9.1.1二次根式和它的性质(第一课时)
二次根式的概念和性质
二次根式与有理数的关系
二次根式与有理数存在着紧密的关系。有理数可以表示为二次根式的特殊形 式，而二次根式也可以化简为有理数的形式。理解这种关系可以帮助我们更 好地处理二次根式的运算和问题。
胡克定理和三角不等式
胡克定理
三角不等式
胡克定理描述了弹簧的弹性变形与所受力的关系， 可以用二次根式的形式表示。
二次根式的运算法则
加减法
二次根式加减法遵循同底 同幂原则，将根号内的数 值进行合并，然后进行相 应操作。
乘除法
二次根式乘除法时，可以 通过有理化的方法将根号 内的数值转化为有理数， 然后进行相应操作。
化简
化简二次根式是将一个二 次根式转化为另一种形式， 通常是将根号内的数值合 并或提取出满足条件的因 式。
二次根式的概念和性质
二次根式是代数Leabharlann 的一种重要形式，表示为一个数的平方根。学习二次根式 的概念和性质，将帮助我们更好地理解和运用这一概念。本章将系统介绍二 次根式的相关内容。
什么是二次根式？
二次根式是一个数的平方根，如√2、√5等。它们在代数和几何中都有重要的 应用。通过学习二次根式的性质，可以深入理解数学中的平方根概念。
三角不等式是数学中一条基本不等式，可以用二 次根式的形式表示。它在几何和代数中都有应用。
二次根式的图像及其性质
二次根式的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。通过研究二次根式的图像特性，我们可以了解它 的曲线形状、对称性以及其他重要的几何性质。
二次根式在实际生活中的应用
二次根式在实际生活中有广泛的应用，例如在物理学中描述速度和加速度，以及在几何学中描述曲线和 曲面的形状。了解这些应用可以帮助我们更好地应用二次根式。
二次根式的加减法和乘除法
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
二次根式的概念、性质(第1、2课时 教案)
第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念【知识与技能】是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_______m；（2）面积为S的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=.______【教学说明】设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.a≥0）形式的式子称.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突a中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质【知识与技能】理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】2a=a（a≥0）2a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索2a=a（a≥02a（a≥0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：2=a（a≥0）.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1计算：（1））2；（2）（2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（22a进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.。
二次根式及性质
《二次根式》（第1课时）教学设计教材：2011版课程标准北师大版八年级(上)钱生来银川市第六中学一、教学内容解析1．内容二次根式与最简二次根式的概念，二次根式的性质以及二次根式的化简。
2．内容解析《二次根式》是北师大版八年级上册《第二章实数》的第7节，是在学习了勾股定理、算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数等概念，会用根号表示数的平方根、立方根，了解了开方与乘方互为逆运算的基础上的进一步学习。
二次根式既是实数加减乘除等运算的需要，也是将来九年级学习锐角三角函数以及一元二次方程、二次函数等内容的重要基础。
在初中学段课程标准只要求学习根号下仅限于数的二次根式及其加减乘除四则运算，而不研究一般意义下的二次根式（根号下含字母），显然是在充实实数的学习，其核心是学习有无理数参与的实数加减乘除四则运算。
教材共为本节设计了三个课时，分别是：第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．本节课是第1课时，不仅是对实数的延续与扩充，还是为后继学习二次根式的四则运算奠定基础。
本课时的教学内容主要由概念性知识和程序性知识两部分构成。
对于最简二次根式的概念以及二次根式的性质等概念性知识教材都没有直接给出，而是让学生从一定数量的具体例子中通过观察、分析、归纳、概括后形成，从而让学生充分体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想。
化简二次根式的一般步骤是：把根号下大于1的带分数或小数化成假分数，把小于1的正小数化成真分数；被开方数是正整数的要因数分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号、约分。
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
初中数学_9.1二次根式和它的性质教学课件设计
∴当x 3时， x 3 在实数范围内有意义.
1
（2） 1 x
1
解：要使 1 x 在实数范围内有意义
则
1- x ≠0
x≥0
解得x≥0且x≠1
1
∴当x≥0且x≠1时， 1 x在实数范围内有意义.
注意：
1、被开方式大于或等于0. 2、被开方式是分式时，分母不等于0. 3、被开方式比较复杂时，列不等式组 求解.
