22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质教案
九年级数学上册 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性
二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象和性质教学目标：1．掌握用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．2．掌握用图象平移或通过配方确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．教学重点用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标教学难点理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b 24a ) 教学过程一、导入新课（一）根据上节课所学的知识回答问题：1．说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标是(2，1)．2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系?函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的．3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质?当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1．（二）抛出问题：你能很容易地说出二次函数y ＝12x 2－6x ＋21它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？二、探究新知1．研究二次函数y ＝21x 2－6x ＋21的图象和性质． （1）根据二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质，讨论二次函数y ＝21x 2－6x ＋21的图象和性质？ 如何将y ＝21x 2－6x ＋21转化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式呢？ 教师引导学生观察两个等式右边的多项式的特点，然后根据配方法进行变形．y ＝21x 2－6x ＋21 ＝21(x 2－12x ＋42) ＝21(x 2－12x ＋36－36＋42) ＝21[(x －6)2＋6]＝21(x －6)2＋3． 化为y ＝21(x －6)2＋3后，根据前面的知识，教师让学生先画出二次函数y ＝21x 2的图象，然后可确定把这个函数y ＝21x 2图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y ＝21x 2－6 x ＋21的图象．（2）直接画二次函数y ＝21x 2－6x ＋21的图象． 先列表：x… 3 4 5 6 7 8 9 … y ＝21(x －6)2＋3… 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …然后描点画图，得到y ＝21(x －6)2＋3的图象．从上图中二次函数的图象可以看出：抛物线y ＝21x 2－6x ＋21的顶点是(6，3)，对称轴是x ＝6．在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x ＜6时，y 随x 的增大而减小；当x ＞6时，y 随x 的增大而增大．2．用上面的方法讨论二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1的图象和性质．教师引导学生独立完成，教师在学生配方时可给予适当指导．y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x 2＋2x －21) ＝－2(x 2＋2x ＋1－1－21) ＝－2[(x ＋1)2－23] ＝－2(x ＋1)2＋3．3．探究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质．首先，将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 通过配方化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，即y ＝a 22 ⎝⎛⎪⎭⎫+a b x ＋a b ac 442-．然后可确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－a b 2，顶点是（－a b 2，a b ac 442-）． 最后，教师引导学生观察教材第39页图22.1-11，总结二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的变化规律．从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可以看出： 如果a ＞0，当x ＜－a b 2时，y 随x 的增大而减小，当x ＞－ab 2时，y 随x 的增大而增大； 如果a ＜0，当x ＜－a b 2时，y 随x 的增大而增大，当x ＞－a b 2时，y 随x 的增大而减小． 三、巩固练习教材第39页练习．答案：(1)开口向上，x ＝－13，(－13，－13)；（2）开口向下，x ＝1，（1，-3）； (3)开口向下，x ＝2，(2，0)；（4）开口向上，x ＝4，（4，-5）.四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？1.用配方法把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，然后确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向、对称轴和顶点坐标以及其它性质.2.会用公式法确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向、对称轴和顶点坐标以及其它性质.其中对称轴是x＝－a b 2，顶点是（－a b 2，a b ac 442-）．如果a ＞0，当x ＜－a b 2时，y 随x 的增大而减小，当x ＞－a b 2时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜－a b 2时，y 随x 的增大而增大，当x ＞－ab 2时，y 随x 的增大而减小．五、检测反馈1．填空：(1)抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标是________；(2)抛物线y ＝2x 2－2x －1的开口________，对称轴是________；(3)二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a 的最大值是3，则a ＝________.2．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)y ＝-3x 2＋2x ；(2)y ＝2x 2＋8x+8.3．求二次函数y ＝mx 2＋2mx ＋3(m ＞0)的图象的对称轴，并说出该图象具有哪些性质．4．抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 的顶点是(－1，2)，则a ，c 的值分别是多少？答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x ＝12；(3)－1； 2.(1)开口向下，x ＝13，(13， 13)；(2)开口向上，x ＝-2，(-2，0)； 3.对称轴x ＝－1，当m ＞0时，开口向上，顶点坐标是(－1，3－m)；4.a ＝1，c ＝3.六、布置作业习题22.1第6题．。
22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教案教学设计
