 2PF F S b θ=⋅△（12F PF θ∠=，b 为虚半轴长）1.与22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程22ax －22y b λ=（0λ≠）． 2.与22221x y a b-=有相同焦点的双曲线方程22x a k -－221y b k =+（2k a <且2k b ≠-） 把直线的方程和双曲线的方程联立起来得到一个方程组。
（4）方程组有一组解直线与双曲线相交或相切（一个公共点）；（5）方程组有二组解直线与抛物线相交（2个公共点，一支或两支）（6）方程组无解直线与抛物线相离。
圆锥曲线知识要点及结论个人总结
《圆锥曲线》知识要点及重要结论一、椭圆1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离的和等于常数)2(221F F a a >的点P 的轨迹叫做椭圆.若212F F a =，点P 的轨迹是线段21F F .若2120F F a <<，点P 不存在.2 标准方程 )0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0(12222>>=+b a bx a y ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222c b a +=. 3 几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心. 椭圆的顶点有四个，长轴长为a 2，短轴长为b 2，椭圆的焦点在长轴上.若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则b y b a x a ≤≤-≤≤-,；若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，则a y a b x b ≤≤-≤≤-,.二、双曲线1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离之差的绝对值等于常数)20(221F F a a <<的点的轨迹叫做双曲线. 若212F F a =，点P 的轨迹是两条射线.若212F F a >，点P 不存在.2 标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0,0(12222>>=-b a by a x ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222b a c +=. 3 几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个21,A A ，实轴长为a 2，虚轴长为b 2，双曲线的焦点在实轴上.若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，则R y a x a x ∈≥-≤,或；若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a bx a y ，则R x a y a y ∈≥-≤,或.4 渐近线双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 有两条渐近线x a b y =和x a by -=.即02222=-b y a x双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 有两条渐近线x b a y =和x bay -=.即02222=-b x a y双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线.与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 共渐进线的双曲线可表示为)0(2222≠=-λλby a x .直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数0≠”和“0>∆”同时成立.5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的标准方程为)0(12222>=-a a y a x 或)0(12222>=-a ax a y .等轴双曲线的渐近线方程为x y ±=.6 共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.如：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的共轭双曲线为)0,0(12222>>=-b a ax b y ，它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心，22b a +为半径的圆上.且它们的渐近线都是x a b y =和x ab y -=. 三、抛物线1 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线F l (不在l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.2 标准方程(1) )0(22>=p px y ，焦点为)0,2(p ，准线方程为2px -=，抛物线张口向右.(2) )0(22>-=p px y ，焦点为)0,2(p -，准线方程为2p x =，抛物线张口向左.(3) )0(22>=p py x ，焦点为)2,0(p ，准线方程为2p y -=，抛物线张口向上.(4) )0(22>-=p py x ，焦点为)2,0(p -，准线方程为2p y =，抛物线张口向下.其中p 表示焦点到准线的距离.3 几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为)0(22>=p px y 或)0(22>-=p px y ，则对称轴是x 轴，若方程为)0(22>=p py x 或)0(22>-=p py x ，则对称轴是y 轴. 若抛物线方程为)0(22>=p px y ，则R y x ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p px y ，则R y x ∈≤,0. 若抛物线方程为)0(22>=p py x ，则R x y ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则R x y ∈≤,0.圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】1 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为椭圆上一点，则)1()()(2222020201ax b c x y c x PF -++=++=a a cx a a cx a cx ax c +=+=++=020202202)(2 因为a x a ≤≤-0，c a a acxc a c a cx c +≤+≤-<≤≤-000,， 所以a a cx PF +=01. 同理，acxa PF a PF 0122-=-=. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为双曲线上一点，则a a cx PF +=01，a acxPF -=02. 2 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为椭圆上一点，若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为2tan cos 1sin 22αααb b =+. 解：根据椭圆的定义可得a PF PF 221=+ ① 由余弦定理可得αcos 242122212212PF PF PF PF F F c -+== ②由①②得)cos 1(2442122α+=-PF PF c a .从而αcos 12221+=b PF PF 所以，21F PF ∆的面积为2tan cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =+=双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为其上一点，若α=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为2cot cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =-=. 3 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PN PM ,的斜率都存在，并记为PN PM k k ,时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值.解：设),(),,(1100y x M y x P ，则),(11y x N --.01010101,x x y y k x x y y k PN PM----=--=，从而2120212001010101x x y y x x y y x x y y k k PN PM --=----⋅--=⋅. 又因为),(),,(1100y x M y x P 都在椭圆上，故1,1221221220220=+=+by a x b y a x .两式相减得，022********=-+-b y y a x x ，因而2221202120ab x x y y -=--即22a b k k PN PM -=⋅.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x .N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PN PM ,的斜率都存在，并记为PN PM k k ,时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值.【常用方法】1 在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法.2本章经常会碰到直线l 与圆锥曲线C 相交于两点的问题，若已知l 过定点),(00y x P ，则可设l 的方程为0x x =或)(00x x k y y -=-.然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线C 的方程中，整理得到关于x 或y 的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到！若l 的条件不明显时，则可设l 的方程为m x =或m kx y +=.3 本章还经常用到“点差法”：设直线l 与圆锥曲线C 交于点),(),,(2211y x B y x A ,则B A ,两点坐标都满足曲线C 的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线AB 的斜率1212x x y y --的表达式，也经常会出现2121,y y x x ++，这样又可以与线段AB 的中点),(00y x P 联系起来！4 若三点),(),,(),,(002211y x P y x B y x A 满足以线段AB 为直径的圆经过点P 或BP AP ⊥时，常用处理方法有：①根据勾股定理可得222PB PA AB +=；②根据AP 的斜率与BP 的斜率之积为1-，可得120201010-=--⋅--x x y y x x y y ； ③根据),(),,(,002020101y y x x PB y y x x PA PB PA --=--==⋅可得0))(())((02010201=--+--y y y y x x x x .5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.1 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是sin y b θ⎧⎨=⎩.离心率c e a ==，△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.线到中心的距离为2a c，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =。
高中圆锥曲线性质总结全面经典
高中圆锥曲线性质总结全面经典
一、椭圆的性质
* 椭圆是固定点到平面上所有点的距离之和等于常数的轨迹。
* 椭圆具有两个焦点和长轴、短轴。
焦距定理：椭圆上任意一
点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。
* 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆越圆。
二、双曲线的性质
* 双曲线是固定点到平面上所有点的距离之差等于常数的轨迹。
* 双曲线具有两个焦点和两个虚焦点。
焦距定理：双曲线上任
意一点到两个焦点的距离之差等于常数的绝对值。
* 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，双曲线越扁。