其中a为整式或分式，a叫做被开方式．
想一想：二次根式的特点是什么？
1、形式上含有“ ”；
2、被开方式a≥0。
你能举出几个二次根式的例子吗？
7，
1，
2
x2 y ( y 0)， x2 y2
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6,
×
(3) 12, × (4) - m (m≤0),
(5) a2 1 , (6) 3 5
边长是多少？ 2S 米
1
（3）如果丁苗圃的面积是甲苗圃的面积的 p，丁苗 圃的边长是多少？ s
p米
探究一
观察上面三个算式 S 25，
2S，
S以及你学过的算术平方
P
根
，2
，9
等1，你发现它们在表达形式上有什么共同特
3
征？与同学交流.
乙
①都是形如 a的式子，
甲
②a都是非负数.
二次根式的概念
一般地，形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式．
探究二
我们知道， a (a≥0) 表示a的算术平方根，即
2
a
= a （a≥0）
你能说出在这个等式中，有哪些非负数吗？
例2 计算： (1)( 16)2;
《二次根式的性质(第1课时)》教学课件
=
（a＜0）
（2）会利用二次根式的性质进行计算和化简.
作业
习题7.2 知识技能．
高效上好每节课·快乐上好每天学
结束
3、二次根式的性质有哪些？
二次根式的双重非负性：
高效上好每节课·快乐上好每天学
学习目标
1、经历二次根式的性质:
①
a2
|
a
|
a(a 0) a(a 0)
②
ab
a b (a 0, b 0)
的发现过程,体验归纳,猜想的思想方法.
2、会灵活运用上述两个性质进行计算和化简二
次根式.
高效上好每节课·快乐上好每天学
2.从取值范围来看,
2
a
a≥0
a2 先平方,后开方 a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
2
a
=a
a2 =∣a∣ =
a (a≥ 0) －a (a＜0)
高效上好每节课·快乐上好每天学
运用这条性质可以把能开尽方的被 开方数开出根号外
例1 化简：
(1) 36
(2) 9 4
解： (1) 36 62 6;
(2) 9 ( 3)2 3 4 22
高效上好每节课·快乐上好每天学
填一填:(可用计算器)
1 4 9 ___6_____, 4 9 ___6_____; 2 16 25 ___2_0____, 16 25 ___2_0____;
3 2 3与 2 3是否相等？你是怎样验 证的？
高效上好每节课·快乐上好每天学
7.2 二次根式的性质
第1课时
高效上好每节课·快乐上好每天学
目 Contents 录
01 旧知回顾 02 学习目标
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质二次根式是我们在数学学习过程中常常遇到的一种特殊形式的根式。
在本文中，我们将探讨二次根式的概念以及其重要的性质。
一、二次根式的概念二次根式是指具有“根号下一次方的数”的形式。
具体而言，若a为非负实数，则√a表示其非负平方根，而√(-a)表示其虚数平方根。
因此，二次根式包括了实数根式和虚数根式两种情况。
实数根式的概念是我们初中就已经学习过的，它表示的是可以找到一个非负实数，将其平方得到原始数。
例如，√4=2，√9=3，这些都是实数根式的例子。
虚数根式则是更加复杂一些。
它指的是无法找到一个非负实数来满足平方后得到原始数的情况。
例如，√(-4)=2i，其中i表示虚数单位。
虚数根式在进一步的数学学习中有着重要的应用。
二、二次根式的性质1. 二次根式的有理化：有理化是将含有根号的式子转化成不含根号的形式。
对于二次根式，我们常常利用有理化的方法将其转化为一个更加简洁的形式。
例如，对于√2，我们可以乘以√2/√2得到2/√2，这样就进行了有理化。
2. 二次根式的运算：二次根式在进行运算时有一些特殊的性质。
首先，根号下的数相同的二次根式可以进行加减运算。
例如，√2+√2=2√2，√3-√3=0。
其次，二次根式可以与有理数进行乘法运算。
例如，2√2*3=6√2，√3*4=4√3。
然而，二次根式的乘法运算并不满足交换律。
即，a√b*b√a不一定等于ab。
3. 二次根式的简化：对于二次根式，我们可以将其进行简化，使其表达更加方便。
例如，对于√8，我们可以简化成2√2。
4. 二次根式的大小比较：在进行大小比较时，二次根式也有一些规律。
如果a和b都是非负实数，则当a<b时，√a<√b；当a>b时，√a>√b；当a=b时，√a=√b。
这些规律在解决不等式问题时有着重要的应用。
结语：通过本文的学习，我们了解了二次根式的概念与性质。
二次根式的概念涵盖了实数根式和虚数根式两种情况，而其性质包括有理化、运算、简化以及大小比较等方面。
二次根式及其性质(第1课时)
