圆锥曲线经典性质总结证明
圆锥曲线重要结论
圆锥曲线重要结论性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)某2y21上，F1,F2为椭圆之左右焦点，点G为△F1PF2内心，试1．已知动点P在椭圆43求点G的轨迹方程.某2y21上，F1,F2为双曲线之左右焦点，圆G是△F1PF2的内2．已知动点P在双曲线43切圆，探究圆G是否过定点，并证明之.性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112|AF1||BF1|ep双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB 在同支时112112AB在异支时|||AF1||BF1|ep|AF1||BF1|ep112|AF||BF|ep抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数某2y21，F为椭圆之左焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点，是否存在3.已知椭圆43实常数，使ABFAFB恒成立.并由此求∣AB∣的最小值.性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数112e2椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep11|2e2|双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep112e2抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep某2y21，F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线l1,l2分别交椭圆于A，B两4．已知椭圆43点和C，D两点，且l1l2，是否存在实常数，使ABCDABCD恒成立.并由此求四边形ABCD面积的最小值.性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值某2y21，点F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线l1分别交椭圆于A，B两点，5．已知椭圆84设直线AB与y轴于点M，MAAF1,MBBF1,试求的值.性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点A作两焦点的焦点弦AB，AC，其共线向量比之和为定值．即AF1F1B1e2AF2F2C2定值21e某2y26．已知方向向量为e(1,3)的直线l过点A(0,23)和椭圆C:221(ab0)ab的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B满足：OBe0,ABAO.⑴求椭圆C的方程；⑵设E为椭圆C上任一点，过焦点F1,F2的弦分别为ES,ET,设EF11F1S,EF22F2T，求12的值.2圆锥曲线中的重要性质经典精讲中a2性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N（t,0）的一条弦端点与对应点t,0的连线所成角被对称轴平分。
(完整版)圆锥曲线知识点总结(经典版)
圆锥曲线的方程与性质1．椭圆1)椭圆概念的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。
若 M 为椭圆上任意一点，则有 | MF 1 | | MF 2 | 2a 。
表示焦点在 y 轴上的椭圆。
2)椭圆的性质方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心；③ 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令平面内与两个定点 F 1 、 F 2 的距离的和等于常数2a (大于 |F 1F 2 | )的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆 椭圆的标准方程为：22xy 22 ab0 )(焦点在 x 轴上)2y2 a2xx2 1（ a b 0 ） b2焦点在 y 轴上)。
注：①以上方程中a,b 的大小 a b 0 ，其中 b 22c ；22②在 a x 22 b y 22221和a 2b 2 1 两个方程中都有 a 0的条件，要分清焦点的位置，只要看x2和 y2的分母的大小。
例如椭圆m 0， n 0， m n )当 m n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆； 当m n 时2 x①范围：由标准方程 2a 22 yb 21知|x| a ，| y| b ，说明椭圆位于直线 x a ， b 所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里， 若以y 代替 y 方程不变，所以若点 (x, y)在曲线上时，(x, y) 也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对称，同理，以 x 代替 x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。
若同时以 x 代替 x ， y 代替 y半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知： 椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ；在 Rt OB 2F 2中，|OB 2 | b ，|OF 2| c ，| B 2F 2 | a ， 且|OF 2|2 | B 2F 2 |2 |OB 2 |2 ，即 c 2 a 2 b 2；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴的比 e 叫椭圆的离心率 。
高考圆锥曲线知识点、题型全总结
圆锥曲线全总结及全题型解析1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常，且此常数一定要大于，当常数等时，轨迹是线段 F F ，当常数小时，无轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于F |，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。
若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F |，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。
方程表示椭圆的充要条件是什么？（A B C≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
（2）双曲线：焦点在轴上=1，焦点在轴上＝1（）。
方表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B 异号）。
（3）抛物线：开口向右时，开口向左，开口向上时，开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由, 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
提醒：在椭圆中，最大，在双曲线中，最大。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为，短轴长为；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2 ，虚轴长为，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线在椭圆外， 越小，开口越小， 越大，开口越大；⑥两条渐近线。
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论是指在圆锥曲线中，一些经过推导和证明的特殊性质和定理。
这些结论通常用于简化解题过程和提高解题效率。
以下是一些圆锥曲线的二级结论及证明：
