空间问题的解答
第6章 线性空间(解答题)(65题)
1．什么是线性空间?答:设V 是一个非空集合,P 是一个数域,在V 中定义了一个加法运算,在P 和V 的元素之间定义了一个数量乘法运算.如果上述两种运算满足以下规则,那么就称V 为P 上的一个线性空间(或称向量空间).1).+=+αββα；2).++=++αβγαβγ（）（）； 3).V 中有一个元素0，V α∀∈都有+0=αα，0称为V 的零元素； 4).V α∀∈，存在V β∈，使得+=0αβ，β称为α的负元素； 5).1=αα； 6).()()k l kl αα=； 7).()k l k l ααα+=+； 8).(+)=+k k k αβαβ；其中α，β，γ表示V 中的任意元素；k ，l 表示P 中的任意数．2．非空集合Ｖ在定义了加法和数乘运算之后成为P 上的一个线性空间，V 能否再定义另外的加法和数乘运算成为P 上的另一个线性空间？ 答：有可能．例如，全体二元实数列构成的集合{(,)|,}V a b a b R =∈．1).定义(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k a b ka kb ⊕=++=，则V 成为R 上的一个线性空间 2).定义2(1)(,)(,)(,),(,)(,)k k a b c d a c b d ac k a b ka kb a z+⊕=+++=+，则V 成为R 上的另一个线性空间.3．线性空间V 有哪些简单性质与结论？ 答：1）零元素是唯一的；2）α的负元素是唯一的；3）000k k αα=⇔==或；4）=αα--（）； 5）=k k k ααα-=--（）（）（）； 6）()k a b ka kb -=-；7）,V αβ∀∈，存在唯一的V γ∈，使得=αγβ+.证明：容易验证1）—3），4）因为+=0αα-（），所以α为（α-）的负元，即=αα--（）.5）()(()0,()()k k k k k k ααααα+-=+-=∴-=-.另一式子可类似证明.6）()(())()=()=k k k k k k k k αβαβαβαβαβ-=+-=+-+--. 7）(),+=αβαβγβααχβ+-=∴=-是方程的解.又若1γ也是+=αχβ的解，则1+=+αγαγ.两边左加α-，有1=γγ.所以方程+=αχβ在V 中有唯一解.4．判断一个非空集合M 不是线性空间有哪些基本方法？ 答：1）M 是至少含两个元的有限集；2）M 关于定义的某一运算不封闭； 3）M 不满足8条规则中的任一条.5．线性空间的例子.答：1）数域P 按照数的加法和乘法构成自身上的一个线性空间.特别的，实数域R 和复数域 C 按照数的加法和乘法都是自身上的线性空间.2）已知数域⊆P 数域P ，按照数的加法和乘法，P 构成P 上的线性空间.3）三维空间中与已知向量的全体再添加零向量，对于向量的加法与数乘运算构成一个 实线性空间.4）分量属于数域P 的全体n 元数组，对于n 元数组的加法与数乘构成P 上的一个线性 空间，记作nP .5）无穷实数列的全体：12={()|1,2}i I x x x i ∞∈=，，R ，，对于121211221212()()()=(),x x y y x y x y k x x kx x k R +=++∈，，，，，，，（，，），k ，构成一个实线性空间.6）n 元齐次线性方程组0x =A 的解向量的全体，对于n 维向量的加法和数乘构成P 上的线性空间（为nP 的子空间）.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体，对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.8）数域P 上全体n 阶对称（反对称，上三角）矩阵对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.9）设m n ⨯∈A P，则全体与A 可交换的矩阵的集合，对于矩阵的加法与数乘构成m n⨯P的一个线性空间.10）数域P 上全体满足条件trA=0（trA 表示A 的迹，即A 的主对角线元素之和）的n 阶矩阵的集合，对于矩阵的加法和数乘构成P 上的一个线性空间.11）数域P 上全体一元多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，记作x P[].12）次数小于n 的一元多项式及零多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，记作n x P[].13）集合W={()|()(1)0}n f x f x x f ∈=R[]且对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成R 上的线性空间.14）数域P 上形如352113521n n a x a x a x a x ++++++的多项式的全体，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间.15）数域P 上多项式()g x 的倍式的全体：W={()|()|()}f x g x f x ，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间. 16）由0及数域P 上的m 元n 次多项式121211212(,)()m m m k k k m k k k m k k nf x x x a x xx k ++==∑，，为正整数的全体，对于多项式的加法及数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，其中12mk k k a P ∈.17）对于在区间[,]a b 上的实函数的全体，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.[,]a b 上的连续实函数全体为其子空间，记作[,]C a b .18）全体形如1122sin cos sin 2cos 2sin cos 2n n a a t b t a t b t a nt b nt +++++++的实函数，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.6．下列集合关于指定运算均不构成线性空间：1）起点在原点，终点在不经过原点的直线上的空间向量的全体，按向量的加法与数乘运算；2）非齐次线性方程组AX=b(b ≠0)的解向量的全体，按向量的加法与数乘运算； 3）数域P 上次数不低于定数n 的多项式的全体并添上零多项式，按多项式的加法与数乘运算；4）有理数域定义运算：,;2k k βαβ∂∂⊕=+∂= 5）设P 为有理数域，对整数集定义运算：1,k βαβ∂⊕=+-∂=∂.证：1）集合不含零向量，所以不是线性空间.2）如果集合是空集，则不是线性空间. 如果集合非空，则由于不含零向量，所以也 不是线性空间.3）因两个次数不低于n 的多项式之和的次数可能低于n ，即关于多项式的加法不封闭，所以不是线性空间.4）因1(0)2∂∂=≠∂∂≠不满足线性空间定义中的规则5），所以不是自身上的线性空间.5）取3,1,k l ∂===则()3,k l +∂=而5k l ∂⊕∂=.故()k l +∂≠（k l ∂⊕∂），不满足线性空间定义中的规则7），所以集合不是线性空间.7.什么叫做向量的线性相关和线性无关？ 答:设V 是数域P 上的线性空间,且()1,,,1i a V i s s ∈=≥，如果存在一组不全为零的数()1,,i k P i s ∈=，使得()11220s s k a k a k a +++=， （1）那么称向量组1,,s a a 是线性相关的，否则，称它们是线性无关的.注 ○1一个向量不是线性相关,就一定是线性无关,两者必居其一且仅居其一. ○21,,s a a 线性无关 ⇔（1）式仅当10s k k ===成立.8.设1,,n αα线性相关,是否对任意一组不全为零的1,,n k k 都有110n n k k αα++=？答:不一定，比如0α=是线性相关的，它对一切非零数k 都有0k α=.而()()1,0,2,0βγ==就不可能对一切非零数12,k k 使得120k k βγ+=.9.什么叫线性表出？什么叫做两个向量等阶？ 答：设12,,,,m αααβ都是数域P 上的n 维向量，如果有P 中的m 个数1,,m k k ，使1122m m k k k βααα=+++，那么称β是12,,,m ααα的线性组合，或称β可以由12,,,m ααα线性表出（线性表示）.如果向量组12,,,r ααα中每个向量都可以由向量组12,,,s βββ线性表出，且12,,,s βββ中的每个向量都可以由12,,,r ααα线性表出，那么称向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ是等价的.10.向量组之间的等价是不是一种等价关系？ 答：是的.不难证明以下三条成立：1） 反身性：每一个向量组都与自身等价. 2） 对称性：如果12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，那么12,,,s βββ也与12,,,r ααα等价.3） 传递性：如果12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，而12,,,s βββ与12,,,t γγγ等价，那么12,,,r ααα与12,,,t γγγ等价.11.向量的线性相关性有哪些主要性质？ 答：容易证明的有：1） 零向量是线性相关的.含零向量的向量组也是线性相关的 2） 单个非零向量是线性无关的. 3） 设向量组()12,,,2m m ααα≥，则它们线性相关⇔至少存在一个向量，它可以由其余向量线性表出.4） 向量组()I 中如果有部分向量线性相关，则()I 一定线性相关. 5） 向量组()I 线性无关，则()I 的任意一个部分组必线性无关. 6） 向量组12,,,r ααα可以由向量组12,,,s βββ线性表出，则12,,,r ααα线性无关r s ⇔≤.7） 任意1n +个n 维向量必线性相关.8） 两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量. 12.(){}12,,,|.n n i P c c c c P =∈()1,,,1,2,,n i i in a a P i mα=∈=，则12,,,m ααα线性相关'0A x ⇔=有非零解，其中()()'1,,ij m m n A a x x x ⨯==.7.设()()1,1,,,,,1,2,,n i i ik i k in a a a a P i m α+=∈=，令()1,,i ik βαα=()1,2,,i m =则 1）若12,,,m ααα线性相关⇒12,,,m βββ线性相关；2）若12,,,m ααα线性无关⇒12,,,m βββ线性无关.证：1）若存在不全为零的数1,,m l l ，使110m m l a l a ++=，则当然有110m m l l ββ++=.2）用反证法.若12,,,m ααα线性相关，则由1）知12,,,m βββ也线性相关，矛盾.13.如果12,,,m ααα线性无关，但12,,,,m αααβ线性相关，那么β可由12,,,m ααα线性表出，且表示法唯一.证：由假设存在一组不全为零的数11,,m k k +使1110m m m k k k ααβ++++=.若10m k +=，则由110m m k k αα++=，可证10m k k ===.这与假设矛盾，故10m k +≠，于是11m m l a l a β=++，其中1/,1,2,,i i m l k k i m +=-=.即β可由12,,,m ααα线性表出. 若1111m m m m l a l a s a s a β=++=++，则()()1110m mm l s ls αα-++-=.由12,,,m ααα线性无关，得()1,2,,i i l s i m ==，即表示法是唯一的.14.什么叫做极大线性无关组？ 答：如果向量组的一个部分组满足 1） 此部分组线性无关；2） 原向量组每个向量都可由这个部分组线性表出，则称此部分组是原向量组的一个极大线性无关组.注：向量组与极大线性无关组是等价的.15.一个向量组的极大线性无关组是否唯一？答：一般不唯一.比如，()()()0,0,1,0,2,0αβγ===，则β是,,αβγ的极大线性无关组；γ也是,,αβγ的一个极大线性无关组.注：○1一个向量组有多个极大线性无关组时，这些极大线性无关组之间也互相等价.○2由5.可知两个极大线性无关组虽可不同，但它们所含向量的个数相等.16.什么叫做向量组的秩？ 答：向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩.只含零向量的向量组，规定它的秩为0.17.设V 是数域P 上的线性空间，1,,n αα，1,,s V ββ∈，且1,,n αα线性无关，()()11,,,,s n A ββαα=，其中(),i j i j n s A P αα⨯=∈，再设()1,,s A c c =，其中1,,s c c 为A 的n 维向量.