7.1二次根式及其性质（第1课时）诸城市舜王街道解留初中宋洪波学习目标：1、了解二次根式的概念及二次根式的意义。
2、会用二次根式的性质进行二次根式的化简。
3、进一步培养学生的观察、总结能力。
教学过程：（一）、复习引入前面我们学习了平方根和算术平方根，让我们一起回忆一下：（1）、∵（）2 = 4∴ 4的平方根是即± 4 = 。
（2）如果一个数ｘ的平方等于ａ，那么叫做的平方根，或二次方根。
（3）、 a 表示什么？a需要满足什么条件？为什么？（二）、合作交流，理解“二次根式”的概念1、已知正方形的面积，你会求正方形的边长吗？完成“交流与发现”的（1）——（3）题，能说出你这样做的依据吗？2、请总结以上所得结果与算术平方根的共同点：3、理解“二次根式”的定义，并完成：选择题①．下列式子中，是二次根式的是（）A．-7 B．C D．x②．下列式子中，不是二次根式的是（）A． 4 B．16 C D．1x③．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）D．以上皆不对A．5 B．C．15（三）、深化认识，探究“被开方数中未知数的取值范围”。
自学例1，回答：（1）二次根式 2 x - 1 的被开方数是，被开方数需满足的条件是。
（2）试一试：当a取何值时，下列各式有意义？① a + 2 ②a2③1 a（四）、观察、思考，探索二次根式的性质1。
（1）求下列各式的值。
（ 4 ）2 =（9 ）2 = 总结：（ a ）2= （其中a 0）（16 ）2 =……（2）自学例2 ，并完成：计算：①（12 ）2②（4 5 ）2③（− 3.6 ）2④（x2+ 1 ）2（3）把下列非负数写成一个数的平方的形式。
①12 ② 2 ③ 2.5（五）、训练提升：配套练习册第1页（一、选择题二、填空题三、解答题7、8）（六）、拓展与延伸配套练习册第1页（三、解答题9、10）。
二次根式的定义性质以及简化与化简的方法并通过示例演示二次根式的应用过程
二次根式的定义性质以及简化与化简的方法并通过示例演示二次根式的应用过程二次根式是高中数学中的一个重要知识点，它具有广泛的应用背景。
本文将从定义、性质以及简化与化简的方法三个方面来介绍二次根式，并通过示例演示其应用过程。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。
√a读作"根号a"，表示a的非负平方根。
例如，√9=3，√16=4。
二次根式的定义性质：1. 非负性质：√a≥0，即二次根式的值不小于零。
2. 封闭性质：如果a≥0，那么√a也是非负实数。
二、二次根式的性质了解二次根式的性质，有助于我们在运算过程中灵活应用。
以下是二次根式的常见性质：1. 拆分性质：√(a×b)=√a × √b，其中a、b分别为非负实数。
这意味着我们可以将根号下的乘法拆分为两个根号的乘积。
2. 合并性质：√(a+b)≠√a + √b。
二次根式不满足普通的加法性质，不能将根号下的两个数相加。
3. 有理化性质：有时候会遇到分子或分母含有二次根式的分数。
为了消除分母中的二次根式，可以采用有理化的方法，即将二次根式的分母有理化为有理数。
三、二次根式的简化与化简方法简化二次根式意味着将二次根式转化为最简形式，即化简得去掉根号下的平方数。
化简二次根式的方法：1. 分解质因数法：将根号下的数按照质因数分解，然后将成对的质因数提取出来，剩下的数保留在根号内。
例如，对于√72，我们可以将72分解为2^3 × 3^2，然后取出成对的2和3，得到2 × 3√2，即简化为2√2。
2. 合并同类项法：对于根号下的数，如果有相同的因子，可以将它们合并在一起。
例如，√27 = √(3^3) = 3√3。
3. 有理化分母法：对于含分母的二次根式，可以通过有理化的方法将分母有理化为有理数。
假设要化简的二次根式为1/√2，我们可采用乘以√2/√2的方式，得到1/√2 × √2/√2 = √2/2，即化简为√2/2。
9.1《二次根式和它的性质(1)》参考教案
作业
谈谈这节课你有什么收获？
P118习题9.1第1、2题。
学生做在练习本上。
课后反思
4、交流上面得到的答案有什么共同点?与学过的算术平方根相比有什么共同点？
学生思考，然后回答问题。
学生阅读题目，然后讨论回答问题。
例题讲解
点拨：应用这个式子可以计算一些二次根式的平方。
师生共同总结。
学生自主学习，然后交流讨论。
学生总结，教师指导。
学生思考并回答问题。
学生交流，然后板书。
师生总结。
巩固练习
教学内容
9.1二次根式和它的性质（1）
教学目标
1、了解二次根式的概念。
2、掌握二次根式中字母的取值问题。
3、理解公式( )2（a≥0），能利用公式化简二次根式。
教学重点
会计算二次根式的平方。
教学难点
会计算二次根式的平方。
教学准备
相关题目
课前预习
1、什么叫二次根式？
2、什么叫被开方式？
教学过程
教学环节
教师活动（教法）