三、抛物线的性质
* 抛物线是固定点到平面上所有点的距离等于常数的轨迹。
* 抛物线具有一个焦点和一个直线称为准线。
焦点到准线的距
离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。
* 抛物线的离心率等于1，且离心率为1的抛物线为特殊情况。
四、圆形的性质
* 圆是平面上所有距离中心点相等的点的集合。
* 圆的半径是由圆心到圆上任意一点的距离。
* 圆上的弧度是由半径对应的圆心角所确定，弧度等于圆心角
的度数除以360度再乘以2π。
以上是高中圆锥曲线的性质总结。
希望对你有帮助！。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是数学中的一类重要曲线，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
由于其独特的性质和广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
本文将对圆锥曲线的基本概念、性质和常见类型进行总结和归纳。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和一个固定点（焦点F）以及一个固定直线（准线L）共同确定的曲线。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、抛物线和双曲线三类。
1. 椭圆：椭圆是焦点到准线的距离之和恒定于两倍焦半径的轨迹。
椭圆具有对称性，焦点位于椭圆的两个焦点之间。
2. 抛物线：抛物线是焦点到准线的距离等于焦半径的轨迹。
抛物线具有对称轴，焦点位于抛物线的焦点上方或下方。
3. 双曲线：双曲线是焦点到准线的距离之差恒定于两倍焦半径的轨迹。
双曲线也具有对称性，焦点位于双曲线的两个焦点之间。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有一系列重要的性质，为研究和应用圆锥曲线提供了基础。
1. 对称性：椭圆和双曲线具有两个关于准线和两个焦点的对称轴，抛物线具有一个关于准线的对称轴。
2. 焦距和半焦距：焦距是焦点到对称轴的距离，半焦距是焦距的一半。
焦距对于不同类型的圆锥曲线有不同的计算方法，但都是相对于准线和对称轴计算的。
3. 焦半径：焦半径是焦点到曲线上点的距离，焦半径对于同一曲线上不同点的值是相等的。
4. 离心率：离心率是焦半径与半焦距的比值，用e表示。
对于椭圆，离心率范围在0和1之间；对于抛物线，离心率等于1；对于双曲线，离心率大于1。
5. 焦点和准线的关系：焦点和准线的位置关系决定了曲线的类型。
当焦点在准线上时，曲线是抛物线；当焦点在准线之上时，曲线是椭圆；当焦点在准线之下时，曲线是双曲线。
三、常见类型的圆锥曲线。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论一、椭圆1.点 P 处的切线 PT平分△ PF1F2 在点 P 处的外角 . （椭圆的光学性质）2.PT 平分△ PF1F2 在点 P处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . （中位线）3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 . 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . （第二定义）4.若 P0 ( x0,y0 )x2y21x0 x y0 y1.（求在椭圆b2上，则过 P0的椭圆的切线方程是b2a2a2导）5.若 P0 ( x0,y0 )x2y21外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点在椭圆b2a2弦 P1P2 的直线方程是x0x y0 y 1. （结合 4）a2b26.椭圆 x2y2 1 (a ＞ b ＞ 0) 的左右焦点分别为F1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上任意一点a2b2F1 PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2b2 tan . （余弦定理 +面积公式 +2半角公式）7.x2y21（ a＞ b＞ 0）的焦半径公式：椭圆2 b2a|MF1| a ex0 , | MF2 | a ex0 (F1 ( c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ). （第二定义）8.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、 Q两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M、 N两点，则M F⊥ NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、 A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q交于点 N，则 MF⊥ NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第 8 条，证毕10. AB 是椭圆x2 y21 的不平行于对称轴的弦， M(x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则a2 b2k OM k ABb2a2 ，即K AB b2x0 。
圆锥曲线经典性质总结及证明
③当 2a | F1F2 | 时，|| PF1 | | PF2 || 2a 不表示任何图形；④两定点 F1, F2 叫做双曲线的焦点，| F1F2 | 叫做焦距。
（2）双曲线的性质
①范围：从标准方程 x 2 a2
y2 b2
1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 x a 的外侧。即 x2
圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a （大于| F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两
个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有| MF1 | | MF2 | 2a 。
椭圆的标准方程为： x2 a2
y
b 所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以 y 代替 y 方程不变，所以若点 (x, y) 在曲线上时，点 (x, y) 也在曲线上，所
以曲线关于 x 轴对称，同理，以 x 代替 x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。若同时以 x 代替 x ， y 代替 y 方程
也不变，则曲线关于原点对称。
y2 b2
1（
a
b
0
）（焦点在
x
轴上）或
y a
2 2
x2 b2
1（ a b 0 ）（焦点在 y 轴上）。
注：①以上方程中 a, b 的大小 a b 0 ，其中 b2 a2 c2 ；
②在 x2 a2
y2 b2
1和
y2 a2
x2 b2
1两个方程中都有 a b 0 的条件，要分清焦点的位置，只要看 x2 和
点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 f(x0,y0)≠0。
圆锥曲线总结
圆锥曲线总结圆锥曲线是数学中的重要概念，它们在几何学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的定义、性质以及具体的类型进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和应用圆锥曲线。
一、圆锥曲线的定义和性质圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和到该点距离与到一条固定直线（直枝）的距离成比例的点的集合。
根据焦点和直枝的相对位置，可以将圆锥曲线分为三类：椭圆、抛物线和双曲线。
椭圆是焦点在直枝上的圆锥曲线。
它的特点是所有点到焦点和直枝的距离之和等于一个常数。
这个常数被称为椭圆的离心率，离心率小于1时，椭圆是闭合的，离心率等于1时，椭圆是一个圆。
抛物线是焦点在直枝上方或下方的圆锥曲线。
它的特点是所有点到焦点和直线的距离之差等于一个常数。
抛物线具有对称性，焦点和顶点之间的距离等于顶点到直线的距离。
双曲线是焦点在直枝的两侧的圆锥曲线。
它的特点是所有点到焦点和直枝的距离之差绝对值等于一个常数。
双曲线具有两个分支，分别向外延伸并无限趋近于两个渐近线。
除了这些基本性质之外，圆锥曲线还有许多重要的特点。
例如，椭圆和双曲线都被称为轴对称曲线，因为它们关于某个轴对称；而抛物线则被称为对称曲线，因为它关于焦点所在的直线对称。
二、具体类型的圆锥曲线1. 椭圆椭圆是一个常见的圆锥曲线。
它在几何学中有许多重要应用，例如描述行星的轨道、研究天文学中的天体运动等。
此外，椭圆还在物理学中有着广泛的应用，例如电子绕核的运动轨迹就是一个简单的椭圆。
2. 抛物线抛物线是另一个常见的圆锥曲线。
它的形状像一个开口向上或向下的弧线，它具有焦点和顶点，且具有对称性质。
抛物线在物理学中有广泛的应用，例如抛物面反射器的设计和抛物面反射式天线等。
3. 双曲线双曲线是一种对称性较强的圆锥曲线。
由于它的形状特点，双曲线广泛应用于物理学、工程学和天文学等领域。
例如，在天体力学中，双曲线被用来描述两个物体之间的引力作用；在光学中，双曲线被用来描述光线的折射和反射等。
高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
一、圆锥曲线的标准方程
圆锥曲线的标准方程为：
$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a与b分别是椭圆的两个半径，且ab，a与b是正实数。
二、圆锥曲线的性质
1. 圆锥曲线的概念
圆锥曲线是由两个椭圆及其余部分所构成的四边形的边界线，是圆锥曲线的概念。
2. 圆锥曲线的对称性
由于圆锥曲线是由两个椭圆所构成，因此它具有x轴对称性和y 轴对称性，即曲线的俩边彼此对称。
3. 圆锥曲线的四个焦点
圆锥曲线的四个焦点分别位于椭圆的两个长轴端点，称为四个焦点。
4. 圆锥曲线的两个长轴
圆锥曲线的两个长轴是两个椭圆的长轴，它们的长度分别是a和b，两轴相交处的位置是圆锥曲线的中心点。
5. 圆锥曲线的弧长
圆锥曲线的弧长为：
$$mathcal{L}=2aarcsinfrac{b}{a}$$
其中，a与b是椭圆的两个半径，且ab。
6. 圆锥曲线的曲率
圆锥曲线的曲率为：
$$K=frac{a}{b}$$
其中，a与b是椭圆的两个半径，且ab。
圆锥曲线知识要点及重要结论
圆锥曲线知识要点及重要结论圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种特殊的曲线形状。
本文将介绍圆锥曲线的基本定义、性质和重要结论，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个可移动的点P和两个固定点F1、F2组成的。
对于椭圆和双曲线而言，这两个固定点称为焦点，而抛物线只有一个焦点。
圆锥线还有一个固定的直线L，称为准线，通过焦点F1、F2的垂线交于准线上的点称为顶点。
圆锥曲线的定义可以用以下公式表示：椭圆：PF1 + PF2 = 2a，其中a为椭圆的大半轴长度；双曲线：|PF1 - PF2| = 2a，其中a为双曲线的距离焦点到准线的距离；抛物线：PF = PL，其中P为抛物线上任意一点，F为焦点，L为准线。
2. 圆锥曲线的性质2.1 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 所有椭圆上的点到焦点的距离之和等于常数2a，其中a为椭圆的大半轴长度；- 椭圆的长轴是焦点的连线，短轴是准线的连线；- 椭圆是一个封闭曲线，对称于长轴和短轴。
2.2 双曲线双曲线是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 所有双曲线上的点到焦点的距离之差的绝对值等于常数2a，其中a为焦点到准线距离的一半；- 双曲线的两支分别相交于点F1、F2，这两个点称为焦点；- 双曲线是一个非封闭曲线，它与准线之间没有交点。
2.3 抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离；- 抛物线是一个非封闭曲线，它与准线相切于顶点。
3. 圆锥曲线的重要结论3.1 椭圆的离心率椭圆的离心率是用来衡量椭圆形状扁度的指标，其定义为离心距与长轴长度的比值。
离心率的取值范围为0到1，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆，而当离心率为1时，椭圆变成了一个线段。
3.2 双曲线的离心率双曲线的离心率也是衡量其形状的指标，其定义为离心距与焦点距离之差的比值。
