北师大版必修一数学4.1.2二分法
北师大版数学必修一教案教学设计：4.1.2利用二分法求方程的近似解
利用二分法求方程的近似解一、教材的地位与作用本小节是高中新课程的新增内容，它是求方程近似解的常用方法，体现了函数的思想以及函数与方程的联系。
在内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，并为数学必修3中算法内容的学习做了铺垫。
二、教学目标1.知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解。
2.过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．3.情感态度与价值观：体会由特殊到一般的认识规律,体会概括结论和规律的过程,培养学生认识事物的正确方法.体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．三、教学重难点：教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解四、教法与学法：本节课我采用情境教学法和自主探究法，并充分利用多媒体辅助教学.通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和学习。
本节课的内容是需要学生实际操作，因此，在学法上采用教师引导，学生自主探究，在实践中发现问题、理解问题和解决问题。
教具：多媒体五、教学过程导入新课有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？二分法定义::每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.例1.求方程2x3+3x-3=0的一个实数解，精确到0.01.考察函数f(x)=2x3+3x-3经试算f(0)=-3<0, f(2)=19>0,所以函数f(x)在[0, 2]内存在零点，方程2x3+3x-3=0在[0, 2]内有解.取中[0, 2]的中点1，经计算，f(1)=2>0,又f(0)<0,所以方程2x3+3x-3=0在[0, 1]内有解.如此下去，得到方程2x3+3x-3=0的实数解所在区间的表如下：至此，可以看出，区间[0.7421875, 0.744140625]内的所有值,若精确到0.01，都是0.74. 所以0. 74是方程精确到0.01的实数解.设计意图：然后引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法以及用二分法求函数零点近似解的步骤。
北师版高中数学必修一4.1.2《用二分法求方程的近似解》ppt课件
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
（2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25
0.029 0.01 0.001
精确度|ab|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125
0.015625
0.007813
那么我们一起来总结一下二分法的解题步骤
给定精确度 ，用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下：
例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
新课——把例1改写：
例1(补) 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点
(即求方程lnx+2x-6=0的实数根,精确到0.01)
3.1.2 用二分法求方程的近似解
二分法
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做
方法一： 用计数器或计算机作出x,f(x)的对应值表
方法二： 用几何画板作出函数y=f(x)的图象
用《几何画板》软件，演示 方法三： 画出y=lnx及y=-2x+6的图象
用《EXCLE》软件，演示
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
北师大版必修一数学4.1.2利用二分法求方程的近似解
安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 第11周集体备课一、课题： 4.1.2利用二分法求方程的近似解二、学习目标1.解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；2．让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；3．培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
三、落实目标【自主预习】问题1：函数)(x f y =的零点的概念。
问题2：求下列函数的零点（1）2132)(2+-=x x x f （2）x x x f 9)(3-=问题3：判断下列函数或方程在给定的区间是否存在零点（1）函数62ln )(-+=x x x f 在区间（2，3）上；（2）方程在区间09342=-+x x [0，2]上。
问题4：有一条2km 长的电话线路（大约41根电线杆），某一天线路发生了故障．想一想，维修线路的工人师傅如何尽快查出故障所在？问题5：求函数62ln )(-+=x x x f 在区间(2，3)内零点的近似值（精确到0.01）？ 附：有关函数62ln )(-+=x x x f 的一些自变量与对应函数值表区间 端点的符号 中点的值 中点函数值的符号（2，3）f(2)<0, f(3)>0 2.5 f(2.5)<0 (2.5,3) f(2.5)<0, f(3)>0 2.75f(2.75)>0(2.5,2.75)f(2.5)<0, f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0 (2.5,2.625)f(2.5)<0,f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)>0 (2.5,2.5625)f(2.5)<0, f( 2.5625)>0 2.53125 f(2.53125)<0 (2.53125, 2.5625)f(2.53125)<0, f( 2.5625)>0 2.546875 f(2.546875)>0 (2.53125,2.546875)f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 2.5390625f(2.5390625)>0 (2.53125,2.5390625) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>02.53515625 f(2.53515625)>0 函数62ln )(-+=x x x f 的零点大约是：问题6：什么是二分法，它的步骤是什么？【合作探究】例1、求方程0332)(3=-+=x x x f 的一个近似解（精确到0.01）。
高中北师大版数学课件必修一 第4章-1.2利用二分法求方程的近似解
1．维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
【提示】 首先从 AB 的中点 C 查，随带话机向两端测 试，若发现 AC 正常，断定故障在 BC 段，再取 BC 中点 D， 再测 CD 和 BD.