焦点弦长公式：对于过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线交于两点A和B，有AB=2ex1ex2*sin(θ)，其中e为离心率，x1和x2为A、B两点对应的横坐标，θ为直线AB的倾斜角。
证明：设直线AB的方程为x=my+n，联立直线和圆锥曲线方程，得到二次方程。
利用韦达定理得到x1+x2和x1*x2的值，再利用弦长公式得到AB的长度。
切线与法线的关系：对于圆锥曲线上的点P(x0,y0)，其切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。
同时，该点的法线方程可以表示为y-y0=-1/k(x-x0)。
证明：设点P处的切线斜率为k，则切线方程可以表示为
y-y0=k(x-x0)。
求出该点处的导数即为切线的斜率。
利用点斜式方程得到切线方程，然后利用法线和切线的垂直关系得到法线方程。
离心率与曲线的形状关系：对于椭圆，离心率e越小，曲线越扁；对于双曲线，离心率e越大，曲线越扁。
证明：利用椭圆的焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率
e与半轴长之间的关系。
对于双曲线，同样利用焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率e与半轴长之间的关系。
以上是一些圆锥曲线的二级结论及证明，这些结论可以应用于具体的解题过程中，提高解题效率。
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
(完整版)圆锥曲线知识点总结(经典版)
圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b ac =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论一、椭圆1.点 P 处的切线 PT平分△ PF1F2 在点 P 处的外角 . （椭圆的光学性质）2.PT 平分△ PF1F2 在点 P处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . （中位线）3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 . 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . （第二定义）4.若 P0 ( x0,y0 )x2y21x0 x y0 y1.（求在椭圆b2上，则过 P0的椭圆的切线方程是b2a2a2导）5.若 P0 ( x0,y0 )x2y21外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点在椭圆b2a2弦 P1P2 的直线方程是x0x y0 y 1. （结合 4）a2b26.椭圆 x2y2 1 (a ＞ b ＞ 0) 的左右焦点分别为F1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上任意一点a2b2F1 PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2b2 tan . （余弦定理 +面积公式 +2半角公式）7.x2y21（ a＞ b＞ 0）的焦半径公式：椭圆2 b2a|MF1| a ex0 , | MF2 | a ex0 (F1 ( c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ). （第二定义）8.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、 Q两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M、 N两点，则M F⊥ NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、 A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q交于点 N，则 MF⊥ NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第 8 条，证毕10. AB 是椭圆x2 y21 的不平行于对称轴的弦， M(x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则a2 b2k OM k ABb2a2 ，即K AB b2x0 。
(完整word版)圆锥曲线知识要点及结论个人总结
《圆锥曲线》知识要点及重要结论一、椭圆1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离的和等于常数)2(221F F a a >的点P 的轨迹叫做椭圆。
若212F F a =，点P 的轨迹是线段21F F 。
若2120F F a <<，点P 不存在.2 标准方程 )0(12222>>=+b a b y a x ,两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0(12222>>=+b a b x a y ,两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222c b a +=. 3 几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形,对称中心是椭圆的中心. 椭圆的顶点有四个，长轴长为a 2，短轴长为b 2，椭圆的焦点在长轴上。
若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ,则b y b a x a ≤≤-≤≤-,；若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b x a y ，则a y a b x b ≤≤-≤≤-,。
二、双曲线1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离之差的绝对值等于常数)20(221F F a a <<的点的轨迹叫做双曲线. 若212F F a =，点P 的轨迹是两条射线.若212F F a >，点P 不存在.2 标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -。
)0,0(12222>>=-b a b y a x ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222b a c +=. 3 几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形,对称中心是双曲线的中心。
双曲线的顶点有两个21,A A ,实轴长为a 2,虚轴长为b 2，双曲线的焦点在实轴上.若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，则R y a x a x ∈≥-≤,或；若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a bx a y ，则R x a y a y ∈≥-≤,或。
圆锥曲线的二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论及证明圆锥曲线是在平面上由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）所确定的曲线。
它包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式。
首先我们来看椭圆。
椭圆定义为到焦点和准线距离之和为常数的点的轨迹。
我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
（2）椭圆上任意一点处的法线交准线于焦点。
证明（1）：设椭圆的焦点为F，准线为L。
取椭圆上一点P，分别连接PF和PL。
根据椭圆的定义，我们知道PF + PL = 定值。
又根据椭圆的特性，PL = 长轴长度的一半。
因此，PF + PL = 定值 = 长轴长度。
所以，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
证明（2）：设椭圆上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。