离心率的取值范围大于1，当离心率趋近于无穷大时，双曲线的形状趋近于两个平行线。
圆锥曲线常用42条性质的详细证明
一、抛物线的焦点弦的点的坐标的性质若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-．两种证法比较：证法一：斜率设法（()2py k x =-）需要讨论，比较复杂；证法二：斜率倒数（=2px y λ+）设法比较简单．证法一：因为焦点坐标为F(2p,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2py k x =-，显然0k ≠．由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得: 2220ky py kp --=，（这种设法下，要注意把22y x p=代入直线，这样消元比较简单，可以叫做以曲代直，即把曲线代入直线）∴212y y p =-，2242121222244y y p p x x p p p =⋅==． 当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2px =，则1y p =，2y p =-，∴212y y p =-，同上也有：2124p x x =．证法二：因为焦点坐标为F(2p,0),当AB 平行于x 轴时，不合题意，所以可设直线AB 的方程为： =2p x y λ+， 联立22(0)y px p =>得：22()2py p y λ=+， 即2220y p y p λ--=，∴212y y p =-，2242121222244y y p p x x p p p =⋅==． 二、抛物线焦点弦长公式若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）．证法一：设直线的点斜式，要讨论（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2py k x =-由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得:,2220ky py kp --=∴122py y k+=，212y y p =-， ∴12211AB y y k =+-222222(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα++===．易验证，结论对斜率不存在时也成立．注意：AB 为通径时，90α=，2sin α的值最大，AB 最小．证法二：设直线的参数方程因为焦点坐标为F(2p ,0),所以可设直线AB 的参数方程为： cos 2sin p x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩， 代入22(0)y px p =>，得2(sin )2(cos )2pt p t αα=+，2212122211211()41p k y y y y k k k+=++-=+即222(sin )(2cos )0t p t p αα--=，222224cos 4sin 4p p p αα∆=+=， 所以222cos 2(cos 1)2sin sin p p p t αααα±±==， 所以222(cos 1)(cos 1)2||sin sin sin p p pAB ααααα+-=-=．证法三：利用抛物线的定义，仍然用证法一的设法，没有斜率要单独说明222222222122121221222222()24(2)042||222221122(1)2(1)tan sin p k x px pxk p k x k p p x k p px x k p pAB x x x x p k p p px x p p p k k pp p k αα-+=⇒-++=+⇒+=∴=+++=++=+++=+=+=+=+=三、抛物线焦半径长的倒数和是定值直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值．证法一：先利用定义设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB p -，且由结论一知：2124p x x =．则：212121211()()()2224AF BF AB AB p pp pAFBFAF BFx x x x x x ++===⋅+++++=222()2424ABAB p p p pAB AB p ==⨯+-+（常数）证法二：利用直线参数方程因为焦点坐标为F(2p ,0),所以可设直线AB 的参数方程为： cos 2sin p x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩， 代入22(0)y px p =>，得2(sin )2(cos )2pt p t αα=+，即222(sin )(2cos )0t p t p αα--=，222224cos 4sin 4p p p αα∆=+=， 所以222cos 2(cos 1)2sin sin p p p t αααα±±==， 所以1222111111(cos 1)(cos 1)sin sin p p AF BF t t αααα+=-=-+-22sin 22cos 1p pαα-==-．本题有几何解释，读者思考（提示：用比例线段）四、原点(0,0)O 处的三点共线过(,0)2pF 任作直线交抛物线22(0)y px p =>于A B 、，过A B 、分别作准线2px =-的垂线，垂足为11A B 、，O 为坐标原点，则1A O B 、、三点共线，1A O B 、、三点共线．2sin 11()cos 1cos 1p ααα=-+-证法一：(几何法)连结1AB 交x 轴于1O 点，由已知11AA FK BB ∥∥，由抛物线定义11,,AA AF BB BF ==于是11111111O F BB B K O K O KBF FA BA BA B A AA FA=====，所以11O F O K =，即1O 为KF 的中点，即O 与1O 重合.所以1A O B 、、三点共线，同理可证1A O B 、、三点共线．证法二：(代数法)设直线AB 的方程为 2p x y λ=+， 联立22y px =得2220y p y p λ--=，显然0∆>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212y y p =-，又12(,)2pB y -， 所以1112,OA y pk x y ==1212,2OB y p k p y ==-所以1OA OB k k =， 所以1A O B 、、三点共线， 同理可证1A O B 、、三点共线． 五、点(,0)2p K -处的角平分线：过(,0)2pF 任作直线交抛物线22(0)y px p =>于,A B ，点(,0)2p K -为定点， 则AKF BKF ∠=∠．证法一：(几何法) 过A B 、分别作准线2px =-的垂线， 垂足为11A B 、， 延长1BB 交AK 的延长线于2B ， 由11AA FK BB ∥∥及11,,AA AF BB BF == 得：11121211BB B K B B B B BF AF FA KA AA AF====， 所以112BB B B =，又12B K BB ⊥， 所以211B KB BKB ∠=∠ 又2190,B KB AKF ∠+∠=190,BKB BKF ∠+∠=所以AKF BKF ∠=∠．证法二：(代数法)设AB 的方程为：2p x y λ=+，联立22y px =得2220y p y p λ--=，显然0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则212y y p =-，又(,0)2p K -，所以12122212121222221222222222KA KB y y y y k k pp y y p p x x p p py py y p y p +=+=+++++=+++122211221222py py y y y y y y =+--1221220p py y y y =+=--，所以KA KB k k =-，所以KA KB 、的倾斜角互补，所以AKF BKF ∠=∠．六、点(,0)2pF 处的垂线：过(,0)2pF 任作直线交抛物线22(0)y px p =>于A B 、，过A B 、分别作准线2px =-的垂线，垂足为11A B 、，则11A F B F ⊥．证法一：(代数法)设AB 的方程为：2p x y λ=+，联立22y px =得2220y p y p λ--=， 显然0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则212y y p =-，（一）双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长证法一（坐标法）：设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>焦点为(,0)F c ，一条渐近线为:bl y x a=即0bx ay -=， (,0)F c 到l 的距离为22.bcd b ca b ===+证法二（几何法）：过实轴端点A 作实轴垂线AD 交渐近线于点D ， 则bDA a b a=⨯=，又22OD a b c OF =+==， 所以(,0)F c 到l 的距离FH DA b ==。
圆锥曲线几何性质总结归纳
圆锥曲线的几何性质一、椭圆的几何性质（以22a x +22by =1（a ﹥b ﹥0）为例）1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=⎫⎪⇒+++=⎬+=⎪⎭即24ABF C a =2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2tan2θ∙b（2）（S ⊿PF1F2）max = bc（3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在12AF F 中∵ 22212124cos 2PF PF c PF PF θ+-=⋅∴ ()2121212c o s 2P F P F P F P F P Fθ⋅=+-⋅∴ 21221cos b PF PF θ⋅=+∴ 1222112sin cos tan 21cos 2PF F b S b θθθθ-=⨯⋅=⋅+ （2）（S ⊿PF1F2）max =max 122c h bc ⨯⨯= （3 ()()()2222222212002222222120004444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+ 当0x =0时 cos θ有最小值2222a c a- 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M ， 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2xx证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OM 由已知有 1P F F P = M 为1F F 中点 ∴ 212O M F F ==()1212PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 222x y a +=4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切证明：取1PF 的中点M ，连接OM 。
令圆M 的直径1PF ，半径为∵ OM =()2111112222PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M 与圆O 内切∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ，连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣：∣IP ∣=e证明：证明：连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵1212121222F R F R F R F R I R ce P I P F P F P F P F a +=====+ ∴IRPI= e6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。
圆锥曲线100结论及证明
圆锥曲线100结论及证明圆锥曲线是平面上的一类曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
我将从这四种圆锥曲线的性质、方程、图像和性质等多个角度来回答你的问题。
首先，我们来看圆。
圆是一种特殊的圆锥曲线，它的定义是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆的方程是(x h)² + (y k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
圆的图像是一个闭合的曲线，具有对称性，且任意点到圆心的距离都相等。
接下来是椭圆。
椭圆是圆锥曲线中的一种，它的定义是平面上到两个定点的距离之和等于常数的所有点的集合。