若A k =秩，且1,,i ik c c 为()1,,s A c c =的一个极大线性无关组，则1）由（1）式知()12,,,,1,2,,i n i c i s βααα==. （2）○1先证1,,i ik ββ线性无关.设110i k ik l l ββ++=，那么110i k ik l l ββ=++()()112112,,,,,,n i k n ikl c l c αααααα=++()()1211,,,,,.n i k ik l c l c ααα= （3）因为12,,,n ααα线性无关，由（3）知11,,0i k ik l c l c = （4） 在nP 中，1,,i ik c c 线性无关，由（4）知10k l l ===.○2其次，再任取{}12,,,s ββββ∈，那么i c 可由1,,i ik c c 线性表出，即11i i k ik c m c m c =++，于是()12,,,i n i c βααα= ()()1211,,,n i k ik m c m c ααα=++()()112112,,,,,,n i k n ik m c m c αααααα=++11i k ik m m ββ=++.综合○1、○2，即知1,,i ik ββ为1,,s ββ的一个极大线性无关组.2）由1）即得{}1,,=s k A ββ=秩秩.注：这解决了求抽象线性空间V 的向量组的秩的问题.同时还把求极大线性无关组的问题转化为求nP 中一个向量组的极大线性无关组的问题（而这是已知的）. 18.设()4321642f x x x x x =++-+，()422234f x x x x =++-，()4323491622f x x x x x =+--+，()43473f x x x x =+-+，求()1f x ，()2f x ，()3f x ，()4f x 的极大线性无关组.解：把()i f x 都看成[]5P x 中元素，取[]5P x 中一组基2341,,,,x x x x ，那么()()234123461174041,,,1,,,,12901316124223f f f f x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）令123461174041,,,,12901316124223C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求出1234,,,C C C C 的一个极大线性无关组为234,,C C C .于是（1）式中相应的()()()234,,f x f x f x 为()()()()1234,,,f x f x f x f x 的一个极大线性无关组.19.设1103301121,,,,24127142056A B C D F --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为线性空间22R ⨯的一组基，那么()()111221221031213011,,,,,,,.21725421406A B C D F E E E E ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭而1031213011321725421406⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭秩，所以向量组,,,,A B C D F 的秩等于3. 20.设1,,s αα的秩为r ，1,,r i i αα是1,,s αα中r 个向量，使得1,,s αα中每个向量都可被它们线性表出，则1,,ri iαα是1,,s αα的一个极大线性无关组.证：由假设可知1,,s αα可由1,,r i i αα线性表出，但1,,r i i αα可由1,,s αα线性表出是显然的，从而彼此等价.那么{}{}11,,=,,=r i i s r αααα秩秩.1,,r i i αα∴线性无关.21.如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩.证：当向量组()II 的秩为无穷时，结论显然成立.当()II m =秩时，由假设()I 的极大线性无关组也可由()II 的极大线性无关组线性表出，那么由5.之6）可证()()I II m ≤=秩秩. 注：由此可知等价的向量组具有相同的秩.22.设12,,,n n P ααα∈，n 维标准单位向量()()11,0,,0,,0,0,,1n εε==可被它们线性表出，则12,,,n ααα线性无关.证：1,,n αα显然可被1,,n εε线性表出，又1,,n εε可被1,,n αα线性表出，从而它们等价，于是由15.的注知()()11,,=,,=n n n ααεε秩秩.即知1,,n αα线性无关.注：○1这个命题的逆命题也是对的.○2在抽象的n 维线性空间V 中，此命题可改为：设1,,n ββ为V 的一组基，1,,r V αα∈且1,,n ββ可由1,,n αα线性表出，则1,,n αα也是V 的一组基.○3也可改述为：设1,,n αα是线性空间V 中的一组n 维向量，则1,,n αα线性无关⇔V 中任一n 维向量都可被它们线性表出.23.证明：向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组. 证：设n 维向量组()I 中一个线性无关组()12II :,,,s ααα，如果()I 中每个向量可经()II 线性表出，则()II 为()I 的一个极大无关组.否则至少有一个向量()I α∈不能由()II 线性表出，将添到()II 中成为向量组()III ，则()III 中向量是线性无关的.这样继续下去，经过有限步（不大于n ）后，向量组()II 即可扩充为()I α∈的一个极大无关组.24.设向量组12,,,m ααα线性无关，12,,,,,m αααβγ线性相关.证明：或者β与γ中至少有一个可由12,,,m ααα线性表出，或者12,,,,m αααβ与12,,,,m αααγ等价.证：因12,,,,,m αααβγ线性相关，所以存在不全为零的数12,,,,,m k k k b c 使110m m k k b c ααβγ++++=.显然，,b c 不全为零，否则与12,,,m ααα线性无关矛盾.当0,0b c ≠=时，β可由12,,,m ααα线性表出；当0,0b c ≠≠时，β可由12,,,,m αααγ线性表出，γ可由12,,,,m αααβ线性表出，因而12,,,,m αααβ与12,,,,m αααγ等价.25.设12,,,n n P ααα∈且线性无关，则12,,,n A A A ααα线性无关⇔()=A n 秩.其中A是数域P 上的n n ⨯矩阵. 证：令()12,,,n B ααα=.因1,,n αα线性无关，所以0B ≠.必要性 设12,,,n A A A ααα线性无关，即()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠.所以0A ≠，即()=A n 秩.充分性 设()=A n 秩，即0A ≠，从而()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠.所以12,,,n A A A ααα线性无关.26. 设向量组12,,,s ααα的秩为r ，在其中任取m 个向量12,,,mi i i ααα，则{}12,,,m i i i r m s ααα≥+-秩.证：设12,,,m i i i ααα的秩为t ，现将它的一极大无关组（含t 个向量）扩充为1,,s αα的一个极大无关组（含s 个向量）.因此扩充的线性无关向量的个数为r t -.因1,,s αα除向量组1,,m i i αα外，还有s m -个向量，因此，r t s m -≤-，即t r m s ≥+-.27.设123r βααα=+++，213r βααα=+++，，121r r βααα-=+++，则1）1,,r ββ与1,,r αα有相同的秩；2）1,,r αα的任意一个极大线性无关组也是11,,,,,r r ααββ的极大线性无关组.证：1）由假设知1,,r ββ可由1,,r αα线性表出.但是()()1212+=1r r r βββααα++-+++()()12121=+1r r r αααβββ+++++- （1）用（1）式减去假设的每一个式子，可得11221212211,111121,111112.111r r r r r r r r r r r r r r r r αβββαβββαβββ-⎧=+++⎪---⎪-⎪=+++⎪---⎨⎪⎪-⎪=+++⎪⎩--- 即1,,r αα也可由1,,r ββ等价，所以{}{}11,,,,r r r ββαα=≤秩秩.2） 由1）知1,,r αα与11,,,,,r r ααββ等价，可知1,,r αα的一个极大线性无关组就是11,,,,,r r ααββ的一个极大线性无关组.28.设向量组1,,s αα中10α≠且每个()2,3,,i i s α=都不能由11,,i αα-线性表出，则1,,s αα线性无关.证：用反证法.如果1,,s αα线性相关，那么有不全为零的数12,,,s k k k 使1122=0s s k k k ααα+++ （1）从右至左，设第一个不为零的数是l k ，而10l s k k +===，则（1）式为1122=0l l k k k ααα+++.因10α≠，所以1l ≠，故112121111l l l k k kk k k αααα--=----.即l α可由121,,,l ααα-线性表出，此与题设矛盾.所以1,,s αα线性无关.29.如果()()()123,,f x f x f x 是线性空间[]P x 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么它们线性无关.证：用反证法.如果它们线性相关，即存在不全为零的数123,,k k k ，使()()()1122330k f x k f x k f x ++=.不妨设10k ≠，则()()()3212311=k k f x f x f x k k --+. 此式说明()()23,f x f x 的最大公因式就是()1f x 的因式，即()()()()()()()12323,=,f x f x f x f x f x .此与()()()()123,=1f x f x f x 及()()()23,1f x f x ≠矛盾，所以()()()123,,f x f x f x 线性无关.30.设12,,,m ααα线性无关，则122311,,,,m m m αααααααα-++++线性无关的充分必要条件是m 为奇数.证：令112223111,,,,m m m m m βααβααβααβαα--=+=+=+=+，由题设得()()1212,,,,,,m m A βββααα=，其中10110011n mA ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 按第一行展开，()12,110,m m A m +⎧=+-=⎨⎩为奇数；为偶数，而12,,,m βββ线性无关的充分必要条件是0A ≠，即m 为奇数31.设向量组12,,,m ααα线性相关，但其中任意1m -个向量都线性无关，则 1）等式1122=0m m k k k ααα+++中的系数()1,,i k i m =或者全为0，或者全不为0.2）当存在两个等式1122=0m m k k k ααα+++ （1） 1122=0m m l l l ααα+++ （2）其中10l ≠时，（1），（2）的对应系数成比例：1212mmk k k l l l ===. 证：1）当()1,,i k i m =全为0时，恒为等式的解.以下设有一个i k 不等于0，不失一般性，设10k =.此时其余的()2,,i k i m =都不为0.若等式化为()100j j j ik k α≠=≠∑，于是这1m -个向量线性相关，此与题设矛盾.2） 由于10l ≠，由1）知: 2,,m l l 均不为0.如果()1,,i k i m =全为0，那么结论成立.否则i k 全不为0，()()112i l k ⨯-⨯，得()()11212211100m m r l k k l l k k l ααα-+-++-=.由1），因1α的系数为0，所以2,,m αα的系数全为0，即121210m m l k k l l k k l =-==-，即1212mmk k k l l l ===.32.求向量组()11,2,2,3α=-，()22,4,1,3α=--，()31,2,0,3α=-，()40,6,2,3α=，()52,6,3,4α=-的一个极大线性无关组.解1（初等变换法）以12345,,,,ααααα为列作矩阵A ，对A 施行初等变换为阶梯型矩阵B ：1210212102242660322121023000313333400000A B ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由B 可知：124,,ααα；134,,ααα；125,,ααα；135,,ααα均为原向量组的极大无关组. 注：用这种方法可以找到向量间的全部极大无关组.解2（子式法）因矩阵A 的4阶子式均为0，而3阶子式11022612022--=-≠，所以134,,ααα为一极大无关组.