我们需要证明N恰好是焦点F。
首先，由于N位于P处的法线上，所以PN垂直于椭圆的切线。
其次，设椭圆的焦距为2c，P到焦点F的距离为PF = d。
根据椭圆的性质，我们知道PF / c = PL / a，其中a为椭圆的长半轴。
而又由于PL = PN + NL，其中NL为椭圆的短半轴b。
所以，d / c = (d - NL) / a + NL / b。
通过化简，我们得到d = NL，即焦点到椭圆上的点处的法线与准线的交点恰好是焦点F。
接下来我们来看双曲线。
双曲线定义为到焦点和准线距离之差为常数的点的轨迹。
我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。
（2）双曲线上任意一点处的法线交准线于焦点。
证明（1）：设双曲线的焦点为F，准线为L。
取双曲线上一点P，分别连接PF和PL。
根据双曲线的定义，我们知道PF - PL = 定值。
又根据双曲线的特性，PL = 双曲线的距离差。
因此，PF - PL = 定值= 双曲线的距离差。
所以，焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。
证明（2）：设双曲线上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。
圆锥曲线经典性质总结及证明
③当 2a | F1F2 | 时，|| PF1 | | PF2 || 2a 不表示任何图形；④两定点 F1, F2 叫做双曲线的焦点，| F1F2 | 叫做焦距。
（2）双曲线的性质
①范围：从标准方程 x 2 a2
y2 b2
1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 x a 的外侧。即 x2
圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a （大于| F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两
个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有| MF1 | | MF2 | 2a 。
椭圆的标准方程为： x2 a2
y
b 所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以 y 代替 y 方程不变，所以若点 (x, y) 在曲线上时，点 (x, y) 也在曲线上，所
以曲线关于 x 轴对称，同理，以 x 代替 x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。若同时以 x 代替 x ， y 代替 y 方程
也不变，则曲线关于原点对称。
y2 b2
1（
a
b
0
）（焦点在
x
轴上）或
y a
2 2
x2 b2
1（ a b 0 ）（焦点在 y 轴上）。
注：①以上方程中 a, b 的大小 a b 0 ，其中 b2 a2 c2 ；
②在 x2 a2
y2 b2
1和
y2 a2
x2 b2
1两个方程中都有 a b 0 的条件，要分清焦点的位置，只要看 x2 和
点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 f(x0,y0)≠0。
高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
一、圆锥曲线的标准方程
圆锥曲线的标准方程为：
$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a与b分别是椭圆的两个半径，且ab，a与b是正实数。
二、圆锥曲线的性质
1. 圆锥曲线的概念
圆锥曲线是由两个椭圆及其余部分所构成的四边形的边界线，是圆锥曲线的概念。
2. 圆锥曲线的对称性
由于圆锥曲线是由两个椭圆所构成，因此它具有x轴对称性和y 轴对称性，即曲线的俩边彼此对称。
3. 圆锥曲线的四个焦点
圆锥曲线的四个焦点分别位于椭圆的两个长轴端点，称为四个焦点。
4. 圆锥曲线的两个长轴
圆锥曲线的两个长轴是两个椭圆的长轴，它们的长度分别是a和b，两轴相交处的位置是圆锥曲线的中心点。
5. 圆锥曲线的弧长
圆锥曲线的弧长为：
$$mathcal{L}=2aarcsinfrac{b}{a}$$
其中，a与b是椭圆的两个半径，且ab。
6. 圆锥曲线的曲率
圆锥曲线的曲率为：
$$K=frac{a}{b}$$
其中，a与b是椭圆的两个半径，且ab。
圆锥曲线重要结论
双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数圆锥曲线中的重要性质经典精讲上性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆 双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段（长为2b ）2 21已知动点P 在椭圆—L 4 3 1上，F i , F 2为椭圆之左右焦点，点 G F 1PF 2内心，试求点G 的轨迹方程 x 2 2 •已知动点P 在双曲线一 4 3 仝 1上，F 1, F 2为双曲线之左右焦点,圆G 是厶F 1PF 2的内切圆，探究圆G 是否过定点，并证明之• 性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 IAF 1 | |BF 1 |ep|AF | |BF | epAB 在同支时I AR | | BF 1 | ep—AB 在异支时ep性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数此求四边形ABCD 面积的最小值•性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值X 2 y 25.已知椭圆-冷1,点F 1为椭圆之左焦点，过点F 1的直线11分别交椭圆于A , B 两点,II设直线AB 与 y 轴于点M , MA AFtMB BF 1,试求性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点 A 作两焦点的焦点弦AB AC 其共线向量比之和为定值. 即AF 1 F 1 B AF 2 F 2C12 1F A?FB 恒成立•并由此求I ABI 的最小值•椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数2 e 2双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep|AB||CD ||2 e 2|2ep2 e 2|AB||CD|2ep24.已知椭圆—4 2红 1 , F 1为椭圆之左焦点，过点 F 1的直线11,12分别交椭圆于 A, B 两3点和C, D 两点，且 I 112 ,是否存在实常数，使的值.实常数 ，恒成立•并由⑴求椭圆C 的方程;⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点 F i , F 2的弦分别为ES, ET ,设圆锥曲线中的重要性质经典精讲中2性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N( t,0 )的一条弦端点与对应点Y ，0的连线所成角被对称轴平分。
圆锥曲线几何性质总结归纳
圆锥曲线的几何性质一、椭圆的几何性质（以22a x +22by =1（a ﹥b ﹥0）为例）1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=⎫⎪⇒+++=⎬+=⎪⎭即24ABF C a =2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2tan2θ∙b（2）（S ⊿PF1F2）max = bc（3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在12AF F 中∵ 22212124cos 2PF PF c PF PF θ+-=⋅∴ ()2121212c o s 2P F P F P F P F P Fθ⋅=+-⋅∴ 21221cos b PF PF θ⋅=+∴ 1222112sin cos tan 21cos 2PF F b S b θθθθ-=⨯⋅=⋅+ （2）（S ⊿PF1F2）max =max 122c h bc ⨯⨯= （3 ()()()2222222212002222222120004444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+ 当0x =0时 cos θ有最小值2222a c a- 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M ， 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2xx证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OM 由已知有 1P F F P = M 为1F F 中点 ∴ 212O M F F ==()1212PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 222x y a +=4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切证明：取1PF 的中点M ，连接OM 。