椭圆的方程是(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a 和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
椭圆的图像是一个闭合的曲线，具有对称性，且长轴和短轴之间的关系可以决定椭圆的形状。
然后是双曲线。
双曲线是圆锥曲线中的一种，它的定义是平面上到两个定点的距离之差等于常数的所有点的集合。
双曲线有两种形式，一种是横轴方向开口的双曲线，另一种是纵轴方向开口的双曲线。
横轴方向开口的双曲线的方程是(x h)²/a² (y k)²/b² = 1，纵轴方向开口的双曲线的方程是(y k)²/a² (x h)²/b² = 1。
双曲线的图像是两支无限延伸的曲线，具有对称性，且与直线的渐近线有关。
最后是抛物线。
抛物线是圆锥曲线中的一种，它的定义是平面上到定点距离与到定直线距离相等的所有点的集合。
抛物线的方程有两种形式，一种是以顶点为对称中心的标准方程y² = 2px，另一种是以焦点为对称中心的标准方程x² = 2py。
抛物线的图像是一个开口朝上或朝下的曲线，具有对称性，且焦点和直线之间的距离关系决定了抛物线的形状。
在证明圆锥曲线的性质时，需要运用数学分析、几何推理和代数方程等知识。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中的重要内容，由平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到。
在高中数学课程中，学习圆锥曲线是必不可少的。
本文将对圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用进行总结。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线就是平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到的曲线，在平面上的图像可以呈现出不同的形状。
二、圆锥曲线的基本方程1. 双曲线：双曲线的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
2. 椭圆：椭圆的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
3. 抛物线：抛物线的基本方程为：$y^2=2px$。
其中，p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质1. 双曲线的性质：双曲线的两个分支镜像对称于原点，焦点到曲线的距离之差为常数。
双曲线还具有渐近线，即曲线趋近于两根直线。
2. 椭圆的性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且焦点到任意点的距离之和为常数。
此外，椭圆也具有主轴、短轴和焦距等重要概念。
3. 抛物线的性质：抛物线的焦点位于抛物线的顶点上，且焦点到抛物线上任意点的距离等于焦点到该点的法线距离。
四、圆锥曲线的应用1. 双曲线的应用：双曲线在电磁学中有广泛的应用，例如电磁波的传播、天线的辐射以及电磁场分布等方面。
2. 椭圆的应用：椭圆在力学、天文学和导航等领域有着重要的应用。
例如椭圆轨道运动的物体、天体运动规律的研究以及导航系统中的卫星轨道等。
3. 抛物线的应用：抛物线在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如自由落体运动、射击运动以及卫星的发射轨道等。
综上所述，圆锥曲线是解析几何中的重要内容，通过本文的总结，我们了解了圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用。
在学习过程中，我们需要深入理解每个曲线的特点和应用领域，为解决实际问题提供有力的数学工具。
希望本文对你对圆锥曲线的学习有所帮助。
圆锥曲线结论大全及证明过程
圆锥曲线结论大全及证明过程一、椭圆。
1. 椭圆的定义及标准方程。
- 定义：平面内与两个定点F_1,F_2的距离之和等于常数（大于F_1F_2）的点的轨迹叫做椭圆。
其中两定点F_1,F_2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离F_1F_2叫做椭圆的焦距。
- 标准方程：- 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其中a为长半轴长，b为短半轴长，c=√(a^2)-b^{2}为半焦距，焦点坐标为(± c,0)。
- 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2}=1(a > b>0)，焦点坐标为(0,± c)。
- 证明（以焦点在x轴上为例）：- 设M(x,y)为椭圆上任意一点，F_1(-c,0)，F_2(c,0)，根据椭圆定义| MF_1|+| MF_2| = 2a。
- 由两点间距离公式| MF_1|=√((x + c)^2)+y^{2}，| MF_2|=√((x -c)^2)+y^{2}。
- 则√((x + c)^2)+y^{2}+√((x - c)^2)+y^{2}=2a。
- 移项√((x + c)^2)+y^{2}=2a-√((x - c)^2)+y^{2}。
- 两边平方(x + c)^2+y^2=4a^2-4a√((x - c)^2)+y^{2}+(x - c)^2+y^2。
- 化简得a^2-cx=a√((x - c)^2)+y^{2}。
- 再平方a^4-2a^2cx + c^2x^2=a^2(x^2-2cx + c^2+y^2)。
- 整理得(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)。
- 令b^2=a^2-c^2，则frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1。
2. 椭圆的一些重要结论。
- 焦半径公式：- 对于椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，设P(x_0,y_0)为椭圆上一点，F_1,F_2为焦点。
圆锥曲线常见结论及证明
圆锥曲线的常见结论本章我们将给出圆锥曲线的一些常见结论,在实际解题过程中,遇到选择题和填空题可以直接使用,若是解答题,则不能直接使用,需给出证明过程.第1.1节椭圆的常见结论这里我们以中心在原点,焦点在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1为例,给出一些常见结论,至于焦点在y轴上的椭圆的结论是否一致?请仿照焦点在x轴上的情况自行判断.结论一如图所示,过左焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,则△ABF2的周长为4a(定值).x证明由椭圆的定义可知:|AF1|+|AF2|=2a |BF1|+|BF2|=2a,所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a,即△ABF2的周长为4a.练习1.过椭圆E:4x2+y2=1的一个焦点F1的直线l与E交于A,B两点,则A,B与另一个焦点F2所构成的△ABF2的周长等于().A.2B.4C.√2 D.2√2结论二如图所示,在△P F1F2中,若∠F1P F2=θ,记△P F1F2的面积为S,则x(1)S=b2·tanθ2;(2)△P F1F2的面积S的最大值S max=bc;(3)当点P在短轴的端点时,∠F1P F2最大.证明(1)在△P F1F2中,由余弦定理可知:cosθ=|P F1|2+|P F2|2−4c22|P F1|·|P F2|,所以2|P F1|·|P F2|·cosθ=|P F1|2+|P F2|2−4c2=(|P F1|+|P F2|)2−2|P F1|·|P F2|−4c2=4a2−2|P F1|·|P F2|−4c2=4b2−2|P F1|·|P F2|从而|P F1|·|P F2|=2b21+cosθ,于是S=12|P F1|·|P F2|·sinθ=b2sinθ1+cosθ=b2·2sinθ2cosθ22cos2θ2=b2·tanθ2(2)设点P的纵坐标为y P,则△P F1F2的面积S=12|F1F2|·|y P|=12·2c·|y P|=c·|y P|当|y P|=b时,即点P在短轴的端点时,△P F1F2的面积S取得最大值bc (3)设点P的坐标为(x0,y0),在△P F1F2中,由余弦定理可知:cosθ=|P F1|2+|P F2|2−4c22|P F1|·|P F2|=(a+ex0)2+(a−ex0)2−4c22(a+ex0)·(a−ex0)=2a2+2e2x20−4c22a2−2e2x20=4a2−4c22a2−2e2x20−1当x0=0时,cosθ有最小值a2−2c2a2,即∠F1P F2最大.练习 2.设F1,F2是椭圆C:x23+y2m=1的两个焦点,若C上存在点P,使得∠F1P F2=120◦,则实数m的取值范围是.练习3.已知点P在椭圆C:x236+y2100=1上,F1,F2是C的两个焦点,若△P F1F2的面积为18,则∠F1P F2的余弦值等于.结论三如图所示,以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆O:x2+y2=a2内切.x证明取P F1的中点M,连接OM,则圆M的直径为F1P,半径为MF1,在△P F1F2中,因为M为F1P的中点,O为F1F2的中点,所以OM=12|P F2|=12(2a−|P F1|)=a−12|P F1|=a−|MF1|因此圆M与圆O内切,即以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆O:x2+y2=a2内切.结论四如图所示,若N为椭圆内一定点,点P在椭圆上,则x(1)|P N|+|P F2|的最大值为2a+|NF1|,最小值为2a−|NF1|;(2)|P N|+|P F1|的最大值为2a+|NF2|,最小值为2a−|NF2|.证明(1)因为|P N|+|P F2|=|P N|+2a−|P F1|=2a+(|P N|−|P F1|),由于−|NF1| |P N|−|P F1| |NF1|因此|P N|+|P F2|的最大值为2a+|NF1|,最小值为2a−|NF1|.(2)同理可证,|P N|+|P F1|的最大值为2a+|NF2|,最小值为2a−|NF2|.注:该结论可以记成“椭圆上的点到椭圆内一定点的距离与其中一焦点的距离之和有最值.”练习4.已知椭圆C:x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点A(−1,1),若P为椭圆C上一点,则|P A|+|P F2|的最小值为,最大值为.结论五过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于A,B两点,则1|AF|+1|BF|=2ab2.证明如图所示,我们先证明“过椭圆左焦点F1的直线l与椭圆交于A,B两点,则1 |AF1|+1|BF1|=2ab2.”设A(x1,y1),B(x2,y2).xx当直线l的斜率不存在时,此时|AF1|=b2a,|BF1|=b2a,则1|AF1|+1|BF1|=ab2+ab2=2ab2.y当直线l的斜率存在时,设直线l:y=k(x+c),联立y=k(x+c)x2a2+y2b2=1,消去y,消去y,得到关于x的一元二次方程(b2+a2k2)x2+2k2a2cx+k2a2c2−a2b2=0则x1+x2=−2k2a2cb2+a2k2,x1x2=k2a2c2−a2b2b2+a2k2.于是1 |AF1|+1|BF1|=1a+ex1+1a+ex2=2a+e(x1+x2)a2+ae(x1+x2)+e2x1x2=2a+e·−2k2a2cb2+a2k2a2+ae·−2k2a2cb2+a2k2+e2·k2a2c2−a2b2b2+a2k2.因为椭圆的离心率e=ca,所以2a+e·−2k2a2cb2+a2k2a2+ae·−2k2a2cb2+a2k2+e2·k2a2c2−a2b2b2+a2k2=2a−2k2ac2b2+a2k2a2−2k2a2c2b2+a2k2+k2c4−b2c2b2+a2k2=2a(b2+a2k2)−2k2ac2a2(b2+a2k2)−2k2a2c2+k2c4−b2c2=2a3k2+2ab2−2k2ac2a4k2+a2b2−2k2a2c2+k2c4−b2c2=2ak2(a2−c2)+2ab2a2k2(a2−c2)+a2b2−k2c2(a2−c2)−b2c2=(2ak2+2a)·b2k2b2(a2−c2)+a2b2−b2c2=2ak2+2ak2b2+a2−c2=2a(k2+1)b2(k2+1)=2ab2故1|AF1|+1|BF1|=2ab2.同理可证“过椭圆右焦点F2的直线与椭圆交于A,B两点,则1|AF2|+1|BF2|=2ab2.”综上可知:“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于A,B两点,则1|AF|+1|BF|=2ab2.”注:证明过程中,用到了椭圆的焦半径公式|AF1|=a+ex1,|BF1|=a+ex2.练习5.