解3（逐一扩充法）因10α≠，所以1α线性无关，又因12,αα对应分量不成比例，故12,αα线性无关.因123,,ααα线性相关（这可由123,,ααα作成的矩阵的所有3阶子式为0看出），所以3α不收入.再观察124,,ααα，由于124,,ααα作成的矩阵有非零的3阶子式，所以124,,ααα线性无关，又因1245,,,αααα线性相关，所以124,,ααα为一极大无关组.33.什么叫做线性空间的基于维数？答：如果数域P 上的线性空间V 有n 个线性无关的向量12,,,n ααα，而且V 中每个向量都可以由它们线性表出，那么称这组向量为V 的一组基（基底）.也称12,,,n ααα生成（或张成）线性空间V .12,,,n ααα为V 的一组生成元.基中所含向量的个数n 称为V 的维数，记作dim V n =或()V n =维.称V 为维线性空间.如果V 中有任意多个线性无关的向量，那么称V 为无限维线性空间，记为dim V =∞.如果{}0V =，那么称V 是零维的，记为dim 0V =.注：○1线性空间V 的基，实际上就是V 的一个极大线性无关组.○2一个线性空间V 有一组基1,,n αα，取()ij n nA α⨯=，当0A ≠时，令，其中为的列向量，令()1,,n A c c =，其中1,,n c c 为A 的列向量，令()1,,i n i c βαα=()1,2,,i n =则可知1,,n ββ也是V 的一组基.由此可知V 的基不是唯一的.○3两组基之间是互相等价的，因为向量组的两个极大线性无关组是互相等价的.34.几类重要的线性空间的维数与基是什么？答：1）数域P 看成自身上的线性空间，则1是它的一组基，dim 1P =. 2）复数域C 看成实数域R 上的线性空间，1,i 是C 的一组基，dim 2P =.3）实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，则dim P =∞.事实上，21,,,ππ是线性无关的.因为如果21,,,,n πππ线性相关的话，那么π是代数数了，而π是超越数.故对一切自然数n ，向量组21,,,,n πππ都线性无关，由n 的任意性，故dim P =∞.4）全体正实数R +，定义a b ab ⊕=，kk a a =，则R +为R 上的1维线性空间.任何一个非零向量都是其一组基.因1是其零向量，取定(),1,1R Ra ββα++∈≠∀∈≠，有()log log βαβαβαβ==，即α可由β线性表出，所以是一维的.5）数域P 上的全体n 元数组构成的线性空间nP 是n 维的，()11,0,,0ε=，()20,1,,0ε=，，()0,,0,1n ε=是一组基.6）n 元齐次线性方程组0Ax =（A 为m n ⨯矩阵，()=A r 秩）的解空间是n r -维的，其基础解系是它的一组基.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体m nP⨯的维数是mn .以ij E 表示第i 行第j 列元素为1，其余元素为0的m n ⨯矩阵，则()1,2,,;1,2,,ij E i m j n ==为m n P ⨯的一组基.8）实数域上全体n 级实对称矩阵构成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij ij E E i j n +≤≤≤为一组基. 9）实数域上全体n 级反对称矩阵构成的线性空间的维数是()12n n -.()1ij ij E E i j n -≤≤≤为一组基. 10）实数域上全体n 级上三角矩阵构成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij E i j n ≤≤≤为一组基.11）全体形如1230n nX P X X ⨯⎛⎫∈⎪⎝⎭的矩阵（1X 为r r ⨯矩阵）构成的线性空间，因零块有()r n r -个元素，所以线性空间的维数是()2n r n r --.(),;,1,2,,ij E i r j r i r j n ≤≤≥=为一组基.12）全体n nA P⨯∈且满足0trA =（A 的迹为0）的矩阵构成的线性空间的维数是()()2211nn n n -+-=-，除nn E 外的一切,,1,2,,ij E i j n =为一组基.13）次数小于n 的一元多项式的全体加上零多项式构成的线性空间[]n P x 的维数是n ，且211,,,,n x x x -为一组基.14）线性空间()()[](){}|10n W f x f x R x f =∈=且的维数是1n -.且121,1,,1n n x x x -----是W 的一组基.15）数域P 上m 元n 次齐次多项式()()121211212,,,mmm k k k m k kk m i k k nfx x x x x x k α++==∑为正整数和零多项式构成的线性空间的维数是()()()()1211n n n m m +++--!，1212mk k k mx x x 1m i i k n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为一组基.事实上，上述向量组线性无关是显然的，它的个数实际上是从m 种元素中每次取n 个元素的有重复的组合数，即()12nm x x x +++展开后不同类的项数：()()()()1111211n n m m n m n m n n n m C C C m -+-+-+++-===-!.16）分量属于复数域的全体n 元数组构成实数域R 上的线性空间的维数是2n .()11,0,,0ε=，()20,1,,0ε=，，()0,,0,1n ε=，()11,0,,0η=，()20,1,,0η=，，()0,,0,1n η=为一组基（为虚数单位）.17）线性空间V 中m 个向量生成的子空间()1,,m L αα的维数等于1,,m αα的秩，1,,m αα的任一极大无关组都是()1,,m L αα的一组基.36.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中210000,00A ωωω⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭解：因为212ω-=，31ω=，所以21,3;,31;,3 2.nn k n k n k ωωω=⎧⎪==+⎨⎪=+⎩从而2232100,3;00,,,31;00,3 2.n E n k A A E A A n k A n k ωω=⎛⎫⎧⎪ ⎪====+⎨ ⎪⎪ ⎪=+⎝⎭⎩设21230k A k A k E ++=，得1232123212300,0.k k k k k k k k k ωωωω++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，（1）因系数行列式不为零，所以方程组（1）只有零解：1230k k k ===.说明2,,E A A 线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是2,,E A A 的线性组合，所以V 的维数是3. 2,,E A A 是V 的一组基.37.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中()120,,0i j in a a A a a i j a R a ⎛⎫⎪⎪=≠≠∈ ⎪ ⎪⎝⎭.解：易证对正整数k ，有11201100k kn n k n a a A k E k A k A a --⎛⎫ ⎪⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）事实上，由矩阵的相等得，101111110121221011,,.n k n n kn n k n n n n k k a k a a k k a k a a k k a k a a ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）（2）式的系数行列式D 是范德蒙行列式，故()10ji i j nD aa ≤≤≤=-≠∏.所以方程组有唯一解011,,,n k k k -.这就证明了（1）.再令10110n n k E k A k A --+++= （3）（3）式为（2）式右端为零的情形.由于0D ≠，所以只有零解：0110n k k k -====，说明1,,,n E A A -线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是21,,,,n E A A A -的线性组合，所以dim V n =，21,,,,n E A A A -为一组基.38.设V 为数域P 上的线性空间，V 为从V 中任取m 个元素组成的向量()12,,,m ααα的集合.1）按向量的加法和数乘运算，V 为P 上的线性空间； 2）当V 为无限维时，V 也是无限维； 3）当V 为n 维时，求V 的维数和一组基. 证：1)()0=00V ∈，，，V ∴非空.另外，V 关于加法和数乘运算封闭，且满足定义中的8条规则，所以V 是域P 上的线性空间. 2）当V 是无限维时，取12,,,n βββ为V 的n 个线性无关的向量，令(),0,,0i i ηβ=()1,2,,i n =，则12,,,n ηηη线性无关.由n 的任意性知，V 有任意个线性无关的向量，即V 是无限维的.3）当dim V n =，可推得dim V mn =. 事实上，设12,,,n εεε为V 的一组基.令()1,0,,0i i ηε=，()20,,,0i i ηε=，，()0,0,,ni i ηε=，1,2,,i n =，则这个m n ⨯个向量均线性无关.()12,,,m V αααα∀=∈，因()11,2,,nj ij i i k j m αε=∀==∑，所以()1212111,,,,,,m nnnm i i i i i i i i i k k k αααεεε===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑()()()12111,0,,00,,,00,0,,nnni i i i i i im i i i i i k k k εεεεεε====+++∑∑∑1122111nnni i i i im im i i i k k k ηηη====+++∑∑∑.即α可由mn 个向量()1,,;1,,ij i n j m η==线性表出，所以它们是V 的一组基，dim V mn =.39.什么叫做向量的坐标？答：设V 为数域P 上的n 维线性空间，1,,n αα为V 的一组基.设V β∈，则()111221,,n n n n k k k k k βααααα⎛⎫ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭.称()1,,n k k 为β在基1,,n αα下的坐标.注：○1同一个向量β，在不同基下的坐标一般是不相同的.○2同一个β，当基1,,n αα排列顺序不同时，坐标也不同.比如V 的一组基为123,,ααα，令12335βααα=++，那么β在基123,,ααα下的坐标为()1,3,5，而在下的坐标为()1,5,3.○3这里的坐标概念是解析几何中坐标概念的推广.在平面解析几何中，相当于取基()11,0e =，()20,1e =，在空间解析几何里，相当于取基()11,0,0η=，()20,1,0η=，()30,0,1η=.而代数中是把它们抽象化，并把上述情形作为特例. V 中的基1,,n αα相当于建立一个坐标系.β的坐标()12,,,n n k k k P ∈，相当于β在坐标系12,,,n ααα下的坐标.40.什么叫过渡矩阵？答：过渡矩阵相当于n 维线性空间V 的两组基之间的变换公式.下面给出定义.设1,,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，那么()1,,i n i c βαα=，1,2,,k n =. （1）其中12,,1,2,,i i i ki ni c P k n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪=∈= ⎪ ⎪⎝⎭.把（1）式改写为()()11,,,,n n A ββαα=. （2）其中()()1,,n n ij n n nA c c P α⨯⨯==∈.称A 为基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵，并称（2）为基变换公式.注：○1如果0A ≠，即A 为可逆矩阵.○2由（2）式知()()111,,,,n n A ααββ-=， （3）即1A -为基1,,n ββ到基1,,n αα的过渡矩阵.○3求1,,n αα到1,,n ββ的过渡矩阵A ，只要求出每个i β在基1,,n αα下的坐标（1）即可.41.什么叫坐标变换公式？ 答：设1,,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，由基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵为A .向量γ在基1,,n αα下的坐标为()1,,n x x .