令圆M 的直径1PF ，半径为∵ OM =()2111112222PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M 与圆O 内切∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ，连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣：∣IP ∣=e证明：证明：连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵1212121222F R F R F R F R I R ce P I P F P F P F P F a +=====+ ∴IRPI= e6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。
高中数学圆锥曲线135个性质结论汇总归纳
高中数学圆锥曲线135个性质结论汇总归纳目录一、几个统一定义1.椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一2.椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二二、与焦半径相关的问题3.椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）4.椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质5.椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质6.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质7.椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质三、与焦点弦相关的问题8.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值 1）9.椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值 2）10.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3）11.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 1（中点共线）12.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 2（三点共线）13.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 3（对焦点直张角）14.椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系15.椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）16.椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广17.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值18.椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值四、相交弦的蝴蝶特征19.椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一20.椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二五、切点弦的相关问题21.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 1（等比中项）22.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 2（倒数和 2 倍）23.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 3（外项积定值）24.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 4（平行线族）25.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 5（切点弦过定点）六、等角问题26.椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一27.椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二28.椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线29.椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质30.椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质七、与动弦中点相关的问题31.圆、椭圆、双曲线中点弦与中心性质32.圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）33.椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质34.椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹35.椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹八、数量积定值问题36.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值37.椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值九、其他重要性质38.圆锥曲面光线反射路径的性质39.椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质40.椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质41.椭圆、双曲线的 90 度的中心角性质42.圆、椭圆、双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值43.椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶44.椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差45.椭圆、双曲线、抛物线的焦点与切线的距离性质46.椭圆、双曲线、抛物线的中心与共轭点距离等积问题探究 1动点P 在圆A：(x )2 y2 4 上运动，定点B(, 0) ，则（1）线段QB 的垂直平分线与直线QA 的交点P 的轨迹是什么？（2）若BM tMQ ，直线l 过点M ，与直线QA 的交于点P ，则点P 轨迹又是什么？PA PN 动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于是椭圆备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于是双曲线备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于是抛物线备用课件问题探究 2已知定点A(1, 0) ，定直线l1 ：x 3 ，动点N 在直线l1 上，过点N 且与l1 垂直的直线l2 上有一动点P，满足，请讨论点P 的轨迹类型.3. 椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）问题探究 3 已知两定点A(1, 0), B (1, 0)，动点 P 满足条件PA8，另一动点 Q 满足，求动点 Q 的轨迹方程. Q B ? P =B 0 , ?Q P + ? P A P ?B P A ? = P ?B ?4. 椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质问题探究4 已知两定点 A (2, 0), B (2, 0) ，动点 P 满足条件 PA PB 2 ，动点 Q 满足 QB ( PAPB)0 ，QP ( PA PB) 0 ，求动点 Q 的轨迹方程.PA PBPA PB。