学生活动（学法）
情景导入
交流发现复Leabharlann ：1、举例什么叫算术平方根？
2.举例说明什么叫平方根？
山青林场有甲、乙两块正方形苗圃。已知甲苗圃的面积为S平方米。
1、如果乙苗圃的面积比甲苗圃大25平方米，乙苗圃的边长是多少？
2、如果乙苗圃的面积为甲苗圃的2倍，乙苗圃的边长是多少？
3、如果乙苗圃的面积与甲苗圃的面积比为4:9，乙苗圃的边长是多少？
二次根式及其性质(第一课时)说课稿
二次根式及其性质（第一课时）一、教材“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。
本章是在前面所学知识的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质,和运算.本章内容与已学内容“实数"“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。
本节课研究二次根式的概念和性质。
它是学习本章的关键，也是学习二次根式的化简和运算的依据。
教学目标根据数学课程标准中关于“二次根式及其性质”的教学要求，结合教材内容以及学生的实际情况我确定了本节课的三维教学目标。
知识与技能1、了解二次根式的概念。
2、了解二次根式的基本性质，经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程,发展学生的归纳概括能力。
过程与方法通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。
情感态度与价值观激励全体学生参与自主学习，培养他们积极探索,勇于创新的精神，养成敢想、敢说、敢做的主动学习的习惯.教学重点:二次根式的概念和基本性质教学难点：二次根式基本性质的灵活运用二、教法为了更好的突出重点、突破难点并遵循“以学生为主体，教师为主导”的教学原则，我采用让学生自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学。
依据学生已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间,体现由具体到抽象的认识过程,为后续学习打下坚实的基础。
三、学法本课由于概念抽象，知识难懂，易使学生感到枯燥无味或产生畏难情绪。
我根据学生由浅入深的认识规律和教学的启发性、因材施教等教学原则，以引导法为主，辅以讨论法等，让学生全面、全程的参与教学的每一个环节，充分调动学生学习的积极性,总结二次根式的基本性质。
四、教学过程为了实现教学目标，我把本节课的教学分为以下几个环节：下面我将对每个环节进行说明。
一、复习提问以旧引新问题1：表示什么？需要满足什么条件?问题2：算术平方根的定义是什么？定义里的关键信息是什么?因为本节课的内容是建立在算术平方根基础之上的，而算术平方根并不是上节课的内容，所以以这两个问题作为开始,为本节课的学习做好知识上的铺垫，同时，使学生对本节课的内容有熟悉感。
二次根式的性质第一课时
板书： a 2 = a
很好，下面请同学们再计算以下几题，注意和上面的前三个小题区分联系： （1） (2)
2
通过练习、观察发现、总结规律，得出性质
（2） (3)
2
2
（3） ( )
三、合作交流
探究新知
谁能总结一下 a =？
1 5
2
这就是我们这节课要学习的第①个性质（板书） a ： 例 1：化简 （1） 4x
“二次根式的性质”教案、学案一体化设计
课 型 教 学 目 标 新授 课 题 二次根式的性质
2
课时
第一课时
执笔 教师
单位
分析引导 自主探索 合作交流 本节课要充分调动学生积极性，主动探究，让 学生经历两个性质的发现过程，通过观察发 现、动手操作、大胆猜想、自主探索、合作交 流体验到成功的喜悦。活动后，引导学生对公 式作出分析与解释，在做题中进行交流和比 较，互相启发。
六、反馈练习
落实新知
解：(1)8=4 2；
(2)25=5 5= 5 ；
2
(3)27=9 3；
2
(4)500=100 5．
2 5 （4） x y
2、化简： （1） 9 25
（2） 16a
（3） 300
解： （1） 9 25 = 9 25 =3 5=15； （2） 16a = 16 a 4a ；
2
四、指导应用
深化理解
注意： （1）被开方数中的底数的取值范围。 （2）例题中的被开方数是含字母的整式，应先将它变形为另一 个整式的平方，然后应用性质化简。 （3）今后如果没有特别说明， 本章中根号内的所有字母都表示 正数。
练习： （1）化简： 8a
4
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2 ) a = a(a ≥ 0)
利用上面的等式可以计算二次根式的平方．
例2 计算 :
15 （-3 2） （ ）； （- 0.83） ； （3） （ 1） （ 2） .