22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t ＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质【类型一】二次函数图象的位置与系数符号互判如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－b2a＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由－b2a＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a －b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a 的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－b2a＞0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，－b2a＜0，由此得a、b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( )A．a＞1B．－1＜a≤1C．a＞0D．－1＜a＜2解析：抛物线的对称轴为直线x＝－22×（－1）＝1，∵函数图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1，故选择B.方法总结：抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a＜0，开口向下时，对称轴左升右降．【类型三】二次函数与一次函数的图象的综合识别已知抛物线y＝ax＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴抛物线y＝ax2＋bx的开口向上，对称轴x＝－b2a＞0，∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线y＝ax＋b过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x＝－b2a＜0，∴选项B，C错．故选择D.方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．【类型四】抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的平移在同一平面直角坐标系内，将函数y ＝2x 2＋4x －3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( )A ．(－3，－6)B ．(1，－4)C ．(1，－6)D ．(－3，－4)解析：二次函数y ＝2x 2＋4x －3配方得y ＝2(x 2＋2x )－3＝2(x 2＋2x ＋1－1)－3＝2(x ＋1)2－5，将抛物线y ＝2(x ＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y ＝2(x ＋1－2)2－5＝2(x －1)2－5，再将抛物线y ＝2(x －1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x －1)2－5－1＝2(x －1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)，故选择C.方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向上平移k (k >0)个单位所得的函数关系式为y ＝ax 2＋k ，向下平移k (k >0)个单位所得的函数关系式为y ＝ax 2－k ；向左平移h (h >0)个单位所得函数关系式为y ＝a (x ＋h )2；向右平移h (h >0)个单位所得函数关系式为y ＝a (x －h )2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．【类型五】二次函数的图象与几何图形的综合应用如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2，0)、B (0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．解：(1)把A (2，0)、B (0，－6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的解析式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－42×（－12）＝4，∴点C 的坐标为(4，0)．∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝12×2×6＝6.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.。
数学人教版九年级上册22.1.4《二次函数y=ax2 bx c的图象和性质》教案.1.4教学设计
《22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》教学设计一、内容和内容解析1.内容二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质。
2.内容解析在讨论了二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象和性质的基础上，本节课对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质进行研究。
主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c（a ≠0）向y=a（x-h）2+k（a≠0）转化，体会知识之间的内在联系。
在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a>0和a<0的情况，再从特殊到一般得出y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：通过配方将数字系数的二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）转化为y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，并由y=a（x-h）2+k（a≠0）得到二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质。
二、目标和目标解析1.目标（1）能够用配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）转化成y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，体会转化的数学思想。
（2）类比y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象性质了解二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，体会数形结合的思想。
2.目标解析达成目标(1)的标志是：会通过配方法将数字系数的二次函数解析式化为y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，并能由y=a（x-h）2+k（a≠0）得到y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标和对称轴。
达成目标(2)的标志是：经历观察y=a（x-h）2+k（a≠0）图象得出二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）性质的研究过程，能够说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标等。
三、教学问题诊断分析在本节课前，学生已经探究过二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象和性质，学生已经有了这方面的学习经验，这对本节课的学习可以起到借鉴作用。
面对形如y=ax2+bx+c（a ≠0）的二次函数，要想将其转化为y=a（x-h）2+k（a≠0）形式的化归思想是学生学习经验中有所欠缺的。
《22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》教案、导学案、同步练习
《22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质》教案【教学目标】1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．【教学过程】一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质【类型一】二次函数图象的位置与系数符号互判如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－b2a＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由－b2a＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a－b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－b2a＞0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，－b2a＜0，由此得a、b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( )A．a＞1B．－1＜a≤1C．a＞0D．－1＜a＜2解析：抛物线的对称轴为直线x＝－22×（－1）＝1，∵函数图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1，故选择B.方法总结：抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a ＜0，开口向下时，对称轴左升右降．