2．在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障． 【提示】 能．
1．二分法 对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足 f(a)· f(b)＜0 的 函数 y＝f(x)，每次取区间的 中点 ，将区间一分为二，再 经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
【答案】 B
若函数 y＝f(x)同时满足下列三个条件： 1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续曲线； 2．函数 f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点； 3．f(a)· f(b)<0. 则用二分法一定能够求出函数 y＝f(x)的零点．
下列函数中能用二分法求零点的是(
)
【解析】 选项 A 中，函数无零点，选项 B、D 不符合 用二分法求函数的零点的条件，不能用二分法求零点，选项 C 可用二分法求函数的零点．
用二分法求函数零点( 方程实数解) 的近似值，首先要选 好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽 量小；其次，要依据题目给定的精度，及时检验计算所得到 的区间是否满足这一精度，以决定是否停止计算．
求方程 x3－x－1＝0 在区间[1,1.5]内的一个实数解．(精 度为 0.1)
【解】 记 f(x)＝x3－x－1，因为 f(1)＝－1<0，f(1.5)＝ 0.875>0，所以方程 x3－x－1＝0 在区间[1,1.5]内有实数解． 利用二分法得到方程 x3－x－1＝0 有解区间的表：
二分法的理解
下列函数图像与 x 轴均有交点，其中不能用二 分法求图中函数零点的是( )
北师大版数学必修1课件：4.1.2利用二分法求方程的近似解
能否求解以下几个方程 (1)2x=4-x (2)x2-2x-1=0 (3)x3+3x-1=0 用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解， 但此法不能运用于解另外两个方程.
不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解? 画出y=x2-2x-1的图像(如图) 由图可知：方程x2-2x-1=0 的一个解x1在区间(2,3)内， -1 0 1 2 3
y
y=x2-2x-1
x
方程的解在(2, 2.5)中
取(2,2.5)的中点2.25, ......
-1 0 1 2 3
二分法求方程的近似解
二分法: 前提
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数
y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应 方程的根)近似解的方法叫作二分法．
x f x
1 13
2 15.02
3 -2
4 9.6
5 -40
则该函数 f x 的零点个数为 A． 2 B．3 C． 4
（
D ）
D．至少 3 个
2.已知图像连续不断的函数 y f ( x ) 在区间（0,0.1）上有唯一零 点，如果用二分法求这个零点（精度为 0.01）的近似值，则应 将区间（0,0.01）等分的次数至少为 次.
他用“二分法”又取了 4 个 x 的值，计算了其函数值的正负， 并得出判断：方程的近似解可为 1.8．那么他所取的 x 的 4 个 值中最后一个值是
1.8ห้องสมุดไป่ตู้25 .
1. 二分法． 2.用二分法求方程的近似解，程序化的思想即算法思想． 3.数学思想：等价转化、函数与方程、数形结 合、分类讨论以及无限逼近的思想.
北师大版高中数学必修一4.1.2利用二分法求方程的近似解课件
-3-
1.2 利用二分法求方程的近似解
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHI练
UITANGYANLIAN
2.用二分法求方程的近似解的过程 过程如图.
-4-
1.2 利用二分法求方程的近似解
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
次数 左端点 第 1 次1 第 2 次 1.25 第 3 次 1.25 第 4 次 1.312 5
左端点函数值 -1 -0.296 875 -0.296 875 -0.051 514
右端点 1.5 1.5 1.375 1.375
右端点函数值 0.875 0.875 0.224 609 0.224 609
1.2 利用二分法求方程的近似解
-1-
1.2 利用二分法求方程的近似解
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.理解二分法的定义,掌握二分法求方程近似解的过程. 2.会用二分法求方程的近似解,体会二分法思想在数学中的应用.