圆锥曲线结论大全及证明过程
圆锥曲线结论大全及证明过程一、椭圆。
1. 椭圆的定义及标准方程。
- 定义：平面内与两个定点F_1,F_2的距离之和等于常数（大于F_1F_2）的点的轨迹叫做椭圆。
其中两定点F_1,F_2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离F_1F_2叫做椭圆的焦距。
- 标准方程：- 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其中a为长半轴长，b为短半轴长，c=√(a^2)-b^{2}为半焦距，焦点坐标为(± c,0)。
- 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2}=1(a > b>0)，焦点坐标为(0,± c)。
- 证明（以焦点在x轴上为例）：- 设M(x,y)为椭圆上任意一点，F_1(-c,0)，F_2(c,0)，根据椭圆定义| MF_1|+| MF_2| = 2a。
- 由两点间距离公式| MF_1|=√((x + c)^2)+y^{2}，| MF_2|=√((x -c)^2)+y^{2}。
- 则√((x + c)^2)+y^{2}+√((x - c)^2)+y^{2}=2a。
- 移项√((x + c)^2)+y^{2}=2a-√((x - c)^2)+y^{2}。
- 两边平方(x + c)^2+y^2=4a^2-4a√((x - c)^2)+y^{2}+(x - c)^2+y^2。
- 化简得a^2-cx=a√((x - c)^2)+y^{2}。
- 再平方a^4-2a^2cx + c^2x^2=a^2(x^2-2cx + c^2+y^2)。
- 整理得(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)。
- 令b^2=a^2-c^2，则frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1。
2. 椭圆的一些重要结论。
- 焦半径公式：- 对于椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，设P(x_0,y_0)为椭圆上一点，F_1,F_2为焦点。
(完整word版)高中数学有关圆锥曲线的经典结论
分析几何专题·经典结论·常用技巧Marine相关分析几何的经典结论一、椭圆1.点 P 处的切线 PT均分△ PF1F2在点 P 处的外角 .2.PT 均分△ PF1F2在点 P处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点 .3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21上，则过 P0的椭圆的切线方程是x0 x y0 y1.2222a b a b6.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点a2b2弦 P1P2的直线方程是xxy0 y1.椭圆 x2y2a2b27. 1 (a＞ b ＞ 0) 的左右焦点分别为F1， F 2，点P 为椭圆上随意一点a2b2F1 PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S F PF2b2 tan .12椭圆 x2y 28.1（a＞b＞0）的焦半径公式：a2b2| MF1 |a ex0,| MF2 |a ex0(F1 ( c,0), F2(c,0)M ( x0 , y0 ) ).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆订交P 、 Q两点， A 为椭圆长轴上一个极点，连接AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、 N两点，则 MF⊥ NF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、 A2为椭圆长轴上的极点，A1P 和 A2Q交于点 M， A P 和 A Q交于点 N，则 MF⊥NF.2111.AB 是椭圆x2y2 1 的不平行于对称轴的弦，M(x0 , y0 ) 为AB的中点，则a2b2k OM k AB b2a2，即 K AB b2 x0。
a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 )x2y 21 内，则被Po在椭圆b2所平分的中点弦的方程是a2x0 x y0 y x02y02 a2b2a2b2.13.若 P ( x, y )在椭圆x2y2 1 内，则过Po的弦中点的轨迹方程是000a2b2x2y2x0 x y0 ya 22a2b2.b二、双曲线1.点 P 处的切线 PT 均分△ PF1F2在点 P 处的内角 .2.PT均分△ PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点 .3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线订交 .4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（a＞0,b＞ 0）上，则过P0的双曲线的切线方程a2b2是 x0 x y0 y1.a2b26.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切a2b2x0 x y0 y线切点为 P 、P ，则切点弦P P 的直线方程是1.1212a2b27.双曲线x2y21（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为双曲线上随意a2b2一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1 PF2b2co t.28.双曲线x2y21 （a＞0,b＞o）的焦半径公式：( F1( c,0),F2 (c,0) a2b2当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0a ,| MF2 |ex0 a .当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 |ex0 a , | MF 2 |ex0a9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线订交P 、Q两点， A 为双曲线长轴上一个极点，连接 AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、 N两点，则 MF⊥ NF.10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的极点，A P 和 A Q交于点M， A P 和 A Q交于点 N，则 MF⊥ NF.122111.AB 是双曲线x2y 21 （a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M( x0, y0)为 AB a2b2b2 x0b2 x0的中点，则 K OM KAB，即 K AB。