解 ：(1)（
(2) （-
2
2
2
15 ）= 15 .
= 0.83） （
2
2
2
. = 0 . 83 0.83）
2 2
2
(3)（-3
= × 2） = 9 × 2 = 18 . （-3） 2） （
2 1
山青林场有甲、乙、丙、丁四块正方形苗圃．已知甲苗圃的面积为S m2 . （1）如果乙苗圃的面积比甲苗圃小25 m2 ，乙苗圃的边长是多少？ S- 25 米. （2）如果丙苗圃的面积为甲苗圃的2倍，丙苗圃的边长是多少？ 2S 米. （3）如果丁苗圃的面积是甲苗圃的面积的 p ,丁苗圃的边长是多少？ S 米. （4）观察上面三个问题列出的算式
3.4 )2
（4）x（x≥0）.
(3) (±2√ 3)2
(4) （±√ x)2
课堂小结
1. 形如 特点：
a（a≥0）的式子叫做二次根式．
其中a为整式或分式，a叫做被开方式． ①都是形如 a 的式子， ②a都是非负数.
2.因为 a (a ≥ 0) 表示 a的算术平方根 ，所以 a ≥ 0(a ≥ 0)；
【课堂练习
1. 数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ C ） A. a>0 B. a≥0 C. a<0 D. a=0 3 个. 2. 下列各式中，是二次根式的有____
-144 ; m2 + 20 ; 3a ; a2 + b2 ; 15 ; b2 - 1 .
3. a取什么实数时，下列各式有意义？
( a ) = a(a ≥ 0);
2
2 a ( ) a= (a≥ 0).
课本第113页, 练习 第2，3题
以及你已经学过 2
S S－ 25 、 2S 、 P
1
P
1 等，你发现它们在表达形式上有什么共同特征？ 9, 3
乙 甲
它们都是形如 a 的式子，并且被开方数都是非负数. 一般地， 形如 a ( a≥ 0 )的式子叫做二次根式，其中 a 叫做被 开方式.
a 可以是整式或者是分式.
例1
x 取什么实数时，二次根式 2 x - 1有意义？
9.1 二次根式和它的性质 第一课时
1. 掌握二次根式的概念，学会确定二次根式有
意义的条件.
2. 应用 ( a ) 2 = a(a 0) 解决相关问题.
我国自主研制的第一个月球探测 器——“嫦娥一号”卫星，于 2007 年 10月 24 日发射成功. （1）运用运载火箭发射航天飞行器，火箭必须达到一定的速 度，才能克服地球引力，将飞行器送入环绕地球运行的轨 道．这个速度称为第一宇宙速度．第一宇宙速度的计算公式 2，R为地球的半径.你 是 V ．其中 g ≈ 9.8 米 / 秒 = gR 1 能求出第一宇宙速度吗？ （2）飞行器脱离地球引力，进入围绕太阳运行的轨道所需 要的最小速度称为第二宇宙速度．第二宇宙速度计算公式 为 V = 2V ．第二宇宙速度是多少？
(1) a + 2 ; ( 2) a ; 1 (3) a .
a ≥－2
a 为全体实数
a＞0
4. 计算： ( 1 )(
2 12 ) ；
2 ( 2 )( 4 5 ) ；
12
( 3 )( - 3 . 6 )
2
80 ；
( 4 )( x2 + 1)
2
.
平方的形式: （1）5； （2）3.4 ； （3）12； (1)（±√ 5)2 (2) （±√
解：二次根式 2 x - 1 有意义的条件是2x－1≥0．
1 x≥ ． 由2x－1≥0，得 2 1 即当 x 取大于或等于 2 的实数时,式子 有意义． 1 2x -
因为 a (a ≥ 0)表示a的算术平方根， 所以 a ( a ≥ 0)总是一个非负数 ,
即 a ≥ 0(a ≥ 0). 即( 并且它的平方等于 a，