设γ在基1,,n ββ下的坐标为()1,,n y y ，那么111n n y x A y x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1） 公式（1）称为坐标变换公式.42.设1,,n αα为线性空间V 的一组基.1）1121212,,,n n βαβααβααα==+=+++也是V 的一组基.2）当向量α在基1,,n αα下的坐标为(),1,,2,1n n -时，求α在基1,,n ββ下的坐标.证：1）因为()()11,,,,n n A ββαα=，其中1101A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，1A =， 所以1,,n ββ线性无关，从而为V 的一组基.2）设α在基1,,n ββ下的坐标为()1,,n x x ，由坐标变换公式知121110111112201111n n n x n n x A x -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 43.在[]3P x 中，求221,,x x x x ++到基221,,x x x x -+的过渡矩阵. 解：因为21,,x x 为[]3P x 的基，所以()()()22221001,,1,,1101,,111x x x x x x x x A ⎛⎫⎪++=-= ⎪ ⎪-⎝⎭. （1） 于是()()()2221221001,,1,,=1,,110111x x x x x x A x x x x -⎛⎫⎪=++++- ⎪ ⎪-⎝⎭. （2） 又()()()22221001,,1,,0111,,011x x x x x x x x B ⎛⎫⎪-+== ⎪ ⎪-⎝⎭， （3） 将（2）代入（3）得()()()22221221001,,1,,1,,111120x x x x x x x x A B x x x x -⎛⎫⎪-+=++=++- ⎪ ⎪-⎝⎭. 所以100111120C ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为所求的过渡矩阵.44.已知()()()()12341,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,εεεε=⎧⎪=--⎪⎨=--⎪⎪=--⎩()()()()12341,2,3,1,2,1,0,1,1,1,0,1,2,1,1,2,ηηηη=⎧⎪=⎪⎨=--⎪⎪=-⎩分别是4P 的两组基，求i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵.并求()1,1,0,1δ=-关于基1234,,,ηηηη的坐标.解：因为()11,0,0,0δ=，()20,1,0,0δ=，()30,0,1,0δ=，()40,0,0,1δ=是4P 的基，由i δ到()1,2,3,4i i ε=的过渡矩阵A 以及由δ到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵B 分别为1111111111111111A ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭， 1212211130011112B ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭由i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵为1A B C -=，1741212141103443212C A B --⎛⎫⎪- ⎪==⎪ ⎪--⎝⎭. 令δ关于基()1,2,3,4i i η=的坐标为()1234,,,x x x x ，则121341112105413x x B x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 45.什么叫做线性子空间？答：设W 是数域P 上线性空间V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算（加法和数量乘法）也构成线性空间，则称W 为V 的一个线性子空间，简称子空间.46.什么叫做V 的平凡子空间？答：V 中仅含单个零向量的子空间称为零子空间，V 本身也是V 的一个子空间，这两个子空间称为V 的平凡子空间，V 除平凡子空间外的子空间（如果存在的话），称为V 的非平凡子空间.47.什么叫做生成子空间？答：V 中任意m 个向量的所有可能的线性组合(){}111,,|,1,2,,m m m i L k k k P i m αααα=++∈=构成V 的一个子空间，称为由1,,m αα张成（或生成）的子空间.注：这一记号非常重要.设V 是n 维的，若()1,,n V L αα=，则1,,n αα为V 的一组基.48.怎样判别子空间？答：设W 是V 的一个非空子集，则W 为V 的子空间的充要条件是：W 对于V 的两种运算是封闭的，即○1,W αβ∀∈都有W αβ+∈； ○2,W k P α∀∈∀∈，都有k W α∈. 条件○1与○2可以合并成一条：,W αβ∀∈及12,k k P ∀∈都有12k k W αβ+∈.49.生成子空间有哪些主要结论？ 答：1）()()11,,,,s t L L ααββ=的充分必要条件是1,,s αα与1,,t ββ等价.2）()()()1111,,,,,,,,,s t s t L L L ααββααββ+=.3）()1,,s L αα的维数{}1,,s αα=秩4）n 维线性空间V 的子空间的一组基必可扩充为V 的一组基.50.常见到子空间有哪些?答：1）V 的两个平凡子空间.2）全体实函数组成的线性空间中，由所有实系数多项式组成一个子空间.3）[]n P X 是线性空间[]P X 的n 维子空间.4）线性变换:V V σ→的值域V σ是V 的子空间.设线性变换在某一组基下矩阵为A ，则其维数等于A 秩，σ的核()10σ-是V的子空间，其维数等于dim V A -秩5）线性变换:V V σ→的属于特征值λ的特征向量的全体添上零向量是V 的特征子空间，记作V λ.若dim V n =，设σ在某一组基下的矩阵为A ，则()dim V n E A λλ=--秩6）数域P 上n 元齐次线性方程组0AX =的解空间W 是nP 的子空间，dim W n A =-秩.7. 设1,,n εε为数域P 上线性空间V 的一组基，m n A P ⨯∈，A r =秩，()'11,,n n c c Pα⨯=∈则()'11|,,0ni i n i W c A c c ε=⎧⎫==⎨⎬⎩⎭∑是V 的n r -维子空间.证：1）先证W 是V 的子空间.其0W ∈知W 非空（这时取()()1,,0,,0n c c =即可）.任取()11,,n n c c βεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()11,,n n d W d γεε⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，那么10n c A c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，10n d A d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 12,k k P ∀∈，则()1112112,,n n n c d k k k k c d βγεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111112120n n n n c d c d A k k k A k A c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以12k k W βγ+∈，从而W 为V 的子空间.2）设0Ax =的解空间为1W ，则1dim dim W W n A n r ==-=-秩.51.什么叫做交空间？答：设V 是数域P 上的线性空间，()V I λλ∈都是V 的子空间，则IV λλ∈⋂也是V 的子空间，并称它为()V I λλ∈的交空间. 注:○1显然IV λλ∈⋂也是V λ的子空间.○2子空间的交是线性空间的一种运算.52. 子空间的交有哪些性质？答：1）适合交换律：1221V V V V ⋂=⋂；2）适合结合律：()()123123V V V V V V ⋂⋂=⋂⋂；3）A ,B 分别为m n ⨯与s n ⨯矩阵，A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设123,,V V V 分别为0Ax =，0Bx =，0Cx =的解空间，则312V V V =⋂.53.什么叫做和空间？答：子空间的和是线性空间的第二种运算.设1V ，2V 都是V 的子空间，则{}121122|,V V ααααα=+∈∈也是V 的子空间，记作12V V +.一般的，设1,,n V V 都是V 的子空间，它们的和空间定义为{}1212++|,1,2,,n n i i V V V V i n ααααα+++==+∈=.注：○112112V V V V V ⋂⊆⊆+，12212V V V V V ⋂⊆⊆+.○2设W 是线性空间，且()W V I λλ⊆∈，则IW V λλ∈⊆⋂.○3设1V W ⊆，2V W ⊆，W 是线性空间，则12V V W +⊆.54.子空间的和有什么性质？ 答：1）1221V V V V +=+；2）()()123123V V V V V V ++=++； 3）下面三条等价 （i ）12V V ⊆，(ii)121V V V ⋂=， （iii ）122V V V +=，55设1V ，2V 是V 的两个子空间，则1V È2V =1V +2V Û1V Í2V 或2V Í1V 。
四年级数学空间与图形试题答案及解析
四年级数学空间与图形试题答案及解析1.请用作垂线和平行线的方法：①画一个长3厘米，宽2厘米的长方形．②画一个长4厘米，高2厘米的平行四边形．【答案】①．②．【解析】①长方形特征：长方形的对边相等，四个角都是直角．首先用三角板画一条3厘米的线段，三角板不动，再用另一三角板的一直角边靠着这块三角板，另一条边上下滑动，过3厘米线段的两个端点分别画两条2厘米的垂线段，再连接这两条线段的另外两点，即可画出一个长3厘米，宽2厘米的长方形．②首先作一条2厘米的线段，再分别过这条线段的两个端点作一组平行线，并分别在这组平行线上截取4厘米长的线段；然后连接这两条线段的另外两点，即可画出一个长4厘米，高2厘米的平行四边形．解：根据分析，可得①．②．【点评】此题主要考查了画指定长、宽的长方形的方法，以及画指定底、高的平行四边形，要熟练掌握．2.一个平角减去一个钝角的差一定是一个锐角．（判断对错）【答案】√【解析】依据角的定义及分类即可判断．解：因为平角是180°，钝角大于90°，平角减钝角，差小于90°，即为锐角．故答案为：√．【点评】此题主要考查角的概念及分类，弄清各类角的度数即可判断．3.一条直线长6厘米，它的一半是3厘米．．（判断对错）【答案】×【解析】根据题意知道，一条直线长6厘米是错误，因为直线是无限长的，没有具体长度，而说成有长度．据此判断．解：一条直线长6厘米，它的一半是3厘米，是错误的，因为直线是无限的．故答案为：×【点评】考查了认识直线的性质，要注意是直线，不是线段．4.以一点为端点，可以作出（）A．一条射线 B．两条射线 C．无数条射线【答案】C【解析】根据射线的特点：有一个端点，无限长；可以得出由一点可以引出无数条射线，由此解答即可．解：以一点为端点，可以作出无数条射线；故选：C．【点评】此题考查了射线的特点．5.把你学过的角按从小到大的顺序排列．．【答案】锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角【解析】根据角的含义：大于0°、小于90°的角叫做锐角；等于90°的角，叫做直角；大于90°、小于180°的角叫做钝角；平角等于180°；周角等于360°；根据题意进行排列即可．解：由分析可得：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角；故答案为：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角．【点评】此题应根据各种角的定义进行分析、解答．6.经过两点可以画条直线，梯形有条高．【答案】一条，无数【解析】（1）根据直线的性质：两点确定一条直线；解答即可；（2）梯形的上、下底平行，梯形的高是两平行边之间的距离，有无数条．解：根据直线的性质，经过两点可以画一条直线，梯形有无数条高；故答案为：一条，无数．【点评】本题主要考查了直线的性质和梯形的特征．7.钟面2：00时，时针和分针形成的角是度，它是角，时整，时针和分针形成的是直角，5：00时，时针和分针形成的角是度，它是角．【答案】60、锐、3或9、150、钝．