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圆锥曲线的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.（求导）5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.（结合4）6. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）7. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义）8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕10. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
（点差法）11. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.（点差法） 12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.（点差法） 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.（同上）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（同上）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.（同上）4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）（同上）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.（同上） 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.（同上）7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.（同上）8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--（同上） 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.（同上） 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.（同上）11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
（同上） 12. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-.（同上）13. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.（同上）椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.证明2. 过椭圆22221x ya b += (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.证明3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 证法1（代数）证法二（几何）4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.（上条已证）5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 21时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQS ∆的最小值是2222a b a b +.证明9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 证明（图片有误，ep=b^2/a ）10. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-. 13. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.证明14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.（之前有类似的）15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （角分线定理+合比公式）（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.（角分线定理）18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（角分线定理）双曲线1.双曲线22221x ya b-=（a＞0,b＞0）的两个顶点为1(,0)A a-,2(,0)A a，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x ya b+=.（同上）2. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.（同上）3. 若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1,F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.（同上） 4. 设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.（同上）5. 若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.7. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC -≤.8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥. （1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQS ∆的最小值是2222a b b a -.（同上） 9. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.（同上） 10. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2)122cot 2PF F S b γ∆=.（同上）12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-. (2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=+. 13. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.（同上）14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.（同上）15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（同上）(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).（同上）16. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.（同上）17. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.（同上）18. 已知椭圆22221x y a b+=上一点000(,)P x y ，以直线与椭圆交于M,N 两点，恒有P0M ⊥PON ，则直线横过),(2222022220b a a b y b a b a x +-⋅+-⋅ 证明19. 已知椭圆22221x y a b+=，不再椭圆上的一点P ，过P 做倾斜角互补的两直线，与椭圆交于A,B,C,D 四点，则A,B,C,D 四点共圆证明其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：212122111AB kx x y y k=+-=+- 2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为0)的形式。