人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(十五) 2.12定积分与微积分基本定理

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人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(五十九) 9.2随机抽样

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课时提升作业(五十九)随机抽样(25分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·汉中模拟)将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002,…,999,从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组编号为000,001,002,…,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个编号为( )A.700B.669C.695D.676【解析】选C.由题意可知,第一组随机抽取的编号a1=15,分段间隔数k=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=20,则抽取的第35个编号为a35=15+(35-1)×20=695.【加固训练】1.(2015·西安模拟)现要完成下列3项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查.②科技报告厅有32排,每排有40个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取意见,需要请32名听众进行座谈.③高新中学共有160名教职工,其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是( )A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样【解析】选A.对于①,个体没有差异且总数不多可用随机抽样法,是简单随机抽样;对于②,将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号,是系统抽样;对于③,个体有明显的差异,所以选用分层抽样,故选A.2.为保证质量,检测局抽测某企业生产的袋装婴儿奶粉的肉毒杆菌含量是否达标,现从500袋中随机抽取60袋进行检验,利用随机数表法抽取样本时,先将500袋婴儿奶粉按000,001,…,499进行编号,如果从随机数表第8行第26列的数开始,按三位数连续向右读取,最先检验的5袋奶粉的号码是(下面摘取了此随机数表第7行至第9行) ( )A.455 068 047 447 176B.169 105 071 286 443C.050 358 074 439 332D.447 176 335 025 212【解析】选B.第8行第26列的数是1,依次是三位数:169,555,671,998,105,071,851,286,735,807,443,…,而555,671,998,851,735,807超过最大编号499,故删掉,所以最先检测的5袋奶粉的号码为169,105,071,286,443.2.(2015·惠州模拟)某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900,900,1200人,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为( ) A.15 B.20 C.25 D.30【解题提示】根据分层抽样的定义求解.【解析】选B.三个年级的学生人数比例为3∶3∶4,按分层抽样方法,在高三年级应该抽取人数为50×错误！未找到引用源。

【世纪金榜】人教版第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(四) 2.1函数及其表示

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(四)2.1函数及其表示work Information Technology Company.2020YEAR课时提升作业(四)函数及其表示(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作从A到B 的映射的是()A.f:x→y=xB.f:x→y=xC.f:x→y=xD.f:x→y=x【解析】选D.按照对应关系f:x→y=x,对集合A中某些元素(如x=8),集合B中不存在元素与之对应.选项A,B,C都符合题意.2.(2015·厦门模拟)函数f(x)=的定义域是( )A. B.C. D.【解析】选D.由题意得解得x>-且x≠1,故选D.3.(2015·宿州模拟)下列各组函数不是同一函数的是( )A.f(x)=与g(x)=-xB.f(x)=|x|与g(x)=C.f(x)=x0与g(x)=1D.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1【解析】选C.A,B,D中两函数定义域与对应关系均相同故是同一函数,而C中的两函数定义域不同,故不是同一函数.【加固训练】下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为( ) A.y= B.y= C.y=xe xD.y=【解析】选D.函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而y=的定义域为{x|x∈R,x≠kπ,k∈Z},y=的定义域为(0,+∞),y=xe x的定义域为R,y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).4.(2015·西安模拟)已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg2)+f等于( ) A.-1 B.0 C.1D.2【解析】选 D.函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg2)+f=f(lg2)+f(-lg2)=ln(+3lg2)+1+ln(+3lg2)+1=ln+1+ln(+3lg2)+1=-ln(+3lg2)+1+ln(+3lg2)+1=2.【一题多解】令g(x)=ln(-3x),则g(x)是奇函数,且f(x)=g(x)+1,所以两式相加得f(lg2)+f(-lg2)=2,即f(lg2)+f=2.【加固训练】已知函数f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))=( )A.-2B.2C.3D.-3【解析】选B.f(0)=a0+b=1+b=2,解得b=1.f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得a=.故f(-3)=+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x)=( )A.x-1B.x+1C.2x+1D.3x+3【解析】选B.由题意知2f(x)-f(-x)=3x+1.①将①中x换为-x,则有2f(-x)-f(x)=-3x+1.②①×2+②得3f(x)=3x+3,即f(x)=x+1.6.图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H),则该函数的大致图像是( )【解析】选B.由图知,随着h的增大,阴影部分的面积S逐渐减小,且减小得越来越慢,结合选项可知选B.7.(2015·太原模拟)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是( )A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.因为组装第A件产品用时15分钟,所以=15,①所以必有4<A,且==30.②联立①②解得c=60,A=16.二、填空题(每小题5分,共15分)8.函数y=+ln(2-x)的定义域为_______.【解析】由已知得解得-1≤x<2且x≠0,所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,2).答案:[-1,0)∪(0,2)9.(2014·江西高考改编)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R),若f(g(1))=1,则a=__________.【解析】g(1)=a-1,f(g(1))=5|a-1|=1,解得|a-1|=0,所以a=1.答案:110.(2015·淮南模拟)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是________.【解析】要使函数g(x)=有意义,需满足即0≤x<1. 答案:[0,1)(20分钟40分)1.(5分)(2015·黄山模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由x 2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.【加固训练】具有性质:f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=满足“倒负”交换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①【解析】选B.①f=-x=-f(x),满足.②f=+x=f(x),不满足.③0<x<1时,f=-x=-f(x),x=1时,f=0=-f(x),x>1时,f==-f(x),满足.2.(5分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【解析】选C.对于选项A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项B,f(x)=x-|x|=当x≥0时,f(2x)=0=2f(x),当x<0时,f(2x)=4x=2·2x=2f(x),恒有f(2x)=2f(x);对于选项D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.3.(5分)(2015·吉安模拟)已知函数f(x)=若f(a)=,则a=________.【解析】当a>0时,log2a=,所以a=;当a≤0时,2a==2-1,所以a=-1,所以a=-1或.答案:-1或4.(12分)已知f(x)=x2-1,g(x)=(1)求f(g(2))与g(f(2)).(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式.【解析】(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0;f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2.(2)当x>0时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x;当x<0时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3.所以f(g(x))=同理可得g(f(x))=5.(13分)(能力挑战题)若函数f(x)=.(1)求的值.(2)求f(3)+f(4)+…+f(2015)+f+f+…+f的值.【解析】(1)因为f(x)==1-,所以==-1.(2)由f(x)=1-得,f=1-=1-,所以,两式两边分别相加,得f(x)+f=0,所以,f(3)+f(4)+…+f(2015)+f+f+…+f=0×2013=0.。