-2-
S随堂演练
UITANGYANLIAN
在图中: “初始区间”是一个两端函数值反号的区间; “M”的含义:取新区间,一个端点是原区间的中点,另一端是原区 间两端点中的一个,新区间两端点的函数值反号; “N”的含义:方程解满足要求的精度; “P”的含义:选取区间内的任意一个数作为方程的近似解. 在二分法求方程解的步骤中,初始区间的选定,往往需要通过分 析函数的性质和试验估计.初始区间可以选得不同,不影响最终计 算结果.
-8-
1.2 利用二分法求方程的近似解
高中数学(北师大版)必修1 名师课件：第四章 §1 1.2 利用二分法求方程的近似解 (共19张PPT)
2．下列图像与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的 是 ( )
答案：A
3．下列函数不能用二分法求零点的是 A．f(x)＝3x－1 C．f(x)＝|x|
答案：C
(
)
B．f(x)＝x3 D．f(x)＝ln x
4．用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点，其参考数 据如下：
f(1.600 0)≈0.200
解析：选 A 由 f(0)· f(0.5)＜0，故其中一个零点 x0∈(0,0.5)，第 二次计算时取区间(0,0.5)的中点 0.25，故第二次计算 f(0.25).
求函数的一个近似零点
[ 典例 ] 0.01)．
[ 解] 由于 f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间[1,2]作
用二分法求函数 y ＝ x3 － 3 的一个正零点 ( 精度为
[点睛]
为了得到满足精度 ε 的近似解，只需找到方程的一
个有解区间[a，b]，使得区间长度 b－a≤ε，那么区间(a，b)内任 意一个数都是满足精度 ε 的近似解．
[小试身手]
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)所有函数都能用二分法判断零点所在区间． (× )
(2)如果一个函数在区间[a，b]内有零点，那么用二分法能找出 这个函数在该区间内的所有零点． (3)精度为 0.1，即精确到小数点后一位． (× ) (× )
用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间， 这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要 依据给定的精度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到 要求(达到给定的精度)，以决定是停止计算还是继续计算．
[活学活用]
用二分法研究函数 f(x)＝x3＋3x－1 的零点时， 第一次经计算 f(0) ＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点 x0∈________，第二次应计 算________，以上横线上应填的内容为 A. (0,0.5)，f(0.25) C. (0.5,1)，f(0.75) B. (0,1)，f(0.25) D. (0,0.5)，f(0.125) ( )
高一数学北师大版必修1教学教案第四章1-2利用二分法求方程的近似解(5)
《利用二分法求方程的近似解》教学设计一、教材分析与学情分析1、本节课教材分析本节内容选自北师大版高一数学上学期《必修1》第四章第§1.2节．是学生在学习了方程解的存在性的基础上，进一步用函数研究方程，即利用二分法求方程的近似解，使学生进一步体会函数与方程的关系，使学生感受函数的核心地位.同时为必修3学习算法做准备.本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精度的方程的近似解．通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透逐步逼近和无限逼近思想（极限思想），体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观点．引导学生用联系的观点理解有关内容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系．所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、数形结合的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想．2、本节课地位、作用“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性定理”，本节课是上节学习内容《利用函数性质判定方程解的存在》的自然延伸；是数学必修3算法教学的一个前奏和准备；同时渗透数形结合思想、函数与方程、逼近思想和算法思想等.3、学生情况分析学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备．但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难.二、教学目标根据教材内容和学生的实际情况，本节课的三维教学目标设定如下：【知识与技能】：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，体会程序化解决问题的思想.【过程与方法】：借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备．【情感态度与价值观】：通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识.通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一.三、教学重点、难点重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解.难点：对二分法原理的探究，对精度、近似值的理解.