已知椭圆C:x25+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,经过F2的直线l与C交于M,N两点,则|MF2|+|NF2||MF2|·|NF2|的值等于.结论六关于以椭圆上的点为切点的切线方程和椭圆的切点弦方程,我们有以下结论:(1)若点M(x0,y0)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,则以M为切点且与C相切的直线方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)外,则过点P作椭圆的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程为x0xa2+y0yb2=1.证明(1)如图所示,设以M为切点且与C相切的直线为l,其斜率为k.x对椭圆方程x2a2+y2b2=1两边求导,可得2xa2+2yy′b2=0,即y′=−b2a2·xy,从而k=−b2a2·x0y0.因此切线l的方程为y−y0=−b2a2·x0y0(x−x0),化简整理可得x0x a2+y0yb2=x20a2+y20b2.因为点M在椭圆C上,所以x20a2+y20b2=1,从而切线l的方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)如图所示,设切点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).x ,由(1)可知:P P1的直线方程l P P1:x1xa2+y1yb2=1.P P2的直线方程l P P2:x2xa2+y2yb2=1.因为点P(x0,y0)在l P P1和l P P2上,所以x1x0a2+y1y0b2=1x2x0a2+y2y0b2=1,两式相减可得x0a2(x2−x1)+y0b2(y2−y1)=0.即y2−y1 x2−x1=−b2a2·x0y0.所以切点弦P1P2所在的直线方程为y−y1=−b2a2·x0y0(x−x1),化简整理可得x0x a2+y0yb2=x0x1a2+y0y1b2.因为x0x1a2+y0y1b2=1,所以P1P2所在的直线方程为x0xa2+y0yb2=1.结论七如图所示,若AB 是椭圆的一条弦,点M (x 0,y 0)(y 0=0)是弦AB 的中点,则AB 所在直线的斜率k AB =−x 0y 0·b 2a 2.x证明设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为M (x 0,y 0)为AB 的中点,所以x 1+x 2=2x 0y 1+y 2=2y 0.又因为A ,B 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上,所以x 21a 2+y 21b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1,两式相减可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0.从而y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 2y 1+y 2·b 2a 2=−2x 02y 0·b 2a 2=−x 0y 0·b 2a 2.即AB 所在直线的斜率k AB =−x 0y 0·b 2a 2.练习6.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为(3,0),过右焦点的直线交C 于A ,B 两点,若AB 的中点坐标为(1,−1),则椭圆C 的方程为().A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1C.x 227+y 218=1D.x 218+y 29=1练习7.已知椭圆E :x 216+y 24=1,若过点P (2,1)作一弦,使得该弦刚好被P 平分,则该弦所在的直线方程为.练习8.已知椭圆E :mx 2+ny 2=1与直线l 1:y =1−x 交于M ,N 两点,过坐标原点O 与线段MN 的中点P 的直线l 2的斜率为√22,求m n的值.第1.2节双曲线的常见结论这里我们以中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1为例,给出一些常见结论,至于焦点在y 轴上的双曲线的结论是否一致?请仿照焦点在x 轴上的情况自行判断.结论一如图所示,过左焦点F 1的直线与双曲线交于A ,B 两点,则△ABF 2的周长为4a +2|AB |.x证明由双曲线的定义可知:|AF 2|−|AF 1|=2a |BF 2|+−|BF 1|=2a,两式相加可得|AF 2|+|BF 2|−(|AF 1|+|BF 1|)=|AF 2|+|BF 2|−|AB |=4a ,即|AF 2|+|BF 2|+|AB |=4a +2|AB |,因此△ABF 2的周长为4a +2|AB |.结论二若P 为双曲线C 上一点,F 1,F 2为C 的左、右焦点,且∠F 1P F 2=θ,则△F 1P F 2的面积等于b 2tan θ2.证明如图所示,设P 为双曲线右支上一点.x在△P F 1F 2中,由余弦定理可知:cos θ=|P F 1|2+|P F 2|2−4c 22|P F 1|·|P F 2|,所以2|P F 1|·|P F 2|·cos θ=|P F 1|2+|P F 2|2−4c 2=(|P F 1|−|P F 2|)2+2|P F 1|·|P F 2|−4c 2=4a 2+2|P F 1|·|P F 2|−4c 2=4b 2+2|P F 1|·|P F 2|从而|P F1|·|P F2|=2b21−cosθ,于是S=12|P F1|·|P F2|·sinθ=b2sinθ1−cosθ=b2·2sinθ2cosθ22sin2θ2=b2tanθ2同理可证:点P在左支时,△F1P F2的面积等于b2tanθ2.综上可知:若P为双曲线C上一点,F1,F2为C的左、右焦点,且∠F1P F2=θ,则△F1P F2的面积等于b2tanθ2.练习1.已知点M在双曲线H:x25−y24=1的右支上,F1,F2是H的左、右焦点,且∠F1MF2=60◦,则△F1MF2的面积等于.练习2.已知F1,F2分别是双曲线H:x2−y2=1的左焦点和右焦点,点P在H上,且∠F1P F2=60◦,则|P F1|·|P F2|的值等于().A.2B.4C.6D.8结论三如图所示,以双曲线的长焦半径|P F1|为直径的圆M与圆O:x2+y2=a2内切;以双曲线的短焦半径|P F2|为直径的圆N与圆O:x2+y2=a2外切.x证明连接OM,则圆M的直径为F1P,半径为MF1,在△P F1F2中,因为M为F1P的中点,O为F1F2的中点,所以|OM|=12|P F2|=12(|P F1|−2a)=12|P F1|−a=|MF1|−a因此以长焦半径P F1为直径的圆与圆O:x2+y2=a2内切.连接ON,则圆N的直径为F2P,半径为NF1,在△P F1F2中,因为N为F2P的中点,O为F1F2的中点,所以|ON|=12|P F1|=12(|P F2|−2a)=12|P F2|−a=|NF2|−a因此以短焦半径|P F2|为直径的圆N与圆O:x2+y2=a2外切.结论四如图所示,若N为双曲线内一定点,点P在双曲线上,则x(1)|P N|+|P F2|的最小值为|NF1|−2a;(2)|P N|+|P F1|的最小值为|NF2|−2a.证明(1)因为|P N|+|P F2|=|P N|+|P F1|−2a,所以当P,N,F1三点共线时,|P N|+|P F1|取得最小值|NF1|,因此|P N|+|P F2|的最小值为|NF1|−2a.(2)同理可证:|P N|+|P F1|的最小值为|NF2|−2a.注:该结论可以记成“双曲线上的点到双曲线内一定点的距离与其中一焦点的距离之和有最小值.”练习3.已知双曲线C:x2−y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点A (2,12),若点P在C上,则|P A|+|P F2|的最小值为.结论五过双曲线一焦点F的直线与双曲线的一支的交于A,B两点,则1|AF|+1 |BF|=2ab2.证明如图所示,我们先证明“过双曲线左焦点F1的直线l与双曲线的左支交于A,B两点,则1|AF1|+1|BF1|=2ab2.”设A(x1,y1),B(x2,y2).xx当直线l的斜率不存在时,此时|AF1|=b2a,|BF1|=b2a,则1 |AF1|+1|BF1|=ab2+ab2=2ab2.y当直线l的斜率存在时,设直线l:y=k(x+c),联立y=k(x+c)x2a2−y2b2=1,消去y,消去y,得到关于x的一元二次方程(b2−a2k2)x2−2k2a2cx−k2a2c2−a2b2=0则x1+x2=2k2a2cb2−a2k2,x1x2=−k2a2c2−a2b2b2−a2k2.由双曲线的焦半径公式可得1 |AF1|+1|BF1|=−1a+ex1−1a+ex2=−2a+e(x1+x2)a2+ae(x1+x2)+e2x1x2.于是1 |AF1|+1|BF1|=−2a+e·2k2a2cb2−a2k2a2+ae·2k2a2cb2−a2k2−e2·k2a2c2+a2b2b2−a2k2.因为双曲线的离心率e=ca,所以−2a+e·2k 2a2cb2−a2k2a2+ae·2k2a2cb2−a2k2−e2·k2a2c2+a2b2b2−a2k2=−2a+2k2ac2b2−a2k2a2+2k2a2c2b2−a2k2−k2c4+b2c2b2−a2k2=−2a(b2−a2k2)+2k2ac2a2(b2−a2k2)+2k2a2c2−k2c4−b2c2=−2ab2−2a3k2+2k2ac2a2b2−a4k2+2k2a2c2−k2c4−b2c2=−2ab2+2ak2(c2−a2)a2b2+a2k2(c2−a2)−k2c2(c2−a2)−b2c2=−(2a+2ak2)·b2a2b2+k2(c2−a2)(a2−c2)−b2c2=−2a+2ak2a2−k2b2−c2=2a(1+k2)c2−a2+b2k2=2a(1+k2)b2(1+k2)=2ab2故1|AF1|+1|BF1|=2ab2.同理可证“过双曲线右焦点F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,则1|AF2|+1|BF2|=2ab2.”综上可知:“过双曲线一焦点F的直线与双曲线的一支交于A,B两点,则1|AF|+1 |BF|=2ab2.”注:证明过程中需用到双曲线的焦半径公式:当A,B在左支时:|AF1|=−a−ex1,|BF1|=−a−ex2;当A,B在右支时:|AF2|=ex1−a,|BF2|=ex2−a.练习4.已知双曲线C:x23−y24=1的左、右焦点分别为F1,F2,经过F2的直线l与C交于A,B两点,则|AF2|+|BF2||AF2|·|BF2|的值等于.结论六关于以双曲线上的点为切点的切线方程和双曲线的切点弦方程,我们有以下结论:(1)若点M(x0,y0)在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上,则过点M且与双曲线相切的直线方程为x0xa2−y0yb2=1.(2)若点P(x0,y0)在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)外,则过点P作双曲线的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2−y0yb2=1.证明(1)如图所示,设以M为切点且与C相切的直线为l,其斜率为k.x对双曲线方程x2a2−y2b2=1两边求导,可得2xa2−2yy′b2=0,即y′=b2a2·xy,从而k=b2a2·x0y0.因此切线l的方程为y−y0=−b2a2·x0y0(x−x0),化简整理可得x0x a2−y0yb2=x20a2−y20b2.因为点M在双曲线C上,所以x20a2−y20b2=1,从而切线l的方程为x0xa2−y0yb2=1.(2)如图所示,设切点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).x ,由(1)可知:P P1的直线方程l P P1:x1xa2−y1yb2=1.P P2的直线方程l P P2:x2xa2−y2yb2=1.因为点P(x0,y0)在l P P1和l P P2上,所以x1x0a2−y1y0b2=1x2x0a2−y2y0b2=1,两式相减可得x0a2(x2−x1)−y0b2(y2−y1)=0.即y2−y1 x2−x1=b2a2·x0y0.所以切点弦P1P2所在的直线方程为y−y1=b2a2·x0y0(x−x1),化简整理可得x0x a2−y0yb2=x0x1a2−y0y1b2.因为x0x1a2−y0y1b2=1,所以P1P2所在的直线方程为x0xa2−y0yb2=1.结论七若AB是双曲线的一条弦,点M(x0,y0)(y0=0)是弦AB的中点,则直线AB的斜率k AB=x0y0·b2 a2.证明如图所示,设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,x因为M(x0,y0)为AB的中点,所以x1+x2=2x0 y1+y2=2y0.又因为A,B在双曲线x2a2−y2b2=1上,所以x21a2−y21b2=1x22a2−y22b2=1,两式相减可得(x1+x2)(x1−x2)a2−(y1+y2)(y2−y1)b2=0.