【类型三】二次函数与一次函数的图象的综合识别已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴抛物线y＝ax2＋bx的开口向上，对称轴x＝－b2a＞0，∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线y＝ax＋b过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x＝－b2a＜0，∴选项B，C错．故选择D.方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．【类型四】抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( )A．(－3，－6) B．(1，－4)C．(1，－6) D．(－3，－4)解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3＝2(x＋1)2－5，将抛物线y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)，故选择C.方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y＝ax2(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x－h)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．【类型五】二次函数的图象与几何图形的综合应用如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2，0)、B (0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．解：(1)把A (2，0)、B (0，－6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c 得：⎩⎨⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎨⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的解析式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－42×（－12）＝4，∴点C 的坐标为(4，0)．∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝12×2×6＝6.三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.《22.1.4 第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》导学案（5）归纳：二次函数的一般式c bx ax y ++=2可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标是 ；对称轴是 ， （二）、用描点法画出12212-+=x x y 的图像. （1）顶点坐标为 ；（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．） （3）描点，并连线： （4）观察：①图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ； ②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小。
九年级数学上册 22.1.4 二次函数y=ax2 bx c的图象和性质(1)教案 (新版)新人教版
22.1.4二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质(1)一、教学目标1.会用配方法或公式法将一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 化成顶点式y =a (x -h )2+k . 2.会熟练求出二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴. 二、课时安排 1课时 三、教学重点熟练求出二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴. 四、教学难点会用配方法或公式法将一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 化成顶点式y =a (x -h )2+k . 五、教学过程 （一）导入新课说出二次函数24(2)1y x =--+ 图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.它是由y=-4x 2怎样平移得到的？（二）讲授新课 问题1 怎样将216212y x x =-+化成y =a (x -h )2+k 的形式？ 216212y x x =-+ 21(1242)2x x =-+ 2221(126642)2x x =-+-+ 2221[(126)642]2x x =-+-+ 21[(6)6]2x =-+ 21(6) 3.2x =-+问题2 你能说出21(6)32y x =-+的对称轴及顶点坐标吗？答：对称轴是直线x =6,顶点坐标是（6，3）问题3 二次函数21(6)32y x =-+可以看作是由212y x = 怎样平移得到的？ 答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.问题4 如何用描点法画二次函数216212y x x =-+的图象？ 解: 先利用图形的对称性列表然后描点画图，得到图象如右图：问题5 结合二次函数 216212y x x =-+ 的图象，说出其性质当x <6时，y 随x 的增大而减小； 当x >6时，y 随x 的增大而增大.活动2：探究归纳y=ax ²+bx+c 22222b b b a x x c a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦= 2224b b a x c a a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭ 22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭（三）重难点精讲 例1 填表：例2 已知二次函数y =－x 2＋2bx ＋c ，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是（ ）A ．b ≥－1B ．b ≤－1C ．b ≥1D ．b ≤1解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y 的值随x 值的增大而减小，由题设可知，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，∴抛物线y =－x 2＋2bx ＋c 的对称轴应在直线x =1的左侧而抛物线y =－x 2＋2bx ＋c 的对称轴 2(1)bx b =-=⨯-，即b ≤1，故选择D .（四）归纳小结 如果a >0,当x < 2b a -时，y 随x 的增大而减小；当x >2b a- 时，y 随x 的增大而增大 如果a <0,当x < 2b a -时，y 随x 的增大而增大；当x >2b a-时，y 随x 的增大而减小. 顶点坐标：24(,)24b ac b a a--，对称轴是2b x a =-（五）随堂检测1.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的x 、y 的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( )A .y 轴 B.直线x = C. 直线x =2 D.直线x =2.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a 、b 同号；（2）当x =–1和x =3时，函数值相等； （3） 4a +b =0；（4）当y =–2时，x 的值只能取0； 其中正确的是 .3.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：()()()22(1) 21213;(2) 580319;1(3) 22;2(4)12.y x x y x x y x x y x x =-+=-+-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=+-六．板书设计例题1： 例题2： 如果a >0,当x < 2b a -时，y 随x 的增大而减小；当x >2b a - 时，y 随x 的增大而增大 如果a <0,当x < 2b a -时，y 随x 的增大而增大；当x >2b a-时，y 随x 的增大而减小. 顶点坐标：24(,)24b ac b a a--，对称轴是2b x a =-七、 作业布置P39 练习 练习册相关练习 八、教学反思。
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》这一节是人教版数学九年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数图象的特点，理解二次函数的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的定义和一般形式，对二次函数有了初步的认识。
