《全国百强校》江苏省如皋中学2015-2016学年高二4月阶段练习文数试题解析(解析版)Word版含解斩

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1．命题“若0x ≥，则20x ≥”的否命题是 ． 【答案】若0x <，则20x < 【解析】试题分析：依据四种命题之间关系可得其否命题为“若0x <，则20x <”. 考点：四种命题之间的关系．2．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则()U C A B ⋃＝ ． 【答案】{}6 【解析】试题分析：先求出}5,4,3,2,1{=B A ，则()U C A B ⋃}6{=. 考点：并集、补集． 3．函数()()lg 1f x x =-+的定义域为 ． 【答案】()1,2考点：定义域及不等式组．4．已知函数22,0,()1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()21=a f ，则实数a 的值为 ．【答案】1-或22【解析】试题分析：当0≤a 时，212=a ，则1-=a ；当0>a 时，2112=+-a ，则212=a ，故22=a ，综上实数a 的值为1-或22. 考点：分段函数及方程的解法.5．曲线2ln y x x =-在点(1,2)处的切线方程是 ． 【答案】10x y -+= 【解析】试题分析：因xy 12/-=，故切线斜率为112=-=k ，切线方程为12-=-x y ，即10x y -+=.考点：导数的几何意义．【易错点晴】本题考查的是导数的几何意义为背景的数学问题.解答时充分借助题设条件,求出函数的导函数,再将切点的横坐标代入导函数求出其切线的斜率,再运用直线的点斜式方程写出切线的方程.这类问题的求解一般都要经过这三个步骤：设切点；求函数的导数；将切点的横坐标代入求出切线的斜率；最后运用直线的点斜式方程求出其方程.6．若命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是假命题．．．，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[]1,3-考点：存在性命题与全称命题之间的关系．【易错点晴】本题考查的是全称命题的否定与存在性命题之间的关系.求解时要充分借助“全称命题的否定是存在性命题”、“存在性命题的否定是全称命题”这一事实，先搞清所给的命题是全称命题还是存在性命题，然后再依据上述结论加以判别求解写出答案.解答本题时，先将问题合理转化为：“R x ∈∀,都有01)1(2≥+-+x a x 恒成立”是真命题,进而获解.常常会和命题四种形式中“否命题”混淆，从造成解答上的错误.7．函数()1ln f x x x=+的单调减区间为 ． 【答案】(]0,1（或()0,1） 【解析】试题分析：因0111)(22/<-=+-=xx x x x f ,故10<<x . 考点：导数在函数的单调性中的运用．8．“2:{|20}p x x x x ∈--≥”，“{}312:+≤≤-∈a x a x x q ”，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ． 【答案】[]0,1-考点：充分必要条件及运用．9．已知函数()=2xf x x +，且满足()()12f a f -<，则实数a 的取值范围是 ．【答案】()1,3- 【解析】试题分析：因为)()(x f x f =-,所以函数)(x f 是偶函数,当0≥x 时,xx x f 2)(+=是单调增函数,故由偶函数的性质及()()12f a f -<可得:2|1|<-a ,即212<-<-a ,即31<<-a .考点：偶函数的性质及函数的单调性运用．【易错点晴】本题考查的是偶函数的对称性和单调性.求解时充分借助函数对称性和单调性及题设中的()()12f a f -<与建立了关于实数a 的不等式,从而将问题转化为求含绝对值的不等式问题,在解绝对值问题的时候要注意去掉绝对值的方法,在本题的求解中是借助绝对值的几何意义,简捷、明快将不等式2|1|<-a 解出,使本题简捷巧妙地获解.10．已知奇函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，则()9f -= ．【答案】2- 【解析】试题分析：由题设可得)2()2()2(+-=--=+-x f x f x f ,即)2()2(--=+x f x f ,由此可得设)()4(x f x f -=+,所以)()8(x f x f =+,即函数是周期为8的周期函数,故(9)(9)(1)f f f -=-=- 212=-⨯=-.考点：函数的图象、周期性和对称性.11．若函数()()ln 3xf x ae x =--的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ．【答案】2a e >考点：导数在研究函数的最值中的运用.【易错点晴】本题考查的是方程中参数的取值范围问题.解答时充分借助题设和已知,先将问题转化为在实数集上不等式恒成立的求参数的取值范围的问题,解答的过程中,将参数a 从不等式中分离出来,再次将问题转化为求函数xe x x h 3)(+=的最大值的问题,求函数xex x h 3)(+=的最大值是运用导数的知识求解的,当求出其最大值为2e ,参数的取值范围也就确定了,从而使问题获解.12.若函数()22f x x a x =+-在()0+∞，上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[]4,0-【解析】试题分析：因为⎪⎩⎪⎨⎧+--+=a ax x a ax x x f 22)(222,2,<≥x x ,结合函数的图象可知当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-0222a a ,即04≤≤-a ,整个函数)(x f 的图象在()0+∞，上单调递增.考点：二次函数的图象及分段函数的单调性． 13．已知函数()()ln mf x x m R x=-∈在区间[]1,e 取得最小值4，则m = ． 【答案】3e -考点：导数在求函数的最值问题中的运用及分类整合的数学思想．【易错点晴】本题考查的是导函数在求函数的最值中的运用,而且是一道逆向型问题.解答时充分借助函数在闭区间[]1,e 取得最小值4这一条件和信息,先对函数()()ln mf x x m R x=-∈进行求导,进而分类讨论参数m 的取值情形,分别情况求出其最小值,最后再依据题设进行分析求解,去掉不合题设和已知条件的参数m 的值,从而写出符合题设条件的参数m 的值. 14．