从而y2−y1 x2−x1=x1+x2y1+y2·b2a2=2x02y0·b2a2=x0y0·b2a2.即AB所在直线的斜率k AB=x0y0·b2 a2.练习5.以P(1,8)为中点,作双曲线y2−4x2=4的一条弦AB,则弦AB所在的直线方程为.练习6.已知双曲线H:x2−y22=1,是否存在被点P(1,1)平分的弦AB?如果存在,求出弦AB所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.结论八如图所示,若一直线l与双曲线的渐近线交于B,C两点,与双曲线交于A,D两点,则|AB|=|CD|.x证明x若直线l过原点,则B,C重合,结论显然成立;y若直线l与x轴垂直,则由双曲线的对称性可知结论成立;z若直线l不过原点且与x轴不垂直,设l的斜率为k,弦AD的中点为M(x0,y0),由结论七可知x0 a2−y0b2·k=0(0.1)设B(x3,y3),C(x4,y4),弦BC的中点为M′(x′0,y′0).因为双曲线的渐近线方程为x2 a2−y2b2=0,且B,C都在渐近线上,所以x23a2−y23b2=0x24a2−y24b2=0.两式相减可得x′0a2−y′0b2·k=0.(0.2)由(0.1)和(0.2)可知:点M,M′都在直线l′:xa2−yb2·k=0上,又点M,M′都在直线l上,所以M与M′重合,于是|AB|=|AM′|−|BM′|=|AM|−|BM|=|DM|−|CM|=|DM′|−|CM′|=|CD|.综上可知:若一直线l与双曲线的渐近线交于B,C两点,与双曲线交于A,D两点,则|AB|=|CD|.练习7.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点作与x轴垂直的直线l,若直线l与双曲线交于P,S两点,与双曲线的渐近线交于T,G两点,且3|P S|=2|T G|,则该双曲线的离心率等于.第1.3节抛物线的常见结论这里我们以顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上的抛物线y 2=2px (p >0)为例,给出一些常见结论,至于顶点在原点,焦点在x 轴负半轴、y 轴负半轴和y 轴正半轴上的抛物线的结论是否一致?请仿照焦点在x 轴正半轴上的情况自行判断.结论一如图所示,过抛物线C :y 2=2px 的焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则x y 2)=2px (1)x 1·x 2=p 24,反之也成立.(2)y 1·y 2=−p 2,反之也成立.证明(1)x 当直线l 的斜率不存在时,即l :x =p 2,此时x 1=x 2=p 2,则x 1·x 2=p24;y 当直线l 的斜率存在时,设l :y =k (x −p 2),联立C 的方程可得 y =k (x −p 2)y 2=2px,消去y ,得到k 2x 2−(2p +k 2p )x +k 2p 4=0.所以x 1x 2=k 2p 4k 2=p 24.反之,我们证明“若x 1x 2=p 24,则直线l 过焦点F .”当直线l 的斜率不存在时,则x 1=x 2=p 2,此时l :x =p2,所以l 经过焦点F(p 2,0);当直线l 的斜率存在且不为零时,设直线l 的方程为y =kx +m ,联立C 的方程可得 y =kx +my 2=2px,消去y ,得到k 2x 2+(2km −2p )x +m 2=0.所以x 1x 2=m 2k 2,又x 1·x 2=p 24,所以m 2k 2=p 24,即m 2=k 2p 24,由于km <0,p >0,因此m =−kp2,故直线l 的方程为y =k (x −p 2),即l 经过焦点F .(2)x 当直线l 的斜率不存在时,即l :x =p 2,联立x =p 2y 2=2px,可得y 1=−p ,y 2=p ,则y 1·y 2=−p 2;y 当直线l 的斜率存在且不为零时,设l :y =k (x −p 2),联立C 的方程可得 y =k (x −p2)y 2=2px,消去x ,得到y 2−2p k y−p 2=0.所以y 1y 2=−p 2.反之,我们证明“若y 1y 2=−p 2,则直线l 过焦点F .”当直线l 的斜率不存在时,由抛物线的对称性可知:y 1=−p ,y 2=p ,此时x 1=x 2=p 2,即l :x =p 2,所以l 经过焦点F (p 2,0);当直线l 的斜率存在且不为零时,设直线l 的方程为y =kx +m ,联立C 的方程可得 y =kx +my 2=2px,消去y ,得到ky 2−2py +2pm =0.所以y 1y 2=2pm k ,又y 1·y 2=−p 2,所以2pmk =−p 2,解得m =−kp 2,故直线l 的方程为y =k (x −p 2),即l 经过焦点F .结论二如图所示,已知抛物线C :y 2=2px 的焦点为F ,经过F 且倾斜角为α的直线l 与C 交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则xy 2)=2px(1)1|AF |+1|BF |=2p .(2)|AF |=p1+cos α;|BF |=p1−cos α;|AF |·|BF |=p 2sin 2α.(3)|AB |=x 1+x 2+p =2psin 2α.证明(1)x 当直线l 的斜率不存在时,即α=90◦,此时l :x =p 2,从而y 1=−p ,y 2=p ,即|AF |=|BF |=p .所以1|AF |+1|BF |=1p+1p =2p .y 当直线l 的斜率存在时,设l :y =k (x −p 2),联立C 的方程可得y =k (x −p2)y 2=2px,消去y ,得到k 2x 2−(2p +k 2p )x +k 2p 4=0.所以x 1+x 2=2p k 2+p ,x 1x 2=p 24,由抛物线的定义可得:|AF |=x 1+p 2,|BF |=x 2+p2,所以1|AF |+1|BF |=1x 1+p2+1x 2+p2=x 1+x 2+p(x 1+p 2)(x 2+p 2).由于x 1+x 2+p(x 1+p 2)(x 2+p 2)=2pk 2+p +p x 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p24=2pk 2+2p p 24+p 2·(2p k 2+p )+p 24=2pk 2+2p p2k 2+p =2p ·(1k2+1)p 2·(1k2+1)=2p故1|AF |+1|BF |=2p .(2)x 当直线l 的斜率不存在时,即α=90◦,此时l :x =p 2,从而x 1=x 2=p 2,y 1=−p ,y 2=p .于是|AF |=p =p1+cos 90◦=p1+cos α.|BF |=p =p 1−cos 90◦=p1−cos α.y 当直线l 的斜率存在且不为零时,如图所示,过A ,B 两点分别作准线x =−p 2的垂线,垂足分别为D ,E .过F 作BE 的垂线,垂足为G ,再过A 点作x 轴的垂线,垂足为H .x2)2px 由抛物线的定义可知|AF |=|AD |.在△AHF 中,|HF |=|AF |·cos α.由于|KH |+|HF |=|KF |,且|KH |=|AD |,|KF |=p ,所以|AF |+|AF |·cos α=p ,即|AF |·(1+cos α)=p ,解得|AF |=p1+cos α.又由抛物线的定义可知|BF |=|BE |.在△F GB 中,|GB |=|BF |·cos α.由于|BE |+|EG |=|GB |,且|EG |=|KF |=p ,所以|BE |−|GB |=|EG |,即|BF |−|BF |·cos α=p ,解得|BF |=p1−cos α.所以|AF |=p 1+cos α和|BF |=p1−cos α,因此|AF |·|BF |=p 1+cos α·p 1−cos α=p 21−cos 2α=p 2sin 2α.(3)由抛物线的定义可得:|AF |=x 1+p 2,|BF |=x 2+p2,所以|AB |=|AF |+|BF |=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p .由(2)可知:|AF |=p1+cos α,|BF |=p1−cos α,所以|AB |=|AF |+|BF |=p 1+cos α+p 1−cos α=p (1−cos α)+p (1+cos α)1−cos 2α=2psin 2α.综上可知:|AB |=x 1+x 2+p =2psin 2α.结论三如图所示,已知抛物线C :y 2=2px 的焦点为F ,过F 且倾斜角为α的直线l 与C 交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则△AOB 的面积S △AOB =p 22sin α.x2)2px 证明x 当直线l 的斜率不存在时,即α=90◦,此时AB ⊥OF ,则S △AOB =12·|AB |·|OF |=12×2p ×p 2=p 22=p 22sin 90◦=p 22sin α.y 当直线l 的斜率存在且不为零时,由结论二可知:|AB |=2psin 2α.又|OF |=p 2,则S △AOB =12·|AB |·|OF |·sin α=12×2p sin 2α×p 2×sin α=p 22sin α.综上可知:△AOB 的面积S △AOB =p 22sin α.结论四如图所示,已知抛物线C :y 2=2px 的焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则以AB 为直径的圆N 与准线:x =−p 2相切.x2px证明x 当直线l 的斜率不存在时,此时|AB |=2p .又圆心N 到准线的距离|GN |=p ,所以|GN |=12|AB |,因此以|AB |为直径的圆N 与准线相切.y 当直线l 的斜率存在且不为零时,设圆心N 的坐标为(x 0,y 0),由结论二可知:|AB |=x 1+x 2+p ,而圆心到准线的距离|NG |=x 0+p2=x 1+x 22+p 2=12(x 1+x 2+p )=12|AB |.故以|AB |为直径的圆N 与准线相切.结论五如图所示,已知抛物线C :y 2=2px 的焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,过A ,B 两点分别作准线x =−p 2的垂线,垂足分别为D ,E .则EF ⊥DF .x2)2px证明x 当直线l 的斜率不存在时,即l :x =p 2,此时x 1=x 2=p2,y 1=−p ,y 2=p ,则D ,E 的坐标分别为(−p 2,−p ),(−p 2,p ),又F (p 2,0),于是直线EF 的斜率k EF =0−p p 2−(−p 2)=−1.直线DF 的斜率k DF =0−(−p )p 2−(−p 2)=1.因此k EF ·k DF =−1,故EF ⊥DF .y 当直线l 的斜率存在且不为零时,由题意可知:D 的坐标分别为(−p 2,y 1),E 的坐标分别为(−p 2,y 2),又F (p 2,0),于是直线DF 的斜率k DF =0−y 1p 2−(−p 2)=−y 1p .直线EF 的斜率k EF =0−y 2p2−(−p 2)=−y 2p .所以k DF ·k EF =−y 1p ·−y 2p =y 1y 2p 2.由结论一可知:y 1y 2=−p 2,从而k DF ·k EF =−1,于是EF ⊥DF .结论六如图所示,若过抛物线C :y 2=2px 的焦点为F 的直线l 与C 交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则以|BF |为直径的圆M 和以|AF |为直径的圆Q 均与y 轴相切.x2px证明x 当直线l 的斜率不存在时,此时|BF |=p .又圆心M 到y 轴的距离|MT |=p 2,所以|MT |=12|BF |,因此以|BF |为直径的圆M 与y 轴相切.y 当直线l 的斜率存在且不为零时,设圆心M 的坐标为(x 0,y 0),由抛物线定义可知:|BF |=|BE |=x 2+p 2,而圆心M 到y 轴的距离|MT |=x 0=12(x 2+p 2)=12|BF |.故以|BF |为直径的圆M 与y 轴相切.同理可证,以|AF |为直径的圆Q 也与y 轴相切.练习1.已知抛物线C:y2=6x焦点为F,若过F的直线l与C交于A,B两点,且|AB|=12,则弦AB所在直线的倾斜角等于.练习2.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为30◦的直线l,若直线l与抛物线C相交于A,B两点(点A在y轴左侧),则|AF||BF|的值等于.练习3.过抛物线C:y=ax2(a>0)的焦点F作一直线l交C于A,B两点,若线段AF,BF的长分别为m,n,则mnm+n等于().A.2aB.a4C.12aD.14a练习4.过抛物线C:y2=8x的焦点作倾斜角为45◦的直线l,则直线l被抛物线C 所截得的弦长等于().A.8B.16C.32D.64练习5.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交C于A,B两点,O为坐标原点,若|AF|=3,则△AOB的面积等于().A.