四、教法、学法与教学手段教法分析：教师要处理好传授知识和培养能力的关系，要关注个体差异，满足不同层次学生的需要，因此，在教学中必须以充分暴露整个思维过程，认知过程为主要宗旨，通过问题引导、讨论交流、动手实践等探究活动来形成师生互动.因此，本节课我采用问题探索、师生互动探究式的教学方法.学法分析：相对教师的教法，学生应当采用自主探究、研讨发现的学习方法.老师要鼓励、引导学生自主探索，使学生在讨论、分析、交流、实践等多种活动加深对二分法的感受和理解，同时鼓励主要通过小组活动方式，对所学的内容进行分析，归纳总结、讨论和交流，让学生经历知识的形成过程和发展过程，这就极大的发挥了学生的积极性和主动性. 学法指导：分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点.教学手段：计算机、投影仪、计算器.五、教学过程（一）设置情景，问题引入在数学学习中，解方程是我们经常遇到的问题.问题1：你会求哪些类型方程的解？有哪些方程不会求解？ 你会求下列方程的根吗？对于前两个方程，学生很快找出解决办法，最后一个方程学生无法根据之前学过的知识进行求解，这时教师适时总结：一元一次方程、一元二次方程我们会解，但是对于超越方程、高次方程从方程角度难以求出方程的根．教师追问：那么，第三个方程是不是就无解呢？ 生：不是.师：如果有解，该如何求出它的解或近似解？引出本节课的课题.【设计意图】：从学生熟悉的方程入手，引入求方程根的话题，引起学生的认知冲突，激起进一步探究的欲望.问题2：方程ln 260x x +-=是否有解？能不能求方程的近似解？为了解决这个问题，先回顾上节课的内容.复习回顾：（1）方程的根与函数零点的关系.（2）函数零点存在性定理.方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =有零点.所以求方程ln 260x x +-=⇔求函数()ln 26f x x x =+-的零点.教师用几何画板展示出函数()ln 26f x x x =+-的图像让学生直观判断有没有零点.【点拨】：当从方程角度直接入手难以求出方程的根时，我们可以转化为求该方程相应函数的零点的问题.（二）互动探究，获得新知以求方程ln 260x x +-=的近似解（精度为0.1）为例进行探究. 探究1：怎样确定解所在的区间？（1）图像法：教师用几何画板展示.（2）试值法：f (x )=ln x +2x 6方程ln 260()ln 26x x f x x x +-==+-相应的函数是，由上面两种方法我们得出函数()ln 26f x x x =+-在区间（2,3）内有一个零点，这一节课的重点就是如何找出这个零点的位置.教师引导分析：根据我们的分析，我们可以将“求方程ln 260x x +-=的近似解”问题转变为“找函数()ln 26f x x x =+-在区间（2,3）内的近似零点”问题.【设计意图】：进一步理清思路，明确问题，使问题由“求”变为“找”，问题的提出，进一步激发学生利用二分法探究问题的热情. 探究2：怎样缩小解所在的区间？为了解决这个问题，我们先来看个视频和玩个小游戏：播放视频并邀请学生现场模拟吉林卫视《心动价给你》中猜商品价格环节：游戏规则：某 的价格在400—2000元之间，猜测它的价格，猜对了将给予奖励．每次猜后主持人会给出“高了”还是“低了”的提示，在20秒内且误差不超过10元时算猜对.让学生思考：（1）主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？（2）误差不超过10元，怎么理解？（3）如何猜才能最快猜出商品的价格？经过三个问题的引导，大家很快便总结出猜价格的方法：不断取中点值与真实值比较，懂得判断真实值所属区间，区间长度不断缩短，x1 2 3 4 ()f x 4 1.307 1.099 3.386直到“猜值”与真实值的误差小于10元为止.这种方法在数学中我们叫做“二分法”.【设计意图】：使学生更加轻松有趣的学习，通过猜价格游戏来引出二分法的概念，让学生更容易接受二分法的思想和体会到学习二分法的使用价值，学生理解用二分法的思想缩小解所在的区间.回到例题“求方程ln260x x+-=的近似解.（精度为0.1）”.探究3：你有进一步缩小函数零点范围的方法吗？引导学生：通过刚刚游戏中取“中点”的方法逐步缩小零点所在的范围（区间）。
2020-2021学年北师大版必修1 4.1.2 利用二分法求方程的近似解 学案
1.2利用二分法求方程的近似解|学习目标|1．了解二分法原理，熟练掌握二分法的解题步骤．2．能将本节知识与方程、不等式结合起来，解决一些实际问题．3．培养利用计算机或计算器解决问题的能力.1．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．练一练：用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间为()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]解析：∵f(－2)＝－3，f(－1)＝4，f(0)＝5，f(1)＝6，f(2)＝13，∴初始区间可选为[－2,1]．答案：A2．设x^是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－x^|<ε，就称x0是满足精确度ε的近似解．1．求函数零点的近似值时，结果能否不同？答：求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不同．2．用二分法求函数零点的近似值应注意哪些问题？答：用二分法求函数零点的近似值，要选好计算的初始区间，一般选定在两个整数间，这个区间既要符合条件又要使其长度尽可能小．下列函数中，不能用二分法求零点的是()【答案】 B【方法总结】用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则：(1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．下列函数中，能用二分法求零点的是() A．f(x)＝log2x B．f(x)＝－x2C．f(x)＝x2D．f(x)＝|x|解析：函数f(x)＝log2x的零点是1，当x>1时，f(x)>0，当0<x<1时，f(x)<0，因此可用二分法求零点，而对B、C、D来讲三个函数的零点都是0，且在0的两边，函数值同号，不能用二分法求零点．