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课时提升作业(十二)函数的应用(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )，即相当于图像上的点(t，Q)与原【解析】选B.由题知运输效率即Qt点连线的斜率，即连线斜率逐步提高．由题知选项A，效率不变，选项C逐步减小，选项D先减小，再增大，选项B为逐步提高，故选B.2 (2015·咸宁模拟)某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(近似抛物线的一段)，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大( )A．3 B．4 C．5 D．6【解析】选C.求得：y＝－(x－6)2＋11，y25=-+≤-=12(x)12102,x x所以y有最大值2，此时x＝5.x3．(2015·淮南模拟)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) A.108元 B.105元 C.106元 D.118元【解析】选A.设该家具的进货价为x元，由题意，得1.1x=0.9×132，解得x=108，即该家具的进货价是108元.4.(2015·岳阳模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%，则该公司的年收入是( )A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元【解题提示】设年收入为x，构建分段函数模型求解.【解析】选D.设该公司的年收入为x,纳税额为y,则由题意，得y=()()x p%,x 280,280p%x 280p 2%,x 280,⨯≤⎧⎪⎨⨯+-⨯+>⎪⎩万万依题意有, ()()280p%x 280p 2%x⨯+-⨯+ =(p+0.25)%,解之得x=320(万元).【加固训练】(2014·朝阳模拟)由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，现在价格为8 100元的计算机经过15年价格应降为( )A. 2 000元B. 2 400元C. 2 800元D. 3 000元【解析】选B.设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×(1-13)3＝2 400.5．图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S ＝S(a)(a ≥0)是图形M 介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分面积，则函数S(a)的图像大致是( )【解析】选C.依题意，当0≤a ≤1时，()()2a 2a 1S a 2a a 3a;22-=+=-+ 当1<a ≤2时，S(a)＝12＋2a ；当2<a ≤3时，S(a)＝12＋2＋a ＝a ＋52；当a>3时，S(a)＝12＋2＋3＝112，于是 S(a)＝21a 3a,0a 1212a ,1a 2,25a ,2a 3,211,a 3.2⎧-+≤≤⎪⎪⎪+<≤⎪⎨⎪+<≤⎪⎪⎪>⎩由解析式可知选C.【一题多解】本题还可以采用如下方法选C.直线y ＝a 在［0,1］上平移时S(a)的变化量越来越小，故可排除选项A ，B.而直线y ＝a 在［1,2］上平移时S(a)的变化量比在［2,3］上的变化量大，故可排除选项D.二、填空题(每小题5分，共15分)6．有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_________(围墙厚度不计)．【解题提示】根据题目中条件，建立二次函数模型，采用配方法求最高值即可.【解析】设矩形场地的宽度为x m，则矩形场地的长为(200-4x)m，面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500.故当x=25时，S取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m2.答案:2 500 m27.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游，其中旅行社的包机费为30 000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团中的人数在30或30以下，飞机票每张收费1 800元.若旅游团的人数多于30人，则给以优惠，每多1人，机票费每张减少20元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为_______人时，旅行社获得的利润最大.【解析】设旅游团的人数为x人，飞机票为y元，利润为Q元，依题意，①当1≤x≤30时，y =1 800元，此时利润Q=yx-30 000=1 800x-30 000，此时最大值是当x=30时，Q max =1 800×30-30 000=24 000(元);②当30＜x ≤75时，y=1 800-20(x-30)=-20x+2 400,此时利润Q=yx-30 000=-20x 2+2 400x-30 000=-20(x-60)2+42 000,所以当x=60时，旅行社可获得的最大利润42 000元.综上，当旅游团的人数为60人时，旅行社获得的利润最大. 答案:608.(2015 ·武昌模拟)某地西红柿从2 月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系.Q=at+b,Q=at 2+bc+c,Q=a ·b t ,Q=a ·log b t利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________.(2)最低种植成本是________(元/100kg).【解析】根据表中数据可知函数不单调，所以Q=at 2+bt+c 且开口向上，对称轴b 60180t 120.2a 2+=-== 代入数据3600a 60b c 116,10000a 100b c 84,32400a 180b c 116,++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩得b 2.4, c224, a0.01.=-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.最低种植成本是14 400a+120b+c=14 400×0.01+120×(-2.4)+224=80. 答案:(1)120 (2)80三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·上饶模拟)某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y=f(x).(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x 的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润.【解析】(1)实数对(x,y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数.设f(x)=kx+b ，则6030k b,3040k b,=+⎧⎨=+⎩解得k 3,b 150.=-⎧⎨=⎩所以f(x)=-3x+150,30≤x ≤50，经检验成立.(2)P=(x-30)〃(-3x+150)=-3x 2+240x-4 500=-3(x-40)2+300,30≤x ≤50，因为x=40∈［30,50］，所以当销售单价为40元时，所获日销售利润最大.10．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积x(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝k 20x 100+(x ≥0，k 为常数)．记F(x)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并建立F(x)关于x 的函数关系式.(2)当x 为多少平方米时，F(x)取得最小值？最小值是多少万元？【解析】(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费，即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C(0)＝k100＝24，得k＝2 400，所以F(x)＝15× 2 40020x100+＋0.5x＝1 800x5++5＋0.5x(x≥0)．(2)因为F(x)＝1 800x5+＋0.5(x＋5)－2.5≥＝57.5，当且仅当1 800x5+＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，所以当x为55平方米时，F(x)取得最小值，最小值为57.5万元．【加固训练】围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数.(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【解析】(1)设矩形的另一边长为a m，则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360，由已知xa＝360，得a＝360x ，所以y＝2360225xx+－360(x>2)．(2)因为x>2，所以225x ＋2360x ≥10 800，所以y ＝225x ＋2360x －360≥10 440.当且仅当225x ＝2360x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．(20分钟 40分)1.(5分)已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A =lg(n A )来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，则下列判断中正确的个数为( )①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A菌个数多了10个；③假设科学家将B 菌个数控制为5万个，则此时5＜P A ＜5.5.A.0B.1C.2D.3【解析】选B.当n A =1时P A =0,故①错误；若P A =1，则n A =10，若P A =2，则n A =100,故②错误；设B 菌的个数为n B =5×104，所以n A =10410510⨯=2×105, 所以P A =lg(n A )=lg 2+5.又因为lg 2≈0.3,所以5＜P A ＜5.5，故③正确.2．(5分)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的范围为( )A ．［2,4］B ．［3,4］C ．［2,5］D ．［3,5］【解析】选B.根据题意知，12(AD ＋BC)h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h＝2x ，所以12(2BC ＋x)，得BC ＝18x －x 2，由h x 18x BC 0x 2⎧=≥⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩得2≤x<6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x 2(2≤x<6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5解得3≤x ≤4.因为［3,4］⊆［2,6)，所以腰长x 的范围是［3,4］．故选B. 3．(5分)(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p q2+ B.()()p 1q 112++-【解析】选D.设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，则由已知，列得(1+x)2=(1+p)(1+q)，解得－1.4.(12分)(2015·蚌埠模拟)某产品原来的成本为1 000元/件，售价为1 200元/件，年销售量为1万件，由于市场和顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级，据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低34x，在售价不变的情况下，年销售量将减少2x万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润为f(x)(单位：万元).(1)求f(x)的函数解析式.(2)求f(x)的最大值，以及f(x)取得最大值时x的值.【解题提示】(1)求出升级后每件的成本、利润及年销售量，则利润的函数解析式可求.(2)利用基本不等式求出f(x)的最大值.【解析】(1)依题意，产品升级后，每件的成本为1 000-3x4元，利润为200+3x4元，年销售量为1-2x万件，纯利润为f(x)=3x2(200)(1)x4x+--=198.5-400xx4-.(2)f(x)=198.5-400xx4-≤198.5-2=178.5.等号当且仅当400xx4=,即x=40时成立.所以f(x)取最大值时的x的值为40.【加固训练】如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？(2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值．【解析】设AN 的长为x(x ＞2)米，由DN DC ,ANAM=得|AM|＝3xx 2-，所以S 矩形AMPN ＝|AN|〃|AM|＝23x x 2-.(1)由S 矩形AMPN ＞32，得23x x 2-＞32，又x ＞2，于是3x 2－32x ＋64＞0，解得2＜x ＜83或x ＞8，即AN 长的取值范围为(2，83)∪(8，＋≦)．(2)S 矩形AMPN ＝()()223x 212x 2123x x 2x 2-+-+=--＝()123x 21212x 2-++≥-＝24，当且仅当3(x －2)＝12x 2-，即x ＝4时，y ＝23x x 2-取得最小值24.所以当AN=4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小为24平方米. 5.(13分)(2015·合肥模拟)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为：y=321x 640,x 1030)25x 40x 1 600,x 3050⎧+∈⎪⎨⎪-+∈⎩［，，［，］，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品.(1)当x ∈［30，50］时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？【解析】(1)当x ∈［30，50］时，设该工厂获利为S ，则S=20x-(x 2-40x+1 600)=-(x-30)2-700，所以当x ∈［30，50］时，S ＜0，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损.(2)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为P(x)=21640x ,x 1030)y 25x1 600x x 40,x 3050x⎧+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩［，，［，］，①当x ∈［10，30)时，P(x)=21640x 25x+，所以P ′(x)=()3222x 8 0002640x 25x 25x--=，因为x ∈［10，30)，所以当x ∈［10，20)时，P ′(x)＜0，P(x)是减少的；当x ∈［20，30)时，P ′(x)≥0，P(x)是增加的，所以当x=20时，P(x)取得极小值P(20)=2206402520+=48.②当x ∈［30，50］时，P(x)=x+1 600x -40≥，当且仅当x=1 600x，即x=40∈［30，50］时，P(x)取最小值P(40)=40，因为48＞40，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少. 【加固训练】某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设f(n)表示前n 年的纯利润总和(f(n)=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额). (1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法： ①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂，②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？【解析】(1)由题意，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，用g(n)表示前n 年的总支出，所以g(n)=12n+()n n 12-×4=2n 2+10n(n ∈N *)，因为f(n)=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额，所以f(n)=50n-(2n2+10n)-72=-2n2+40n-72.由f(n)＞0,即-2n2+40n-72＞0,解得2＜n＜18. 由n∈N*知，从第三年开始盈利.(2)方案①：年平均纯利润为()f nn=40-2(n+36n)≤16,当且仅当n=6时等号成立.故方案①共获利6×16+48=144(万元)，此时n=6.方案②：f(n)=-2(n-10)2+128.当n=10时，f(n)max=128.故方案②共获利128+16=144(万元).比较两种方案，获利都是144万元，但由于方案①只需6年，而方案②需10年，故选择方案①更合算.关闭Word文档返回原板块。

人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时

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课时提升作业(十一)函数与方程(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2015·安康模拟)函数f(x)=2x +x 3-4的零点所在区间为( ) A.(-1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) 【解析】选C.因为f(1)〃f(2)=-1〓8<0，所以选C.2．已知函数f(x)＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,3)内近似解的过程中，取区间中点x 0＝2，那么下一个有根区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1,2)或(2,3)都可以D ．不能确定【解析】选A.因为f(1)＝－2＜0，f(2)＝7＞0，f(3)＝28＞0.所以f(1)〃f(2)＜0，所以下一个有根区间为(1,2)． 3．(2015·合肥模拟)函数f(x)=24x 4,x 1,x 4x 3,x 1-≤⎧⎨-+>⎩的图像和函数g(x)=log 2x的图像的交点个数是( )A.4B.3C.2D.1【解析】选B.画出函数f(x)与g(x)的图像，由图可知，两函数图像有3个交点.4.(2014·湖北高考)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据f(x)是定义在R 上的奇函数，求出函数在R 上的解析式，再求出g(x)的解析式，根据函数的零点就是方程的解，问题得以解决．【解析】选D.由f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2-3x ，所以f(x)=22x 3x,x 0,x 3x,x 0.⎧-≥⎪⎨--<⎪⎩所以g(x)=22x 4x 3,x 0,x 4x 3,x 0.⎧-+≥⎪⎨--+<⎪⎩由2x 0,x 4x 30≥⎧⎨-+=⎩解得x 1=3,x 2=1,由2x 0,x 4x 30<⎧⎨--+=⎩解得故选D.5.已知函数f(x)=x+2x ,g(x)=x+ln的零点分别为x 1,x 2，x3,则x1,x2，x3的大小关系是( )A.x2<x1<x3B.x1<x2<x3C.x1<x3<x2D.x3<x2<x1【解析】选B.依据零点的意义，转化为函数y=x分别和y=-2x,y=-ln的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x1<0<x2<1<x3.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·南昌模拟)不等式ax2-x-c＞0的解集为{x|-2＜x＜1}，则函数y=ax2+x-c的零点为____________.【解析】因为不等式ax2-x-c＞0的解集为{x|-2＜x＜1}，所以-2，1是ax2-x-c=0的两根，则11,ac2,a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得a1,c2=-⎧⎨=-⎩，则y=ax2+x-c可化为y=-x2+x+2=-(x2-x-2)=-(x-2)(x+1),所以函数y=ax2+x-c的零点为-1和2.答案:-1和27.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为__________.【解析】函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x在区间(0，12 015)内存在一个零点，又f(x)在(0，+≦)上是增加的，因此在(0，＋≦)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(－≦，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.答案:38．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n ＝_____.【解析】求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.答案:2【加固训练】若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．(0，1)C．(－1，0) D．(-∞,-1)【解析】选A.令g(x)＝a x(a>0，且a≠1)，h(x)＝x＋a，分0<a<1，a>1两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图像，如图，若函数f(x)＝a x－x－a有两个不同的零点，则函数g(x)，h(x)的图像有两个不同的交点，根据画出的图像只有当a>1时符合题目要求．三、解答题9.(10分)已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a：(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程.(2)若y ＝f(x)在区间(－1,0)及(0,12)内各有一个零点，求实数a 的范围．【解析】(1)“对于任意的a ∈R ，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题；依题意：f(x)＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根, 因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．(2)依题意：要使y ＝f(x)在区间(－1,0)及(0,12)内各有一个零点,只需()()f 10,f 00,1f()0,2⎧⎪->⎪<⎨⎪⎪>⎩即34a 0,12a 0,3a 0,4⎧⎪->⎪-<⎨⎪⎪->⎩解得：13a 24<<.故实数a 的取值范围为13{a |a }24<<. 【方法技巧】二次函数零点问题的解题技巧对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决，结合二次函数的图像从判别式，根与系数的关系、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件，这里涉及三个“二次”问题的全面考虑和“数形结合思想”的灵活运用．【加固训练】1.是否存在这样的实数a ，使函数f(x)＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间［－1,3］上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．【解析】因为Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝289(a )9-＋89>0，所以若存在实数a满足条件，则只需f(－1)〃f(3)≤0即可．f(－1)〃f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)〃(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－15或a≥1.检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在［－1,3］上有两根，不合题意，故a≠1.②当f(3)＝0时，a＝－15，此时f(x)＝x2－135x－65.令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解得x＝－25或x＝3.方程在［－1,3］上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a的取值范围是(-≦,-15)∪(1，＋≦)．2.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．【解析】因为f(x)＝4x＋m〃2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m〃2x ＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，m=〒2，所以m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)．所以2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．所以这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.(20分钟 40分)1．(5分)(2015·合肥模拟)已知［x］表示不超过实数x的最大整数，如［1.8］=1，［-1.2］=-2.x0是函数f(x)=ln x-2x的零点，则［x0］等于( )A.2B.1C.0D.-2【解析】选A.因为f(x)=ln x-2x，则函数f(x)在(0，+≦)上是增加的，所以f(1)=ln 1-2=-2＜0，f(2)=ln 2-1＜0，f(3)=ln 3-23＞0，所以f(2)f(3)＜0，所以函数f(x)=ln x-2x在区间(2，3)内存在唯一的零点，因为x0是函数f(x)=ln x-2x的零点，所以2＜x0＜3，所以［x0］=2，故选A.2．(5分)已知函数f(x)＝kx1,x0,ln x,x0,+≤⎧⎨>⎩则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是( )A．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点C．无论k为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点【解析】选B.当k>0时，f(f(x))＝－1，结合图(1)分析，则f(x)＝t 1∈(-≦,-1k)或f(x)＝t 2∈(0,1)．对于f(x)＝t 1，存在两个零点x 1，x 2；对于f(x)＝t 2，存在两个零点x 3，x 4.此时共计存在4个零点．当k<0时，f(f(x))＝－1，结合图(2)分析，则f(x)＝t ∈(0,1)，此时仅有1个零点x 0.3.(5分)(2015·九江模拟)设函数f(x)=2x bx 2,x 02x x 0⎧++≤⎪⎨->⎪⎩，，，若f(-4)=f(0)，则函数y=f(x)-ln(x+2)的零点个数有_________个.【解析】因为函数f(x)=2x bx 2,x 02x x 0⎧++≤⎪⎨->⎪⎩，，，f(-4)=f(0)，所以b=4，所以f(x)= 2x 4x 2,x 02x x 0⎧++≤⎪⎨->⎪⎩，，，f(x)=2x 4x 2,x 02x x 0⎧++≤⎪⎨->⎪⎩，，，与y=ln(x+2)的图像如图所示，所以函数y=f(x)-ln(x+2)的零点个数有4个.答案:44. (12分)(2015·郑州模拟)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈［0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式.(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．【解析】(1)当x∈(－≦，0)时，－x∈(0，＋≦)．因为y＝f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－［(－x)2－2(－x)］＝－x2－2x，所以f(x)＝22x2x,x0,x2x,x0.⎧-≥⎪⎨--<⎪⎩(2)当x∈［0，＋≦)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－≦，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.所以据此可作出函数y＝f(x)的图像(如图所示)，根据图像，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋2ex(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围.(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．≥2e，【解析】(1)因为x＞0时g(x)＝x＋2ex等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是［2e，＋≦)，因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．所以m的取值范围是［2e，＋≦)．【一题多解】本题(1)还可以采用如下解法：(x>0)的大致图像如图：作出g(x)＝x＋2ex可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.所以m的取值范围是［2e，＋≦)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋2e(x>0)的大致图像．因为f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝x－(x－e)2＋m－1＋e2，所以其图像的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．所以m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋≦)．关闭Word文档返回原板块。