【解析】（1）因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；当面上2时整，时针与分针之间有2个大格是60°，是锐角；据此解答即可；（2）钟表上共有12个大空格，每个空格是30°，90°的角需要分针与时针之间有3个空格，在3点或9点的时间恰好成90°；（3）钟面上被分成了12个大格，每格是360°÷12=30°，在5点时，分针指向12，时针指向5，分针与时针相差5格，它们之间的夹角是30°×5=150°，进而根据钝角的含义“大于90度小于180度的角是钝角”解答即可．解：钟面2：00时，时针和分针形成的角是 60度，它是锐角，3或9时整，时针和分针形成的是直角，5：00时，时针和分针形成的角是 150度，它是钝角；故答案为：60、锐、3或9、150、钝．【点评】解答此题应结合题意，根据角的概念和分类进行解答．在学习角的时候，渗透了钟表的认识，及两者的共性，时针和分针在旋转过程中组成的两个特殊角．一个两针互相垂直，一个两针成一直线．8.从直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短．．（判断对错）【答案】√【解析】根据从直线外一点向直线所作的所有线段中，垂线段最短解答即可．解：因为从P点向已知直线所作的垂线段PC最短，所以原题说法正确．故答案为：√．【点评】此题主要考查垂线段的性质的灵活运用．9.平角是180度，它等于两个（）A．锐角 B．直角 C．周角【答案】B【解析】根据直角、平角的含义解答：等于90°的角是直角；等于180°的角是平角；因为180÷90=2，所以一个平角等于两个直角；据此解答．解：180°÷90°=2（个），即一个平角等于两个直角；故选：B．【点评】此题应根据直角、平角的含义进行解答．10.一个三角形剪成两个小三角形，则每个小三角形的内角和是90°．．（判断对错）【答案】×【解析】根据三角形的内角和是180度，把一个三角形分成两个小三角形，不管分成几个，只要是三角形，它的内角和就是180°；据此判断即可．解：根据三角形的内角和是180度，所以把一个三角形分成两个三角形，每个小三角形的内角和是90°，说法错误；故答案为：×．【点评】解答此题应明确：不管把一个三角形分成几个小三角形，只要是三角形，它的内角和就是180°．11.有四根分别为5厘米、6厘米、7厘米、11厘米的小棒，从中任意选三根小棒围成一个三角形，有（）种不同的围法．A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】根据三角形边的特征，在三角形中任意两边之和大于第三边，由此解答．解：根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边；可以组成的三角形有：①5厘米，6厘米，7厘米；②6厘米，7厘米，11厘米；③5厘米，7厘米，11厘米；所以一共可以拼成3个三角形；故选：B．【点评】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．12.画出下面三角形底边上的高．【答案】【解析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高（直角三角形一条直角边上的高就是另条直角边）．解：画出下面三角形底边上的高：【点评】本题是考查作三角形的高．注意作高用虚线，并标出垂足．13.一个三角形∠A=30°，∠B=28°，求∠C的大小，并判断它是什么三角形．【答案】∠C是122度，它是一个钝角三角形．【解析】依据三角形的内角和是180°，已知∠A和∠B的度数，用180°减去∠A和∠B的度数即可得到∠C的度数，再根据最大角进行判断三角形的类型即可．解：∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣28°=150°﹣28°=122°因为∠C是钝角，所以这个三角形是钝角三角形．答：∠C是122度，它是一个钝角三角形．【点评】解答此题应明确三角形的内角和是180°，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型．14.仔细观察下面的物体，画出你从不同角度看到的形状．从正面看．从侧面看．从上面看．【答案】，，．【解析】这个立方体图形由两部分组成，左边2个相同的小正方体，右边3个同样的小正方体．从正面能看到5个正方形，左部分一行2个，右部分能看到3个正方形，分两行，下行3个，上行1个；从侧面只能看到一列2个正方形；从上面能看到4个正方形，左部分一行2个，右部分一行2个．解：仔细观察下面的物体，从不同角度看到的形状：从正面看从侧面看从上面看．故答案为：，，．【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形．15.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和．．（判断对错）【答案】×【解析】根据任何三角形内角和都是180°即可解决．解：因为任何三角形内角和都是180°，所以原题说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题考查了三角形的内角和是180°．16.在同一平面内，( ) 的两条直线叫做平行线．两条直线相交，如果其中一个角是90°，那么这两条直线叫做( )【答案】不相交，相互垂直。
banach空间习题答案
banach空间习题答案Banach空间习题答案Banach空间是数学中的一个重要概念，它是一种完备的赋范线性空间。
在学习Banach空间的过程中，习题是不可或缺的一部分。
在这篇文章中，我将为大家提供一些Banach空间习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题：证明每个有限维赋范空间都是Banach空间。
答案：设X是一个有限维赋范空间，我们需要证明X是一个完备空间。
首先，我们知道有限维空间中的任意Cauchy序列都是收敛的。
因此，对于X中的任意一个Cauchy序列，我们可以找到一个有限维子空间Y，使得这个Cauchy序列也是Y中的Cauchy序列。
由于Y是有限维的，所以Y是一个完备空间。
根据完备空间的性质，Y中的Cauchy序列收敛于Y中的某个点。
由于X是Y的子空间，所以这个点也属于X。
因此，X中的任意Cauchy序列都收敛于X中的某个点，即X是一个完备空间，即是一个Banach空间。
2. 习题：证明L^p空间（1 ≤ p ≤ ∞）是一个Banach空间。
答案：首先，我们知道L^p空间是由满足一定条件的可测函数构成的空间。
我们需要证明L^p空间中的任意Cauchy序列都收敛于L^p空间中的某个函数。
假设{f_n}是一个L^p空间中的Cauchy序列，即对于任意的ε > 0，存在一个正整数N，使得当n, m > N时，有||f_n - f_m||_p < ε。
由于L^p空间中的函数是可测函数，我们可以找到一个可测集E，使得E的测度有限，并且对于任意的x ∈ E，有|f_n(x) - f_m(x)| ≤ ||f_n - f_m||_p。
由于{f_n}是一个Cauchy序列，所以对于任意的x ∈ E，存在一个函数f(x)，使得f_n(x)收敛于f(x)。
我们可以定义一个新的函数f，使得对于任意的x ∈ E，f(x) = limf_n(x)。
由于Cauchy序列的极限是唯一的，所以这个函数f是良定义的。
hzf第8章——空间问题的解答2
z dx x z a tan a x
z b dx z x x
b Tdy
讨论：
q 令： 2GK T
z, M 2V
（1）薄膜的垂度对应扭转应力函数，薄膜与 水平面之间形成体积的2倍对应扭矩。 z z z y y zx zy x x （2）薄膜在 y 方向斜率对应扭杆在同一点处 x 方向的切应力。薄膜在 x 方向斜率对应扭杆 在同一点处 y 方向的切应力的大小。
由后一式得
GKa b Mi 3
3 i i
max zx y b
2
3M 2 ab
而 故有
GK M Mi aibi3 3 a i bi3 Mi M 3 a i bi
3Mbi i ai bi3 3M K G ai bi3
从而有
值得注意的是：由上述公式给出的狭矩形 长边中点的切应力已相当精确，然而，由于应 力集中的存在，两个狭矩形的连接处，可能存 在远大于此的局部应力。
2
x2 y 2 a 2b 2 回代入1式得: C 2 2 1 2 2 2(a b ) a b
由
2 d x d y M
a 2b 2 1 1 2 C ( 2 x d x d y 2 y 2 d x d y d x d y) M 可得 2 2 a b a b
q
薄膜具有柔顺性
z(x,y)
薄膜上的点产生垂度 同时薄膜只受表面张力作用
公式推导： （1）建立坐标系： （2）取微元体： 设薄膜单位长度上 的张力为T
o Tdy y Tdx dx q
Tdx
Tdy dy
x
x z a o z Tdy a q b Tdy z' b z(x,y)
小学五年级数学空间图形解决问题
1．在长4分米，宽3分米的长方形纸剪成一个最大的半圆，这个半圆的周长和面积各是多少？2．要用面积是1平方分米的正方形拼一个面积是24平方分米的长方形，可以怎样拼？如果要给长方形四周镶上花边，花边最短长多少分米？（先列表再解答）3．一个报告厅的座位呈梯形状排列，后一排比前一排依次多一个座位，第一排有24个座位，最后一排有36个座位。
这个报告厅能坐得下400人吗？4．一台压路机的前轮宽1.6米，直径是0.8米，每分钟转15周。
这辆压路机每分钟前进多少米？每分钟压过的路面有多大？5．一种液体饮料采用长方体塑封纸盒密封包装。
从外面量盒子长6厘米，宽4厘米，高10厘米。
盒面注明“净含量：240毫升”。
请分析该项说明是否存在虚假。
6．用一个底面是边长8厘米的正方形，高为17厘米的长方体容器，测量一个球形铁块的体积，容器中装的水距杯口还有2厘米。
当铁块放入容器中，有部分水溢出，当把铁块取出后，水面下降5厘米，求铁球的体积。
7．一块梯形钢板，上底是2.3米，下底是3.4米，高是1.8米。
如果每平方米钢板重37.5千克，这块钢板共重多少千克？8．一块形状为平行四边形的麦田，底为24.6米，高为15米，如果这麦田共收小麦239.85千克，平均每平方米的麦田收小麦多少千克？9．一块三角形广告牌，底为8m，高为3.8m，如果要用油漆刷这块广告牌，两面都刷，每平方米用油漆0.82kg，刷这块广告牌至少要用油漆多少千克？（得数保留整数）10．动手操作：（1）下图中每个方格的面积代表1c㎡，请分别画出面积是6c㎡的（211．有一块梯形荒地，上底为6米，下底为10米，高为5米，在这块荒地里挖一个最大的长方形养鱼塘，剩下的种草坪。
草坪的面积是多少平方米？12．一个梯形广告牌，它的上底是8米，下底是12米，高是6米。
如果要给这个广告牌涂上油漆，按每平方米花费15元来计算，共要花多少元？13．一条水渠横截面是梯形，渠深0.8米，渠底宽1.2米，渠口宽2米，横截面积是多少平方米？14．两个同样的梯形，上底长23厘米，下底长27厘米，高20厘米。
空间中的几何问题与解答
空间中的几何问题与解答几何学是数学的一个重要分支，研究几何空间中的形状、大小、位置等性质。
空间中的几何问题涉及到点、线、面、体等基本要素，我们将在本文中探讨一些常见的几何问题，并给出相应的解答。
1. 直线与平面的关系在三维空间中，直线和平面的关系是几何学研究中的基础问题之一。
当直线与平面相交时，可能有三种情况：直线与平面相交于一点、直线包含在平面内、直线与平面平行。
对于这三种情况，可以通过求解方程或使用向量方法来确定直线与平面的关系。
2. 点到直线和平面的距离计算点到直线或平面的距离是几何学中常见的问题。
对于点到直线的距离，可以使用点到直线的公式来计算。
对于点到平面的距离，可以使用点到平面的公式或向量的投影公式来求解。
3. 三角形的性质三角形是几何学中最基本的图形之一，研究三角形的性质有助于我们解决很多几何问题。
三角形的内角和等于180度，且根据边长关系可以将三角形分类为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
在解决几何问题时，我们可以利用三角形的性质进行推理和计算。
4. 圆的性质与计算圆是几何学中另一个重要的图形，研究圆的性质有助于我们解决关于圆的几何问题。
圆的周长和面积的计算公式是通过半径或直径来确定的。
通过圆的性质，我们可以推导出诸如弦、弧、切线等关于圆的其他性质。
5. 空间图形的体积与表面积空间图形的体积和表面积是几何学中重要的计算题目。
对于常见的立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等空间图形，我们可以根据其定义和性质来计算其体积和表面积。
这些计算题目涉及到长度、面积和体积的计算，需要灵活运用相关公式和几何知识进行解答。
通过以上几个方面的讨论，我们可以看到，在空间中的几何问题解答中涵盖了点、线、面、体等几何要素的应用，以及相关的计算方法和公式的运用。
在解决空间中的几何问题时，我们需要充分理解几何学的基本概念和原理，并善于运用数学工具来分析和解决问题。
总结起来，空间中的几何问题与解答需要我们通过几何学的知识和方法，对形状、大小、位置等性质进行研究和分析，以求得准确的解答。
qq常见问题解答~~
qq空间常见问题qq空间回答问题问题1:关于背景音乐不能播放问题歌曲为什么不能听？1.请先确定您的音乐链接是否有效。