答案：A试判断方程x3＋3x－5＝0在区间(0,3)内是否有实数解？若有，求出该解的近似值(精确到0.01)．【解】设函数f(x)＝x3＋3x－5，由于f(0)＝－5<0，f(3)＝31>0，因此f(0)·f(3)<0，所以f(x)在(0,3)内至少存在一个零点，即原方程在(0,3)内必有实数解．以下用二分法求方程在(0,3)内的近似解．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝9>0，所以方程的解又必在区间(1,2)内，故可取区间(1,2)为计算的初始区间．用二分法逐次计算，将方程的解所在的区间依次求出，列表如下：计算次数左端点右端点11 221 1.531 1.254 1.125 1.255 1.125 1.187 56 1.125 1.156 257 1.140 625 1.156 258 1.148 437 5 1.156 259 1.152 343 75 1.156 2510 1.152 343 75 1.154 296 875由上表可知，区间[1.152 343 75,1.154 296 875]中的每一个数都精确到0.01，都等于1.15，所以1.15就是方程精确到0.01的近似解．【方法总结】用二分法求方程的近似解时先根据图像或函数性质得到初始区间，然后取区间中点，求中点函数的值，再取其中一个子区间，如此循环，直到区间两端的近似值相等为止．当然，如果在求中点函数值时结果恰为0，则运算立即终止，中点值就是方程的近似解．计算过程中要注意对依次得到的区间进行精确度的判断．求方程lg x＝3－x的近似解(精确到0.1)．解：令f(x)＝lg x＋x－3，在同一坐标系中，作出y＝lg x和y＝3－x的图像如图所示，观察图像可以发现lg x＝3－x有唯一解x0，x0∈[2,3]，且f(2)<0，f(3)>0，利用二分法可列下表：计算次数左端点右端点12 32 2.5 33 2.5 2.754 2.5 2.6255 2.562 5 2.625由于区间(2.562 2.6，所以原方程的近似解为2.6.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？【解】如图．他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50～100 m之间，即一两根电线杆附近．【方法总结】现实生活中的线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等故障我们也可以采用二分法进行排查，即采用中点查找法．竞猜物体问题或将人员分配到不同的岗位来共同完成任务，需要把有限的资金分配到不同生产企业，如何使时间最短、利润最高，这都需要用二分法来解决．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量轻一点)．现在只有一台天平，要想找出这枚假币，最多要称几次？解：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．若函数的零点存在，则用二分法求函数的零点时，所求的零点() A．一定是近似值B．一定不是近似值C ．一定不是准确值D ．可以是准确值【错解】 A【错因分析】 二分法求函数的零点，得到的可能是近似值，也可能是准确值．【正解】 D1．下列函数图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B 中，不满足f (a )·f (b )<0，不能用二分法求零点，由于A 、C 、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．答案：B2．已知函数f (x )的图像是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f (x )－4－2147A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(4,5)答案：C3．在用“二分法”求函数ƒ(x )零点的近似值时，第一次所取的区间为[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1,4]B ．[2,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1解析：由“二分法”知，第一次取的区间为[－2,4]，则第二次取的区间可能是[－2,1]或[1,4]，则第三次取的区间可能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12或⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52或⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4，结合选项知，应选D ． 答案：D4．用二分法求函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1＝________.解析：∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)f (0.5)<0，∴f (x )的零点属于区间(0,0.5)，取中点x 1＝0＋0.52＝0.25.答案：0.255．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解(精确到0.01)，验证f (2)·f (4)<0，取区间(a ，b )的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．答案：(2,3)。
北师大版数学必修一4.1.2 利用二分法求方程的近似解 教学课件
思考二：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间 （a，b）内一定没有零点吗？
练习：
上节回忆
函数 f (x) x3 x 1在下列哪个区间内
有零点?