√2 B.2√2 C.√22D.3√22练习6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B 两点,O为坐标原点.(1)若直线l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;(2)若|AF|=2|BF|,求直线l的方程.0011.焦点三⻆形周⻓1.椭圆的焦点三⻆形直线l过左焦点F1与椭圆相交于A,B两点，则△ABF2的周长为4a.（即:F2A+F2B+AB=4a）2.双曲线的焦点三⻆形直线l过左焦点F1与双曲线相交于A,B两点，则F2A+F2B−AB=4a.002【例01】设椭圆C ：x 225+y 29=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上任意一点，则△PF 1F 2的周长为（）A.9B.13C.15D.18【例02】过双曲线x 216−y 29=1左焦点F 1的弦AB 长为6，则△ABF 2（F 2为右焦点）的周长是（）A.28B.22C.14D.12【题01】已知F1,F2是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，直线l过点F2与椭圆交于A、B两点，且|AB|=7，则△ABF1的周长为.【题02】若F1,F2是双曲线x2−y28=1的两个焦点，点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，则△PF1F2的周长为.2.通径公式1.椭圆通径过焦点与长轴垂直的弦，通径长为2b2 a.2.双曲线通径过焦点与实轴垂直的弦，通径长为2b2 a.006【例01】设椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为.【例02】过双曲线x2−y28=1的右焦点作x轴的垂线l，交双曲线于A,B两点，则线段AB的长度为.【题01】已知F1,F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若△ABF2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是.【题02】过双曲线x2−y28=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点，若|AB|=16，则这样的直线有条.3.焦半径公式1.椭圆焦半径公式（1）PF1=a+ex0，PF2=a−ex0，其中e为离心率，x0为点P的横坐标.2.双曲线焦半径公式（1）PF1=|a+ex0|，PF2=|a−ex0|，其中e为离心率，x0为点P的横坐标.010【例01】已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P使得|PF1|=32e|PF2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是．【例02】在平面直角坐标系xOy中，双曲线x24−y212=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是.【题01】椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是.【题02】设F1(−c,0)，F2(c,0)分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，圆x2+y2=c2与双曲线在第一象限交于点A，若2|AF1|=3|AF2|，则此双曲线的离心率为.4.焦点弦1.1椭圆焦半径公式（2）已知直线l过左焦点F1与椭圆相交于A,B两点.设∠AF1F2=α，则焦半径|AF|=b2a−c⋅cosα，|BF|=b2a+c⋅cosα，1AF+1BF=2ab2.1.2椭圆焦点弦⻓公式|AB|=2ab2a2−c2⋅cos2α.最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.（备注：直线l过右焦点F2与椭圆相交于A,B两点.此时设∠AF2F1=α）0142.1双曲线焦半径公式（2）已知直线l 过左焦点F 1与双曲线相交于A,B 两点.设∠AF 1F 2=α.则焦半径|AF|=b 2|a −c ⋅cos α|，|BF|=b 2|a +c ⋅cos α|，1AF +1BF =2ab 2.2.2双曲线焦点弦⻓公式焦点弦长|AB|=2ab 2|a 2−c 2⋅cos 2α|.（备注：直线l 过右焦点F 2与椭圆相交于A,B 两点.此时设∠AF 2F 1=α）3.焦点弦定理已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线C ，经过其焦点F 的直线交曲线于A,B 两点，直线AB 的倾斜角为θ，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗AF =λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗FB，则曲线C 的离心率e 满足等式：|e cos θ|=|λ−1λ+1|,e =√1+k 2|λ−1λ+1|(k ≠0).（备注：焦点在y 轴上：|e sin θ|=|λ−1λ+1|，e =√1+1k 2|λ−1λ+1|(k ≠0)）.015【例01】已知椭圆x 24+y 23=1的上焦点为F ，直线l 1∶x +y −1=0和l 12∶x +y +1=0与椭圆分别相交于A,B 和C,D ，则|AB|+|CD|=【例02】已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与C 相交于A,B 两点.若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗AF =3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗FB ，则k =()A.1B.√2C.√3D.2016【题01】已知双曲线C ∶x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 且斜率为√3的直线交C 于A,B 两点，若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗AF =4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗BF ，则C 的离心率为（）A.65B.75C.85D.95【题02】设椭圆C ∶x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆相交于A,B两点，直线l 的倾斜角为60°，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗AF =2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗FB.（1）求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.019 5.椭圆和双曲线第三定义1.1A,B为椭圆x2a2+y2b2=1上关于原点对称的两点，椭圆上任一点P(P与A,B不重合)与椭圆上两点A,B的连线的斜率之积为定值：−b2 a2.2.1A,B为双曲线x2a2−y2b2=1上关于原点对称的两点，双曲线上任一点P与双曲线上两点A,B连线的斜率之积为定值：b2 a20202.2A,B为双曲线y2a2−x2b2=1上关于原点对称的两点，双曲线上任一点P与双曲线上两点A,B连线的斜率之积为定值：a2 b2021【例01】已知x2a2+y2b2=1（a>b>0），M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，则|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A.√22B.√24C.√32D.√34【例02】已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的两个顶点分别为A、B，点P为双曲线上除A、B外任意一点，且点P与点A、B连线的斜率分别为k1、k2，若k1k2=3，则双曲线的渐近线方程为（）A.y=±x B.y=±√2x C.y=±√3x D.y=±2x022【题01】设椭圆C：x24+y22=1与函数y=x3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的动点，若直线PA的斜率取值范围是[−3,−1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A.[−6,−2]B.[2,6]C.[−12,−16] D.[16,12]【题02】已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0），M、N是双曲线上关于原点的对称两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2（k1⋅k2≠0），若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（）A.√2B.√52C.√32D.320256.焦点三⻆形⼏何性质1.如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点，已知∠F1PF2=θ，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，则（1）S△PF1F2=b2tanθ2；（2）离心率e=sinθsinα+sinβ；（3）∣PF1∣∣PF2∣=2b21+cosθ2.如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点，已知∠F1PF2=θ，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，则（1）S△PF1F2=b2cotθ2=b2tanθ2；（2）离心率e=sinθ∣sinα−sinβ∣；（3）∣PF1∣∣PF2∣=2b21−cosθ026【例01】已知P是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的一点，F1，F2为焦点，若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗PF1⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗PF2=0，tan∠PF1F2=12，则椭圆的焦距与长轴的比值为．【例02】设P是椭圆x225+y29=1上的一点，且⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗PF1⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗PF2=0，则△PF1F2的面积为．027【题01】已知F1和F2是双曲线x24−y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．【题02】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是．029 7.圆锥曲线的光学性质1.1已知椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2.点P为椭圆上一点，则有：①椭圆C在点P处的切线l平分焦点三角形△PF1F2的外角；②过点P且垂直切线l的直线PM交x轴于M点，PM平分∠F1PF2.1.2椭圆的光学性质：由椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射（切线l为镜面，PM为法线）后，反射光线经过另一个焦点.2.1双曲线的光学性质：由双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的.反.向.延.长.线经过另一个焦点.①双曲线C在点P处的切线l平分∠F1PF2;②过点P且垂直切线l的直线PM交x轴于点M，PM平分△PF1F2的外角.0303.1抛物线的光学性质：由抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线对称轴.031【例01】已知F1,F2是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，点M(2,3)，则∠F1MF2的角平分线的斜率为．【例02】已知点P是双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）右支上的动点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，∠F1PF2的角平分线l与x轴交于点Q(x0,0)，设双曲线的半焦距为c，若x0的范围是0<x0<23c，则双曲线的离心率是032【题01】已知椭圆E：x216+y212=1经过点A(2,3)，左右焦点分别为F1、F2.若∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆E的另一个交点为B，C为椭圆E上的一点，当△ABC 的面积最大时，求C点的坐标．【题02】xx04+yy0=1椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点分别是F1，F2．点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围．035 8.等⻆性质已知椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，过长轴上任意一点N(t,0)的人一条弦端点A,B与对应点G(a2t,0)的连线所成角被焦点所在直线平分,则有∠OGA=∠OGB，（即k GA+k GB=0）已知双曲线C∶x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，过实轴所在直线上任意一点N(t,0)的一条弦端点A,B与对应点G(a2t,0)的连线所成角被焦点所在直线平分,则有∠NGA=∠NGB，（即k GA+k GB=0）036已知抛物线y2=2px(p＞0)，过抛物线对称轴上任意一点N（a,0）的一条弦端点AB与对应点G（−a,0）的连线所成角被对称轴平分，则有∠OGA=∠OGB（即k GA+k GB=0）037【例01】（2018年全国一卷⋅变式）设椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，x轴上有一点M，若有∠OMA=∠OMB，则M的坐标是【例02】在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点F1(−√3,0)，F2(√3,0)，Q为平面上的动点，且|F2Q|=4，线段F1Q的中垂线与线段F2Q交于点P．（1）求|PF1|+|PF2|的值，并求动点P的轨迹E的方程；（2）若直线l（l的斜率存在）与曲线E相交于A，B两点，且存在点D(4,0)（其中A，B，D不共线），使得∠ADO=∠BDO，证明：直线l过定点．038【题01】已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线y2=4√5x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）已知经过定点M(2,0)且斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得PM始终平分∠APB？若存在，求出P点坐标，若不存在请说明理由．【题02】已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B(−1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．041 9.垂径定理1.如图，已知直线l与椭圆相交于A，B两点，点M为AB的中点，O为原点，则k OM k AB=−b2a2．2.如图，已知直线l与双曲线相交于A，B两点，点M为AB的中点，O为原点，则k OM k AB= b2a2．（注：直线l与双曲线的渐近线相交于A，B两点，其他条件不变，结论依然成立．）042【例01】已知直线l与椭圆x24+y23=1交于A，B两点，且AB的中点为P（1，1），则直线l的方程为．【例02】已知直线l与双曲线x2−y22=1交于A，B两点，且AB的中点为P（2，1），则直线l的方程为．【题01】已知双曲线x210−y25=1上有不共线三点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，若直线OD，OE，OF的斜率之和为−2，则1k AB+1k BC+1k AC=．【题02】已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=√63，A，B是椭圆上两点，N（3，1）是线段AB的中点，则直线AB的方程为．。
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Gandongle 椭圆双曲线的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导）5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.（结合4）6. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）7. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义）8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF9.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.MN其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕10. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
（点差法）11. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.（点差法） 12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.（点差法） 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.（同上）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（同上）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.（同上）4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）（同上）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.（同上） 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.（同上）7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.（同上） 8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--（同上） 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.（同上） 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.（同上）11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
（同上）12. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-.（同上）13. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.（同上）椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.证明2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.证明3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 证法1（代数）证法二（几何）4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.（上条已证）5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e ≤21-时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+. 证明9. 过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 证明（图片有误，ep=b^2/a ）10. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=. 12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-. 13. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 证明14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.（之前有类似的）15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （角分线定理+合比公式）（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.（角分线定理） 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（角分线定理）双曲线1. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.（同上）2. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.（同上）3. 若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1,F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则t a n t 22c a co c a αβ-=+（或t a n t 22c a co c a βα-=+）.（同上）4. 设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.（同上）5. 若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e ≤21+时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.7. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC -≤.8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥. （1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQS ∆的最小值是2222a b b a -.（同上）9. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.（同上） 10. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或220a b x a+≤-.11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b γ∆=.（同上）12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=+. 13. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.（同上）14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.（同上）15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连双,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（同上）(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).（同上）16. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.（同上）17. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.（同上）18. 已知椭圆22221x y a b+=上一点000(,)P x y ，以直线与椭圆交于M,N 两点，恒有P0M ⊥PON ，则直线横过),(2222022220ba ab y b a b a x +-⋅+-⋅证明19. 已知椭圆22221x y a b+=，不再椭圆上的一点P ，过P 做倾斜角互补的两直线，与椭圆交于A,B,C,D 四点，则A,B,C,D 四点共圆 证明其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：212122111AB kx x y y k=+-=+- 2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为0)的形式。