人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(五十五) 8.7双曲线

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课时提升作业(五十五)双曲线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设P是双曲线错误！未找到引用源。

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=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( ) A.1 B.17C.1或17D.以上答案均不对【解析】选 B.由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,所以|PF2|=17.【误区警示】本题极易忽视双曲线的右顶点到右焦点距离的最小值为2>1,从而误选C.2.(2015²汉中模拟)已知双曲线错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=1(a>0,b>0)的右顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的离心率为( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选B.由错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

由题意得错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

又知错误！未找到引用源。

-a=0,故a=2,b=1,c=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,所以双曲线的离心率e=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

. 【加固训练】与椭圆C:错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1共焦点且过点(1,错误！未找到引用源。

)的双曲线的标准方程为( ) A.x2-错误！未找到引用源。

=1 B.y2-2x2=1C.错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=1D.错误！未找到引用源。

-x2=1【解析】选 C.椭圆错误！未找到引用源。

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(五十四)-8.6抛物线

课时提升作业(五十四)抛物线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·济南模拟)从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△PMF的面积为( )A.5B.10C.20D.【解析】选B.根据题意得点P的坐标为(4,±4),所以S△PMF=|y P||PM|=×4×5=10,所以选B.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.【加固训练】1.(2015·石家庄模拟)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10x【解析】选C.由题意可知p>0,因为抛物线y2=2px,所以其准线方程为x=-,因为点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以|--2|=4,所以p=4,故抛物线方程为y2=8x.故选C. 2.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是( )A.2±B.2+C.±1D.-1【解析】选A.F,设P,Q(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得+=+,所以=,又y1≠y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|=+=2,解得p=2±.3.(2015·淮北模拟)两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b,则抛物线y2=-x的焦点坐标为( )A. B.C. D.【解析】选 C.由两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b可得解得抛物线的方程为y2=-x,故焦点坐标为.4.(2015·吉安模拟)如图,抛物线C1:y2=2px和圆C2:+y2=,其中p>0,直线l 经过C1的焦点,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则·的值为( )A.p2B.C.D.【解析】选B.设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),D(x2,y2),则|AB|=|AF|-|BF|=x1+-=x1,同理|CD|=x2,又·=|AB||CD|,所以·=x1·x2=.5.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1,故选B.【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得y 1+y2=4,=2px1,=2px2,两式相减得:k AB====1,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要注意使用条件是Δ≥0.(2)在椭圆+=1(a>b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=-.(3)在双曲线-=1(a>0,b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.(4)在抛物线y2=2px(p>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.【加固训练】(2015·孝感模拟)直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A,B 两点,若AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为( )A.5B.6C.7D.8【解析】选D.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l0,A(x A,y A),B(x B,y B),C是AB的中点,其坐标为(x C,y C),分别过点A,B作直线l0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=x A+1+x B+1=x A+x B+2=2x C+2=8.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是.【解析】由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离即为点P到准线y=的距离,所以+2=3,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y.答案:x2=-4y【误区警示】本题易忽视条件“焦点在y轴上”,误认为抛物线有两种形式,而造成解题错误.7.(2013·安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为.【解析】设直线y=a与y轴交于M点,若抛物线y=x2上存在C点使得∠ACB=90°,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有除A,B外的交点即可,即使|AM|≤|MO|,所以≤a,所以a≥1或a≤0,因为由题意知a>0,所以a≥1.答案:[1,+∞)【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设C(m,m2),由已知可令A(,a),B(-,a),则=(m-,m2-a),=(m+,m2-a),因为⊥,所以m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2-a)(m2+1-a)=0,解得m2=a>0且m2=a-1≥0,故a∈[1,+∞).答案:[1,+∞)8.如图,从点M(x0,4)发出的光线,沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点Q,再经抛物线反射后射向直线l:x-y-10=0上的点N,经直线反射后又回到点M,则x0等于.【解题提示】由题意可得抛物线的对称轴为x轴,抛物线的焦点F(2,0),MP所在的直线方程为y=4,从而可求P(2,4),Q(2,-4),N(6,-4),确定直线MN的方程,可求答案.【解析】由题意可得抛物线的对称轴为x轴,F(2,0),M(x0,4),所以MP所在的直线方程为y=4.在抛物线方程y2=8x中,令y=4可得x=2,即P(2,4),从而可得Q(2,-4),N(6,-4).因为经抛物线反射后射向直线l:x-y-10=0上的点N,经直线反射后又回到点M,所以直线MN的方程为x=6.所以x0=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·西安模拟)已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A,B两点,抛物线在A,B两点处的切线交于点M.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)设直线MF交该抛物线于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.【解析】(1)由已知,得F(0,1),显然直线AB的斜率存在且不为0,则可设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-4kx-4=0,显然Δ=16k2+16>0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由x2=4y,得y=x2,所以y′=x,所以直线AM的斜率为k AM=x1,所以直线AM的方程为y-y1=x1(x-x1),又=4y 1,所以直线AM的方程为x1x=2(y+y1)①.同理,直线BM的方程为x2x=2(y+y2)②.②-①并据x1≠x2得点M的横坐标x=,即A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)由①②易得y=-1,所以点M的坐标为(2k,-1)(k≠0).所以k MF==-,则直线MF的方程为y=-x+1,设C(x3,y3),D(x4,y4),由消去y,得x2+x-4=0,显然Δ=+16>0,所以x3+x4=-,x3x4=-4.又|AB|====4(k2+1),|CD|====4.因为k MF·k AB=-1,所以AB⊥CD,所以S四边形ACBD=|AB|·|CD|=8(k2+1)=8≥32,当且仅当k=±1时,四边形ACBD面积取到最小值32.10.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1).(1)求抛物线的标准方程.(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程.(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A,B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程.【解题提示】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得p值,从而求得抛物线的标准方程.(2)当斜率不存在时,直线方程为x=2符合题意;当斜率存在时,先设直线方程并联立抛物线方程,得出Δ=0,即可求出结果.(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程化简,由x1+x2=2,求得k的值,从而得到AB的方程.【解析】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得4=2p,所以p=2,故所求的抛物线的标准方程为x2=4y.(2)(i)当斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;(ii)当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1,联立方程可得整理可得x2-4kx+8k-4=0.因为直线与抛物线只有一个公共点,所以Δ=16k2-32k+16=0,所以k=1.综上可得,直线l的方程为x-y-1=0或x=2.(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为y-1=k′(x-1),代入抛物线的标准方程x2=4y可得x2-4k′x+4k′-4=0,所以x1+x2=4k′=2,所以k′=,所以AB的方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.(20分钟40分)1.(5分)(2015·赤峰模拟)已知点A(0,2),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,射线FA 与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|∶|MN|=1∶,则a的值等于( )A. B. C.1 D.4【解析】选D.依题意F点的坐标为,设M在准线上的射影为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,所以|KM|∶|MN|=1∶,则|KN|∶|KM|=2∶1,所以|OA|∶|OF|=2∶1,所以=2,求得a=4,故选D.2.(5分)(2015·武汉模拟)如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为( )A. B.2 C.+1 D.-1【解题提示】先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点F得到交点坐标,代入双曲线,把=c代入整理得c4-6a2c2+a4=0,等式两边同除以a4,得到关于离心率e的方程,进而可求得e.【解析】选C.由题意,因为两条曲线交点的连线过点F,所以两条曲线的一个交点为,代入双曲线方程得-=1,又=c,所以-4×=1,化简得c4-6a2c2+a4=0,所以e4-6e2+1=0,所以e2=3+2=(1+)2,所以e=+1,故选C.【加固训练】(2014·成都模拟)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-y2=1(a>0)相交于A,B两点,且F是抛物线的焦点,若△FAB是直角三角形,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.3【解析】选B.如图所示,F(1,0).因为△FAB为直角三角形,所以|AM|=|FM|=2,所以A(-1,2),代入-y2=1,得a2=,所以c2=a2+1=+1=,所以e2==6,所以e=.3.(5分)过点P(-2,1)作两条斜率互为相反数的直线,分别与抛物线x2=4y交于A,B两点,若直线AB与圆C:x2+(y-1)2=1交于不同两点M,N,则|MN|的最大值是. 【解析】设直线PA的斜率为k,A(x A,y A),则直线PA的方程为y-1=k(x+2),由得x2-4kx-8k-4=0,所以x A-2=4k,则x A=4k+2,所以点A(4k+2,(2k+1)2),同理可得B(-4k+2,(-2k+1)2),所以直线AB为斜率k AB==1,设直线AB的方程为y=x+b,由得2x2+2(b-1)x+b2-2b=0,由于AB与圆C交于不同的两点,所以Δ>0,即1-<b<+1.则|MN|=·=·=·≤2,故|MN|的最大值是2.答案:24.(12分)已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1.(1)求曲线C的方程.(2)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A,B.直线AB是否恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.【解析】(1)因为动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1,所以动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离与直线l′:y=-1的距离相等.所以曲线C是以F(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线,所以曲线C的方程是:x2=4y.(2)设E(a,-2),切点为,由x2=4y得y=,所以y′=,所以=,解得:x0=a±,所以A,B,化简直线AB方程得:y-2=x,所以直线AB恒过定点(0,2).【加固训练】已知抛物线C:x2=2py(p>0),O为坐标原点,F为抛物线的焦点,直线y=x 与抛物线C相交于不同的两点O,N,且|ON|=4.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A,B,交x轴于点M,且=a,=b,对任意的直线l,a+b是否为定值?若是,求出a+b的值;否则,说明理由.【解析】(1)联立方程得x2-2px=0,故O(0,0),N(2p,2p),所以|ON|==2p,由2p=4,得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零,设其方程为y=kx+1,则直线l与x轴交点为M,设点A(x1,y1),点B(x2,y2),由得x2-4kx-4=0,所以Δ=(4k)2-(-16)=16(k2+1)>0,所以x1+x2=4k,x1·x2=-4.由=a,得=a(-x1,1-y1),所以a==-,同理可得b=-.所以a+b=-=-=-1,所以对任意的直线l,a+b为定值-1.5.(13分)(能力挑战题)已知抛物线C:y2=2px的焦点坐标为F(1,0),过F的直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别与直线m:x=-2相交于M,N两点.(1)求抛物线C的方程.(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.【解析】(1)由焦点坐标为(1,0),可知=1,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)当直线垂直于x轴时,△ABO与△MNO相似,所以==,当直线与x轴不垂直时,设直线AB方程为y=k(x-1),设M(-2,y M),N(-2,y N),A(x1,y1),B(x2,y2),由整理得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,所以x1·x2=1,所以==·综上=.。