(C )
A.(1,0) B.(1,2) C.(0,1) D.(2,3)
北师大版必修一第四章《函数应用》 第一节函数与方程
1.2利用二分法求方程的近似解
游戏规则： 给出一件商品，请你猜
出它的准确价格，我们给的 提示只有“高了”和“低 了”。给出的商品价格在100 ~ 200之间的整数，如果你能 在规定的次数之内猜中 价格，这件商品就是你的了。
游戏： “看商品猜价格”，请同学 们猜一下下面这部科学计算器(120～ 200元间)的价格。要求:误差小于1元
设函数的零点为x0 , a=2.53125, b =2.5390625，则 a x0 b.
如图
.
a
.
.
x0 b
由于 a b 2.53125 2.5390625 0.0078125 0.01,
所以 x0 a b a 0.01, x0 b a b 0.01,
所以我们可将此区间内的任意一点作为函数 零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零 点的近似值.
所以方程的近似解为 x 2.53125
二分法概念
y
a
0
b
x
对于在区间a,b 上连续不断且 f a• f b 0 的函
数 y f x ,通过不断地把函数 f x的零点所在的区
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法.
高中数学北师大版必修一4.1.2【教学课件】《利用二分法求方程的近似解》
1
3
−2+1=
1− 3 3
<0
所以 ������0 ∈ (−0.5,0)
。用二分法求解，列表如下：
北京师范大学出版社 | 必修一
中点值
中点(端点)函数值
������ −0.5 < 0 ������ 0 > 0
取值区间
(－0.5,0)
−0.5 − 0.25 ������2 = 2 = −0.375
������3 = −0.5 − 0.375 2 = −0.4375
������ 1 ������ =3 − +1 所以原方程只有一解，设为 ������ = ������0 ； 令 ������ ������ = 3 + ������ + 1 ������ + 1
�ห้องสมุดไป่ตู้����
因为 ������ 0 = 1 − 1 + 1 = 1 >
������ −0.5 = 0，
图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。故选A
北京师范大学出版社 | 必修一
思考1：所有的函数求零点问题都可以用二分法吗？
解：不是。“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只
有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号
才能应用“二分法”求函数零点。即二分法仅对函数的变号
零点适用，对函数的不变号零点不适用。
③若 ������ ������ ∙ ������ ������ < 0 ，则令 ������ = ������ (此时零点 ������0 ∈ [������ , ������])。 (4)判断 ������, ������ 的两端的近似值是否相等，若相等得零点的近似解； 否则重复(2)～(4)步。特别注意要运算彻底。
北师大版高中数学必修一课件4.1.2利用二分法求方程的近似解(导学式)
二分法定义：
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
探究点2
二分法定义及操作步骤
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： 1.确定区间[a,b]，验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε； 2.求区间(a,b)的中点x1， 3.计算f(x1) 若f(x1)=0，则x1就是函数的零点； 若f(a)· f(x1)<0，则此时零点x0∈(a,x1)
规律总结： 判断零点存在区间的关键是f(a)· f(b)<0
课堂练习
1．对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的是()
A.ε越大，零点的精确度越高
B.ε越大，零点的精确度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关
[解析] 由精确度ε定义知，ε越大，零点的精确度越低.
答案：B．
课堂练习
2．下列函数不能用二分法求零点的是()
典例精讲：题型一：对二分法概念的理解
【例1】观察下列函数的图象，能用二分法求其零点的是()
[解析] 由图象可得A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故 可用二分法求零点.