操作方法：将您贴到音乐盒中的音乐链接，粘贴到IE 浏览器的地址栏中打开，查看是否能够收听；2.请确定您添加的音乐链接最后三个字母为mp3或wma，如果只是由您自己简单将网页名称修改后粘贴的链接，仍然是无效的。
并注意最后面的地址不要多复制了一个空格。
3.在音乐收藏中，点击您音乐盒中不能收听音乐的编辑按钮，核对您所贴到音乐盒中的链接是否与您在网页上找到的一致。
4.如果您在音乐收藏中点击单首歌曲可以播放，但添加到播放列表中无法播放，请将此歌曲在播放列表中删除，再添加一次。
为什么听不到自己空间里的音乐？请您核实浏览器是否安装了网页助手之类的插件。
该插件若是设置了禁止播放网页音乐则是无法播放的，请将该屏蔽功能关闭即可。
其次请安装MediaPlayer 播放软件后尝试！且请在“音乐盒”播放列表中注意“更新播放列表”。
请您注意测试该歌曲的链接是否存在不稳定情况，建议您可以更换其他链接尝试。
或者您也可以直接使用QQ音乐库中的歌曲.其次请在“音乐盒”播放列表中注意“更新播放列表”。
QQ空间音乐收藏最多只能添加150歌曲。
若您需要添加新的歌曲，建议您直接将旧的歌曲修改为新的歌曲即可。
问题2:自动跳转到其他网站的问题你的情况是因为音乐,模板图片或者flash含有其他网页链接,你可以:1.进入空间的音乐盒,打开播放列表;2.逐个点击已添加在播放列表中的音乐的播放按钮,找到点击播放时个弹出网站的音乐(通常是播放列表中的第一首);3.将会弹出网页的音乐从播放列表中删除;同时进入音乐收藏,找到相应的歌曲,删除即可.4.如果播放列表中未有会弹出网页的音乐,请您再检查您音乐收藏中的音乐,及首页模块中添加的视频或flash链接; 请你参考上面的方法试试~最近,打开空间会弹出网页的情况有上升的趋势,希望大家提高警惕(部分音乐是在大家添加后才会开始弹出网页),尽量使用正规网站的音乐.问题3:播放视频问题如果您想播放视频文件，您可以登陆QQ空间后，选择添加模块.然后根据模块的提示进行操作.(在URL项输入您想插入视频的链接即可。
四年级数学空间与图形试题答案及解析
四年级数学空间与图形试题答案及解析1.下面的照片是从空中看到的小羊的家。
房前有一棵大树和一个石凳，门前还有一条小路。
一天大黄狗来到房子后面，它围着房子顺时针转圈，拍了四张照片。
你能将下面的照片按顺序排列起来吗？【答案】d，c，a，b【解析】1.假设自己围着房子顺时针走一圈。
2、根据空中图片想象看到景物的先后顺序。
3.判断照片排列顺序。
大黄狗来到房子后面只能看到房子的背面，所以第一幅照片是d；按照顺时针转，大黄狗来到房子的侧面，它看到石凳在树的对面，所以第二幅照片是c；在接着转，大黄狗来到路上，看到的是房子的正面，所以第三幅照片是a，最后，它看到房子另一侧面树在路的对面，所以第四幅照片是b。
因此，四幅照片的顺序是d，c，a，b。
总结：从不同的位置观察物体，所看到的形状是不同的，我们应该联系自己的生活经验，找出不同位置看到的照片，判断出先后顺序。
2.下面左图的照片是空中看到小林的家，房子周围有一棵大树、一个石凳、一个池塘，门前有一条小路。
右图四个画面，分别是站在①、②、③、④哪个位置看到的？在括号里标出来。
【答案】③①④②【解析】将自己假设为观察者，站在①、②、③、④位置，想一想分别能看到什么，再与图中四个画面对照。
3.一个周角= 个平角= 个直角。
【答案】2，4【解析】1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°；所以一个周角=2个平角=4个直角4.填一填（1）小亮的位置是（4，6），李丽坐在第3组第3个位置，请你在图上标出他们的位置．（2）小芳的位置是（，），小林的位置是（，）．【答案】（6，4），（4，0）．【解析】根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，据此解答即可．解答：解：（2）小亮的位置是（4，6），李丽坐在第3组第3个位置即（3，3），在图上标出他们的位置如下：（2）小芳的位置是（6，4），小林的位置是（4，0）．故答案为：（6，4），（4，0）．点评：此题是考查点与数对，在平面上点与数对有一一对应的关系，用数对表示点的位置时，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数．5.从上面看是．．（判断对错）【答案】√．【解析】观察图形可知，这个图形从上面看到的图形是两行：前面一行2个正方形，后面一行1个正方形靠左边，据此即可判断．解答：解：根据题干分析可得，从上面看是，原题说法正确．故答案为：√．点评：此题考查了从不同方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力．6.观察右边的物体，用线连一连．【答案】【解析】观察图形可知，从上面看到的图形是左边一行2个正方形，右边一行1个正方形；从前面看到的图形是左边两列：右边一列3个正方形，左边一列1个正方形靠下边，右边一列是一列1个正方形；从右面看到的图形是一列3个正方形，据此即可解答问题．解答：解：根据题干分析可得：点评：此题考查了从不同方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力．7.平角就是一条直线，大于90度的角是钝角．．（判断对错）【答案】×．【解析】根据角的意义：由一个点引出的两条射线组成的图形，而直线是无数个点组成的；根据钝角的含义：大于90度小于180度的角叫做钝角；判断即可．解答：解：平角既然是角，它就应符合角的定义，也就是说，它是由一点引出的两条射线所围成的图形，只不过这两条射线的方向刚好相反，所以“平角就是一条直线”的说法错误；根据钝角的含义可知：大于90度的角叫做钝角，所以“大于90度的角是钝角”的说法错误；故答案为：×．点评：此题考查了平角和钝角的含义，应明确钝角的取值范围．8.周角= 度= 个平角= 个直角．【答案】360，2，4．【解析】解：周角=360度，360°÷180°=2（个），360°÷90°=4（个）；故答案为：360，2，4．9.钟面上时整，时针和分针成平角，12时整，时针与分针形成的角是角．【答案】6，周．【解析】在钟面上，一共有12个大空格，时针与分针所夹的每一个空格是30°，6时整，时针指向6，分针指向12，时针分针相差6个大格，相差30°×6=180°，为平角；12时整，时针指向12，分针指向12，相差12个大格，夹角为30°×12=360°，是周角．解：由分析可得：钟面上 6时整，时针和分针成平角，12时整，时针与分针形成的角是周角；故答案为：6，周．【点评】本题依据角的定义进行解答，应明确：钟面上，一共有12个大空格，时针与分针所夹的每一个空格是30°．10.把5厘米长的线段向两端各延长10米，得到的是一条（）A．直线 B．线段 C．射线【答案】B【解析】根据线段的含义：线段有两个端点，有限长；据此解答即可．解：把5厘米长的线段向两端各延长10米，得到的是一条线段．故选：B．【点评】此题考查了线段的含义，应注意理解和掌握．11.从正面观察，所看到的图形是（）A． B． C．【答案】B【解析】观察图形，从正面看到的图形只有1行，是3个正方形，由此即可进行选择．解：根据题干分析可得，从正面看到的是，故选：B．【点评】本题是考查从不同方向观察物体和几何体．意在训练学生的观察能力．12.把一个半圆平均分成180份，其中的1份是度，记作；48份对应的角是度，记作；120份对应的角是度，记作．【答案】1，1°，48，48°，120，120°．【解析】半圆下边的两条半径组成平角，平角的度数为180°，将一个半圆平均分成180等份，则相应圆心角也平分成180份，据此即可求解．解：把一个半圆平均分成180份，其中的1份是1度，记作1°；48份对应的角是48度，记作48°；120份对应的角是120度，记作120°故答案为：1，1°，48，48°，120，120°．【点评】解答此题应结合题意，根据平角的知识进行解答即可．13.3时整时，分针和时针成角．【答案】直【解析】12个数字把钟面分成12个大格，每个大格所对的角度是30度，则时钟3时整，时针与分钟的夹角正好对着3个大格，由此利用30×3=90度；据此解答．解：时钟在3时整的时候，它的时针和分针成90°角，为直角．故答案为：直．【点评】解决本题关键是明确指针的位置，计算出夹角的度数，进而根据平角的含义解答．14.从一点出发可以画（）条射线．A．一条 B．两条 C．无数条【答案】C【解析】根据射线的特点：有一个端点，无限长；可以得出由一点可以引出无数条射线，由此解答即可．解：由射线的特点可知：从一点出发可以画无数条射线；故选：C．【点评】此题考查了射线的特点，应灵活运用．15.角的两条边是（）A．直线B．射线C．线段【答案】B【解析】根据角的概念：由一公共点引出的两条射线围成的图形叫做角；进行选择即可．解：根据角的概念得：角的两条边是射线；故选：B．【点评】此题应根据角的含义进行分析、解答．16.用一付三角板可以拼出105°的角．．（判断对错）【答案】正确【解析】一付三角板中，各角分别是：45°、45°、90°；30°、60°、90°，从这些角中看有没有两个角的和等于105°，从而判断此题的正误．解：因为105°=60°+45°，所以用一付三角板可以拼出105°的角；故答案为：正确．【点评】解答此题的关键是看105°能不能分成一付三角板中所包含的两个内角．17.把下列各角按从大到小的顺序排列起来，锐角直角钝角平角周角＞＞＞＞．【答案】周角，平角，钝角，直角，锐角．【解析】根据角的含义：大于0°、小于90°的角叫做锐角；等于90°的角，叫做直角；大于90°、小于180°的角叫做钝角；平角等于180°；周角等于360°；根据题意进行排列即可．解：根据分析解答如下：周角＞平角＞钝角＞直角＞锐角；故答案为：周角，平角，钝角，直角，锐角．【点评】此题应根据各种角的定义及大小进行解答．18.画一个周角．【答案】【解析】根据周角的定义：一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角叫做周角，所以周角只要画成角的两边重合成一条射线即可．解：如图所示：．【点评】此题考查了画指定度数的角，关键是明确周角是角的两边互相重合．19.画一条射线，使量角器的和它的段点重合，并使刻度线和射线重合．【答案】中心点、零．【解析】根据用量角量测量角的大上的方法可知，量角时，量角器的中心与角的顶点重合，零刻度与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，解答即可．解：由分析可知：画一条射线，使量角器的中心点和它的段点重合，并使零刻度线和射线重合．故答案为：中心点、零．【点评】本题考查了用量角器测量角的大小的方法．20. 1周角= 平角= 直角．【答案】2，4．【解析】根据周角、平角、直角的定义可知，1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°．根据度数关系，找倍数关系．解：因为1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°，所以1周角=2平角=4直角．故答案为：2，4．【点评】本题主要考查周角和平角．直角的定义，是需要熟记的内容．21.过直线外一点P，画已知直线l的平行线．【答案】【解析】把三角板的一条直角边与已知直线l重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线l重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可．解：画图如下：【点评】本题考查了学生过已知直线外一点画已知直线的平行线的能力．22.从哪面看到的．【答案】正；上；左；右；正；上【解析】上图有5个相同的小正方体组成，从正面能看到3个正方形，分两行，下行2个，上行1个，左齐；从上面能看到4个正方形，呈“田”字型；从左面能看到3个正方形，分两行，下行2个，上行1个，右齐．下图有5个相同的小正方体组成，从正面能看到4个正方形，分两行，下行3个，上行1个，居中；从上面能看到4个正方形，分两行，上行3个，下行1个，右齐；从右面能看到3个正方形，分两行，下行2个，上行1个，右齐．解：从哪面看到的：【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形．23.画出比6厘米短2厘米的线段．【答案】【解析】先求出要画线段的长度，再根据画线段的方法：先画一个点，用直尺的“0”刻度和这点重合，然后在直尺上找出对应的刻度，点上点，然后过这两点画线段即可．解：6厘米﹣2厘米=4厘米．画图如下：【点评】本题考查了学生通过计算求出要画线段的长度，和画线段的能力．24.直线端点，可以向无限延伸．【答案】没有，两边．【解析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而解答即可．解：根据分析可知：直线没有端点，可以向两边无限延伸．故答案为：没有，两边．【点评】此题应根据直线、射线和线段的含义进行解答．25.直线的长度是射线的2倍．．（判断对错）【答案】×【解析】根据直线：没端点、无限长；射线：有一个端点、无限长；进行判断即可．解：由分析知：射线和线段都无限长，所以直线的长度是射线的2倍，说法错误；故答案为：×．【点评】根据射线和直线的特点进行解答即可．