2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作

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课时提升作业(十四)导数与函数的单调性、极值、最值(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·许昌模拟)函数f(x)=xln x，则( )A.在(0，+∞)上是增加的B.在(0，+∞)上是减少的C.在(0，1e)上是增加的D.在(0，1e)上是减少的【解析】选D.因为函数f(x)=xln x，所以f′(x)=ln x+1，f′(x)>0，解得x>1e ，则函数的单调增区间为(1e,+≦)，又f′(x)<0，解得0<x<1e，则函数的单调减区间为(0,1e)，故选D.2.函数f(x)=x3-3x2+2在区间［-1，1］上的最大值是( )A.-2B.0C.2D.4【解析】选C.f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，因为-1≤x≤1，所以令f′(x)>0得-1≤x<0，令f′(x)<0得0<x≤1，所以函数f(x)在(-1，0)上是增加的，在(0，1)上是减少的.所以x=0时函数f(x)取得极大值同时也是最大值，即f(x)max=f(0)=2,故C正确.3.设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x)，若在(a,b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当m≤2时，f(x)=16x3-12mx2+x在(-1，2)上是“凸函数”，则f(x)在(-1，2)上( )A.既有极大值，也有极小值B.既有极大值，也有最小值C.有极大值，没有极小值D.没有极大值，也没有极小值【解析】选C.由题设可知：f″(x)<0在(-1，2)上恒成立，由于f′(x)=12x2-mx+1，从而f″(x)=x-m，所以有x-m<0在(-1，2)上恒成立，故知m≥2，又因为m≤2，所以m=2；从而f(x)=16x3-x2+x，令f′(x)=12x2-2x+1=0得x1(-1,2)，x2 (-1,2);且当x∈时f′(x)>0，当x∈时f′(x)<0,所以在(-1,2)上f(x)在.4.(2015·合肥模拟)已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)=f(5-x),(52-x) f′(x)＜0，若x1＜x2,x1+x2＜5，则下列结论中正确的是( )A.f(x1)＜f(x2)B.f(x1)+f(x2)＞0C.f(x1)+f(x2)＜0D.f(x1)＞f(x2)【解析】选D.因为函数f(x)满足f(x)=f(5-x)，则函数f(x)的图像关于x=52对称，又因为(52-x)f′(x)＜0，所以当x＞52，f′(x)＞0，故函数f(x)在(52,+≦)上是增加的，在(-≦，52)上是减少的，在x=52处取得最小值，又因为x1＜x2,x1+x2＜5，故|x1-52|＞|x2-52|，所以f(x1)＞f(x2).5.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y=(1-x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选D.由图像知，f′(-2)=f′(2)=0，且当x<-2时，f′(x)>0，-2<x<1，1＜x＜2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，故f(-2)是极大值，f(2)是极小值.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知函数f(x)=(ax2+x)-xln x在［1，+∞)上是增加的，则实数a的取值范围是_________.【解题提示】求导利用导数大于等于0转化为恒成立问题，再构造函数求解.【解析】由题意知：f′(x)=2ax+1-(ln x+1)≥0，即a≥ln x2x在x∈［1,+≦)上恒成立；设g(x)=ln x2x ，令g′(x)=21ln x2x=0，解得x=e，当x∈(e,+≦)时，g′(x)<0，g(x)是减少的，当x∈［1,e)时，g′(x)>0，g(x)是增加的，故g(x)的最大值为g(e)=12e ，即a≥12e.答案:a≥12e7.(2015·银川模拟)函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值，则m=_______.【解析】f′(1)=0可得m=1或m=3.当m=3时，f′(x)=3(x-1)(x-3)，1<x<3时,f′(x)<0;x<1或x>3时，f′(x)>0，此时x=1处取得极大值，不合题意，所以m=1.答案:1【误区警示】本题易出现求出m值后不进行验证能否在x=1处取得极小值，导致解题错误.8.已知函数f(x)的定义域为［-1，5］，部分对应值如表：f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图所示，则f(x)的极小值为________.【解析】由y=f′(x)的图像可知，f′(x)与f(x)随x的变化情况如表：所以f(2)为f(x)的极小值，f(2)=0.答案:0三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·安庆模拟)已知函数f(x)=a(x-1)2+ln x+1.(1)当a=-14时，求函数f(x)的极值.(2)若函数f(x)在区间［2，4］上是减少的，求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=-14时，f(x)=-14(x-1)2+ln x+1=-14x2+12x+lnx+34(x>0)，f′(x)=-12x+1x+12=-()()x2x12x-+(x>0),由f′(x)>0解得0<x<2，由f′(x)<0解得x>2，故f(x)在(0，2)上是增加的，在(2，+≦)上是减少的.所以当x=2时，函数f(x)取得极大值f(2)= 34+ln 2.(2)f′(x)=2a(x-1)+1x，因为函数f(x)在区间［2，4］上是减少的，所以f ′(x)=2a(x-1)+1x ≤0在区间［2,4］上恒成立，即2a ≤21x x-+在［2，4］上恒成立，只需2a 不大于21x x-+在［2，4］上的最小值即可. 而21x x -+=2111(x )24--+(2≤x ≤4)，则当2≤x ≤4时，21x x -+∈11[,]212--，所以2a ≤-12，即a ≤-14，故实数a 的取值范围是(-≦,- 14].10.(2014·安徽高考)设函数f(x)=1+(1+a)x-x 2-x 3,其中a ＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性.(2)当x ∈［0,1］时，求f(x)取得最大值和最小值时x 的值. 【解析】(1)f(x)的定义域为(－≦,+≦), f ′(x)=1+a-2x-3x 2，令f ′(x)=0得x 1, x 2，x 1<x 2，所以f ′(x)=-3(x-x 1)(x-x 2)，当x<x 1或x>x 2时f ′(x)<0；当x 1<x<x 2时f ′(x)>0. 所以f(x)在1(,3--∞和1()3-+∞上是减少的，在上是增加的. (2)因为a>0,所以x 1<0,x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f(x)在［0,1］上是增加的，所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.②当0<a<4时，x 2<1，由(1)知，f(x)在［0,x 2］上是增加的，在［x 2,1］上是减少的.所以f(x)在x=x 2. 又f(0)=1,f(1)=a,所以当0<a<1时，f(x)在x=1处取得最小值；当a=1时，f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x=0处取得最小值.【加固训练】(2015·马鞍山模拟)已知函数f(x)=ln x-ax 2+(a-2)x. (1)若f(x)在x=1处取得极值，求a 的值. (2)求函数y=f(x)在［a 2，a ］上的最大值.【解析】(1)因为f(x)=ln x-ax 2+(a-2)x ，所以函数的定义域为(0,+≦)，所以f ′(x)= ()()()()212ax a 2x 2x 1ax 112ax a 2.x x x-+---+-+-== 因为f(x)在x=1处取得极值，即f ′(1)=-(2-1)(a+1)=0，所以a=-1.当a=-1时，在(12，1)内f ′(x)<0，在(1，+≦)内f ′(x)>0，所以x=1是函数f(x)的极小值点，所以a=-1. (2)因为a 2<a ，所以0<a<1，f ′(x)= ()()()()212ax a 2x 2x 1ax 112ax a 2.x x x-+--+-+-==- 因为x ∈(0,+≦)，所以ax+1>0，所以f(x)在(0，12)上是增加的；在(12，+≦)上是减少的.①当0<a ≤12时，f(x)在［a 2,a ］上是增加的，所以f(x)max =f(a)=ln a-a 3+a 2-2a.②当21a ,21a ,2⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即1a 22<<时，f(x)在21(a ,)2上是增加的，在1(,a)2上是减少的，所以f(x)max =f(12)=a a 2aln21ln2424---+=--; ③当12≤a 2，即2≤a<1时，f(x)在［a 2,a ］上是减少的，所以f(x)max =f(a 2)= 2ln a-a 5+a 3-2a 2.综上所述，当0<a ≤12时，函数y=f(x)在［a 2,a ］上的最大值是ln a-a 3+a 2-2a; 当12y=f(x)在［a 2,a ］上的最大值是a 4-1-ln 2;≤a ＜1时，函数y=f(x)在［a 2,a ］上的最大值是2ln a-a 5+a 3-2a 2. (20分钟 40分)1.(5分)若函数f(x)=13x 3-12ax 2+(a-1)x+1在区间(1，4)上是减少的，在区间(6,+∞)上是增加的，则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,2］ B.［5,7］C.［4,6］D.(-∞,5］∪［7,+∞)【解题提示】求出原函数的导函数，求得导函数的零点1，a-1，然后讨论1与a-1的大小，分析导函数在不同区间内的符号，从而得到原函数在不同区间内的单调性，最后借助已知条件得到a-1与4和6的关系，则答案可求.【解析】选B.由函数f(x)=13x3-12ax2+(a-1)x+1，得f′(x)=x2-ax+a-1.令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1.当a-1≤1，即a≤2时，f′(x)在(1，+≦)上大于0，函数f(x)在(1，+≦)上是增加的，不合题意；当a-1>1，即a>2时，f′(x)在(-≦，1)上大于0，函数f(x)在(-≦，1)上是增加的，f′(x)在(1,a-1)内小于0，函数f(x)在(1，a-1)上是减少的，f′(x)在(a-1,+≦)内大于0，函数f(x)在(a-1,+≦)上是增加的.依题意应有：当x∈(1,4)时，f′(x)<0，当x∈(6,+≦)时，f′(x)>0，所以4≤a-1≤6，解得5≤a≤7，所以a的取值范围是［5，7］,故选B.2.(5分)(2015·淮南模拟)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax，若f(x)有两个极值点x1,x2且x1·x2=1，则a的值为( )A.6B.7C.8D.9【解析】选D.因为f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a，令f′(x)=0得18x2+6(a+2)x+2a=0，由题意知x1,x2是方程f′(x)=0的两根，故x1x2=2a18=1，因此a=9.3.(5分)(2014·辽宁高考)当x ∈[-2,1]时，不等式ax 3-x 2+4x+3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[-5,-3] B.[-6,-98] C.[-6,-2] D.[-4,-3]【解析】选Ｃ.当x ∈(0,1]时，不等式ax 3-x 2+4x+3≥0⇒a ≥23x 4x 3x --,x∈(0,1]恒成立．令g(x)=23x 4x 3x --,x ∈(0,1]，则g ′(x)=24x 8x 9x -++,x ∈(0,1]，设h(x)=-x 2+8x+9，h(x)在(0,1]上是增加的， h(x)>h(0)=9>0，所以x ∈0,1时,g ′(x)=24x 8x 9x -++>0，则g(x)=23x 4x 3x--在(0,1]上是增加的， g(x)=23x 4x 3x --,x ∈(0,1]的最大值g(x)max =g(1)=-6,从而a ≥-6.当x=0时，a ∈R.当x ∈[-2,0)时，不等式ax 3-x 2+4x+3≥0⇒a ≤23x 4x 3x --，x ∈[-2,0)恒成立．()24x 8x 9g x 0,x x [2,0)⎧-++'=>⎪⎨⎪∈-⎩⇒-1<x<0，()24x 8x 9g x 0,x x [2,0)⎧-++'=<⎪⎨⎪∈-⎩⇒-2≤x<-1. 所以g(x)= 23x 4x 3x--在[-2,-1)上是减少的，在(-1,0)上是增加的，故g(x)min =g(-1)=-2，则a ≤-2．综上所述，-6≤a ≤-2.4.(12分)(2015·九江模拟)已知函数f(x)=x 2+2x+aln x(a ∈R).(1)当a=-4时，求f(x)的最小值.(2)若函数f(x)在区间(0，1)上是增加的，求实数a 的取值范围.(3)当t ≥1时，不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=x 2+2x-4ln x(x>0)，所以f ′(x)=2x+2-4x =()()2x 2x 1x+-, 当x>1时，f ′(x)>0，当0<x<1时，f ′(x)<0，所以f(x)在(0，1)上是减少的，在(1，+≦)上是增加的，所以f(x)min =f(1)=3.(2)f ′(x)=2x+2+2a 2x 2x a x x++=, 若f(x)在(0，1)上是增加的，则2x 2+2x+a ≥0在x ∈(0,1)上恒成立⇒a ≥-2x 2-2x 恒成立，令u=-2x 2-2x,x ∈(0,1)，则u=2112(x )22-++,u max =0，所以a ≥0.(3)(2t-1)2+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t 2+4t+2aln t-3恒成立，a［ln(2t-1)-2ln t ］≥-2t 2+4t-2⇒a ［ln(2t-1)-ln t 2］≥2［(2t-1)-t 2］，当t=1时，不等式显然成立，当t>1时，a ≤()()2222t 1t ln 2t 1ln t----［］在t>1时恒成立，令v=()()2222t 1t ln 2t 1ln t ----［］，即求v 的最小值. 设A(t 2,ln t 2),B(2t-1,ln(2t-1))，k AB =()()22ln 2t 1ln t 2t 1t----, 且A ，B 两点在y=ln x 的图像上，又因为t 2>1,2t-1>1，故0<k AB <1，所以v=2·AB1k >2，故a ≤2，即实数a 的取值范围为(-≦,2］.5.(13分)(能力挑战题)(2014·山东高考)设函数f(x)= x 2e 2k(lnx)x x-+(k 为常数，e=2.718 28…是自然对数的底数).(1)当k ≤0时，求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.【解析】(1)函数y=f(x)的定义域为(0，+≦).f ′(x)=2x x 42x e 2xe 21k()x x x---+ ()()()x x x 323x 2e kx k x 2xe 2e .x x x----=-= 由k ≤0可得e x -kx ＞0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x)＜0，函数y=f(x)是减少的，x ∈(2，+≦)时，f ′(x)＞0，函数y=f(x)是增加的.所以f(x)的单调减区间为(0，2)，单调增区间为(2，+≦).(2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0，2)上是减少的，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；当k＞0时，设函数g(x)=e x-kx,x∈(0，+≦).因为g′(x)=e x-k=e x-e ln k,当0＜k≤1时，当x∈(0，2)时，g′(x)=e x-k＞0，y=g(x)是增加的，故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点；当k＞1时，x∈(0，ln k)时，g′(x)＜0，函数y=g(x)是减少的，x∈(ln k,+≦)时，g′(x)＞0，函数y=g(x)是增加的.所以函数y=g(x)的最小值为g(ln k)=k(1-ln k)，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，当且仅当()()g00,g(lnk)0,g20,0lnk 2.>⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩解得e＜k＜2e2.综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k的取值范围为(e,2e2).关闭Word文档返回原板块。