答案：A
题后反思
【注意要点 】
运用二分法求函数零点需具备的两个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断 . 在该零点左右函数值异号. (2)
典例精讲：题型二：利用二分法求方程的近似解
【例2】求函数f(x)=lnx+2x－6的零点在(2,3)上的近似值(精确度：0.1) [解析] 初始区间（2，3），且，列表：
北师版数学高一北师大版必修一课件4.1.2利用二分法求方程的近似解
解析答案
12345
5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0 ＝2.5，那么下一个有根的区间是__(2_,_2_.5_)__. 解析 f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0， ∴下一个有根的区间是(2,2.5).
解析答案
课堂小结 1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐 步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a，b]上连续不断； (2)f(a)·f(b)＜0. 上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.
解析答案
易错点 忽视给定区间造成失误
例3 函数f(x)＝2x2＋4x－6在区间[－1,2]上零点的个数是( )
A.0
B.2x2＋4x－6＝0，得2(x＋3)(x－1)＝0，
解得x1＝－3，x2＝1.故f(x)有两个零点，所以答案为C. 正解 前同错解得x1＝－3，x2＝1. 因为－3∉[－1,2]，1∈[－1,2]，
答案
知识点二 用二分法求方程近似解的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)＜0 ，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则 c 就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c) ). ③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b) ). (4)判断是否达到精确度ε：即若 |a－b|＜ε ，则得到零点近似值a(或b)；
新版高中数学北师大版必修1课件4.1.2利用二分法求方程的近似解
当堂检测
探究一
探究二
探究三
易错辨析
对二分法原理理解不到位而致误
【典例】 已知函数 f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用
二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为
0,
������ 2
,
0,
������ 4
,
0,
������ 8
,则下列说法正确的是(
)
A.函数 f(x)在区间
0,
2
+ 2
4
=3,计算得f(2)f(x1)<0,则函
数零点所在的区间是 ( )
A.(2,4)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.无法确定
解析:(1)因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以在零点的左右两侧函数
值同号,所以不能用二分法求其零点,故选C.
(2)由f(2)f(4)<0,f(2)f(3)<0知f(3)f(4)>0.
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
二分法在实际中的应用 【例3】 中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”,主持人给选手在 限定时间内猜某一物品的售价的机会,如果猜中,就把物品奖给选 手.某次猜一种品牌的手机,手机价格在500~1 000元之间,选手开始 报价:1 000元,主持人说:高了.选手紧接着报价900元,高了;700元,低 了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,猜中了.表面上看猜价格 具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价过程体现了“逼近”的数 学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗? 解:取价格区间[500,1 000]的中点750,如果主持人说低了,就再取 区间[750,1 000]的中点875;否则取另一个区间[500,750]的中点;若 遇到小数,则取整数,照这种方案,游戏过程猜价如下:750,875,812, 843,859,851,经过6次可以猜中价格.
高中数学北师大版必修一《4.1.2利用二分法求方程的近似解》课件
2．“二分”解所在的区间，即取区间(a, b)的中
点
x1
a
2
b
.
12012/144/1/12/01244
10
单击此处编辑母版标题样式
3．计算f (x1)：
• 单击此处(1编)若辑f (母x1)版＝文0，本则样x0式＝x1；
•
二第级二级(2)若f
• 三第级三级
(a)•f(x1)＜0，则令b＝x1
• 五第级 五级
方程的根)近似解的方法叫做二分法．
问题4：二分法实质是什么？
用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的
方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。
12012/144/1/12/01244
6
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处下编列函辑数母的版图文象本与x样轴式均有交点,其中不能用二分法求其零点
12012/144/1/12/01244
3
单击此处编辑母版标题样式
• 单•击二第此级二处级问编题辑1.母能否版求文解本以样下式几个方程
• 三第级三级(1)2x=4-x
• 四第级四级
(•2)五第x2级 五-2级x-1=0 (3)x3+3x-1=0 指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运 用于解另外两个方程.
的一个• 五第解级 五x级1在区间(2,3)内， 另一个解x2在区间(-1,0)内．
x
-1 0 1 2 3
结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们发现 f(2)=
-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2, 3)上穿过
x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.
