2.8 正规表达式和有限自动机的应用

λ ( x1 L xn , y1 L yk ) = z1 L zm
用时序电路实现有限自动机
设 M = (Q, ∑, ∆, δ , λ , q0 ) 为一个带输出的有限自动机， 下面讨论怎 样用时序电路实现 M 的功能。 由于时序电路的输入、输出以及反馈信号都只有 0,1 值，因此首 先要把有限自动机的状态集， 输入字母表和输出字母表都改为 0,1 串 的集合。即选择 k, n 和 m 使得
q3 q2 q0
0 b1
b2 b1 b2
1 b3
b1 b3 b3
由于
21 <| Q |= 4 ≤ 22 20 <| ∑ |= 2 ≤ 21 21 <| ∆ |= 3 ≤ 22
所以，我们把有限状态集，输入字母表和输出字母表分别扩展 为 Q1 = {0,1}2 , ∑1 = {0,1}1 , ∆1 = {0,1}2 ， 从而得到与 M 等效的带输出的有 限自动机 M 1 = (Q1 , ∑1 , ∆1 , δ1 , λ1 , q01 )
δ1 ( s1s2 , x) = t1t2 λ1 ( s1s2 , x) = u1u2
这样，上面关于δ1 和 λ1 的表就可以改为下面的真值表的形式。
s1 0 0 0 0 1 1 1 1
s2 0 0 1 1 0 0 1 1
x 0 1 0 1 0 1 0 1
u1 0 1 0 0 0 1 0 1
u2 0 0 1 0 0 0 1 0
许多控制系统的控制部件都是时序电路。对于一个控制系 统，可以把它的时序电路转化为一个带输出的有限自动机来 分析系统的运行。反过来，要设计一个复杂的控制系统，可 以先设计出能够实现所要求得有限自动机，然后把它转化为 时序电路。 本节主要讨论两个问题：1）怎样用一个有限自动机描述 一个时序电路？2）怎样用一个时序电路来实现一个有限自动 机。 用有限自动机描述时序电路 我们对前面给出的时序电路的轮廓模型来加以说明。由 于x1, … ，xn是一组输入信号，所以有限自动机的输入字母表 为
b
b, c
a
q0
a
b, c
q1
c
a
q2
a
b
q3
c
qf
关于把这个 DFA 转换为 KMP 流程图，一般算法书都有讨论。
2.8.4
时序电路的分析与设计
带输出的有限自动机常常被用作系统模型。许多复杂的控制 系统的设计都是先用带输出的有限自动机设计出模拟系统运行的 模型，然后把这个有限自动机模型转化为逻辑电路来实现控制功 能的。 逻辑电路的基本元件是门电路，把各个门的输入、输出通过 串联或并联组合得到的电路称为组合电路，时序电路则是由组合 电路和存储器组成，存储电路用于存储过去的输入（输出）信息 并产生反馈信号。存储电路的轮廓结构如下图所示
t1 0 0 0 1 0 1 1 0
Hale Waihona Puke t2 1 0 0 1 0 0 0 0
根据这个真值表，就可以写出由 s1 , s2 和 x 分别确定 u1 , u2 , t1 和 t2 的逻辑公式（用析取范式表示） 。
u1 = ( s1 ∧ s2 ∧ x) ∨ ( s1 ∧ s2 ∧ x) ∨ ( s1 ∧ s2 ∧ x) u2 = ( s1 ∧ s2 ∧ x) ∨ ( s1 ∧ s2 ∧ x ) t1 = ( s1 ∧ s2 ∧ x) ∨ ( s1 ∧ s2 ∧ x) ∨ ( s1 ∧ s2 ∧ x ) t2 = ( s1 ∧ s2 ∧ x ) ∨ ( s1 ∧ s2 ∧ x)
δ:
其中
{0,1}k × {0,1}m → {0,1}k {0,1}k × {0,1}m → {0,1}m
λ:
q0 ∈ {0,1}k
如果我们知道存储器的初始值为 A1 A2 L Ak ( Ai ∈{0,1}) ， 则有限自动机 的初始状态就是 q0 = A1 A2 L Ak ，状态转换函数 δ 和输出函数 λ 则由 x1 L xn , y1 L yk , z1 L zm 和 w1 L wk 的值确定，即 δ ( x1 L xn , y1 L yk ) = w1 L wk
δ1 λ1
{0,1}k × {0,1}n → {0,1}k {0,1}k × {0,1}n → {0,1}n
这样就得到一个功能等价于 M 的新的带输出的有限自动机 M 1 = (Q1 , ∑1 , ∆1 , δ1 , λ1 , q01 )
把M1中的状态看作为k位逻辑值，输入字符看作为n位逻辑 值，输出字母看作是m位逻辑值，这样状态转换函数和输出 函数都可以用逻辑表达式表示，最后，就可以用逻辑电路 （时序电路）来实现这些逻辑公式。 下面通过一个例子来说明用时序电路实现带输出的有限 自动机的全过程。
2.8 正规表达式和有限自动机的应用
正规表达式和有限自动机都有着广泛的应用。下面举例说明
2.8.1 词法分析程序