人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套

2.教材改编
链接教材
练一练
(1)(选修2-3P11习题1-2A组T5改编)有5个不同的元素a,b,c,d,e排成一排,则a,b相邻,d,e不相邻的排法有种.
【解析】把a,b看成一个元素与c排列,有2种排法,把d,e插入三个空有C52C42A55 种排法,共有2 C 答案:24
2 5
=24种排法.
(2)(选修2-3P17习题1-3A组T5改编)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从
2,4,6,8中任取3个数字,一共可以组成个没有重复数字的五
位数.
2 【解析】从1,3,5,7,9中取2个数字,有 C种取法 ,从2,4,6,8中取2个 4
11 2 3 数字有 CCCC 种取法,由这五个数字组成的五位数有个, 2 333
(3)记忆口诀:
相邻元素捆绑法,
相离问题插空法,
定序问题属组合,
定元、定位优先排, 至多、至少间接法, 选排问题先选后排, 部分符合条件淘汰法.
【小题快练】 1.思考辨析静心思考判一判 ( )
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.
(3)若组合式 A
种.
【解析】设这5件不同的产品分别为A,B,C,D,E,先把产品A与产品B捆绑有 C
A
5 5
1 3
种摆法,再与产品D,E全排有 A22A33C13 种摆法,最后把产品C插空有
4 4
种摆法,所以共有 C 14 A
=36种不同摆法.
答案:36
考点1
排列问题
【典例1】(1)(2014·四川高考)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 A.192种 B.216种 C.240种 ( )

人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(一) 1.1集合

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课时提升作业(一)集合(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·西安模拟)已知集合A={x|x-2≥0},B={x|0<log2x<2},则错误！未找到引用源。

(A∩B)是( ) A.{x|2<x<4} B.{x|x≥2}C.{x|x≤2或x≥4}D.{x|x<2或x≥4}【解析】选 D.因为B={x|1<x<4},所以A∩B={x|x≥2}∩{x|1<x<4}={x|2≤x<4},错误！未找到引用源。

(A∩B)={x|x<2或x≥4},故选D.2.(2015·长春模拟)已知集合A=错误！未找到引用源。

,B=错误！未找到引用源。

,若B⊆A,则x=( )A.0B. -4C.0或-4D.0或±4【解析】选C.由B⊆A知.x2=16或x2=4x,解得x=〒4或0.经检验.x=0或-4符合题意,故选C.【误区警示】解答本题时易误选D,出错的原因是忽视了集合中元素的互异性.3.已知集合A={1,2},集合B满足A∪B={1,2,3},则集合B有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.因为A∪B={1,2,3},A={1,2},所以集合B中应含有元素3,故集合B可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},故选D.4.已知集合A={x|y=log2(x-1)},B={x|x<2m-1},且A⊆错误！未找到引用源。

B,那么m的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.A={x|x>1},错误！未找到引用源。

B={x|x≥2m-1},因为A⊆错误！未找到引用源。

B,所以2m-1≤1,即m≤1,因此m的最大值为1.5.(2015·九江模拟)设A={(x,y)|x-y=6},B={(x,y)|2x+y=2},满足C⊆(A∩B)的集合C的个数为( )A.0B.1C.2D.4【解析】选 C.A∩B=错误！未找到引用源。