但是，学生对二次函数的图象和性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
同时，学生可能对一些概念和性质的理解还不够深入，需要通过教师的引导和学生的自主探索来加深理解。
三. 教学目标1.了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和掌握。
2.运用二次函数的性质解决实际问题的能力的培养。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题引导学生思考和探索。
2.采用案例分析的教学方法，通过具体的例子来讲解和展示二次函数的性质。
3.采用小组合作的学习方式，让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例，用于讲解和展示二次函数的性质。
2.准备教学课件和板书，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“二次函数的图象和性质有哪些？”引导学生思考和探索。
2.呈现（10分钟）通过教学课件和板书，呈现二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
同时，通过具体的例子来讲解和展示这些性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析一些具体的二次函数图象，来识别和判断其性质。
数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 教案
22．1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教学目标1．理解二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k之间的联系，体会转化的思想．2．通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思想．教学重点二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．教学难点通过配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并得到其性质．教学过程设计一、创设情景明确目标请同学们观察以下两个题：1．抛物线y＝－2(x－3)2＋4的开口向__下__，对称轴__直线x＝3__，顶点坐标__(3，4)__．2．因为抛物线y＝－2(x－3)2＋4可化为：y＝－2x2＋12x－14，所以抛物线y＝－2x2＋12x－14的开口向__下__，对称轴__直线x＝3__，顶点坐标__(3，4)__．我们知道，对于习题1，我们可以直接写出结果，但对于像习题2这样形式的二次函数怎么求出结果呢？二、自主学习指向目标自学教材第37至39页，完成下列填空：1．二次函数的一般形式是__y＝ax2＋bx＋c__(a≠0)．2．y＝ax2＋bx＋c通过配方可化为y＝ax＋__b,2a__2＋__4ac－b2,4a__．3．抛物线y＝a(x＋b,2a)2＋4ac－b2,4a的对称轴是直线__x＝－b,2a__，顶点坐标是－b,2a，4ac－b2,4a．三、合作探究达成目标探究点一二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．活动一：求抛物线y＝1,2x2－6x＋21的对称轴和顶点坐标．思考：1.如何将y＝－3x2－6x＋8变形为y＝a(x－h)2＋k的形式？请结合y＝a(x－h)2＋k的图象讨论y＝－3x2－6x＋8的图象和性质．2．直接画y＝1,2x2－6x＋21的图象应按什么步骤进行？探究点二二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的平移．活动二：结合活动一所画图象，思考：y＝1,2x2－6x＋21可由哪个二次函数经过怎样的平移得来。
人教版九年级上册数学 22.1.4 二次函数y=ax2 bx c的图象和性质教学设计
人教版九年级上册数学 22.1.4 二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质教学设计一、教学目标1.理解二次函数的定义。
2.掌握二次函数的图象特征。
3.理解二次函数的性质。
二、教学重难点1.理解二次函数的图象对应了怎样的规律。
2.掌握二次函数的最高点和开口方向的取值规律。
三、教学准备1.课件软件或黑板。
2.教学用具：直线尺、细软尺等。
3.教学素材：二次函数的图象和相关计算题。
四、教学过程步骤一：导入首先，通过问题情境导入本节课的内容，例如：“小明根据市场调研发现，某养殖场的产量与每月投入的饲料量之间存在一定的关系，请问饲料量每增加10kg，产量会增加多少？我们该如何给出一个恰当的模型来描述这种关系呢？”步骤二：引入二次函数的定义1.引导学生利用前面学过的知识，思考饲料量和产量之间的关系符合什么样的函数关系。
2.介绍二次函数的定义：二次函数是一个决定因变量（产量）与自变量（饲料量）之间关系的函数，可以写为：y=ax2+bx+c3.给出a、b、c的含义解释：a是二次项系数，决定函数的开口方向和曲线的陡峭程度；b是一次项系数，决定函数图象的位置；c是常数项，决定函数图象与y轴的交点。
步骤三：二次函数图象的特征1.展示二次函数图象的相关计算题，通过观察和分析图象，引导学生总结出二次函数图象的特征。
2.笔直线段的特征：当a>0时，函数图象开口向上；当a<0时，函数图象开口向下。
3.顶点的特征：当a>0时，函数的最高点位于图象的下方；当a<0时，函数的最低点位于图象的上方。
4.曲线的陡峭程度：当a的绝对值较大时，曲线较为陡峭；当a的绝对值较小时，曲线较为平缓。
步骤四：二次函数性质的探究1.提出二次函数的一般形式并讨论：y=ax2+bx+c2.引导学生以a的正负值分别讨论二次函数图象与y轴的交点个数。
–当a>0时，曲线与y轴有且仅有一个交点；–当a<0时，曲线与y轴没有交点。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质教案名师制作优质教学资料
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质一、教学内容二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质二、教材分析二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。
它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。
因此，本节课的内容十分重要。
三、学情分析四、教学目标1.知识与技能使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2.过程与方法使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.情感态度价值观让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
五、教学重难点重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b/2a、(－b/2a，4ac－b2/4a)六、教学方法和手段讲授法、练习法七、学法指导讲授指导八、教学过程（一）提出问题导入新课1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？具有哪些性质?2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?3．不画出图象，你能直接说出函数y＝-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了（二）学习新知1、思考：像函数y＝－4(x－2)2＋1很容易说出图像的顶点坐标，函数y＝-1/2x2-6x+21能画成y=a(x－h)2＋k 这样的形式吗？2、师生合作探索：y＝-1/2x2-6x+21 变成y=a(x－h)2＋k的过程3、做一做（1）通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?在学生做题时，教师巡视、指导；让学生总结配方的方法；思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质教案
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质教案第一篇：22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质教案22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质一、教学内容二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质二、教材分析二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。
它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。
因此，本节课的内容十分重要。