26.画一条射线，并在射线上截取一条3厘米长的线段．【答案】【解析】以A为端点向AM方向延长，再截取3厘米长的线段AB即可．解：所作图形如下所示：．【点评】本题主要考查了射线和线段的定义．27.用量角器画出一个65°的角．【答案】【解析】先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器65°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角．解：如图所示：【点评】此题主要考查角的作法：先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器要画的角度的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角．28.在15度、120度、90度、89度、91度、175度、270度中，是锐角，是钝角．【答案】15度、89度，120度、91度、175度【解析】钝角是大于90°且小于180°的角，锐角是大于0°小于90°的角；据此解答．解：在15度、120度、90度、89度、91度、175度、270度中，15度、89度是锐角，120度、91度、175度是钝角；故答案为：15度、89度，120度、91度、175度．【点评】此题应根据钝角、锐角的含义进行解答．29.过一点可以画（）条直线．A．一B．二C．三D．无数【答案】D【解析】根据直线的性质：过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线；据此解答即可．解：由直线的性质可知：经过一点能画无数条直线；故选：D．【点评】本题考查了直线的性质，属于基本的题型，要求对这些基本的知识点有非常好的把握．30.一条（）长20厘米．A．直线B．射线C．线段D．平行线【答案】C【解析】根据直线、线段和射线的特点：直线没有端点、它是无限长的；线段有两个端点、它的长度是有限的；射线有一个端点，它的长度是无限的；平行线也是无限长，进行解答即可．解：线段有两个端点，有限长，可以度量，所以一条线段长20厘米；故选：C．【点评】此题应根据直线、线段和射线的特点进行解答．。
新苏教版三年级科学上册全册课本问题解答
新苏教版三年级科学上册全册课本问题解答1、将漏斗插入小口瓶，用橡皮泥封住瓶口，然后快速向漏斗里倒水，水会漏下去吗?为什么？答:水不会漏下去，因为瓶子里装满了空气，空气占据了空间。
2、将一团纸紧塞在杯底，再把杯子竖直倒扣在水中，纸团会不会湿?答:把一团纸紧塞在杯底，将杯子倒立竖直压入水中，然后取出杯子，看到杯子里的纸团仍是干的。
这是因为空气占据了杯子内的空间。
3、将气球放入瓶中，并用气球嘴套住瓶口，用力吹气球。
气球吹得大吗?答:瓶里的气球吹不大，说明瓶里的空气被空气占据着。
松开套在瓶口的气球或将瓶打开小孔，瓶里的空气被气球从缝隙间或小孔中挤出来，腾出了瓶里的空间，气球就能吹大了。
4、压缩空气在生活中有哪些用途?答:在日常生活中，人们利用压缩空气可以做很多事情。
装在轮胎里使自行车，汽车跑得又快又稳，装在球里面，球就会跳得很高，充气城堡里有压缩空气，弹性好质量轻。
除此之外，玩具水枪、气锤、气垫船、橡皮艇、射钉枪、喷水壶等都是利用压缩空气来工作的。
5、为什么暖气片都安装在房间的低处?为什么冷藏柜可以不加盖子?答:因为空气受热会上升，房间里别处的冷空气会过来补充，补充的热空气又会受热上升，往复循环，整个房间里的空气都会变暖，所以暖气片要安装在房间的低处。
因为冷藏柜周围温度低，冷空气重，不会上升，而热空气不会下沉，所以冷藏柜可以不加盖子。
6、大自然中的风是怎样形成的?答:阳光使地表温度升高，温暖的地面加热它上方的空气。
热空气从地面上升，升到高处又开始冷却、下降。
冷空气补充到热空气上升后留下的空间，然后受热后又上升…空气这样循环反复流动就形成了风。
7、还可以用哪些方法制造风?答:还可以用电风扇、吹空调、吹风机、扇扇子、挤袋子、吹风车、嘴吹气等方法制造风。
8、纸蛇为什么会转动?“热气球”为什么会上升?答:点燃的蜡烛会使周围的空气受热，当手位于烛火上方时，空气是热的，感觉到有股热气往上冲，把手放在烛火下方，感觉到空气是冷的，由此说明热空气会向上运动。
三年级数学空间与图形试题答案及解析
三年级数学空间与图形试题答案及解析1.边长是1厘米的正方形的面积是（），面积是1平方米的正方形，边长是（）。
【答案】1平方厘米 1米【解析】略2.一个长方形的长是10厘米，宽是8厘米，它的周长是（），面积是（）。
【答案】36厘米 80平方厘米【解析】本题考查长方形的周长和面积计算。
长方形周长=（长＋宽）×2，长方形的面积=长×宽。
因此，周长：（10＋8）×2=36（厘米），面积：10×8=80（平方厘米）。
3.一张方桌的边长是8分米，要配上一块同样大的玻璃，这块玻璃的面积有多大？【答案】8×8= 64（平方分米）答：这块玻璃的面积是64平方分米。
【解析】本题考查正方形的面积计算。
由题意可知，要求的玻璃也是边长为8分米的正方形，正方形的面积=边长×边长。
4.教室前面的墙壁，长6米，宽3米。
墙上有一块黑板，面积是3平方米。
现在要粉刷这面墙壁，要粉刷的面积是多少平方米?【答案】6×3= 18（平方米） 18－3=15（平方米）答：要粉刷的面积是15平方米。
【解析】本题考查学生分析问题解决问题的能力。
分析题目信息可知，要粉刷的面积是教室前面墙壁的总面积减去黑板的面积。
黑板的面积已知，只需求前面墙壁总面积，也就是求长6米，宽3米的长方形面积。
长方形的面积=长×宽。
5.公园有一个正方形的健身广场，聪聪绕广场跑了一周共跑400米，你能计算出这个健身广场的面积是多少吗？【答案】400÷4 = 100（米） 100×100 = 10000（平方米）答：这个健身广场的面积是10000平方米。
【解析】由题意可知，题目中已知正方形的周长，要求正方形的面积，先由周长算出正方形的边长，再算出正方形的面积。
因为正方形周长=边长×4，所以，边长=周长÷4，正方形面积=边长×边长，列式计算即可。
6.一个长方形花坛，长10米，宽5米。
探索自然科学 小学生的常见问题解答
探索自然科学小学生的常见问题解答自然科学是小学生学习的重要科目之一，它帮助我们了解并探索自然界的奥秘。
在学习过程中，小学生们常常会遇到一些疑惑和困惑。
本文将为小学生解答一些常见的自然科学问题，帮助他们更好地探索自然科学。
问题一：为什么天空是蓝色的？天空为什么是蓝色的是一个让人困惑的问题。
其实，天空之所以呈现出蓝色，是因为大气层中的氮氧分子和氢分子会散射阳光中的蓝光。
当阳光穿过大气层时，蓝光的波长较短，散射的程度也较大，因此我们看到的天空就呈现出蓝色。
问题二：为什么苹果会掉落下来？当我们看到苹果从树上掉落下来时，很自然会产生疑问。
苹果能掉落下来是因为地球的引力。
地球对苹果有一个向下的吸引力，使得苹果受到地球引力的作用，从而掉到地面上。
问题三：为什么河流会弯曲？河流为什么会弯曲是因为水流的不均匀。
当水流遇到不同的岩石或物体时，它会绕过这些障碍物，导致河流走向改变，从而形成弯曲的河流。
问题四：为什么火山会喷发？火山喷发是由地球内部的岩浆活动引起的。
地球内部的岩浆在地壳断裂或地壳板块运动的作用下上升，当压力积累到一定程度时，岩浆会迅速喷射到地表，形成火山喷发。
问题五：为什么冬天会下雪？冬天下雪是因为气温降低，地面上的水分凝结成为雪花。
当空气中的水蒸气遇到低温的空气时，水蒸气就会凝结成小雪花，并逐渐变得越来越大，最后落到地面上形成雪。
问题六：为什么彩虹会出现？彩虹是由阳光的折射和反射造成的。
当阳光穿过空气和水汽密集的空间时，它会被空气和水份分散和折射，然后在空气中的水滴上发生反射。
这个过程中，阳光被分解成不同颜色的光，形成了彩虹。
问题七：为什么电灯会亮？电灯之所以能够发光，是因为电能转化为了光能。
当我们打开电灯开关时，电流通过电灯泡中的灯丝，使灯丝产生高温。
高温下的灯丝发出的热量会使灯丝发光，从而让电灯亮起来。
通过解答这些常见的自然科学问题，希望能够帮助小学生更好地理解和探索自然科学。
在学习的过程中，遇到问题并不可怕，只要保持好奇心，并不断去寻找答案，我们就能够更深入地了解自然界的奥秘，培养科学思维和科学素养。
第6章 第1讲 - 位移法、半空间体受重力和均布压力
6-1 位移法、半空间体受重力和均布压力6-2 半空间体在边界上受法向集中力
6-3 应力法
6-4 等截面直杆的扭转
1
第1讲位移法、半空间体受重
力和均布压力
所谓位移法，就是按位移求解的方法，其核
心思想是以位移分量为基本未知函数，需要从基
本方程中消去应变和应力，得到只含位移的基本
方程，并将边界条件全部用位移来表示。
2
接下来，作为例子，我们应用位移法，并结合半逆解法的思想，来求解半空间体受重力和均布压力的问题。
7
设有半空间体，密度为 ，在其表面受均布压力q ，如图所示。
以边界面为xy 平面，z 轴铅直向下，这样，体力分量就是
0, x y z g
f f f 由于水平方向无荷载作用，并且任一铅直平面都是对称面，试假设：
0, 0, ()
u v w w z O
x
z
q
g
采用位移法求解
8
q
q
q
q
q
本节我们首先在直角坐标系中导出了空间问题按位移求解（位移法）的基本方程——拉梅-
纳维方程，给出了位移法的完整表述。
作为例子，我们求解了半空间体受重力和均布压力的问题，采用了半逆解法，即先根据已知信息假设解答的形式，再尝试令其满足所有条件以求得正确解答的方法。
我们最终求得了该问题的位移和应力解答，据此还给出了土力学中侧压力系数的公式。
14。
有限空间作业中的安全问题与解答
有限空间作业中的安全问题与解答1. 什么是有限空间作业？有限空间作业是指在封闭或半封闭的空间内进行的工作活动。
这些空间通常具有限制性，可能有限的入口和出口，以及有害气体、有害材料或其他危险物质的存在。
2. 有限空间作业中存在的安全问题有哪些？在有限空间作业中，可能会面临以下安全问题：- 通风不良：由于空间封闭，通风不良可能导致有害气体积聚，增加中毒和窒息的风险。
- 燃爆风险：有限空间中可能存在可燃气体或蒸汽，一旦点火或引发火源，可能导致爆炸事故。
- 窒息风险：有限空间可能缺乏氧气，导致工作人员窒息和窒息死亡。
- 物体坠落：有限空间中可能存在高处作业，工具或材料的坠落可能会造成工作人员的伤害。
- 突发事件：有限空间中可能发生突发事件，如火灾、洪水或天然气泄漏等，增加工作人员的危险。
3. 如何解决有限空间作业中的安全问题？为了解决有限空间作业中的安全问题，可以采取以下措施：- 评估风险：在进行有限空间作业之前，进行全面的风险评估，识别潜在的危险和风险因素。
- 通风管理：确保有限空间得到充分通风，使用适当的通风设备和方法来控制有害气体的积聚。
- 气体检测：使用气体检测仪器来监测有限空间中的气体浓度，确保工作环境的安全。
- 个人防护装备：工作人员应佩戴适当的个人防护装备，如呼吸器、安全带、安全鞋等，以减少受伤的风险。
- 培训和意识提高：为参与有限空间作业的工作人员提供必要的培训和教育，提高他们对安全问题的认识和意识。
- 应急准备：制定应急计划和程序，以应对可能发生的突发事件，包括火灾、洪水、中毒等。
4. 监督和评估有限空间作业的安全性为了确保有限空间作业的安全性，应进行监督和评估。
以下是一些常见的监督和评估措施：- 定期检查：定期检查有限空间作业的执行情况，确保符合安全标准和操作规程。
- 安全巡视：进行定期的安全巡视，发现潜在的安全问题并及时采取措施解决。
- 安全培训：定期组织安全培训，提高工作人员的安全意识和技能。
共享办公空间常见问题及解答
共享办公空间常见问题及解答在当今快节奏的商业环境中，共享办公空间因其灵活性、成本效益和社交机会等优势，受到了越来越多创业者、自由职业者和中小企业的青睐。
然而，在选择和使用共享办公空间的过程中，人们往往会遇到一些问题。
接下来，让我们一起探讨一下共享办公空间常见的问题，并给出相应的解答。
一、费用相关问题1、共享办公空间的收费模式是怎样的？共享办公空间的收费模式通常较为灵活，常见的有以下几种：（1）按工位收费：根据所租用的工位数量计算费用，每个工位的价格可能因位置、设施等因素而有所不同。
（2）按面积收费：按照租用的办公区域面积计算租金。
（3）套餐收费：提供包含一定工位数量、使用时间、会议室使用次数等的套餐，用户根据自身需求选择。
2、除了租金，还会有哪些额外费用？除了租金，可能还会有以下额外费用：（1）水电费：根据实际使用量分摊。
（2）网络费：有些共享办公空间提供免费的基础网络，高速网络可能需要额外付费。
（3）物业费：用于维护公共区域的清洁、安保等服务。
（4）会议室使用费：如果使用会议室的时间超过了包含在套餐内的次数，可能需要额外支付费用。
3、租金是否可以按月支付？大多数共享办公空间支持按月支付租金，但也有一些可能要求签订较长时间的合同，并一次性支付多个月的租金。
在选择时，可以提前了解并与运营方协商支付方式。
二、设施与服务问题1、共享办公空间提供哪些基本设施？一般来说，共享办公空间会提供以下基本设施：（1）办公桌椅：舒适的工作桌椅，满足日常办公需求。
（2）网络：稳定的无线网络覆盖。
（3）电源插座：确保每个工位都有充足的电源供应。
（4）打印复印设备：方便文件的打印和复印。
（5）茶水间：提供饮用水、咖啡机等。