人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(二) 1.2命题、充分条件与必要条件

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课时提升作业(二)命题、充分条件与必要条件(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·萍乡模拟)以下说法错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题是“若x≠1,则x2-3x+2≠0”B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件C.命题“若α=β,则sinα=sinβ”的逆否命题为真D.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”【解析】选D.逆否命题的条件与结论分别是原命题的结论的否定与条件的否定,故A正确;若x=1,则x2-3x+2=0,反之不一定成立,故B正确;逆否命题与原命题真假性相同,而原命题为真,故逆否命题也为真,即C 正确;否命题既否定条件也否定结论,故D错误.2.(2015·南昌模拟)设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( )A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题【解析】选A.逆否命题为:若a,b都小于1,则a+b<2是真命题,所以原命题是真命题.逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2.例如,a=3,b=-3满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故逆命题是假命题.3.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.原命题正确,从而其逆否命题正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-3”是假命题,则否命题也为假命题,故选B.4.(2015·黄山模拟)若a,b∈R,则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为当a=0,b=1时,|a+b|=|a|+|b|,但ab>0不成立,反之若ab>0,则|a+b|=|a|+|b|成立,故“|a+b|=|a|+|b|”是“ab>0”的必要不充分条件.5.(2015·兰州模拟)已知命题p:x2+2x-3>0,命题q:x>a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]【解析】选B.由题意知p⇒q,且q⇒p,则有q⇒p,且p⇒q.从而p是q的必要不充分条件.所以{x|x>a}{x|x2+2x-3>0},即{x|x>a} {x|x>1或x<-3},从而a≥1.【误区警示】解答本题易忽略端点的取值而造成错解.6.命题“对任意x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A.a≥4 B.a>4 C.a≥1 D.a>1【解析】选B.由题意知a≥x2对x∈[1,2)恒成立,当x∈[1,2)时,1≤x2<4,则a≥4.从而a>4是命题为真的一个充分不必要条件.【加固训练】下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A.a>b+1,B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b3【解析】选A.a>b+1⇒a>b;反之,例如a=2,b=1满足a>b,但a=b+1即a>b 推不出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要的条件.故选A. 7.(2014·重庆模拟)若p是q的必要条件,s是q的充分条件,那么下列推理一定正确的是( )A.p⇔sB.p⇔sC.p⇒sD.s⇒p【解题提示】用推出式表示p与q,s与q的关系,找出s与p的关系,然后写出其逆否命题.【解析】选C.由已知得q⇒p,s⇒q,则s⇒p.s⇒p等价于p⇒s.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若“a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________.【解析】原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若ac2≤bc2,则a≤b”是假命题,则其否命题也是假命题,则正确的命题有2个.答案:29.(2015·偃师模拟)已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=∅的充要条件是__________.【解析】A∩B=∅⇔错误！未找到引用源。

人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(十) 2.7函数的图像

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课时提升作业(十)函数的图像(25分钟 40分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1.(2015·咸阳模拟)函数y=xln x x的图像可能是( )【解析】选B.因为f(-x)=xln x xln x xx---=-=-f(x),所以函数y=xln x x是奇函数，因此选项A ，C 排除；又x ＞0时，y=xln x x=xln xx=ln x,因此选B.2.若lg a+lg b=0(其中a ≠1,b ≠1),则函数f(x)=a x 与g(x)=b x 的图像( )A.关于直线y=x 对称B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于原点对称【解析】选C.由lg a+lg b=0,得ab=1，且a ＞0，a ≠1,b ＞0,b ≠1.g(x)=b x =x 1()a=a -x ,故选C.3.为了得到函数y=logy=log 2x 图像上所有点的( )A.纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B.纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位C.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位【解析】选A.y=log12log2(x-1)，把函数y=log2x的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，得到函数y=12log2x的图像，再把图像上的点向右平移1个单位，得到函数y=12log2(x-1)的图像，即函数y=log.4.(2014·山东高考)已知函数f(x)=|x-2|+1，g(x)=kx，若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )A.1(0,)2B.(12,1)C.(1,2)D.(2,+∞)【解析】选B.先作出函数的图像，由已知函数f(x)=|x-2|+1，g(x)=kx的图像有两个公共点，由图像知当直线介于l1:y=12x,l2:y=x之间时，符合题意，故选B.5.(2015·郑州模拟)若f(x)是偶函数，且当x∈［0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)＜0的解集是( )A.(-1,0)B.(-∞,0)∪(1,2)C.(1,2)D.(0,2)【解题提示】先作出f(x)的图像，再通过图像变换作出函数y=f(x-1)的图像，数形结合求解.【解析】选D.根据函数的性质作出函数f(x)的图像如图，把函数f(x)的图像向右平移1个单位，得到函数f(x-1)的图像,如图，则不等式f(x-1)＜0的解集为(0,2).二、填空题(每小题5分，共15分)6.如图，定义在［－1，＋∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为__________.【解析】当x ∈［－1,0］时，设y ＝kx ＋b ，由图像得k b 0,k 0b 1-+=⎧⎨⨯+=⎩得k 1,b 1,=⎧⎨=⎩所以y ＝x ＋1.当x ＞0时，设y ＝a(x －2)2－1，由图像得：0＝a(4－2)2－1得a＝14，所以y＝14(x－2)2－1，综上可知f(x)＝[]()2x1,x1,0,1x21,x(0,). 4⎧+∈-⎪⎨--∈+∞⎪⎩答案:f(x)＝[]()2x1,x1,0,1x21,x(0,) 4⎧+∈-⎪⎨--∈+∞⎪⎩7.已知函数y＝2x1x1--的图像与函数y＝kx－2的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.【解题提示】先作函数y＝2x1x1--的图像，然后利用函数y＝kx-2的图像过(0，-2)以及与y＝2x1x1--图像的两个交点确定k的范围.【解析】根据绝对值的意义，y＝2x1x1--＝x1(x1x1),x1(1x1).+><-⎧⎨---≤<⎩或在直角坐标系中作出该函数的图像，如图中实线所示.根据图像可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点.答案:(0,1)∪(1,4)【加固训练】若方程|ax|＝x＋a(a>0)有两个解，则a的取值范围是________.【解析】画出y ＝|ax|与y ＝x ＋a 的图像，如图.只需a>1.答案:(1，＋≦)8.定义在R 上的函数f(x)＝lg x ,x 0,1,x 0,⎧≠⎪⎨=⎪⎩关于x 的方程f(x)＝c(c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝_________. 【解析】函数f(x)的图像如图，方程f(x)＝c 有三个根，即y ＝f(x)与y ＝c 的图像有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg |x|＝1知另两根为-10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.答案:0【加固训练】1.已知函数f(x)＝|x 2－4x ＋3|. (1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性.(2)若关于x 的方程f(x)－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.【解析】f(x)＝()()()22x 21,x (,1][3,),x 21,x 1,3,⎧--∈-∞⋃+∞⎪⎨--+∈⎪⎩ 作出图像如图所示.(1)递增区间为［1,2)，［3，＋≦)，递减区间为(－≦，1)，［2,3). (2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图像(如图)则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时，a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由2y x a,y x 4x 3,=+⎧⎨=-+-⎩得x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a ＝－34.由图像知当a ∈[-1，-34]时，方程至少有三个不等实根.2.设函数f(x)＝x ＋1x 的图像为C 1，C 1关于点A(2,1)对称的图像为C 2，C 2对应的函数为g(x). (1)求g(x)的解析式.(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标.【解析】(1)设点P(x ，y)是C 2上的任意一点，则P(x ，y)关于点A(2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y)，代入f(x)＝x ＋1x，可得2－y ＝4－x ＋14x -，即y ＝x －2＋14x-，所以g(x)＝x －2＋14x-.(2)由y m,1y x 2,x 4=⎧⎪⎨=-+⎪⎩-消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝［－(m ＋6)］2－4(4m ＋9)，因为直线y ＝m 与C 2只有一个交点，所以Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4).(20分钟 40分)1.(5分)函数y ＝x 2＋ln xx的图像大致为( )【解析】选C.因为f 1()ef(1)＜0，故由零点存在定理可得函数在区间(1e，1)上存在零点，故排除A ，D 选项，又当x ＜0时，f(x)＝x 2＋()ln x x-，而f(-1e)＝21e＋e ＞0，排除B ，故选C. 2.(5分)(2015·安庆模拟)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t(0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f(t)的图像大致为( )【解析】选B.如图，设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α，在Rt △AOM 中，|AO|＝1－t ，cos x2＝OA OM＝1－t ，所以y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(t －1)2－1(0≤t ≤1).故其对应的图像应为B.【加固训练】(2014·南昌模拟)如图，正方形ABCD 边长为4 cm ，E 为BC 的中点，现用一条垂直于AE 的直线l 以0.4 cm/s 的速度从l 1平行移动到l 2，则在t 秒时直线l 扫过的正方形ABCD 的面积记为F(t)(cm 2)，则F(t)的函数图像大致是( )【解析】选D.当l 与正方形AD 边有交点时，此时直线l 扫过的正方形ABCD 的面积随t 的增大而增大的速度加快，故此段为凹函数，可排除A ，B ，当l 与正方形CD 边有交点时，此时直线l 扫过的正方形ABCD 的面积随t 的增大而增大的速度不变，故此段为一次函数，图像为直线，可排除C,故选D.3.(5分)函数f(x)＝x 1a x 11()1x 12-=⎧⎪⎨+≠⎪⎩，，，，若关于x 的方程2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0有五个不同的实数解，则a 的取值范围是_________. 【解题提示】由方程入手可求得f(x)＝32或f(x)＝a 画出x ≠1时f(x)的图像，再对a 分析.由函数图像及方程解的个数分析a 的取值范围. 【解析】由2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0得f(x)＝32或f(x)＝a.由已知画出函数f(x)的大致图像，结合图像不难得知，要使关于x 的方程2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0有五个不同的实数解，即要使函数y ＝f(x)的图像与直线y ＝32、y ＝a 共有五个不同的交点，结合图像分析不难得出，a 的取值范围是33(1)(2).22⋃，，答案:33(1)(2)22⋃，，4.(12分)已知函数f(x)＝2x ，x ∈R.(1)当m 取何值时方程|f(x)－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式f 2(x)＋f(x)－m>0在R 上恒成立，求m 的取值范围. 【解析】(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x －2|， G(x)＝m ，画出F(x)的图像如图所示：由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F(x)与G(x)的图像只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图像有两个交点，原方程有两个解. (2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t 2＋t ，因为H(t)＝211(t )24+-在区间(0，＋≦)上是增加的，所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t 2＋t>m 在区间(0，＋≦)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－≦，0］.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)的图像与函数h(x)＝x ＋1x＋2的图像关于点A(0,1)对称.(1)求f(x)的解析式.(2)若g(x)＝f(x)＋a x ，且g(x)在区间(0,2］上是减少的，求实数a 的取值范围.【解析】(1)设f(x)图像上任一点P(x ，y)，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y)在h(x)的图像上，即2－y ＝－x －1x ＋2，所以y ＝f(x)＝x ＋1x (x ≠0).(2)g(x)＝()()2aa 1a 1f x x ,g x 1.x x x +++=+'=- 因为g(x)在(0,2］上是减少的，所以1-2a 1x +≤0在(0,2］上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2］上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是［3，＋≦).关闭Word 文档返回原板块。