高级语言程序 编译程序 语法检查 词法分析 编译的 5 个阶段 句法分析 指令代码生成 优化 机器指令程序
词法分析程序的任务：鉴别高级语言程序中各个“词”的成分 （如是否标识符，关键字…等） 。 鉴别功能的实现—主要借助正规表达式和有限自动机。 例，假设某种程序设计语言规定：标识符是由大写英文字母开 头，由大写英文字母和数字组成的长度不大于 8 的字符串。 那么在词法分析程序中， 首先把上述规定用一个正规表达式表 示，如下
把有限自动机应用于文本搜索的最早实例可能是字符串匹配 的 KMP 算法。这个算法用于在文本中查找出预先给定的一个字符 串模式，或要求在文本中找出同这个模式匹配的所有字符串。 KMP 算法的基本思路是：首先构造出一个识别字符串模式的 “准 DFA” ，再把这个准 DFA 转化为“KMP 流程图” ，最后根据 KMP 流程图写出字符串匹配算法。 说构造出的是“准 DFA” ，它同一般的 DFA 基本相同，不同 之处是在这个“准 DFA”中，一旦进入终止状态（匹配成功） ，就 不再继续扫描字符。在图形表示中，从终止状态不引出有向边。 例如， 例如，假设给出一个字符串模式为 P=aabc，那么识别这个串 的准 DFA 如下图所示。
Q1 = {00, 01, 10, 11}
其中
∑1 = {0,1} ∆1 = {00, 01, 10, 11} q01 = 00
δ1 和 λ1 由下表给出
状态
δ1
0 01 00 00 10 1 00 11 10 00 0 00 01 00 01
λ1
1 10 00 10 10
00 01 10 11
从这个表看出，11 并未出现在 λ1 的取值中，因此 ∆1 虽然比 ∆ 多 了一个值（11） ，但它只是形式上存在。这表明 M 1 同 M 是等效的。 为了用逻辑电路实现有限自动机 M 1 ，我们把 M 1 中的状态、输入 字母、输出字母中的每一位都用一个逻辑变量来表示。即用 s1s2 和 t1t2 表示 M 1 的当前状态和下一状态，用 x 表示 M 的输入字母，用 u1u2 表 示 M 1 的输出。那么 M 1 的状态转换函数和输出函数就可以改写为
x1 xn y1 yk w1 wk
z1 zm
图中 x1 L xn（ xi = 0 或 1）表示当前的输入信号， y1 L yk （ yi = 0 或 1） 表示存储的反馈信号， 组合电路对 x1 L xn 和 y1 L yk 进行加工， 产生一组输出信号 z1 L zm （ zi = 0 或 1）和一组存储信号 w1 L wk （ wi = 0 或 1）存放到存储器中，以便产生下一组反馈信号。
根据这个析取范式，就可以画出实现 M 1 的时序电路，如下图 所示。
& & &
≥1
u1
&
x
≥1
&
u2
x
&
≥1
t1 t2
&
≥1
非门
&
s1
s1 s2
t1 t2
与门 或门
≥1
s2
在文本编辑程序中，经常遇到用一个字符或一个串来代换另 一个串的命令。例如 UNIX 文本编辑中就有一个这样的命令： S/BBB*/B/ 在这个命令中 S 表示“替换” ，S/后的 BBB*是指原文中被替 换的串（它是 B2B*的另一种表示方法） ，后面的/B/是用于替换前 面的串的字符。这个命令的含义是把文中出现的多于两个空白符 （B）的串换成一个空白符。可见，这个命令是使文本书写紧凑的 一个命令。 这里，BBB*就是一个正规表达式，它表示长度 ≥ 2 的空白串 的集合。 2.8.3 文本搜索与字符串匹配
∑={0，1}n
y1, …,yk可以看作是系统的当前状态，加工后得到的 w1,w2, …,wk，则是系统的下一状态，从而系统的状态集为 Q={0，1}k z1, …,z2是系统的输出信号，所以输出字母表为
△={0，1}m
这样，我们就得到一个带输出的有限自动机
M = ({0,1}k , {0,1}n , {0,1}m , δ , λ , q0 )
字母 （字母 + 数字）
7
字母 ∈ { A, B, C ,L X , Y , Z } 数字 ∈ {0,1,2,L ,8,9}
然后根据正规表达式与有限自动机的等价性， 构造出一个识别 上述正规表达式所表示的语言的有限自动机。 一个词法分析程序其 实就是用指令代码写成的一个个这样的有限自动机。
2.8.2 文本编辑程序
例2.17
设有一个有限自动机 M = (Q, ∑, ∆, δ , λ , q0 )
其中 Q = {q0 , q1 , q2 , q3}, ∑ = {0,1}, ∆ = {b1 , b2 , b3}， 状态转换函数δ 和输 出函数 λ 见下表
状态
q0 q1 q2 q3
δ
0 q1
q0 q0 q2
λ
1 q0
2k −1 <| Q |≤ 2k 2n−1 <| ∑ |≤ 2n 2m−1 <| ∆ |≤ 2m