高一数学北师大版必修1教学教案第四章1-2利用二分法求方程的近似解(7)
数学课堂教学中落实核心素养的教学设计以“利用二分法求方程的近似解”为例本文以北师大版《普通高中课程标准实验教科书数学1(必修)》第四章第一节，“利用二分法求方程的近似解”为例，探讨怎样在数学课堂教学中落实和发展学生的数学核心素养。
一．基于数学核心素养的教学内容分析本节内容是第四章第一节的第二课时内容，在第一课时中学生已经学习了“函数的零点与其对应方程解的关系”，为第二节求方程的实数解提供了思维上的准备，即利用函数来研究方程的实数解。
本节的教学应着重引导学生理解二分法的思想，二分法求方程近似解的具体步骤，充分体会函数与方程、数形结合和逼近思想；同时体会几何画板，Excel，MATLAB在数学教学中的工具性作用。
二．设计目标1.通过具体实例，体会二分法的思想，掌握用二分法求解具体方程近似解的一般步骤，培养学生的数学推理、数学建模、直观想象、数学运算以及数据分析等数学核心素养。
2.通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程的关系，以及数学建模在这一探索中的作用；二分法在线路检修、实验设计、资料查询等实际生活中的应用，充分认识数学源于生活，又服务于生活。
3.通过具体实例的研究，体会二分法程序化的解决问题思想，为算法的学习作准备，以及信息技术在本节中的有力支持；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；在二分法原理的探索发现过程中，培养学生坚韧的意志品质。
三．教学重点和难点重点：利用二分法求方程的近似解难点：二分法原理的探索；对方程近似解的精度把握和理解四．教学手段借助合作讨论，使学生积极主动地参与学习；使用计算器或计算机，旨在加强数学与信息技术的交融，提倡学生利用课余时间学习计算机语言。
五．教学过程创设情境，揭示课题上帝赐予他的童年占1/6；又过1/12他两颊长出了胡须；再过1/7，点燃了新婚的蜡烛；五年之后喜得贵子。
可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便入黄泉。
悲伤只有用数学研究去弥补，又过4年，他走完了人生的旅途。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 邹英 总第 36 课时
备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 第10周
集体备课
个人空间 一、课题： 4.1.2利用二分法求方程的近似解
二、学习目标
1.解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；
2．让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想； 3．培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
三、教学过程 【温故知新】
问题1：函数)(x f y =的零点的概念。
问题2：求下列函数的零点
（1）2
1
32)(2+-=x x x f （2）x x x f 9)(3-=
问题3：判断下列函数或方程在给定的区间是否存在零点 （1）函数62ln )(-+=x x x f 在区间（2，3）上； （2）方程在区间09342
=-+x x [0，2]上。
问题4：有一条2km 长的电话线路（大约41根电线杆），某一天线路发生了故障．想一想，维修线路的工人师傅如何尽快查出故障所在？
【导学释疑】
求函数62ln )(-+=x x x f 在区间(2，3)内零点的近似值（精确到0.01）？
附：有关函数62ln )(-+=x x x f 的一些自变量与对应函数值表
区间 端点的符号 中点的值 中点函数值的符号
（2，3） f(2)<0, f(3)>0 2.5 f(2.5)<0 (2.5,3) f(2.5)<0, f(3)>0 2.75 f(2.75)>0 (2.5,2.75) f(2.5)<0, f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0 (2.5,2.625) f(2.5)<0,f(2.625)>0
2.5625 f(2.5625)>0 (2.5,2.5625) f(2.5)<0, f( 2.5625)>0 2.53125 f(2.53125)<0
(2.53125, 2.5625)
f(2.53125)<0, f( 2.5625)>0 2.546875 f(2.546875)>0
(2.53125,2.546875)
f(2.53125)<0, f(2.546875)>0
2.5390625 f(2.5390625)>0
(2.53125,2.5390625) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0
2.5351562 5
f(2.53515625)>0
函数62ln )(-+=x x x f 的零点大约是： 问题5：什么是二分法，它的步骤是什么？
【巩固提升】
例1、求方程0332)(3
=-+=x x x f 的一个近似解（精确到0.01）。
【检测反馈】
1. 用二分法求函数22-=x y 的一个正零点的近似值（精确到0.01）。
反思
栏。