三、学情分析四、教学目标1.知识与技能使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2.过程与方法使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.情感态度价值观让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
五、教学重难点重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b/2a、(－b/2a，4ac－b2/4a)六、教学方法和手段讲授法、练习法七、学法指导讲授指导八、教学过程（一）提出问题导入新课1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？具有哪些性质? 2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y ＝－4x2的图象有什么关系? 3．不画出图象，你能直接说出函数y＝-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了（二）学习新知1、思考：像函数y＝－4(x－2)2＋1很容易说出图像的顶点坐标，函数y＝-1/2x2-6x+21能画成y=a(x－h)2＋k 这样的形式吗？2、师生合作探索： y＝-1/2x2-6x+21变成y=a(x－h)2＋k的过程3、做一做（1）通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 在学生做题时，教师巡视、指导；让学生总结配方的方法；思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系? 以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(教案)
本节课的核心素养目标包括：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过观二次函数图像，推理出二次函数的性质，理解并掌握二次函数图像与系数之间的关系；
2.增强学生的数据分析观念，通过解析二次函数图像数据，培养学生对数据的敏感性和分析问题的能力；
3.提升学生的空间想象力和几何直观，借助二次函数图像，训练学生从二维图像中抽象出几何性质和关系，形成直观的数学理解；
举例：讲解图像的平移（左加右减，上加下减）和缩放（横向缩放：x轴方向除以a；纵向缩放：y轴方向乘以a）对二次函数的影响。
（4）对于不同系数的二次函数图像的识别和分析。
举例：通过多个具有不同系数的二次函数图像，训练学生快速识别并分析其性质。
在教学过程中，教师应针对这些教学难点和重点，有针对性地进行讲解和强调，采用适当的教学方法，如实例演示、互动讨论、小组合作等，帮助学生突破难点，确保学生对核心知识理解透彻。
- b、c的值影响抛物线的位置。
2.探索并掌握二次函数图像的性质，包括对称轴、顶点、最小（大）值等；
-对称轴：x=-b/2a；
-顶点坐标：(-b/2a, (4ac-b^2)/(4a))；
-最值：当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
3.通过图像和性质的学习，解决实际问题，如最值问题、交点问题等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像和性质的重要性及其应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版数学九年级上册：22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 教案
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质【知识网络】典案二导学设计【学习目标】1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
【重点难点】重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴，顶点坐标是教学的难点。
【教学过程】一、提出问题1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质?4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?二、解决问题由上面第4个问题的解决，我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
根据这些特点，可以采用描点法作出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，进而观察得到这个函数的性质。
解：(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值表；(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y ＝－12x 2＋x －52的图象说明：列表时，应根据对称轴是x ＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。
相应的函数值是相等的。
思考：上述函数的图象与函数y ＝－12x 2的图象有什么关系？三、归纳总结以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。
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22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
一、教学内容
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
二、教材分析
二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。
它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。
因此，本节课的内容十分重要。
三、学情分析
四、教学目标
1.知识与技能
使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2.过程与方法
使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.情感态度价值观
让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
五、教学重难点
重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方
确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b/2a、(－b/2a，4ac－b2/4a)
六、教学方法和手段
讲授法、练习法
七、学法指导
讲授指导
八、教学过程
（一）提出问题导入新课
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？具有哪些性质?
2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?
3．不画出图象，你能直接说出函数y＝-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了（二）学习新知
1、思考：像函数y＝－4(x－2)2＋1很容易说出图像的顶点坐标，函数y＝-1/2x2-6x+21能画成y=a(x－h)2＋k 这样的形式吗？
2、师生合作探索：y＝-1/2x2-6x+21 变成y=a(x－h)2＋k的过程
3、做一做
（1）通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?
在学生做题时，教师巡视、指导；让学生总结配方的方法；思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?
以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。
那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?
教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，汇报结果：
y＝ax2＋bx＋c（配方变形的过程略）
当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。
对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标是(－b/2a，4ac－b2/4a)
(2)P12练习第1、2、3、4题
4、待定系数法求二次函数解析式(引导学生自学看书12页)
5、练一练P13练习第1、2
九、课堂小结
通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？
十、作业布置
P40练习
十一、板书设计
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
十二、教学反思。