人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(十三) 2.10导数与导数的运算

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课时提升作业(十三)导数与导数的运算(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·九江模拟)已知f(x)=xsin x+ax 且f ′(2π)=1，则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.4【解析】选A.因为f ′(x)=sin x+x 〃cos x+a ，且f ′(2π)=1，故sin 2π+2π〃cos 2π+a=1，即a=0. 2.(2015·合肥模拟)若f(x)=2xf ′(1)+x 2,则f ′(0)等于( ) A.2 B.0 C.-2 D.-4 【解析】选D.f ′(x)=2f ′(1)+2x, 令x=1,则f ′(1)=2f ′(1)+2,得f ′(1)=-2, 所以f ′(0)=2f ′(1)+0=-4.【误区警示】本题在对f(x)求导时易出错，原因是不能将2f ′(1)看成x 的系数.3.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 【解析】选B.设切点坐标为(x 0,y 0),由y ′=1x a+知在x=x 0处的导数为01x a +,由题意知01x a+=1. 解方程组()0000011,x a y ln x a ,y x 1,⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎪⎩得00x 1,y 0,a 2.=-⎧⎪=⎨⎪=⎩故选B.【加固训练】已知函数y=xln x,则其在点x=1处的切线方程是( ) A.y=2x-2 B.y=2x+2 C.y=x-1 D.y=x+1 【解析】选C.因为y=x ln x. 所以y ′=1〓ln x+x 〃1x=1+ln x ，在x=1处的导数为1，即切线的斜率为1. 又当x=1时y=0. 所以切线方程为y=x-1.4.已知曲线y=14x 2-3ln x 的一条切线的斜率为-12,则切点横坐标为( )A.-2B.3C.2或-3D.2 【解析】选D.设切点坐标为(x 0,y 0), 因为y ′=12x-3x,所以在x=x 0处的导数为12x 0-03x , 由题意知12x 0-03x =-12, 即x 02+x 0-6=0,解得x 0=2或x 0=-3(舍)，故选D.【误区警示】本题易误选C,原因是忽视了函数的定义域.5.若曲线y=12x-在点(m,12m-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则m的值为( )A.8B.-8C.64D.-64【解析】选C.y′=321x2--,切线的斜率k=-12〃32m-，切线方程为y-12m-=-1 232m-(x-m).从而直线的横、纵截距分别为3m，3212m-.所以三角形的面积S=12〓112239|3m m|m24-⨯=，由129m4=18得m=64.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2013·江西高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导，且f(e x)=x+e x,则f′(1)=_________.【解题提示】利用换元法求出f(x)，再求导.【解析】令e x=t,则x=ln t.f(t)=t+ln t.所以f(x)=x+ln x.所以f′(x)=1+1x,从而f′(1)=2.答案:27.(2015·宝鸡模拟)已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程是y=12x+3，则f(1)+f′(1)=__________.【解析】由题意知f′(1)=12,f(1)=12〓1+3=72，所以f(1)+f′(1)=72+12=4.答案:48.曲线y=31x 3+x 在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为______.【解析】若y=31x 3+x,则y ′=x 2+1,在x=1处的导数为2，即曲线y=31x 3+x 在点4(1,)3处的切线方程是y-43=2(x-1)，它与坐标轴的交点是12(,0),0,),33-(围成的三角形的面积为19. 答案:19三、解答题(每小题10分，共20分) 9.已知曲线y=31x 3+43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程. (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.【解析】(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y ′=x 2, 所以在点P(2,4)处的切线的斜率为4.所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=31x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点30014A(x ,x ),33+则切线的斜率为x 02.所以切线方程为()3200014y (x )x x x 33-+=-, 即y=230024x x x 33⋅-+. 因为点P(2,4)在切线上，所以4=2300242x x 33-+, 即x 03-3x 02+4=0,所以x 03+x 02-4x 02+4=0, 所以x 02(x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0, 所以(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.10.已知函数f(x)=2ax 6x b-+的图像在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,求y=f(x)的解析式. 【解析】由已知得，-1+2f(-1)+5=0, 所以f(-1)=-2,即切点为(-1,-2). 又f ′(x)=()()()()()2222ax 6x b ax 6x b xb -'+--+'+()222ax 12x ab,xb -++=+所以()2a 62,1b a 12ab 1,21b --⎧=-⎪+⎪⎨--+⎪=-+⎪⎩解得a 2,b 3.=⎧⎨=⎩ 所以f(x)=22x 6x 3-+. (20分钟 40分)1.(5分)(2015·淮南模拟)点P 是曲线x 2-y-ln x=0上的任意一点，则点P 到直线y=x-2的最小距离为( ) A.1B.2C.2【解析】选D.将x 2-y-ln x=0变形为y=x 2-ln x(x>0),则y ′=2x-1x,令y ′=1,则x=1或x=-12(舍)，可知函数y=x 2-ln x 的斜率为1的切线的切点横坐标为x=1,纵坐标为y=1.故切线方程为x-y=0.则点P 到直线y=x-2的最小距离即x-y=0与y=x-2的两平行线间的距离，=2.(5分)已知f 1(x)=sin x+cos x,记f 2(x)=f ′1(x),f 3(x)=f ′2(x),…,f n (x)=f ′n-1(x)(n ∈N *,且n ≥2),则12 2 012 2 013f ()f ()f ()f ()2222ππππ++⋅⋅⋅++=_______. 【解题提示】分别求出f 1(x)，f 2(x),f 3(x),f 4(x),发现其规律再求解. 【解析】f 1(x)=sin x+cos x,f 2(x)=cos x-sin x,f 3(x)=-sin x-cos x,f 4(x)=-cos x+sin x,f 5(x)=sin x+cos x,…,因此，函数f n (x)(n ∈N *)周期性出现且周期为4. 又f 1(x)+f 2(x)+f 3(x)+f 4(x)=0,所以12 2 012 2 0131f ()f (f ()f ()f ()22222πππππ++⋅⋅⋅++=）sin cos 1.22ππ=+=- 答案:13.(5分)(2015·武汉模拟)已知曲线f(x)=x n+1(n ∈N *)与直线x=1交于点P ，设曲线y=f(x)在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2015x 1+log 2 015x 2+…+log 2 015x 2 014的值为_________.【解析】由题意知P(1，1)，f ′(x)=(n+1)x n ,k=f ′(1)=n+1,曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=1-1n n 1n 1=++,即x n =nn 1+, 所以x 1〃x 2〃…〃x 2 014=123 2 013 2 01412342 014 2 015 2 015⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=, 则log 2 015x 1+log 2 015x 2+…+log 2 015x 2 014 =log 2 015(x 1〃x 2〃…〃x 2 014)=log 2 01512 015=-1. 答案:-14.(12分)已知函数f(x)=x 3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2，-6)处的切线的方程.(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.x+3垂直，求切点坐标与(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14切线的方程.【解析】(1)可判定点(2，-6)在曲线y=f(x)上.因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1.所以曲线在点(2,-6)处的切线的斜率为f′(2)=13.所以切线的方程为y-(-6)=13(x-2),即13x-y-32=0.(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16.又因为直线l过点(0，0)，所以0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16,整理得x03=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3〓(-2)2+1=13,所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-x+3垂直，4所以切线的斜率为4.设切点的坐标为(x0′,y0′),则f′(x0′)=3x′02+1=4,所以x 0′=〒1, 所以00x 1,y 14'=⎧⎨'=-⎩或00x 1,y 18.'=-⎧⎨'=-⎩即切点坐标为(1，-14)或(-1，-18)，所以切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)=4(x+1). 即4x-y-18=0或4x-y-14=0.【加固训练】(2015·沧州模拟)已知函数f(x)=x 3+(1-a)x 2-a(a+2)x+b(a,b ∈R).(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为-3，求a,b 的值.(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围. 【解析】f ′(x)=3x 2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得()()()f 0b 0,f 0a a 23,==⎧⎪⎨'=-+=-⎪⎩解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y 轴的切线.所以关于x 的方程f ′(x)=3x 2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根，所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)＞0, 即4a 2+4a+1＞0, 所以a ≠-12.所以a 的取值范围为11(,)(,)22-∞-⋃-+∞.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=x-2x,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线. 【解题提示】分别对f(x),g(x)求导.求出切线斜率,然后求出a 可得切线方程，再判断. 【解析】根据题意有f ′(x)=1+22x,g ′(x)=-a x . 曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f ′(1)=3, 曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g ′(1)=-a. 所以f ′(1)=g ′(1),即a=-3. 曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1),得:y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0. 曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1).得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0, 所以，两条切线不是同一条直线.关闭Word 文档返回原板块。

人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(五) 2.2函数的单调性与最值

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课时提升作业(五)函数的单调性与最值(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·汉中模拟)下列函数中,在区间(0,1)上是减少的函数序号是( )①y=x2+1;②y=错误！未找到引用源。

;③y=|x-1|;④y=log2(x+1).A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】选B.y=x2+1与y=log2(x+1)在(0,1)上是增加的,y=错误！未找到引用源。

与y=|x-1|在(0,1)上是减少的.2.(2015·广州模拟)已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f错误！未找到引用源。

<f(1)的实数x的取值范围是( )A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】选C.函数f(x)为R上的减函数,且f错误！未找到引用源。

<f(1),所以错误！未找到引用源。

>1,即|x|<1且|x|≠0.所以x∈(-1,0)∪(0,1).3.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则( )A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)【解析】选B.因为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以函数f(x)在[0,+≦)上是增加的,所以f(3)>f(2)>f(1).因为f(-2)=f(2),所以f(3)>f(-2)>f(1).【加固训练】(2014·江南十校模拟)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图像如图所示,则下列叙述正确的是( )A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d)【解析】选 C.依题意得,当x∈(-≦,c)时,f′(x)>0;当x∈(c,e)时,f′(x)<0;当x∈(e,+≦)时,f′(x)>0.因此,函数f(x)在(-≦,c)上是增加的,在(c,e)上是减少的,在(e,+≦)上是增加的,又a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a).4.(2015·开封模拟)设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数x,都有f(f(x)-e x)=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln2)的值等于( )A.1B.e+1C.3D.e+3【解题提示】利用换元法,将函数转化为f(t)=e+1,根据函数的对应关系求出t的值,即可求出函数f(x)的表达式,即可得到结论.【解析】选C.设t=f(x)-e x,则f(x)=e x+t,则条件等价为f(t)=e+1,令x=t,则f(t)=e t+t=e+1,因为函数f(x)为单调递增函数,所以函数为一对一函数,解得t=1,所以f(x)=e x+1,即f(ln2)=e ln2+1=2+1=3.故选C.5.“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上是增加的”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当a=0时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+≦)上是增加的;当a<0时,结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图像知函数在(0,+≦)上是增加的,如图(1)所示;当a>0时,结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图像知函数在(0,+≦)上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示.所以,要使函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+≦)上是增加的只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+≦)上是增加的”的充分必要条件.【加固训练】已知函数f(x)=错误！未找到引用源。

课时提升作业_十五_2.3.1--(人教A版)数学选修1 课时作业本(有答案)-(高二)