2、能否保证办公设施的正常使用和维护？运营方通常会有专门的维护团队，定期检查和维护办公设施，以确保其正常运行。
但如果遇到设施故障，可以及时向运营方反馈，他们会尽快安排维修。
3、共享办公空间是否提供前台接待和行政服务？部分共享办公空间会提供前台接待服务，包括接听电话、接待访客等。
五个科学问题并解答
当然，我可以帮您回答五个科学问题，并提供相应的解答。
请注意，以下问题及其解答可能涉及广泛的主题，包括物理学、化学、生物学、地球科学和空间科学。
问题：
1. 为什么太阳每天都会升起和落下？
2. 为什么水在4摄氏度时密度最大？
3. 什么是黑洞？
4. 地球的磁场是如何形成的？
5. 什么是量子物理？
解答：
1. 太阳每天升起和落下是因为地球按照一个称为自转的轨道环绕太阳运动。
这个运动使得我们从地球上观察到太阳在天空中每天的移动。
2. 水在4摄氏度时密度最大的原因是水的氢键结构在这个温度下最稳定，此时水的体积最小，分子之间相互作用力达到平衡。
3. 黑洞是一种引力极强、密度极高的天体，其强大的引力场使得连光都无法逃脱。
黑洞没有明确的边界，被称为事件视界，物体一旦进入其中，就再也无法逃脱。
4. 地球的磁场是由地核中的熔岩流动形成的。
地核中的铁、镍流动形成了一个电流系统，产生了地球的磁场。
5. 量子物理是研究微观粒子的物理现象的学科，它描述了原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构和性质。
在量子物理中，粒子同时具有粒子性和波动性，这些特性可以通过量子力学、波粒二象性来描述。
希望以上回答对您有所帮助。
如果您还有其他问题，请随时向我提问。
有限空间作业中的安全问题与解答
有限空间作业中的安全问题与解答1. 什么是有限空间作业？有限空间作业指的是在工业、建筑或其他场所中进行的需要人员进入封闭或半封闭空间进行的工作活动。
这些空间通常具有限制性进入和离开的特点，如管道、储罐、地下室等。
2. 有限空间作业存在的安全问题有哪些？在有限空间作业中，存在以下安全问题：- 窒息和中毒风险：由于有限空间可能存在有害气体、粉尘或蒸汽，进入其中的人员可能会因为缺氧、中毒或窒息而受到威胁。
- 火灾和爆炸风险：有限空间中可能存在易燃物质或可燃气体，一旦发生火灾或爆炸，将对人员的安全造成严重威胁。
- 物理风险：有限空间通常狭小、复杂，存在着坍塌、顶板坠落、机械设备伤害等物理风险。
- 紧急情况处理困难：由于有限空间的特殊性，紧急情况下的救援和撤离可能会受到限制，增加了事故处理的困难程度。
3. 如何解决有限空间作业中的安全问题？为了确保有限空间作业的安全，可以采取以下措施：- 事先评估与计划：在进行有限空间作业前，进行全面的风险评估，并制定详细的作业计划和安全措施。
- 员工培训与意识提升：为从事有限空间作业的员工提供必要的培训，使其了解相关安全知识和操作技能，并增强安全意识。
- 使用适当的个人防护装备：提供适当的个人防护装备，如呼吸器、防护服、安全带等，以降低风险。
- 气体检测与通风：在进入有限空间前进行气体检测，确保空间内无有害气体存在，并进行必要的通风措施。
- 紧急救援与撤离计划：制定详细的紧急救援和撤离计划，确保在发生事故时能够及时有效地进行救援和撤离。
4. 有限空间作业中的法律义务是什么？在进行有限空间作业时，相关人员需要遵守法律的规定和义务，包括但不限于：- 遵守安全法规：遵守与有限空间作业相关的法律法规和标准，如《有限空间作业管理规定》等。
- 提供培训与教育：为从事有限空间作业的员工提供必要的培训和教育，确保其了解相关安全知识和操作技能。
- 保障员工安全：采取必要的措施保障从事有限空间作业的员工的安全和健康。
三年级数学空间与图形试题答案及解析
三年级数学空间与图形试题答案及解析1. 火车方向盘的运动都是平移． ．（判断对错） 【答案】×【解析】根据平移意义，平移是将一个图形从一个位置变换到另一个位置，方向盘不是从一个位置变换到另一个位置，它是绕着中心轴转动的，不是平移；根据旋转的意义，旋转是一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，火车方向盘的运动是旋转． 解：火车方向盘的运动是旋转； 故答案为：错误【点评】本题是考查旋转的意义．旋转变换不改变图形的形状和大小，各对应点之间的距离也保持不变．2. 求下面长方形和正方形的面积。
5厘米【答案】10×5=50（平方厘米） 15×15=225（平方分米） 【解析】长方形的面积=长×宽， 正方形的面积=边长×边长。
3.看图指路。
1. 街心花园的东面是（），北面是（），东南面是（），东北面是（）。
2. 从学校到车站的路线是：从学校出发，向南走到（）再向（）走到车站；也可以向（）走到街心花园再向（）走到车站。
3. 你请你再提出一条路线问题，并看图描述路线。
【答案】1.酒店电影院平平家商场2.医院南东南西南3.问：从平平家到学校应该怎样走？【解析】从平平家出发，向西北方向走到街心花园，再向西北走到学校.4.边长是4分米的正方形，面积是（），周长是（）。
【答案】16平方厘米 16厘米【解析】本题考查正方形的周长和面积的计算。
正方形周长=边长×4，正方形的面积=边长×边长。
边长是4分米，面积：4×4=16（平方厘米）；周长：4×4=16（厘米），数值相同但单位不同。
5.一块正方形彩纸的边长是6厘米，那么它的面积是（）平方厘米。
【答案】36【解析】略6.一个长方形的面积是64平方分米，它的宽是4分米，长是（）分米。
【答案】16【解析】略7.长方形花坛的长是5米，宽是30分米，这个长方形花坛的面积是（）。
【答案】15平方米【解析】略8.花园里有一个正方形的荷花池，它的周长是32米，边长是（），面积是（）。
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yz
， zx ， xy yz zx
2 2
9 9
2. 轴对称
若体力不计，微分方程（9-4）简化为：
1 1 2 1 1 2 ur e 2 ur 2 0 r r e 2 w 0 z
9 10
将（c）、（d）两式代入（9-1），定积分常数A和B。 z p z A x y p z A e 1 yz zx xy 0
应力边界条件
代入（e）得
l m 0，n 1 ； z z 0 q
e
应力分量为
b3 a3 b3 a3 1 1 3 1 1 3 3 3 R q ， 2R 2R q R R3 qa q b T a b b a3 b3 a3 1 1 3 1 1 3 3 3 a b a b
f
讨 论：
1. 空心圆球只受内压q
1 1 2 1 3 3 1 qR 2 R 1 b uR 1 1 E 3 3 a b 1 1 1 1 3 3 3 3 R R b q， T 2 R b q 1 1 1 1 3 3 3 3 a b a b
位移势函数的引入
根据前两节的分析，共同点是把位移分量用位移函数表述， 然后致力于寻求各种问题的位移函数，从而求得位移分量的解答， 从而求得应力分量的解答。 本节引入一种最简单的位移函数---位移势函数
1. 直角坐标
若体力不计，微分方程（9-2）简化为：
1 1 2 1 1 2 1 1 2 e 2u 0 x e 2 v 0 y e 2 w 0 z
2
z q pz
f
g
2
1 1 2 p q w z h 0 B h 2 E 1 p
回代（g）得位移函数
1 1 2 p 2 2 w q h z h z E 1 2
9 3
其中
ur ur w e r r z
2 2 1 2 2 2 r r r z
引入拉普拉斯算符
基本微分方程
1 e ur E 2 ur 2 K r 0 2 1 1 2 r r 1 e E 2 w Z 0 2 1 1 2 z
Aq p
回代（e）得应力分量
x y q pz 1 yz zx xy 0 由（d）得铅垂位移
1 1 2 p q w z B 2 E 1 p 位移边界条件
9 7
假设位移是有势的，即假设位移在某一方向的分量是和位移的
势函数Ψ（x，y，z）在该方向的导数成正比。 1 1 比例系数一般取
2G E
则有 从而有
u
1 1 1 ，v ，w ， 9 8 2G x 2G y 2G z u v w 1 2 e x y z 2G
2. 空心圆球只受内压q，外半径无穷大（空心包含体）
uR 1 qa3 ， 2 ER 2
R
qa3 qa3 3 ， T 3 R 2R
径向位移uR 随R2的增大而减小，径向及切向正应力随R3的增大 而减小。孔边将产生q/2的切向拉应力，容易引起材料的脆性开裂。
§9.4
9 2
2.轴对称 弹性方程
ur E e 1 1 2 r E w z e 1 1 2 z E ur w zr 2 1 z r ur E r e 1 1 2 r
将（b）式代入，得：
EA 2E B q a 1 2 1 a3 EA E B qb 3 1 2 1 b
求解得：
a 3 qa b3 qb A 1 2 3 3 E b a d 3 3 a b qa qb B 1 2 E b3 a 3 径向位移： b3 1 2 a3 1 2 3 3 1 R 2 R 1 2 R 1 uR qa qb 3 3 b a E 1 1 a3 b3
9 1
其中
u v w e x y z
引入拉普拉斯算符
2 2 2 2 2 2 2 x y z
基本微分方程
1 e E 2 u X 0 2 1 1 2 x 1 e E 2 v Y 0 2 1 1 2 y 1 e E 2 w Z 0 2 1 1 2 z
9 4
3.球对称 弹性方程 R
duR uR E 1 2 dR R 1 1 2 E duR uR T 1 1 2 dR R 基本微分方程
h
应力分量和位移分量完全确定，并满足所有条件，可见（a） 式假设正确，应力和位移解答正确。
讨 论：
1. 最大位移---发生在边界上
1 1 2 1 2 wmax w z 0 qh ph E 1 2
2. 侧压力系数b
2 C c 如果取C=0，即命▽2Ψ=0，此时Ψ为调和函数，按（9-8）求出 的位移分量也为问题的解答。
即
由（9-8）及（9-1）得出的应力分量为：
2 2 2 x 2 ， y 2 ， z 2 x y z 2 xy
x y z z 1
§9.3 空心圆球受均布压力
设有空心圆球，内半径为a，外半径为b，在内面及外面分别 受受均布压力qa及qb ，体力不计。由于属于球对称问题，KR=0， 微分方程（9-6）简化为。
d 2uR 2 duR 2 2 uR 0 2 dR R dR R
9 5
E 1 d 2uR 2 duR 2uR 2 KR 0 2 1 1 2 dR R dR R
9 6
§9.2 无限大弹性层受重力及均布压力
设有无限大的等厚度弹性层，其容重为p，在下面受完全约 束，在上面受均布荷载q。以上面为xy面，z轴铅直向下，体力分 布为X=0，Y=0，Z=p。
第九章 空间问题的解答
• • • • • • • • • • • §9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 §9.6 §9.7 §9.8 §9.9 §9.10 §9.11 按位移求解空间问题 无限大弹性层受重力及均布压力 空心圆球受均布压力 位移势函数的引入 拉甫位移函数及伽辽金位移函数 半空间体在边界上受法向集中力 半空间体在边界上受切向集中力 半空间体在边界上受法向分布力 两球体之间的接触压力 按应力求解空间问题 等截面直杆的纯弯曲
微分方程的通解为：
B uR AR 2 R 将（a）代入（9-5），得应力分量
a
A、B为常数
EA 2E R 1 2 1 EA E T 1 2 1
B R3 B R3
b c
应力边界条件为：
R Ra qa， R Rb qb
其中
2 2 1 2 2 2 r r r z
假设位移是有势的，把位移分量用位移势函数Ψ（r, z）表示成： 1 1
ur
从而有
2G r
，w
2G z
， 9 11
ur ur w 1 2 a r r z 2G e 1 2 e 1 2 ， r 2G r z 2G z 2 2 ur 1 1 1 2 ur 2 2 2 2 r 2G r r r z r r r 2 2 1 1 1 2 2 2 2G r r r r z 2G r 1 2 1 2 2 w 2G z 2G z e
q
由于对称性，假设
u 0，v 0， w w z
则有
u v w dw e x y z dz
a
O
x
p
h
e e e d 2 w 0， 0， 2 x y z dz
z
基本微分方程（9-2）前两式自然满足，第三式变为 E 1 d2 w d2w 2 p 0 2 2 1 1 2 dz dz
a
将（b）代入（9-7）得
e 1 2 e 1 2 e 1 2 ， ， x 2G x y 2G y z 2G z 1 2 1 2 1 2 2u ，2v ，2 w 2G x 2G y 2G z
§9.1 按位移求解空间问题
1.核心思想 以位移分量为基本未知函数，从15个基本方程中消去应力分 量和形变分量，得出只包含位移分量的微分方程，然后求解，根 据边界条件确定位移分量。 注意： 无论以任何形式给出的边界条件，最多有3个独立方程。
2.直角坐标 弹性方程
E u x e 1 1 2 x E v y e 1 1 2 y E w z e 1 1 2 z E w v yz 2 1 y z E u w zx 2 1 z x v u E xy 2 1 x y
简化得
1 1 2 p d2 w 2 dz E 1