已知函数()212f x x m =+的图像与函数()lng x x =的图像有四个交点，则实数m 的取值范围是 ．【答案】12m <- 【解析】试题分析：令0||>=t x ,则方程可化为t m t ln 212=+,由题设方程||ln 212x m x =+有四个根这一问题则转化为方程221ln t t m -=有两个不同的根,也就是函数)0(21ln )(2>-=t t t t h 的图象与直线m y =有两个交点.因为tt t t t t h )1)(1(1)(/-+=-=,若)1,0(∈t 时, )(,0)(/t h t h >是增函数；当),1(+∞∈t 时, )(,0)(/t h t h <是减函数,则函数)(t h 在1=t 处取最大值21)(max -=t h ,所以21-<m 时, 直线m y =与函数)(t h 的图象有两个交点.考点：转化与化归的数学思想、函数与方程思想及导数在研究最值中的运用．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知a R ∈，命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=． （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1≤a ；(2)1a >或21a -<<． 【解析】试题分析：(1)借助命题的真假建立不等式求解；(2)先借助复合命题之间的关系和真假建立不等式，然后再解不等式即可获解.试题解析：⑴因为命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，令2()f x x a =-，根据题意，只要[1,2]x ∈时，min ()0f x ≥即可， ……………4分 也就是101a a -≥⇒≤； ……………7分 ⑵由⑴可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，命题q 为真命题时，244(2)0a a ∆=--≥，解得21a a ≤-≥或 ……………11分 因为命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，12121a a a ≤⎧⇒-<<⎨-<<⎩，当命题p 为假，命题q 为真时，11-21a a a a >⎧⇒>⎨≤≥⎩或，综上：1a >或21a -<<． …………………………14分 考点：复合命题的真假及运用． 16.（本小题满分14分）已知函数()()2ln f x ax x a R =-∈．（1）若函数()y f x =图像上点()()11f ，处的切线方程为()y x b b R =+∈，求实数,a b 的值；（2）若()x f y =在2x =处取得极值，求函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】(1)1,0a b ==；(2)2118e +．（2）因为()x f 的定义域为()()xax x f 12,,0-='+∞。

因为()x f 在2=x 处取得极小值，所以()02='f ，即81=a ．当81=a 时，()21444x x f x x x-'=-=，当1,2x e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()0<'x f ，当[]2,x e ∈时， ()0f x '>又()221111188f f e e e e ⎛⎫=+>=- ⎪⎝⎭所以：函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2118e +．……………………………14分考点：导数在研究函数的单调性及最值中的运用．【易错点晴】本题考查的是导数的几何意义和导数在研究函数的单调性和最值中的应用.对于导数的几何意义的问题求解时一定要搞清导函数在切点处的导函数值就是切线的斜率这一几何意义,当然也还要借助切点既在在切线上也在曲线上这一事实.关于函数在闭区间上的最值问题,一定要先求出函数在这个区间上的极值,再求出其最大最小值. 17.（本小题满分14分）已知二次函数)(x f y =的最小值等于4，且6)2()0(==f f ． （1）求)(x f 的解析式；（2）设函数()()g x f x kx =-，且函数()g x 在区间[1,2]上是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设函数()()2xh x f =，求当[]1,2x ∈-时，函数()h x 的值域．【答案】(1)642)(2+-=x x x f ；(2)04k k ≤≥或；(3)[]4,22． 【解析】试题分析：(1)借助已知建立方程求解；(2)借助二次函数的对称轴的位置关系建立不等式求解；(3)借助换元进行转化求解即可获解. 试题解析：解：（1）642)(2+-=x x x f ；……………………………………………………4分 （2）函数()()2246g x x k x =-++，其对称轴方程为：44k x +=∵函数()g x 在区间[1,2]上是单调函数，∴441244k k ++≤≥或 ∴04k k ≤≥或 ……………………………………………………9分（3）令12,42x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()()()22246214h x H t t t t ==-+=-+当1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()H t 单调递减，当[]1,4t ∈时，()H t 单调递增，()()min 14H t H ==又()14222H H ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以()()max 422H t H ==，所以当[]1,2x ∈-时，函数()h x 的值域[]4,22．…………………………………14分 考点：二次函数的图象及性质的运用． 18.（本小题满分16分）如图, 有一块半径为R 的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD 和其附属设施,附属设施占地形状是等腰CDE ∆,其中O 为圆心,,A B 在圆的直径上，,,C D E 在圆周上. （1）设BOC θ∠=,征地(五边形ABCED )面积记为()f θ,求()f θ的表达式； （2）当θ为何值时,征地面积最大?【答案】(1) ()()2sin cos cos f R θθθθ=+，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ；(2)6π．