课时提升作业_十五_2.3.1--(人教A版)数学选修1 课时作业本（有答案)-(高二)课时提升作业十五抛物线及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线y2=4x的焦点坐标是( )A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)【解题指南】根据抛物线的标准方程求解.【解析】选D.由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0).【补偿训练】在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.圆D.双曲线【解析】选 A.因为点(1,1)在直线x+2y=3上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线.2.抛物线y=4x2的焦点坐标是( )A.(0,1)B.(1,0)C. D.【解析】选C.由y=4x2得x2=y,所以抛物线焦点在y轴正半轴上且2p=,所以p=,所以焦点为.【误区警示】本题易忽略抛物线的标准形式,认为2p=4而出错.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( )A.y=-3x2B.y2=9xC.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x【解析】选D.由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=ay,将(1,-3)代入得a=-,所以方程为y=-3x2.4.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )A. B. C.1 D.【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点是(1,0),双曲线x2-=1的一条渐近线方程为x-y=0,根据点到直线的距离公式可得d==.【补偿训练】抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是( )A.2B.2C.D.1【解析】选D.抛物线y2=8x的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得d==1.5.已知M是抛物线y2=2px(p>0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为( )A.1B.1或4C.1或5D.4或5【解析】选B.因为点M到对称轴的距离为4,所以点M的坐标可设为(x,4)或(x,-4),又因为M到准线的距离为5,所以解得或二、填空题(每小题5分,共15分)6.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.【解题指南】根据抛物线的定义求解.【解析】x M+1=10⇒x M=9.答案:97.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.【解析】由抛物线方程y2=2px(p>0),得其准线方程为x=-.又圆的方程为(x-3)2+y2=16,所以圆心为(3,0),半径为4.依题意,得3-=4,解得p=2.答案:28.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.【解析】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,所以水面宽为2米.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.根据下列条件求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.【解析】(1)双曲线方程化为-=1,左顶点为(-3,0).由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3,所以p=6,所以方程为y2=-12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2=2px(p≠0),A点坐标为(m,-3).由抛物线定义得5=|AF|=|m+|.又(-3)2=2pm,所以p=±1或p=±9,故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.10.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到1m)【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0).依题意有P′(1,-1)在此抛物线上,代入得p=.故得抛物线方程为x2=-y.点B在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=,即|AB|=,则|AB|+1=+1,因此所求水池的直径为2(1+)m,约为5m,即水池的直径至少应设计为5m.一、选择题(每小题5分,共10分)1.抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2)在此抛物线上,M为线段PF的中点,则点M到该抛物线准线的距离为( )A.1B.C.2D.【解析】选D.因为点P(2,2)在抛物线上,所以(2)2=2m,所以m=4,P到抛物线准线的距离为2-(-1)=3,F到准线距离为2,所以M到抛物线准线的距离为d==.2.国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则= ( )A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得y=±3,所以A(-2,3),B(-2,-3),故=6.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程y2=2px中p的意义可以求解.【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-,0),故抛物线y2=2px的准线为x=-,所以=,所以p=2.答案:24.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .【解题指南】A,B,F三点坐标都能与p建立起联系,分析可知△ABF的高为p,可构造p 的方程解决.【解析】由题意知,△ABF的高为p,将y=-代入双曲线方程得A,B两点的横坐标为x=±,因为△ABF为等边三角形,所以=tan60°,从而解得p2=36,即p=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)5.一辆卡车高3m,宽 1.6m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为am,求使卡车通过的a的最小整数值.【解析】以隧道顶点为原点,拱高所在直线为y轴建立直角坐标系,如图所示,则B点的坐标为,设隧道所在抛物线方程为x2=my,则=m·,所以m=-a,即抛物线方程为x2=-ay.将(0.8,y)代入抛物线方程,得0.82=-ay,即y=-.欲使卡车通过隧道,应有y->3,即->3,由于a>0,得上述不等式的解为a>12.21,所以a应取13.6.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程.【解析】设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则其准线为x=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=8,所以x1++x2+=8,即x1+x2=8-p.因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,所以|QA|=|QB|,即=,又=2px1,=2px2,所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0,因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2.故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4.从而抛物线的方程为y2=8x.关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业(十五)
定积分与微积分基本定理
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共25分) 1.(2014·陕西高考)定积分
的值为( )
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e-1
【解析】选C.
=e.
2.(2015·萍乡模拟)由曲线xy=1，直线y=x ，y=3所围成的平面图形的面积为( ) A.
329
B.2-ln 3
C.4+ln 3
D.4-ln 3
【解析】选D.由xy=1，y=3可得交点坐标为(13
，3)，由xy=1,y=x 可得交点坐标为(1，1)，由y=x ，y=3可得交点坐标为(3，3)，所以由曲
线xy=1，直线y=x,y=3所围成的平面图形的面积为
4-ln 3，故选D.
3.(2015·南昌模拟)已知函数f(x)=2 x ,2x 0,
x 1,0x 2,
⎧-≤≤⎨+<≤⎩则22-⎰f(x)dx 的值为
( )
A.43
B.4
C.6
D.203
【解析】选D.22
-⎰
f(x)dx=02
-⎰
x 2
dx+2
⎰(x+1)dx
3202118120
x (x x)(0)(420).2032323
=++=++⨯+-=-
4.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t 2-t+2,质点做直线运动，则此质点在时间［1,2］内的位移为( )
17141311
A.
B. C. D.6366
【解析】选A.质点在时间［1，2］内的位移为
2
1⎰(t 2
-t+2)dt=32
21117(t t 2t)1326-+=.
5.由直线x+y-2=0，曲线y=x 3以及x 轴围成的图形的面积为( )
4553A. B. C. D.3464
【解析】选D.由题意得3
x y 20,y x ,
+-=⎧⎨=⎩解得交点坐标是(1，1). 故由直线x+y-2=0，曲线y=x 3以及x 轴围成的图形的面积为
1
⎰x 3dx+2
1
⎰(2-x)dx=
421211113x (2x x )0142
424+-=+=.
【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧
求平面几何图形的面积，需根据几何图形的形状进行适当分割，然后通过分别求相应区间上的定积分求出各自的面积，再求和. 二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2015·西安模拟)若函数f(x)在R 上可导，f(x)=x 3+x 2f ′(1)，则
()2
f x dx ⎰=_______.
【解析】由题意可知f ′(x)=3x 2+2f ′(1)x ，所以f ′(1)=3+2f ′(1)，所以
f ′(1)=-3，f(x)=x 3-3x 2,x 3-3x 2的一个原函数为14
x 4-x 3，所以
()2
3243200
1x 3x dx x x |4
-=
-⎰
=-4. 答案:-4
【加固训练】设函数f(x)=ax 2+b(a ≠0)，若3
0⎰f(x)dx=3f(x 0),则x 0等
于( )
A.±1
C.
D.2
【解析】选C.3
⎰f(x)dx=3
⎰(ax 2+b)dx=331(ax bx)9a 3b 0
3
+=+,所以
9a+3b=3(ax 02+b),即x 02=3,x 0=
故选C.
7.由曲线y=sin x ，y=cos x 与直线x=0,x=2
π所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是
_________.
【解析】由图可得阴影部分面积S=240
π
⎰(cos x-sin
x)dx=()2sin x cos x 40
π
+
答案:
8.(2013·湖南高考)若x 2dx=9,则常数T 的值为__________.
【解析】x 2
dx=33
T 11(x )T 903
3==,所以T=3.
答案:3 三、解答题
9.(10分)如图，求直线y=2x 与抛物线y=3-x 2所围成的阴影部分的面积
.
【解析】S=1
3-⎰(3-x 2-2x)dx
()()()3213
32
1
(3x x x )|3
1132(311)[3333].
333
-=--=⨯---⨯--⨯---=
【加固训练】设变力F(x)作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x=1运动到x=10，已知F(x)=x 2+1且方向和x 轴正向相同，求变力F(x)对质点M 所做的功.
【解析】变力F(x)=x 2+1使质点M 沿x 轴正向从x=1运动到x=10所做的功为
()()()2310
1
10101
W F x dx x 1dx (x x)
342J .
113
==+=+=⎰⎰
(20分钟 40分)
1.(5分)(2015·抚州模拟)图中阴影部分的面积是
( )
A.16
B.18
C.20
D.22 【解析】选B.由2
y x 4,
y 2x,
=-⎧⎨
=⎩得x 2,y 2=⎧⎨
=-⎩或x 8,
y 4,
=⎧⎨=⎩ 则阴影部分的面积为
S=2⎰
dx+8
2⎰
33
222281
1638x x 4x)18.022
33=+-+=+=
2.(5分)若f(x)=()x
f x 4,x 02cos 3tdt,x 060->⎧⎪
⎪π⎨+≤⎪⎪⎩
⎰，
，则f(2 014)=_________. 【解析】当x>0时，f(x)=f(x-4), 则f(x+4)=f(x),
所以f(2 014)=f(2)=f(-2),
又因为60π⎰cos 3tdt=11
(sin 3t),633
π
=
所以f(2 014)=f(-2)=2-2+13=7
12
. 答案:
712
3.(5分)(2015·南昌模拟)由曲线
y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为________.
【解析】
如图所示，联立y x 2,
y =-⎧⎪⎨=⎪⎩
解得x 4,y 2=⎧⎨=⎩，
所以M(4，2).
由曲线
直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积
S=()34
24
200
2116x 2dx (x x 2x)|.323
-=-+=⎰］答案:
16
3
4.(12分)汽车以54 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度-3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？【解析】由题意，得v 0=54 km/h=15 m/s. 所以v(t)=v 0+at=15-3t.
令v(t)=0，得15-3t=0.解得t=5. 所以开始刹车5 s 后，汽车停车. 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s=5
⎰v(t)dt=5
⎰(15-3t)dt
=253(15t t )0
2
-
=37.5(m).
故汽车走了37.5 m.
5.(13分)(能力挑战题)求由抛物线y 2＝x －1与其在点(2,1)，(2，－1)处的切线所围成的面积．
【解析】y .y ′x
. 因为过点(2,1)的直线斜率为y ′|x=2＝1
2
，
直线方程为y －1＝12
(x －2)，即y ＝12
x.同理，过点(2，－1)的直线方程为y ＝－12
x ，抛物线顶点在(1,0)．如图所示:
由抛物线y 2＝x －1与两条切线y ＝12x ，y ＝－12
x 围成的图形面积为：
S ＝S △AOB －1
2 ＝12〓2〓2－2〓23〓3
2
21
(x 1)|－＝2－43(1－0)＝23
. 【加固训练】曲线C ：y=2x 3-3x 2-2x+1，点P(1
2
,0)，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.
【解析】设切点坐标为(x 0,y 0),y ′=6x 2-6x-2, 则f ′(x 0)=6x 02-6x 0-2,
切线方程为y=(6x 02-6x 0-2)(x-12
), 则y 0=(6x 02-6x 0-2)(x 0-12
),
即2x 03-3x 02-2x 0+1=(6x 02-6x 0-2)·(x 0-12
), 整理得x 0(4x 02-6x 0+3)=0,
解得x 0=0，则切线方程为y=-2x+1.
解方程组3
2
y 2x 1,
y 2x 3x 2x 1,
=-+⎧⎨
=--+⎩
得x 0,y 1=⎧⎨=⎩或3x ,2y 2.
⎧
=⎪⎨⎪=-⎩
由y=2x 3-3x 2-2x+1与y=-2x+1的图像可知
S=3
20
⎰［(-2x+1)-(2x 3-3x 2-2x+1)］dx
=3
20
⎰(-2x 3+3x 2)dx=27
32
.。