第二十一章 一次函数

第二十一章一次函数
一、一次函数及其表达式
1.一次函数
一般地，把形如y=kx+b(k、b为常数，且k≠0）的函数叫一次函数，当b=0时，它就化为y=kx(k为常数，且k≠0）的形式，这时，y叫做x的正比例函数。

正比例函数是一次函数的特殊形式
2.一次函数的图象（y=kx+b,k≠0）
3.一次函数的性质
4.一次函数图象的特殊点及与其他直线的交点问题
5. 一次函数表达式的确定
二、一次函数与方程（组）、不等式的关系
1. 一次函数与一元一次方程的关系： 一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交点的横坐标-k
b
是方程kx+b=0的解。

2. 一次函数与一元一次不等式的关系：
（1）一次函数y=kx+b 的函数值大于0时，对应自变量x 的取值范围就是不等式kx+b>0的解集
（2）一次函数y=kx+b 的函数值小于0时，对应自变量x 的取值范围就是不等式kx+b<0的解集
3. 一次函数与二元一次方程组的关系：
两个一次函数图象的交点坐标就是它们的表达式组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点。

例题：
一、一次函数、正比例函数的概念 1. 已知函数y=(a-1）x
1
2--a a +a+1，求：
（1）当a 为何值时，它是一次函数；（2）当a 为何值时，它是正比例函数。

思路建立：（1）若y=(a-1）x 1
2--a a +a+1是一次函数，则满足a 2
-a-1=1，且a-1≠0;
若y=(a-1）x
1
2--a a +a+1是正比例函数，则满足a 2
-a-1=1且a+1=0,a-1≠0.
解：（1）由题意得a 2
-a-1=1，且a-1≠0 解得 a=2或a=-1
所以当a=2或a=-1时，y=(a-1）x
1
2--a a +a+1是一次函数。

（2）由题意得a 2
-a-1=1，且a-1≠0，a+1=0 解得a=-1
所以当a=-1时，y=(a-1）x 1
2--a a +a+1是正比例函数
二、一次函数的图象与性质
1. 正比例函数y=kx （k ≠0）的图象在第二、四象限，则一次函数y=x+k 的图象大致是（ ）
A B C D
解析： 正比例函数y=kx （k ≠0）的图象在第二、四象限，0， ∴k<0. ∴一次函数 y=x+k 的图象与y 轴交于负半轴，且经过第一、三象限。

2. 一次函数y=mx+1-m 的图象过点（0,2），且y 随x 的增大而增大，则m=（ ） A. -1 B.3 C.1 D.-1或3 解析：∵一次函数y=mx+1-m 的图象过点（0,2）. ∴1-m =2 ， ∴m-1=2或m-1=-2 解得 m=3 或 m=-1 ∵y 随x 的增大而增大， ∴m>0 ， ∴m=-1舍去， m=3
3. 若点M （k-1,k+1）关于y 轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=(k-1)x+k 的图象不经过第______象限。

解析：∵点M （k-1,k+1）关于y 轴的对称点在第四象限内， ∴点M （k-1,k+1）位于第三象限. ∴k-1<0且k+1<0，解得k<-1
∴y=(k-1)x+k 经过第二、三、四象限，不经过第一象限。

三、一次函数表达式的确定
1. 如图2经过点A 的一次函数的图象与正比例函数y=2x 的图象相较于点B ，则这个一次函数的解析式是 （ ）
A. Y=2x+3
B.y=x-3
C.y=2x-3
D.y=-x+3 思路建立：先根据正比例函数图象确定B 点坐标，再根据图象确定A 点的坐标，利用待定系
数法求出一次函数解析式。

解：∵点B 在正比例函数y=2x 的图象上，横坐标为1 ∴y=2×1=2 , ∴B （1,2） 设一次函数解析式为y=kx+b
∵一次函数的图象过点A （0，3），且与正比例函数y=2x 的图象相较于点B （1,2） ∴可得方程组 b=3 解得 b=3 K+b=2 k=-1 ∴这个一次函数的解析式为y=-x+3 四、一次函数图象上点的坐标特点的问题 1. 如图，直线y=
3
2
x+4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC+PD 的值最小时，点P 的坐标为（ ）
A. （-3,0）
B.（-6,0）
C.（-
23，0） D.（-2
5
，0） 思路建立：首先根据一次函数解析式求出点A 、B 的坐标，再由中点坐标公式求出C 、D 的坐标；接下来根据对称的性质得出点D '
的坐标，结合点C 、D '
的坐标求出直线CD '
的解析式；最后令y=0即可求出x 的值，从而得出P 点坐标。

解：作点D 关于x 轴的对称点D '
，连接CD '
交x 轴于点P ，此时PC+PD 的值最小， 令y=
3
2
x+4中x=0，则y=4, ∴点B 的坐标为（0,4）； 令y=
32x+4中y=0,则3
2
x+4=0，解得x=-6 ∴点A 的坐标为（-6,0）
∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点C （-3,2），点D （0,2） ∵点D '
和点D 关于x 轴对称，∴点D '
的坐标为（0，-2） 设直线CD '的解析式为y=kx+b
∵直线CD '
过点C （-3,2），D '
（0，-2） ∴有 -3k+b=2 解得 k=-3
4
B=-2 b=-2 ∴直线CD '
的解析式为y=-3
4
x-2 令y=-34x-2中y=0，则-34x-2=0，解得 x=-2
3 ∴点P 的坐标为（-
2
3
，0） 五、一次函数与方程（组）之间的关系
1. 如图，已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象交于点P ，根据图象可得方程组 x-y=2 的解是_________ 2x+y=1
思路建立：先由图象得出两个函数图象的交点坐标，再根据交点坐标即可得出方程组的解。

六、一次函数与不等式的关系
1. 如图，直线y=x+b 与直线y=kx+6交于点p （3,5），则关于x 的不等式x+b >kx+6的解集是_________
思路建立：由于x+b >kx+6,所以只要观察直线y=x+b 与直线y=kx+6的交点两侧，直线y=x+b 在上方时对应的自变量取值即可。

七、直线与坐标轴围成图形面积的求法
如图，直线y=kx-6经过A （4,0）.直线y=-3x+3与x 轴交于点B ，且两直线相较于点C.
（1）求k 的值； （2）求∆ABC 的面积
思路建立：（1）将点A （4,0）代入解析y=kx-6求出k ；
(2)先求出点B 的坐标，再求出线段AB 的长，再联立方程组 y=kx-6求出两条直线的交点C 的坐标，点C 的纵坐标的绝对值就是∆ABC 的高面积即可求。

y=-3x+3 解：（1）∵直线y=kx-6经过点A （4,0），∴4k-6=0,即k=
2
3
. （2）∵直线y=-3x+3与x 轴交于点B ，∴点B 的纵坐标为0 即3x+3=0，解得x=1 ∴点B 的坐标为（1,0） ∵两条直线交于点C ∴ y=
2
3
x-6 解得 x=2
y=-3x+3 y=-3 ∴点C 的坐标为（2，-3） ∴∆ABC 的面积为21×AB ×3-=21×14-×3-=2
9。