（2）()2(2sin 1)(sin 1)f R θθθ'=--+.……………………………………………………10分 令()0f θ'= ∴01sin =+θ（舍）或者21sin =θ ∵⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ, …………12分 ∴当(0,)6πθ∈,()0f θ'>,(,)62ππθ∈,()0f θ'<,…………………………………14分6πθ∴=时,()f θ取得最大. …………………………………15分 答:6πθ=时,征地面积最大. …………………………………………………16分考点：导函数在解决实际问题中的运用． 19.（本小题满分16分）设()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，函数()g x 与()f x 的图象关于y 轴对称，且当(]0,1x ∈时， ()2ln g x x ax =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对于区间(]0,1上任意的x ，都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)22ln()(10),()0(0),ln (01).x ax x f x x x ax x ⎧---<⎪==⎨⎪-+<⎩≤≤；(2)2e a ≥．【解析】试题分析：(1)借助题设条件直接求解即可；(2)借助导数充分运用分类整合的数学思想求解即可获解.（2）由已知，1()2f x ax x'=-+．①若()0f x '≤在(]0,1恒成立，则211202ax a x x-+⇒≤≤． 此时，12a ≤，()f x 在(0,1]上单调递减，min ()(1)f x f a ==， ∴ ()f x 的值域为[,)a +∞与|()|1f x ≥矛盾．……………………………………11分②当12a >时，令1()20(0,1]f x ax x x =-+=⇒=，∴ 当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴ 2min 11()ln(2)22f x f a a ==-+=+． 由|()|1f x ≥，得11ln(2)1222e a a +⇒≥≥．……………………………………15分 综上所述，实数a 的取值范围为2e a ≥． ……………………………………………16分 法二：对于区间(]0,1上任意的x ，都有()1f x ≥成立等价于对于区间(]0,1上任意的x ，均有()()11f x f x ≤-≥或 ………………8分 ①若对于区间(]0,1上任意的x ，均有()1f x ≤-成立，即2ln 1x a x -≤成立， 令函数()2ln 1x h x x -=，则()332ln 0x h x x-'=>，知函数()h x 在区间(]0,1上单调递增， 当x →-∞时，()h x →-∞，此时实数a 不存在； ………………11分 ②若对于区间(]0,1上任意的x ，均有()1f x ≥成立，即2ln +1x a x ≥成立， 令函数()2ln 1x t x x +=，则()32ln 1x t x x --'=，令()(]00,1t x x '=⇒= 当x⎛∈ ⎝时，()0t x '>，当x ⎤∈⎥⎦时，()0t x '< 所以当x=()t x 有最大值2e ， 对于区间(]0,1上任意的x ，均有()1f x ≥成立，只需2e a ≥．………………… 15分 综上所述，实数a 的取值范围为2e a ≥． …………………………16分 考点：导函数在研究函数的单调性和最值中的运用．20.（本小题满分16分）已知函数()()3223,2ln f x x ax x g x x x =-+-=． （1）若函数()f x 在R 上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）判断函数()g x 的奇偶性，并写出()g x 的单调区间；（3）若对一切()0,x ∈+∞，函数()f x 的图像恒在()g x 图像的下方，求实数a 的取值范围【答案】(1)33a -≤≤；(2)增区间是1122,0,,e e --⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，减区间是1122,,0,e e --⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)4a <．【解析】试题分析：(1)借助导函数的值与函数单调性之间的关系建立不等式求解；(2)运用导数和题设条件直接写出单调区间即可；(3)借助函数图像的位置关系建立不等式,再运用导数的知识求解即可获解.试题解析：（1）由()323f x x ax x =-+-，得2()=323f x x ax '-+-， 因为函数()f x 在R 上是单调函数，所以()0f x '≤在R 上恒成立，所以2=4490a ∆-⨯≤，解得33a -≤≤． ………………………………………3分（2）由()22ln g x x x =，知定义域()(),00,-∞⋃+∞ 所以定义域关于原点对称 ………………………………………5分当()()()222ln 2ln g x x x x x g x -=--== 所以函数()g x 是偶函数． ………………………………………7分 当0x >时，()22ln g x x x =，()()214ln 222ln 1g x x x x x x x'=+=+， 令 ()=0g x '，得12x e -=， ………………………………………9分 且120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()120,,0g x x e g x -⎛⎫'<∈+∞'> ⎪⎝⎭；结合偶函数的对称性，知函数()g x 的单调增区间是：1122,0,,e e --⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调减区间是：1122,,0,e e--⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………………11分考点：导数在研究函数的单调性和最值中的运用．【易错点晴】本题重点考查的是导数在研究函数的单调性和最值中的运用.第一问借助函数单调与导函数值的关系建立不等式进行求解的,运用了二次函数的图象及判别式建立不等式求出参数的取值范围；第二问运用分类整合的思想先分类再利用导数研究函数的单调性,确定单调区间；第三问将函数图象的位置关系转化为不等式问题,进而运用导数求出了函数中参数的取值范围,整个解答过程体现了分类整合、转化化归、函数方程这些数学思想的灵活运用.。